备战中考数学复习《二次函数》专项综合练习附答案解析
一、二次函数 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．如图：在平面直角坐标系中，直线l：y=13x﹣43与x轴交于点A，经过点A的抛物线y=ax2﹣3x+c的对称轴是x=32．
（1）求抛物线的解析式；
（2）平移直线l经过原点O，得到直线m，点P是直线m上任意一点，PB⊥x轴于点B，PC⊥y轴于点C，若点E在线段OB上，点F在线段OC的延长线上，连接PE，PF，且PE=3PF．求证：PE⊥PF；
（3）若（2）中的点P坐标为（6，2），点E是x轴上的点，点F是y轴上的点，当PE⊥PF时，抛物线上是否存在点Q，使四边形PEQF是矩形？如果存在，请求出点Q的坐标，如果不存在，请说明理由．
【答案】（1）抛物线的解析式为y=x2﹣3x﹣4；（2）证明见解析；（3）点Q的坐标为（﹣2，6）或（2，﹣6）．
【解析】
【分析】
（1）先求得点A的坐标，然后依据抛物线过点A，对称轴是x=32列出关于a、c的方程组求解即可；
（2）设P（3a，a），则PC=3a，PB=a，然后再证明∠FPC=∠EPB，最后通过等量代换进行证明即可；
（3）设E（a，0），然后用含a的式子表示BE的长，从而可得到CF的长，于是可得到点F的坐标，然后依据中点坐标公式可得到22xxxxQPFE，22yyyyQPFE，从而可求得点Q的坐标（用含a的式子表示），最后，将点Q的坐标代入抛物线的解析式求得a的值即可．
【详解】 （1）当y=0时，14033x，解得x=4，即A（4，0），抛物线过点A，对称轴是x=32，得161203322aca，
解得14ac，抛物线的解析式为y=x2﹣3x﹣4；
（2）∵平移直线l经过原点O，得到直线m，
∴直线m的解析式为y=13x．
∵点P是直线1上任意一点，
∴设P（3a，a），则PC=3a，PB=a．
又∵PE=3PF，
∴PCPBPFPE．
∴∠FPC=∠EPB．
∵∠CPE+∠EPB=90°，
∴∠FPC+∠CPE=90°，
∴FP⊥PE．
（3）如图所示，点E在点B的左侧时，设E（a，0），则BE=6﹣a．
∵CF=3BE=18﹣3a，
∴OF=20﹣3a．
∴F（0，20﹣3a）．
∵PEQF为矩形，
∴22xxxxQPFE，22yyyyQPFE，
∴Qx+6=0+a，Qy+2=20﹣3a+0，
∴Qx=a﹣6，Qy=18﹣3a．
将点Q的坐标代入抛物线的解析式得：18﹣3a=（a﹣6）2﹣3（a﹣6）﹣4，解得：a=4或a=8（舍去）．
∴Q（﹣2，6）． 如下图所示：当点E在点B的右侧时，设E（a，0），则BE=a﹣6．
∵CF=3BE=3a﹣18，
∴OF=3a﹣20．
∴F（0，20﹣3a）．
∵PEQF为矩形，
∴22xxxxQPFE，22yyyyQPFE，
∴Qx+6=0+a，Qy+2=20﹣3a+0，
∴Qx=a﹣6，Qy=18﹣3a．
将点Q的坐标代入抛物线的解析式得：18﹣3a=（a﹣6）2﹣3（a﹣6）﹣4，解得：a=8或a=4（舍去）．
∴Q（2，﹣6）．
综上所述，点Q的坐标为（﹣2，6）或（2，﹣6）．
【点睛】
本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了矩形的性质、待定系数法求二次函数的解析式、中点坐标公式，用含a的式子表示点Q的坐标是解题的关键．
2．如图1，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C，且OC=3OA．点P是抛物线上的一个动点，过点P作PE⊥x轴于点E，交直线BC于点D，连接PC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，当动点P只在第一象限的抛物线上运动时，求过点P作PF⊥BC于点F，试问△PDF的周长是否有最大值？如果有，请求出其最大值，如果没有，请说明理由．
（3）当点P在抛物线上运动时，将△CPD沿直线CP翻折，点D的对应点为点Q，试问，四边形CDPQ是否成为菱形？如果能，请求出此时点P的坐标，如果不能，请说明理由．
【答案】(1) y=﹣234x+94x+3；(2) 有最大值,365;(3) 存在这样的Q点，使得四边形CDPQ是菱形，此时点P的坐标为（73，256）或（173，﹣253）．
【解析】
试题分析: （1）利用待定系数法求二次函数的解析式；
（2）设P（m，﹣34m2+94m+3），△PFD的周长为L，再利用待定系数法求直线BC的解析式为：y=﹣34x+3，表示PD=﹣2334mm，证明△PFD∽△BOC，根据周长比等于对应边的比得：=PEDPDBOCBC的周长的周长，代入得：L=﹣95（m﹣2）2+365，求L的最大值即可；
（3）如图3，当点Q落在y轴上时，四边形CDPQ是菱形，根据翻折的性质知：CD=CQ，PQ=PD，∠PCQ=∠PCD，又知Q落在y轴上时，则CQ∥PD，由四边相等：CD=DP=PQ=QC，得四边形CDPQ是菱形，表示P（n，﹣23n4 +94n+3），则D（n，﹣34n+3），G（0，﹣34n+3），利用勾股定理表示PD和CD的长并列式可得结论．
试题解析:
（1）由OC=3OA，有C（0，3），
将A（﹣1，0），B（4，0），C（0，3）代入y=ax2+bx+c中，得：
016403abcabcc，
解得：34943abc，
故抛物线的解析式为：y=﹣234x+94x+3；
（2）如图2，设P（m，﹣34m2+94m+3），△PFD的周长为L，
∵直线BC经过B（4，0），C（0，3），
设直线BC的解析式为：y=kx+b，
则403kbb 解得：343kb
∴直线BC的解析式为：y=﹣34x+3，
则D（m，﹣334m），PD=﹣2334mm，
∵PE⊥x轴，PE∥OC，
∴∠BDE=∠BCO，
∵∠BDE=∠PDF，
∴∠PDF=∠BCO，
∵∠PFD=∠BOC=90°，
∴△PFD∽△BOC，
∴=PEDPDBOCBC的周长的周长，
由（1）得：OC=3，OB=4，BC=5，
故△BOC的周长=12，
∴2334125mmL，
即L=﹣95（m﹣2）2+365，
∴当m=2时，L最大=365；
（3）存在这样的Q点，使得四边形CDPQ是菱形，如图3，
当点Q落在y轴上时，四边形CDPQ是菱形，
理由是：由轴对称的性质知：CD=CQ，PQ=PD，∠PCQ=∠PCD，
当点Q落在y轴上时，CQ∥PD，
∴∠PCQ=∠CPD，
∴∠PCD=∠CPD，
∴CD=PD，
∴CD=DP=PQ=QC，
∴四边形CDPQ是菱形，
过D作DG⊥y轴于点G，
设P（n，﹣234n +94n+3），则D（n，﹣34n+3），G（0，﹣334n），
在Rt△CGD中，CD2=CG2+GD2=[（﹣34n+3）﹣3]2+n2=22516n， 而|PD|=|（﹣239344nn
3n）﹣（﹣34n+3）|=|﹣234n+3n|，
∵PD=CD，
∴﹣235344nnn①，
﹣235344nnn②，
解方程①得：n=73或0（不符合条件，舍去），
解方程②得：n=173或0（不符合条件，舍去），
当n=73时，P（73，256），如图3，
当n=173时，P（173，﹣253），如图4，
综上所述，存在这样的Q点，使得四边形CDPQ是菱形，此时点P的坐标为（73，256）或（173，﹣253）．
点睛: 本题是二次函数的综合题，考查了利用待定系数法求函数的解析式、菱形的性质和判定、三角形相似的性质和判定，将周长的最值问题转化为二次函数的最值问题，此类问题要熟练掌握利用解析式表示线段的长，并利用相似比或勾股定理列方程解决问题．
3．已知如图，抛物线y=x2+bx+c过点A（3，0），B（1，0），交y轴于点C，点P是该抛物线上一动点，点P从C点沿抛物线向A点运动（点P不与点A重合），过点P作PD∥y轴交直线AC于点D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求点P在运动的过程中线段PD长度的最大值；
（3）△APD能否构成直角三角形？若能请直接写出点P坐标，若不能请说明理由；
（4）在抛物线对称轴上是否存在点M使|MA﹣MC|最大？若存在请求出点M的坐标，若不存在请说明理由．
【答案】（1）y=x2﹣4x+3；（2）94；（3）点P（1，0）或（2，﹣1）；（4）M（2，﹣3）．
【解析】
试题分析：（1）把点A、B的坐标代入抛物线解析式，解方程组得到b、c的值，即可得解；
（2）求出点C的坐标，再利用待定系数法求出直线AC的解析式，再根据抛物线解析式设出点P的坐标，然后表示出PD的长度，再根据二次函数的最值问题解答；
（3）①∠APD是直角时，点P与点B重合，②求出抛物线顶点坐标，然后判断出点P为在抛物线顶点时，∠PAD是直角，分别写出点P的坐标即可；
（4）根据抛物线的对称性可知MA=MB，再根据三角形的任意两边之差小于第三边可知点M为直线CB与对称轴交点时，|MA﹣MC|最大，然后利用待定系数法求出直线BC的解析式，再求解即可．
试题解析：解：（1）∵抛物线y=x2+bx+c过点A（3，0），B（1，0），∴93010bcbc，解得43bc，∴抛物线解析式为y=x2﹣4x+3；
（2）令x=0，则y=3，∴点C（0，3），则直线AC的解析式为y=﹣x+3，设点P（x，x2﹣4x+3）．∵PD∥y轴，∴点D（x，﹣x+3），∴PD=（﹣x+3）﹣（x2﹣4x+3）=﹣x2+3x=﹣（x﹣32）2+94．∵a=﹣1＜0，∴当x=32时，线段PD的长度有最大值94；
（3）①∠APD是直角时，点P与点B重合，此时，点P（1，0），②∵y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，∴抛物线的顶点坐标为（2，﹣1）．∵A（3，0），∴点P为在抛物线顶点时，∠PAD=45°+45°=90°，此时，点P（2，﹣1）．
综上所述：点P（1，0）或（2，﹣1）时，△APD能构成直角三角形；
2020-2021中考数学——二次函数的综合压轴题专题复习含答案解析
2020-2021中考数学——二次函数的综合压轴题专题复习含答案解析
一、二次函数
1．（10分）（2015•佛山）如图，一小球从斜坡O点处抛出，球的抛出路线可以用二次函数y=﹣x2+4x刻画，斜坡可以用一次函数y=x刻画．
（1）请用配方法求二次函数图象的最高点P的坐标；
（2）小球的落点是A，求点A的坐标；
（3）连接抛物线的最高点P与点O、A得△POA，求△POA的面积；
（4）在OA上方的抛物线上存在一点M（M与P不重合），△MOA的面积等于△POA的面积．请直接写出点M的坐标．
【答案】（1）（2，4）；（2）（，）；（3）；（4）（，）．
【解析】
试题分析：（1）利用配方法抛物线的一般式化为顶点式，即可求出二次函数图象的最高点P的坐标；
（2）联立两解析式，可求出交点A的坐标；
（3）作PQ⊥x轴于点Q，AB⊥x轴于点B．根据S△POA=S△POQ+S△梯形PQBA﹣S△BOA，代入数值计算即可求解；
（4）过P作OA的平行线，交抛物线于点M，连结OM、AM，由于两平行线之间的距离相等，根据同底等高的两个三角形面积相等，可得△MOA的面积等于△POA的面积．设直线PM的解析式为y=x+b，将P（2，4）代入，求出直线PM的解析式为y=x+3．再与抛物线的解析式联立，得到方程组，解方程组即可求出点M的坐标．
试题解析：（1）由题意得，y=﹣x2+4x=﹣（x﹣2）2+4，
故二次函数图象的最高点P的坐标为（2，4）；
（2）联立两解析式可得：，解得：，或． 故可得点A的坐标为（，）；
（3）如图，作PQ⊥x轴于点Q，AB⊥x轴于点B．
S△POA=S△POQ+S△梯形PQBA﹣S△BOA
=×2×4+×（+4）×（﹣2）﹣××
=4+﹣
=；
（4）过P作OA的平行线，交抛物线于点M，连结OM、AM，则△MOA的面积等于△POA的面积．
设直线PM的解析式为y=x+b，
∵P的坐标为（2，4），
2020中考数学专题复习之二次函数综合题专项练习题9(附答案详解)
2020中考数学专题复习之二次函数综合题专项练习题9（附答案详解）
1．如图，已知直线122yx与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线2122yxbx
与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C.
（1）求抛物线的解析式；
（2）点M是上述抛物线上一点，如果△ABM和△ABC相似，求点M的坐标；
（3）连接AC，求顶点D、E、F、G在△ABC各边上的矩形DEFC面积最大时，写出该矩形在AB边上的顶点的坐标．
2．如图，已知抛物线y＝ax2+4（a≠0）与x轴交于点A和点B（2，0），与y轴交于点C，点D是抛物线在第一象限的点．
（1）当△ABD的面积为4时，
①求点D的坐标；
②联结OD，点M是抛物线上的点，且∠MDO＝∠BOD，求点M的坐标；
（2）直线BD、AD分别与y轴交于点E、F，那么OE+OF的值是否变化，请说明理由．
3．如图是二次函数2()yxmk的图象，其顶点坐标为M(1,-4).
（1）求出图象与x轴的交点A、B的坐标；
（2）在二次函数的图象上是否存在点P，使34PABMABSS,若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）在y轴上存在一点Q,使得△QMB周长最小，求出Q点坐标．
4．如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A，B（1，0）两点，与y轴交于点C，直线y=x﹣2经过A，C两点，抛物线的顶点为D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求抛物线的顶点D的坐标；
（3）在y轴上是否存在一点G，使得GD+GB的值最小？若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由；
（4）在直线AC的上方抛物线上是否存在点P，使△PAC的面积最大？若存在，直接写出P点坐标及△PAC面积的最大值．
5．如图，抛物线2122yxbx与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且1,0A．
（1）求抛物线的解析式和顶点D的坐标；
（2）判断ABCV的形状，证明你的结论；
2018届初三数学中考复习 二次函数 专项复习练习 含答案
2018届初三数学中考复习 二次函数 专项复习练习
1． 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0，a，b，c为常数)的图象如图，ax2＋bx＋c＝m有实数根的条件是(
)
A．m≥－2 B．m≥5 C．m≥0 D．m＞4
2. 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)的图象如图所示，下列结论正确的是(
)
A．2a＋b＜0 B．4a＋2b＋c＞0
C．m(am＋b)＞a＋b(m为大于1的实数) D．3a＋c＜0
3. 在下列二次函数中，其图象的对象轴为x＝－2的是( )
A．y＝(x＋2)2 B．y＝2x2－2 C．y＝－2x2－2 D．y＝2(x－2)2
4. 二次函数y＝ax2＋bx－1(a≠0)的图象经过点(1，1)，则a＋b＋1的值是( )
A．－3 B．－1 C．2 D．3
5．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图，点C在y轴的正半轴上，且OA＝OC，则(
)
A．ac＋1＝b B．ab＋1＝c C．bc＋1＝a D．以上都不是
6. 二次函数y＝x2＋x＋c的图象与x轴有两个交点A(x1，0)，B(x2，0)，且x1
A．当n<0时，m<0 B．当n>0时，m>x2
C．当n<0时，x10时，m
7. 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，下列结论：
①2a＋b＞0；
②abc＜0；
③b2－4ac＞0；
④a＋b＋c＜0；
⑤4a－2b＋c＜0，其中正确的个数是( )
A．2 B．3 C．4 D．5
8. 将抛物线y＝x2向右平移2个单位，再向上平移3个单位后，抛物线的解析式为( )
全国中考数学二次函数的综合中考真题分类汇总附答案解析
一、二次函数 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．已知二次函数的图象以A（﹣1，4）为顶点，且过点B（2，﹣5）
（1）求该函数的关系式；
（2）求该函数图象与坐标轴的交点坐标；
（3）将该函数图象向右平移，当图象经过原点时，A、B两点随图象移至A′、B′，求△O
A′B′的面积．
【答案】（1）y=﹣x2﹣2x+3；（2）抛物线与x轴的交点为：（﹣3，0），（1，0）（3）15.
【解析】
【分析】（1）已知了抛物线的顶点坐标，可用顶点式设该二次函数的解析式，然后将B点坐标代入，即可求出二次函数的解析式；
（2）根据函数解析式，令x=0，可求得抛物线与y轴的交点坐标；令y=0，可求得抛物线与x轴交点坐标；
（3）由（2）可知：抛物线与x轴的交点分别在原点两侧，由此可求出当抛物线与x轴负半轴的交点平移到原点时，抛物线平移的单位，由此可求出A′、B′的坐标．由于△OA′B′不规则，可用面积割补法求出△OA′B′的面积．
【详解】（1）设抛物线顶点式y=a（x+1）2+4，
将B（2，﹣5）代入得：a=﹣1，
∴该函数的解析式为：y=﹣（x+1）2+4=﹣x2﹣2x+3；
（2）令x=0，得y=3，因此抛物线与y轴的交点为：（0，3），
令y=0，﹣x2﹣2x+3=0，解得：x1=﹣3，x2=1，
即抛物线与x轴的交点为：（﹣3，0），（1，0）；
（3）设抛物线与x轴的交点为M、N（M在N的左侧），
由（2）知：M（﹣3，0），N（1，0），
当函数图象向右平移经过原点时，M与O重合，因此抛物线向右平移了3个单位，
故A'（2，4），B'（5，﹣5），
∴S△OA′B′=12×（2+5）×9﹣12×2×4﹣12×5×5=15．
【点睛】本题考查了用待定系数法求抛物线解析式、函数图象与坐标轴交点、图形面积的求法等知识．熟练掌握待定系数法、函数图象与坐标轴的交点的求解方法、不规则图形的面积的求解方法等是解题的关键.
中考数学专题复习二次函数的综合题及答案解析
中考数学专题复习二次函数的综合题及答案解析
一、二次函数
1．如图，对称轴为直线x1的抛物线2yaxbxca0与x轴相交于A、B两点，其中A点的坐标为（－3，0）．
（1）求点B的坐标；
（2）已知a1，C为抛物线与y轴的交点．
①若点P在抛物线上，且POCBOCS4S，求点P的坐标；
②设点Q是线段AC上的动点，作QD⊥x轴交抛物线于点D，求线段QD长度的最大值．
【答案】（1）点B的坐标为（1，0）.
（2）①点P的坐标为（4，21）或（－4，5）.
②线段QD长度的最大值为94.
【解析】
【分析】
（1）由抛物线的对称性直接得点B的坐标．
（2）①用待定系数法求出抛物线的解析式，从而可得点C的坐标，得到BOCS，设出点P
的坐标，根据POCBOCS4S列式求解即可求得点P的坐标．
②用待定系数法求出直线AC的解析式，由点Q在线段AC上，可设点Q的坐标为(q,-q-3)，从而由QD⊥x轴交抛物线于点D，得点D的坐标为(q,q2+2q-3)，从而线段QD等于两点纵坐标之差，列出函数关系式应用二次函数最值原理求解.
【详解】
解：（1）∵A、B两点关于对称轴x1对称 ，且A点的坐标为（－3，0），
∴点B的坐标为（1，0）.
（2）①∵抛物线a1，对称轴为x1，经过点A（－3，0），
∴2a1b12a9a3bc0，解得a1b2c3. ∴抛物线的解析式为2yx2x3.
∴B点的坐标为（0，－3）.∴OB=1，OC=3.∴BOC13S1322.
设点P的坐标为(p,p2+2p-3)，则POC13S3pp22.
∵POCBOCS4S，∴3p62，解得p4.
当p4时2p2p321；当p4时，2p2p35，
∴点P的坐标为（4，21）或（－4，5）.
②设直线AC的解析式为ykxb，将点A，C的坐标代入，得：
中考数学专项复习二次函数的应用2练习无答案浙教版
百度文库 - 让每个人平等地提升自我
1 二次函数的应用（02）
一、选择题
1．已知二次函数y=x2﹣3x+m（m为常数）的图象与x轴的一个交点为（1，0），则关于x的一元二次方程x2﹣3x+m=0的两实数根是（ ）
A．x1=1，x2=﹣1 B．x1=1，x2=2 C．x1=1，x2=0 D．x1=1，x2=3
2．抛物线y=ax2+bx+c（a＜0）如图所示，则关于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集是（ ）
A．x＜2 B．x＞﹣3 C．﹣3＜x＜1 D．x＜﹣3或x＞1
3．已知函数y=x2+2x﹣3，当x=m时，y＜0，则m的值可能是（ ）
A．﹣4 B．0 C．2 D．3
4．如图，已知二次函数y1=x2﹣x的图象与正比例函数y2=x的图象交于点A（3，2），与x轴交于点B（2，0），若0＜y1＜y2，则x的取值范围是（ ）
A．0＜x＜2 B．0＜x＜3 C．2＜x＜3 D．x＜0或x＞3
5．河北省赵县的赵州桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数的关系式为y=﹣x2，当水面离桥拱顶的高度DO是4m时，这时水面宽度AB为（ ）
A．﹣20m B．10m C．20m D．﹣10m
6．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则函数值y＞0时，x的取值范围是（ ）
A．x＜﹣1 B．x＞3 C．﹣1＜x＜3 D．x＜﹣1或x＞3
7．给出下列命题及函数y=x，y=x2和y=的图象：
①如果，那么0＜a＜1；
②如果，那么a＞1；
③如果，那么﹣1＜a＜0；
④如果时，那么a＜﹣1．
则（ ） A．正确的命题是①④ B．错误的命题是②③④ 百度文库
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让每个人平等地提升自我
2 C．正确的命题是①② D．错误的命题只有③
8．若二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴有两个交点，坐标分别为（x1，0），（x2，0），且x1＜x2，图象上有一点M（x0，y0）在x轴下方，则下列判断正确的是（ ）
九年级数学中考复习压轴题专题训练含答案解析二次函数小综合抛物线中的定点问题
微专题16 抛物线中的定点问题
典例精讲
考点动直线过定点
【例】如图，已知抛物线C1：y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标为(0，－1)，且经过点A(－1，1)，动直线l的解析式为y＝－4x＋k．
（1）求抛物线C1的解析式；
（2）将抛物线C1向上平移一个单位得到新的抛物线C2，过点A的直线交抛物线于M，N两点(点M位
点N的左边)，动直线l过点M，与抛物线C2的另一个交点为点P求证：直线PN恒过一个定点．
典题精练
如图，已知抛物线y＝－2x2交直线y＝kx－2k－4于P，Q两点，在抛物线上是否存在一个定点D，使∠PDQ＝90°，若存在，求定点D的坐标；若不存在，请说明理由．
xyNPMAOxyDQPO微专题16 抛物线中的定点问题
典例精讲
考点动直线过定点
【例】如图，已知抛物线C1：y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标为(0，－1)，且经过点A(－1，1)，动直线l的解析式为y＝－4x＋k．
（1）求抛物线C1的解析式；
（2）将抛物线C1向上平移一个单位得到新的抛物线C2，过点A的直线交抛物线于M，N两点(点M位
点N的左边)，动直线l过点M，与抛物线C2的另一个交点为点P求证：直线PN恒过一个定点．
【解答】(1)y＝2x2－1；
(2)C2：y＝2x2，设M(m，2m2)，N(n，2n2)，P(t，2t2)(m＜n)，
则MN的解析式y＝2(m＋m)x－2mn，∵MN过点A(－1，1)，
∴－2(m＋n)－2mn＝1，即2mn＝－1－2m＝2n
又l：y＝－4x＋k过点M(m，2m2)，∴2m2＝－4m＋k，∴k＝2m2＋4m，
y＝－4x＋2m2＋4m
∴l：y＝－4x＋2m2＋4m，联立y＝－4x＋2m2＋4m，y＝2x2
得2x2＋4x－2m2－4m＝0，
∴t＋m＝－2，即t＝－2－m，∴P(－2－m，2m2＋8m＋8)，
∴PN的解析式：y＝(2n－2m－4)x＋(2mn＋4n)＝(2n－2m)(x＋1)－1－4x，
中考数学专题复习分类练习 二次函数综合解答题附答案
一、二次函数 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．如图所示，抛物线2yaxbxc的顶点为2,4M，与x轴交于A、B两点，且6,0A，与y轴交于点C．
1求抛物线的函数解析式；
2求ABC的面积；
3能否在抛物线第三象限的图象上找到一点P，使APC的面积最大？若能，请求出点P的坐标；若不能，请说明理由．
【答案】1 2134yxx；212；27334APCxS当时，有最大值，点P的坐标是153,4P．
【解析】
【分析】
(1)设顶点式并代入已知点6,0A即可；
(2)令y=0，求出A、B和C点坐标，运用三角形面积公式计算即可；
(3)假设存在这样的点，过点P作PEx轴于点E，交AC于点F，线段PF的长度即为两函数值之差，将APC的面积计算拆分为APFCPFSS即可.
【详解】
1设此函数的解析式为2()yaxhk，
∵函数图象顶点为2,4M，
∴2(2)4yax，
又∵函数图象经过点6,0A，
∴20(62)4a
解得14a，
∴此函数的解析式为21(2)44yx，即2134yxx； 2∵点C是函数2134yxx的图象与y轴的交点，
∴点C的坐标是0,3，
又当0y时，有21304yxx，
解得16x，22x，
∴点B的坐标是2,0，
则11831222ABCSABOC；
3假设存在这样的点，过点P作PEx轴于点E，交AC于点F．
设,0Ex，则21,34Pxxx，
设直线AC的解析式为ykxb，
∵直线AC过点6,0A，0,3C，
∴603kbb，
解得123kb，
∴直线AC的解析式为132yx，
∴点F的坐标为1,32Fxx，
中考数学专题复习二次函数的综合题及答案解析 2
一、二次函数 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．已知：如图，抛物线y=ax2+bx+c与坐标轴分别交于点A（0，6），B（6，0），C（﹣2，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点P运动到什么位置时，△PAB的面积有最大值？
（3）过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P做PE∥x轴交抛物线于点E，连结DE，请问是否存在点P使△PDE为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣12x2+2x+6；（2）当t=3时，△PAB的面积有最大值；（3）点P（4，6）．
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法进行求解即可得；
（2）作PM⊥OB与点M，交AB于点N，作AG⊥PM，先求出直线AB解析式为y=﹣x+6，设P（t，﹣12t2+2t+6），则N（t，﹣t+6），由S△PAB=S△PAN+S△PBN=12PN•AG+12PN•BM=12PN•OB列出关于t的函数表达式，利用二次函数的性质求解可得；
（3）由PH⊥OB知DH∥AO，据此由OA=OB=6得∠BDH=∠BAO=45°，结合∠DPE=90°知若△PDE为等腰直角三角形，则∠EDP=45°，从而得出点E与点A重合，求出y=6时x的值即可得出答案．
【详解】（1）∵抛物线过点B（6，0）、C（﹣2，0），
∴设抛物线解析式为y=a（x﹣6）（x+2），
将点A（0，6）代入，得：﹣12a=6，
解得：a=﹣12，
所以抛物线解析式为y=﹣12（x﹣6）（x+2）=﹣12x2+2x+6；
（2）如图1，过点P作PM⊥OB与点M，交AB于点N，作AG⊥PM于点G，
设直线AB解析式为y=kx+b，
将点A（0，6）、B（6，0）代入，得：
660bkb，
解得：16kb，
则直线AB解析式为y=﹣x+6，
设P（t，﹣12t2+2t+6）其中0＜t＜6，
中考数学二次函数与三角形面积专项复习训练测试题(附答案解析)
中考数学二次函数与三角形面积专项复习训练测试题（附答案解析）
1 中考数学二次函数与三角形面积专项复习训练测试题（附答案解析）
1、(12分)已知抛物线y＝ax2＋bx－3经过(－1，0)，
(3，0)两点，与y轴交于点C，直线y＝kx与抛物线交于A，B两点．
(1)写出点C的坐标并求出此抛物线的解析式；
(2)当原点O为线段AB的中点时，求k的值及A，B两点的坐标；
(3)是否存在实数k使得△ABC的面积为3102若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．
第1题图
2、如图所示，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A(－1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴与抛物线交于点P、与直线BC相交于点M，连接PB.
(1)求该抛物线的解析式；
(2)在(1)中位于第一象限内的抛物线上是否存在点D，使得△BCD的面积最大？若存在，求出D点坐标及△BCD面积的最大值；若不存在，请说明理由；
(3)在(1)中的抛物线上是否存在点Q，使得△QMB与△PMB的面积相等？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
第2题图 中考数学二次函数与三角形面积专项复习训练测试题（附答案解析）
2 3、如图所示，已知抛物线y＝－12x2＋bx＋c与坐标轴分别交于点A(0，8)、B(8，0)和点E，动点C从原点O开始沿OA方向以每秒1个单位长度移动，动点D从点B开始沿BO方向以每秒1个单位长度移动，动点C、D同时出发，当动点D到达原点O时，点C、D停止运动．
(1)直接写出抛物线的解析式：____________________；
(2)求△CED的面积S与D点运动时间t的函数解析式；当t为何值时，△CED的面积最大？最大面积是多少？