新高中数学4-1圆的方程4-1-2圆的一般方程课时作业新人教A版必修2
高中数学圆与方程411圆的标准方程课时作业新人教A版必修2
圆的标准方程【选题明细表】知识点、方法题号圆的标准方程1、 3、 4、 8、 11点与圆的地点关系2、 5、 6、 12圆的标准方程的应用7、 9、10基础牢固1. 圆 (x-3)2+(y+2) 2=13 的周长是 (B)(A)π(B)2π(C)2π(D)2π分析 : 由圆的标准方程可知, 其半径为,周长为 2π . 应选 B.2. 点 P(m,5) 与圆 x2+y2=24 的地点关系是 ( A)(A) 在圆外(B) 在圆内(C) 在圆上(D) 不确立分析 : 把 P(m,5) 代入 x2+y2=24, 得 m2+25>24. 所以点 P 在圆外 , 应选 A.3.(2015兰州 55 中期末 ) 已知圆心为 C(6,5), 且过点B(3,6) 的圆的方程为 ( A )(A)(x-6)2+(y-5)2=10(B)(x+6)2+(y+5) 2=10(C)(x-5)2+(y-6)2=10(D)(x+5)2+(y+6) 2=10分析 : 易知 r=CB==22应选 A. , 所以圆的方程为 (x-6) +(y-5)=10,4.(2014高考福建卷 ) 已知直线l 过圆 x2+(y-3)2=4 的圆心 , 且与直线 x+y+1=0 垂直 , 则 l 的方程是( D)(A)x+y-2=0(B)x-y+2=0(C)x+y-3=0(D)x-y+3=0分析 : 由直线 l与直线 x+y+1=0 垂直 , 可设直线 l 的方程为 x-y+m=0.又直线 l过圆 x2+(y-3)2=4 的圆心 (0,3),则 m=3,所以直线 l 的方程为 x-y+3=0,应选 D.5. 圆 x2+y2=1 上的点到点M(3,4) 的距离的最小值是 ( B )(A)1(B)4(C)5(D)6分析 : 圆心 (0,0)到点 M(3,4)的距离为=5. 故所求距离的最小值为5-1=4. 应选 B.6. 若原点在圆 (x-1) 2+(y+2) 2 =m的内部 , 则实数 m的取值范围是.分析 : 由题意得 (0-1) 2+(0+2)2<m,所以 m>5.答案 :(5,+∞ )7.(2014高考陕西卷) 若圆 C 的半径为1, 其圆心与点(1,0)关于直线y=x对称,则圆 C 的标准方程为.分析 : 由圆 C 的圆心与点1, 所以圆 C的标准方程为(1,0) 关于直线22x +(y-1)=1.y=x对称,得圆 C 的圆心为(0,1).又由于圆 C 的半径为答案 :x 2 +(y-1) 2=18. 求圆+(y+1) 2= 关于直线x-y+1=0 对称的圆的方程.解 : 圆+(y+1) 2= 的圆心为M, 半径 r= . 设所求圆的圆心为(m,n),由于它与关于直线x-y+1=0 对称 , 所以解得所以所求圆的圆心坐标为, 半径 r=.所以对称圆的方程是(x+2)2= .+能力提高9.(2015 青岛一中联考 ) 若直线 x+y-3=0一直均分圆 (x-a) 2+(y-b)2=2 的周长 , 则 a+b 等于( A)(A)3(B)2(C)5(D)1分析 : 由题可知 , 圆心 (a,b)在直线 x+y-3=0 上,所以 a+b-3=0, 即 a+b=3, 应选 A.10. 已知两点 A(-1,0),B(0,2),点 P 是圆 (x-1) 2+y2=1 上任意一点 , 则△ PAB面积的最大值与最小值分别是(B)(A)2,(4-)(B)(4+),(4-) (C) ,4-(D) (+2), ( -2)分析 : 点 A(-1,0),B(0,2)所在的直线方程为 2x-y+2=0,圆 (x-1)22的圆心到直线的距离为+y =1=,又AB=, 所以△ PAB面积的最大值为××= (4+ ), 最小值为××= (4-),选B.11. 已知圆分析:设圆C 经过 A(5,1),B(1,3)两点,圆心在222C 的方程为 (x-a) +y =r ,x 轴上 , 则圆 C 的方程为.则解得22所以圆 C 的方程为 (x-2) +y =10.22答案 :(x-2) +y =10研究创新12. 已知 x 和 y 满足 (x+1) 2+y2= , 求 x2+y2的最值 .解 : 据题意知 x2+y2表示圆上的点到坐标原点距离的平方 , 明显当圆上点与坐标原点的距离获得最大值和最小值时 , 其平方也相应获得最大值和最小值 .原点 O(0,0) 到圆心 C(-1,0)的距离d=1,故圆上的点到坐标原点的最大距离为1+ = , 最小距离为 1- = . 所以 x2+y2的最大值和最小值分别为和.。
2021年高中数学 4.1.1 圆的标准方程课时练 新人教A版必修2
2021年高中数学 4.1.1 圆的标准方程课时练新人教A版必修2一、选择题1．已知A(－4，－5)、B(6，－1)，则以线段AB为直径的圆的方程是( )A．(x＋1)2＋(y－3)2＝29 B．(x－1)2＋(y＋3)2＝29C．(x＋1)2＋(y－3)2＝116 D．(x－1)2＋(y＋3)2＝1162．与圆C：(x－1)2＋y2＝36同圆心，且面积等于圆C面积的一半的圆的方程为( )A．(x－1)2＋y2＝18 B．(x－1)2＋y2＝9C．(x－1)2＋y2＝6 D．(x－1)2＋y2＝33．点P(5a＋1,12a)在圆(x－1)2＋y2＝1的内部，则a的取值范围是( )A．|a|<1 B．a<113C．|a|<15D．|a|<1134．圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程是( ) A．x2＋(y－2)2＝1 B．x2＋(y＋2)2＝1C．(x－1)2＋(y－3)2＝1 D．x2＋(y－3)2＝15．过点C(－1,1)和D(1,3)，圆心在x轴上的圆的方程为( ) A．x2＋(y－2)2＝10 B．x2＋(y＋2)2＝10C．(x＋2)2＋y2＝10 D．(x－2)2＋y2＝106．已知M(x，y)是圆x2＋y2＝1上任意一点，则yx＋2的取值范围是( )C.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－33∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫33，＋∞ D ．(－∞，－3]∪[3，＋∞) 二、填空题7.点P （m ，5）与圆x+y=24的位置关系是8.圆（x+2）+y=5关于原点（0，0）对称的圆的方程是三、解答题9．圆心在直线2x －y －7＝0上的圆C 与y 轴交于两点A (0，－4)，B (0，－2)，求圆C 方程.10．已知圆的半径为10，圆心在直线y ＝2x 上，圆截直线x －y ＝0所得的弦长为42，求圆的方程．yO30034 7552 畒]29672 73E8 珨34052 8504 蔄35923 8C53 豓k^C26462 675E 杞 26100 65F4 旴332351 7E5F 繟。
高中数学 412 圆的一般方程课时作业 A必修2 试题(共4页)
新田(xīn tián)一中高中数学必修二课时作业：4.1.2 圆的一般方程根底达标1．将圆x2＋y2－2x－4y＋1＝0平分的直线是( )．A．x＋y－1＝0 B．x＋y＋3＝0C．x－y＋1＝0 D．x－y＋3＝0解析根据圆心在直线上求解．因为圆心是(1，2)，所以将圆心坐标代入各选项验证知选C.答案 C2．假如方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)所表示的曲线关于y＝x对称，那么必有( )．A．D＝E B．D＝FC．E＝F D．D＝E＝F解析由D2＋E2－4F＞0，可知方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的曲线为圆．假设圆关于y＝x对称，那么知该圆的圆心在直线y＝x上，那么必有D＝E.答案 A3．在△ABC中，假设顶点B、C的坐标分别是(－2，0)和(2，0)，中线AD的长度是3，那么点A的轨迹方程是( )．A．x2＋y2＝3 B．x2＋y2＝4C．x2＋y2＝9(y≠0) D．x2＋y2＝9(x≠0)解析中点D(0，0)，由于|AD|为定长3，所以A点在以D为圆心，3为半径的圆上，选C.答案(dá àn) C4．定点A (a ，2)在圆x 2＋y 2－2ax －3y ＋a 2＋a ＝0的外部，那么a 的取值范围为________．解析 ∵点A 在圆外，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋4－2a 2－3×2＋a 2＋a ＞0，〔－2a 〕2＋〔－3〕2－4〔a 2＋a 〕＞0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＞2，a ＜94，即2＜a ＜94，∴a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫2，94. 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，94 5．假如圆的方程为x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0，那么当圆面积最大时，圆心为________．解析 将方程配方得⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋k 22＋(y ＋1)2＝－34k 2r 2＝1－34k 2＞0，∴r max ＝1，此时k ＝0.∴圆心为(0，－1)． 答案 (0，－1)6．圆x 2＋y 2－4x ＋3＝0那么x 2＋y 2的最大值是________．解析 圆的方程为(x －2)2＋y 2＝1，圆心坐标是(2，0)，x 2＋y 2表示圆上的点(x ，y )到原点的间隔 ，故其最大值为2＋1＝3，从而x 2＋y 2的最大值是9. 答案 97．(1)定长为4的线段AB 的两个端点A ，B 分别在x 轴和y 轴上滑动，求线段AB 的中点M 的轨迹．(2)如下图，两根杆分别绕着定点A 和B (AB ＝2a )在平面内转动，并且转动时两杆保持互相垂直，求杆的交点P 的轨迹方程．解 (1)设线段AB 的中点为M (x ，y )，那么A (2x ，0)，B (0，2y )，由|AB |＝4，所以〔2x 〕2＋〔2y 〕2＝4， 化简得x 2＋y 2＝4，所以(suǒyǐ)，线段AB 的中点的轨迹是以原点O 为圆心，2为半径的圆． (2)如图，以AB 所在直线为x 轴，以线段AB 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系，那么A (－a ，0)，B (a ，0)． 设P (x ，y )，因为PA ⊥PB ， 所以yx ＋a ·yx －a＝－1(x ≠±a )．化简，得x 2＋y 2＝a 2(x ≠±a )．当x ＝±a 时，点P 与A 或者B 重合，此时y ＝0，满足上式． 故点P 的轨迹方程是x 2＋y 2＝a 2.才能提升8．(2021·高一检测)设A 为圆(x －1)2＋y 2＝1上的动点，PA 是圆的切线且|PA |＝1，那么P 点的轨迹方程是( )．A ．(x －1)2＋y 2＝4 B ．(x －1)2＋y 2＝2 C ．y 2＝2xD ．y 2＝－2x解析 由题意知，圆心(1，0)到P 点的间隔 为2，所以点P 在以(1，0)为圆心，以2为半径的圆上，所以点P 的轨迹方程是(x －1)2＋y 2＝2，应选B. 答案 B9．两定点A (－2，0)，B (1，0)，假如动点P 满足|PA |＝2|PB |，那么点P 的轨迹所包围的图形的面积等于________．解析 设动点轨迹坐标为(x ，y )，那么由|PA |＝2|PB |，知〔x ＋2〕2＋y 2＝2〔x －1〕2＋y 2，化简得(x －2)2＋y 2＝4，得轨迹曲线为以(2，0)为圆心，以2为半径的圆，该圆面积为4π. 答案 4π10．自点A (4，0)引圆x 2＋y 2＝4的割线ABC ，求弦BC 中点P 的轨迹方程．解 法一 设坐标(zuòbiāo)原点为O ，连接OP ，那么OP ⊥BC . 设P (x ，y )，当x ≠0时，k OP ·k AP ＝－1，即y x ·y x －4＝－1，即x 2＋y 2－4x ＝0.①当x ＝0时，P 点坐标为(0，0)，是方程①的解，所以弦BC 中点P 的轨迹方程为x 2＋y 2－4x ＝0(在圆内局部)．法二 由法一知OP ⊥AP ，取OA 中点M ，那么M (2，0)，|PM |＝12|OA |＝2.由圆的定义知，P 点轨迹是以M (2，0)为圆心，2为半径长的圆，故所求的轨迹方程为(x －2)2＋y 2＝4(在圆内局部)．内容总结。
2019-2020高中数学4-1圆的方程4-1-2圆的一般方程课时作业新人教A版必修2
(1)求实数m的取值范围；
(2)求该圆的半径r的取值范围；
(3)求圆心C的轨迹方程．
[解析](1)要使方程表示圆，则
4(m＋3)2＋4(1－4m2)2－4(16m4＋9)＞0，
即4m2＋24m＋36＋4－32m2＋64m4－64m4－36＞0，
[解析]解法一：由方程x2＋y2－4mx＋2my＋20m－20＝0，
可知D＝－4m，E＝2m，F＝20m－20，
∴D2＋E2－4F＝16m2＋4m2－80m＋80＝20(m－2)2，因此，当m＝2时，D2＋E2－4F＝0，它表示一个点，当m≠2时，D2＋E2－4F>0，原方程表示圆的方程，此时，圆的圆心为(2m，－m)，半径为r＝ ＝ |m－2|.
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编 辑：__________________
时 间：__________________
第四章 4.1 4.1.2 圆的一般方程
A级 基础巩固
一、选择题
1．圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标是 ( D )
A．(2,3)B．(－2,3)C．(－2，－3)D．(2，－3)
[解析]配方得(x＋a)2＋(y－ )2＝a2＋ －c，
由条件知 ∴
3．(20xx～20xx·长沙高一检测)已知圆C过点M(1,1)，N(5,1)，且圆心在直线y＝x－2上，则圆C的方程为 ( A )
A．x2＋y2－6x－2y＋6＝0B．x2＋y2＋6x－2y＋6＝0
C．x2＋y2＋6x＋2y＋6＝0D．x2＋y2－2x－6y＋6＝0
所以(a－2)2＋(b－2)2的最小值为5.
高中数学第四章圆与方程4.1.2圆的一般方程课时作业含解析新人教A版必修2
4.1.2 圆的一般方程[基础巩固](25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．如果x 2＋y 2－2x ＋y ＋k ＝0是圆的方程，则实数k 的取值范围是( ) A ．(－∞，5) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，54 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，32 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞解析：由(－2)2＋12－4k >0，得k <54.答案：B2．经过圆x 2＋2x ＋y 2＝0的圆心C ，且与直线x ＋y ＝0垂直的直线方程是( ) A ．x －y ＋1＝0 B ．x －y －1＝0 C ．x ＋y －1＝0 D ．x ＋y ＋1＝0解析：x 2＋2x ＋y 2＝0可化为(x ＋1)2＋y 2＝1， ∴圆心为C (－1,0)．又所求直线与直线x ＋y ＝0垂直， ∴所求直线的斜率为1， 故所求直线的方程为y ＝x ＋1， 即x －y ＋1＝0. 答案：A3．方程(x 2－4)2＋(y 2－4)2＝0表示的图形是( ) A ．两个点 B ．四个点 C ．两条直线 D ．四条直线 解析：方程(x 2－4)2＋(y 2－4)2＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－4＝0，y 2－4＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4，y 2＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝－2.所以方程(x 2－4)2＋(y 2－4)2＝0表示的图形是(2,2)，(－2,2)，(2，－2)，(－2，－2)四个点．答案：B4．已知圆C ：x 2＋y 2＋mx －4＝0上存在两点关于直线x －y ＋3＝0对称，则实数m 的值为( )A ．8B ．－4C ．6D ．无法确定解析：圆上存在关于直线x －y ＋3＝0对称的两点，则直线x －y ＋3＝0过圆心⎝ ⎛⎭⎪⎫－m2，0，即－m2＋3＝0，∴m ＝6.答案：C5．若圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0的圆心到直线x －y ＋a ＝0的距离为22，则a 的值为( ) A ．－2或2 B.12或32C ．2或0D ．－2或0解析：配方得(x －1)2＋(y －2)2＝5，圆心为(1,2)，圆心到直线的距离d ＝|1－2＋a |2＝22，所以a ＝2或0，故选C. 答案：C二、填空题(每小题5分，共15分)6．在平面直角坐标系中，经过三点(0,0)，(1,1)，(2,0)的圆的方程为________________． 解析：本题主要考查圆的方程．易知以(0,0)，(1,1)，(2,0)为顶点的三角形为等腰直角三角形，其外接圆的圆心为(1,0)，半径为1，所以所求圆的方程为(x －1)2＋y 2＝1.答案：(x －1)2＋y 2＝17．若l 是经过点P (－1,0)和圆x 2＋y 2＋4x －2y ＋3＝0的圆心的直线，则l 在y 轴上的截距是________．解析：圆心C (－2,1)，则直线l 的斜率k ＝1－0－2＋1＝－1，所以直线l 的方程是y －0＝－(x ＋1)，即y ＝－x －1，所以l 在y 轴上的截距是－1.答案：－18．过圆x 2＋y 2－6x ＋4y －3＝0的圆心，且平行于直线x ＋2y ＋11＝0的直线的方程是________________________．解析：由题意知圆心为(3，－2)，设所求直线的方程为x ＋2y ＋m ＝0(m ≠11)，将圆心(3，－2)代入，得3－4＋m ＝0，∴m ＝1，故所求直线的方程为x ＋2y ＋1＝0.答案：x ＋2y ＋1＝0三、解答题(每小题10分，共20分)9．求经过点A (6,5)，B (0,1)，且圆心在直线3x ＋10y ＋9＝0上的圆的方程．解析：设圆的方程是x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则其圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E2，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧62＋52＋6D ＋5E ＋F ＝0，02＋12＋0×D ＋1×E ＋F ＝0，3·⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2＋10·⎝ ⎛⎭⎪⎫－E 2＋9＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧6D ＋5E ＋F ＝－61，E ＋F ＝－1，3D ＋10E ＝18，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－14，E ＝6，F ＝－7.因此圆的方程是x 2＋y 2－14x ＋6y －7＝0.10．若方程x 2＋y 2＋2mx －2y ＋m 2＋5m ＝0表示圆，求： (1)实数m 的取值范围； (2)圆心坐标和半径． 解析：(1)据题意知D 2＋E 2－4F ＝(2m )2＋(－2)2－4(m 2＋5m )>0，即4m 2＋4－4m 2－20m >0，解得m <15，故m 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫－∞，15. (2)将方程x 2＋y 2＋2mx －2y ＋m 2＋5m ＝0写成标准方程为(x ＋m )2＋(y －1)2＝1－5m ， 故圆心坐标为(－m,1)，半径r ＝1－5m .[能力提升](20分钟，40分)11．[2019·北京市综合能力测试]已知圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝1过点A (1,0)，则圆C 的圆心的轨迹是( )A ．点B ．直线C ．线段D ．圆解析：∵圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝1过点A (1,0)， ∴(1－a )2＋(0－b )2＝1，即(a －1)2＋b 2＝1，∴圆C 的圆心的轨迹是以(1,0)为圆心，1为半径长的圆． 答案：D12．如果圆的方程为x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0，那么当圆面积最大时，该圆的方程为____________．解析：将圆的方程配方，得⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋k 22＋(y ＋1)2＝－34k 2＋1，∵r 2＝1－34k 2≤1，∴r max ＝1，此时k ＝0.故圆的方程为x 2＋(y ＋1)2＝1. 答案：x 2＋(y ＋1)2＝113．求经过点A (1，5)和B (2，－22)，且圆心在x 轴上的圆的方程． 解析：设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)． 因为圆心在x 轴上，所以－E2＝0，即E ＝0.又圆过点A (1，5)和B (2，－22)，所以⎩⎨⎧12＋52＋D ＋F ＝0，22＋－222＋2D ＋F ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧D ＋F ＋6＝0，2D ＋F ＋12＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－6，F ＝0.故所求圆的方程为x 2＋y 2－6x ＝0.14．已知线段AB 的端点B 的坐标为(8,6)，端点A 在圆C ：x 2＋y 2＋4x ＝0上运动，求线段AB 的中点P 的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么．解析：设点P 的坐标为(x ，y )，点A 的坐标为(x 0，y 0)，由于点B 的坐标为(8,6)，且P 为线段AB 的中点，∴x ＝x 0＋82，y ＝y 0＋62，于是有x 0＝2x －8，y 0＝2y －6.∵点A 在圆C 上运动，∴点A 的坐标满足方程x 2＋y 2＋4x ＝0， 即x 20＋y 20＋4x 0＝0，∴(2x －8)2＋(2y －6)2＋4(2x －8)＝0，化简整理，得x 2＋y 2－6x －6y ＋17＝0，即(x －3)2＋(y －3)2＝1，∴点P 的轨迹是以(3,3)为圆心，1为半径长的圆．。
高中数学 第四章 圆与方程 4.1.2 圆的一般方程教案 新人教A版必修2-新人教A版高一必修2数学
圆的一般方程
例3 点P(10,0),Q 为圆x 2+y 2
=16上一动点.当Q 在圆上运动时,求PQ 的中点M 的轨迹方程.
活动:学生回想求曲线方程的方法与步骤,思考讨论,教师适时点拨提示,此题可利用平面几何的知识,见中点作中线,利用中线定长可得方程,再就是利用求曲线方程的办法来求.
图1
解法一:如图1,作MN∥OQ 交x 轴于N, 那么N 为OP 的中点,即N(5,0). 因为|MN|=
2
1
|OQ|=2(定长). 所以所求点M 的轨迹方程为(x-5)2
+y 2
=4.
点评:用直接法求轨迹方程的关键在于找出轨迹上的点应满足的几何条件,然后再将条件代数化.但在许多问题中,动点满足的几何条件较为隐蔽复杂,将它翻译成代数语言时也有困难,这就需要我们探讨求轨迹问题的新方法.转移法就是一种很重要的方法.用转移法求轨迹方程时,首先分析轨迹上的动点M 的运动情况,探求它是由什么样的点控制的. 解法二:设M(x,y)为所求轨迹上任意一点Q(x 0,y 0).
因为M 是PQ 的中点,所以⎪⎩⎪⎨⎧=-=⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧+=+=.2.102,20,2100000y y x x y y x x 即(*) 又因为Q(x 0,y 0)在圆x 2
+y 2
=16上,所以x 02
+y 02
=16.将(*)代入得 (2x-10)2
+(2y)2
=16.
故所求的轨迹方程为(x-5)2
+y 2
=4.
点评:相关点法步骤:①设被动点M(x,y),主动点Q(x 0,y 0).
②求出点M 与点Q 坐标间的关系⎪⎩⎪⎨⎧==).
,(),
,(002001y x f y y x f x (Ⅰ)。
高中数学第四章圆与方程4.1.1圆的标准方程课时作业新人教A版必修2
4.1.1 圆的标准方程选题明细表知识点、方法题号圆的标准方程1,2,7,8,12 点与圆的位置关系3,6,10圆的标准方程的应用4,5,9,11,13基础巩固1.方程|x|-1=所表示的曲线是( D )(A)一个圆(B)两个圆(C)半个圆(D)两个半圆解析:由题意,得即或故原方程表示两个半圆.故选D.2.圆心为(1,-2),半径为3的圆的方程是( D )(A)(x+1)2+(y-2)2=9(B)(x-1)2+(y+2)2=3(C)(x+1)2+(y-2)2=3(D)(x-1)2+(y+2)2=9解析:由题意可知,圆的方程为(x-1)2+(y+2)2=9,故选D.3.点P(m2,5)与圆x2+y2=24的位置关系是( B )(A)在圆内(B)在圆外(C)在圆上(D)不确定解析:因为|PO|=>,所以P在圆外.故选B.4.圆(x-1)2+(y-1)2=1上的点到直线x-y=2的距离的最大值是( B )(A)2 (B)1+(C)2+(D)1+2解析:圆(x-1)2+(y-1)2=1的圆心为(1,1),圆心到直线x-y=2的距离为=,圆心到直线的距离加上半径就是圆上的点到直线的最大距离,即最大距离为1+.故选B.5.若实数x,y满足(x+5)2+(y-12)2=142,则x2+y2的最小值为( B )(A)2 (B)1 (C)(D)解析:x2+y2表示圆上的点(x,y)与(0,0)间距离的平方,由几何意义可知最小值为14-=1.故选B.6.若点P(-1,)在圆x2+y2=m2上,则实数m= .解析:因为P点在圆x2+y2=m2上,所以(-1)2+()2=4=m2,所以m=±2.答案:±27.(2018·江苏淮安高一期末)过两点A(0,1),B(2,3),且圆心在直线x+2y-2=0上的圆的标准方程为.解析:因为圆心在直线x+2y-2=0上,故可设圆心C(2-2b,b).因为圆过两点A(0,1),B(2,3),所以r=CA=CB,所以(2-2b)2+(b-1)2=(2-2b-2)2+(b-3)2,求得b=-1,所以圆心C(4,-1),半径r=CA=,所以圆的标准方程为(x-4)2+(y+1)2=20.答案:(x-4)2+(y+1)2=208.圆过点A(1,-2),B(-1,4),求(1)周长最小的圆的方程;(2)圆心在直线2x-y-4=0上的圆的方程.解:(1)当AB为直径时,过A,B的圆的半径最小,从而周长最小.即AB中点(0,1)为圆心,半径r=|AB|=.则圆的方程为:x2+(y-1)2=10.(2)AB的斜率为k=-3,则AB的垂直平分线的方程是y-1=x.即x-3y+3=0,由得即圆心坐标是C(3,2).r=|AC|==2.所以圆的方程是(x-3)2+(y-2)2=20.能力提升9.若直线y=ax+b通过第一、二、四象限,则圆(x+a)2+(y+b)2=1的圆心位于( D )(A)第一象限 (B)第二象限(C)第三象限 (D)第四象限解析:(-a,-b)为圆的圆心,由直线经过第一、二、四象限,得到a<0,b>0,即-a>0,-b<0,再由各象限内点的坐标的性质得解.故选D.10.若点(2a,a-1)在圆x2+(y+1)2=5的内部,则a的取值范围是( B )(A)(-∞,1] (B)(-1,1)(C)(2,5) (D)(1,+∞)解析:点(2a,a-1)在圆x2+(y+1)2=5的内部,则(2a)2+a2<5,解得-1<a<1.故选B.11.已知实数x,y满足y=,则t=的取值范围是.解析:y=表示上半圆,t可以看作动点(x,y)与定点(-1,-3)连线的斜率.如图:A(-1,-3),B(3,0),C(-3,0),则k AB=,k AC=-,所以t≤-或t≥.答案:(-∞,-]∪[,+∞)12.已知一个圆C:(x+2)2+(y-6)2=1和一条直线l:3x-4y+5=0,求圆关于直线l对称的圆的方程. 解:圆C:(x+2)2+(y-6)2=1的圆心为C(-2,6),设所求圆C′的方程为(x-a)2+(y-b)2=1,半径与圆C半径相等,其圆心为C′(a,b).因为点C和点C′关于直线l:3x-4y+5=0对称,所以点C和点C′的中点M(,)在直线l上.所以3·-4·+5=0,即3a-4b-20=0.①因为CC′⊥l,所以·=-1,即4a+3b-10=0.②联立①②,解得a=4,b=-2.故所求圆C′的方程为(x-4)2+(y+2)2=1.探究创新13.已知圆C的圆心坐标为C(x0,x0),且过定点P(4,2).(1)求圆C的方程(用含x0的方程表示);(2)当x0为何值时,圆C的面积最小?并求出此时圆C的标准方程.解:(1)由题意,设圆C的方程为(x-x0)2+(y-x0)2=r2(r≠0).因为圆C过定点P(4,2),所以(4-x0)2+(2-x0)2=r2(r≠0).所以r2=2-12x0+20.所以圆C的方程为(x-x0)2+(y-x0)2=2-12x0+20.(2)因为(x-x0)2+(y-x0)2=2-12x0+20=2(x0-3)2+2,所以当x0=3时,圆C的半径最小,即面积最小.此时圆C的标准方程为(x-3)2+(y-3)2=2.。
高中数学第四章圆与方程4-1-2圆的一般方程课件新人教A版必修2
一个点;
当m≠2时,原方程表示圆,
此时,圆的圆心为(2m,-m),
1
半径为 r=
2
2 + 2 -4 = √5|m-2|.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
解法二原方程可化为(x-2m)2+(y+m)2=5(m-2)2,
2
2
一个点 - 2 ,- 2 ;当 D2+E2-4F<0 时,方程没有实数解,因而它不表示任
何图形.
一
二
3.填空:
当D2+E2-4F>0时,方程x2+y2+Dx+Ey+F=0叫做圆的一般方程,
2
2
其中圆心为 - ,-
1
,半径为
2
2 + 2 -4.
4.做一做:
(1)圆x2+y2-6x=0的圆心坐标是
2.把x2+y2+Dx+Ey+F=0配方后,将得到怎样的方程?这个方程是
不是就一定表示圆?
2
提示:得到的方程为 + 2
2
+ ư+E2-4F>0 时,该方程表示以 - ,-
=
2 + 2 -4
4
1
为圆心,
2
.
2 + 2 -4
为半径的圆;当 D +E -4F=0 时,方程只有实数解 x=- 2 ,y=-2 ,即只表示
思路分析:由条件知,所求圆的圆心、半径均不明确,故设出圆的一
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新高中数学4-1圆的方程4-1-2圆的一般方程课时作业新人教A 版必修24.1.2 圆的一般方程A 级 基础巩固一、选择题1．圆x 2＋y 2－4x ＋6y ＝0的圆心坐标是 ( D ) A ．(2,3)B ．(－2,3)C ．(－2，－3)D ．(2，－3)[解析] 圆的一般程化成标准方程为(x －2)2＋(y ＋3)2＝13，可知圆心坐标为(2，－3)． 2．(2016～2017·曲靖高一检测)方程x 2＋y 2＋2ax －by ＋c ＝0表示圆心为C (2,2)，半径为2的圆，则a ，b ，c 的值依次为 ( A )A ．－2,4,4B ．－2，－4,4C ．2，－4,4D ．2，－4，－4[解析] 配方得(x ＋a )2＋(y －b2)2＝a 2＋b 24－c ，由条件知⎩⎪⎨⎪⎧－a ＝2，b 2＝2，a 2＋b 24－c ＝2.∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝4，c ＝4.3．(2016～2017·长沙高一检测)已知圆C 过点M (1,1)，N (5,1)，且圆心在直线y ＝x －2上，则圆C 的方程为 ( A )A ．x 2＋y 2－6x －2y ＋6＝0 B ．x 2＋y 2＋6x －2y ＋6＝0 C ．x 2＋y 2＋6x ＋2y ＋6＝0D ．x 2＋y 2－2x －6y ＋6＝0[解析] 由条件知，圆心C 在线段MN 的中垂线x ＝3上，又在直线y ＝x －2上，∴圆心C (3,1)，半径r ＝|MC |＝2.方程为(x －3)2＋(y －1)2＝4，即x 2＋y 2－6x －2y ＋6＝0. 故选A ．4．设圆的方程是x 2＋y 2＋2ax ＋2y ＋(a －1)2＝0，若0<a <1，则原点与圆的位置关系是 ( B )A ．在圆上B ．在圆外C ．在圆内D ．不确定[解析] 将原点坐标(0,0)代入圆的方程得(a －1)2， ∵0<a <1，∴(a －1)2>0，∴原点在圆外．5．若圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0的圆心到直线x －y ＋a ＝0的距离为22，则a 的值为 ( C )A ．－2或2B ．12或32C ．2或0D ．－2或0[解析] 化圆的标准方程为(x －1)2＋(y －2)2＝5，则由圆心(1,2)到直线x －y ＋a ＝0距离为22，得|1－2＋a |2＝22，∴a ＝2或0. 6．圆x 2＋y 2－2y －1＝0关于直线y ＝x 对称的圆的方程是 ( A ) A ．(x －1)2＋y 2＝2 B ．(x ＋1)2＋y2＝2C ．(x －1)2＋y 2＝4D ．(x ＋1)2＋y2＝4[解析] 圆x 2＋y 2－2y －1＝0的圆心坐标为(0,1)，半径r ＝2，圆心(0,1)关于直线y ＝x 对称的点的坐标为(1,0)，故所求圆的方程为(x －1)2＋y 2＝2.二、填空题7．圆心是(－3,4)，经过点M (5,1)的圆的一般方程为__x 2＋y 2＋6x －8y －48＝0__. [解析] 只要求出圆的半径即得圆的标准方程，再展开化为一般式方程．8．设圆x 2＋y 2－4x ＋2y －11＝0的圆心为A ，点P 在圆上，则PA 的中点M 的轨迹方程是__x 2＋y 2－4x ＋2y ＋1＝0__.[解析] 设M (x ，y )，A (2，－1)，则P (2x －2,2y ＋1)，将P 代入圆方程得：(2x －2)2＋(2y ＋1)2－4(2x －2)＋2(2y ＋1)－11＝0，即为：x 2＋y 2－4x ＋2y ＋1＝0.三、解答题9．判断方程x 2＋y 2－4mx ＋2my ＋20m －20＝0能否表示圆，若能表示圆，求出圆心和半径.[解析] 解法一：由方程x 2＋y 2－4mx ＋2my ＋20m －20＝0， 可知D ＝－4m ，E ＝2m ，F ＝20m －20，∴D 2＋E 2－4F ＝16m 2＋4m 2－80m ＋80＝20(m －2)2，因此，当m ＝2时，D 2＋E 2－4F ＝0，它表示一个点，当m ≠2时，D 2＋E 2－4F >0，原方程表示圆的方程，此时，圆的圆心为(2m ，－m )，半径为r ＝12D 2＋E 2－4F ＝5|m －2|. 解法二：原方程可化为(x －2m )2＋(y ＋m )2＝5(m －2)2，因此，当m ＝2时，它表示一个点，当m ≠2时，原方程表示圆的方程．此时，圆的圆心为(2m ，－m )，半径为r ＝5|m －2|. 10．求过点A (－1,0)、B (3,0)和C (0,1)的圆的方程. [解析] 解法一：设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(*)把A 、B 、C 三点坐标代入方程(*)得 ⎩⎪⎨⎪⎧1－D ＋F ＝09＋3D ＋F ＝01＋E ＋F ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－2E ＝2F ＝－3.故所求圆的方程为x 2＋y 2－2x ＋2y －3＝0解法二：线段AB 的中垂线方程为x ＝1，线段AC 的中垂线方程为x ＋y ＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1x ＋y ＝0，得圆心坐标为M (1，－1)，半径r ＝|MA |＝5，∴圆的方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝5.B 级 素养提升一、选择题1．若圆x 2＋y 2－2ax ＋3by ＝0的圆心位于第三象限，那么直线x ＋ay ＋b ＝0一定不经过 ( D )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限[解析] 圆x 2＋y 2－2ax ＋3by ＝0的圆心为(a ，－32b )，则a <0，b >0.直线y ＝－1a x －b a ，其斜率k ＝－1a >0，在y 轴上的截距为－ba>0，所以直线不经过第四象限，故选D ．2．在圆x 2＋y 2－2x －6y ＝0内，过点E (0,1)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面只为 ( B )A ．5 2B ．10 2C ．15 2D ．20 2[解析] 圆x 2＋y 2－2x －6y ＝0化成标准方程为(x －1)2＋(y －3)2＝10，则圆心坐标为M (1,3)，半径长为10.由圆的几何性质可知：过点E 的最长弦AC 为点E 所在的直径，则|AC |＝210.BD 是过点E 的最短弦，则点E 为线段BD 的中点，且AC ⊥BD ，E 为AC 与BD 的交点，则由垂径定理可是|BD |＝2|BM |2－|ME |2＝210－－2＋－2]＝2 5.从而四边形ABCD 的面积为12|AC ||BD |＝12×210×25＝10 2.3．若点(2a ，a －1)在圆x 2＋y 2－2y －5a 2＝0的内部，则a 的取值范围是 ( D ) A ．(－∞，45]B ．(－43，43)C ．(－34，＋∞)D ．(34，＋∞)[解析] 化圆的标准方程为x 2＋(y －1)2＝5a 2＋1，点(2a ，a －1)的圆的内部，则(2a )2＋(a －1－1)2＜5a 2＋1，解得a ＞34.4．若直线l ：ax ＋by ＋1＝0始终平分圆M ：x 2＋y 2＋4x ＋2y ＋1＝0的周长，则(a －2)2＋(b －2)2的最小值为 ( B )A ． 5B ．5C ．2 5D ．10[解析] 由题意，得直线l 过圆心M (－2，－1)， 则－2a －b ＋1＝0，则b ＝－2a ＋1，所以(a －2)2＋(b －2)2＝(a －2)2＋(－2a ＋1－2)2＝5a 2＋5≥5， 所以(a －2)2＋(b －2)2的最小值为5. 二、填空题5．已知圆C ：x 2＋y 2＋2x ＋ay －3＝0(a 为实数)上任意一点关于直线l ：x －y ＋2＝0的对称点都在圆C 上，则a ＝__－2__.[解析] 由题意可知直线l ：x －y ＋2＝0过圆心， ∴－1＋a2＋2＝0，∴a ＝－2.6．若实数x 、y 满足x 2＋y 2＋4x －2y －4＝0，则x 2＋y 2的最大值是__5＋3__. [解析] 关键是搞清式子x 2＋y 2的意义．实数x ，y 满足方程x 2＋y 2＋4x －2y －4＝0，所以(x ，y )为方程所表示的曲线上的动点.x 2＋y 2＝x －2＋y －2，表示动点(x ，y )到原点(0,0)的距离．对方程进行配方，得(x ＋2)2＋(y －1)2＝9，它表示以C (－2,1)为圆心，3为半径的圆，而原点的圆内．连接CO 交圆于点M ，N ，由圆的几何性质可知，MO 的长即为所求的最大值．C 级 能力拔高1．设圆的方程为x 2＋y 2＝4，过点M (0,1)的直线l 交圆于点A 、B ，O 是坐标原点，点P 为AB 的中点，当l 绕点M 旋转时，求动点P 的轨迹方程.[解析] 设点P 的坐标为(x ，y )、A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)． 因为A 、B 在圆上，所以x 21＋y 21＝4，x 22＋y 22＝4， 两式相减得x 21－x 22＋y 21－y 22＝0，所以(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＋(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝0. 当x 1≠x 2时，有x 1＋x 2＋(y 1＋y 2)·y 1－y 2x 1－x 2＝0，①并且⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1＋x 22，y ＝y 1＋y 22，y －1x ＝y 1－y 2x 1－x 2，②将②代入①并整理得x 2＋(y －12)2＝14.③当x 1＝x 2时，点A 、B 的坐标为(0,2)、(0，－2)，这时点P 的坐标为(0,0)也满足③. 所以点P 的轨迹方程为x 2＋(y －12)2＝14.2．已知方程x 2＋y 2－2(m ＋3)x ＋2(1－4m 2)y ＋16m 4＋9＝0表示一个圆. (1)求实数m 的取值范围； (2)求该圆的半径r 的取值范围； (3)求圆心C 的轨迹方程． [解析] (1)要使方程表示圆，则 4(m ＋3)2＋4(1－4m 2)2－4(16m 4＋9)＞0， 即4m 2＋24m ＋36＋4－32m 2＋64m 4－64m 4－36＞0， 整理得7m 2－6m －1＜0，解得－17＜m ＜1.(2)r ＝12m ＋2＋－4m22－m 4＋＝－7m 2＋6m ＋1＝－m －372＋167. ∴0＜r ≤477.(3)设圆心坐标为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m ＋3y ＝4m 2－1.消去m 可得(x －3)2＝14(y ＋1)．∵－17＜m ＜1，∴207＜x ＜4.故圆心C 的轨迹方程为(x －3)2＝14(y ＋1)(207＜x ＜4)．。