微分中值定理及应用综述
微分中值定理的应用小结
微分中值定理的应用小结微分中值定理是微积分中的重要定理，它描述了函数在某一区间内的平均速率与瞬时速率之间的关系。
利用微分中值定理，我们可以解决一些与平均速率、瞬时速率和变化率有关的实际问题，比如求解曲线在某一点的斜率、判断函数在某一区间内的增减性等等。
在这篇文章中，我们将介绍微分中值定理的应用，并通过实际例子来说明如何利用微分中值定理解决实际问题。
一、微分中值定理微分中值定理是微积分中的重要定理，它描述了函数在某一区间内的平均速率与瞬时速率之间的关系。
微分中值定理有两种形式：拉格朗日中值定理和柯西中值定理。
在这里我们主要讨论拉格朗日中值定理，它的表述如下：如果函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)内可导，那么在(a, b)内至少存在一点ξ，使得f'(ξ) = (f(b) - f(a)) / (b - a)其中f'(ξ)表示函数f(x)在点ξ处的导数。
二、求解曲线在某一点的斜率利用微分中值定理，我们可以求解曲线在某一点的斜率。
我们要求解函数y = x^2在点x = 2的斜率。
首先我们需要计算函数在区间[1, 3]上的平均速率：然后根据微分中值定理，存在一个ξ∈(1, 3)，使得f'(ξ) = 4。
函数y = x^2在点x = 2的斜率为4。
三、判断函数在某一区间内的增减性f'(x) = 3x^2然后根据微分中值定理，存在一个ξ∈(0, 2)，使得f'(ξ) = (f(2) - f(0)) / (2 - 0) = 2ξ^2。
由此可知，当ξ>0时，f'(ξ)>0；当ξ<0时，f'(ξ)<0。
函数y = x^3在区间[0, 2]上是递增的。
四、其他应用除了上述两个例子外，微分中值定理还可以应用于其它实际问题的求解。
利用微分中值定理可以证明罗尔定理和拉格朗日中值定理等，也可以用于解决曲线的凹凸性问题、优化问题等。
多个函数多介值的微分中值定理及其应用
多个函数多介值的微分中值定理及其应用微分中值定理是微积分中的重要定理之一，它描述了函数在一个闭区间上的平均斜率与某一点的瞬时斜率之间的关系。
这个定理在实际问题中有着广泛的应用，特别是在求解函数在某一点的导数时十分有用。
本文将介绍多个函数多介值的微分中值定理及其应用。
微分中值定理有三个形式：拉格朗日中值定理、柯西中值定理和柯西-罗尔定理。
这个定理表明，在某些条件下，函数在一个闭区间上的平均斜率与某一点的瞬时斜率之间存在特定的关系。
1. 拉格朗日中值定理设函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)上可导，则存在一个点c ∈ (a, b)，使得f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}这里f'(c)表示函数f(x)在点c处的导数，而\frac{f(b) - f(a)}{b - a}则表示在闭区间[a, b]上的平均斜率。
这个定理的几何意义是：在一个闭区间上连续可微的函数中，必定存在至少一个点，这个点的瞬时斜率等于该区间上的平均斜率。
2. 柯西中值定理这个定理的几何意义是：在一个闭区间上连续可导的两个函数中，必定存在至少一个点，这个点的两个函数的导数的比值等于这两个函数在这个闭区间上的函数值之差的比值。
f'(c) = 0微分中值定理在实际问题中有着广泛的应用，下面将介绍几个典型的应用。
1. 确定函数在某一点的斜率微分中值定理可以用来确定函数在某一点的斜率。
通过拉格朗日中值定理，我们可以找到一个点使得它的瞬时斜率等于区间上的平均斜率。
这对于确定函数在某一点的变化率是非常有帮助的。
通过柯西中值定理，我们可以确定一个区间内函数的最大斜率和最小斜率。
因为柯西中值定理可以将两个函数的导数的比值与这两个函数的函数值的差的比值联系起来，从而可以确定函数在某一区间内的斜率情况。
微分中值定理可以帮助我们确定函数在某一区间内的凹凸性。
通过柯西-罗尔定理，我们可以确定在一个闭区间上连续可导的函数在两个端点相等的情况下，一定存在至少一个导数为0的点。
微分中值定理及其证明及应用
定理及其证明费马定理：设)(f x 在c 的某邻域）（δδ+−c c ,内有定义，而且在这个领域上有)()(c f x f ≤（其中)c (f 为局部最大值）或者)()(c f x f ≥（其中)c (f 为局部最小值），当)(f x 在c 处可导时，则有0)c ('=f ．证明：因为假设)c ('f 存在，由定义可得左导数)('-x f 和右导数)(f 'c +均存在且满足：)(f )()('''-c c f c f ==+当c x <时，0)()(≥−−c x c f x f ，所以0)(f )(lim)(f '≥−−=−→c x c x f c c x 当c >x 时，0)()(≤−−c x c f x f ，所以0)(f )(lim)(f '≤−−=+→c x c x f c cx 所以0)c ('=f以上是对于)()(c f x f ≤这种情况进行的证明，同理也可证明)()(c f x f ≥这种情形 罗尔定理：设)(f x 在[]b ,a 上连续，在()b ,a 上可导，若)()a (b f f =，则必有一点()b a ,c ∈使得0)c ('=f ．证明：分两种情况，若)(f x 为常值，结论显然成立．若)(f x 不为常值，根据最大、最小值定理（有界闭区间[]b ,a 上的连续函数)(f x 具有最大值和最小值）可知，)(f x 必在()b ,a 内某一点c 处达到最大值或最小值，再有费马定理可得，0)c ('=f ．拉格朗日中值定理：设)(f x 在[]b ,a 上连续，在()b ,a 上可导，则一定有一点()b ,a ∈ξ使ab a f −−=)(f )b ()(f 'ξ．证明：分两种情况，若)(f x 恒为常数，则0)x ('=f 在()b ,a 上处处成立，则定理结论明显成立．若)(f x 在[]b ,a 不恒为常数时，由于)(f x 在[]b ,a 上连续，由闭区间连续函数的性质，)(f x 必在[]b ,a 上达到其最大值M 和最小值m ，有一种特殊情况)()a (b f f =时，定理成立，这就是上面所证明过的罗尔定理．考虑一般情形，)()a (b f f ≠．做辅助函数x )(f )b ()(f )x (ab a f x −−−=ϕ．由连续函数的性质及导数运算法则，可得)x (ϕ在[]b ,a 上连续，在()b ,a 上可导，且()a ab b a bf ϕϕ=−−=)(f )a ()b (，这就是说)x (ϕ满足刚刚的特殊情况，因此在()b ,a 内至少有一点ξ，使得()0)(f )b (f )(''=−−−=ab a f ξξϕ．即()ab a f −−=)(f )b (f 'ξ．定理得证． 柯西中值定理：若)(f x 和)(g x 在[]b ,a 上连续，在()b ,a 上可导，且0)x (g '≠，则一定存在()b ,a ∈ξ使()()()()ξξ''g )(f )b (g f a g b a f =−−． 证明：首先能肯定)()a (g b g ≠，因为如果)()a (g b g =，那么由拉格朗日中值定理，)x (g '在()b ,a 内存在零点，因此与假设矛盾． 还是做辅助函数()()()()()a g a g b a f x F −−−−=x g g )(f )b ()(f )x (．由()()b F F =a ，再由拉格朗日中值定理，可以证明定理成立．泰勒中值定理：若)(f x 在0x =点的某个邻域内有直到1n +阶连续导数，那么在此邻域内有()()()()()()()x R x n f x f f f x n nn +++++=!0...!20x 00f 2'''．其中()()()()11n x !1+++=n n n f x R ξ．ξ是介于0与x 之间的某个值．证明：做辅助函数()()()()()()()()()()n n t x n t f t x t f t x t f t f x f −−−−−−−+=!...!2t 2'''ϕ．由假设容易看出()t ϕ在[]x ,0或[]0,x 上连续，且()()x R n 0=ϕ，()0x =ϕ，()()()()()[]()()()()()()()()()()()()()()()−−−−−−−−−−−−−−−−−=−+11n 2'''''2''''''''!1!...!2...f -!2-f n n n t x n t f t x n t f t x t f t x t f t x t t x t f t f t x t f t t ϕ化简后有()()()()n 1n '!-t x n t f t −=+ϕ．在引进一个辅助函数()()1t +−=n t x ψ．对函数()t ϕ和()t ψ利用柯西中值定理得到()()()()()()ξψξϕψψϕϕ''00x =−−x ，ξ是介于0与x 之间的某个值，此时有()()x R n 0=ϕ，()0x =ϕ，()()()()n x n f ξξξϕ−=+!-1n '，()1n x 0+=ψ，()0x =ψ，()()()nx ξξψ−+=1n -'，代入上式，即得()()()()11n x !1+++=n n n f x R ξ． 定理证明完毕．这是函数()x f 在0x =点的泰勒公式，同理推导可得()x f 在0x x =点附近的泰勒公式()()()()()()()()()()x R x x n x f x x x f x x x f x f x n n o n +−++−+−+=0200''00'0!...!2f ．其中()()()()()101n !1++−+=n n x x n f x R ξ．ξ是介于0x 与x 之间的某个值．定理间关系：罗尔定理，拉格朗日定理，柯西定理以及泰勒公式是微分学的基本定理。
微分中值定理与导数的应用
微分中值定理与导数的应用微分中值定理是微积分中的一个重要定理，它是导数与函数之间的关系的重要推论。
本文将介绍微分中值定理的概念以及其在实际问题中的应用。
一、微分中值定理的概念微分中值定理是数学分析中的一个重要定理，它是由罗尔定理和拉格朗日中值定理推导出的。
该定理表明，如果函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)内可导，并且在区间端点a和b的函数值相等（f(a) = f(b)），那么在(a, b)内至少存在一点c，使得f'(c) = 0。
这一定理的直观解释是：如果一个连续函数在两个点的函数值相等，并且在两点之间的某个地方斜率为零，那么在该点一定存在切线与横轴平行。
二、导数的应用导数是微积分中的重要概念，它描述了函数在某一点的变化率。
通过导数的概念和性质，我们可以在实际问题中进行一些有用的应用。
1. 最值问题导数可以用来求解函数的最值问题。
在闭区间上的连续函数中，如果在某一点的导数为零或不存在，那么这一点可能是函数的极值点。
通过求解导数为零的方程，可以找到函数的极值。
2. 凹凸性和拐点问题导数可以用来研究函数的凹凸性和拐点问题。
通过分析函数的二阶导数（导数的导数），可以确定函数的凹凸性以及拐点的位置。
3. 曲线的切线和法线问题导数可以用来求解曲线的切线和法线问题。
切线的斜率等于函数在该点的导数，而法线的斜率是切线斜率的负倒数。
三、微分中值定理的应用微分中值定理是导数与函数之间的重要关系推论，它在实际问题中有着广泛的应用。
1. 速度与加速度微分中值定理可以用来解决速度与加速度的问题。
对于一个运动的实体，在某一时间段内，他的速度可能为零，这意味着他的加速度为零。
这可以通过微分中值定理得到证明。
2. 经济学中的应用微分中值定理在经济学中也有广泛的应用。
例如，在某个时间段内，一个消费品的价格可能保持不变，这意味着该消费品的边际效用或边际收益为零。
这可以用微分中值定理来解释。
3. 物理学中的应用微分中值定理在物理学中也有重要的应用。
微分中的中值定理及其应用
微分中的中值定理及其应用微分中的中值定理是微积分中的基本定理之一，它在数学和物理学中具有重要的应用。
本文将介绍微分中的中值定理及其应用，并展示其在实际问题中的解决方法。
一、中值定理的概念与原理中值定理是微分学中的重要理论，它涉及到函数在某个区间上的平均变化率与瞬时变化率之间的联系。
其中最常见的三种形式为：罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理。
1. 罗尔定理罗尔定理是中值定理的基础，它的表述为：如果函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)上可导，并且满足f(a) = f(b)，则在开区间(a, b)上至少存在一点c，使得f'(c) = 0。
罗尔定理可通过对函数在该区间的最大值和最小值进行讨论得出，它主要用于证明函数在某一区间上恒为常数的情况。
2. 拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理是中值定理的一种推广，它的表述为：如果函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)上可导，则至少存在一点c，使得f'(c) = (f(b) - f(a))/(b - a)。
拉格朗日中值定理的证明可以通过构造辅助函数g(x) = f(x) - [(f(b) - f(a))/(b - a)]x来完成，它可以将任意两点间的斜率与函数在某一点的导数联系起来。
3. 柯西中值定理柯西中值定理是拉格朗日中值定理的进一步推广，它的表述为：如果函数f(x)和g(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)上可导，并且g'(x)≠0，则至少存在一点c，使得[f(b) - f(a)]/g(b) - g(a) = f'(c)/g'(c)。
柯西中值定理可以用来研究函数间的关系，它提供了一种描述两个函数在某一区间上的变化率相等的条件。
二、中值定理的应用中值定理不仅仅是一种理论工具，还具有广泛的应用。
下面将介绍中值定理在实际问题中的应用案例。
1. 最速下降线问题最速下降线问题是求解两个给定点之间的最短路径问题。
多个函数多介值的微分中值定理及其应用
多个函数多介值的微分中值定理及其应用多个函数多介值的微分中值定理是微积分中一个重要的定理，它是数学分析中介值定理的推广。
在实际应用中，该定理可以用来证明函数在某个区间上取得某些特定值的存在性，也可以用来推导一些函数的性质。
本文将从微分中值定理的定义入手，介绍其应用和推导过程。
微分中值定理是说，如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)上可微，那么必存在一个点c∈(a,b)，使得f'(c) = (f(b) - f(a))/(b - a)。
这个定理是单个函数在闭区间上的中值定理的推广，在一些实际问题中，我们需要考虑多个函数在多个闭区间上的中值定理，这就是多个函数多介值的微分中值定理。
证明：我们可以构造一个新的函数F(x) = [f(b) - f(a)] [g(x) - g(a)] - [g(b) - g(a)] [f(x) - f(a)]。
显然，F(a) = F(b) = 0。
因为F(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)上可微，根据微分中值定理，必存在一个点c∈(a,b)，使得F'(c) = 0。
即[f(b) -f(a)]g'(c) - [g(b) - g(a)]f'(c) = 0，进而有[f(b) - f(a)]/ [g(b) - g(a)] = f'(c)/g'(c)。
这样就证明了多个函数多介值的微分中值定理。
接下来我们来看一个实际的应用。
在一些工程问题中，我们常常需要证明某些值的存在性以及推导一些函数的性质。
我们要证明在某些工程问题中，存在着满足某些条件的点。
这时可以利用多个函数多介值的微分中值定理来证明。
举例来说，假设有一个工程问题，我们需要证明在一定范围内，某些函数的斜率是增加的。
可以考虑用多个函数多介值的微分中值定理来证明。
假设我们有两个函数f(x)和g(x)，分别表示速度和时间。
我们需要证明在某个时间段内，速度的增加率是增加的。
微分中值定理与导数的应用总结
微分中值定理与导数的应用总结一、微分中值定理1.拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理是微分中值定理的最基本形式，它表述为：如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，则在(a,b)内至少存在一个数c，使得f(b)-f(a)=f'(c)(b-a)，其中c属于(a,b)。
拉格朗日中值定理的几何意义是：如果一条曲线在两个点a和b上的斜率相等，则在这两个点之间必然存在一点c，使得曲线在c点和a、b两点之间的切线斜率相等。
2.柯西中值定理柯西中值定理是微分中值定理的推广形式，它给出了两个函数的导数的关系。
设f(x)和g(x)在[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导且g'(x)≠0，则存在一个数c，使得[f(b)-f(a)]/[g(b)-g(a)]=[f'(c)]/[g'(c)]。
柯西中值定理的几何意义是：如果曲线f(x)和g(x)在两个点a和b上的切线斜率之比等于f'(c)和g'(c)的比，则在这两个点之间必然存在一点c，使得曲线f(x)和g(x)在c点的切线斜率之比等于f'(c)和g'(c)的比。
3.罗尔中值定理罗尔中值定理是微分中值定理的特殊形式，它给出了导数为零的充分条件。
设函数f(x)在[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，且f(a)=f(b)，则在(a,b)内至少存在一个数c，使得f'(c)=0。
罗尔中值定理的几何意义是：如果一条曲线在两个端点上的函数值相等，则在这两个端点之间必然存在一个点c，使得曲线在c点的切线斜率为零。
微分中值定理的应用非常广泛，例如在证明极限存在或连续性、研究函数增减性和函数极值、解方程和不等式等问题中都有重要的作用。
在实际生活中，微分中值定理可以应用于求解速度、加速度、距离等问题，帮助我们更好地理解和解决实际问题。
二、导数的应用导数作为微积分的重要概念，具有很多实际应用。
微分中值定理应用
微分中值定理应用微分中值定理是微积分中的一个基本定理，它描述了函数在某个区间内的平均变化率与某个点的斜率之间的关系。
这个定理在实际问题中具有重要的应用价值，可以帮助我们更好地理解函数在一段区间内的性质和变化规律。
本文将介绍微分中值定理的基本概念，并探讨其在实际问题中的应用。
微分中值定理简介微分中值定理是微积分中的基本定理之一，主要有拉格朗日中值定理和柯西中值定理两种形式。
拉格朗日中值定理是最基本的形式，它陈述了如果函数在一个闭区间内连续，在该区间内可导，则在开区间内一定存在某个点，该点的导数等于该区间内函数的平均变化率。
数学表达式如下：假设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，那么存在$\\xi\\in (a, b)$，使得：$$f'(\\xi) = \\frac{f(b) - f(a)}{b - a}$$柯西中值定理则是在特定情况下的推广形式，要求函数满足一定的条件。
这两种中值定理都提供了函数在某个区间内平均变化率与某个点的斜率之间的关系，为我们在实际问题中应用微分中值定理提供了理论基础。
微分中值定理在实际问题中的应用微分中值定理在实际问题中的应用非常广泛，从物理学到经济学，都可以看到它的身影。
下面我们将介绍微分中值定理在几个具体问题中的应用。
1. 物理学中的应用在物理学中，运动学是一个典型的应用领域。
通过微分中值定理可以推导出匀速直线运动中某个时刻的速度与平均速度之间的关系。
设$t\\in[0,T]$表示时间，v(t)表示物体在时刻t的速度。
根据微分中值定理，存在$t \\in (0, T)$，使得：$$v'(t) = \\frac{v(T) - v(0)}{T}$$这个公式告诉我们，在匀速直线运动中，某个时刻的速度等于整段时间内的平均速度，这个关系可以帮助我们更好地理解物体的运动规律。
2. 经济学中的应用在经济学中，利润和成本是一个重要的问题。
通过微分中值定理，我们可以导出某个时刻产量与平均产量之间的关系。
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微分中值定理及应用综述谢娟 09211045江苏师范大学 数学与统计学院 徐州 221116摘 要：微分中值定理是一系列中值定理的总称，是研究函数的有力工具，包括费马中值定理、罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理、泰勒定理.以罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理组成的一组中值定理是一整个微分学的重要理论。
它不仅沟通了函数与其导数的关系，而且也是微分学理论应用的桥梁和基石.本文对微分中值定理中的一些条件给予了相关说明，介绍了微分三大中值定理以及它们之间的关系，后又在此基础上，综述了微分中值定理在研究函数性质，讨论一些方程零点（根）的存在性，和对极限的求解问题，以及一些不等式的证明.关键词：微分中值定理；关系；应用引言微分中值定理是微分学的基本定理，是沟通函数与其导数之间的桥梁，是应用导数的局部性研究函数整体性的重要数学工具，应用十分广泛.1 浅谈微分中值定理1.1 微分中值定理的基本内容微分中值定理是反映导数值与函数值之间的联系的定理, 它们分别是罗尔定理、拉格朗日定理和柯西中值定理.具体内容如下:1.1.1 罗尔定理如果函数()y f x = 满足: ( 1) 在闭区间[],a b 上连续; ( 2) 在开区间(),a b 内可导;( 3) 在区间端点的函数值相等, 即()()f a f b =, 那么在区间(),a b 内至少有一点ε()a b ε<< , 使函数()y f x =在该点的导数等于零, 即()/0f ε=几何分析在（图1） 中可见()y f x =曲线在[],a b 上是一条连续光滑的曲线, 曲线()y f x =在(),a b 内处处有切线且没有垂直于x 轴的切线.在曲线的两端点一般高(罗尔定理的三条件在平面几何中成立), 因而在(),a b 内曲线()y f x =至少有一点处的切线平行于x 轴(罗尔定理的结论成立,/()0f x =).通过对罗尔定理的几何分析, 抽象的罗尔定理得到了具体化(这也反应了数学的一般思想, 抽象思维具体化)。
对于我们理解和掌握罗尔定理大有帮助.（图1）1.1.2 拉格朗日定理如果函数()y f x = 满足: ( 1) 在闭区间[],a b 上连续;( 2) 在开区间(),a b 内可导, 那么在区间(),a b 内至少有一点()a b εε<< , 使等式()()()/f b f a f b aε-=-成立.几何意义从（图2）可知, 曲线()y f x =在[],a b 上是连续光滑的曲线(即拉格朗日定理的条件在几何上的反映), 那么曲线弧AB 在(),a b 上至少有一点的切线平行于弦AB (弦AB 的斜率为()()AB f b f a k b a -=-,在(),a b ε∈处的切线平行于AB, 则()()()/AB f b f a f k b aε-==-（图2）1.1.3 柯西中值定理如果函数()f x 及()F x 满足: ( 1) 在闭区间[],a b 上连续; ( 2) 在开区间(),a b 内可导; ( 3) 对任意(),x a b ∈，()/0F x ≠那么在区间(),a b 内至少有一点ε ()a b ε<< , 使等式()()()()()()//f b f a f F b F a F εε-=-成立.2 三个定理之间的关系在拉格朗日定理中, 如果()()f a f b =, 则变成罗尔定理; 在柯西中值定理中, 如果()F x x = , 则变成拉格朗日定理.因此, 拉格朗日定理是罗尔定理的推广, 柯西中值定理是拉格朗日定理的推广.反之, 拉格朗日定理是柯西中值定理的特例, 罗尔定理是拉格朗日定理的特例。
3 微分中值定理的应用微分中值定理主要是利用函数导数在区间上所具有的特征去研究函数本身在该区间上的性质, 在研究函数的性质上是一个非常有利且方便的工具.中值定理的应用主要是以中值定理为基础，应用导数判断函数单调性、取极值、拐点等项的重要性质.从而把握函数图象的各种几何特征.3.1 讨论方程零点（根）的存在性问题例[10]1、 设()f x 在[],a b 上连续，在(),a b 内可导()0a >,试证在(),a b 内，方程()()()()22/2x f b f a b a f x -=-⎡⎤⎣⎦至少存在一个根. 证明：令()()()()()222F x f b f a x b a f x =---⎡⎤⎣⎦，显然，()F x 在[],a b 上连续，在(),a b 内可导，而且 ()()()()22F a f b a b f a F b =-=根据罗尔定理，至少存在一个ε ，使()()()()22/2f b f a b a f εε-=-⎡⎤⎣⎦.故在(),a b 内，方程()()()()22/2x f b f a b a f ε-=-⎡⎤⎣⎦至少存在一个根.由[10]中的例1，我们可以知道，在我们要讨论的方程中，除了二次方程根的问题容易讨论之外，如果遇到复杂的方程，往往无从下手时，对于存在性的问题，我们可以分析题设条件，结合已学过的定理进行分析并解决.微分中值定理的条件很宽松，给一个定义在闭区间[],a b 上的函数，只需函数在这个区间连续、可导（并不要求区间端点可导），再加一些看似苛刻但实不苛刻的条件,用罗尔定理，就可以解决一些复杂的代数方程的判根问题，其步骤相当简单，一般是：命题条件——构造辅助函数()F x ——验证()F x ——验证()F x 满足罗尔定理的条件——命题结论3.2 求解不定式的极限柯西中值定理的一个及其重要的应用就是可以用来计算未定型的极限. （洛必达法则[5])若函数f 和g 满足： （i ）()0lim 0x x f x →=，()0lim 0x x g x →= ；（ii ）在点0x 的某空心领域()00U x 内两者都可导，且()/0g x ≠；（iii ）()()0//lim x x f x A g x →=（A 可为实数，也可以为±∞或∞）， 则()()()()00//limlim x x x x f x f x A g x g x →→== 证 补充定义 ()()000f x g x ==，使得f 与g 在点0x 处连续。
任取()00x U x ∈，在区间[]0,x x （或[]0,x x ）上应用柯西中值定理，有()()()()()()/0/0f x f x f g x g x g εε-=-即 ()()()()//f x f g x g εε= （ε介于0x 与x 之间） 当令0x x →时，也有0x ε→，故得()()()()()()000////lim lim lim x x x x x x f x f f x A g x g g x εε→→→=== 注：若将其中0x x →换成0x x +→，0x x -→，x →±∞，x →∞，只要相应地修正条件（ii ）中的条件，也可得到同样的结论.我们在仔细观察柯西中值定理里的表达式的形式，可以看到两个函数式的比值，在一定条件下可以化成这两个函数的导数的比值，这样就可能使得作为未定型的分式的分子和分母所表示的函数，通过求导，而得到非未定型.由这个思路，我们即得到了洛必达法则.例[17]2．求21cos limtan x xxπ→+解 容易检验()1cos f x x =+与()2tan g x x =在点0x π=的条件下满足洛必达法则的条件，又因()()/3/2sin cos 1lim lim lim 2tan sec 22x x x f x x x g x x x πππ→→→-==-= 所以()()()()//1limlim 2x x f x f x g x g x ππ→→== 例[17]3. 求ln limx xx→+∞解 由洛必达法则有()()//ln ln 1lim lim lim0x x x x xx xx →+∞→+∞→+∞===由[17]中的例2和[17]中的例3，我们可以看出，利用微分中值定理不但可以在理论分析和证明中有着十分重要的作用，而且它也为求某些较难的极限提供了一种简单而有效的方法，其方法就是对极限题中的某些部分使用拉格朗日定理，然后求出其极限，[4],[6],[10]中均提到了微分中值定理在这方面的应用. 3.3 利用微分中值定理的证明例[8]4、 设()f x 定义于[]0,c ，()/f x 存在且单调下降，(0)0f =，试证明对于0a b a b c ≤≤≤+≤，恒有()()()f a b f a f b +≤+。
分析：()()()f a b f a f b +≤+⇔()()()()0f a b f b f a f +-≤-⇔()()()()//120f a b b f a εε+-≤-⇔()()//12f f εε≤，()1,b a b ε∈+，()20,a ε∈⇔12εε≥证明：由已知条件可知()f x 在区间[],b a b +和[]0,a 上均满足拉格朗日定理，于是()1,,b a b ε∃∈+使得：()()()()/1f a b f b fa b b ε+-=+-，即()()()/1f a b f b f a ε+-=。
()20,a ε∃∈，使得：()()()/20(0)f a f f a ε-=-，即()()()/20f a f fa ε-=。
由于12εε≥，所以由已知()/fx 存在且单调下降，可得：()()//12f f εε≤，从而有()()()()0f a b f b f a f +-≤-⇔()()()f a b f a f b +≤+例[15]5、求证：当1x >时，13x>-。
证明 设辅助函数()f t =，在区间[]1,x 上对()f t 使用拉格朗日中值定理，则()()()()/11f x f f x ε-=- ，()1,x ε∈即)21x=-由于()1,x ε∈，则有 1x>> 因此)121x xx-=->整理可得13x>-不等式的证明是高等数学的难点和重点，[15]中提到常用的方法是利用导数判断函数的单调性进而证明不等式，由例题5，我们可以总结下利用微分中值定理证明不等式的方法.首先给出使用微分中值定理证明不等式的步骤：（1） 构造辅助函数()f x ；（2） 构造微分中值定理需要的区间[],a b ； （3） 利用(),a b ε∈，对()/fε进行适当的放缩。
4 结束语由上综述，我们对微分中值定理的理解和内在联系，在解题的时候会利用微分中值定理和几何意义思考解题，讨论方程零点（根）的存在性，求极限和证明不等式等方面的应用.微分中值定理的应用，除了本文介绍的几个方面，还有[8],[12],[15]中提到的其他最值、凹凸性等多方面的结论，所以深入研究微分中值定理，有助于加深对这些定理的理解，清楚这些定理的证明，能促使我们掌握微分中值定理的具体应用.参考文献[1] 党艳霞，浅谈微分中值定理及其应用. 廊坊师范学院学报.(自然科学报)2010(10):10-1. [2] 纪华霞, 微分中值定理的几个推广结论. 高等函授学报( 自然科学版)2006(06): 19-6. [3] 郭军, 微分中值定理之探讨. 兵团职工大学学报1999(06):2[4] 孙学敏,微分中值定理的应用[J].数学科学研究,2009,28（10）：61-63 [5] 华东师范大学数学系.数学分析[M].北京:高等教育出版社.1991，3:113.[6] 谭璐芸, 微分中值定理的应用. 辽宁师专学报.2007(03):9-1[7] 庞永锋,赵验晖, 利用微分中值定理证明不等式. 高等数学研究.2009(09)[8] 周焕芹.浅谈中值定理在解题中的应用[J].高等数学研究。