全等三角形经典模型总结
全等三角形的相关模型总结汇总
全等的相关模型总结一、角平分线模型应用1.角平分性质模型： 辅助线：过点G 作GE ⊥射线AC（1）.例题应用：①如图1，在中ABC ∆，,cm 4,6,900==∠=∠BD cm BC CAB AD C 平分，那么点D 到直线AB 的距离是 cm.②如图2，已知，21∠=∠，43∠=∠.BAC AP ∠平分求证：.图1 图2①2 （提示：作DE ⊥AB 交AB 于点E ）②21∠=∠ ，PN PM =∴，43∠=∠ ，PQ PN =∴，BAC PA PQ PM ∠∴=∴平分,.(2).模型巩固：练习一：如图3，在四边形ABCD 中，BC>AB ，AD=CD ，BD 平分BAC ∠..求证：︒=∠+∠180C A图3练习二：已知如图4，四边形ABCD 中，..,1800BAD AC CD BC D B ∠==∠+∠平分求证：图4练习三：如图5，,,900CAB AF D AB CD ACB ABC Rt ∠⊥=∠∆平分，垂足为，中，交CD 于点E ，交CB 于点F.(1)求证：CE=CF.(2)将图5中的△ADE 沿AB 向右平移到'''E D A ∆的位置，使点'E 落在BC 边上，其他条件不变，如图6所示，是猜想：'BE 于CF 又怎样的数量关系？请证明你的结论.图5 图6练习四：如图7，90A AD BC =︒，∠∥，P 是AB 的中点，PD 平分∠ADC． 求证：CP 平分∠DCB．图7练习五：如图8，AB ＞AC ，∠A 的平分线与BC 的垂直平分线相交于D ，自D 作DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别为E ，F ．求证：BE=CF ．图8练习六：如图9所示，在△ABC 中，BC 边的垂直平分线DF 交△BAC 的外角平分线AD 于点D ，F 为垂足，DE ⊥AB 于E ，并且AB>AC 。
求证：BE －AC=AE 。
练习七： 如图10，D 、E 、F 分别是△ABC 的三边上的点，CE=BF ，且△DCE 的面积与△DBF 的面积相等，求证：AD 平分∠BAC 。
全等三角形八大基本模型
全等三角形八大基本模型摘要：一、全等三角形的概念和性质1.全等三角形的定义2.全等三角形的性质二、全等三角形的判定方法1.SSS（边-边-边）2.SAS（边-角-边）3.AAS（角-角-边）4.RHS（直角边-斜边-直角边）5.SS（边-边）三、全等三角形的应用1.几何证明2.测量问题3.实际问题四、全等三角形模型的构建1.模型一：SSS2.模型二：SAS3.模型三：AAS4.模型四：RHS5.模型五：SS6.模型六：HL（斜边-直角边）7.模型七：AA（两角-一边）8.模型八：梯形-平行四边形正文：全等三角形是几何学中一个重要的概念，指的是具有相同形状和相同大小的两个三角形。
全等三角形具有许多有趣的性质，如对应边相等、对应角相等、对应中线相等等。
在解决几何问题时，掌握全等三角形的性质和判定方法具有很高的实用价值。
全等三角形的判定方法有五种，分别是SSS（边-边-边）、SAS（边-角-边）、AAS（角-角-边）、RHS（直角边-斜边-直角边）和SS（边-边）。
这些方法各有适用范围，需要根据具体问题灵活选用。
全等三角形在几何证明、测量问题以及实际问题中都具有广泛的应用，例如，可以用全等三角形证明两个图形是全等的，从而解决一些复杂的几何问题；在测量问题中，全等三角形可以帮助我们准确地测量未知长度；在实际问题中，全等三角形可以用来分析建筑物的结构，解决实际工程问题等。
在全等三角形的八大基本模型中，SSS、SAS、AAS、RHS和SS是最基本的模型，可以通过这五种模型构建出许多具体的全等三角形问题。
此外，还有模型六HL（斜边-直角边）、模型七AA（两角-一边）和模型八梯形-平行四边形，这些模型在解决一些特殊问题时具有很高的实用价值。
总之，全等三角形作为几何学中的一个重要概念，具有丰富的性质和判定方法，广泛应用于几何证明、测量问题以及实际问题。
专题02 全等三角形中的六种模型梳理
专题02 全等三角形中的六种模型梳理一、概述全等三角形是初中数学中一个重要且常见的概念，对于几何学的学习具有重要的意义。
在全等三角形的学习中，有六种基本模型，它们是解决全等三角形问题的重要工具。
本文将对全等三角形中的六种模型进行深入探讨和梳理，帮助读者更加全面地理解和掌握这一知识点。
二、模型一：SSS全等模型在全等三角形中，如果两个三角形的三条边分别相等，则可以确定它们是全等三角形，这就是SSS全等模型。
如果已知两个三角形的三边分别相等，那么这两个三角形一定是全等的。
模型二：SAS全等模型SAS全等模型是指如果两个三角形的一条边和夹角以及另一边的长度分别相等，则可以确定它们是全等三角形。
如果已知两个三角形的一个角和两边分别相等，那么可以确定这两个三角形是全等的。
模型三：ASA全等模型在全等三角形中，如果两个三角形的一个角和两个角边相等，则可以确定它们是全等三角形，这就是ASA全等模型。
如果已知两个三角形的一个角和两个角边分别相等，那么可以确认这两个三角形是全等的。
模型四：HL全等模型HL全等模型是指如果两个直角三角形的斜边和一个直角边的长度分别相等，则可以确定它们是全等三角形。
如果已知两个直角三角形的斜边和一个直角边的长度分别相等，那么可以确定这两个三角形是全等的。
模型五：LL全等模型LL全等模型是指如果两个三角形的两个角和一个边分别相等，则可以确定它们是全等三角形。
如果已知两个三角形的两个角和一个边分别相等，那么可以确定这两个三角形是全等的。
模型六：对顶全等模型对顶全等模型是指如果两个三角形的两个对顶角和一个边分别相等，则可以确定它们是全等三角形。
如果已知两个三角形的两个对顶角和一个边分别相等，那么可以确定这两个三角形是全等的。
三、总结与回顾通过上述对全等三角形中六种模型的梳理，我们可以发现几何学中的相似和全等的概念是非常重要的。
在实际问题中，我们可以通过判断形状的相似或全等，推断出一些未知的信息，帮助我们解决问题。
全等三角形9种经典几何模型
1初中数学几何模型【模型1】倍长1、 倍长中线；2、倍长类中线；3、中点遇平行延长相交EABCFABC---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 【模型2】遇多个中点，构造中位线1、 直接连接中点；2、连对角线取中点再相连【例1】在菱形ABCD 和正三角形BEF 中，∠ABC =60°，G 是DF 的中点，连接GC 、GE ． （1）如图1，当点E 在BC 边上时，若AB =10，BF =4，求GE 的长；（2）如图2，当点F 在AB 的延长线上时，线段GC 、GE 有怎样的数量和位置关系，写出你的猜想；并给予证明；（3）如图3，当点F 在CB 的延长线上时，(2)问中关系还成立吗？写出你的猜想，并给予证明.图1DFD【例2】如图，在菱形ABCD 中，点E 、F 分别是BC 、CD 上一点，连接DE 、EF ，且AE =AF ，BAF DAE ∠=∠． (1)求证：CE =CF ；(2)若︒=∠120ABC ，点G 是线段AF 的中点，连接DG ，EG ．求证：DG 上GE ．2E CODECOD O C【例3】如图，在四边形ABCD 中，AB =CD ，E 、F 分别为BC 、AD 中点，BA 交EF 延长线于G ，CD 交EF 于H ．求证：∠BGE =∠CHE ．HGEFA BDC【模型1】构造轴对称【模型2】角平分线遇平行构造等腰三角形---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 【例4】如图，平行四边形ABCD 中，AE 平分∠BAD 交BC 边于E ，EF ⊥AE 交CD 边于F ，交AD 边于H ，延长BA 到点G ，使AG =CF ，连接GF ．若BC =7，DF =3，EH =3AE ，则GF 的长为.HGFEADBC【条件】OA OB OC OD AOB COD ==∠=∠，，【结论】OAC OBD ≅；AEB OAB COD ∠=∠=∠（即都是旋转角）；OE AED ∠平分；3CDA B EEFEBDAC---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 【例5】如图，正方形ABCD 的边长为6，点O 是对角线AC 、BD 的交点，点E 在CD 上，且DE =2CE ，过点C 作CF ⊥BE ，垂足为F ，连接OF ，则OF 的长为 .【例6】如图，ABC 中，90BAC ︒∠=，AB =AC ，AD ⊥BC 于点D ，点E 在AC 边上，连结BE ，AG ⊥BE 于F ，交BC 于点G ，求DFG ∠GFD CBAE【例7】如图，在边长为62ABCD 中，E 是AB 边上一点，G 是AD 延长线上一点，BE ＝DG ，连接EG ，CF ⊥EG 于点H ，交AD 于点F ，连接CE 、BH 。
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全等的相关模型总结一、角平分线模型应用1.角平分性质模型：辅助线：过点G 作 GE射线AC（1） .例题应用：①如图 1，在ABC中，C900， AD 平分 CAB , BC 6cm, BD 4cm,那么点 D 到直线 AB 的距离是cm.②如图 2，已知，1 2 ，34 .求证： AP平分 BAC .图 1图2① 2（提示：作 DE AB 交 AB 于点 E ）②12 ， PM PN ，3 4 ， PN PQ ， PM PQ, PA平分 BAC .(2).模型巩固：练习一：如图3，在四边形 ABCD 中， BC>AB ， AD=CD ，BD 平分BAC ..求证：A C180图3练习二：已知如图4，四边形 ABCD 中，B D 1800 , BC CD.求证： AC 平分BAD .图 4练习三：如图5，Rt ABC 中， ACB900， CD AB, 垂足为 D ， AF 平分CAB ,交 CD 于点 E ，交 CB 于点 F.(1)求证： CE=CF.(2)将图 5 中的△ ADE 沿 AB 向右平移到A' D ' E '的位置，使点 E'落在BC边上，其他条件不变，如图 6 所示，是猜想：BE'于 CF 又怎样的数量关系？请证明你的结论.图 5图6练习四：如图7，∠ A90 ， AD ∥ BC ， P 是 AB的中点， PD平分∠ ADC．求证： CP平分∠ DCB．A D214E3PB C图 7练习五：如图8，AB＞ AC，∠ A 的平分线与 BC的垂直平分线相交于D，自 D 作 DE⊥ AB，DF⊥ AC，垂足分别为 E， F．求证： BE=CF．图 8练习六：如图9 所示，在△ ABC 中， BC 边的垂直平分线DF 交△ BAC 的外角平分线AD 于点 D， F 为垂足， DE ⊥AB 于 E，并且 AB>AC 。
求证： BE－ AC=AE 。
全等三角形经典模型总结
全等三角形经典模型总结1.S-A-S（边-角-边）全等法则：当一个三角形的两边和夹角分别等于另一个三角形的两边和夹角时，两个三角形全等。
例如，在三角形ABC和DEF中，如果AB=DE，∠ABC=∠DEF，并且BC=EF，那么三角形ABC全等于三角形DEF。
2.A-S-A（角-边-角）全等法则：当一个三角形的两角和夹边分别等于另一个三角形的两角和夹边时，两个三角形全等。
例如，在三角形ABC和DEF中，如果∠ABC=∠DEF，BC=EF，并且∠BCA=∠EFD，那么三角形ABC全等于三角形DEF。
3.S-S-S（边-边-边）全等法则：当两个三角形的三边分别对应相等时，两个三角形全等。
例如，在三角形ABC和DEF中，如果AB=DE，BC=EF，并且AC=DF，那么三角形ABC全等于三角形DEF。
4.H-L（高-底）全等法则：如果两个三角形的高和底分别相等，那么这两个三角形全等。
例如，在三角形ABC和DEF中，如果h1是三角形ABC的高，b1是它的底，h2是三角形DEF的高，b2是它的底，如果h1=h2，b1=b2，则三角形ABC全等于三角形DEF。
5.A-A-S’（角-角-边）全等法则：若三角形的两个角和两个边分别与另一三角形的两个相对角和边对应，则两个三角形全等。
例如，在三角形ABC和DEF中，如果∠ABC=∠DEF，∠BCA=∠EFD，并且AC/DF=BC/EF，那么三角形ABC全等于三角形DEF。
6.1-1-1全等法则：如果两个三角形的边长度分别相等，那么这两个三角形全等。
例如，在三角形ABC和DEF中，如果AB=DE，AC=DF，并且BC=EF，那么三角形ABC全等于三角形DEF。
7.1-1-边（边-边）全等法则：如果两个三角形的两个边和一个夹角分别相等，那么这两个三角形全等。
例如，在三角形ABC和DEF中，如果AB=DE，BC=EF，并且∠ABC=∠DEF，那么三角形ABC全等于三角形DEF。
全等三角形的相关模型总结
（1）.例题应用：①如图1,在,中ABC ∆900=∠AD C 平分，.求证：︒=∠+∠180C A 图3练习二：已知如图4,四边形ABCD 中,图4练习三：如图5,交CD 于点E,交CB 于点F.(1)求证：CE=CF.(2)将图5中地△ADE 沿AB 向右平移到地位置,使点落在BC 边上,其他款件不变,如图6所示,是猜想：于CF 又怎样地数量关系？请证明你地结论.图5 图6练习四：如图7,90A AD BC =︒，∠∥,P 是AB 地中点,PD 平分∠ADC．..,1800BAD AC CD BC D B ∠==∠+∠平分求证：,,900CAB AF D AB CD ACB ABC Rt ∠⊥=∠∆平分，垂足为，中，'''E D A ∆'E 'BE△BAC地外角平分线AD于点D,F(3).模型巩固：练习一，如图3,ΔABC是等腰直角三角形延长线于点E。
求证：BD=2CE。
图3图4ABC 中,CE 平分∠ACB,且AE ⊥CE,∠AED ＋，90=∠D DCO EC ∠是图7（a ） 图7（b ） 图7（c ）②，如图7（b ）,分别是、CE BD 为ABC BD ∆图8练习六，如图9所示,在ABC ∆中,AC AB >,M 为BC 地中点,AD 是BAC ∠地平分线,若CF AD ⊥且交AD 地延长线于F ,求证()12MF AC AB =-．图9练习六变形一：如图10所示,AD 是ABC ∆中BAC ∠地外角平分线,CD AD ⊥于D ,E 是BC 地中点,求证DE AB ∥ 且1()2DE AB AC =+．图10练习六变形二：如图11所示,在ABC ∆中,AD 平分BAC ∠,AD AB =,CM AD ⊥于M ,求证2AB AC AM +=．图11练习七，如图12,在ABC ∆中,2B C ∠=∠,BAC ∠地平分线AD 交BC 与D ．则有AB BD AC +=．那么如图13,已知在ABC ∆中,3ABC C ∠=∠,12∠=∠,BE AE ⊥．求证：2AC AB BE -=．GABC D EF12MFD CB AE DCB AMD CBA两个图形地辅助线都是在射线OA 上取点B ,使OB=OA ,从而使≌△OBC.OAC ∆思路思路：1）题意思路：本题考查全等三角形常见辅助线地知识：作平行线。
全等三角形模型总结及经典练习题
全等三角形模型及习题练习第一部分全等模型图一、平移模型特征：可看成是三角形在一边所在直线上移动构成的，故在同一直线上的对应边的相等关系一般可由加（减）公共边证得，对应角的相等关系可由平行线的性质证得。
二、平行模型(X型)特征：平行线所形成的同位角、内错角相等三、折叠轴对称模型（翻转型，部分X型）特征：图形关于某一条直线对称，则这条直线两边的部分能完全重合，重合的顶点就是全等三角形的对应点。
图①中有公共角∠A；图②中对顶角相等（∠AOC=∠BOD)；图③④中分别有公共边AB,BD四、旋转模型特征：可看成是以三角形某一个顶点为中心旋转构成的，故一般有一对相等的角隐含在对顶角、某些角的和或差中五、角平分线模型旋转有重叠特征：角平分线形成的两个角相等,若把角平分线看成一条公共边,在角的两边再截取相等的线段,就可根据SAS得到全等三角形（如图①,ΔA1BD1≌ΔC1BD1),或者利用角平分线上的点到角两边的距离相等找到一组相等的边,就可根据HL得到全等三角形（如图②,ΔA2BD2≌ΔC2BD2)六、双直角三角形模型特征：证明多数可以用到同（等）角的余角相等这个定理,相等的角就是对应角七、一线三等角模型（K型）特征：如图①,,三个等角指的是α(图②中,α=90°),利用外角定理可证得∠1=∠2或∠3=∠4第二部分精选例题例1．如图，已知AB∥CD，AD∥BC，F在DC的延长线上，AM=CF，FM 交DA的延长线上于E.交BC于N,求证:AE=CN.思路分析:欲证AE=CN.看它们在哪两个三角形中,设法证这两个三角形全等即可.结合图形可发现△AME≌△FCN可证.题设告知AM=CF,AD∥BC,AB∥CD.由两平行条件,可找两对角相等.∵∠1=∠2(对顶角相等)∴∠2=∠E(等量代换)∴AE=CN (全等三角形的对应边相等)例2.△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，过C的一条直线CE⊥AE于E，BD⊥CE的延长线于D，求证：AE=BD+DE.思路分析：从本例的结论知是求线段和的问题，由此入手，很难找到突破口.此时可迅速调整思维角度,可仔细观察图形,正确的图形是证题的“向导”,由此可发现△ACE与△CBD好像(猜测)全等.那么AE=CD=CE+DE.又BD=CE.那么,此时已水落石出.AC=BC（已知）∠1=∠3 （已证）∠AEC=∠CDB（已证）∴△ACE≌△CBD（AAS）∴BD=CE，AE=CD（全等三角形的对应边相等）∵AE=CE=CE+DE∴AE=BD+DE（等量代换）例3．如图，AD是△ABC的中线，DE，DF分别平分∠ADB和∠ADC，连接EF，求证：EF<BE+CF. 定对象：△ABC定角度：三角形全等分析:由结论EF<BE+CF很容易与定理“三角形两边之和大于第三边”联系在一块，观察图形，BE，CF，EF 条件分散，不在一个三角形中，必须设法（平移，旋转，翻转等）把三者集中在一个三角形中，是打开本例思路的关键.由角的平分线这一线索,可将△BDE沿角平分线翻转180°,即B点落在AD的点B'上(如图)(也就是在DA上截取DB＇=BD),连结EB＇,B＇F,此时△BDE与△B＇DE完全重合,所以△BDE≌△B＇DE(两个三角形能够完全重合就是全等三角形,所以BE=B＇E(全等三角形的对应边相等).在△EFB＇中,EF<B＇E+B＇F(三角形的两边之和大于第三边).∴EF<BE+CF(等量代换).例4 如图，已知CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，△ABE≌△ACD，∠C= 20°，AB=10，AD= 4， G为AB延长线上一点．求∠EBG的度数和CE的长．定对象：如图定角度：三角形全等分析：(1)图中可分解出四组基本图形：有公共角的Rt△ACD 和Rt△ABE；△ABE≌△ACD，△ABE的外角∠EBG或∠ABE的邻补角∠EBG．例5已知：如图，△ABC≌△ADE，BC的延长线交DA于F，交 DE于G，∠ACB=105°，∠CAD＝10°，∠D=25°．求∠EAC，∠DFB，∠DGB的度数．例6.在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，垂足为E，若AB＝20 cm，则△DBE的周长等于多少？分析：对象：△DBE的周长角度：（1）BD，DE，BE的长解：因为DE⊥AB，所以AED ACD∠=∠因为AD是∠BAC的平分线，所以EAD CAD≅则AE=AC ∠=∠又因为AD为公共边所以AED ACD DE=DC所以△DBE的周长=BE+DE+BD=AB-AE+BC=20例7如图13—3—8所示，已知在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．求证：EF⊥AD．分析：对象：△ABC 角度：（1）AD是∠BAC的平分线，（2）DE⊥AB于E，DF⊥AC于F证明：因为DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，所以0∠=∠=又因AED AFD90为AD是∠BAC的平分线，所以EAD FAD∠=∠由于AD是公共边所以AED AFD≅则AE=AF 因为AD是∠BAC的平分线所以EF⊥AD。
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全等三角形相关模型总结
一、角平分线模型
（一）角平分线的性质模型
辅助线：过点G作GE1射线AC
A、例题
1、如图，在△ ABC中，/ C=90° AD 平分/ CAB, BC=6cm, BD=4cm，那么点D 到直线AB 的距离是cm.
2、如图，已知，/ 1 = Z 2，/ 3=7 4,求证：AP平分/ BAC.
B、模型巩固
1、如图，在四边形ABCD中，BC>AB, AD= CD, BD平分/ ABC,求证：7 A+7 C= 180°
(二)角平分线+垂线，等腰三角形必呈现 A 、例题
求证：
BE J(AC _AB).
2
例2、如图，在△ ABC 中，/ BAC 的角平分线 AD 交BC 于点D ,且AB = AD,作CM
丄AD 交 AD 的延长线于 M.求证：AM =-(AB AC).
辅助线：延长 ED 交射线OB 于F 例 1、如
图，在△ ABC 中，/ ABC = 3/ C,
辅助线：过点E 作EF//射线OB
AD 是/ BAC 的平分线，BE X AD 于F .
（三）角分线，分两边，对称全等要记全
两个图形飞辅助线都是在射线ON上取点B,使0B= 0A,从而使△ OAW A OBC .
A、例题
1、如图，在△ ABC 中，/ BAC=60°,Z 0=40°, AP平分/ BAC交BC于P, BQ平分/ ABC 交AC 于Q,求证：AB+ BP= BQ+ AQ .
2、如图，在△ ABC中，AD是/ BAC的外角平分线，P是AD上异于点A的任意一点，试比较PB+ PC与AB+ AC的大小，并说明理由.
B、模型巩固
1、在厶ABC中，AB> AC, AD是/ BAC的平分线，P是线段AD上任意一点（不与A重合）求证：AB-AC> PB— PC .
2、如图，△ ABC 中，AB= AC,/ A= 100。
，/ B 的平分线交AC 于D, 求证：AD+ BD= BC .
3、如图，△ ABC中，BC= AC, / C= 90°,/ A的平分线交BC于D, 求证：AC+ CD= AB .
:■、等腰直角三角形模型
（一）旋转中心为直角顶点，在斜边上任取一点的旋转全等:
操作过程：
（1）将厶ABD逆时针旋转90°,得厶ACM也△ ABD,从而推出厶ADM为等腰直角三角形（2）辅助线作法：过点C作MC丄BC,使CM= BD,连结AM.
（二）旋转中心为斜边中点，动点在两直角边上滚动的旋转全等:
操作过程：连结AD.
(1 )使BF= AE (或AF= CE ,导出△ BDF 也△ ADE. (2)使/ EDF+Z BAC= 180°,导出△ BDF 也△ ADE.
A、例题
1、如图，在等腰直角△ ABC中，/ BAC= 90°,点M、N在斜边BC上滑动，且/ MAN = 45 试探究BM、MN、CN之间的数量关系.
2、两个全等的含有30°, 60°角的直角三角板ADE和ABC,按如图所示放置，E、A、C三点在一条直线上，连接BD,取BD的中点M，连接ME、MC.
试判断△ EMC的形状，并证明你的结论•
B、模型巩固
1、已知，如图所示，Rt A ABC中，AB= AC, / BAC= 90°, O为BC中点，若M、N分别在线段AC AB上移动，且在移动中保持AN= CM.
(1)试判断△ OMN的形状，并证明你的结论.
(2)当M、N分别在线段AC AB上移动时，四边形AMON的面积如何变化？
2、在正方形ABCD中，BE= 3，EF= 5，DF= 4，求/ BAE+Z DCF为多少度.
（三）构造等腰直角三角形
（1 ）禾9用以上（一）和（二）都可以构造等腰直角三角形（略）（2 ）利用平移、对称和弦图也可以构造等腰直角三角形•
（四）将等腰直角三角形补全为正方形，如下图:
A、例题应用
1、如图，在等腰直角△ ABC中，AC= BC,/ ACB= 90°, P为三角形ABC内部一点, 满足PB= PC, AP= AC,求证：/ BCP= 15° .
A、例题
已知：如图所示，在△ ABC中，AB= AC,/ BAC= 90°, D为AC中点，AF丄BD于点E,交
BC于F,连接DF . 求证：/ ADB=/ CDF .
变式1、已知：如图所示，在△ ABC中，AB= AC, AM = CN, AF丄BM于E,交BC于F,连接NF .求证：(1)/ AMB=/ CNF; (2) BM = AF+ FN .
三、三垂直模型（弦图模
型）
①
.
由厶ABE^ABCD导出
ED=AE<D
由公ABE^ABCD甘
出EC=AB-CD
由厶ABE^ABCD
BC=BE+ED=AB+CD
变式2、在变式1的基础上，其他条件不变，只是将
BM和FN分别延长交于点P,
求证：（1）PM= PN; （2）PB= PF+ AF .
四、手拉手模型
1 >△ ABE和厶ACF均为等边三角形
结论：(〔)△ ABF^A AEC .
(2)Z BOE=Z BAE= 60 °
(3)OA平分/ EOF •(四点共圆证)
拓展：△ ABC和厶CDE均为等边三角形
结论：(1) AD= BE;
(2)Z ACB=Z AOB;
(3) A PCQ为等边三角形；
(4)PQ// AE;
(5)AP= BQ;
(6)CO平分/ AOE;(四点共圆证)
(7)OA= OB+ OC;
(8)OE= OC+ OD .
((7), ( 8)需构造等边三角形证明)
例、如图①，点M为锐角三角形ABC内任意一点，连接AM BM CM以AB为一边向外作等边三角形厶ABE将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN连接EN
(1)求证：△ AMB^A ENB
(2)若AM+BM+C的值最小，则称点ABC的费尔马点.若点ABC的费尔马点，
试求此时/ AMB / BMC / CMA的度数；
(3)小翔受以上启发，得到一个作锐角三角形费尔马点的简便方法：如图②，分别以厶ABC
的AB AC为一边向外作等边△ ABE和等边△ ACF连接CE BF,设交点为M则点M 即为△ ABC的费尔马点•试说明这种作法的依据.
2、\ ABD和厶ACE均为等腰直角三角形结论：（1）BE= CD; （2）BE X CD .
3、四边形ABEF和四边形ACHD均为正方形
结论：(1)BD= CF; (2) BD X CF .
变式1、四边形ABEF和四边形ACHD均为正方形, 求
证：（1）T 为FD 中点；（2）S I A BC=S；ADF AS丄BC交FD于T,
变式2、四边形ABEF和四边形ACHD均为正方形，T为FD中点，TA交BC于S, 求证：AS丄BC .
4、如图，以△ ABC的边AB AC为边构造正多边形时，总有：.1- 2=180 -
五、半角模型
1
条件：,且：+二=180 ,-两边相等.
2
思路：1、旋转
辅助线：①延长CD到E,使ED=BM连AE或延长CB到F,使FB=DN连AF
②将△ ADN绕点A顺时针旋转90°得厶ABF,注意：旋转需证F、B M三点共线
/结论：(1) MN = BM + DN;
(2)C、CMN =2 AB ;
(3)AM、AN 分别平分/ BMN、/ MND .
2、翻折（对称）
辅助线：①作AP I MN交MN于点P M P、N三点共线
②将△ ADN △ ABM分别沿AN AM翻折，但一定要证明
A、例题
例1、在正方形ABCD中，若M、N分别在边BC CD上移动，且满足MN = BM + DN, 求证：(1)Z MAN = 45°;
(2)C、CMN =2 AB ;
(3)AM、AN 分别平分/ BMN 和/ DNM .
变式：在正方形ABCD中，已知/ MAN = 45°，若M、N分别在边CB DC的延长线上移动, AH丄MN，垂足为H,
(1)试探究线段MN、BM、DN之间的数量关系；
(2)求证：AB= AH
例2、在四边形ABCD中，/ B+Z D= 180° , AB= AD,若E、F分别为边BC CD上的点,
1
且满足EF= BE+ DF,求证：.EAF BAD .
2
变式：在四边形ABCD中，Z B= 90°,Z D= 90°, AB= AD,若E、F分别为边BC、CD上
1 的点，且• EAF BAD，求证：EF= BE+ DF .
2。