4-1 微分中值定理(一)
微分中值定理
微分中值定理微分中值定理是微积分中的重要定理之一，它揭示了函数在某个区间内取得极值的一种方法。
微分中值定理包括拉格朗日中值定理和高尔的中值定理两种形式，下面将分别介绍这两种定理。
拉格朗日中值定理是微分学中的基本定理之一，它表明如果函数满足一些条件，那么在某个区间内一定存在一个点，它的导数等于函数在这个区间两个端点处的斜率。
具体来说，如果函数在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)上可导，并且a<b，那么存在一个点c∈(a,b)，使得函数在点c处的导数等于函数在区间的两个端点处的斜率。
也就是说，存在c∈(a,b)使得：f'(c) = (f(b) - f(a)) / (b - a)这个定理的图像可以形象地理解为，曲线在某点的切线与连接两个端点的直线斜率相等。
高尔的中值定理是拉格朗日中值定理的一个推广，它是由高尔证明的。
高尔的中值定理的条件比拉格朗日中值定理更加宽松，它只要求函数在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)上可导。
具体来说，如果函数在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)上可导，并且函数在区间的两个端点处的斜率相等，那么存在一个点c∈(a,b)，使得函数在点c处的导数等于函数在区间的两个端点处的斜率。
也就是说，存在c∈(a,b)使得：f'(c) = (f(b) - f(a)) / (b - a)高尔的中值定理可以看做拉格朗日中值定理的推广，它更加灵活，适用范围更广。
微分中值定理的证明可以通过利用拉格朗日中值定理或高尔的中值定理的定义和一些基本的微积分知识进行推导。
证明的过程比较复杂，需要运用到数学分析中的一些技巧与方法。
微分中值定理在微积分的应用中有着广泛的应用。
它可以用来证明一些数学定理，比如费马最值定理、罗尔定理和拉格朗日多重中值定理等。
此外，微分中值定理还可以用来求函数的零点、证明函数的单调性和判断函数的极值等。
在实际问题中，微分中值定理常常被用来解决一些最优化问题，比如求函数的最值、最小二乘法中的参数估计等。
4[1][1].1微分中值定理
![4[1][1].1微分中值定理](https://img.taocdn.com/s3/m/10a73e06cc1755270722085e.png)
∴∃ξ ∈ (0,1), 使得F (1) − F (0) = F ′(ξ )
而F ′( x) = 2 xf ( x) + x 2 f ′( x)
∴ f (1) = 2ξ f (ξ ) + ξ f ′(ξ )
2
【4-1-14】
例4
设f ( x)在[a, b]上连续, 在(a, b)内可导, 且有f ′( x) = 0,
因为f ( x) = x 3在(−∞, +∞)严格单调递增
⑤ 若有f ′( x0 ) ≠ 0, 则x0一定不是极值点 【4-1-4】
二、罗尔(Rolle)中值定理 1、定理 设f ( x)在[a, b]上连续, 在(a, b)内可导, 且有f (a ) = f (b),
则∃ς ∈ (a, b), 使得f ′(ς ) = 0
极大值和极小值统称为极值，取得极值的点统称为极值点 【4-1-1】
2、费马定理（可导极值点必要条件） （1）定理 （2）证明
若f ( x)在x0可导, 且x0为极值点, 则必有f ′( x0 ) = 0
设x0为f ( x)的极大值点(极小值点类似处理), 则
∃δ > 0, 使得当x ∈ Oδ ( x0 )时有f ( x) ≤ f ( x0 )
f ( x) − f ( x0 ) ≤0 f ′( x0 ) = f +′( x0 ) = lim+ x → x0 x − x0
∴ f ′( x0 ) = 0
【4-1-3】
（3）定理中应注意的问题 ① 称 f ′( x0 ) = 0的点 x0为 f ( x )的驻点或稳定点 ② 定理条件中f ( x)在x0可导不能省略, 如
∴依x1 , x2的任意性知, f ( x)在[a, b]上严格单增
微分中的中值定理及其应用
微分中的中值定理及其应用微分中的中值定理是微积分中的基本定理之一，它在数学和物理学中具有重要的应用。
本文将介绍微分中的中值定理及其应用，并展示其在实际问题中的解决方法。
一、中值定理的概念与原理中值定理是微分学中的重要理论，它涉及到函数在某个区间上的平均变化率与瞬时变化率之间的联系。
其中最常见的三种形式为：罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理。
1. 罗尔定理罗尔定理是中值定理的基础，它的表述为：如果函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)上可导，并且满足f(a) = f(b)，则在开区间(a, b)上至少存在一点c，使得f'(c) = 0。
罗尔定理可通过对函数在该区间的最大值和最小值进行讨论得出，它主要用于证明函数在某一区间上恒为常数的情况。
2. 拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理是中值定理的一种推广，它的表述为：如果函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)上可导，则至少存在一点c，使得f'(c) = (f(b) - f(a))/(b - a)。
拉格朗日中值定理的证明可以通过构造辅助函数g(x) = f(x) - [(f(b) - f(a))/(b - a)]x来完成，它可以将任意两点间的斜率与函数在某一点的导数联系起来。
3. 柯西中值定理柯西中值定理是拉格朗日中值定理的进一步推广，它的表述为：如果函数f(x)和g(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)上可导，并且g'(x)≠0，则至少存在一点c，使得[f(b) - f(a)]/g(b) - g(a) = f'(c)/g'(c)。
柯西中值定理可以用来研究函数间的关系，它提供了一种描述两个函数在某一区间上的变化率相等的条件。
二、中值定理的应用中值定理不仅仅是一种理论工具，还具有广泛的应用。
下面将介绍中值定理在实际问题中的应用案例。
1. 最速下降线问题最速下降线问题是求解两个给定点之间的最短路径问题。
4-1微分中值定理1203
y
C
y = f ( x)
o a
ξ1
ξ2 b
x
4
证 Q f ( x ) 在 [a , b] 连续 ,
∴ f ( x )在[a , b]有最大值 M和最小值 m .
(1) 若M= m. 则 f ( x ) = M . = 由此得 f ′( x ) = 0. ∀ ξ ∈ ( a , b ), 都有 f ′(ξ ) = 0. (2) 若M≠ m. Q f (a ) = f (b), ≠
则在开区间 (a , b)内至少存在一点 ξ , 使得
f ′(ξ) = 0. 2 如, f ( x ) = x − 2 x − 3 = ( x − 3)( x + 1). 在[−1,3]上连续 ,在( −1,3)内可导,且 f ( −1) = f ( 3) = 0,
f ′( x ) = 2( x − 1), 取ξ = 1 ∈ ( −1, 3), f ′(ξ ) = 0.
第四章 微分中值定理 导数的应用
罗尔中值定理 中值定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理 应用 研究函数性质及曲线性态 利用导数解决实际问题
1
第一节 微分中值定理
罗尔定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理 小结 思考题 作业
2
第四章 微分中值定理与导数的应用
一、罗尔(Rolle)定理 罗尔 定理
罗尔定理 若函数 f ( x )满足 : (1) 在闭区间 [a , b]上连续; (2) 在开区间(a , b )内可导; (3) f (a ) = f (b ),
则 f ( x ) 在区间 I 内是一个常数 .
推论2 推论 若函数 f ( x )和 g ( x )在区间 I 内的导数处处相等 , 则 f ( x )和g ( x ) 在区间 I 内仅相差一个常数 .
4.1 微分中值定理及洛必塔法则
练习二 下列函数在指定的区间上是否满 足拉格朗日定理的条件？如满足，就求出定理 足拉格朗日定理的条件？如满足， 中的 ξ . 3 3 ξ =± (1) f ( x ) = 2 x , [ − 1,1] 3
(2) f ( x ) = arctan x, [0,1]
3 2
ξ=
4
π
−1
(3) f ( x ) = x − 5 x +x − 2, [ − 1,0]
练习三
利用洛必达法则求下列极限
(1) (2) (3) (4)
(1 + x )α − 1 lim (α 为任意实数) = α x →0 x ln x lim 2 = ∞ x →1 ( x − 1) x − sin x 1 lim = 3 x →0 x 6 2 x3 − 6 x + 4 lim 3 =6 2 x →1 x − 2 x + x
f ′( x) = A( 或 ∞) . (3) lim x → x g ′( x )
0
f ( x) f ′( x) = lim = A( 或 ∞)． 则 lim x→ x g ( x) x → x g ′( x )
0 0
例4 解
ln cot x 求 xlim ． →0 + ln x
当 x → 0+ 时，有 ln cot x → ∞ 和 ∞ 型未定式. ln x → −∞ ，这是 型未定式.由罗必达法 ∞ 则 1 tanx ⋅ (− 2 ) ln cot x x sin x = − lim = lim lim x →0 1 x →0 + cos x sin x x →0 + ln x x 2x = − lim = −1 + x → 0 sin 2 x
4-1微分中值定理
则在( a, b ) 内至少存在一点 ξ， 使
f (b) f (a) f '(ξ ) = ba
或写成 f (b) f (a) = f ′(ξ )(b a).
Lagrange 定理之几何解释
在曲线弧 AB 上至少 有一点 C , 在该点处 的切线平行于弦 AB .
n 1
+ a1 (n 1) x
+ L + an 1 = 0务必有
一个小于x0的正根。
设0 < a < b，f ( x)在[a, b]上连续，在(a, b)内可导，试用柯西中值 b 定理，证明存在一点ξ ∈ ( a, b)，使f (b) f ( a) = ξ f '(ξ ) ln a
π
2
，y′(0) = (1 +
π
2
), y′′(0) = 2 + π
第4章 微分中值定理与导数应用
微分中值定理 洛必达法则 函数的单调性与极值 函数的最大值和最小值 曲线的凹凸性、拐点和渐近线 函数图形的描绘
3.1 微分中值定理
Rolle 定理 Lagrange 中值定理 Cauchy 中值定理
作辅助函数
f (b) f (a) F ( x) = f ( x) [ x]. ba
备注
拉格朗日中值公式又称有限增量公式 拉格朗日中值公式又称有限增量公式. 有限增量公式 拉格朗日中值定理又称有限增量定理 拉格朗日中值定理又称有限增量定理. 有限增量定理 微分中值定理
设 f ( x )在 在(a , b )内可导, x 0 , x 0 + x ∈ (a , b ), 则有
x
1 1 dy = (2 x sin cos )dx x x 3. y = f (sin x ), 求y ′′, 其中f 二阶可导
微分中值定理
微分中值定理微分中值定理是微积分中的一个重要定理，它描述了函数在某个区间上的局部性质。
本文将介绍微分中值定理的概念、原理以及应用，并探讨其在实际问题中的价值。
一、概念微分中值定理是指对于连续函数f(x)在[a,b]区间及(a,b)内可导，存在一点c使得f(b)-f(a)=f'(c)(b-a)。
这里的c表示在(a,b)内的某一点。
二、原理微分中值定理基于导数的性质推导而来。
根据导数的定义，当函数在某一点可导时，其导数可以表示为函数在该点的切线的斜率。
利用这一性质，微分中值定理表明，对于某个区间上的连续函数，存在一点使得切线的斜率等于函数在该区间上的平均斜率。
三、应用微分中值定理有许多应用场景。
以下是其中几个常见的应用：1. 判断函数的增减性：根据微分中值定理，当函数在某个区间上的导数恒为正时，可以判断函数在该区间上是单调递增的；当导数恒为负时，则函数为单调递减的。
2. 寻找函数极值点：使用微分中值定理可以找到函数在某个区间内的极值点。
根据定理，当导数为零时，存在某个点使得函数的增量等于零，即函数在该点上取得极小值或极大值。
3. 证明数学定理：微分中值定理是许多重要数学定理的基础。
比如拉格朗日中值定理和柯西中值定理等，都是基于微分中值定理推导而来的。
4. 解决实际问题：微分中值定理可以应用于实际问题的解决。
例如，用微分中值定理可以证明某一时刻速度为零的时候必然存在于加速度为零的时刻，或者在一段时间内至少存在过某一特定速度等。
总结：微分中值定理是微积分中非常重要的定理，它描述了函数在某个区间上的局部性质。
通过对它的研究与应用，我们可以判断函数的增减性，找到函数的极值点，证明数学定理以及解决实际问题。
它在数学和实际问题的研究中发挥了重要的作用。
注：为满足字数要求，本文对微分中值定理的概念、原理和应用进行了展开解释，并适当增加了相关实例和讨论。
希望对您有所帮助。
第四章微分中值定理
第四章微分中值定理4.1 微分中值定理微分中值定理在微积分理论中占有重要地位，它建立了函数与导数之间的联系，提供了导数应用的基础理论依据，本节介绍罗尔（Rolle）定理以及拉格朗日（Lagrange）中值定理。
一、罗尔定理我们已经知道，有界闭区间上的连续函数一定有最大值与最小值，但是最大值与最小值不一定是极值，例如当最大值和最小值仅在区间端点处取得时就不是极值，而如果最大值或最小值在区间内部取得时，则一定为极值，因此，如果有界闭区间上的连续函数在两个端点处的函数值相等，那么它的最大值与最小值中至少有一个在开区间内取得，从而一定是极值，如果函数可导的话，相应的极值点一定是驻点，即该点处导数为0，这样，我们自然得到下面的罗尔定理。
定理4.1（罗尔定理）设函数f（x）满足：（1）在闭区间[a、b]上连续；（2）在开区间（a、b）内可导；（3）f（a）=f（b）,则至少存在一点罗尔定理也有十分明显的几何意义，设曲线弧（如图4.1所示）的方程为y=f（x）（a≤x≤b），罗尔定理的条件在几何上表示：是一条连续的曲线弧，除了端点外处处有不垂直于x轴的切线，并且两个端点A 和B的纵坐标相同。
定理结论表述了这样的几何事实：曲线弧上至少有一点C，在这点处曲线的切线是水平的，即罗尔定理的几何意义是：当曲线弧在[a、b]上为连续弧段，在（a、b）的曲线弧上每一点均有不垂直于x轴的切线，并且曲线弧两个端点的纵坐标相同，那么曲线弧上至少有一点的切线平行于x轴（如图4.1所示）有必要指出，罗尔定理中的三个条件缺一不可，条件（1）保证了函数f（x）的最大值与最小值的存在性；条件（3）保证了最大值与最小值中至少有一个在开区间内取得，从而是极值；条件（2）保证了该极值点处函数的可导性，因此，如果缺少这三个条件中的任何一个定理都将不成立，读者不妨自己举些反例加以验证。
例1 在区间[-1，1]上满足罗尔定理条件的函数是（）[答疑编号10040101：针对该题提问]解：因为在x=0处没定义，所以不连续，故在区间[-1，1]上不满足罗尔定理的条件。
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作辅助函数 (x) f (x)(f )(b) f (a) x
ba
显然 ,
在 [ a , b ] 上连续 ,在 ( a , b ) 内可导,且
(a) b f (a) a f (b) (b),由罗尔定理知至少存在一点
思路: 利用逆向b 思a维找出一即个定满理足结罗论尔成定立理条. 件证的毕函数
在 x0 , x1 之间至少存在一点
但
矛盾, 故假设不成立
二、拉格朗日中值定理 y
y f (x)
(1) 在区间 [ a , b ] 上连续 (2) 在区间 ( a , b ) 内可导
o a
bx
则至少存在一点
使 f ( ) f (b) f (a).
分析：问题转化为证f ( )f (bb) af (a) 0 b a
y f (x) B
D
2 b
x
推论: 若函数 在区间 I 上满足
则
在 I 上必为常数.
证: 在 I 上任取两点 格朗日中值定理 , 得
0
由 的任意性知,
在 I 上为常数 .
推论: 若函数
在区间 I 内导数恒相等，
则在 I 内有
推论: 若函数
的导数在区间 I 内不变号，
则 在 I 内严格单调.
例2
例3. 证明等式 证: 设
g(b) g(a)
则(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导, 且
(a) f (b)g(a) f (a)g(b) (b)
g(b) g(a)
由罗尔定理知, 至少存在一点
f (b) f (a) f ( ) . g(b) g(a) g( )
思考: 柯西定理的下述证法对吗 ?
f (b) f (a) f ( )(b a), (a , b)
拉格朗日中值定理的有限增量形式:
令
则
f ( x0 x) f ( x0 ) f ( x0 x) x (0 1).
也可写成 y f ( x0 x) x (0 1).
增量y的精确表达式.
几何意义:
y
C
在曲线弧 AB 上至少有
一点 C ,在该点处的切
A
线平行于弦 AB.
o a 1
由推论可知
(常数)
令x=0,得
又
故所证等式在定义域
上成立.
说明: 欲证 x I 时 f (x) C0, 只需证在 I 上 f (x) 0,
练习:
且 x0 I , 使 f arctan x arccot
(xx0 )
C0. ,x
(
,
)
2
例4. 证明不等式 x ln(1 x) x (x 0). 1 x
证: 设 f (t) ln(1 t) ,
中值定理条件, 因此应有
即 因为
故
三、柯西(Cauchy)中值定理
(1) 在闭区间 [ a , b ] 上连续
(2) 在开区间 ( a , b ) 内可导
(3)在开区间 ( a , b ) 内 则至少存在一点
使 f (b) f (a) f ( ) .
g(b) g(a) g( )
定义：设函数f ( x)在U x0 , 内有定义, 若x U x0 , 有f ( x) f ( x0 )，则称x0为函数f ( x)的
极大值点，f ( x0 )称为函数f ( x)的一个极大值;
若x U x0 , 有f ( x0 ) f ( x)，则称x0为函数f ( x)的
极小值点，f ( x0 )称为函数f ( x)的一个极小值.
第四章
微分中值定理
与导数的应用
中值定理
罗尔中值定理
推广
拉格朗日中值定理
泰勒公式
柯西中值定理
研究函数性质及曲线性态 应用
利用导数解决实际问题
第四章
第一节 微分中值定理（一）
一、罗尔( Rolle )定理 二、拉格朗日中值定理 三、柯西(Cauchy)中值定理
一、罗尔( Rolle )定理
1、函数的极值
函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值的 点称为极值点.
注意：极值是函数的局部性质
2、费马引理
y
则 0,使得当x U x0, U x0 时有 f (x) f (x0)
o x0 x
满足方程 f ( x) 0的点x称为 f ( x)的驻点.
显然可导函数的极值点必是它的驻点, 但函数的驻点却不一定是极值点.
2 b x
1) 若三个条件同时成立则结论一定成立；
但若不满足其中任一个条件，结论不一定成立
（即可能成立也可能不成立）.
例如
y
1 o 1 x
2) 本定理可推广为
在 ( a , b ) 内可导, 且
lim f (x) lim f (x)
xa
xb
在( a , b ) 内至少存在一点 使
证明提示: 设 证 F(x) 在 [a , b] 上满足罗尔定理 .
g(b) g(a) g( )(b a), (a , b)
上面两式相比即得结论. 错!
两个 不
一定相同Βιβλιοθήκη 柯西定理的几何意义:弦的斜率 切线斜率
例1. 证明方程
有且仅有一个小于1 的
正实根 .
证: 1) 存在性 .
设 f (x) x5 5x 1, 则 f (x) 在 [0 , 1 ] 连续 , 且
由零点定理知存在 x0 (0,1),使
f (x0 ) 0, 即方程有小于 1 的正根
2) 唯一性 .
假设另有
f (x)在以 x0 , x1为端点的区间满足罗尔定理条件 ,
证: M 和最小值 m . 若M=m,则
因此
故在[ a , b ]上取得最大值
若 M > m , 则 M 和 m 中至少有一个与端点值不等,
不妨设
则至少存在一点
使
则由费马引理得 f ( ) 0.
y
几何意义:
C
在曲线弧AB上至少有一
y f (x)
点C , 在该点处的切线是
水平的.
注意:
o a 1
分析: g(b) g(a) g()(b a) 0 a b
要证
f (b) f (a) g( ) f ( ) 0
g(b) g(a)
( )
(x) f (b) f (a) g(x) f (x)
g(b) g(a)
证: 作辅助函数
(x)
f (b)
f (a) g(x)
f (x)
例如, y x3 , y x0 0, 但x 0不是极值点.
3、罗尔( Rolle )定理
y
y f (x)
(1) 在闭区间 [a , b] 上连续 (2) 在开区间 (a , b) 内可导
o a
bx
(3) 在区间端点处的函数值相等，即 f ( a ) = f ( b )
则在( a , b ) 内至少存在一点 使f ( ) 0.