中考数学易错题专题复习-二次函数练习题附答案
一、二次函数 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．在平面直角坐标系中，我们定义直线y=ax-a 为抛物线y=ax 2+bx+c （a 、b 、c 为常数，a≠0）的“衍生直线”；有一个顶点在抛物线上，另有一个顶点在y 轴上的三角形为其“衍生三角形”．已知抛物线22343
23y x x =-
-+与其“衍生直线”交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与x 轴负半轴交于点C ．
（1）填空：该抛物线的“衍生直线”的解析式为 ，点A 的坐标为 ，点B 的坐标为 ；
（2）如图，点M 为线段CB 上一动点，将△ACM 以AM 所在直线为对称轴翻折，点C 的对称点为N ，若△AMN 为该抛物线的“衍生三角形”，求点N 的坐标；
（3）当点E 在抛物线的对称轴上运动时，在该抛物线的“衍生直线”上，是否存在点F ，使得以点A 、C 、E 、F 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点E 、F 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）2323
y=；（-2，231,0）； （2）N 点的坐标为（0，3-3），（0，23+3）； （3）E （-1，43F （023）或E （-1，43），F （-4103）
【解析】 【分析】
（1）由抛物线的“衍生直线”知道二次函数解析式的a 即可；（2）过A 作AD ⊥y 轴于点D ，则可知AN=AC ，结合A 点坐标，则可求出ON 的长，可求出N 点的坐标；（3）分别讨论当AC 为平行四边形的边时，当AC 为平行四边形的对角线时，求出满足条件的E 、F 坐标即可 【详解】 （1）∵2343
2333y x x =-
-+a=233
-
，则抛物线的“衍生直线”的解析式为
2323
y=x+
33
-；
联立两解析式求交点
2
2343
23
2323
y=x+
y x x
?
=--+
??
?
?-
??
，解得
x=-2
y=23
??
?
??
或
x=1
y=0
?
?
?
，
∴A（-2，23），B（1,0）；
（2）如图1，过A作AD⊥y轴于点D，
在2
2343
23
33
y x x
=--+中，令y=0可求得x= -3或x=1，
∴C（-3,0），且A（-2，23），
∴AC=22
-++213
3=
（23）（）
由翻折的性质可知AN=AC=13，
∵△AMN为该抛物线的“衍生三角形”，
∴N在y轴上，且AD=2，
在Rt△AND中，由勾股定理可得
DN=22
AN-AD=13-4=3，
∵OD=23，
∴ON=23-3或ON=23+3，
∴N点的坐标为（0，23-3），（0，23+3）；
（3）①当AC为平行四边形的边时，如图2 ，过F作对称轴的垂线FH，过A作AK⊥x轴于点K，则有AC∥EF且AC=EF，
∴∠ ACK=∠ EFH，
在△ ACK和△ EFH中
ACK=EFH
AKC=EHF
AC=EF
∠∠
?
?
∠∠
?
?
?
∴△ ACK≌△ EFH，
∴FH=CK=1，HE=AK=23，
∵抛物线的对称轴为x=-1，
∴ F点的横坐标为0或-2，
∵点F在直线AB上，
∴当F点的横坐标为0时，则F（0，23），此时点E在直线AB下方，∴E到y轴的距离为EH-OF=23-23=43，即E的纵坐标为-43，∴ E（-1，-43）；
当F点的横坐标为-2时，则F与A重合，不合题意，舍去；
②当AC为平行四边形的对角线时，
∵ C（-3,0），且A（-2，23），
∴线段AC的中点坐标为（-2.5，3），
设E（-1，t），F（x，y），
则x-1=2×（-2.5），y+t=23，
∴x= -4，y=23-t，
23-t=-23
3
×（-4）+
23
3
，解得t=
43
-
3
，
∴E（-1，43
-
3），F（-4，
103
3
）；
综上可知存在满足条件的点F，此时E（-1，-43
）、（0，
23
）或E（-1，
43
-），F（-4，103
）
【点睛】
本题是对二次函数的综合知识考查，熟练掌握二次函数，几何图形及辅助线方法是解决本题的关键，属于压轴题
2．在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C（0，3），顶点为G．
（1）求抛物线和直线AC的解析式；
（2）如图，设E（m，0）为x轴上一动点，若△CGE和△CGO的面积满足S△CGE＝
S△CGO，求点E的坐标；
（3）如图，设点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴向右运动，运动时间为ts，点M为射线AC上一动点，过点M作MN∥x轴交抛物线对称轴右侧部分于点N．试探究点P在运动过程中，是否存在以P，M，N为顶点的三角形为等腰直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）抛物线解析式为：y＝﹣x2+2x+3；直线AC解析式为：y＝3x+3；（2）点E 坐标为（1，0）或（﹣7，0）；（3）存在以P，M，N为顶点的三角形为等腰直角三角
形，t的值为或或．
【解析】
【分析】
（1）用待定系数法即能求出抛物线和直线AC解析式．
（2）△CGE与△CGO虽然有公共底边CG，但高不好求，故把△CGE构造在比较好求的三角形内计算．延长GC交x轴于点F，则△FGE与△FCE的差即为△CGE．
（3）设M的坐标（e，3e+3），分别以M、N、P为直角顶点作分类讨论，利用等腰直角三角形的特殊线段长度关系，用e表示相关线段并列方程求解，再根据e与AP的关系求t 的值．
【详解】
（1）∵抛物线y=ax2+bx+c过点A（-1，0），B（3，0），C（0，3），
, 解得：，
∴抛物线解析式为：y=-x2+2x+3，
设直线AC解析式为y=kx+3，
∴-k+3=0，得：k=3，
∴直线AC解析式为：y=3x+3.
（2）延长GC交x轴于点F，过G作GH⊥x轴于点H，
∵y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，
∴G（1，4），GH=4，
∴S△CGO=OC?x G=×3×1=，
∴S△CGE=S△CGO=×=2，
①若点E在x轴正半轴上，
设直线CG：y=k1x+3，
∴k1+3=4 得：k1=1，
∴直线CG解析式：y=x+3，
∴F（-3，0），
∵E（m，0），
∴EF=m-（-3）=m+3，
∴S△CGE=S△FGE-S△FCE=EF?GH-EF?OC=EF?（GH-OC）=（m+3）?（4-3）=，
∴=2，解得：m=1，
∴E的坐标为（1，0）.
②若点E在x轴负半轴上，则点E到直线CG的距离与点（1，0）到直线CG距离相等，即点E到F的距离等于点（1，0）到F的距离，
∴EF=-3-m=1-（-3）=4，
解得：m=-7 即E（-7，0），
综上所述，点E坐标为（1，0）或（-7，0）.
（3）存在以P，M，N为顶点的三角形为等腰直角三角形，
设M（e，3e+3），则y N=y M=3e+3，
①若∠MPN=90°，PM=PN，如图2，过点M作MQ⊥x轴于点Q，过点N作NR⊥x轴于点R，
∵MN∥x轴，
∴MQ=NR=3e+3，
∴Rt△MQP≌Rt△NRP（HL），
∴PQ=PR，∠MPQ=∠NPR=45°，
∴MQ=PQ=PR=NR=3e+3，
∴x N=x M+3e+3+3e+3=7e+6，即N（7e+6，3e+3），∵N在抛物线上，
∴-（7e+6）2+2（7e+6）+3=3e+3，
解得：e1=-1（舍去），e2=?，
∵AP=t，OP=t-1，OP+OQ=PQ，
∴t-1-e=3e+3，
∴t=4e+4=，
②若∠PMN=90°，PM=MN，如图3，
∴MN=PM=3e+3，
∴x N=x M+3e+3=4e+3，即N（4e+3，3e+3），
∴-（4e+3）2+2（4e+3）+3=3e+3，
解得：e1=-1（舍去），e2=?，
∴t=AP=e-（-1）=?+1＝，
③若∠PNM=90°，PN=MN，如图4，
∴MN=PN=3e+3，N（4e+3，3e+3），
解得：e=?，
∴t=AP=OA+OP=1+4e+3=，
综上所述，存在以P，M，N为顶点的三角形为等腰直角三角形，t的值为或或．【点睛】
本题考查了待定系数法求函数解析式，坐标系中三角形面积计算，等腰直角三角形的性质，解一元二次方程，考查了分类讨论和方程思想．第（3）题根据等腰直角三角形的性质找到相关线段长的关系是解题关键，灵活运用因式分解法解一元二次方程能简便运算．
3．童装店销售某款童装,每件售价为60元,每星期可卖100件,为了促销该店决定降价销售,经市场调查发现：每降价1元,每星期可多卖10件,已知该款童装每件成本30元,设降价后该款童装每件售价x元,每星期的销售量为y件.
(1)降价后,当某一星期的销售量是未降价前一星期销售量的3倍时，求这一星期中每件童装降价多少元?
(2)当每件售价定为多少元时,一星期的销售利润最大,最大利润是多少?
【答案】（1）这一星期中每件童装降价20元；（2）每件售价定为50元时，一星期的销售利润最大，最大利润4000元．
【解析】
【分析】
（1）根据售量与售价x（元/件）之间的关系列方程即可得到结论．
（2）设每星期利润为W元，构建二次函数利用二次函数性质解决问题．
【详解】
解：（1）根据题意得，（60﹣x）×10+100＝3×100，
解得：x＝40，
60﹣40＝20元，
答：这一星期中每件童装降价20元；
（2）设利润为w，
根据题意得，w＝（x﹣30）[（60﹣x）×10+100]＝﹣10x2+1000x﹣21000
＝﹣10（x﹣50）2+4000，
答：每件售价定为50元时，一星期的销售利润最大，最大利润4000元． 【点睛】
本题考查二次函数的应用，一元二次不等式，解题的关键是构建二次函数解决最值问题，利用图象法解一元二次不等式，属于中考常考题型．
4．已知抛物线2y ax bx c =++上有两点M (m +1，a )、N (m ，b ). (1)当a ＝－1，m ＝1时，求抛物线2y ax bx c =++的解析式； (2)用含a 、m 的代数式表示b 和c ；
(3)当a ＜0时，抛物线2y ax bx c =++满足24b ac a -=，2b c a +≥，34
m ≤-， 求a 的取值范围.
【答案】（1）11
b c =??=?；（2）b=-am ，c=-am ；（3）161
393a -≤≤- 【解析】 【分析】
（1）根据题意得到M (2，－1)、N (1，b )，代入抛物线解析式即可求出b 、c ；
（2）将点M (m +1，a )、N (m ，b )代入抛物线2
y ax bx c =++，可得
22
(1)(1)a m b m c a am bm c b
?++++=?++=?，化简即可得出；
（3）把b am =-，c am =-代入24b ac a -=可得21
4a m m
=
+，把b am =-，
c am =-代入2b c a +≥可得1m ≥-，然后根据m 的取值范围可得a 的取值范围.
【详解】
解：(1)∵a ＝－1，m ＝1，∴M (2，－1)、N (1，b ) 由题意，得4211b c b c b -++=-??
-++=?，解，得1
1b c =??
=?
(2) ∵点M (m +1，a )、N (m ，b )在抛物线2y ax bx c =++上
22
(1)(1)a m b m c a am bm c b ?++++=?++=?①
②
①－②得，2am b b +=-，∴b am =-
把b am =-代入②，得c am =-
(3)把b am =-，c am =-代入24b ac a -=得2224a m a m a +=
0a <，221
41,4am am a m m
∴+=∴=
+
把b am =-，c am =-代入2b c a +≥得22am a -≥，1m ∴≥-
34m ≤-，314
m ∴-≤≤-
224(2)4m m m +=+-，当2m >-时，24m m +随m 的增大而增大
2393416
m m ∴-≤+≤-
216113943m m ∴-
≤≤-+ 即161393a -≤≤- 【点睛】
本题考查待定系数法求函数解析式以及二次函数的图像和性质，由函数图像上点的坐标特征求出b am =-，c am =-是解题关键.
5．二次函数y=x 2-2mx+3（m ＞
）的图象与x 轴交于点A （a ，0）和点B （a+n ，0）（n
＞0且n 为整数），与y 轴交于C 点．
（1）若a=1，①求二次函数关系式；②求△ABC 的面积； （2）求证：a=m-；
（3）线段AB （包括A 、B ）上有且只有三个点的横坐标是整数，求a 的值． 【答案】（1）y=x 2-4x+3；3；（2）证明见解析；（3）a=1或a=?．
【解析】
试题分析：（1）①首先根据a=1求得A 的坐标，然后代入二次函数的解析式，求得m 的值即可确定二次函数的解析式；
②根据解析式确定抛物线与坐标轴的交点坐标，从而确定三角形的面积；
（2）将原二次函数配方后即可确定其对称轴为x=m ，然后根据A 、B 两点关于x=m 对称得到a+n-m=m-a ，从而确定a 、m 、n 之间的关系；
（3）根据a=m-得到A （m-，0）代入y=（x-m ）2-m 2+3得0=（m--m ）2-m 2+3，求得m 的值即可确定a 的值． 试题解析：（1）①∵a=1， ∴A （1，0），
代入y=x 2-2mx+3得1-2m+3=0，解得m=2， ∴y=x 2-4x+3；
②在y=x 2-4x+3中，当y=0时，有x 2-4x+3=0可得x=1或x=3， ∴A （1，0）、B （3，0），
∴AB=2再根据解析式求出C 点坐标为（0，3）， ∴OC=3，
△ABC 的面积=×2×3=3；
（2）∵y=x 2-2mx+3=（x-m ）2-m 2+3，
∴对称轴为直线x=m，
∵二次函数y=x2-2mx+3的图象与x轴交于点A和点B
∴点A和点B关于直线x=m对称，
∴a+n-m=m-a，
∴a=m-；
（3）y=x2-2mx+3（m＞）化为顶点式为y=（x-m）2-m2+3（m＞）
①当a为整数，因为n＞0且n为整数所以a+n是整数，
∵线段AB（包括A、B）上有且只有三个点的横坐标是整数，
∴n=2，
∴a=m-1，
∴A（m-1，0）代入y=（x-m）2-m2+3得（x-m）2-m2+3=0，
∴m2-4=0，
∴m=2，m=-2（舍去），
∴a=2-1=1，
②当a不是整数，因为n＞0且n为整数所以a+n不是整数，
∵线段AB（包括A、B）上有且只有三个点的横坐标是整数，
∴n=3，
∴a=m-
∴A（m-，0）代入y=（x-m）2-m2+3得0=（m--m）2-m2+3，
∴m2=，
∴m=，m=-（舍去），
∴a=?，
综上所述：a=1或a=?．
考点：二次函数综合题．
6．已知二次函数的图象以A（﹣1，4）为顶点，且过点B（2，﹣5）
（1）求该函数的关系式；
（2）求该函数图象与坐标轴的交点坐标；
（3）将该函数图象向右平移，当图象经过原点时，A、B两点随图象移至A′、B′，求△O A′B′的面积．
【答案】（1）y=﹣x2﹣2x+3；（2）抛物线与x轴的交点为：（﹣3，0），（1，0）（3）15.
【解析】
【分析】（1）已知了抛物线的顶点坐标，可用顶点式设该二次函数的解析式，然后将B 点坐标代入，即可求出二次函数的解析式；
（2）根据函数解析式，令x=0，可求得抛物线与y轴的交点坐标；令y=0，可求得抛物线与x轴交点坐标；
（3）由（2）可知：抛物线与x轴的交点分别在原点两侧，由此可求出当抛物线与x轴负半轴的交点平移到原点时，抛物线平移的单位，由此可求出A′、B′的坐标．由于△OA′B′不规则，可用面积割补法求出△OA′B′的面积．
【详解】（1）设抛物线顶点式y=a（x+1）2+4，
将B（2，﹣5）代入得：a=﹣1，
∴该函数的解析式为：y=﹣（x+1）2+4=﹣x2﹣2x+3；
（2）令x=0，得y=3，因此抛物线与y轴的交点为：（0，3），
令y=0，﹣x2﹣2x+3=0，解得：x1=﹣3，x2=1，
即抛物线与x轴的交点为：（﹣3，0），（1，0）；
（3）设抛物线与x轴的交点为M、N（M在N的左侧），
由（2）知：M（﹣3，0），N（1，0），
当函数图象向右平移经过原点时，M与O重合，因此抛物线向右平移了3个单位，
故A'（2，4），B'（5，﹣5），
∴S△OA′B′=1
2
×（2+5）×9﹣
1
2
×2×4﹣
1
2
×5×5=15．
【点睛】本题考查了用待定系数法求抛物线解析式、函数图象与坐标轴交点、图形面积的求法等知识．熟练掌握待定系数法、函数图象与坐标轴的交点的求解方法、不规则图形的面积的求解方法等是解题的关键.
7．如图，已知二次函数图象的顶点坐标为(1,4)
A，与坐标轴交于B、C、D三点，且B点的坐标为(1,0)
．
（1）求二次函数的解析式；
（2）在二次函数图象位于x轴上方部分有两个动点M、N，且点N在点M的左侧，过M、N作x轴的垂线交x轴于点G、H两点，当四边形MNHG为矩形时，求该矩形周长的最大值；
（3）当矩形MNHG 的周长最大时，能否在二次函数图象上找到一点P ，使PNC ?的面积是矩形MNHG 面积的
9
16
？若存在，求出该点的横坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）2y x 2x 3=-++ （2）最大值为10 （3）故点P 坐标为：315(,)24或33232(24+--或332362
(,24
--+． 【解析】 【分析】
（1）二次函数表达式为：()2
14y a x =-+，将点B 的坐标代入上式，即可求解； （2）矩形MNHG 的周长
()()
2222222223282C MN GM x x x x x =+=-+-++=-++，即可求解；
（3）2711sin4532822PNC S PK CD PH ?==??=????9
4
PH HG ==，即可求解． 【详解】
（1）二次函数表达式为：()2
14y a x =-+，
将点B 的坐标代入上式得：044a =+，解得：1a =-， 故函数表达式为：2
23y x x =-++…①；
（2）设点M 的坐标为(
)
2
,23x x x -++，则点(
)
2
2,23N x x x --++， 则222MN x x x =-+=-，223GM x x =-++，
矩形MNHG 的周长()()
2
2
22222223282C MN GM x x x x x =+=-+-++=-++，
∵20-<，故当22b
x a
=-
=，C 有最大值，最大值为10， 此时2x =，点()0,3N 与点D 重合； （3）PNC ?的面积是矩形MNHG 面积的916
， 则99272316168
PNC S MN GM ?=
??=??=， 连接DC ，在CD 得上下方等距离处作CD 的平行线m 、n ，
过点P 作y 轴的平行线交CD 、直线n 于点H 、G ，即PH GH =， 过点P 作PK CD ⊥于点K ，
将()3,0C 、()0,3D 坐标代入一次函数表达式并解得： 直线CD 的表达式为：3y x =-+，
OC OD =，∴45OCD ODC PHK ∠=∠=?=∠，32CD =
设点()
2
,23P x x x -++，则点(),3H x x -+，
2711
sin4532822
PNC S PK CD PH ?=
=??=???? 解得：9
4
PH HG =
=， 则2
92334
PH x x x =-+++-=， 解得：32
x =
， 故点315,24P ?? ???
， 直线n 的表达式为：93
344
y x x =-+-=-+…②， 联立①②并解得：3322
x ±=
， 即点'P 、''P 的坐标分别为332362+--??、332362--+??； 故点P 坐标为：315,24?? ???或33236224??+-- ? ???或33236224?--+ ??
． 【点睛】
主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
8．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线的顶点坐标为（2，0），且经过点（4，1），
如图，直线y=1
4
x与抛物线交于A、B两点，直线l为y=﹣1．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在l上是否存在一点P，使PA+PB取得最小值？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）知F（x0，y0）为平面内一定点，M（m，n）为抛物线上一动点，且点M到直线l的距离与点M到点F的距离总是相等，求定点F的坐标．
【答案】（1）抛物线的解析式为y=1
4
x2﹣x+1．（2）点P的坐标为（
28
13
，﹣1）．（3）
定点F的坐标为（2，1）．
【解析】
分析：（1）由抛物线的顶点坐标为（2，0），可设抛物线的解析式为y=a（x-2）2，由抛物线过点（4，1），利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）联立直线AB与抛物线解析式成方程组，通过解方程组可求出点A、B的坐标，作点B关于直线l的对称点B′，连接AB′交直线l于点P，此时PA+PB取得最小值，根据点B的坐标可得出点B′的坐标，根据点A、B′的坐标利用待定系数法可求出直线AB′的解析式，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点P的坐标；
（3）由点M到直线l的距离与点M到点F的距离总是相等结合二次函数图象上点的坐标
特征，即可得出（1-1
2
-
1
2
y0）m2+（2-2x0+2y0）m+x02+y02-2y0-3=0，由m的任意性可得出关
于x0、y0的方程组，解之即可求出顶点F的坐标．详解：（1）∵抛物线的顶点坐标为（2，0），
设抛物线的解析式为y=a（x-2）2．
∵该抛物线经过点（4，1），
∴1=4a，解得：a=1
4
，
∴抛物线的解析式为y=1
4（x-2）2=
1
4
x2-x+1．
（2）联立直线AB与抛物线解析式成方程组，得：
214
1
14y x y x x ?????-+??
＝＝，解得：11114x y ?????＝＝，2241x y ??
?＝＝， ∴点A 的坐标为（1，
1
4
），点B 的坐标为（4，1）． 作点B 关于直线l 的对称点B′，连接AB′交直线l 于点P ，此时PA+PB 取得最小值（如图1所示）．
∵点B （4，1），直线l 为y=-1， ∴点B′的坐标为（4，-3）．
设直线AB′的解析式为y=kx+b （k≠0）， 将A （1，
1
4
）、B′（4，-3）代入y=kx+b ，得： 1443k b k b ?+??
?+-?＝＝，解得：1312
43k b ?
-??????
＝＝， ∴直线AB′的解析式为y=-1312x+43
， 当y=-1时，有-1312x+4
3
=-1， 解得：x=
28
13
， ∴点P 的坐标为（
28
13
，-1）． （3）∵点M 到直线l 的距离与点M 到点F 的距离总是相等， ∴（m-x 0）2+（n-y 0）2=（n+1）2， ∴m 2-2x 0m+x 02-2y 0n+y 02=2n+1． ∵M （m ，n ）为抛物线上一动点，
∴n=1
4
m2-m+1，
∴m2-2x0m+x02-2y0（1
4
m2-m+1）+y02=2（
1
4
m2-m+1）+1，
整理得：（1-
1
2
-
1
2
y0）m2+（2-2x0+2y0）m+x02+y02-2y0-3=0．
∵m为任意值，
∴
00
22
000
11
10
22
2220
230
y
x y
x y y
?
--
?
?
-+
?
?+--
?
?
＝
＝
＝
，
∴0
2
1
x
y
?
?
?
＝
＝
，
∴定点F的坐标为（2，1）．
点睛：本题考查了待定系数法求二次（一次）函数解析式、二次（一次）函数图象上点的坐标特征、轴对称中的最短路径问题以及解方程组，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式；（2）利用两点之间线段最短找出点P的位置；（3）根据点M到直线l的距离与点M到点F的距离总是相等结合二次函数图象上点的坐标特征，找出关于x0、y0的方程组．
9．如图，抛物线y=ax2+bx过点B（1，﹣3），对称轴是直线x=2，且抛物线与x轴的正半轴交于点A．
（1）求抛物线的解析式，并根据图象直接写出当y≤0时，自变量x的取值范围；
（2）在第二象限内的抛物线上有一点P，当PA⊥BA时，求△PAB的面积．
【答案】（1）抛物线的解析式为y=x2﹣4x，自变量x的取值范图是0≤x≤4；（2）△PAB的面积=15．
【解析】
【分析】
（1）将函数图象经过的点B坐标代入的函数的解析式中，再和对称轴方程联立求出待定系数a和b；
（2）如图，过点B作BE⊥x轴，垂足为点E，过点P作PE⊥x轴，垂足为F，设P（x，x2-
4x），证明△PFA∽△AEB,求出点P的坐标，将△PAB的面积构造成长方形去掉三个三角形的面积．
【详解】
（1）由题意得，
3
2 2
a b
b
a
+-
?
?
?
-?
?
＝
＝
，
解得
1
4
a
b-
?
?
?
＝
＝
，
∴抛物线的解析式为y=x2-4x，
令y=0，得x2-2x=0，解得x=0或4，
结合图象知，A的坐标为（4，0），
根据图象开口向上，则y≤0时，自变量x的取值范围是0≤x≤4；
（2）如图，过点B作BE⊥x轴，垂足为点E，过点P作PE⊥x轴，垂足为F，
设P（x，x2-4x）,
∵PA⊥BA
∴∠PAF+∠BAE=90°,
∵∠PAF+∠FPA=90°,
∴∠FPA=∠BAE
又∠PFA=∠AEB=90°
∴△PFA∽△AEB,
∴PF AF
AE BE
=，即
244
213
x x x
--
=
-
，
解得，x= ?1，x=4（舍去）
∴x2-4x=-5
∴点P的坐标为（-1，-5），
又∵B点坐标为（1，-3），易得到BP直线为y=-4x+1
所以BP与x轴交点为（
1
4
，0）
∴S△PAB=1155315
24
??+=
【点睛】
本题是二次函数综合题，求出函数解析式是解题的关键，特别是利用待定系数法将两条直线表达式解出，利用点的坐标求三角形的面积是关键．
10．如图1,抛物线2
112y ax x c =-
+与x 轴交于点A 和点()1,0B ,与y 轴交于点30,4C ?? ???
,抛物线1y 的顶点为,G GM x ⊥轴于点M ．将抛物线1y 平移后得到顶点为B 且对称轴为直
l 的抛物线2y ．
(1)求抛物线2y 的解析式；
(2)如图2,在直线l 上是否存在点T ,使TAC ?是等腰三角形?若存在,请求出所有点T 的坐标:若不存在,请说明理由；
(3)点P 为抛物线1y 上一动点,过点P 作y 轴的平行线交抛物线2y 于点Q ，点Q 关于直线l 的对称点为R ，若以,,P Q R 为顶点的三角形与AMC ?全等,求直线PR 的解析式． 【答案】（1）抛物线2y 的解析式为2111
424
y x x =-
+-；（2）T 点的坐标为13137T +,23137
T -,3
77(1,)8T -；（3）PR 的解析式为13y x 24=-+或11
24y x =--.
【解析】
分析：（1）把()1,0B 和30,4C ?? ???代入2
1
12
y ax x c =-+求出a 、c 的值，进而求出y 1，再根据平移得出y 2即可；
（2）抛物线2y 的对称轴l 为1x =,设()1,T t ,已知()33,0,0,
4A C ?
?
- ??
?
，过点T 作TE y ⊥轴于E ,分三种情况时行讨论等腰三角形的底和腰，得到关于t 的方程，解方程即可；
（3）设2113,424P m m m ??--+ ???,则2111,424Q m m m ?
?-+- ??
?,根据对称性得
21112,424R m m m ?
?--+- ??
?,分点P 在直线的左侧或右侧时,结合以,,P Q R 构成的三角形
与AMG ?全等求解即可. 详解:(1)由题意知，
34
102c a c ?=?
??
?-+=??
， 解得1
4
a =-
， 所以,抛物线y 的解析式为21113424y x x =-
-+； 因为抛物线1y 平移后得到抛物线2y ,且顶点为()1,0B ， 所以抛物线2y 的解析式为()2
2114
y x =--， 即： 22111424
y x x =-
+-； (2)抛物线2y 的对称轴l 为1x =,设()1,T t ,已知()33,0,0,4A C ?
?- ???
， 过点T 作TE y ⊥轴于E ,
则22221TC TE CE =+=+ 2
233254216t t t ??-=-+ ???
，
222
TA TB AB =+= ()2
22
1316t t ++=+，
2153
16
AC =
， 当TC AC =时， 即2
32515321616
t t -
+=， 解得13137t +=
或23137
t -=； 当TC AC =时,得2
153
1616
t +=
，无解；
当TC AC =时,得2
232516216t t t -
+=+,
解得3778
t =-; 综上可知,在抛物线2y 的对称轴l 上存在点T 使TAC ?是等腰三角形,此时T 点的坐标为
131371,4T ??+ ? ???,231371,4T ??- ? ???
,3771,8T ??
- ???. (3)设2113,424P m m m ?
?-
-+ ???,则2111,424Q m m m ?
?-+- ??
?, 因为,Q R 关于1x =对称,
所以21112,424R m m m ??--
+- ???
, 情况一:当点P 在直线的左侧时,
2113424PQ m m =--+- 211
114
24m m m ??-+-=- ???,
22QR m =-,
又因为以,,P Q R 构成的三角形与AMG ?全等, 当PQ GM =且QR AM =时,0m =, 可求得30,4P ?
?
???
,即点P 与点C 重合 所以12,4R ?
?-
???
, 设PR 的解析式y kx b =+,
则有3,4
12.
4b k b ?=????+=-??
解得1
2
k =-
, 即PR 的解析式为1324
y x =-
+, 当PQ AM =且QR GM =时,无解,
二次函数易错题、重点题型汇总
二次函数易错题、重点题型汇总 一、选择题 1、若二次函数52 ++=bx x y 配方后为k x y +-=2 )2(则b 、k 的值分别为（ ） A 0．5 B 0．1 C —4．5 D —4．1 2、在平面直角坐标系中，抛物线y ＝x 2＋2x 与坐标轴的交点的个数是（ ） A.3 B.2 C.1 D.0 3、根据下列表格的对应值： x 3.23 3.24 3.25 3.26 y=ax 2+bx+c -0.6 -0. 2 0. 3 0.9 判断方程ax 2+bx+c-0.4=0（a ≠0,a 、b 、c 为常数）一个解的范围是（ ） Ａ．3＜x ＜3.23 Ｂ．3.23＜x ＜3.24 Ｃ．3.24＜x ＜3.25 Ｄ．3.25＜x ＜3.26 4、已知二次函数c bx ax y ++=2的图象过点A （1，2），B （3，2），C （5，7）．若点M （-2，y 1），N （-1，y 2），K （8，y 3）也在二次函数c bx ax y ++=2的图象上，则下列结论正确的是（ ） A ．y 1＜y 2＜y 3 B ．y 2＜y 1＜y 3 C ．y 3＜y 1＜y 2 D ．y 1＜y 3＜y 2 5、把抛物线y=2x 2 －4x －5绕顶点旋转180o，得到的新抛物线的解析式是（ ） A ．y= －2x 2 －4x －5 B ．y=－2x 2+4x+5 C ．y=－2x 2+4x －9 D ．以上都不对 6、已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，下列结论：①a+b+c>0；②a －b+c>0；③abc<0； ④2a+b=0．其中正确的个数为（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 7、函数y=x 2 -2x-2的图象如右图所示，根据其中提供的信息，可求得使y ≥1成立的x 的取值范围是（ ） A ．31≤≤-x B ．31<<-x C ．31>-
中考数学二次函数-经典压轴题及答案
一、二次函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．如图，抛物线y＝x2﹣mx﹣（m+1）与x轴负半轴交于点A（x1，0），与x轴正半轴交于点B（x2，0）（OA＜OB），与y轴交于点C，且满足x12+x22﹣x1x2＝13． （1）求抛物线的解析式； （2）以点B为直角顶点，BC为直角边作Rt△BCD，CD交抛物线于第四象限的点E，若EC ＝ED，求点E的坐标； （3）在抛物线上是否存在点Q，使得S△ACQ＝2S△AOC？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3；（2）E 113 +113 + 3）点Q的坐 标为（﹣3，12）或（2，﹣3）．理由见解析. 【解析】 【分析】 （1）由根与系数的关系可得x1+x2＝m，x1?x2＝﹣（m+1），代入x12+x22﹣x1x2＝13，求出m1＝2，m2＝﹣5．根据OA＜OB，得出抛物线的对称轴在y轴右侧，那么m＝2，即可确定抛物线的解析式； （2）连接BE、OE．根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出BE＝1 2 CD＝CE．利 用SSS证明△OBE≌△OCE，得出∠BOE＝∠COE，即点E在第四象限的角平分线上，设E点坐标为（m，﹣m），代入y＝x2﹣2x﹣3，求出m的值，即可得到E点坐标； （3）过点Q作AC的平行线交x轴于点F，连接CF，根据三角形的面积公式可得S△ACQ＝S△ACF．由S△ACQ＝2S△AOC，得出S△ACF＝2S△AOC，那么AF＝2OA＝2，F（1，0）．利用待定系数法求出直线AC的解析式为y＝﹣3x﹣3．根据AC∥FQ，可设直线FQ的解析式为y＝﹣3x+b，将F（1，0）代入，利用待定系数法求出直线FQ的解析式为y＝﹣3x+3，把它与抛 物线的解析式联立，得出方程组 223 33 y x x y x ?=-- ? =-+ ? ，求解即可得出点Q的坐标． 【详解】 （1）∵抛物线y＝x2﹣mx﹣（m+1）与x轴负半轴交于点A（x1，0），与x轴正半轴交于点B（x2，0）， ∴x1+x2＝m，x1?x2＝﹣（m+1），
中考数学二次函数经典易错题解析
中考数学二次函数经典易错题解析 篇一：2019年中考数学压轴题二次函数--抛物线经典赏析 2019年中考数学压轴题二次函数--抛物线经典赏析 1． 如图隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是12m，宽是4m．按 1 照图中所示的直角坐标系，抛物线可以用y??x2?bx?c表示，且抛物线上的 617 点c到oB的水平距离为3m，到地面oA的距离为m。 2 （1）求抛物线的函数关系式，并计算出拱顶D到地面oA的距离； （2）一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6m，宽为4m，如果隧道内设双 向车道，那么这辆货车能否安全通过？ （3）在抛物线型拱璧上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果 灯离地面的高度不超过8m，那么两排灯的水平距离最小是多少米？2．
已知如图1，在以o为原点的平面直角坐标系中，抛物线y＝x2＋bx＋c与 14 x轴交于A,B两点，与y轴交于点c，连接Ac，Ao＝2co，直线l 过点G（0，t）且平行于x轴，t＜1．（1）求抛物线对应的二次函数的解析式； （2）①若D（4，m）为抛物线y＝x2＋bx＋c上一定点，点D到直线l的 距离记为d，当d＝Do时，求t的值； ②若为抛物线y＝x2＋bx＋c上一动点，点D到①中的直线l的距离与 14 14 oD的长是否恒相等，说明理由； （3）如图2，若E,F为上述抛物线上的两个动点，且EF＝8，线段EF的中点 为m，求点m纵坐标的最小值． 图1图2 3.如图，直线y=x+2与抛物线y=ax2+bx+6（a≠0）相交于A（，）和B（4，m），点P是线段AB上异于A、B的动点，过点P作Pc⊥x 轴于点D，交抛物线于点c．（1）求抛物线的解析式； （2）是否存在这样的P点，使线段Pc的长
初三《二次函数》经典习题 汇编(易错题、难题)
二次函数习题讲解 一、二次函数的相关概念 1．若函数的图象与轴只有一个交点，那么的值为（ ） A．0 B．0或2 C．2或－2 D．0，2或－2 2．当或（）时，代数式的值相等，则时，代数式的值为 。3．已知和时，多项式的值相等，且，则当时，多项式的值等于 ________。 二、二次函数的顶点问题 1．若抛物线的顶点在第一象限，则的取值范围为________。 2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线所表示的函数解析式为，则下列结论正确的是（ ） A．， B．， C．， D．， 三、二次函数的对称轴问题 1．已知二次函数，当时，的值随值的增大而减小，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 2．已知二次函数，当时，随的增大而增大，则实数的取值范围是 ________。 3．已知二次函数，当时，随的增大而增大，而的取值范围是（ ）A． B． C． D． 四、二次函数的图象共存问题 1．在同一直角坐标系中，函数和（是常数，且）的图象可能是 （ ）
A B C D 2．二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一坐标系 内的图象大致为（ ）
A B C D 五、二次函数的图象综合问题 1．已知二次函数的图象如图所示，对称轴为。下列结论中，正确的是 （ ） A． B． C． D． 2．已知二次函数的图象如图所示，下列结论：
①；②；③；④。其中，正确结论的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．已知二次函数的图象如图所示，下列4个结论： ①；②；③；④；⑤（为不等于1的任意实数）。 其中正确的结论有（ ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 4．已知二次函数的图象如图所示，下列结论： ①；②；③；④。 其中正确的有________。 5．二次函数（是常数，且）图象的对称轴是直线，其图象的一部分如图所示。对于下列说法：
初三《二次函数》经典习题汇编(易错题、难题)
《 二次函数 》经典习题汇编 模块一：二次函数的相关概念 1．（2014山东东营，9）若函数21(2)12 y mx m x m =++++的图象与x 轴只有一个交点，那么m 的值为（ ） A ．0 B ．0或2 C ．2或－2 D ．0，2或－2 2．（2015江苏宿迁，16）当x m =或x n =（m n ≠）时，代数式223x x -+的值相等，则x m n =+时，代数 式223x x -+的值为 。 3．（2013江苏南通，18）已知22x m n =++和2x m n =+时，多项式2 46x x ++的值相等，且20m n -+≠，则当3(1)x m n =++时，多项式246x x ++的值等于________。 模块二：二次函数的顶点问题 1．（2015湖南益阳，8改编）若抛物线2()(1)y x m m =+++的顶点在第一象限，则m 的取值范围为________。 2．(2013吉林，6)如图，在平面直角坐标系中，抛物线所表示的函数解析式为22()y x h k =--+，则下列结论正确的是（ ） A ．0h >，0k > B ．0h <，0k > C ．0h <，0k < D ．0h >，0k < 模块三：二次函数的对称轴问题 1．（2014福建三明，10）已知二次函数2 2y x bx c =-++，当1x >时，y 的值随x 值的增大而减小，则实数b 的取值范围是（ ） A ．1b ≥- B ．1b ≤- C ．1b ≥ D ．1b ≤ 2．（2013贵州贵阳，15）已知二次函数222y x mx =++，当2x >时，y 随x 的增大而增大，则实数m 的取值范围是________。 3．（2015江苏常州，7）已知二次函数2(1)1y x m x =+-+，当1x >时，y 随x 的增大而增大，而m 的取值范围是（ ） A ．1m =- B ．3m = C ．1m ≤- D ．1m ≥- 模块四：二次函数的图象共存问题 1．在同一直角坐标系中，函数y mx m =+和222y mx x =-++（m 是常数，且0m ≠）的图象可能是（ ）
九年级数学 二次函数易错题(Word版 含答案)
九年级数学 二次函数易错题（Word 版 含答案） 一、初三数学 二次函数易错题压轴题（难） 1．如图，抛物线()2 1y x a x a =-++与x 轴交于,A B 两点(点A 位于点B 的左侧)，与y 轴的负半轴交于点C ． ()1求点B 的坐标． ()2若ABC 的面积为6． ①求这条抛物线相应的函数解析式． ②在拋物线上是否存在一点,P 使得POB CBO ∠=∠？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）（1，0）；（2）①2 23y x x =+-；②存在，点P 的坐标为 1133313++??或53715337-+-?? ． 【解析】 【分析】 （1）直接令0y =，即可求出点B 的坐标； （2）①令x=0，求出点C 坐标为（0，a ），再由△ABC 的面积得到1 2 (1?a)?(?a)＝6即可求a 的值，即可得到解析式； ②当点P 在x 轴上方时，直线OP 的函数表达式为y=3x ，则直线与抛物线的交点为P ；当点P 在x 轴下方时，直线OP 的函数表达式为y=-3x ，则直线与抛物线的交点为P ；分别求出点P 的坐标即可． 【详解】 解：()1当0y =时，()2 10,x a x a -++= 解得121,.x x a == 点A 位于点B 的左侧，与y 轴的负半轴交于点,C
0,a ∴< ∴点B 坐标为()1,0． ()2①由()1可得，点A 的坐标为(),0a ，点C 的坐标为()0,,0,a a < 1,AB a OC a ∴=-=- ABC 的面积为6, ()()1 16,2a a ∴ --?= 123,4a a ∴=-=． 0,a < 3a ∴=- 22 3.y x x =+- ②点B 的坐标为()1,0,点C 的坐标为()0,3-， ∴设直线BC 的解析式为3,y kx =- 则03,k =- 3k ∴=． ,POB CBO ∠=∠ ∴当点P 在x 轴上方时，直线//OP 直线,BC ∴直线OP 的函数解析式3,y x =为 则2 3, 23,y x y x x =?? =+-? 1112x y ?=??∴??=??(舍去) ，2212x y ?+=????=??∴点的P 坐标为1322??+ ? ??? ； 当点P 在x 轴下方时，直线'OP 与直线OP 关于x 轴对称， 则直线'OP 的函数解析式为3,y x =- 则2 3,23,y x y x x =-??=+-? 1152x y ?-=??∴??=??舍去) ，2252x y ?-=????=??
《二次函数》易错题试卷及标准标准答案
浙教版数学九年级上《二次函数》单元测试卷 （时间：60分钟 分值：100分 出卷人：历山中学 景祝君 班级：_________ 姓名：_________ 一、选择题（每小题3分，共30分） 1、在下列函数关系式中，（1）2 2x y -=；（2）2 x x y -=；（3）3)1(22 +-=x y ； （4）332 --=x y ，二次函数有（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】D 【解析】二次函数的一般式为c bx ax y ++=2 （0≠a ），4个均为二次函数，故选D. 【易错点】本题考查二次函数的定义和一般式，属容易题，但学生对二次函数解析式的常见形式把握不够，还是出现把（3）不当二次函数来处理.. 2、若3 2 )2(--=m x m y 是二次函数，且开口向上，则m 的值为（ ） A.5± B. 5 C. — 5 D.0 【答案】C 【解析】二次函数的“二次”体现为自变量的最高次数为2次，因此32 -m =2，且2-m 0≠， 故选C. 【易错点】考查二次函数的定义，属容易题，学生容易得出32 -m =2，但会忽略2-m 0≠， 说明对二次函数的“二次”定义理解不透彻. 3、把抛物线2 3x y =向上平移2个单位，向向右平移3个单位，所得的抛物线解析式是（ ） A. 2)3(32 -+=x y B. 2)3(32 ++=x y C. 2)3(32 --=x y D. 2)3(32 +-=x y 【答案】D 【解析】由二次函数的平移规律即可得出答案，故选D. 【易错点】考查二次函数的平移规律，属容易题，但学生过分强调死记硬背，不数形结合，
二次函数易错题汇编附答案
二次函数易错题汇编附答案 一、选择题 1．若二次函数y ＝x 2﹣2x+2在自变量x 满足m≤x≤m+1时的最小值为6，则m 的值为（ ） A ．5,5,15,12-+- B ．5,51-+ C ．1 D ．5,15-- 【答案】B 【解析】 【分析】 由抛物线解析式确定出其对称轴为x=1，分m ＞1或m+1＜1两种情况，分别确定出其最小值，由最小值为6，则可得到关于m 的方程，可求得m 的值． 【详解】 ∵y ＝x 2﹣2x+2＝（x ﹣1）2+1， ∴抛物线开口向上，对称轴为x ＝1， 当m ＞1时，可知当自变量x 满足m≤x≤m+1时，y 随x 的增大而增大， ∴当x ＝m 时，y 有最小值， ∴m 2﹣2m+2＝6，解得m ＝1+5或m ＝1﹣5（舍去）， 当m+1＜1时，可知当自变量x 满足m≤x≤m+1时，y 随x 的增大而减小， ∴当x ＝m+1时，y 有最小值， ∴（m+1）2﹣2（m+1）+2＝6，解得m ＝5（舍去）或m ＝﹣5， 综上可知m 的值为1+5或﹣5． 故选B ． 【点睛】 本题主要考查二次函数的性质，用m 表示出其最小值是解题的关键． 2．已知二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图，则下列4个结论：①abc ＜0；②2a +b ＝0；③4a +2b +c ＞0；④b 2﹣4ac ＞0；其中正确的结论的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【答案】D 【解析】 【分析】 根据二次函数y ＝ax 2+bx +c 系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y 轴的交点抛物线与x 轴交点的个数确定解答．
初中数学二次函数易错题汇编及答案
初中数学二次函数易错题汇编及答案 一、选择题 1．抛物线y 1=ax 2+bx +c 与直线y 2=mx +n 的图象如图所示，下列判断中：①abc ＜0；②a +b +c ＞0；③5a -c =0；④当x ＜或x ＞6时，y 1＞y 2，其中正确的个数有（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】 解：根据函数的开口方向、对称轴以及函数与y 轴的交点可知：a >0，b <0，c >0，则abc <0，则①正确； 根据图形可得：当x=1时函数值为零，则a+b+c=0，则②错误； 根据函数对称轴可得：-2b a =3，则b=-6a ，根据a+b+c=0可知：a-6a+c=0，-5a+c=0，则5a-c=0，则③正确； 根据函数的交点以及函数图像的位置可得④正确. 点睛：本题主要考查的就是函数图像与系数之间的关系，属于中等题目,如果函数开口向上，则a 大于零，如果函数开口向下，则a 小于零；如果函数的对称轴在y 轴左边，则b 的符号与a 相同，如果函数的对称轴在y 轴右边，则b 的符号与a 相反；如果函数与x 轴交于正半轴，则c 大于零，如果函数与x 轴交于负半轴，则c 小于零；对于出现a+b+c 、a-b+c 、4a+2b+c 、4a-2b+c 等情况时，我们需要找具体的值进行代入从而得出答案；对于两个函数值的大小比较，我们一般以函数的交点为分界线，然后进行分情况讨论. 2．一列自然数0，1，2，3，…，100．依次将该列数中的每一个数平方后除以100，得到一列新数．则下列结论正确的是（ ） A ．原数与对应新数的差不可能等于零 B ．原数与对应新数的差，随着原数的增大而增大 C ．当原数与对应新数的差等于21时，原数等于30 D ．当原数取50时，原数与对应新数的差最大 【答案】D 【解析】 【分析】
人教备战中考数学易错题专题复习-二次函数练习题及答案
一、二次函数 真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．某宾馆客房部有60个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天200元时，房间可以住满．当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．对有游客入住的房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用． 设每个房间每天的定价增加x 元．求： （1）房间每天的入住量y （间）关于x （元）的函数关系式； （2）该宾馆每天的房间收费p （元）关于x （元）的函数关系式； （3）该宾馆客房部每天的利润w （元）关于x （元）的函数关系式；当每个房间的定价为每天多少元时，w 有最大值？最大值是多少？ 【答案】（1）y=60-10 x ；（2）z=-110x 2+40x+12000；（3）w=-110x 2+42x+10800，当每个房 间的定价为每天410元时，w 有最大值，且最大值是15210元． 【解析】 试题分析：（1）根据题意可得房间每天的入住量=60个房间﹣每个房间每天的定价增加的钱数÷10； （2）已知每天定价增加为x 元，则每天要（200+x ）元．则宾馆每天的房间收费=每天的实际定价×房间每天的入住量； （3）支出费用为20×（60﹣10x ），则利润w =（200+x ）（60﹣10x ）﹣20×（60﹣10 x ），利用配方法化简可求最大值． 试题解析：解：（1）由题意得： y =60﹣ 10 x （2）p =（200+x ）（60﹣ 10x ）=﹣ 2 110x +40x +12000 （3）w =（200+x ）（60﹣10x ）﹣20×（60﹣10 x ） =﹣2 110 x +42x +10800 =﹣ 1 10 （x ﹣210）2+15210 当x =210时，w 有最大值． 此时，x +200=410，就是说，当每个房间的定价为每天410元时，w 有最大值，且最大值是15210元． 点睛：求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．本题主要考查的是二次函数的应用，难度一般．
二次函数易错题汇编含答案
二次函数易错题汇编含答案 一、选择题 1．如图是二次函数2y ax bx c =++的图象，有下面四个结论：0abc >①； 0a b c ②-+>； 230a b +>③；40c b ->④，其中正确的结论是( ) A ．①② B ．①②③ C ． ①③④ D ． ①②④ 【答案】D 【解析】 【分析】 根据抛物线开口方向得到a 0>，根据对称轴02b x a =- >得到b 0<，根据抛物线与y 轴的交点在x 轴下方得到c 0<，所以0abc >；1x =-时，由图像可知此时0y >，所以 0a b c -+>；由对称轴1 23 b x a =- =，可得230a b +=；当2x =时，由图像可知此时0y >，即420a b c ++>，将23a b =-代入可得40c b ->. 【详解】 ①根据抛物线开口方向得到0a >，根据对称轴02b x a =- >得到b 0<，根据抛物线与y 轴的交点在x 轴下方得到c 0<，所以0abc >，故①正确. ②1x =-时，由图像可知此时0y >，即0a b c -+>，故②正确. ③由对称轴1 23 b x a =- =，可得230a b +=，所以230a b +>错误，故③错误； ④当2x =时，由图像可知此时0y >，即420a b c ++>，将③中230a b +=变形为 23a b =-，代入可得40c b ->，故④正确. 故答案选D. 【点睛】 本题考查了二次函数的图像与系数的关系，注意用数形结合的思想解决问题。 2．已知二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象如图所示，那么下列结论中正确的是（ ）
(易错题精选)初中数学二次函数知识点总复习
（易错题精选）初中数学二次函数知识点总复习 一、选择题 1．抛物线y ＝ax 2+bx+c 的顶点为(﹣1，3)，与x 轴的交点A 在点(﹣3，0)和(﹣2，0)之间，其部分图象如图，则以下结论，其中正确结论的个数为( ) ①若点P(﹣3，m)，Q(3，n)在抛物线上，则m ＜n ； ②c ＝a+3； ③a+b+c ＜0； ④方程ax 2+bx+c ＝3有两个相等的实数根． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 【答案】C 【解析】 试题分析：由抛物线与x 轴有两个交点，可知b 2-4ac ＞0，所以①错误； 由抛物线的顶点为D （-1，2），可知抛物线的对称轴为直线x=-1，然后由抛物线与x 轴的一个交点A 在点（-3，0）和（-2，0）之间，可知抛物线与x 轴的另一个交点在点（0，0）和（1，0）之间，因此当x=1时，y ＜0，即a+b+c ＜0，所以②正确； 由抛物线的顶点为D （-1，2），可知a-b+c=2，然后由抛物线的对称轴为直线x=2b a =-1，可得b=2a ，因此a-2a+c=2，即c-a=2，所以③正确； 由于当x=-1时，二次函数有最大值为2，即只有x=-1时，ax 2+bx+c=2，因此方程ax2+bx+c-2=0有两个相等的实数根，所以④正确． 故选C ． 考点：二次函数的图像与性质 2．如图是抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的部分图象，其顶点坐标为（1，m ），且与x 铀的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，则下列结论：①abc ＞0；②a ﹣b +c ＞0；③b 2＝4a （c ﹣m ）；④一元二次方程ax 2+bx +c ＝m +1有两个不相等的实数根，其中正确结论的个数是（ ）
二次函数中考真题汇编[解析版]
二次函数中考真题汇编[解析版] 一、初三数学二次函数易错题压轴题（难） 1．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A，B两点，其中A（3，0），B（﹣1，0），与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，直线y＝kx+b1经过点A，C，连接CD．（1）求抛物线和直线AC的解析式： （2）若抛物线上存在一点P，使△ACP的面积是△ACD面积的2倍，求点P的坐标；（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使线段AQ绕Q点顺时针旋转90°得到线段QA1，且A1好落在抛物线上？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）2 y x2x3 =-++；3 y x =-+；（2）（﹣1，0）或（4，﹣5）；（3）存在；（1，2）和（1，﹣3） 【解析】 【分析】 （1）将点A，B坐标代入抛物线解析式中，求出b，c得出抛物线的解析式，进而求出点C 的坐标，再将点A，C坐标代入直线AC的解析式中，即可得出结论； （2）利用抛物线的对称性得出BD＝AD，进而判断出△ABC的面积和△ACP的面积相等，即可得出结论； （3）分点Q在x轴上方和在x轴下方，构造全等三角形即可得出结论． 【详解】 解：（1）把A（3，0），B（﹣1，0）代入y＝﹣x2+bc+c中，得 930 10 b c b c -++= ? ? --+= ? ， ∴ 2 3 b c = ? ? = ? ， ∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3， 当x＝0时，y＝3， ∴点C的坐标是（0，3）， 把A（3，0）和C（0，3）代入y＝kx+b1中，得1 1 30 3 k b b += ? ? = ? ， ∴ 1 1 3 k b =- ? ? = ? ∴直线AC的解析式为y＝﹣x+3；
徐州数学 二次函数专题练习(解析版)
徐州数学 二次函数专题练习（解析版） 一、初三数学 二次函数易错题压轴题（难） 1．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，抛物线L ：y ＝ax 2﹣4ax （a >0）与x 轴正半轴交于点A ．抛物线L 的顶点为M ，对称轴与x 轴交于点D ． （1）求抛物线L 的对称轴． （2）抛物线L ：y ＝ax 2﹣4ax 关于x 轴对称的抛物线记为L '，抛物线L '的顶点为M '，若以O 、M 、A 、M '为顶点的四边形是正方形，求L '的表达式． （3）在（2）的条件下，点P 在抛物线L 上，且位于第四象限，点Q 在抛物线L '上，是否存在点P 、点Q 使得以O 、D 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求出点P 坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）2x =；（2）2 122 y x x =- + ；（3）存在，P 点的坐标为(33,3或(33,3-或(13,3或(13,3+-或31,2? ?- ?? ? 【解析】 【分析】 （1）根据抛物线的对称轴公式计算即可． （2）利用正方形的性质求出点M ，M ′的坐标即可解决问题． （3）分OD 是平行四边形的边或对角线两种情形求解即可． 【详解】 解：（1）∵抛物线L ：y ＝ax 2﹣4ax (a ＞0)， ∴抛物线的对称轴x ＝﹣42a a -＝2． （2）如图1中，
对于抛物线y＝ax2﹣4ax，令y＝0，得到ax2﹣4ax＝0，解得x＝0或4， ∴A(4，0)， ∵四边形OMAM′是正方形， ∴OD＝DA＝DM＝DM′＝2， ∴M((2，﹣2)，M′(2，2) 把M(2，﹣2)代入y＝ax2﹣4ax， 可得﹣2＝4a﹣8a， ∴a＝1 2 ， ∴抛物线L′的解析式为y＝﹣1 2(x﹣2)2+2＝﹣ 1 2 x2+2x． （3）如图3中，由题意OD＝2． 当OD为平行四边形的边时，PQ＝OD＝2，设P(m，1 2 m2﹣2m)，则Q[m﹣2，﹣ 1 2 (m﹣ 2)2+2(m﹣2)]或[m+2，﹣1 2 (m+2)2+2(m+2)]， ∵PQ∥OD， ∴1 2m2﹣2m＝﹣ 1 2 (m﹣2)2+2(m﹣2)或 1 2 m2﹣2m＝﹣ 1 2 (m+2)2+2(m+2)，
二次函数重点知识易错题精选
二次函数重点知识易错题精选 一、选择题（每小题6分，共36分） 1、 若一 元 二次方程02 =++c bx ax 有两个实数根，则抛物线c bx ax y ++=2 与 x 轴（ ） A. 有两个交点 B.只有一个交点 C. 至少有一个交点 D.至多有一个交点 2、下列表格给出的是二次函数)0(2 ≠++=a c bx ax y 的几组对应值，那么方程 02=++c bx ax 的一个近似解可以是（ ） A ．3.25 B ．3.35 C ．3.45 D ．3.55 3、如图所示，在Rt △ABO 中，AB ⊥OB ，且AB=OB=3，设直线x=t 截此三角形所得的阴影部分面积为S ，则S 与t 的函数关系图象为下列选项中的（ ） A. B. C. D. 4、关于x 的一元二次方程02 =++q px x 的两根互为倒数，则p ，q 应满足的条件为（ ） 1.=q A 1.=p B 041.2 >-=p q C 且 041.2 ≥-=p q D 且 5、已知二次函数)0(2 ≠++=a c bx ax y 的图像如图所示，则下列结论中正确的是（ ） 0.>abc A 0.=+b a B 02.<+c a C b c a D 24.>+ 6、若二次函数1)(2--=m x y ，当1≤x ，y 随x 的增大而减小，则m 的取值范围是（ ） 1.=m A 1.>m B 1.≥m C D.1≤m 一、填空题（每小题6分，共24分） 7、二次函数)0(2 ≠++=a c bx ax y 的部分图像如图所示，由图像 可知不等式02 >++c bx ax 的解是 . x 3.3 3.4 3.5 3.6 y -0.06 -0.02 0.03 0.09
九年级 二次函数综合测试卷(word含答案)
九年级二次函数综合测试卷（word含答案）一、初三数学二次函数易错题压轴题（难） 1．图①，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点A（﹣1，0），并且与直线y＝1 2 x ﹣2相交于坐标轴上的B、C两点，动点P在直线BC下方的二次函数的图象上． （1）求此二次函数的表达式； （2）如图①，连接PC，PB，设△PCB的面积为S，求S的最大值； （3）如图②，抛物线上是否存在点Q，使得∠ABQ＝2∠ABC？若存在，则求出直线BQ的解析式及Q点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）y＝1 2 x2﹣ 3 2 x﹣2；（2）﹣1＜0，故S有最大值，当x＝2时，S的最大值 为4；（3）Q的坐标为（5 3 ，﹣ 28 9 ）或（﹣ 11 3 ， 92 9 ）． 【解析】 【分析】 （1）根据题意先求出点B、C的坐标，进而利用待定系数法即可求解； （2）由题意过点P作PH//y轴交BC于点H，并设点P（x，1 2 x2﹣ 3 2 x﹣2），进而根据S ＝S△PHB+S△PHC＝1 2 PH?（x B﹣x C），进行计算即可求解； （3）根据题意分点Q在BC下方、点Q在BC上方两种情况，利用解直角三角形的方法，求出点H的坐标，进而分析求解． 【详解】 解：（1）对于直线y＝1 2 x﹣2， 令x＝0，则y＝﹣2， 令y＝0，即1 2 x﹣2＝0，解得：x＝4， 故点B、C的坐标分别为（4，0）、（0，﹣2），抛物线过点A、B两点，则y＝a（x+1）（x﹣4）， 将点C的坐标代入上式并解得：a＝1 2 ，
故抛物线的表达式为y＝ 1 2 x2 ﹣ 3 2 x﹣2①； （2）如图2，过点P作PH//y轴交BC于点H， 设点P（x， 1 2 x2﹣ 3 2 x﹣2），则点H（x， 1 2 x﹣2）， S＝S△PHB+S△PHC＝ 1 2 PH?（x B﹣x C）＝ 1 2 ×4×（ 1 2 x﹣2﹣ 1 2 x2+ 3 2 x+2）＝﹣x2+4x， ∵﹣1＜0，故S有最大值，当x＝2时，S的最大值为4； （3）①当点Q在BC下方时，如图2， 延长BQ交y轴于点H，过点Q作QC⊥BC交x轴于点R，过点Q作QK⊥x轴于点K，∵∠ABQ＝2∠ABC，则BC是∠ABH的角平分线，则△RQB为等腰三角形， 则点C是RQ的中点， 在△BOC中，tan∠OBC＝ OC OB ＝ 1 2 ＝tan∠ROC＝ RC BC ， 则设RC＝x＝QB，则BC＝2x，则RB22 (2) x x 5＝BQ， 在△QRB中，S△RQB＝ 1 2 ×QR?BC＝ 1 2 BR?QK，即 1 2 2x?2x＝ 1 2 5， 解得：KQ 5 ∴sin∠RBQ＝ KQ BQ 5 5x ＝ 4 5 ，则tanRBH＝ 4 3 ，
二次函数易错题以及分析
一、选择题（每小题3分，共30分） 1、在下列函数关系式中，（1）22x y -=；（2）2x x y -=；（3）3)1(22+-=x y ； （4）332--=x y ，二次函数有（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2、若32)2(--=m x m y 是二次函数，且开口向上，则m 的值为（ ） A.5± B.5 C. —5 D.0 3、把抛物线23x y =向上平移2个单位，向向右平移3个单位，所得的抛物线解析式是（ ） A. 2)3(32-+=x y B. 2)3(32++=x y C. 2)3(32--=x y D. 2)3(32+-=x y 4、下列二次函数的图象与x 轴没有交点的是（ ） A. x x y 932+= B. 322--=x x y C. 442-+-=x x y D. 5422++=x x y 5、已知点（-1，1y ），（2,21 3y -），（2 1，3y ）在函数12632++=x x y 的图象上，则1y 、2y 、3y 的大小关系是（ ） A.321y y y >> B. 312y y y >> C. 132y y y >> D. 213y y y >> 6、已知抛物线c bx ax y ++=2 经过原点和第一、二、三象限，那么，（ ） A.000>>>c b a ，， B. 000=<>c b a ，， C.000><
二次函数易错题(精华)
(时间: 、选择题(每小题4分，共40分) 1 .下列各式中，y 是x 的二次函数的是 2 A . y = ax + bx + c B . 2?下列关于二次函数 其中正确的有( ) A . 1个 2 抛物线y = (x + 2) A .先向左平移 B .先向左平移 C .先向右平移 D .先向右平移 3 . 4. 周测二次函数 45分钟满分：120分)姓名: ( ) 2 2 2 x — y + 2= 0 C . y = x -(x-1) 班级: y 2— 4x = 3 二、填空题(每小题4分，共24分) 11. 若抛物线y = a(x — 1)2+ k 上(3,5),则点A 关于对称轴对称的点 B 的坐标 ___________ . 12. ___________________________________________________________________________ 关于x 的二次函数2x-1与x 轴有公共点，则实数k 的取值范围： _____________________________________________ . 14. _____________ 当m = 时，二次函数y = mx 2+ 6x+5m 有最小值为4. 1 1 15. 如图，在平面直角坐标系中， 抛物线y= ?x 2经过平移得到抛物线 y= 2 x 2-2x 与两段抛物线所围成的阴影 y =— 2y 2图象的说法：①图象是一条抛物线；②开口向下；③对称轴是 y 轴；④顶点(0, 0). 在平面直角坐标系中，抛物线 A . B . 2个 C . 3个 D . 4个 —3可以由抛物线y = x 2平移得到，则下列平移过程正确的是 ( ) 2个单位，再向上平移 2个单位，再向下平移 2个单位，再向下平移 2个单位，再向上平移 y = x — 1 3个单位 3个单位 3个单位 3个单位 与坐标轴的交点的个数是 C . 1 3 B . 2 y = ~x 2 + 1与y = |x 2 + 2的图象的不同之处是( ) 次函数y = (x 其图象构成一 0, a = 1, a = 2 上，这条直线 (共56分) —2a)2 + (a — 1)(a 为常 个“抛物线系”.如图分时二次函数的图象.它们 析 式 是 函数 5. ) 7. 8. 则下列判断中正确的是( A .抛物线开口向上 C .当 x = 4 时，y >0 已知二次函数 y = -3(x+1)2+ k 的图象上有 A(0 , y 1), B(1 ,汕,C(2, y 3)三个点，则y 1, y 2, y 3的大小关系是( A . y 1>y 2>y 3 B . y 2>y 1>y 3 C . y 3>y 1>y 2 D . y 3>y 2>y 1 同一坐标系中， B .抛物线与y 轴交于负半轴 D .方程ax 2 + bx + c = 0的正根在3与4之间 17. (12分)二次函数y = ax 2 + bx + c(a ^ 0)的图象如图所示，根据图象解答下列问题： (1) 方程ax 2 + bx + c = 0的两个根为 _____________ ； (2) __________________________________ 不等式ax 2 + bx + c>0的解集为 ； (3) y 随x 的增大而减小的自变量 x 的取值范围为 ； ⑷若方程ax 2 + bx + c = k 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围为 _________ 18. (10分)如图，一次函数 y 1= kx + b 与二次函数y ?= ax 2的图象交于 A 、B 两点. (1)利用图中条件，求两个函数的解析式； ⑵根据图象写出使y 1>y 2的x 的取值范围. 9. y i . 佃.(10分)已知二次函数 y=ax 2+bx+c 的图象与 x 轴交于点(-2 , 0)、( X 1 , 0), X 1 V 2，与y 轴的正半轴的交点在(0, 2)的下方.试判断：①4a-2b+c :②a-b ； 2a+c ;④2a-b+1的符号. 20. (12 分)如图，L:y=- 1 2 (x-t)(x-t+4)(常数t>0)与x 轴从左到右的交点为 B , 线段OA 的中点M 作 MP 丄x 轴，交双曲线 y=k/x(k>0 , x>0)于点 P ，且 OA- MP=12。 (2, 4),且过另一点(0, — 4),则这个二次函数的解析式为 ( ) B . y =— 2(x — 2)2+ 4 D . y = 2(x — 2)2 — 4 一个二次函数的图象的顶点坐标是 2 A . y =— 2(x + 2) + 4 2 C . y = 2(x + 2) — 4 10 .如图是抛物线 y i = ax 2 + bx + c(a ^ 0)图象的一部分.抛物线的顶点坐标是 A(1 , 3)，与x 轴的一个交点是 B(4 , 0).直线y 2= mx + n(m 丰0)与抛物线交于 A 、B 两点.下列结论：① 2a + b ③方程ax 2 + bx + c = 3有两个相等的实数根； ④抛物线与x 轴的另一个交点是(— 1 最新人教版中考数学易错题汇总 1．如图，能判定 AB ∥CD 的条件是（ ） A ．∠1=∠2 B ．∠1+∠2= 180° C ．∠3=∠4 D ．∠3+∠1=180° 2．下列各式中从左到右的变形，是因式分解的是（ ） A ．（a+3）（a-3）=a 2-9； B ．x 2+x-5=（x-2）（x+3）+1； C ．a 2b+ab 2=ab （a+b ） D ．x 2+1=x （x+x 1 ） 3．用科学记数方法表示0000907.0，得（ ） A ．41007.9-? B ．51007.9-? C ．6107.90-? D ．7107.90-? 4．小马虎在下面的计算中只做对了一道题，则他做对的题目是 （ ） A ．222)(b a b a -=- B ．6234)2(a a =- C ．5232a a a =+ D ．1)1(--=--a a 5．方程x 3＝22 -x 的解的情况是（ ） A ．2=x B ．6=x C ．6-=x D ．无解 6．已知235x x ++的值为 3，则代数式2391x x +-的值为（ ） A ．-9 B ．-7 C ．0 D ．3 7．下列事件中，届于不确定事件的是（ ） A ．2008年奥运会在北京举行 B ．太阳从西边升起 C ．在1，2，3，4中任取一个教比 5大 D ．打开数学书就翻到第10页 8．下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ） A ．5cm,3cm,1cm B ．6cm,4cm,2cm C ． 8cm, 5cm, 3cm D ． 9cm,6cm,4cm 9．在下面四个图形中，既包含图形的旋转，又有图形的轴对称设计的是（ ） 初中数学二次函数易错题汇编及解析 一、选择题 1．足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线. 不考虑空气阻力，足球距离地面的高度h （单位：m ）与足球被踢出后经过的时间t （单位：s ）之间的关系如下表： 下列结论：①足球距离地面的最大高度为20m ；②足球飞行路线的对称轴是直线92 t ；③足球被踢出9s 时落地；④足球被踢出1.5s 时，距离地面的高度是11m. 其中正确结论的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】 解：由题意，抛物线的解析式为y =ax （x ﹣9），把（1，8）代入可得a =﹣1， ∴y =﹣t 2+9t =﹣（t ﹣4.5）2+20.25， ∴足球距离地面的最大高度为20.25m ，故①错误， ∴抛物线的对称轴t =4.5，故②正确， ∵t =9时，y =0，∴足球被踢出9s 时落地，故③正确， ∵t =1.5时，y =11.25，故④错误，∴正确的有②③， 故选B ． 2．一列自然数0，1，2，3，…，100．依次将该列数中的每一个数平方后除以100，得到一列新数．则下列结论正确的是（ ） A ．原数与对应新数的差不可能等于零 B ．原数与对应新数的差，随着原数的增大而增大 C ．当原数与对应新数的差等于21时，原数等于30 D ．当原数取50时，原数与对应新数的差最大 【答案】D 【解析】 【分析】 设出原数，表示出新数，利用解方程和函数性质即可求解． 【详解】 解：设原数为m ，则新数为 2 1100 m ， 设新数与原数的差为y 则22 11100100 y m m m m =-=-+， 易得，当m ＝0时，y ＝0，则A 错误 ∵1 0100 - < 当1m 50 122100b a ﹣﹣﹣===??? ??? 时，y 有最大值．则B 错误，D 正确． 当y ＝21时，2 1100 m m - +＝21 解得1m ＝30，2m ＝70，则C 错误． 故答案选：D ． 【点睛】 本题以规律探究为背景，综合考查二次函数性质和解一元二次方程，解题时要注意将数字规律转化为数学符号． 3．如图是函数223(04)y x x x =--≤≤的图象，直线//l x 轴且过点(0,)m ，将该函数在直线l 上方的图象沿直线l 向下翻折，在直线1下方的图象保持不变，得到一个新图象．若新图象对应的函数的最大值与最小值之差不大于5，则m 的取值范围是（ ） A ．m 1≥ B ．0m ≤ C ．01m ≤≤ D ．m 1≥或0m ≤ 【答案】C 【解析】 【分析】 找到最大值和最小值差刚好等于5的时刻，则M 的范围可知. 【详解】 解：如图1所示，当t 等于0时， ∵2 (1)4y x =--， ∴顶点坐标为(1,4)-， 当0x =时，3y =-， ∴(0,3)A -， 当4x =时，5y =， ∴(4,5)C ，最新人教版中考数学易错题汇总
初中数学二次函数易错题汇编及解析