考研数学三(常微分方程与差分方程)模拟试卷15(题后含答案及解析)
考研数学三（常微分方程与差分方程）模拟试卷15 (题后含答案及解析)
题型有：1.jpg />则原方程化为解得p2=y3+C1， 由y(一2)=1，y′(一2)=1，得C1=0，所以从而有 再由y(一2)=1，得C1=0，所求特解为 涉及知识点：常微分方程与差分方程
2． 微分方程的通解为___________．
正确答案：由得 令则解得arcsinu=ln|x|+C，则原方程通解为
涉及知识点：常微分方程与差分方程
3． 设二阶常系数非齐次线性微分方程y”+y′+qy=Q(x)有特解y=3e-4x+x2+3x+2，则Q(x)=___________，该微分方程的通解为_____________．
正确答案：显然λ=一4是特征方程λ2+λ+q=0的解，故q=一12， 即特征方程为λ2+λ一12=0，特征值为λ1=一4，λ2=3． 因为x2+3x+2为特征方程y”+y′一12y=Q(x)的一个特解， 所以Q(x)=2+2x+3—12(x2+3x+2)=一12x2一34x一19， 且通解为y=C1e-4x+C2e3x+x2+3x+2(其中C1，C2为任意常数)． 涉及知识点：常微分方程与差分方程
4． 以y=C1e-2x+C2ex+cosx为通解的二阶常系数非齐次线性微分方程为__________．
正确答案：特征值为λ1=一2，λ2=1，特征方程为λ2+λ一2=0， 设所求的微分方程为y”+y′一2y=Q(x)，把Y=cosx代入原方程，得 Q(x)=一sinx一3cosx，所求微分方程为y”+y′一2y=一sinx一3cosx． 涉及知识点：常微分方程与差分方程
5． 设y”一3y′+ay=一5e-x的特解形式为Ax e-x，则其通解为___________．
正确答案：因为方程有特解Axe-x，所以一1为特征值，即(一1)2一3×(一1)+a=0a=一4， 所以特征方程为λ2一3λ一4=0λ1=一1，λ2=4，齐次方程y”一3y′+ay=0的通解为 y=C1e-x+C2e4x，再把Axe-x代入原方程得A=1，原方程的通解为 y=C1e-x+C2e4x+xe-x． 涉及知识点：常微分方程与差分方程
6． 设f(x)连续，且则f(x)=__________．
正确答案：由得 整理得两边对x求导得 f′(x)+f(x)=0，解得f(c)=Ce-x，因为f(0)=1，所以C=1，故f(x)=e-x． 涉及知识点：常微分方程与差分方程
7． 差分方程yx+1+2yx=5x2的通解为__________．
正确答案：yx+1+2yx=0的通解为y=C(一2)x， 令yx+1+2yx=5x2的特解为y0(x)=a0+a1x+a2x2，代入原方程整理得
3a0+a1+a2+(3a1+2a2)x+3a2x2=5x2，解得 于是yx+1+2yx===5x2的通解为
涉及知识点：常微分方程与差分方程
8． 差分方程yx+1一yx=x2x的通解为___________．
正确答案：yx+1一yx=0的通解为y=C(1)x=C，令yx+1-yx=x2x的特解为y0=(ax+b)2x， 代入原方程得y0=(x一2)2x，原方程的通解为y=C+(x一2)2x． 涉及知识点：常微分方程与差分方程
9． 差分方程yt+1一yt=2t2+1的特解形式为yt*=_____________．
正确答案：p=1，f(t)=2t2+1，故特解形式为yt*=t(at2+bt+c)． 涉及知识点：常微分方程与差分方程
解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
10． 求微分方程y”一y′一6y=0的通解．
正确答案：特征方程为λ2一λ一6=0，特征值为λ1=-2，λ2=3，则原方程的通解为y=C1e-2x+C2e3x． 涉及知识点：常微分方程与差分方程
11． 求微分方程y”+4y′+4y=0的通解．
正确答案：特征方程为λ2+4λ+4=0，特征值为λ1=λ2=一2，则原方程的通解为 y=(C1+C2x)e-2x． 涉及知识点：常微分方程与差分方程
12． 求微分方程y”一y′+2y=0的通解．
正确答案：特征方程为λ2一λ+2=0，特征值为 则原方程的通解为
涉及知识点：常微分方程与差分方程
13． 设二阶常系数齐次线性微分方程以y1=e2x，y2=2e-x一3e2x为特解，求该微分方程．
正确答案：因为y1=e2x，y2=2e-x～3e2x为特解，所以e2x，e-x也是该微分方程的特解，故其特征方程的特征值为λ1=一1，λ2=2，特征方程为(λ+1)(λ一2)=0即λ2一λ一2=0，所求的微分方程为y”一y′一2y=0． 涉及知识点：常微分方程与差分方程
14． 求微分方程y”+2y′一3y=(2x+1)ex的通解．
正确答案：特征方程为λ2+2λ一3=0，特征值为λ1=1，λ2=一3，则y”+2y′一3y=0的通解为y=C1ex+C2e-3x．令原方程的特解为y0=x(ax+b)ex，代入原方程得 所以原方程的通解为 涉及知识点：常微分方程与差分方程
15． 求y”一2y′一e2x=0满足初始条件y(0)=1，y′(0)=1的特解．
正确答案：原方程可化为y”一2y′=e2x，特征方程为λ2一2λ=0，特征值为λ1=0，λ2=2，y”一2y′=0的通解为y=C1+C2e2x．设y”一2y′=e2x的特解为y*=Axe2x，代入原方程得A=从而原方程的通解为由y(0)=1，y′(0)=1得解得故所求的特解为 涉及知识点：常微分方程与差分方程
16． 求微分方程y”+4y′+4y=eax的通解．
正确答案：特征方程为λ2+4λ+4=0，特征值为λ1=λ2=一2，原方程对应的齐次线性微分方程的通解为y=(C1+C2x)e-2x． (1)当a≠一2时，因为a不是特征值，所以设原方程的特解为y0(x)=Aeax，代入原方程得则原方程的通解为 (2)当a=一2时，因为a=一2为二重特征值，所以设原方程的特解为y0(x)=Ax2e-2x，代入原方程得则原方程的通解为y=(C1+C2x)e-2x+x2e-2x.
涉及知识点：常微分方程与差分方程
17． 求微分方程y”+y=x2+3+cosx的通解．
正确答案：特征方程为λ2+1=0，特征值为λ1=一i，λ2=i， 方程y”+y=0的通解为y=C1cosx+C2sinx． 对方程y”+y=x2+3，特解为y1=x2+1； 对方程y”+y=cosx，特解为xsinx，原方程的特解为x2+1+xsinx. 则原方程的通解为y=C1cosx+C2sinx+x2+1+xsinx． 涉及知识点：常微分方程与差分方程
18． 设单位质点在水平面内作直线运动，初速度v|t=0=v0．已知阻力与速度成正比(比例系数为1)，问t为多少时此质点的速度为并求到此时刻该质点所经过的路程．
正确答案：设t时刻质点运动的速度为v(t)，阻力则有解此微分方程得v(t)=v0e-t．由得t=ln3，从开始到t=ln3的时间内质点所经过的路程为
涉及知识点：常微分方程与差分方程
19． 设f(x)在[0，+∞)上连续，且f(0)＞0，设f(x)在[0，x]上的平均值等于f(0)与f(x)的几何平均数，求f(x)．
正确答案：根据题意得则有 两边求导得 即则有 解得 涉及知识点：常微分方程与差分方程
20． 设曲线L位于xOy平面的第一象限内，L上任意一点M处的切线与y轴总相交，交点为A，已知|MA|=|OA|，且L经过点求L的方程．
正确答案：设点M的坐标为(x，y)，则切线MA：Y—y=y′(X—x)． 令X=0，则Y=y—xy′，故A点的坐标为(0，y—xy′)． 由|MA|=|OA|，得
因为曲线经过点所以C=3，再由曲线经过第一象限得曲线方程为
涉及知识点：常微分方程与差分方程
21． 在上半平面上求一条上凹曲线，其上任一点P(x，y)处的曲率等于此曲线在该点的法线段PQ的长度的倒数(Q为法线与x轴的交点)，且曲线在点(1，1)处的切线与x轴平行．
正确答案：设所求曲线为y=y(x)，该曲线在点P(x，y)的法线方程为
令Y=0，得X=x+yy′，该点到x轴法线段PQ的长度为 由题意得即yy”=1+y′2． 令y′=p，则则有或者两边积分得 由y(1)=1，y′(1)=0得C1=0，所以变量分离得两边积分得由y(1)=1得 涉及知识点：常微分方程与差分方程
22． 一半球形雪堆融化速度与半球的表面积成正比，比例系数为k＞0，设融化过程中形状不变，设半径为r0的雪堆融化3小时后体积为原来的求全部融化需要的时间．
正确答案：设t时刻雪堆的半径为r，则有 令r=0得t=6，即6小时雪堆可以全部融化． 涉及知识点：常微分方程与差分方程
23． 设f(x)在[0，1]上连续且满足f(0)=1，f′(x)一f(x)=a(x一1)．y=f(x)，x=0，x=1，y=0围成的平面区域绕x轴旋转一周所得的旋转体体积最小，求f(x)．
正确答案：由f′(x)一f(x)=a(x一1)得 由f(0)=1得C=1，故f(x)=ex一ax． 由得a=3，因为所以当a=3时，旋转体的体积最小，故f(x)=ex一3x． 涉及知识点：常微分方程与差分方程
考研数学一(常微分方程)模拟试卷15(题后含答案及解析)
考研数学一（常微分方程）模拟试卷15 (题后含答案及解析)
题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题
选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1． 微分方程①=cosy+x，③y2dx一(y2+2xy一y)dy=0中，属于一阶线性微分方程的是( )
A．①。
B．②。
C．③。
D．①②③均不是。
正确答案：C
解析：可直接观察出方程①②不是一阶线性微分方程。对于方程③，将其变形为 将x看成未知函数，y为自变量，则该方程就是一阶线性微分方程。故应选C。 知识模块：常微分方程
2． 已知微分方程y”一4y’+4y=0，函数C，C2xe2x(C1，C2为任意常数)为( )
A．方程的通解。
B．方程的特解。
C．非方程的解。
D．是解，但不是通解也不是特解。
正确答案：D
解析：令f(x)=C1C2xe2x，C1、C2为任意常数，将f(x)，f’(x)及f”(x)代入已知微分方程，经计算，满足方程y”一4y’+4y=0，故C1C2xe2x是方程的解，因为含有任意常数，所以不是特解，又因为C1C2实质上是一个任意常数，而方程是二阶微分方程，由通解的结构知应含有两个任意常数，故C1C2xe2x不是通解，故选D。 知识模块：常微分方程
3． 设φ1(x)，φ2(x)，φ3(x)为二阶非齐次线性方程y”+a1(x)y’+a2(x)y=f(x)的三个线性无关的解，则该方程的通解为( )
A．C1[φ1(x)+φ2(x)]+C2φ3(x)。
B．C1[φ1(x)一φ2(x)]+C2φ3(x)。
C．C1[φ1(x)+φ2(x)]+C2[φ1(x)一φ3(x)]。
D．C1φ1(x)+C2φ2(x)+C3φ3(x)，其中C1+C2+C3=1。
正确答案：D
解析：因为φ1(x)，φ2(x)，φ3(x)为方程y”+a1(x)y’+a2(x)y=f(x)的三个线性无关解，所以φ1(x)一φ3(x)，φ2(x)一φ3(x)为所对应齐次方程y”+a1(x)y’+a2(x)y=0的两个线性无关解。根据非齐次线性方程通解的结构，方程
考研数学三(常微分方程与差分方程)模拟试卷18(题后含答案及解析)
考研数学三（常微分方程与差分方程）模拟试卷18 (题后含答案及解析)
题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题
选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1． 二阶常系数非齐次线性微分方程y’’-2y’-3y=(2x+1)e-x的特解形式为( )
A．(ax+b)e-x
B．x2e-x
C．x2(ax+b)e-x
D．x(ax+b)e-x
正确答案：D
解析：方程y’’-2y’-3y=(2x+1)e-x的特征方程为λ2-2λ-3=0，特征值为λ1=-1，λ2=3。由于λ=-1是特征方程的一个单根，故方程y’’-2y’-3y=(2x+1)e-x的特解形式为x(ax+b)e-x。故选D。 知识模块：常微分方程与差分方程
2． 设y=y(x)是二阶常系数微分方程y’’+py’+qy=e3x满足初始条件y(0)=y’(0)=0的特解，则当x→0时，函数的极限( )
A．不存在
B．等于1
C．等于2
D．等于3
正确答案：C
解析：因y(0)=y’(0)=0，In(1+0)=0，故利用洛必达法则，有由y’’+py’+qy=e3x知y’’(x)连续且y’’(0)=e0=1，故所求极限等于2。故选C。 知识模块：常微分方程与差分方程
3． 对于微分方程y’’-4y’+4y=0，函数C1C2xe2x(C1，C2为任意常数)为( )
A．方程的通解
B．方程的特解
C．非方程的解
D．是解，但不是通解也不是特解
正确答案：D
解析：令f(x)=C1C2xe2x，C1、C2为任意常数，将f(x)，f’(x)及f’’(x)代入所给微分方程中，且满足方程y’’-4y’+4y=0，故C1C2xe2x是方程的解，因为含有任意常数，所以不是特解，又因为C1C2实质上是一个任意常数，而方程
是二阶微分方程，由通解的结构知应含有两个任意常数，故C1C2xe2x不是通解。故选D。 知识模块：常微分方程与差分方程
考研数学三(常微分方程与差分方程与行列式)模拟试卷2(题后含答
考研数学三（常微分方程与差分方程与行列式）模拟试卷2 (题后含答案及解析)
题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题
选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1． 二阶常系数非齐次线性微分方程y”－2y’－3y＝(2x＋1)e－x的特解形式为( )．
A．(ax＋b)e－x
B．x2e－x
C．x2(ax＋b)e－x
D．x(ax＋b)e－x
正确答案：D
解析：方程y”－2y’－3y＝(2x＋1)e－x的特征方程为λ2－2λ－3＝0，特征值为λ1＝－1，λ2＝3，故方程y”－2y’－3y＝(2x＋1)e－x的特解形式为x(ax＋b)e－x，选
D． 知识模块：常微分方程与差分方程
2． 设φ1(x)，φ2(x)，φ3(x)为二阶非齐次线性方程y”＋a1(x)y’＋a2(x)y＝f(x)的三个线性无关解，则该方程的通解为( )．
A．C1[φ1(x)＋φ2(x)]＋C2φ3(x)
B．C1[φ1(x)－φ2(x)]＋C2φ3(x)
C．C1[φ1(x)＋φ2(x)]＋C2[φ1(x)－φ3(x)]
D．C1φ1(x)＋C2φ2(x)＋C3φ3(x)，其中C1＋C2＋C3＝1
正确答案：D
解析：因为φ1(x)，φ2(x)，φ3(x)为方程y”＋a1(x)y’＋a2(x)y＝f(x)的三个线性无关解，所以φ1(x)－φ3(x)，φ2(x)－φ3(x)为方程y”＋a1(x)y’＋a2(x)y＝0的两个线性无关解，于是方程y”＋a1(x)y’＋a2(x)y＝f(x)的通解为C1[φ1(x)－φ3(x)]＋C2[φ2(x)－φ3(x)]＋φ3(x)，即C1φ1(x)＋C2φ2(x)＋C3φ3(x)，其中C3＝1－C1－C2或C1＋C2＋C3＝1，选
D． 知识模块：常微分方程与差分方程
3． 设a1，a2，a3，β1，β2都是四维列向量，且｜A｜＝｜a1，a2，a3，β1｜＝m，｜B｜＝｜a1，a2，β2，a3＝n，则｜a3，a2，a1，β1，β2｜为( )．
考研数学一(常微分方程)模拟试卷1(题后含答案及解析)
考研数学一（常微分方程）模拟试卷1 (题后含答案及解析)
题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题
选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1． 在下列微分方程中，以y=C1ex+C2cos2x+C3sin2x(C1，C2，C3为任意常数)为通解的是
A．y”‘+y”-4y’-4y=0．
B．y”‘+y”+4y’+4y=0．
C．y”‘-y”-4y’+4y=0．
D．y”‘-y”+4y’-4y=0．
正确答案：D
解析：(λ-1)(λ+2i)(λ-2i)=(λ-1)(λ2+4)=λ3-λ2+4λ-4=0．从而可知微分方程是y”‘-y”+4y’-4y=0．选(D)． 知识模块：常微分方程
2． 具有特解y1=e-x，y2=2xe-x，y3=3ex的三阶常系数齐次线性微分方程是
A．y”‘-y”-y’+y=0．
B．y”‘+y”-y’-y=0．
C．y”‘-6y”+11y’-6y=0．
D．y”‘-2y”-y’+2y=0．
正确答案：B
解析：首先，由已知的三个特解可知特征方程的三个根为r1=r2=-1，r3=1，从而特征方程为(r+1)2(r-1)=0，即r3+r2-r-1=0，由此，微分方程为y”‘+y”-y’-y=0．应选(B)． 知识模块：常微分方程
3． 已知函数y=y(x)在任意点x处的增量△y=y/(1+x2)△x+α，且当△x→0时，α是△x的高阶无穷小，y(0)=π，则y(1)等于
A．2π．
B．π．
C．e4．
D．πe4．
正确答案：D 涉及知识点：常微分方程
4． 微分方程y”+y=x2+1+sinx 的特解形式可设为
A．y*=ax2+bx+c+x(Asinx+Bcosx)．
B．y*=x(ax2+bx+c+Asinx+Bcosx)．
C．y*=ax2+bx+c+Asinx．
D．y*=ax2+bx+c+Acosx．
考研数学二(常微分方程)模拟试卷8(题后含答案及解析)
考研数学二（常微分方程）模拟试卷8 (题后含答案及解析)
题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题
选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1． 微分方程y’’-4y=e2x+x的特解形式为( )．
A．ae2x+bx+c
B．ax2e2x+bx+c
C．axe2x+bx2+cx
D．axe2x+bx+c
正确答案：D
解析：y’’-4y=0的特征方程为λ2-4=0，特征值为λ1=-2，λ2=2． y’’-4y=e2x的特解形式为y=axe2x， y’’-4y=x的特解形式为y2=bx+C，故原方程特解形式为axe2x+bx+c，选(D)． 知识模块：常微分方程
2． 设三阶常系数齐次线性微分方程有特解y1=ex，y2=2xex，y3=3e-x，则该微分方程为 ( )．
A．y’’’-y’’-y’+y=0
B．y’’’+y’’-y’-y=0
C．y’’’+2y’’-y’-2y=0
D．y’’’-2y”-y’+2y=0
正确答案：A
解析：由y1=ex，y2=2xe-x，y3=3e-x为三阶常系数齐次线性微分方程的特解可得其特征值为λ1=λ2=1，λ3=-1，其特征方程为(λ-1)2(λ+1)=0，即λ3-λ2-λ+1=0，所求的微分方程为y’’’-y’’-y’+y=0，选(A)． 知识模块：常微分方程
3． 设φ1(x)，φ2(x)为一阶非齐次线性微分方程y’+P(x)y=Q(x)的两个线性无关的特解，则该方程的通解为( )．
A．C[φ1(x)+φ2(x)]
B．C[φ1(x)-φ2(x)]
C．C[φ1(x)-φ2(x)]+φ2(x)
D．[φ1(x)-φ2(x)]+Cφ2(x)
正确答案：C
解析：因为φ1(x)，φ2(x)为方程y’+P(x)y=Q(x)的两个线性无关解，所以φ1(x)-φ2(x)为方程y’+P(x)y=0的一个解，于是方程y’+P(x)y=Q(x)的通解为C[φ1(x)-φ2(x)]+φ2(x)，选(C)． 知识模块：常微分方程
考研数学三(常微分方程与差分方程)模拟试卷2(题后含答案及解析)
考研数学三（常微分方程与差分方程）模拟试卷2 (题后含答案及解析)
题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题
选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1． 设非齐次线性微分方程y’+P(x)y=Q(x)有两个不同的解y1(x)，y2(x)，C为任意常数，则该方程的通解是
A．C[y1(x)-y2(x)]．
B．y1(x)+C[y1(x)-y2(x)]．
C．C[y1(x)+y2(x)]．
D．y1(x)+C[y1(x)+y2(x)]．
正确答案：B 涉及知识点：常微分方程与差分方程
2． y1，y2是一阶线性非齐次微分方程y’+p(x)y=q(x)的两个特解，若常数λ，μ使λy1+y2是该方程的解，λy1-μy2是该方程对应的齐次方程的解，则
A．λ=1/2,μ=1/2.
B．λ=-1/2,μ=-1/2.
C．λ=2/3,μ=1/3.
D．λ=2/3,μ=2/3.
正确答案：A 涉及知识点：常微分方程与差分方程
3． 微分方程y”+y=x2+1+sinx 的特解形式可设为
A．y*=ax2+bx+c+x(Asinx+Bcosx)．
B．y*=x(ax2+bx+c+Asinx+Bcosx)．
C．y*=ax2+bx+c+Asinx．
D．y*=ax2+bx+c+Acosx．
正确答案：A 涉及知识点：常微分方程与差分方程
填空题
4． 微分方程xy’+y=0满足初始条件y(1)=2的特解为__________.
正确答案：2/x 涉及知识点：常微分方程与差分方程
5． 微分方程xy’+y=0满足条件y(1)=1的解是y=________.
正确答案：1/x 涉及知识点：常微分方程与差分方程
6． 微分方程y”-2y’+2y=ex的通解为________.
正确答案：ex(C1cosx+C2sinx+1) 涉及知识点：常微分方程与差分方程
考研数学二(常微分方程)模拟试卷5(题后含答案及解析)
考研数学二（常微分方程）模拟试卷5 (题后含答案及解析)
题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题
选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1． 若y=xex+x是微分方程y’’一2y’+ay=bx+c的解，则( )
A．a=1，b=1，c=1．
B．a=1，b=1，c=一2．
C．a=一3，b=一3，c=0．
D．a=一3，b=1，c=1．
正确答案：B
解析：由于y=xex+x是方程y’’一2y’+ay=bx+c的解，则xex是对应的齐次方程的解，其特征方程有二重根r1=r2=1，则a=1；x为非齐次方程的解，将y=x代入方程y’’一2y’+y=bx+c，得b=1，c=一2，故选
B． 知识模块：常微分方程
2． 在下列微分方程中，以y=C1ex+C2cos2x+C3sin2x(C1，C2，C3为任意常数)为通解的是( )
A．y’’’+y’’一4y’一4y=0．
B．y’’’+y’’+4y’+4y=0．
C．y’’’一y’’一4y’+4y=0．
D．y’’’一y’’+4y’一4y=0．
正确答案：D
解析：已知题设的微分方程的通解中含有ex、cos2x、sin2x，可知齐次线性方程所对应的特征方程有根r=1，r=±2i，所以特征方程为 (r一1)(r一2i)(r+2i)=0，即 r3一r2+4r一4=0．因此根据微分方程和对应特征方程的关系，可知所求微分程为y’’’一y’’+4y’一4y=0． 知识模块：常微分方程
3． 设y1，y2是一阶线性非齐次微分方程y’+p(x)y=q(x)的两个特解，若常数λ，μ使λy1+μy2是该方程的解，λy1一μy2是该方程对应的齐次方程的解，则( )
A．
B．
C．
D．
正确答案：A
解析：由λy1+μy2仍是该方程的解，得(λy1’+μy2’)+p(x)(λy1+μy2)=(λ+μ)g(x)，则λ+μ=1；由λy1一μy2是所对应齐次方程的解，得(λy1’一μy2’)+p(x)(λy1一μy2)=(λ一μ)g(x)，那么λ一μ=0．综上所述． 知识模块：
考研数学二(常微分方程)模拟试卷29(题后含答案及解析)
考研数学二（常微分方程）模拟试卷29 (题后含答案及解析)
题型有：1. 选择题 3. 解答题
选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1． 设线性无关的函数y1，y2与y3均为二阶非齐次线性微分方程的解，C1和C2是任意常数，则该非齐次线性方程的通解是( )
A．C1y1+C2y2+y3
B．C1y1+C2y2-(C1+C2)y3
C．C1y1+C2y2+(1-C1-C2)y3
D．C1y1+C2y2-(1-C1-C2)y3
正确答案：C
解析：本题考查线性微分方程解的结构．线性微分方程的解主要是满足“叠加原理”．非齐次线性方程的通解等于其对应的齐次方程的通解再加上本身的一个特解．如果设该二阶非齐次线性微分方程的形式为 y“+p(x)y‘+q(x)y=f(x)．由题意，y1，y2，y3均为其线性无关的解，则y=C1y1+C2y2+y3是y“+p(x)y‘+q(x)y=3f(x)的解，故A选项不正确． y=C1y1+C2y2-(C1+C2)y3=C1(y1-y3)+C2(y2-y3)是方程对应的齐次方程的解，故B选项不正确． y=C1y1+C2y2+(1-C1-C2)y3=C1(y1-y3)+C2(y2-y3)+y3，其中C1(y1-y2)+C2(y2-y3)为齐次方程的通解，y3为原方程的一个特解，故C选项正确． y=C1y1+C2y2-(1-C1-C2)y3=C1(y1+y3)+C2(y2+y3)-y3是y“+p(x)y‘+q(x)y=(2C1+2C2-1)f(x)的解， 综上讨论，应选
C． 知识模块：常微分方程
2． 如果函数y1(x)与y2(x)都是以下四个选项给出方程的解，设C1与C2是任意常数，则y=C1y1(x)+C2y2(x)必是( )的解
A．y“+y‘+y2=0
B．y“+y‘+2y=1
C．
D．
正确答案：C
解析：显然将y代入四个方程逐一验证虽可行，但效率低． 选项(A)、(D)都不是线性方程，可排除．对于(B)选项，y“+y‘+2y=1，则y=C1y1+C2y2应是y“+y‘+2y=C1+C2的解，而C1，C2为任意常数，故B不正确，根据线性微分方程解的结构定理只有C是正确的． 知识模块：常微分方程
考研数学一(常微分方程)模拟试卷5(题后含答案及解析)
考研数学一（常微分方程）模拟试卷5 (题后含答案及解析)
题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题
选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1． 设线性无关的函数y1(x)，y2(x)，y3(x)均是方程y’’+p(x)y’+q(x)y=f(x)的解，C2，C2是任意常数，则该方程的通解是 ( )
A．C1y1+C2y2+y3
B．C1y1+C2y2一(C1+C2)y3
C．C1y1+C2y2一(1一C1一C2)y3
D．C1y3+C2y2+(1一C1一C3)y3
正确答案：D
解析：由于C1y1+C2y2+(1一C1一C2)y3=C1(y1一y3)+C2(y2一y3)+y3，其中y1一y3和y2—y3是原方程对应的齐次方程的两个线性无关的解，又y3是原方程的一个特解，所以D是原方程的通解． 知识模块：常微分方程
2． 设二阶线性常系数齐次微分方程y’’+by’+y=0的每一个解y(x)都在区间(0，+∞)上有界，则实数b的取值范围是 ( )
A．[0，+∞)
B．(一∞，0]
C．(一∞，4]
D．(一∞，+∞)
正确答案：A
解析：因为当b≠±2时，，所以，当b2一4＞0时，要想使y(x)在区间(0，+∞)上有界，只需要即b＞2．当b2一4＜0时，要想使y(x)在区间(0，+∞)上有界，只需要的实部大于等于零，即0≤b＜2．当b=2时，y(x)=C1e-x+C2xe-x：在区间(0，+∞)上有界．当b=一2时，y(x)=C1ex+C2xex(C2+C2≠0)在区间(0，+∞)上无界．综上所述，当且仅当b≥0时，方程y’’+by’+y=0的每一个解y(x)都在区间(0，+∞)上有界，故选A． 知识模块：常微分方程
3． 具有特解y1=e-x，y2=2xe-x，y3=3ex的三阶线性常系数齐次微分方程是( )
A．y’’’一y’’一y’+y=0
考研数学三(常微分方程与差分方程)模拟试卷8(题后含答案及解析)
考研数学三（常微分方程与差分方程）模拟试卷8 (题后含答案及解析)
题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题
选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1． 设f(x)连续，且满足f(x)=∫02xdt+ln2，则f(x)= ( )
A．exln2
B．e2xln2
C．ex+ln2
D．e2x+ln2
正确答案：B
解析：原方程求导得fˊ(x)=2f(x)，即=2，积分得f(x)=Ce2x，又f(0)=ln2，故C=ln2，从而f(x)=e2xln2． 知识模块：常微分方程与差分方程
2． 设f(x)，fˊ(x)为已知的连续函数，则方程yˊ+fˊ(x)y=f(x)fˊ(x)的通解是 ( )
A．y=f(x)+Ce－f(x)
B．y=f(x)+1+Ce－f(x)
C．y=f(x)－C+Ce－f(x)
D．y=f(x)－1+Ce－f(x)
正确答案：D
解析：由一阶线性方程的通解公式得 知识模块：常微分方程与差分方程
3． 方程y(4)－2ˊˊˊ－3yˊˊ=e－3x－2e－x+x的特解形式(其中a，b，c，d为常数)是 ( )
A．axe－3x+bxe－x+cx3
B．ae－3x+bxe－x+cx+d
C．ae－3x+bxe－x+cx3+dx2
D．axe－3x+be－x+cx3+dx
正确答案：C
解析：特征方程r2(r2－2r－3)=0，特征根为r1=3，r2=－1，r3=r4=0，对f1=e－3x；λ1=－3非特征根，y1*=ae－3x；对f2=－2e－x，λ2=－1是特征根，y2*=bxe－x；对f3=x，λ3=0是二重特征根，y3*=x2(cx+d)，所以特解y*=y1*+y2*+y3*=ae－3x+bxe－x+cx3+dx2． 知识模块：常微分方程与差分方程
4． 已知y1=xex+e2x和y2=xex+e－x是二阶常系数非齐次线性微分方程的两个解，则此方程为 ( )