必修5等差数列复习总结练练习习题.docx
2020年高中数学必修5 等差数列 基础复习(含答案)
A．100
B．99
C．98
D．97
6.在等差数列{an}中，已知 a3＋a8=10，则 3a5＋a7=( )
A．10
B．18
C．20
D．28
7.设{an}是公差不为 0 的等差数列，且 a24＋a25=a26＋a27，则该数列的前 10 项和 S10=( )
A．－10
B．－5
C．0
D．5
8.设等差数列{an}的公差为 d，且 a1a2=35,2a4－a6=7，则 d=( )
31.在等差数列{an}中，a10=18，前 5 项的和 S5=-15， (1)求数列{an}的通项公式； (2)求数列{an}的前 n 项和的最小值，并指出何时取得最小值．
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32.已知等差数列{an}中，a1=1，a3=-3. (1)求数列{an}的通项公式； (2)若数列{an}的前 k 项和 Sk=-35，求 k 的值．
22.数列{an}是首项为 2，公差为 3 的等差数列，数列{bn}是首项为－2，公差为 4 的等差数列．若 an=bn，则 n 的值为________．
23.已知 a，b，c 成等差数列，那么二次函数 y=ax2＋2bx＋c(a≠0)的图象与 x 轴的交点有______ 个．
24.设{an}是等差数列，且 a1=3，a2＋a5=36，则{an}的通项公式为________．
A．138
B．135
C．95
D．23
17.数列{an}是等差数列，a1＋a2＋a3=-24，a18＋a19＋a20=78，则此数列的前 20 项和等于( )
A．160
B．180
C．200
D．220
18.在等差数列{an}中，S10=120，那么 a1＋a10 的值是( )
新人教A版必修5等差数列期末复习题及答案
高中数学必修5期末复习 等差数列一、选择题： １.三个数,,a b c 既是等差数列，又是等比数列，则,,a b c 间的关系为( )A. b a c b -=-B. 2b ac = C. a b c == D. 0a b c ==≠２．下列关于星星的图案构成一个数列，该数列的一个通项公式是 （ ）A ．a n ＝n 2－n ＋1 Ｂ．a n ＝n(n －1)2 Ｃ．a n ＝n(n ＋1)2 Ｄ．a n ＝n(n ＋2)2３．已知－9，a 1，a 2，－1四个实数成等差数列，－9，b 1，b 2，b 3，－1五个实数成等比数列，则b 2(a 2－a 1)＝ （ ）A ．8B ．－8C ．±8D ．984．如果,,1)()1(*∈+=+N n n f n f 且,2)1(=f 则=)100(f102.101.100.99.D C B A５．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若39S =，636S =，则789a a a ++=（ ） A ．63 B ．45 C ．36 D ．27６．已知等差数列共有10项，其中奇数项之和15，偶数项之和为30，则其公差是 （ ）A ．5B ．4C ．3D ．2 7．已知等差数列｛n a ｝满足,0101321=++++a a a a 则有57.0.0.0.5199310021011==+<+>+a D a a C a a B a a A８．设｛a n ｝是由正数组成的等比数列，且a 5a 6=81，log 3a 1+ log 3a 2+…+ log 3a 10的值是（ ）A ．20B ．10C ．5D ．2或4二、填空题：9．数列{a n }中，a 1＝1，且a 1·a 2·……·a n =n 2 (n ≧2 ), 则a n = . 10.等差数列的前4项和为40，最后4项的和为80，所有各项的和为720，则这个数列 一共有 项. 11．等差数列{}n a 、{}n b 的前n 项和分别为n A 、n B ，若231n n A n B n =+，则n na b = 。
人教A版高中数学必修五2.2等差数列练习.doc
一、本节学习目标掌握等差数列的定义，通项公式及有关性质．二、重难点指引1.重点：等差数列的概念及通项公式．2.难点：等差数列的性质三、学法指导等差数列是一类重要的特殊数列，在学习时一定要注意它相对一般数列所独有特征．四、教材多维研读▲ 一读教材1． 等差数列的定义：一般地，如果一个数列＿＿＿＿＿，每一项与它前一项的差等于 ，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母“d ”表示）．用符号语言可表示为 ．其中，若{}n a d ,0>是 ；{}n a d ,0=是 ； {}n a d ,0< ． 2．等差数列的通项公式： 或 ． 3．等差中项：a ，A ，b 成等差数列，A 为a ,b 等差中项．即 ．4．等差数列的性质：在等差数列中，若()*∈+=+N q ,p ,n ,m q p n m ，则 ．▲ 二读教材1．求等差数列3，7，11，……的第4项与第10项.2．求等差数列10，8，6，……的第20项.3．100是不是等差数列2，9，16，……的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由.4．在等差数列{}n a 中，若1a +6a =9, 4a =7, 求3a , 9a .▲ 三读教材1．在等差数列{}n a 中，已知90,104515==a a ，求60a2．首项为24-的等差数列，从第10项开始为正数，则公差d 的取值范围是 ( )A.d ＞83B.d ＞3C.83≤d ＜3D.83＜d ≤3 五、典型例析例1 ⑴求等差数列8，5，2…的第20项；⑵ -401是不是等差数列-5，-9，-13…的项？如果是，是第几项？例2 已知数列{n a }的通项公式q pn a n +=，其中p 、q 是常数，那么这个数列是否一定是等差数列？若是，首项与公差分别是什么？六、课后自测◆ 基础知识自测1.设数列11,22,5,2，……则25是这个数列的 ( )A.第六项B.第七项C.第八项D.第九项2．若b a ≠,数列b x x a ,,,21和数列b y y y a ,,,,321都是等差数列，则=--1212y y x x ( ) A ．32 B ．43 C ．1 D ．34 3.在-1和8之间插入两个数b a ,，使这四个数成等差数列，则( )A. 5,2==b aB. 5,2=-=b aC. 5,2-==b aD.5,2-=-=b a 4.已知等差数列{}n a 中，79416,1a a a +==，则16a 的值是 ．5.在等差数列{}n a 中，已知48111032=+++a a a a ，则=+76a a ．◆ 能力提升自测1.等差数列{}n a 中，1a =-5，它的前11项的平均值是5，若从中抽取1项，余下的10项的平均值是4，则抽取的是（ ）A.11aB. 10aC.9aD.8a 2.设函数)(x f 满足)1(+n f =2)(2n n f +(n ∈N *)且2)1(=f ,则)20(f 为 ( ) A.95 B.97C.105D.192 3．若关于x 的方程02=+-m x x 和),,(02n m R n m n x x ≠∈=+-的四个根组成首项为41的等差数列，求=+n m ◆ 智能拓展训练已知数列3021,,,a a a Λ，其中1021,,,a a a Λ是首项为1，公差为1的等差数列，201110,,,a a a Λ是公差为d 的等差数列，302120,,,a a a Λ是公差为2d 的等差数列（0≠d ）.(Ⅰ)若4020=a ，求d ；(Ⅱ)试写出30a 关于d 的关系式，并求102030a a a ++的取值范围.2.2等差数列答案▲ 一读教材1．从第二项起，同一个常数，n a －1-n a =d ，n ≥2，n ∈N +，递增数列，常数列，递减数列2．d n a a n )1(1-+=，=n a d m n a m )(-+3．2b a A +=4．q p n m a a a a +=+▲ 二读教材1． 分析：根据所给数列的前3项求得首项和公差，写出该数列的通项公式，从而求出所求项.解：根据题意可知：1a =3,d =7－3=4.∴该数列的通项公式为：n a =3+（n －1）×4,即n a =4n－1（n ≥1,n ∈N *）∴4a =4×4－1=15, 10a =4×10－1=39.评述：关键是求出通项公式.2．解：根据题意可知：1a =10,d =8－10=－2.∴该数列的通项公式为：n a =10+（n －1）×（－2）,即：n a =－2n +12,∴20a =－2×20+12=－28.评述：要注意解题步骤的规范性与准确性.3．分析：要想判断一数是否为某一数列的其中一项，则关键是要看是否存在一正整数n 值，使得n a 等于这一数.解：根据题意可得：1a =2,d =9－2=7. ∴此数列通项公式为：n a =2+（n －1）×7=7n －5.令7n －5=100,解得：n =15, ∴100是这个数列的第15项.4．分析：要求一个数列的某项，通常情况下是先求其通项公式，而要求通项公式，必须知道这个数列中的至少一项和公差，或者知道这个数列的任意两项（知道任意两项就知道公差），本题中，只已知一项，和另一个双项关系式，想到从这双项关系式入手……解：∵ {}n a 是等差数列∴ 1a +6a =4a +3a =9⇒3a =9－4a =9－7=2∴ d=4a －3a =7－2=5∴ 9a =4a +(9－4)d=7+5*5=32∴ 3a =2, 9a =323▲ 三读教材 1．方法一：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=⇒⎩⎨⎧=+==+=38382904410141145115d a d a a d a a ∴a 60＝a 1＋59d ＝130． 方法二：3815451545=--=--=a a m n a a d m n ，由=n a d m n a m )(-+ ⇒4560a a =＋(60－45)d ＝90＋15×38＝130．2．D课后自测◆ 基础知识自测1. B ；2.D ；3.A ；4.22 ；5.24． ◆ 能力提升自测1.A ；2.B ；3.7231． ◆ 智能拓展训练（Ⅰ）3,401010.102010=∴=+==d d a a . （Ⅱ）())0(11010222030≠++=+=d d d d a a ,()22210203010202010103210[2(1)]a a a a a a d d d d ++=+++=++=++ 当),0()0,(∞+∞-∈Y d 时，[)10203020,a a a ++∈+∞。
(完整版)等差数列知识点总结及练习(精华版)
等差数列的性质总结1.等差数列的定义：（d 为常数）（）；d a a n n =--12≥n 2．等差数列通项公式：， 首项:，公差:d ，末项:*11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈1a n a 推广： ． 从而；d m n a a m n )(-+=mn a a d mn --=3．等差中项（1）如果，，成等差数列，那么叫做与的等差中项．即：或a A b A a b 2ba A +=b a A +=2（2）等差中项：数列是等差数列{}n a )2(211-≥+=⇔+n a a a n n n 212+++=⇔n n n a a a 4．等差数列的前n 项和公式：1()2n n n a a S +=1(1)2n n na d -=+特别地，当项数为奇数时，是项数为2n+1的等差数列的中间项21n +1n a +5．等差数列的判定方法（1） 定义法：若或(常数) 是等差数列． d a a n n =--1d a a n n =-+1*∈N n ⇔{}n a （2） 等差中项：数列是等差数列． {}n a )2(211-≥+=⇔+n a a a n n n 212+++=⇔n n n a a a （3） 数列是等差数列（其中是常数）。
{}n a ⇔b kn a n +=b k ,（4） 数列是等差数列,（其中A 、B 是常数）。
{}n a ⇔2n S An Bn =+6．等差数列的证明方法定义法：若或(常数) 是等差数列．d a a n n =--1d a a n n =-+1*∈N n ⇔{}n a 7.提醒：等差数列的通项公式及前n 项和公式中，涉及到5个元素：，其中n a n S n n S a n d a 及、、、1称作为基本元素。
只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2.d a 、18. 等差数列的性质：（1）当公差时，0d ≠等差数列的通项公式是关于的一次函数，且斜率为公差；11(1)n a a n d dn a d =+-=+-n d 前和是关于的二次函数且常数项为0.n 211(1)(222n n n d dS na d n a n -=+=+-n （2）若公差，则为递增等差数列，若公差，则为递减等差数列，若公差，则为常数列。
高中数学必修5等差数列精选题目(附答案)
高中数学必修5等差数列精选题目（附答案）1．等差数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，符号表示为a n ＋1－a n ＝d (n ∈N *，d 为常数)．(2)等差中项：数列a ，A ，b 成等差数列的充要条件是A ＝a ＋b2，其中A 叫做a ，b 的等差中项．2．等差数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d . (2)前n 项和公式：S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝n (a 1＋a n )2. 3．等差数列的通项公式及前n 项和公式与函数的关系(1)a n ＝a 1＋(n －1)d 可化为a n ＝dn ＋a 1－d 的形式．当d ≠0时，a n 是关于n 的一次函数；当d >0时，数列为递增数列；当d <0时，数列为递减数列．(2)数列{a n }是等差数列，且公差不为0⇔S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)． 已知{a n }为等差数列，d 为公差，S n 为该数列的前n 项和． (1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)．(2)在等差数列{a n }中，当m ＋n ＝p ＋q 时，a m ＋a n ＝a p ＋a q (m ，n ，p ，q ∈N *)．特别地，若m ＋n ＝2p ，则2a p ＝a m ＋a n (m ，n ，p ∈N *)．(3)a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…仍是等差数列，公差为md (k ，m ∈N *)． (4)S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，…也成等差数列，公差为n 2d . (5)若{a n }，{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }也是等差数列．(6)若{a n }是等差数列，则⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也成等差数列，其首项与{a n }首项相同，公差是{a n }公差的12.(7)若项数为偶数2n ，则S 2n ＝n (a 1＋a 2n )＝n (a n ＋a n ＋1)；S 偶－S 奇＝nd ；S 奇S 偶＝a na n ＋1.(8)若项数为奇数2n －1，则S 2n －1＝(2n －1)a n ；S 奇－S 偶＝a n ；S 奇S 偶＝n n －1. (9)在等差数列{a n }中，若a 1>0，d <0，则满足⎩⎨⎧a m ≥0，a m ＋1≤0的项数m 使得S n取得最大值S m ；若a 1<0，d >0，则满足⎩⎨⎧a m ≤0，a m ＋1≥0的项数m 使得S n 取得最小值S m .一、等差数列的基本运算1.(2018·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若3S 3＝S 2＋S 4，a 1＝2，则a 5＝( )A ．－12B ．－10C ．10D ．122.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2＝4，S 4＝22，a n ＝28，则n ＝( ) A ．3 B ．7 C ．9 D ．10注：(1)等差数列的通项公式及前n 项和公式共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知其中三个就能求另外两个，体现了方程思想．(2)数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换的作用，而a 1和d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知量和未知量是常用方法．3．(2019·开封高三定位考试)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＋a 5＝10，S 4＝16，则数列{a n }的公差为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 4．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 3·a 5＝12，a 2＝0.若a 1>0，则S 20＝( )A ．420B ．340C ．－420D ．－3405．在等差数列{a n }中，已知a 5＋a 10＝12，则3a 7＋a 9＝( ) A ．12B ．18C ．24D ．30二、等差数列的判定与证明6.已知数列{a n }的前n 项和为S n 且满足a n ＋2S n ·S n －1＝0(n ≥2)，a 1＝12.(1)求证：⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是等差数列．(2)求a n 的表达式．注： 等差数列的判定与证明方法 方 法 解 读适合题型 定义法对于任意自然数n (n ≥2)，a n －a n －1(n ≥2，n ∈N *)为同一常数⇔{a n }是等差数列解答题中证明问题等差中项法 2a n －1＝a n ＋a n －2(n ≥3，n ∈N *)成立⇔{an }是等差数列通项公式法a n ＝pn ＋q (p ，q 为常数)对任意的正整数n 都成立⇔{a n }是等差数列选择、填空题中的判定问题前n 项和公式法 验证S n ＝An 2＋Bn (A ，B是常数)对任意的正整数n 都成立⇔{a n }是等差数列7．(2019·陕西质检)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝an 2＋bn (a ，b ∈R )且a 2＝3，a 6＝11，则S 7等于( )A ．13B ．49C ．35D ．638．已知数列{a n }中，a 1＝2，a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，设b n ＝1a n －1(n ∈N *)．求证：数列{b n }是等差数列．三、等差数列的性质与应用(一)等差数列项的性质9.已知在等差数列{a n }中，a 5＋a 6＝4，则log 2(2a 1·2a 2·…·2a 10)＝( ) A ．10 B ．20 C ．40D ．2＋log 2510.(2019·福建模拟)设S n ，T n 分别是等差数列{a n }，{b n }的前n 项和，若a 5＝2b 5，则S 9T 9＝( )A ．2B ．3C ．4D ．6(二)等差数列前n 项和的性质11.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 6＝36，则a 7＋a 8＋a 9等于( )A ．63B ．45C ．36D ．27(三)等差数列前n 项和的最值12.在等差数列{a n }中，a 1＝29，S 10＝S 20，则数列{a n }的前n 项和S n 的最大值为( )A ．S 15B ．S 16C ．S 15或S 16D ．S 17注：1．应用等差数列的性质解题的2个注意点(1)如果{a n }为等差数列，m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q (m ，n ，p ，q ∈N *)．因此，若出现a m －n ，a m ，a m ＋n 等项时，可以利用此性质将已知条件转化为与a m (或其他项)有关的条件；若求a m 项，可由a m ＝12(a m －n ＋a m ＋n )转化为求a m －n ，a m ＋n或a m ＋n ＋a m －n 的值．(2)要注意等差数列通项公式及前n 项和公式的灵活应用，如a n ＝a m ＋(n －m )d ，d ＝a n －a m n －m，S 2n －1＝(2n －1)a n ，S n ＝n (a 1＋a n )2＝n (a 2＋a n －1)2(n ，m ∈N *)等．2．求等差数列前n 项和S n 最值的2种方法(1)函数法：利用等差数列前n 项和的函数表达式S n ＝an 2＋bn ，通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解．(2)邻项变号法：①当a 1>0，d <0时，满足⎩⎨⎧a m ≥0，a m ＋1≤0的项数m 使得S n 取得最大值为S m ；②当a 1<0，d >0时，满足⎩⎨⎧a m ≤0，a m ＋1≥0的项数m 使得S n 取得最小值为S m .13．在等差数列{a n }中，若a 3＝－5，a 5＝－9，则a 7＝( ) A ．－12 B ．－13 C ．12D ．1314．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1>0，a 3＋a 10>0，a 6a 7<0，则满足S n >0的最大自然数n 的值为( )A ．6B ．7C ．12D ．1315．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知前6项和为36，最后6项的和为180，S n ＝324(n ＞6)，则数列{a n }的项数为________．巩固练习:1．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋2，S n 为{a n }的前n 项和，则S 10等于( ) A ．90 B ．100 C ．110D ．1302．(2018·北京东城区二模)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 3＝3，a 5＝5，则S 7的值是( )A ．30B ．29C ．28D ．273．(2019·山西五校联考)在数列{a n }中，a n ＝28－5n ，S n 为数列{a n }的前n 项和，当S n 最大时，n ＝( )A ．2B ．3C ．5D ．64．(2019·广东中山一中统测)设数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n ＝－2n ＋1，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前11项和为( )A ．－45B ．－50C ．－55D ．－665．(2018·南昌模拟)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 5＝50，S 10＝200，则a 10＋a 11的值为( )A．20 B．40C．60 D．806．(2019·广州高中综合测试)等差数列{a n}的各项均不为零，其前n项和为S n.若a2n＋1＝a n＋2＋a n，则S2n＋1＝()A．4n＋2 B．4nC．2n＋1 D．2n7．已知等差数列5,427，347，…，则前n项和S n＝________.8．已知{a n}为等差数列，S n为其前n项和．若a1＝6，a3＋a5＝0，则S6＝________.9．等差数列{a n}中，已知a5>0，a4＋a7<0，则{a n}的前n项和S n的最大值为________．10．在等差数列{a n}中，公差d＝12，前100项的和S100＝45，则a1＋a3＋a5＋…＋a99＝________.11．(2018·全国卷Ⅱ)记S n为等差数列{a n}的前n项和，已知a1＝－7，S3＝－15.(1)求{a n}的通项公式；(2)求S n，并求S n的最小值．12．(2019·山东五校联考)已知等差数列{a n}为递增数列，其前3项的和为－3，前3项的积为8.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)求数列{a n}的前n项和S n.参考答案：1.[解析]设等差数列{a n}的公差为d，由3S3＝S2＋S4，得3(3a1＋3d)＝2a1＋d ＋4a1＋6d，即3a1＋2d＝0.将a1＝2代入上式，解得d＝－3，故a5＝a1＋(5－1)d ＝2＋4×(－3)＝－10.2.解：因为S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝4a2＋2d＝22，d＝(22－4a2)2＝3，a1＝a2－d＝4－3＝1，a n＝a1＋(n－1)d＝1＋3(n－1)＝3n－2，由3n－2＝28，解得n＝10.3.解析：选B设等差数列{a n}的公差为d，则由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1＋4d ＝10，4a 1＋4×32×d ＝16，解得⎩⎨⎧a 1＝1，d ＝2，故选B.4.解析：选D 设数列{a n }的公差为d ，则a 3＝a 2＋d ＝d ，a 5＝a 2＋3d ＝3d ，由a 3·a 5＝12得d ＝±2，由a 1>0，a 2＝0，可知d <0，所以d ＝－2，所以a 1＝2，故S 20＝20×2＋20×192× (－2)＝－340，选D.5.解析：选C 设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ， 因为a 5＋a 10＝12， 所以2a 1＋13d ＝12，所以3a 7＋a 9＝3(a 1＋6d )＋a 1＋8d ＝4a 1＋26d ＝2(2a 1＋13d )＝2×12＝24. 6.[解] (1)证明：因为a n ＝S n －S n －1(n ≥2)， 又a n ＝－2S n ·S n －1，所以S n －1－S n ＝2S n ·S n －1，S n ≠0. 因此1S n －1S n －1＝2(n ≥2)．故由等差数列的定义知⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是以1S 1＝1a 1＝2为首项，2为公差的等差数列．(2)由(1)知1S n＝1S 1＋(n －1)d ＝2＋(n －1)×2＝2n ，即S n ＝12n .由于当n ≥2时，有a n ＝－2S n ·S n －1＝－12n (n －1)，又因为a 1＝12，不适合上式． 所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧12，n ＝1，－12n (n －1)，n ≥2.7.解析：选B 由S n ＝an 2＋bn (a ，b ∈R )可知数列{a n }是等差数列，所以S 7＝7(a 1＋a 7)2＝7(a 2＋a 6)2＝49.8.证明：∵a n ＝2－1a n －1(n ≥2)，∴a n ＋1＝2－1a n.∴b n ＋1－b n ＝1a n ＋1－1－1a n －1＝12－1a n－1－1a n －1＝a n －1a n －1＝1， ∴{b n }是首项为b 1＝12－1＝1，公差为1的等差数列．9.[解析]因为2a 1·2a 2·…·2a 10＝2a 1＋a 2＋…＋a 10＝25(a 5＋a 6)＝25×4， 所以log 2(2a 1·2a 2·…·2a 10)＝log 225×4＝20.选B.10.解：由a 5＝2b 5，得a 5b 5＝2，所以S 9T 9＝9(a 1＋a 9)29(b 1＋b 9)2＝a 5b 5＝2，故选A.11.[解析] 由{a n }是等差数列， 得S 3，S 6－S 3，S 9－S 6为等差数列， 即2(S 6－S 3)＝S 3＋(S 9－S 6)， 得到S 9－S 6＝2S 6－3S 3＝45，故选B. 12.[解析] ∵a 1＝29，S 10＝S 20，∴10a 1＋10×92d ＝20a 1＋20×192d ，解得d ＝－2， ∴S n ＝29n ＋n (n －1)2×(－2)＝－n 2＋30n ＝－(n －15)2＋225. ∴当n ＝15时，S n 取得最大值．13.解析：选B 法一：设公差为d ，则2d ＝a 5－a 3＝－9＋5＝－4，则d ＝－2，故a 7＝a 3＋4d ＝－5＋4×(－2)＝－13，选B.法二：由等差数列的性质得a 7＝2a 5－a 3＝2×(－9)－(－5)＝－13，选B. 14.解析：选C 因为a 1>0，a 6a 7<0，所以a 6>0，a 7<0，等差数列的公差小于零，又a 3＋a 10＝a 1＋a 12>0，a 1＋a 13＝2a 7<0，所以S 12>0，S 13<0，所以满足S n >0的最大自然数n 的值为12.15.解析：由题意知a 1＋a 2＋…＋a 6＝36，① a n ＋a n －1＋a n －2＋…＋a n －5＝180，②①＋②得(a 1＋a n )＋(a 2＋a n －1)＋…＋(a 6＋a n －5)＝6(a 1＋a n )＝216， ∴a 1＋a n ＝36，又S n ＝n (a 1＋a n )2＝324，∴18n ＝324，∴n ＝18.练习：1.解析：选C 由递推公式可知该数列是公差为2的等差数列，S 10＝10×2＋10×92×2＝110.故选C.2.解析：选C 由题意，设等差数列的公差为d ，则d ＝a 5－a 35－3＝1，故a 4＝a 3＋d ＝4，所以S 7＝7(a 1＋a 7)2＝7×2a 42＝7×4＝28.故选C.3.解析：选C ∵a n ＝28－5n ，∴数列{a n }为递减数列． 令a n ＝28－5n ≥0，则n ≤285，又n ∈N *，∴n ≤5.∵S n 为数列{a n }的前n 项和，∴当n ＝5时，S n 最大．故选C.4.解析：选D ∵a n ＝－2n ＋1，∴数列{a n }是以－1为首项，－2为公差的等差数列， ∴S n ＝n [－1＋(－2n ＋1)]2＝－n 2，∴S n n ＝－n 2n ＝－n ，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是以－1为首项，－1为公差的等差数列，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前11项和为11×(－1)＋11×102×(－1)＝－66，故选D.5.解析：选D 设等差数列{a n }的公差为d ， 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧S 5＝5a 1＋5×42d ＝50，S 10＝10a 1＋10×92d ＝200，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝10，a 1＋92d ＝20，解得⎩⎨⎧a 1＝2，d ＝4.∴a 10＋a 11＝2a 1＋19d ＝80.故选D.6.解析：选A 因为{a n }为等差数列，所以a n ＋2＋a n ＝2a n ＋1，又a 2n ＋1＝a n ＋2＋a n ，所以a 2n ＋1＝2a n ＋1.因为数列{a n }的各项均不为零，所以a n ＋1＝2，所以S 2n ＋1＝(a 1＋a 2n ＋1)(2n ＋1)2＝2×a n ＋1×(2n ＋1)2＝4n ＋2.故选A.7.解析：由题知公差d ＝－57，所以S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝514(15n －n 2)． 8.解析：∵a 3＋a 5＝2a 4，∴a 4＝0.∵a 1＝6，a 4＝a 1＋3d ，∴d ＝－2. ∴S 6＝6a 1＋6×(6－1)2d ＝6×6－30＝6.9.解析：∵⎩⎨⎧ a 4＋a 7＝a 5＋a 6<0，a 5>0，∴⎩⎨⎧a 5>0，a 6<0，∴S n 的最大值为S 5.10.解析：因为S 100＝1002(a 1＋a 100)＝45，所以a 1＋a 100＝910， a 1＋a 99＝a 1＋a 100－d ＝25，则a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 99＝502(a 1＋a 99)＝502×25＝10. 11.解：(1)设{a n }的公差为d ， 由题意得3a 1＋3d ＝－15. 又a 1＝－7，所以d ＝2.所以{a n }的通项公式为a n ＝2n －9.(2)由(1)得S n ＝n (a 1＋a n )2＝n 2－8n ＝(n －4)2－16，所以当n ＝4时，S n 取得最小值，最小值为－16. 12.解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，d >0，∵等差数列{a n }的前3项的和为－3，前3项的积为8， ∴⎩⎨⎧3a 1＋3d ＝－3，a 1(a 1＋d )(a 1＋2d )＝8， ∴⎩⎨⎧a 1＝2，d ＝－3或⎩⎨⎧a 1＝－4，d ＝3.∵d >0，∴a 1＝－4，d ＝3，∴a n ＝3n －7. (2)∵a n ＝3n －7，∴a 1＝3－7＝－4， ∴S n ＝n (－4＋3n －7)2＝n (3n －11)2.。
高中数学必修五等差数列专项训练题
状元舟同步辅导班 祝你成绩辉煌 高中数学必修五等差数列专项训练题班级 姓名 成绩一、选择题1．无穷数列1，3，6，10……的通项公式为〔 〕〔A 〕a n =n 2-n+1 〔B 〕a n =n 2+n-1〔C 〕a n =22n n + 〔D 〕a n =22nn -2.在等差数列{a n }中，假设a 1+a 4+a 7=39,a 2+a 5+a 8=33,则a 3+a 6+a 9的值为〔 〕〔A 〕30 〔B 〕27 〔C 〕24 〔D 〕213．一个直角三角形的三条边成等差数列，则它的最短边与最长边的比为〔 〕〔A 〕4∶5 〔B 〕5∶13 〔C 〕3∶5 〔D 〕12∶134．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，假设735S =，则4a = 〔 〕A ．8B ．7C ．6D ．55．已知等差数列{}n a 中,288a a +=,则该数列前9项和9S 等于〔 〕A ．18B ．27C ．36D ．456．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，假设3613S S =，则612S S ＝〔 〕A ．310 B ．13 C ．18 D ．197．设{}n a 是等差数列，1359a a a ++=，69a =，则这个数列的前6项和等于〔 〕A ．12B ．24C ．36D ．488．已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为〔〕 A ．5 B ．4 C ． 3 D ．29．已知等差数列{}n a 满足011321=+++a a a a ，则有〔 〕A ．0111>+a aB ．0102<+a aC ．093=+a aD ．66=a10．等差数列{a n }中，a 2＝6，a 5＝15．假设b n ＝a 2n ，则数列{b n }的前5项和等于 ( )A ．30B ．45C ．90D ．18611.已知为等差数列，，则等于A. -1B. 1C. 3D.712.设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，已知23a =，611a =，则7S 等于( )A ．13B ．35C ．49D ． 6313.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且3S =6，1a =4， 则公差d 等于A ．1B 53C.- 2 D 3 14.已知{}n a 为等差数列，且7a －24a ＝－1, 3a ＝0,则公差d ＝A.－2B.－12C.12D.2 15.{}n a 是首项1a =1，公差为d =3的等差数列，如果n a =202X ，则序号n 等于 ( )A 667B 668C 669D 67016．数列{a n }是首项为2，公差为3的等差数列，数列{b n }是首项为-2，公差为4的等差数列。
人教A版高中数学必修五等差数列期末复习练习(新).docx
高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作[重点]等差数列的概念、等差数列的通项公式、等差数列的前n项和公式。
1．定义：数列{an }若满足an+1-an=d(d为常数)称为等差数列，d为公差。
它刻划了“等差”的特点。
2．通项公式：an =a1+(n-1)d=nd+(a1-d)。
若d0≠，表示a n是n的一次函数；若d=0，表示此数列为常数列。
3．前n项和公式：Sn =2)(1naan+=na1+ndanddnn)2(22)1(12-+⋅=-。
若d≠0,表示Sn 是n的二次函数，且常数项为零；若d=0，表示Sn=na1.4．性质：①an =am+(n-m)d。
②若m+n=s+t,则am+an=as+at。
特别地；若m+n=2p,则am +an=2ap。
5.方程思想：等差数列的五个元素a1、、d、n、an、sn中最基本的元素为a1和d，数列中的其它元素都可以用这两个元素来表示。
函数思想：等差数列的通项和前n项和都可以认为是关于n的函数，因此数列问题可以借助于函数知识来解决。
[难点]等差数列前n项和公式的推导，通项和前n项和的关系，能够化归为等差数列问题的数列的转化。
如：an 与sn关系：an=⎩⎨⎧--11nnsss21≥=nn此公式适用于任何数列。
化归思想：把不熟悉的问题转化成熟悉问题的数字思想。
例题选讲1、（福建）在等差数列｛an ｝中，已知a1=2,a2+a3=13，则a4+a5+a6等于A.40B.42C.43D.452、（全国）设{}n a 是公差为正数的等差数列，若12315a a a ++=，12380a a a =，则111213a a a ++= A ．120 B ．105 C ．90 D ．753、已知等差数列2,5,8，……，该数列的第3k （k ∈N ＊）项组成的新数列｛b n ｝的前4项是 。
｛b n ｝的通项公式为 。
4、已知等差数列｛a n ｝和｛b n ｝的前n 项和分别为S n 和 T n ，且2121n n S n T n -=+，求77a b ＝ 。
高中数学必修五 等差数列及前n项和(总结、例题、练习)
第四节 等差数列及前n 项和一、【基础知识】 1． 等差数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差是同一个常数，我们称这样的数列为等差数列，这个常数叫作等差数列的公差，通常用字母__d __表示． 2． 等差数列的通项公式如果等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，那么它的通项公式是a n ＝a 1＋(n －1)d . 3． 等差中项如果A ＝2a b+，那么A 叫作a 与b 的等差中项． 4． 等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d ，(n ，m ∈N ＋)．(2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n ，(k ，l ，m ，n ∈N ＋)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n . (3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则{a 2n }也是等差数列，公差为2d . (4)若{a n }，{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }也是等差数列．(5)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N ＋)是公差为md 的等差数列． 5． 等差数列的前n 项和公式设等差数列{a n }的公差为d ，其前n 项和S n ＝1()2n n a a +或S n ＝na 1＋(1)2n n -d . 6． 等差数列的前n 项和公式与函数的关系S n ＝2d n 2＋12d a ⎛⎫- ⎪⎝⎭n .数列{a n }是等差数列⇔S n ＝An 2＋Bn (A 、B 为常数)． 7． 等差数列的前n 项和的最值在等差数列{a n }中，a 1>0，d <0，则S n 存在最__大__值；若a 1<0，d >0，则S n 存在最__小__值． 难点正本 疑点清源 1．等差数列的判断方法(1)定义法：a n －a n －1＝d (n ≥2)； (2)等差中项法：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2. 2．等差数列与等差数列各项和的有关性质(1)a m ，a m ＋k ，a m ＋2k ，a m ＋3k ，…仍是等差数列，公差为kd . (2)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…也是等差数列． (3)S 2n －1＝(2n －1)a n .(4)若n 为偶数，则S 偶－S 奇＝2n d . 若n 为奇数，则S 奇－S 偶＝a 中(中间项)． 3．等差数列与函数在d ≠0时，a n 是关于n 的一次函数，一次项系数为d ；S n 是关于n 的二次函数，二次项系数为d2，且常数项为0.【考点剖析】考点一等差数列基本量的运算1．(2018·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若3S 3＝S 2＋S 4，a 1＝2，则a 5＝( ) A ．－12 B ．－10 C ．10 D ．12 【答案】B【解析】设等差数列{a n }的公差为d ，由3S 3＝S 2＋S 4，得3(3a 1＋3d )＝2a 1＋d ＋4a 1＋6d ，即3a 1＋2d ＝0.将a 1＝2代入上式，解得d ＝－3，故a 5＝a 1＋(5－1)d ＝2＋4×(－3)＝－10.2．(2017·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 4＋a 5＝24，S 6＝48，则{a n }的公差为( ) A ．1 B ．2 C ．4 D ．8 【答案】C【解析】设等差数列{a n }的公差为d ，则由45624,48,a a S +=⎧⎨=⎩得1113424,65648,2a d a d a d +++=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩ 即112724,2516,a d a d +=⎧⎨+=⎩解得d ＝4. 考点二：等差数列的判定与证明例1．若数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n ＋2S n S n －1＝0(n ≥2)，a 1＝. (1)求证：成等差数列；(2)求数列{a n }的通项公式．【解析】(1)证明：当n ≥2时，由a n ＋2S n S n －1＝0， 得S n －S n －1＝－2S n S n －1， 因为S n ≠0，所以－＝2， 又＝＝2， 故是首项为2，公差为2的等差数列．121n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭1nS 11n S -11S 11a 1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭(2)由(1)可得＝2n ，所以S n ＝. 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝－＝当n ＝1时，a 1＝不适合上式．故a n ＝【解法技巧】2项起，以后每项与前一项的差是同一常数，即易忽视验证a 2－a 1＝d 这一关键条件． 考点三：等差数列的性质与应用例2．(1)(2021·咸阳二模)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 4，a 10是方程x 2－8x ＋1＝0的两根，则S 13＝( ) A ．58 B ．54 C ．56 D ．52(2)已知等差数列{a n }的前10项和为30，它的前30项和为210，则前20项和为( ) A ．100 B ．120 C ．390 D ．540 (3)已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝－2 014，20142008620142008S S -=，则S 2 019＝________. 【答案】(1)D (2)A (3)8 076【解析】(1)∵a 4，a 10是方程x 2－8x ＋1＝0的两根， ∴a 4＋a 10＝8，∴a 1＋a 13＝8， ∴S 13＝11313()2a a ⨯+＝1382⨯＝52.(2)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，则S 10，S 20－S 10，S 30－S 20成等差数列， ∴2(S 20－S 10)＝S 10＋(S 30－S 20)，又等差数列{a n }的前10项和为30，前30项和为210， ∴2(S 20－30)＝30＋(210－S 20)，解得S 20＝100.(3)由等差数列的性质可得n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭也为等差数列． 设其公差为d ，则2014200820142008S S-＝6d ＝6，∴d ＝1.1n S 12n12n 12(1)n -112(1)2(1)n n n n n n --=---121,1,21,22(1)n n n n ⎧=⎪⎪⎨⎪-≥-⎪⎩故2019120191S S =＋2 018d ＝－2 014＋2 018＝4， ∴S 2 019＝4×2 019＝8 076. 【解题技法】一般地，运用等差数列性质可以优化解题过程，但要注意性质运用的条件，如m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q (m ，n ，p ，q ∈N *)；数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 也成等差数列；n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭也成等差数列．等差数列的性质是解题的重要工具．考点四：等差数列前n 项和的最值问题例3．在等差数列{a n }中，已知a 1＝13,3a 2＝11a 6，则数列{a n }的前n 项和S n 的最大值为________．【答案】49【解析】 法一 通项法 设等差数列{a n }的公差为d .由3a 2＝11a 6，得3×(13＋d )＝11×(13＋5d )，解得d ＝－2，所以a n ＝13＋(n －1)×(－2)＝－2n ＋15. 由10,0,n n a a +≥⎧⎨≤⎩得2150,2(1)0,n n -+≥⎧⎨-+≤⎩解得132≤n ≤152.因为n ∈N *，所以当n ＝7时，数列{a n }的前n 项和S n 最大，最大值为S 7＝7(132715)2⨯-⨯+＝49.法二 二次函数法设等差数列{a n }的公差为d .由3a 2＝11a 6，得3×(13＋d )＝11×(13＋5d )，解得d ＝－2，所以a n ＝13＋(n －1)×(－2)＝－2n ＋15. 所以S n ＝(13152)2n n +-＝－n 2＋14n ＝－(n －7)2＋49，所以当n ＝7时，数列{a n }的前n 项和S n 最大，最大值为S 7＝49. 【解题技法】求数列前n 项和的最值的方法(1)通项法：①若a 1＞0，d ＜0，则S n 必有最大值，其n 的值可用不等式组10,0,n n a a +≥⎧⎨≤⎩来确定；②若a 1＜0，d＞0，则S n 必有最小值，其n 的值可用不等式组10,0,n n a a +≤⎧⎨≥⎩来确定．(2)二次函数法：等差数列{a n }中，由于S n ＝na 1＋(1)2n n - d ＝2d n 2＋12d a ⎛⎫- ⎪⎝⎭n ，可用求函数最值的方法来求前n 项和的最值，这里应由n ∈N *及二次函数图象的对称性来确定n 的值．(3)不等式组法：借助S n 最大时，有11n n n n S S S S -+≥⎧⎨≥⎩ (n ≥2，n ∈N *)，解此不等式组确定n 的范围，进而确定n 的值和对应S n 的值(即S n 的最值)．2.2 等差数列 基础练一、单选题1．已知等差数列{}n a 满足： 31313,33a a ==，则7a =（ ）A ．19B ．20C ．21D ．22 2．在等差数列{a n }中，a 3=5，a 10=19，则a 51的值为（ ）A ．99B ．49C ．101D ．102 3．如果三个数2a ，3，a ﹣6成等差，则a 的值为（ ）A ．-1B ．1C ．3D ．44．数列{}n a 中，22a =，60a =，且数列11n a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭是等差数列，则4a 等于（ ）A ．12B ．13C ．14D ．165．数列{}n a 中，115a =，()*1332n n a a n N +=-∈，则该数列中相邻两项的乘积是负数的是（ ）A ．2122,a aB ．2223,a aC ．2324,a aD ．2425,a a 6．等差数列{}n a 的首项为70，公差为-9，则这个数列中绝对值最小的一项是（ ）A ．8aB ．9aC ．10aD ．11a二、填空题7．数列{}n a 的递推公式为()1*13,2,n n a a a n N +=⎧⎪⎨=-∈⎪⎩则这个数列的通项公式为_______. 8．已知两个等差数列5，8，11，…和3，7，11，…都有200项，则它们的公共项的个数有________． 9．已知数列{}n a 是等差数列，且610a =，则使12a a 最小的公差d =______.三、解答题10．已知数列1230,,,a a a ，其中1210,,,a a a 是首项为1，公差为1的等差数列；101120,,,a a a 是公差为d 的等差数列；202130,,,a a a 是公差为2d 的等差数列（0d ≠）． （1）若2030a =，求公差d ； （2）试写出30a 关于d 的关系式，并求30a 的取值范围．2.3 等差数列的前n 项和基础练一、单选题1．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若24S =，410S =，则6S 等于（ ） A ．12B ．18C ．24D ．422．等差数列{}n a 中，160S >，170S <，当其前n 项和取得最大值时，n =（ ）A ．16B ．8C ．9D ．173．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若111a =-，286a a +=-，则n S 的最小值等于（ ） A ．-34 B ．-36 C ．-6 D ．6 4．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若100910072S S -=，则2016S =（ ）A ．1008B ．1009C ．2016D ．2017 5．已知等差数列{}n a 的前10项和为30，它的前30项和为210，则前20项和为（ ）A ．100B ．120C ．390D ．540 6．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且8109S S S <<，则满足0n S >的正整数n 的最大值为（ ）A ．16B ．17C ．18D ．19二、填空题7．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ．若10m a =，21110m S -=，则正整数m =________． 8．等差数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别是n S ，n T ，若312n n S n T n +=，则1111a b =_______. 9．已知等差数列{}n a 中，59a a =，公差d >0，则使得前n 项和n S 取得最小值时的正整数n 的值是______.三、解答题10．等差数列{}n a 中，已知7178,28a a =-=-.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求n S 的最大值.参考答案11．【答案】C【解析】等差数列{}n a 中，133d 10a a -==2,则73413821a a d =+=+= 故选C 2．【答案】C【解析】设等差数列{a n }的公差为d ，则d =103103a a --=2，∴a 51=a 10+41d =19+82=101 故选C 3．【答案】D【解析】∵三个数2a ，3，a ﹣6成等差， ∴2a +a ﹣6=6， 解得a =4． 故选D ． 4．【答案】A【解析】由于11n a +为等差数列，故4261112111a a a =++++，即411421133a =+=+，解得412a =. 故选A 5．【答案】C【解析】123n n a a +-=，则247215(1)33n na n -⎛⎫=+--= ⎪⎝⎭．11145470(452)(472)03322n n a a n n n +∴<⇒--<⇒<<，∴n =23．则该数列中相邻两项的乘积为负数的项是23a 和24a ，故选C 6．【答案】B【解析】依题意有979n a n =-+，数列为递减的等差数列，89107,2,11a a a ==-=-，故第9项的绝对值最小， 故选B . 7．【答案】52n a n =- 【解析】由题，数列{}n a 是以3为首项，公差为2-的等差数列.故()32152n a n n =--=-. 故填52n a n =- 8．【答案】50【解析】设两个数列相同的项按原来的前后次序组成的新数列为{a n }，则a 1＝11. ∵ 数列5，8，11，…与3，7，11，…的公差分别为3和4， ∴ {a n }的公差d ＝3×4＝12， ∴ a n ＝11＋12(n －1)＝12n －1.又5，8，11，…与3，7，11，…的第200项分别为602和799， ∴ a n ＝12n －1≤602，即n ≤50.25.又n ∈N *，∴ 两数列有50个相同的项． 故填50 9．【答案】94【解析】由题,可得162651054104a a d da a d d =-=-⎧⎨=-=-⎩, ()()22129510510420901002044a a d d d d d ⎛⎫∴=--=-+=-- ⎪⎝⎭∴当94d =时,12a a 取得最小值故填9410．【答案】（1）2；（2）15[,)2+∞．【解析】（1）由题意可得1010a =，20101030a d =+=，所以2d =．（2）由题可得()()223020101010a a d d dd =+=++≠，即230131024a d ⎡⎤⎛⎫=++⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，当()(),00,d ∈-∞⋃+∞时，3015,2a ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭．参考答案21．【答案】B【解析】由于{}n a 是等差数列，故24264,,S S S S S --成等差数列，所以()422642S S S S S -=+-，即()62104410S -=+-，解得618S =. 故选B.2．【答案】B【解析】()()116168916802a a S a a ⨯+==+>，890a a ∴+>.又179170S a =<，890,0,a a >⎧∴⎨<⎩∴前8项之和最大. 故选B 3．【答案】B【解析】设数列{}n a 的公差为d ， ∵286a a +=-， ∴1286a d +=-， 又111a =-，∴2d =， ∴n S ()112n n dna -=+()111n n n =-+-212n n =-()2636n =--，∴当6n =时，n S 有最小值636S =-， 故选B ． 4．【答案】C【解析】由100910072S S -=，得100810092a a +=，∴120161008100920162016()2016()201622a a a a S ⋅+⋅+===．故选C. 5．【答案】A【解析】∵等差数列{}n a 的前10项和为30，它的前30项和为210， 由等差数列的性质得：S 10,S 20−S 10,S 30−S 20成等差数列， ∴2(S 20−30)=30+(210−S 20)， 解得前20项和S 20=100. 故选A. 6．【答案】C【解析】由8109S S S <<得，90a >，100a <，9100a a +>，所以公差大于零. 又()117179171702a a S a +==>，()1191910191902a a S a +==<，()()1181891018902a a S a a +==+>，故选C. 7．【答案】6【解析】因为{}n a 是等差数列，所以12121(21)(21)10(21)1102m m m a a S m m a m --+=⨯-=-=-=， 解得6m =．故填6 8．【答案】3221【解析】∵12121(21)()(21)2(21)22n nn n n a a n a S n a ---+-⋅===-，∴2121(21)(21)n n n n n n a n a S b n b T ---==-， ∴1121112132113222121a S b T ⨯+===⨯． 故填3221．9．【答案】6或7【解析】]由59a a =且0d >得，50a <，90a >且590a a +=，即12120a d +=，即160a d +=，即70a =，故67S S =且最小.故填6或7 10．【答案】（1）26n a n =-+；（2）6【解析】（1）设首项为1a ，公差为d .因为7178,28a a =-=-，所以1168,1628,a d a d +=-⎧⎨+=-⎩解得14,2a d ==-，所以()1126n a a n d n =+-=-+.（2）由（1）可得225255()24n S n n n =-+=--+，所以当n =2或3时，n S 取得最大值.()22max 2253356n S =-+⨯=-+⨯=.。
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《等差数列》同步练习基 达 ： 1．等差数列 40，37， 34 中的第一个 数 是( )A ．第 13B ．第 14C ．第15D ．第 162．在 -1 与 7 之 次插入三个数，使 五个数成等差数列， 此数列 ________.3. 增等差数列 {a } 中，若 a +a +a =12, a · a · a =28,a =______.n 3 6 9 3 6 9 n4. 数列 {a } 中， a =3n-5,S =__________.nn 95. 等差数列 {a n } 中，已知 a 2+a 9 +a 12+a 19 =100,S 20 =________.6. 等差数列 {a } 中， a >0, d ≠0, S =S S 取得最大 的n 的 _____.n 1 2030, n7. 在公差 d=1的等差数列 {a n } 中，已知 S 100=145， a 1+a 3+a 5+⋯⋯ +a 99 的 _____.28. 把 20 分成四个数成等差数列，使第一 与第四 的 同第二 与第三 的 的比2∶ 3， 四个数从小到大依次 ____________.9. -401 是不是等差数列 -5 ， -9 ， -13 ⋯的 ？如果是，是第几 ？10. 求等差数列 10， 8， 6，⋯⋯的第 20 .11. 在等差数列 {a n } 中，已知 a 4=1， a 7+a 9=16，求通 公式 .12. 在等差数列 {a n } 中， a 3+a 4+a 5+a 6+a 7=450，求 a 2+a 8. 13．已知数列 {a n } 是等差数列，令 b n a n 2 1 a n 2 ，求 ： {b n } 也是等差数列 .能力提升：14．等差数列 {a n } 中， a 2+a 5=19，S 5=40， a 10 ( )A ．27B ．28C ．29D ．3015、已知等差数列{a n }的前 3 依次a 1， a 1 ， 2a 3 ， 通 公式a n （） .A. 2n 5B. 2n 3C.2n 1 D. 2n 116．已知等差数列 {a } 足： a a =-12 ， a +a =-4 ， 通 公式a =________.n3 746n17、已知等差数列 { a n } 中， a mn ， a n m ，且 m n ， a m n __________.18、首24 的等差数列，从第10 开始 正数， 公差的取 范 是__________.19、等差数列 { a n } 中， a 1 a 4 a 7 39 ， a 2 a 5 a 8 33 ， a 3 a 6 a 9 _________.20、已知ABC 中，角 A ， B ， C 依次成等差数列，cos 2 A cos 2 C 的取 范 是 __________.21．已知等差数列 {a n } 足： S 10=310， S 20=1220，求 a n .22．已知等差数列 {a } 中， a +a =4，求 S .n3131523．一个有 n 的等差数列，前四 和 26，最后四 和 110，所有 之和187，求 数 n.24．已知等差数列 {a n } 的前 n 和 S n ，求 ： S n ， S 2n -S n ， S 3n -S 2n ，⋯⋯成等差数列 .25．已知等差数列 {a n } 足， S p =q ， S q =p ， (p ≠ q) ，求 S p+q .26．已知等差数列 {a } 中， a ＜0， S =S ，求 S 何 取最小 .n1912 n合探究：27. 求 : 数列 {lg(100sin n 1 )} 是等差数列，并求它的前n 和的最大. （精确到十分位，4lg 2 B 0.3010 ）参考答案： 基础达标： 1． C2. -1 ，1，3，5，73. n-2 ；提示 : 由 a 3+a 6+a 9=12 得 3a 6=12 即 a 6=4,又 a 3· a 6·a 9=28 有 (4-3d) · 4· (4+3d)=28 ，解得 d=± 1( 舍负 ) ， ∴ a n =a 6+(n-6)d=n-2. 4.90 ；提示 : 依题意知数列 {a n } 成等差数列，故 S 99(a 1a 9 )90 .25. 500 ；提示 : ∵ a 2+a 19=a 9+a 12=a 1+a 20=50, ∴S 20 =20(a 1a 20 )=500.26. 25 ；提示 : 等差数列前 n 项和 S n =an 2+bn 可判断 a<0，故考查函数 S(x)=ax 2+bx.由 S(20)=S(30) 知抛物线对称轴 x=20 30即 x=25，故 n=25.27.60 ；提示 : 原式 =(145-50d)× 1=60.28. 2 ，4， 6， 8；提示 : 设这四个数依次为 :x-3d, x-d, x+d, x+3d.9. 解析：由 a 1 5, d 9 ( 5)4 ，得数列通项公式为： a n 5 4(n 1) .令 4015 4( n 1) ，解之得 n=100，即 -401 是这个数列的第100项.10. 解析：根据题意可知： a 1 =10,d=8 － 10=－ 2.∴该数列的通项公式为：a n =10+（ n － 1）×（－ 2） , 即 a n =－ 2n+12,∴ a 20 =－ 2× 20+12=－ 28.11. 解析：设等差数列 {a n } 的首项为 a 1，公差为 d ，则a 1 3d 1a 117 42a 1 14d, 解方程组得7 16d4∴ a na 176 .(n 1)dn412. 解析：解法一：统一成关于 a 1， n ， d 的表达式 .设 {a } 的首项和公差分别为 a 和 d ，则n1a 3+a 4+a 5+a 6+a 7=5a 1+20d=450a 2 a 82a 1 8d2(5a 120d )2 450 180 .解法二： a +a =a +a55qm+n=p+qmnp由等差数列的性质可知a 2+a 8=a 3+a 7=a 4+a 6=2a 5∴ a 2 a 82a 1 8d 2 (a 3 a 7 a 4 a 6 a 5 )2450 180 .13． 证明： 55设 {a } 公差为 d ，则nb n 1bna n 2 2 a n 2 1 ( a n 2 1a n 2 )=(a n+2+a n+1) · d-(a n+1+a n ) ·d =d· [(a n+2+a )-(a n+1 +a )]n+1n=d · (a n+2-a n )=d · 2d2∵ 2d 2 是与 n 无关常数∴ {b n } 是等差数列 .能力提升：14． C ； 15 、 B16． a n =2n-12 或 a n =-2n+8 ； ； 18．(8,3]； 19 ．27； 20． (1,5]21． 解析：3 2 4解法一：利用公式S nna 1 n(n 1)d ，列方程组求 a 1， d.10 9 d2S1010a 1310 ①2S2020a 1 20 19d 1220②2①、②联立解方程得 a 1=4， d=6∴ a n =4+6(n-1)=6n-2.解法二：利用公式 S n =An 2+BnS nAn2Bnd n 2 (a 1 d)n22S 10100A 10B 310 A 3∴400A，解方程得1S2020B 1220 B∴ S n =3n 2+nd3a 1 4 ∴2dd 6a 1 21∴ a n =6n －2. 22． 解析：解法一： 一成关于 a 1， n ， d 的表达式 . a 3+a 13=4，∴ 2a 1+14d=4即 a 1+7d=2S1515 (15 1)d7d ) 15 2 30.15a 1215 ( a 1解法二：利用 a +a =a +a .115 3 13S15(a 1 a 15 ) 15 (a 3 a 13 ) 154 152230 .223． 解析：a 1+a 2+a 3+a 4=2(a 1+a 4)=26 ，∴ a 1+a 4=13a n-3 +a n-2 +a n-1 +a n =2(a n-3 +a n )=110 ，∴ a n-3 +a n =55 a 1+a 4+a n-3 +a n =2(a 1+a n )=13+55 ，∴ a 1+a n =34(a 1 a n ) n2 18711.S n187 ，∴ n34224． 明：取数列 S n ， S 2n -S n ，⋯⋯中的第k+1 和第 k 作差：(S (k+1)n -S kn )-(S kn -S (k-1)n )=a kn+1+a kn+2+⋯+a (k+1)n -(a (k-1)n+1 +⋯ +a kn )=(a kn+1-a (k-1)n+1 )+(a kn+2-a (k-1)n+2 )+ ⋯+(a (k+1)n -a kn )nd ndnd n 2 dn 个故 S n ， S 2n － S n ，⋯⋯成公差 n 2d 的等差数列 . 25． 解析：S ppa 1 p ( p 1) dq2S qqa 1q (q 1) dp2①②①－②得d p 2 p q 2q q p()( p q)a 12即d p q pqqp( pq) a 1()(1)2p ≠ q ，∴ a 1d( p q 1) 12 dSp q ( p q)a ( p q)( p q 1) ( p q).1226． 解析：S － S =a +a +a =0∴3a +30d=0 ∴ a =－ 10d ， a ＜ 0，∴ d ＞ 0129101112111S n na 1n (n 1)dd n 2 ( a 1 d) n ， d ＞ 0，22 2∴ f ( x)d x 2 (a 1 d) x 是开口向上的二次函数且 f (9) f (12)2291210 1 a 1 d 1∴ f (x) 的图象对称轴为x2 10 ，∴2 22 d22*n又 n ∈ N ，故 n=10 或 11 时 S 最小∴S 和S 最小.10 11综合探究： 27. 解析：（ 1）证明： ∵ a n lg(100sin n 1) ，41∴a n 1 a n lg(100sin n ) lg(100sin n 1 ) lg(sin )lg 244 4 2∴数列 {lg(100sin n 1 )} 是等差数列 .4 1lg 2（ 2）解： ∵ a 1 lg100 2 0 , d0. 2a nlg(100sinn 1) 0n 1 415∴由4，解得lg 24 ，an 1lg(100sin n ) 0n 1144lg 2∴数列 {lg(100sin n 1 )} 从第 15 项起，它及其后每一项都是负数，前14 项都为正数 .414(14 1)1 故它的前 n 项和的最大值为前14 项的和 S 1414 ( 2lg 2) 14.3.22。