第三章 刚体的转动
第三章 刚体的转动
M
o
r
F
M r F
m
力矩是矢量，M 的方向垂直于r和 F所决定的平面，其指向 用右手螺旋法则确定。
力矩的方向
2）力矩的单位、
牛· 米(N· m)
3）力矩的计算：
M 的大小、方向均与参考点的选择有关
M
m
M Fr sin
r
F
※在直角坐标系中，其表示式为 M r F ( xi yj zk ) ( Fx i Fy j Fz k )
例2 设质量为m，半径为R的细圆环和均匀圆盘分别绕通过各 自中心并与圆面垂直的轴转动，求圆环和圆盘的转动惯量.
解 (1)求质量为m，半径为R的圆环对中心轴的转动惯量.如图 (a)所示，在环上任取一质元，其质量为dm，该质元到转轴的距 离为R，则该质元对转轴的转动惯量为
dI R 2 dm
考虑到所有质元到转轴的距离均为R， 所以细圆环对中心轴的转动惯量为
dI x dm x dx
2 2
整个棒对中心轴的转 x dx ml 2 12
2
(2)转轴通过棒一端并与棒垂直时，整个棒对该轴的转动惯量为
1 2 I x dx ml 0 3
l 2
由此看出，同一均匀细棒，转轴位置不同，转动惯量不同.
刚体也是一个各质点之间无相对位置变化且质 量连续分布的质点系。
3.1 刚体定轴转动的描述
刚体的基本运动可以分为平动和转动，刚体 的各种复杂运动都可以看成是这两种运动的合成。
1.刚体的平动和定轴转动
平动
刚体的平动是指刚体在运动过 程中其中任意两点的连线始终保 持原来的方向（或者说，在运动 的各个时刻始终保持彼此平行）。 特点：其中各点在任意相同的时间内具有相同的位移和运动 轨迹，也具有相同的速度和加速度。因而刚体上任一点的运 动都可代表整个刚体的运动。 平动的刚体可看作质点。 刚体的转动比较复杂，我们只研究定轴转动。
大学物理.第三章.刚体的转动
和角速度 .
解 细杆受重力和
铰链对细杆的约束力
FN
作用 3g sin
2l
3g (1 cos )
l
§3-4 力矩的功 定轴转动的动能定理
一、力矩的功
z
O
d r
速度ω 绕端点转动，摩擦系数为μ 求M摩擦力。
ω
解: 质量线密度:
m L
dm
r dr
质量元:
r dm dr
所受摩擦力为:
dF gdm gdr
例3-5 现有一圆盘在平面内以角速度ω 转动，求 摩擦力产生的力矩（μ 、m、R）。
dr
ωr
解:
dm ds rdrd dF gdm grdrd dM1 rdF r2gdrd
I mi ri2 －质量不连续分布
i
r 2dm －质量连续分布
d －线分布λ＝m/ι 质量元: dm ds －面分布σ＝m/S
dV －体分布ρ＝m/V
二、决定转动惯量的三因素
1）刚体的质量； 2）刚体的质量分布； （如圆 环与圆盘的不同）；
3）刚体转轴的位置。 （如细棒绕中心、绕一端）
运动。 一、何谓刚体
在任何情况下形状和大小都不发生变化的
物体。即每个质元之间的距离无论运动或
受外力时都保持不变。
理想模型
ri j c mj
二、刚体运动的两种基本形式 mi
平动----刚体运动时，刚体内任一直线恒保 持平行的运动(即该直线方向保持不变)
刚体的平动过程
c a b
刚体的平动过程
能运用以上规律分析和解决包括 质点和刚体的简单系统的力学问题.
第三章刚体定点转动
第三章刚体定点转动§3.1定点转动运动学一、什么是定点转动？刚体转动时，如果刚体内只有一点始终保持不动，这种运动叫刚体的定点转动。
由于做定点转动时刚体上有一点固定不动，一般以定点为基点。
陀螺、回转罗盘（用于航空和航海方面）等，都是刚体绕定点转动的实例。
它们都只有一点不动。
如图3.1.1所示的常平架中的圆盘可绕对称轴z O ′转动，对称轴固结在内悬架上，内悬架可绕固结于外悬架的图3.1.1此，ON 轴转动而外悬架又可绕固定轴Oz 转动，此三轴的交点O 则是始终不动的，所以这种运动和定轴转动的情形不同。
二、定点转动和定轴转动的联系与区别1．联系：定点转动可以看成绕瞬时轴的定轴转动。
把某一瞬时角速度ω的取向，亦即在该瞬时的转动轴叫转动瞬轴。
跟转动瞬心相仿，转动瞬轴在空间和刚体内各描绘一个定点在O 的锥面，前者叫空间极面，后者则叫本体极面。
刚体绕固定点的转动，也可看作时本体极面在空间极面上作无滑动的滚动，如图3.1.2所示。
2．区别：（1）关于转轴：定点转动的轴恒通过一定点，但其在空间的取向随着时间的改变而改变，定轴转动的转轴在空间的取向不变。
（2）关于角速度：定点转动矢量的量值和方向都是时间的函数。
而定轴转动的角速度方向恒沿着固定的转动轴，量值可以是时间的函数。
ω三、定点转动时刚体上任一点的速度r dt r d v v vv ×==ωυ （3.1.1）P图3.1.3如图3.1.3所示,刚体上任一点P 的运动可以看成是绕瞬时轴的转动,所以其速度在圆周的切线方向,大小为R ωυ=.四、定点转动时刚体上任一点的加速度由加速度的定义知r r r dtd r r dt d r dt d dt d a vv v v v vv v v v v v v v v v v 2)()(ωωωωωωωυωωυ−⋅+×=××+×=×+×==而 R r r v v v v v 22)(ωωωω−=−⋅则R r dtd a v v v v 2ωω−×= (3.1.2)上式中的第一项r dtd vv×ω为转动加速度,第二项R v 2ω−为向轴加速度. 例:半径为a 的碾盘在水平面上做无滑滚动,长为b 的水平轴OA 绕竖直轴OE 以匀角速度1ω转动,如图3.1.4所示.求碾盘最高点P 的速度和加速度.x图3.1.4解: 碾盘绕定点O 运动,取如图所示的直角坐标系,OA=b,AB=OE=a,j a i b r P ˆˆ+−=v 要使碾盘在水平面上做无滑滚动,则瞬时角速度的方向为BO 方向,且iab j j i ˆˆˆˆ1121ωωωωω+=+=v.则 kb j a i b i ab j r P P ˆ2)ˆˆ()ˆˆ(111ωωωωυ=+−×+=×=vv v . 或用瞬轴法:P 点速度大小:b PD P 12ωωυ=⋅=. 方向:oz 轴方向.加速度: ja b i b r dt d dt d a P P Pˆˆ321221ωωυωωυ−=×+×==v v v v v v§3.2定点转动刚体对定点的动量矩一、刚体的动量矩图3.2.1刚体是一特殊的质点系，刚体作定点转动时对定点O 的动量矩（角动量）等于刚体上的各质点对定点O 的动量矩之和（矢量和）。
第三章 刚体的定轴转动
m r
i 1
n
2
i i
=J
1 2 Ek Jω 2
转动动能
ω 对应 v
J 对应 m
1 2 Ek mv 2
质点的动能
二 转动惯量 ( moment of inertia ) 质量 质点惯性大小的量度
J 与 m 对应
转动惯量 刚体转动惯性大小的量度
n
J mi ri
i 1
2
体分布
dm =ρdV dm =σdS dm =λdl
面分布 线分布
J r dm
2 m
单位:
kg · 2 m
说明： J r 2dm
m
1. J 与刚体的质量有关； 2. 质量一定，与质量的分布有关；
3. 与轴的位置有关。因此叫作绕轴的
转动惯量。
转动惯量的计算
例1 质量为m，半径为 r 的均匀细圆环， 对通过其中心并垂直环面的转轴的转动惯量。 解： 根据转动惯量的定义求解。
3. 题 3－2，3－8，3－9。
§3-1
刚体的定轴转动
刚体 ( rigid body ) ：在任何情况下，其形状和大 小都不发生任何变化的物体 刚体是一种理想模型
一 刚体的运动 刚体的运动
｛ 转动
平动
平动 ( translation ) 刚体运动时，其上任意两点的连线 ， 在运动过程中始终保持其方向不变 。 刚体的平动遵从质点运动的规律
ω ω0 αt
1 2 θ θ0 ω0t αt 2 2 2 ω ω0 2α(θ θ0 )
切向加速度 ( tangential acceleration )
dv at dt d (rω) dt dω r dt
3.刚体的定轴转动
2 3 2
2
6.16 10
3
2
3.14 m / s
2
2
6.16 10 m / s
例3-2：一飞轮在时间t 内转过角度 at bt 3 ct 4式中a、b、c都 是常量。求它的角加速度。 解:飞轮上某点的角位置可用θ 表示为： at bt 3 ct 4 将此式对t 求导数，即得飞轮角速度的表达式为:
O
刚体定轴转动的描述
（1） 定轴转动的角量描述
角位置： (t )
角位移： (t ) (t 0 ) 角速度：
d dt d
dt d
2
角加速度：
dt
2
角速度和角加速度均为矢量，定轴转动中其方向沿转轴的
方向并满足右手螺旋定则。
说明：在刚体的定轴转动中加速度、角加速度和角位移通常用 代数量表示。通常规定：当刚体作逆时针转动时，这些角量均 取正值；反之，取负值。
观察圆盘O和圆盘上一点P的运动：
O点的运动：沿着直线向前移动 圆盘上其他点的运动：除向前移动外，还绕圆盘中心O且垂直于盘面的轴转动。
1.刚体的平动：在运动过程中，若刚体上任意一条直线在各个时 刻的位置始终彼此平行，则这种运动叫做平动。
特点：刚体内所有点具有相同的位移、速度和加速度。 －－刚体上任一点的运动规律即代表刚体的平动规律。
2
2
则整个刚体的转动动能为：
Ek
1 2
m i vi
2
1 2
m i ri
2
2
1 2
J
2
二、 力矩的功和功率
1.力矩的功
刚体的转动
第三章 刚体的转动出发点：牛顿质点运动定律刚体的运动分为：平动，定轴转动，定点转动，平面平行运动，一般运动。
§3-1 刚体的平动，转动和定轴转动一 刚体的定义：在无论多大力作用下物体形状和大小均保持不变。
（理想模型）二 平动：在运动过程中，若刚体上任意一条直线在各个时刻的位置始终彼此平行，则这种运动叫做平动。
特征：1 平动时刚体中各质点的位移，速度，加速度相等。
2 动力学特征：将刚体看成是一个各质点间距离保持不变的质点组。
受力：内力和外力对每一个质元：满足牛顿运动定律+=Mi i 对刚体而言：∑(+fi )=∑Mi i⇒∑+∑=∑Mi i显然∑=0 ⇒∑=∑Mi I=∑Mi故：∑F ==M a即：刚体做平动时，其运动规律和一质点相当，该质点的质量与刚体的质量相等，所受的力等于刚体所受外力的矢量和。
三 转动和定轴转动定轴转动的运动学特征：用角位移、角速度、角加速度加以描述，且刚体中各质点的角位移 、角速度、角加速度相等。
ω=dt d θ, α=dtd ω对匀速、匀变速转动可参阅P210表4-2 角量与线量的关系：v=R ωa t=R αa n=ω2R更一般的形式：角速度矢量的定义：=ωγ⨯ ， =dtd 显然，定轴转动的运动学问题与质点的圆周运动相同。
例：一飞轮在时间t 内转过角度θ=t b at 3+-c t 4,式中abc 都是常量。
求它的角加速度。
解： 飞轮上某点的角位置可用θ表示为θ=t b at 3+-c t 4,将此式对t 求导数，即得飞轮角速度的表达式为ω＝(dtdt b at 3+-c t 4）＝a+3b t 2-4c t 3角加速度是角速度对t 导数，因此得α =dt d ω=d td ( a+3b t 2-4c t 3)=6bt-12c t 2由此可见，飞轮作的是变加速转动。
§3-2 力距 刚体定轴转动定律一 力矩：设在转动平面内，=⨯是矢量，对绕固定轴转动，只有两种可能的方向，用正负即可表示，按代数求和（对多个力）。
第三章刚体的转动
三、转动定律 第一转动定律：若 第二转动定律：
，刚体将保持原状
例1．一轻绳跨过一轴承光滑的定滑轮， 绳的两端分别悬有质量为 和 的物体， ,滑轮质量为m，半径为r，其转动 惯量可按 计算（视为圆盘），绳 与轮之间无相对滑动，试求物体的加速 度 和绳的张力。 例2．一块均匀的长方形薄板，边长为a、 b，中心O取为原点，设薄板的质量为M， 求薄板对o杆长L，质量为m，一质量也为m的 小球用长为L 的轻绳系于O点，开始时杆 静止于竖直位置，现将小球在垂直于轴的 平面内拉开一定角度，摆下去与杆端相碰 （弹 性碰撞 ） ，结 果 使 杆 的 最 大 偏 角 为 ，求小球最初被拉开的角度 。 4．在水平面上，有一均匀细棒L，质量为 ，与水平面的摩擦系数为 ，可绕O转动， 以 碰棒的A端，碰撞时间极短，碰后速 度为 ，求碰撞后，细棒从开始转动到停 止转动过程所需的时间t。
第三章 刚体的转动
一、基本概念 1．刚体(Rigid Body) 2．刚体的平动(Translation) 3．刚体的转动(Rotation) 4．定轴转动 5．转动平面 6．角坐标；角位移；角速度；角加速度
7. 线速度 8 刚体的平衡条件
二、转动惯量 (1)转动惯量定义：
(2)刚体的动能：
与(a) 刚体的质量m有关； (b) 与m的分布有关； (c) 与转轴的位置有关
四、刚体定轴转动的动能定理 1．力矩做功 当刚体在力矩 作用下从 转到 力矩所做的功为：
时，
五、定轴转动的角动量定理
1．定义：冲量矩= 2．刚体定轴转动的角动量定理 3．角动量守恒定律 当 时， 恒量 问题： ①刚体绕定轴做匀变速运动，刚体上任意一点是 否有 、 ，其大小是否改变？ ②一个物体可以绕定轴做无摩擦的匀速运动，当 它热胀冷缩时，角速度是否改变？为什么？
大学物理上第3章 刚体的定轴转动
z
(ω, β )
r fi
F 两边乘以r 两边乘以ri ,有： it ri + f it ri = ∆mi ait ri
对所有质元的同样的式子求和， 对所有质元的同样的式子求和，有：
fit
∆mi
Fit
r Fi
Fir
o
Fit ri + ∑ f it r i = ∑ ∆mi ait ri = β ∑ ( ∆mi ri 2 ) ∑
表示合外力矩，记作M ∑ F r 表示合外力矩，记作 表示内力矩之和， ∑ f r 表示内力矩之和，其值等于零
it i
it i
(∆mi ri 2 ) 称为刚体对轴的转动惯量，记作J 称为刚体对轴的转动惯量，记作 ∑
则上式可简写成： 则上式可简写成：M = Jβ
11
M = Jβ
刚体定轴转动定律： 刚体定轴转动定律：刚体所受的对于某一固定转动 轴的合外力矩等于刚体对此转轴的转动惯量与刚体 在此合外力矩作用下所获得的角加速度的乘积。 在此合外力矩作用下所获得的角加速度的乘积。 说明: 说明: 1. 上式是矢量式（在定轴转动中力矩只有两个方向）。 上式是矢量式（在定轴转动中力矩只有两个方向）。 2. M、J、β是对同一轴而言的。 是对同一轴而言的。 3. 上式反映了力矩的瞬时效应。M = Jβ = J dω 上式反映了力矩的瞬时效应。 dt 4. 刚体转动定律的地位与牛顿第二定律相当。 刚体转动定律的地位与牛顿第二定律相当。 5. 转动惯量 是刚体转动惯性大小的量度。 转动惯量J是刚体转动惯性大小的量度 是刚体转动惯性大小的量度。
2
§3.1
3.1.1 刚体的运动
刚体定轴转动的描述
刚体的平动：刚体在运动过程中， 刚体的平动：刚体在运动过程中，其 上任意两点的连线始终保持平行。 上任意两点的连线始终保持平行。 可以用质点动力学的方法 来处理刚体的平动问题。 来处理刚体的平动问题。 刚体的定轴转动： 刚体的定轴转动：刚体上各点都绕同 一直线作圆周运动， 一直线作圆周运动，而直线本身在空 间的位置保持不动的一种转动。 间的位置保持不动的一种转动。这条 直线称为转轴 转轴。 直线称为转轴。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
(C) 它的动量不断改变，对圆心的角动量不变．
(D) 它的动量不断改变，对圆心的角动量也不断改变．
5、如图所示，一质量为 m 的小球由一绳系着，以角速度 0 在无摩擦的水平面
上，绕以半径为 r 的圆周运动。如图在绳的另一端作用一铅直向下的拉力，小球
则作以半径为 r / 2 的圆周运动。则小球新的角速度为 [
1 3
0
计算题：
1、解：对水桶和圆柱形辘轳分别用牛顿运动定律和转动定律列方程
mg－T ＝ma
①
TR＝J
②
a＝R
③
ห้องสมุดไป่ตู้
由此可得 T＝m(g－a)＝m g TR / J
那么
T 1
mR 2 J
mg
将 J = 1 MR2 代入上式，得 2
T
mMg M 2m
＝24.5
(A)无法计算
(B) 40 ．
(C) 0 / 2 ．
] (D) 0 ．
二、填空题
1、质量为 m 的质点以速度 v 沿一直线运动，则它对直线外垂直距离为 d 的一点 的角动量为 ____________． 2、一个以恒定角加速度转动的圆盘，如果在某一时刻的角速度为1＝20rad/s， 再转 60 转后角速度为2＝30rad /s，则角加速度 =_____________，转过上述 60 转所需的时间Δt＝________________。
第三章 刚体的转动
一、选择题
1、一轻绳跨过一具有水平光滑轴质量为 M 的定滑轮，绳的两端分别悬
挂质量为 m1 ， m2 的物体（ m1 m2 ），轻绳不可伸缩且与滑轮间无相对
滑动，若某时刻滑轮沿逆时针方向转动，则绳中的张力 ［
］
(A) 处处相等
(B) 左边大于右边
(C) 右边大于左边 (D) 哪边大无法判断
N
MR
T
T mg
3、力矩的定义式为 是恒定不变的，而
，当力矩恒定时，刚体定轴转动的 是均匀变化的。
4、刚体角动量守恒的充分而必要的条件是
。
5、质量为 m 长为 l 的棒，可绕棒一端且与棒垂直的竖直光
滑固定轴 o 在水平面内自由转动，开始时棒静止，现有一块
质量相同的泥巴，在水平面内以初速度 v0 扔出，与棒粘在
第三章答案
MR
T
T mg
选择题：
1-5 CCACB
填空题： 1、 L mvd ； 2、6.54 rad/s2 (或 25 rad / s 2 )，4.8s（或 24 s ）；
12
5
3、 M
r
F
，角加速度，角速度；
4、系统所受的合外力矩为零；5、3v0
/
4l；
6、不一定，动量；7、
2、两个半径相同、质量相等的细圆环 A 和 B。已知 A 环的质量分布均匀，B 环
的质量分布不均匀，它们对中心转轴的转动惯量分别为 JA 和 JB，则 ［
］
(A) JAJB
(B) JAJB
(C) JAJB
(D) JA、JB 哪个大，不能确定
3、一圆盘绕过盘心且与盘面垂直的光滑固定轴 O 以角速度 按图示方向转 F
O 俯视图
v0
一起，非完全弹性碰撞后它们的角速度
6、若作用于一力学系统上外力的合力为零，则外力的合力矩
（填一定或不一定）为零；这种情况下力学系统的动量、角动量、机械能三个量
中一定守恒的量是
。
7、一飞轮以角速度0 绕光滑固定轴旋转，飞轮对轴的转动惯量为 J1；另一静止 飞轮突然和上述转动的飞轮啮合，绕同一转轴转动，该飞轮对轴的转动惯量为前
F
动.若如图所示的情况那样，将两个大小相等方向相反但不在同一条直线的
O
力 F 沿盘面同时作用到圆盘上，则圆盘的角速度［
］
(A) 必然增大． (B) 必然减少． (C) 不会改变． (D) 如何变化，不能确定．
4、一质点作匀速率圆周运动时 ［
］
(A) 它的动量不变，对圆心的角动量也不变．
(B) 它的动量不变，对圆心的角动量不断改变．
者的二倍．啮合后整个系统的角速度＝__________________．
三、计算题
1、质量为 5 kg 的一桶水悬于绕在辘轳上的轻绳的下端，辘轳可视为
一质量为 10 kg 的圆柱体．桶从井口由静止释放，求桶下落过程中绳 中的张力．辘轳绕轴转动时的转动惯量为 1 MR 2 ，其中 M 和 R 分别
2 为辘轳的质量和半径，轴上摩擦忽略不计．