全等三角形经典模型总结

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全等三角形相关模型总结
一、角平分线模型
(一）角平分线的性质模型
辅助线：过点G作GE⊥射线AC
A、例题
1、如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，BC=6cm，BD=4cm，那么点D到直线AB的距离是 cm.
！
2、如图，已知，∠1＝∠2，∠3＝∠4，求证：AP平分∠BAC.
B、模型巩固
1、如图，在四边形ABCD中，BC＞AB，AD＝CD，BD平分∠ABC，求证：∠A＋∠C＝180°.
、
（二）角平分线＋垂线，等腰三角形必呈现
A、例题
辅助线：延长ED交射线OB于F 辅助线：过点E作EF∥射线OB
例1、如图，在△ABC中，∠ABC＝3∠C，AD是∠BAC的平分线，BE⊥AD于F .
求证：
1
()
2
BE AC AB
=-.
】
例2、如图，在△ABC中，∠BAC的角平分线AD交BC于点D，且AB＝AD，作CM⊥AD交AD
的延长线于M. 求证：
1
()
2
AM AB AC
=+.
@
（三）角分线，分两边，对称全等要记全
两个图形飞辅助线都是在射线ON上取点B，使OB＝OA，从而使△OAC≌△OBC .
A、例题
1、如图，在△ABC中，∠BAC=60°，∠C=40°，AP平分∠BAC交BC于P，BQ平分∠ABC交AC于Q，求证：AB＋BP＝BQ＋AQ .
|
~
2、如图，在△ABC中，AD是∠BAC的外角平分线，P是AD上异于点A的任意一点，试比较PB＋PC与AB＋AC的大小，并说明理由 .
…
B、模型巩固
1、在△ABC中，AB＞AC，AD是∠BAC的平分线，P是线段AD上任意一点（不与A重合）.求证：AB－AC＞PB－PC .
`
2、如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝100°，∠B的平分线交AC于D，
求证：AD＋BD＝BC .
【
3、如图，△ABC中，BC＝AC，∠C＝90°，∠A的平分线交BC于D，求证：AC＋CD＝AB .
`
二、等腰直角三角形模型
\
（一）旋转中心为直角顶点，在斜边上任取一点的旋转全等：
操作过程：
（1）将△ABD逆时针旋转90°，得△ACM ≌△ABD，从而推出△ADM为等腰直角三角形.（2）辅助线作法：过点C作MC⊥BC，使CM＝BD，连结AM.
（二）旋转中心为斜边中点，动点在两直角边上滚动的旋转全等：
？
操作过程：连结AD.
（1）使BF＝AE（或AF＝CE），导出△BDF ≌△ADE.
（2）使∠EDF＋∠BAC＝180°，导出△BDF ≌△ADE.
A、例题
1、如图，在等腰直角△ABC中，∠BAC＝90°，点M、N在斜边BC上滑动，且∠MAN＝45°，试探究 BM、MN、CN之间的数量关系.
[
2、两个全等的含有30°，60°角的直角三角板ADE和ABC，按如图所示放置，E、A、C三点在一条直线上，连接BD，取BD的中点M，连接ME、MC.
试判断△EMC的形状，并证明你的结论.
)
B、模型巩固
1、已知，如图所示，Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，O为BC中点，若M、N分别在线段AC、AB上移动，且在移动中保持AN＝CM.
（1）试判断△OMN的形状，并证明你的结论.
（2）当M、N分别在线段AC、AB上移动时，四边形AMON的面积如何变化
%
2、在正方形ABCD中，BE＝3，EF＝5，DF＝4，求∠BAE＋∠DCF为多少度.
.
（三）构造等腰直角三角形
（1）利用以上（一）和（二）都可以构造等腰直角三角形（略）；
（2）利用平移、对称和弦图也可以构造等腰直角三角形.
（四）将等腰直角三角形补全为正方形，如下图：
)
A、例题应用
1、如图，在等腰直角△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，P为三角形ABC内部一点，满足PB＝PC，AP＝AC，求证：∠BCP＝15° .
—
?
三、三垂直模型（弦图模型）
A、例题
已知：如图所示，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D为AC中点，AF⊥BD于点E，交BC 于F，连接DF .
求证：∠ADB＝∠CDF .
|
变式1、已知：如图所示，在△ABC中，AB＝AC，AM＝CN，AF⊥BM于E，交BC于F，连接NF .求证：（1）∠AMB＝∠CNF；（2）BM＝AF＋FN .
变式2、在变式1的基础上，其他条件不变，只是将
BM和FN分别延长交于点P，
求证：（1）PM＝PN；（2）PB＝PF＋AF .
；
四、手拉手模型
1、△ABE和△ACF均为等边三角形
结论：（1）△ABF≌△AEC .
（2）∠BOE＝∠BAE＝60° .
(
（3）OA平分∠EOF .（四点共圆证）
|
拓展：△ABC和△CDE均为等边三角形
结论：（1）AD＝BE；
（2）∠ACB＝∠AOB；
（3）△PCQ为等边三角形；
（4）PQ∥AE；
（5）AP＝BQ；
(
（6）CO平分∠AOE；（四点共圆证）
（7）OA＝OB＋OC；
（8）OE＝OC＋OD .
（（7），（8）需构造等边三角形证明）
，
-
例、如图①，点M为锐角三角形ABC内任意一点，连接AM、BM、CM．以AB为一边向外作等边三角形△ABE，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN．
#
（1）求证：△AMB≌△ENB；
（2）若AM+BM+CM的值最小，则称点M为△ABC的费尔马点．若点M为△ABC的费尔马点，试求此时∠AMB、∠BMC、∠CMA的度数；
（3）小翔受以上启发，得到一个作锐角三角形费尔马点的简便方法：如图②，分别以△ABC 的AB、AC为一边向外作等边△ABE和等边△ACF，连接CE、BF，设交点为M，则点M 即为△ABC的费尔马点．试说明这种作法的依据．
{
，
—
2、△ABD和△ACE均为等腰直角三角形结论：（1）BE＝CD；（2）BE⊥CD .
*
！
3、四边形ABEF 和四边形ACHD 均为正方形
结论：（1）BD ＝CF ；（2）BD ⊥CF .
#
变式1、四边形ABEF 和四边形ACHD 均为正方形，AS
⊥BC 交FD 于T ，
！
求证：（1）T 为FD 中点；（2）ABC ADF S
S .
/
~
变式2、四边形ABEF和四边形ACHD均为正方形，T为FD中点，TA交BC于S，求证：AS⊥BC .
￥
《`
4、如图，以△ABC的边AB、AC为边构造正多边形时，总有：
360 12180
n
︒∠=∠=︒-
<
五、半角模型
条件：
1
,+=180
2
αββθβ
=︒
且，两边相等 .
思路：1、旋转
辅助线：①延长CD到E，使ED=BM，连AE或延长CB到F，使FB=DN，连AF 《
②将△ADN绕点A顺时针旋转90°得△ABF，
注意：旋转需证F、B、M三点共线
结论：（1）MN＝BM＋DN；
（2）=2
CMN
C AB；
（3）AM、AN分别平分∠BMN、∠MND .
/。

~
2、翻折（对称）
辅助线：①作AP⊥MN交MN于点P
②将△ADN、△ABM分别沿AN、AM翻折，但一定要证明M、P、N三点共线 .
A、例题
例1、在正方形ABCD中，若M、N分别在边BC、CD上移动，且满足MN＝BM＋DN，求证：（1）∠MAN＝45°；
C AB；
（2）=2
CMN
（3）AM、AN分别平分∠BMN和∠DNM .
变式：在正方形ABCD中，已知∠MAN＝45°，若M、N分别在边CB、DC的延长线上移动，AH⊥MN，垂足为H，
（1）试探究线段MN、BM、DN之间的数量关系；
（2）求证：AB＝AH
例2、在四边形ABCD中，∠B＋∠D＝180°，AB＝AD，若E、F分别为边BC、CD上的点，且
满足EF＝BE＋DF，求证：
1
2
EAF BAD ∠=∠.
变式：在四边形ABCD中，∠B＝90°，∠D＝90°，AB＝AD，若E、F分别为边BC、CD上的
点，且
1
2
EAF BAD
∠=∠，求证：EF＝BE＋DF .。