微分中值定理论文
微分中值定理及其应用(大学毕业论文)
毕业论文(设计)题目名称：微分中值定理的推广及应用题目类型：理论研究型学生姓名：邓奇峰院(系)：信息与数学学院专业班级：数学10903班指导教师：熊骏辅导教师：熊骏时间：2012年12月至2013年6月目录毕业设计任务书 (I)开题报告 ....................................................................................................................................... I I 指导老师审查意见. (III)评阅老师评语 (IV)答辩会议记录 (V)中文摘要 (VI)外文摘要 .................................................................................................................................... V II1 引言 (1)2 题目来源 (1)3 研究目的和意义 (1)4 国内外现状和发展趋势与研究的主攻方向 (1)5 微分中值定理的发展过程 (2)6 微分中值定理的基本内容 (3)6.1 罗尔(Rolle)中值定理 (3)6.2 拉格朗日(Lagrange)中值定理 (4)6.3 柯西（Cauchy）中值定理 (4)6.4 泰勒（Taylor）定理 (4)7 微分中值定理之间的联系 (5)8 微分中值定理的应用 (5)8.1 根的存在性证明 (6)8.2 利用微分中值定理求极限 (8)8.3 利用微分中值定理证明函数的连续性 (10)8.4 利用微分中值定理解决含高阶导数的中值问题 (10)8.5 利用微分中值定理求近似值 (10)8.6 利用微分中值定理解决导数估值问题 (10)8.7 利用微分中值定理证明不等式 (11)9 微分中值定理的推广 (14)9.1 微分中值定理的推广定理 (15)9.2 微分中值定理的推广定理的应用 (17)参考文献 (18)致谢 (19)微分中值定理的推广及应用学生：邓奇峰，信息与数学学院指导老师：熊骏，信息与数学学院【摘要】微分中值定理，是微积分的基本定理，是沟通函数与其导数之间的桥梁，是应用导数的局部性研究函数整体性的重要数学工具，在微积分中起着极其重要的作用。
关于微分中值定理的研究
关于微分中值定理的研究微分中值定理是微积分中一个经典的定理，它是由18世纪法国数学家埃米尔克尔帕特里克所推导出的，指出在一定的条件下，如果一个函数在某一段间隔内变动连续，那么这个函数的极值点（即函数的最大值和最小值）可能位于这段间隔的中点，而不是在段落的两端。
这个定理对于理解和分析函数的变化起着重要的作用，在金融学、物理学、天文学等多个领域也有重要研究和应用价值。
本文就微分中值定理进行详细的介绍和研究，其中包括定理的证明、示例与推广等内容。
一、定理的证明微分中值定理可以用积分公式和链式法则来证明。
首先，假设函数f(x)在区间[a, b]上具有连续和微分的导数，其中f′(x)为函数f(x)的一阶导数。
那么，函数f(x)在区间[a, b]上可以表示为：f(x) = f(a) + f′(ζ)(x a) (其中ζ为[a，b]之间的某一常数)此外，f(x)区间[a, b]上的最大值M 与最小值m以用积分公式表示为：M = (b-a)f′(x)dx , m = (b-a)f′(x)dx由此，中值定理可以得到：f(a) + f′(ζ) ( b a ) = M + m即M + m 与f(a) + f′(ζ) ( b a )相等，因此当f(x)在[a，b]上具有连续的一阶导数时，它的极值一定取得在区间的中间，也就是f(a) + f′(ζ) ( b a ) = M + m 。
该定理的证明完成。
二、定理的示例通过上述证明，已经得出微分中值定理的结论，下面通过实例来进一步加深对定理的理解。
假设函数f(x)定义在区间[a，b]内，求该函数在区间内的极大值和极小值，首先假定函数f(x)具有连续的一阶导数，那么根据上述微分中值定理，该函数的极值可以通过以下公式求出：M = f(a) + f′(ζ) ( b a ) , m = f(a) + f′(ζ) ( b a ) 其中ζ为[a，b]之间的某一常数。
由此可以看出，微分中值定理可以准确地求出函数在区间内的最大值和最小值，有效地满足函数的变动规律，极大地拓展了函数的研究范围。
独立学院微积分教学中对微分中值定理论文
独立学院微积分教学中对微分中值定理的讨论【摘要】在微积分中，微分中值定理是学好导数应用的基础，因而其教学也显得尤为关键.探讨微分中值定理及其相关内容的教学以及怎样构造辅助函数去解决问题，历来是独立学院师生所关注的热点课题之一.【关键词】中值定理；教学；辅助函数；独立学院罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理统称为微分中值定理.它们是沟通函数及其导数之间的桥梁，是研究函数性态的有力工具.微分中值定理对于独立学院学《微积分》这门专业课来说是一个比较重要但又不容易掌握的章节.很多老师讲解完这节课后学生仍然不会解题，这其中一个重要原因就是在教学过程中老师只注重传授给学生中值定理的内容而忽略过程的分析，大多数教师遵循传统的教学方法已经形成一种思维定式：教学生解题时总是习惯从已知条件推导待求结论.显然这种单一思维方式已经不适用于现在微积分特别是独立学院的学生的学习，原因有两点：一是本节课理论性强，二是学生基础相对薄弱.如何让学生更好地掌握微积分中微分中值定理并有效运用，我们针对教学中遇到的一些普遍现象经过研究摸索得到一些体会，与大家共同探讨.一、微分中值定理的内容1rolle）中值定理如果函数f(x)在闭区间［a，b］上连续，在开区间(a，b)内可导，且在区间端点的函数值相等，即f(a)=f(b)，那么在(a，b)内至少有一点ξ(a<ξ<b)，使得函数f(x)在该点的导数等于零，即f′(ξ)=0.2lagrange）中值定理如果函数f(x)在闭区间［a，b］上连续，在开区间(a，b)内可导，那么在(a，b)内至少有一点ξ(a<ξ<b)，使等式f(b)-f(a)=f′(ξ)(b-a)成立.3如果函数f(x)及f(x)在闭区间［a，b］上连续，在开区间(a，b)内可导，且f′(x)在(a，b)内每一点处均不为零，那么在(a，b)内至少有一点ξ(a<ξ<b)，使等式f(a)-f(b)f(a)-f(b)=f′(ξ)f′(ξ)成立.二、微分中值定理之间的关系1理是罗尔中值定理的推广（即在拉格朗日中值定理中，若f(a)=f(b)，可推出罗尔中值定理）.2拉格朗日中值定理的推广（即在柯西中值定理中，若取g(x)=x时，就可推出拉格朗日中值定理）.三者的关系可表示为：柯西中值定理g(x)=x拉格朗日中值定理f(a)=f(b)罗尔中值定理.三、教学体会1由于本节三个定理教材已经给出了详细的证明过程，因此教师在讲解过程中就不能照本宣科，而应启发学生发掘证明过程背后的实质.例如：用罗尔中值定理去证明拉格朗日中值定理，为什么要构造辅助函数？辅助函数是怎样构造出来的？又是怎么想到用罗尔中值定理来证明该定理的？针对这样的疑问教师可以采用以下顺序来引导启发学生.首先，让学生比较该定理与罗尔中值定理在内容上的异同，特别是结论上的区别.罗尔中值定理结论是“至少存在一点ξ(a<ξ<b)使得f′(ξ)=0”，拉格朗日中值定理结论是“至少存在一点ξ∈(a，b)，使得f(b)-f(a)=f′(ξ)(b-a)”，从表面上看这两者没有任何相同点，但仔细分析后就会发现罗尔中值定理结论的几何特点是存在开区间(a，b)内的点ξ使得函数所对应的曲线在该点有水平的切线，由于此时函数在区间端点处函数值相等，因而端点连线也是水平的，这样一来也就可以理解为存在的ξ点处的切线平行于端点连线；而拉格朗日中值定理结论的几何意义就是存在点ξ∈(a，b)使得函数所对应的曲线在ξ点的切线与函数端点连线平行.通过这样的分析找到两个定理的相同点，从而启发学生明白了用罗尔中值定理证明此定理的原因.接下来在解释辅助函数的构造时可以启发学生利用数形结合的方法来思考：在满足罗尔中值定理的函数图形中将两端点连接起来可得到一条平行于x轴的直线，而在满足拉格朗日中值定理的函数图形中此直线很明显是不平行的，那么就要求我们利用辅助函数将其变成平行的，如下图所示.在分析讲解的过程中若能充分调动学生的主动性，不仅可以锻炼他们的逻辑思维能力，更能增强他们解决问题的信心，在教学过程中起到事半功倍的效果.2教学目标的实现，体现在教学内容的具体安排上，即先教什么，后教什么.一堂课的学习内容必须划分成若干个可操作的阶段.根据教育学家加涅对教学目标的分类，“微分中值定理”是一堂智力技能学习课，它有很强的理论性和操作性.在具体实施教学过程中，宏观上把整堂课按rolle中值定理、lagrange中值定理、cauchy中值定理划分三个阶段，由浅到难，逐步加深.cauchy中值定理留给学生自学，以培养学生的自学能力和学习迁移能力.在第一阶段我们把学习的起点确定在已有的导数概念和导数的几何意义上，在第二阶段则把学习的起点确定在前面的定理基础上，而每个定理的学习又分为几个阶段，并且有相似的教学组织形式、教学方法等教学策略.以lagrange中值定理为例，教学过程分为学生讨论阶段、教师引导阶段和应用举例阶段.这三个阶段所完成的主要任务分别是:探索归纳、形成定理、应用形成技能.。
微分中值定理的证明及其应用毕业论文
•上1记录O返回o下我❽打印© Email•下一记录【标题】微分中值左理的证明及其应用【作者】蒋雯亦【关键词】Lagrange中值立理Cauchy中值龙理辅助函数【指导老师】吴先兵【专业】数学教育【正文】1引言在一元函数微积分中，微分中值泄理是应用函数局部性质研究函数整体性质的重要工具。
Lagrange中值定理、Cauchy中值左理是微分学中的两个重要左理，它们揭示了函数值与导数值之间的内在联系，为微分学的应用和对函数的进一步研究提供了理论依据，对两个微分中值左理的证明一般都划归为Rolle中值泄理来证明。
因此，Rolle中值左理是基础， Lagrange中值泄理及Cauchy中值定理是Rolle中值立理的推广，熟练运用Rolle中值左理, 正确掌握函数证明的各种技巧，对解决实际问题非常重要。
2001年，鲁凤菊［5］给岀了证明微分中值定理时构造辅助函数的两种方法及微分中值左理在一元函数、多元向量值函数及抽象函数方面的推广。
2007年，贾计荣［6］用行列式证明Cauchy中值左理及Lagrange中值左理，并对微分中值泄理加以推广。
2008年，孙彩贤［7］从不同方而对微分中值左理加以证明，使得抽象的肚理灵活化，从而更易理解。
李建杰［8］着重探讨Cauchy中值泄理的几种新证法，比较详细地叙述了求证的思路、方法和具体步骤，简述了求证过程对微枳分教学的意义。
陈鱼昆［9］分别研究Lagrange中值泄理、Cauchy中值立理及Rolle中值定理的某些重要应用。
2009年，杨洪秀［10］列岀了证明Lagrange中值立理的几种不同方法。
宋振云［11］通过复数乘法运算构造出一系列Lagrange中值立理证明中满足Rolle中值立理条件的辅助函数，并明确指岀了Cauchy中值泄理证明中辅助函数的构造方法。
微分中值定理的证明和应用，通常以Rolle中值左理作为它的预备左理，证明的关键在于方法的掌握,而教材通常都只用一种方法来证明微分中值定理，因而不能提高学生的思维能力, 本文试用多种方法来证明Lagrange中值左理和Cauchy中值左理，再将Rolle中值立理、 Lagrange 中值左理及Cauchy中值定理分别应用到不同的问题中，让学生能够更加容易掌握和应用微分中值左理。
微分中值定理及其应用
微分中值定理及其应用一、本文概述《微分中值定理及其应用》是一篇深入探讨微分学中值定理及其在实际应用中的作用的学术性文章。
微分中值定理是数学分析领域中的一个核心概念，它建立了函数在特定区间内的变化与其导数之间的紧密联系。
本文旨在通过对微分中值定理的深入剖析，揭示其在理论研究和实际应用中的广泛价值。
文章首先介绍了微分中值定理的基本概念，包括罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理等。
这些定理不仅在数学分析中占有重要地位，而且在实际应用中发挥着重要作用。
接着，文章通过一系列实例展示了微分中值定理在几何、物理、工程等领域的应用，如曲线形状的判定、物体运动的分析、工程设计的优化等。
本文还关注微分中值定理在经济学、生物学等社会科学领域的应用。
通过引入这些领域的实际案例，文章进一步强调了微分中值定理在解决实际问题中的重要作用。
文章对微分中值定理的应用前景进行了展望，探讨了其在未来科学研究和技术发展中的潜在影响。
《微分中值定理及其应用》是一篇系统介绍微分中值定理及其在各个领域应用的综合性文章。
通过本文的阅读，读者可以全面了解微分中值定理的基本知识和应用技巧，为深入研究和实际应用打下坚实基础。
二、微分中值定理概述微分中值定理是微积分理论中的核心内容之一，它揭示了函数在某区间内与导数之间的紧密联系。
这些定理不仅为函数的研究提供了重要的工具，还在解决实际问题中发挥了重要作用。
微分中值定理主要包括罗尔定理、拉格朗日定理和柯西定理。
罗尔定理是微分中值定理的基础，它指出如果一个函数在某闭区间上连续，在开区间内可导，并且区间两端点的函数值相等，那么在这个开区间内至少存在一点，使得该点的导数值为零。
拉格朗日定理是罗尔定理的推广，它进一步指出，如果存在满足上述条件的点，那么该点的导数值等于函数在区间两端点值的差与区间长度的商。
柯西定理则是拉格朗日定理的推广，它涉及到两个函数在相同区间上的性质。
这些定理在实际应用中具有广泛的价值。
微分中值定理及其应用和推广论文
微分中值定理及其应用和推广王泓元摘要：微分中值定理包括罗尔（Rolle）中值定理、拉格朗日（lagrange）中值定理、柯西（cauchy）中值定理、泰勒（Taylor）定理。
微分中值定理是反映函数与导数之间关系的重要定理，也是微积分学的理论基础，也是沟通导数值与函数值之间的桥梁，它利用导数的局部性质来推断函数的整体性质的工具。
在许多方面它都有着重要的作用，在进行一些公式推导和定理证明中都有很多应用。
关键词：中值定理；推广；应用2. 微分中值定理的基本内容2.1罗尔（Rolle ）中值定理“罗尔定理”这个名字是由德罗比什在1834年给出的。
罗尔在当时提出的这个结论，主要是针对多项式函数的，现在所看到的罗尔定理则一般适用于一般的函数。
而且证明的方法也与罗尔的有所不同，罗尔是利用纯代数的方法加以证明的，而后人则是以分积分的理论证明的[1]。
罗尔在《方程的解法》论著中给出了“在多项式01110=+++--n n n n a x a x a x a 中，至少有一个实根。
”的论断。
正好是定理的一个特例，这也是以上定理称为罗尔定理的原因。
2.1.1罗尔定理 若函数)(x f 满足如下条件：（i ） f 在闭区间[a,b]上连续； （ii ） f 在开区间（a,b ）内可导； （iii ）)()(a f b f =，则在（a,b ）内至少存在一点ξ，使得0)(='ξf .2.1.2罗尔定理的证明证明：由（i ）知)(x f 在[a,b]上连续，故)(x f 在[a,b]上必能有最大值M 和最小值m ，此时，分两种情况来谈论：（1）若M=m ，即)(x f 在[a,b]上得最大值和最小值相等，此时)(x f 为常数，m M x f ==)(，所以0)(='x f ，因此，可知ξ为（a,b ）内任意一点都有0)(='ξf .（2）若M>m ，因为)()(b f a f =，使得最大值M 和最小值m 至少有一个在（a,b ）内某点ξ处取得，从而ξ是f 的极值点，由条件（ii ）f 在点ξ处可导，故由费马定理推知，0)(='ξf .注：⒈ 定理中的三个条件缺少任何一个，结论将不一定成立，即定理中的条件是充分的，但非必要（见图2-2）。
数学微分中值定理论文
推论 1 的条件，可得
161 11
2
1
1 (16 1) 4 1 1
16 1
15 5
定理 2.对任意的指数函数 f (x) x ， ( 0, 1) ，其中 x [a,b] .若 满足
f (b) f (a) (b a) f [a (b a)] ，其中 0 1 ，
ba 1
1、预备定理：
1、1 泰勒定理 [1]：若函数 f 在[a,b] 上存在直至 n 阶的连续导函数，在 (a,b) 内存
在 n 1阶导函数，则对任意给定的 x , x0 [a,b] ,至少存在一点 (a,b) ，使得
f (x)
f (x0 )
f (x0 )(x x0 )
f
( x0 2!
)
(x
x0
例 6. 验证拉格朗日定理对于函数 f (x) arctgx 在区间[0,1] 上的正确性.
解：只需找到 (0,1) ，使得 (1 0) f [a (b a)] f (1) f (0) 成立，
即在
(0,1)
中找出一点
.使得
(arctgx)
|x
arctg1 1
arctg 0 0
4
1
, 解得[a (b a)]2 4
log
b a
ln
两边减 a 后除以 b a ，得
ba a
log
b a
ln
1
a.
ba
log
b a
ln
ba
例 4．设 f (x) ln x ， x [a,b] ，其中 a 0 ，试求满足
f (b) f (a) (b a) f [a (b a)] ，（ 0 1 且 Байду номын сангаас e,b 2e ）时 的值.
微分中值定理的推广及应用论文精选
微分中值定理的推广及应用摘要本文讲述了微分中值定理的定义及其证明方法,讨论了四大微分中值定理之间的关系,并对中值定理进展了适当的推广,同时具体的分析了微分中值定理在证明等式、不等式以及讨论方程根的存在性等几个方面的应用.关键词微分中值定理；新证法；推广；费马定理；考研；The Generalization of Differential Mean Value Theorem and Its ApplicationAbstractThis paper describes the definition of differential mean value theorem and its proof method, discusses the relationship between the three differential mean value theorem, and the mean value theorem in the proper promotion, at the same time, the specific analysis of the differential mean value theorem inproving the equality, inequality and discuss the root of equation in some aspects.Key words:Differential mean value theorem; new method; generalized Fermat's theorem; examination;目录1 引言……………………………………………………………………………………2 微分中值定理的定义………………………………………………………………3 微分中值定理及其证明方法………………………………………………………3.1费马引理…………………………………………………………………………3.2 罗尔中值定理……………………………………………………………………3.3 拉格朗日中值定理………………………………………………………………3.4 柯西中值定理……………………………………………………………………3.5 泰勒中值定理…………………………………………………………………………4 微分中值定理的推广………………………………………………………………………4.1 罗尔中值定理的推广……………………………………………………………………4.2 拉格朗日中值定理的推广………………………………………………………………4.3 柯西中值定理的推广……………………………………………………………………4.4 泰勒中值定理的推广…………………………………………………………………5 微分中值定理的应用…………………………………………………………………5.1 利用微分中值定理证明等式……………………………………………………5.2 利用微分中值定理证明不等式………………………………………………5.3 讨论方程根的存在性…………………………………………………………5.4. 考研微分中值定理的运用…………………………………………………………完毕语…………………………………………………………………………………… 参考文献………………………………………………………………………………… 致………………………………………………………………………………………1引言在高等数学课程中罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理等统称为微分中值定理,他们是微分中值学中最根本、最重要的定理为加深学生对微分中值定理的理解.它的出现是一个过程，聚集了众多数学家的研究成果.从费马到柯西不断开展，理论知识也不断完善，成为了人们引进微分学以后，数学研究中的重要工具之一，而且应用也越来越广泛.微分中值定理在函数在某一点的局部性质；函数图象的走向；曲线凹凸性的判断；积分中值定理；级数理论；等式及不等式证明等问题的研究中也发挥着十分重要的作用.因此，微分中值定理已经成为整个微分学根底而又举足轻重的容.2 微分中值定理的定义微分中值定理是一系列中值定理总称，是研究函数的有力工具,其中最重要的容是拉格朗日定理，可以说其他中值定理都是拉格朗日中值定理的特殊情况或推广。
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引言通过对数学分析的学习我们知道，微分学在数学分析中具有举足轻重的地位，它是组成数学分析的不可缺失的部分。
对于整块微分学的学习，我们可以知道中值定理在它的所有定理里面是最基本的定理，也是构成它理论基础知识的一块非常重要的内容。
由此可知，对于深入的了解微分中值定理，可以让我们更好的学好数学分析。
通过对微分中值定理的研究，我们可以得到它不仅揭示了函数整体与局部的关系，而且也是微分学理论应用的基础。
微分中值定理是一系列中值定理总称，但本文主要是以拉格朗日定理、罗尔定理和柯西定理三个定理之间的关系[1-3]以及它们的推广为研究对象，利用它们来讨论一些方程根（零点）的存在性, 和对极限的求解问题，以及一些不等式的证明。
中值定理的内容及联系 基本内容[4][5]对于，微分中值定理的了解，我们了解到它包含了很多中值定理，可以说它是一系列定理的总称。
而本文主要是以其中的三个定理为对象，进行探讨和发现它们之间的关系。
它们分别是“罗尔（Rolle ）定理、拉格朗日（Lagrange ）定理和柯西（Cauchy ）定理”。
这三个定理的具体内容如下： Rolle 定理若()f x 在[],a b 上连续，在(),a b 内可导，且()()f a f b =，则至少存在一点(),a b ξ∈，使()0f ξ'=。
Lagrange 定理若()f x 在[],a b 上连续，在(),a b 内可导，则至少存在一点(),a b ξ∈，使()()()()=f b f a f b a ξ-'-Cauchy 定理设()f x ，()g x 在[],a b 上连续，在(),a b 内可导，且()0g x '≠，则至少存在一点(),a b ξ∈，使得()()()()()()f b f a fg b g a g ξξ'-='-。
三个中值定理之间的关系 现在我们来看这三个定理，从这三个定理的内容我们不难看出它们之间具有一定的关系。
那它们之间具体有什么样的关系呢？我们又如何来探讨呢？这是我们要关心的问题，我们将利用推广和收缩的观点来看这三个定理。
首先我们先对这三个定理进行观察和类比，从中可以发现，如果把罗尔定理中的()()f a f b =这一条件给去掉的话，那么定理就会变成为拉格朗日定理。
相反，如果在拉格朗日定理中添加()()f a f b =这一条件的话，显然就该定理就会成为了罗尔定理。
通过这一发现，可以得到这样的一个结论：拉格朗日定理是罗尔定理的推广，而罗尔定理是拉格朗日定理的收缩，或是它的特例。
继续用这一思路来看拉格朗日定理和柯西定理，看看这两者之间又是如何的联系？我们先对柯西定理进行观察，从观察中会是我们作出这样的假设，如果令定理中的()g x x '=的话，发现定理成为了拉格朗日定理。
这使得我们发现他们二者之间的联系， 拉格朗日定理是柯西定理收缩，而柯西定理则是拉格朗日定理的推广。
我们利用这一方法可以得到它们之间的关系。
总的来说，这三个定理既单独存在，相互之间又存在着联系。
我们从上面的讨论中可以总结得到，罗尔定理是这一块内容的基石，而拉格朗日定理则是这一块内容的核心，那么柯西定理是这一块内容的推广应用。
如果我们从几何的意义上来看这三个中值定理的话，那它们之间又是如何的呢？在这里我们不具体的给予研究，而是直接给予结果。
若用几何解释：“若一条连续的曲线，曲线上端点除外的每一点都有切线存在，且存在的切线于x 轴相交的夹角不为直角；那么像这一类曲线具有共同的属性——曲线上有一点，它的切线与曲线端点的连线平行”。
定理的推广[6][7]前面我们已经讨论了定理之间的关系，接下来我们来看它们的推广。
从前面的内容我们知道，这三个定理都要求函数()f x 在[],a b 上是连续，在(),a b 内是可导。
那么我们如果把定理中的闭区间[],a b ，把它推广到无限区间[),a +∞或(),-∞+∞，再把开区间(),a b 推广到无限区间(),a +∞或(),-∞+∞的话，则这些定理是否还能满足条件，或者我们能得出哪些相应的定理呢？通过讨论研究我们知道，按照以上的想法把中值定理的区间，推广到无限区间上可以得到几个相应的定理，本文在此只提到其中的三个，下面给出定理以及证明。
定理1 若()f x 在[),a +∞上连续，在(),a +∞内可导，且()()lim x f x f a →+∞=，则至少存在一点(),a ξ∈+∞，使()0f ξ'=成立。
证明： 令11t x a =-+，则11x a t =+-，即可得到关于t 参数函数()11t a tϕ=+-当[),x a ∈+∞时，则(]0,1t ∈即()1a ϕ=，()0lim t t ϕ→=+∞，再令()()()f x f t g t ϕ==⎡⎤⎣⎦ ∴()()()()()()lim lim lim 11t t x g t f t f x f a f g ϕϕ→→→+∞=====⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ ()()00lim t g g t →=()()01g g ∴=() g t ∴在[]0,1上连续，在()0,1内可导，且()()01g g =，由Rolle 定理可得到至少存在一点()0,1ε∈，使()0g ε'=成立令()ξϕε=，有()()0f ξϕε''⋅=，而()210ϕεε'=-≠.至少存在一点(),a ξ∈+∞，使()0f ξ'=成立证毕定理2 若()f x 在(),-∞+∞上连续，在(),-∞+∞内可导，并且()()lim lim x x f x f x →-∞→+∞=，至少存在一点(),ξ∈-∞+∞，使()0f ξ'=成立。
定理2的证明可以参照定理1。
定理3 若()f x 在[),a +∞上连续，在[),a +∞内可导，并且()lim x f x M →+∞=，则至少存在一点(),a ξ∈+∞，使()()()21M f a f a ξξ-⎡⎤⎣⎦'=+-成立。
证明：设11t x a =-+，则11x a t =+-，即可得到关于t 参数函数()11t a tϕ=+-当[),x a ∈+∞时，则(]0,1t ∈即()1a ϕ=，()0lim t t ϕ→=+∞，再令()()()f x f t g t ϕ==⎡⎤⎣⎦ ∴()()()0lim lim lim t t x g t t f x M ϕ→→→+∞===()()00lim t g g t M →==() g t ∴在[]0,1上连续，在()0,1内可导，由Lagrange 定理得至少存在一点()0,1ε∈，使()()()1010g g g ε-'=-成立即()()g f a M ε'=-令()ξϕε=，有()()()g f εξϕε'''=•，而()()2211a ϕεξε'=-=-+-，至少存在一点(),a ξ∈+∞，使()()()21M f a f a ξξ-⎡⎤⎣⎦'=+- 成立. 证毕 定理的应用通过上面对定理的研究和探讨，加深了我们的理解。
我们知道中值定理在解题中具有十分广泛的应用，现在我们来看看这三个定理的具体运用。
我们学知识，不仅仅是为了让我们知道，更主要的是学了要会用，这才是最关键的。
利用定理证明方程根（零点）的存在性例 1 若()f x 在[],a b 上连续，在(),a b 内可导()0a >，证明在(),a b 内方程()()()()222x f b f a b a f x '-=-⎡⎤⎣⎦至少存在一根。
分析：由于题目是要求方程()()()()222x f b f a b a f x '-=-⎡⎤⎣⎦是否有根存在，所以可以先对方程进行变形，把方程变为()()()()2220x f b f a b a f x '---=⎡⎤⎣⎦。
那么方程()()()()222x f b f a b a f x '-=-⎡⎤⎣⎦有根的话，则原方程也有根。
变形之后的方程有()f x '存在，所以可以利用不定积分把方程()()()()2220x f b f a b a f x '---=⎡⎤⎣⎦，转变为()()()()2220f b f a x b a f x ---=⎡⎤⎣⎦。
现在我们返回来看题目，由题目中我们可以知道()f x 在区间[],a b 上连续，在区间(),a b 内可导()0a >，由函数的连续性和求导的概念，可以得到函数()()()()222f b f a x b a f x ---⎡⎤⎣⎦在[],a b 上连续,在(),a b 内可导()0a >，那么我们不难想到利用罗尔中值定理就可以证明该题了。
证明:令()()()()()222F x f b f a x b a f x =---⎡⎤⎣⎦， 显然()F x 在[],a b 上连续,在(),a b 内可导， 而()()()()22F a f b a b f a F b =-=. 根据Rolle 定理, 至少存在一点ξ，使()()()()222f b f a b a f x ξ'-=-⎡⎤⎣⎦.证毕本文主要在于辅助函数()()()()()222F x f b f a x b a f x =---⎡⎤⎣⎦的构造，我们从结论出发，构造辅助函数，使得该题可以利用中值定理来证明，接下来是考虑利用微分中值定理中的哪一个即可。
对于构造辅助函数我们可以得到()()F a F b =，所以选在利用罗尔定理证明。
这是对解该类问题的总结，也是自己对该类问题解题提出的一个解题思路模式，大家可以借鉴。
下来我们继续看两道例题：设()f x 在[],a b 上连续，在(),a b 可导()0a b <<，证明：在[],a b 内存在一点ξ， 使()()()()()bf b af b b a f f ξξξ'-=-+⎡⎤⎣⎦成立。
分析：对于等式()()()()()bf b af b b a f f ξξξ'-=-+⎡⎤⎣⎦，则可以两边同除以b a -，即等式左端为()()bf b af b b a--，这个商式可看为函数()xf x 在[],a b 上的改变量与自变量的改变量之商，则会考虑利用Lagrange 定理，那么可构造辅助函数()()F x xf x =。
证明: ()()F x xf x =，则()F x 在[],a b 上连续，在(),a b 可导， 由Lagrange 定理，存在一点(),a b ξ∈，使()()()F b F a F b aξ-'=-，即()()()()bf b af a f f x b aξξ-'+=-，即()()()()()bf b af b b a f f ξξξ'-=-+⎡⎤⎣⎦证毕设()f x 在[],a b 上连续，在(),a b 可导()0a b <<，证明:在[],a b 内存在一点ξ， 使()()()ln b f b f a f a ξξ⎛⎫'-= ⎪⎝⎭成立。