3.3《计算导数》同步导学课件(北师大版选修1-1)

(2011· 大纲全国卷，8)曲线 y＝e
－2x
＋1 在点(0,2)处的切线与 )
直线 y＝0 和 y＝x 围成的三角形的面积为( 1 A.3 2 C. 3 1 B.2 D．1
解析： ∵y′＝(－2x)′e k＝y′|x＝0＝－2e0＝－2，
－2x
＝－2e
－2x
，
∴切线方程为 y－2＝－2(x－0)， 即 y＝－2x＋2. 如图，∵y＝－2x＋2 与 y＝x 与 x 轴的交点坐标为(1,0)， 1 2 1 ∴S＝ ×1× ＝ . 2 3 3
a＋1 1 1 1 ∴l 与坐标轴围成的三角形的面积 S＝ －a－1· ＝ 2 2 4 1 1 a＋ ＋2≥ ×(2＋2)＝1.当且仅当 a 4
1 a＝a，即 a＝1 时，直线 l 与
两坐标轴围成的三角形的面积最小，最小值为 1.
• 3.(2009年威海)已知f(x)＝x2 ＋ax＋b，g(x)＝x2
① ②
由 f′(x)＝g′(x)，得 2x＋a＝2x＋c，∴a＝c.③ 由 f(5)＝30，得 25＋5a＋b＝30.④ 1 由①③可得 a＝c＝2.由④得 b＝－5.再由②得 d＝－2. 1 1 47 ∴g(x)＝x ＋2x－ .故 g(4)＝16＋8－ ＝ . 2 2 2
2
• 1．f′(x0)是一个具体实数值，f′(x)是一个函数； • 2．f′(x0)是当x＝x0时，f′(x)的一个函数值； • 3．求f′(x0)可以有两条途径：①利用导数定义
(3)y′＝(
4
1 1 1 1 3 x)′＝x4′＝ x －1＝ x－ ； 4 4 4 4
1 (4)y′＝(log3x)′＝ · 3e log x 1 ＝xln 3； (5)y′＝(sin x)′＝cos x； 1 2 (6)y′＝ 5 ＝x－5′ x2 2 2 2 7 ＝－5x－5－1＝－5x－5.
＋cx＋d，又f(2x＋1)＝4g(x)，且f′(x)＝g′(x)， f(5)＝30.求g(4)． • 解析： 题设中有四个参数a、b、c、d，为确 定它们的值需要四个方程． • 由f(2x＋1)＝4g(x)，得 • 4x2＋2(a＋2)x＋a＋b＋1＝4x2＋4cx＋4d.
于是有
a＋2＝2c， a＋b＋1＝4d，
)
• 解析： 由y′＝ex，得在点A(0,1)处的切线的斜
率k＝y′|x＝0＝e0＝1，∴选A. • 答案： A
求曲线
π y＝sin2－x在点
π 1 A－3，2处的切线方程．
• 先化简函数的解析式，再利用导数的几何意义
求切线方程．
[解题过程] ∴曲线在点
π ∵sin2－x＝cosx，∴y′＝(cosx)′＝－sinx， π 1 A－3，2处的切线的斜率为
原函数
导函数
f(x)＝c f′(x)＝ 0 . • 2．基本初等函数的导数公式 α－1 f(x)＝xα(α∈R＋) f′(x)＝ αx f(x)＝sin x f(x)＝cos x f(x)＝tan x f′(x)＝ f′(x)＝
cos x
－sin_x
1 cos2x
.
. .
f′(x)＝
.
原函数 f(x列函数的导数： 1 (1)y＝x ；(2)y＝ 4； x
12
(3)y＝2x；(4)y＝log2x.
• 利用公式求函数的导数．
序号 (1)
答案 12x11 4 －x5 2xln 2 1 xln 2
理由 利用(xα)′＝α·α 1 得(x12)′＝12x11 x
－
• [解题过程]
(2)
1 －4 α α－1 1 首先x4＝x 再利用(x )′＝α· x4′ x
3π 2 (1)∵y＝sin 4 ＝ 2 ，∴y′＝0；
(2)∵y＝log27，∴y′＝0； (3)y′＝(x10)′＝10x10－1＝10x9； 1 (4)y′＝( 2)′＝(x－2)′＝－2x－2－1＝－2x－3. x
(2011· 江西卷， 4)曲线 y＝ex 在点 A(0,1)处的切线斜率为( A．1 C．e B．2 1 D.e
• § 3 计算导数
• 1.理解导数的概念． • 2.掌握导数的定义求法． • 3.识记常见函数的导数公式.
• 1.基本初等函数的导函数求法．(难点) • 2.基本初等函数的导函数公式．(重点) • 3.指数函数和幂函数的导函数公式．(易混点)
求函数导数的一般步骤： (1)求函数的增量 Δy＝f(x＋Δx)－f(x) ；
• ∴y′|x＝2＝n·2n－1＝12.
• ∴n＝3.
2．下列各式中正确的是( A．(lnx)′＝x C．(sinx)′＝cosx
) B．(cosx)′＝sinx 1 －6 D．(x )′＝－5x
－5
• 答案： C
• 3．若y＝10x，则y′|x＝1＝________. • 解析： ∵y′＝10xln10， • ∴y′|x＝1＝10ln10. • 答案： 10ln10
π k＝－sin－3＝
3 ， 2
1 3 π ∴其切线方程为 y－2＝ 2 x＋3， 即 3 3x－6y＋ 3π＋3＝0.
2.求曲线 y＝sin x 在点
π 1 A6，2的切线方程；
解析： y′＝(sin x)′＝cos x， π 3 ∴y′|x＝ ＝ ， 6 2 3 ∴切线斜率 k＝ 2 ， 1 3 π ∴切线方程为 y－ ＝ x－6， 2 2 化简得：6 3x－12y＋6－ 3π＝0.
2 2 的交点坐标为3，3，y＝－2x＋2
• 答案： A
x2 已知函数 f(x)＝ a －1(a>0)的图象在 x＝1 处的切线为 l，求 l 与两坐标围成的三角形面积的最小值．
• 首先利用公式求出在x＝1处的切线斜率，然后
求出切线方程，最后利用不等式性质求面积最 值．
2x 2 1 [解题过程] ∵f′(x)＝ a ，∴f′(1)＝a.又 f(1)＝a－1， 1 2 ∴f(x)在 x＝1 处的切线 l 的方程是 y－a＋1＝a(x－1)．
4．(2009 年黄冈)求下列函数的导数： 1 4 (1)y＝x ；(2)y＝ 3；(3)y＝ x； x
13
(4)y＝log3x；(5)y＝sin x；(6)y＝
1 5
.
x2
解析： (1)y′＝(x13)′＝13x13 1＝13x12；
1 (2)y′＝x3′＝(x－3)′
－
＝－3x－3－1＝－3x－4；
直接求； • ②先求f′(x)，再把x＝x0代入f′(x)求．
常数函数的导数：①若 f(x)＝C，则 f′(x)＝0； 幂函数的导数：②若 f(x)＝xn(x∈N＋)，则 f′(x)＝nxn 1； 三角函数的导数：③若 f(x)＝sinx，则 f′(x)＝cosx； ④若 f(x)＝cosx，则 f′(x)＝－sinx； 指数函数的导数：⑤若 f(x)＝ax，则 f′(x)＝axlna(a>0)； ⑥若 f(x)＝ex，则 f′(x)＝ex； 1 对数函数的导数：⑦若 f(x)＝logax，则 f′(x)＝xlna(a>0，且 1 a≠1)；⑧若 f(x)＝lnx，则 f′(x)＝ . x
导函数 f′(x)＝ f′(x)＝
1 －sin2x
. .
axlna(a>0) ex
f′(x)＝ 1
.
f(x)＝logax ＝
xlna(a>0 且 a≠1) f′(x) 1 x
.
f(x)＝lnx
• 1．曲线y＝xn 在x＝2处的导数为12，则n等于
( ) B．2 D．4
• A．1 • C．3
• 解析： ∵y′＝nxn－1，
fx＋Δx－fx Δy Δx (2)求平均变化率Δx＝ ； Δy lim (3)取极限，求导数 f′(x)＝Δt→0 Δx .
1．导函数 一般地， 如果一个函数 f(x)在区间(a， b)上的 每一点x lim fx＋Δx－fx 都有导数，导数值记为 f′(x)：f′(x)＝Δt→0 ， Δx 则 f′(x) 也简称为导数． 是关于 x 的函数， f′(x)为 f(x)的导函数， 称 通常 处
4 ＝(x )′＝－ 5 x
－4
(3) (4)
利用(ax)′＝axln a 得(2x)′＝2xln 2 1 1 利用(logax)′＝xln a得(log2x)′＝xln 2
1.求下列函数的导数 3π (1)y＝sin ；(2)y＝log27； 4 1 (3)y＝x ；(4)y＝ 2. x
10
解析：
－
• ◎求曲线f(x)＝2x在点(0,1)处的切线方程． • 【错解】 ∵f′(x)＝(2x)′＝2x， • ∴f′(0)＝20＝1，即k＝1. • ∴所求切线方程为y＝x＋1.
• 【错因】 若所求切线方程为y＝x＋1，而f(x)
＝2x 与y＝x＋1均过定点(0,1)与(1,2)，此时f(x) ＝2x与y＝x＋1在点(0,1)和(1,2)处均相交，但并 不相切．上面的解法错用了导数公式(ax)′＝ axlna，特别地，只有当a＝e时，才有(ex)′＝ex 成立． • 【正解】 ∵f(x)＝2x，∴f′(x)＝2xln2，f′(0)＝ ln2. • ∴所求切线的方程为y＝xln 2＋1.