材料力学-扭转-计算公式及例题
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材料力学 第五章扭转变形.强度、刚度条件(6,7,8)汇总
Me Tb Ta
( 4)
例题 6-6
5. 实心铜杆横截面上任意点的切应力为 Ta Ga M e 0 ra ρa I pa Ga I pa Gb I pb 空心钢杆横截面上任意 点的切应力为
b
Tb Gb M e I pb Ga I pa Gb I pb
2
1 dV (dxdydz ) 2 dV dW v dV dxdydz 1 v 2
一、密圈螺旋弹簧
——螺旋角
F
O
d
d ——簧丝横截面的直径 D ——弹簧圈的平均直径
O D
密圈螺旋弹簧 ——螺旋角<5°时的圆柱形弹簧
§4.5
密圈螺旋弹簧的计算
O F
例题 6-6
Me Tb Ta
解： 1. 实心铜杆和空心钢杆横截面上的扭矩分别为Ta 和Tb(图b)，但只有一个独立平衡方程 Ta+Tb= Me (1) 故为一次超静定问题。
例题 6-6
Me Tb Ta
2. 位移相容条件为实心杆和空心杆的B截面相对 于A截面的扭转角相等。在图b中都用表示（设 A端固定）。 Ba Bb ( 2)
a
b
ra
ra
a rb
切应力沿半径的变化 情况如图c所示。
ra
rb
(c)
§5-8非圆截面等直杆扭转的概念
圆截面杆扭转时的应力和变形公式,均建立在平 面假设 的基础上。对于非圆截面杆,受扭时横截面不 再保持为平面，杆的横截面已由原来的平面变成了曲 面。这一现象称为截面翘曲。因此,圆轴扭转时的应 力、变形公式对非圆截面杆均不适用。
(2)
( 4)
例题 6-6
5. 实心铜杆横截面上任意点的切应力为 Ta Ga M e 0 ra ρa I pa Ga I pa Gb I pb 空心钢杆横截面上任意 点的切应力为
b
Tb Gb M e I pb Ga I pa Gb I pb
2
1 dV (dxdydz ) 2 dV dW v dV dxdydz 1 v 2
一、密圈螺旋弹簧
——螺旋角
F
O
d
d ——簧丝横截面的直径 D ——弹簧圈的平均直径
O D
密圈螺旋弹簧 ——螺旋角<5°时的圆柱形弹簧
§4.5
密圈螺旋弹簧的计算
O F
例题 6-6
Me Tb Ta
解： 1. 实心铜杆和空心钢杆横截面上的扭矩分别为Ta 和Tb(图b)，但只有一个独立平衡方程 Ta+Tb= Me (1) 故为一次超静定问题。
例题 6-6
Me Tb Ta
2. 位移相容条件为实心杆和空心杆的B截面相对 于A截面的扭转角相等。在图b中都用表示（设 A端固定）。 Ba Bb ( 2)
a
b
ra
ra
a rb
切应力沿半径的变化 情况如图c所示。
ra
rb
(c)
§5-8非圆截面等直杆扭转的概念
圆截面杆扭转时的应力和变形公式,均建立在平 面假设 的基础上。对于非圆截面杆,受扭时横截面不 再保持为平面，杆的横截面已由原来的平面变成了曲 面。这一现象称为截面翘曲。因此,圆轴扭转时的应 力、变形公式对非圆截面杆均不适用。
(2)
材料力学 第03章 扭转
sin 2 , cos 2
由此可知：
sin 2 , cos 2
(1) 单元体的四个侧面( = 0°和 = 90°)上切 应力的绝对值最大； (2) =-45°和 =+45°截面上切应力为零，而 正应力的绝对值最大；
[例5-1]图示传动轴，主动轮A输入功率NA=50 马力，从 动轮B、C、D输出功率分别为 NB=NC=15马力 ，ND=20马 力，轴的转速为n=300转/分。作轴的扭矩图。
解：
NA 50 M A 7024 7024 1170 N m n 300 NB 15 M B M C 7024 7024 351 m N n 300 NC 20 M D 7024 7024 468N m n 300
第3章
扭
转
§3.1
一、定义 二、工程实例 三、两个名词
概
述
一、定义
Me Me
扭转变形 ——在一对大小相等、转向相反的外力偶矩
作用下，杆的各横截面产生相对转动的
变形形式，简称扭转。
二、工程实例
1、螺丝刀杆工作时受扭。
Me
主动力偶
阻抗力偶
2、汽车方向盘的转动轴工作时受扭。
3、机器中的传动轴工作时受扭。
公式的使用条件：
1、等直的圆轴， 2、弹性范围内工作。
圆截面的极惯性矩 Ip 和抗扭截面系数Wp
实心圆截面：
2 A
I p d A (2π d )
2
d 2 0
O
2 π(
4
d /2
4
)
0
πd 4 32
d
d A 2π d
材料力学第四版课件 第三章 扭转
2
例1：图示空心圆轴外径D=100mm,内径 图示空心圆轴外径D=100mm,内径 d=80mm, M1=6kN·m, M2=4kN·m, 材料的切变 =6kN· 模量 G=80GPa. （1） 试画轴的扭矩图； 试画轴的扭矩图； （2） 求轴的最大切应力,并指出其位置. 求轴的最大切应力,并指出其位置.
平面假设：圆轴扭转后各横截面仍保持为平面， 平面假设：圆轴扭转后各横截面仍保持为平面， 各横截面如同刚性平面仅绕轴线作相对转动。 各横截面如同刚性平面仅绕轴线作相对转动。
横截面上无σ 1）横截面上无σ 2）横截面上只有τ
F O1 a d dφ d1 dx O2
dd1 ρdφ γ ρ ≈ tanγ ρ = = ad dx
4
πd
3 0
(
)
16T ∴d0 ≥ 3 = 76.3mm 4 π (1−α )[τ ]
取 d0 = 76.3mm、 、 (3)比较空心轴与实心轴的重量 比较空心轴与实心轴的重量 积之比： 二者重量之比等于横截面 积之比：
π (d − di ) 4 = 0.395 β= 2 4 πd
2 0 2
可见空心轴比实心轴的重量轻 可见空心轴比实心轴的重量轻
任一点处的切应变 切应变与到 距圆心为 ρ 任一点处的切应变与到 成正比。 圆心的距离ρ成正比。
2. 物理方面
dφ γρ = ρ dx
dφ τ ρ = Gρ dx
3. 静力学方面
dφ 2 T = ∫ ρτ ρ dA = G ∫ ρ dA dx A A
Ip = ∫ ρ dA 称为极惯性矩
2 A
ρ
dA
MB
1
MC
MA
2 2
A
3
MD
例1：图示空心圆轴外径D=100mm,内径 图示空心圆轴外径D=100mm,内径 d=80mm, M1=6kN·m, M2=4kN·m, 材料的切变 =6kN· 模量 G=80GPa. （1） 试画轴的扭矩图； 试画轴的扭矩图； （2） 求轴的最大切应力,并指出其位置. 求轴的最大切应力,并指出其位置.
平面假设：圆轴扭转后各横截面仍保持为平面， 平面假设：圆轴扭转后各横截面仍保持为平面， 各横截面如同刚性平面仅绕轴线作相对转动。 各横截面如同刚性平面仅绕轴线作相对转动。
横截面上无σ 1）横截面上无σ 2）横截面上只有τ
F O1 a d dφ d1 dx O2
dd1 ρdφ γ ρ ≈ tanγ ρ = = ad dx
4
πd
3 0
(
)
16T ∴d0 ≥ 3 = 76.3mm 4 π (1−α )[τ ]
取 d0 = 76.3mm、 、 (3)比较空心轴与实心轴的重量 比较空心轴与实心轴的重量 积之比： 二者重量之比等于横截面 积之比：
π (d − di ) 4 = 0.395 β= 2 4 πd
2 0 2
可见空心轴比实心轴的重量轻 可见空心轴比实心轴的重量轻
任一点处的切应变 切应变与到 距圆心为 ρ 任一点处的切应变与到 成正比。 圆心的距离ρ成正比。
2. 物理方面
dφ γρ = ρ dx
dφ τ ρ = Gρ dx
3. 静力学方面
dφ 2 T = ∫ ρτ ρ dA = G ∫ ρ dA dx A A
Ip = ∫ ρ dA 称为极惯性矩
2 A
ρ
dA
MB
1
MC
MA
2 2
A
3
MD
材料力学(第五版)扭转刚度
d
于弹簧的中径D的情况，
max
8FD
d 3
在考虑簧丝的曲率和 1 分布不均匀时：
max
k
8FD
d 3
k—修正系数（曲度系数）
k 4c 1 0.615 4c 4 c
弹簧的强度条件：
c D d
max
（三）、弹簧的变形计算
弹簧的压缩（拉伸）变形
外力功：
2
由功能原理： V W
1 2
F
4F 2D3n Gd 4
弹簧的变形 8F D3 n Gd4
Fλ
弹簧的变形
8FD3n Gd 4
令：
C Gd 4 8D3n
C 弹簧刚度
F
C
Fλ
BC段：
TBC 1.2 kN m
A
mA
T (kN m)
Байду номын сангаас
B
C
mB
mC
Wt
BC
d13 16
503 109 16
24.54106 m3
1.2 3.0
(max )BC
TBC
Wt
BC
1200 24.54 106
48.8MPa
轴的强度符合要求
A
Tl
GIP
Me
l
Me
φ 相距 l 的两个截面之间的相对扭转角
φ
弧度
GIP
圆轴的抗扭刚度
对于阶梯轴，以及等直圆轴但扭矩为阶梯形变化的情况，
分段计算，求代数和
Tl GIP
二、圆轴扭转刚度的计算
扭转刚度(材料力学)
最大切应力：
max
T Wt
扭转截面系数
单位长度扭转角：
j T
GIt 相当极惯性矩
短边中点的切应力： max
其中 Wt b3 It b4
、、 ——与 m h 相关的因数 b
对于B的扭转角jCB。
M2 Ⅰ
M1
Ⅱ
M3
d
B
lAB
A
lAC
C
解： 1）求扭矩 BA段 AC段
T1 955N m T2 637N m
M2 Ⅰ
M1
Ⅱ
M3
d
B
lAB
A
lAC
C
2）求扭转角
j AB
T1l AB GIp
955103 300 80103 π 704
1.52103 rad
32
jCA
变模量G=80GPa 。轴的横截面上最大扭矩为Tmax=
9.56 kN•m ，轴的许可单位长度扭转角[j' ]=0.3 /m 。
试选择轴的直径。
解：1、按强度条件确定外直径D
max
Tmax Wp
Tmax
πD3 1 4
[ ]
16
D 3
π
16Tmax
1 4 [
]
3
16 9.56 106 π 1 0.54 40
等直非圆杆自由扭转时的应力和变形
Ⅰ、等直非圆形截面杆扭转时的变形特点
横向线变 横截面发生翘曲
成曲线
不再保持为平面
平面假设不再 成立，可能产 生附加正应力
非圆杆两种类型的扭转
1、等直杆两端受外力偶作用，端面可自由翘曲时 ——自由扭转(纯扭转) 此时相邻两横截面的翘曲程度完全相同，无附加 正应力产生
材料力学第3章扭转
试问：纵向截面里的切应力是由什么内力平衡的？
§3.8 薄壁杆件的自由扭转
薄壁杆件：杆件的壁厚远小于截面的其它尺寸。 开口薄壁杆件：杆件的截面中线是不封闭的折线或曲
线，例如：工字钢、槽钢等。 闭口薄壁杆件：杆件的截面中线是封闭的折线或曲线，
例如：封闭的异型钢管。
一、开口薄壁杆的自由扭转
＝ Tl
GI t
变形特点：截面发生绕杆轴线的相对转动 本章主要研究圆截面等直杆的扭转
§3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
功率： P(kW) 角速度：ω 外力偶矩：Me
P = Meω
转速：n(r/min)
2n/ 60
Me
1000 P＝9549
P n
(N
m)
内力偶矩：扭矩 T 求法：截面法
符号规则： 右手螺旋法则 与外法线同向“ + ” 与外法线反向“－”
max
T max
It
It
1 3
hi
3 i
二、闭口薄壁杆的自由扭转
max
T
2 min
TlS
4G 2
其中：ω截面为中线所围的面积
S 截面为中线的长度
闭口薄壁杆的应力分布：
例： 截面为圆环形的开口和闭口薄壁杆件如图所 示，设两杆具有相同平均半径 r 和壁厚δ，试 比较两者的扭转强度和刚度。
开＝3 r 闭 开＝3( r )2 闭
8FD3n Gd 4
C
ห้องสมุดไป่ตู้
Gd 4 8D3n
F C
§3.7 矩形截面杆扭转的概念
1) 翘曲
变形后杆的横截面不再保持为平面的现象。
2) 自由扭转和约束扭转
自由扭转：翘曲不受限制的扭转。 各截面翘曲程度相同，纵向纤维无伸缩， 所以，无正应力，仅有切应力。
材料力学-扭转-计算公式及例题
求 AB段Mn（1-1剖面）
K N·m 4.50 背向剖切面为正
求 BC段Mn（2-2剖
面） K N·m
-4.50
求 CD段Mn（3-3剖面）
K N·m -1.50
D>=103mm
已知 CD段Mn（3-3剖面）
K N·m -1.5
求
IP m4 1.19E-05
求 φB-A
° 0.216
求 ΦC-B
K N·m
K N·m
K N·m
K N·m
数值
0.62
2.05
1.43
0.62
横截面上的力偶矩的方向，为外力偶矩（如T1,T2,T3）指向剖切面为负，背向剖切面为正
校核AC段 的强度(实
数据状态
代号
单位
数值 校核DB段 的强度(实
数据状态
代号
单位
已知 d1 mm 40
已知 d2 mm
已知 Mn(AC) K N·m 0.62
°/m
m4
1.05E+01 5.00E-01 1.50E-08
，试设 计截面的内
求 D0 mm 63.38
求 d mm 60.44
求 A1/A2
mm 0.51
d2=70mm。 。材料的许用切应 轴的强度和刚度。
。材料的许用切应 轴的强度和刚度。
求 CD段Mn（2-2剖面）
K N·m 0.62 背向剖切面为正
° -0.270
求 φD-C
° -0.108
强度计算 序号
名称
代号
单位
max
M n max Wp
[ ]
1
横截面上的最大扭 矩
Mn max
扭转强度计算公式
扭转强度计算公式
扭转强度是指材料可以承受持续转变外力的能力，它也是衡量材料结构强度的一个重要指标。
由于它对于确定材料性能及其结构安全性起着重要作用，因此了解扭转强度和计算其值非常重要。
扭转强度的计算可以通过以下公式来实现：T=F * r / J，其中T为扭转强度，F为外力，r为外力的作用半径，J为扭转截面积矩，即材料主轴线上的横截面积。
通过上述公式可以看出，要计算扭转强度，必须先确定外力F和扭转截面积矩J的大小。
外力F是指作用在材料上的外力，可以通过实验来确定。
而扭转截面积矩J是指材料的横截面积，可以通过实验或理论计算来确定。
在实际应用中，扭转强度的计算还受到水平和垂直外力的影响，因此，在计算扭转强度时，必须考虑外力的方向和强度。
在计算扭转强度时还要考虑材料的尺寸、形状和结构，以及外力的作用点。
这些因素都会影响材料的扭转强度，因此，在计算扭转强度时，必须将这些因素考虑在内。
要计算材料扭转强度，必须先确定外力F和扭转截面积矩J，还要考虑材料尺寸、形状和结构以及外力方向和强度等因素。
通过恰当的计算，可以准确地测量出材料的扭转强度，从而为结构的安全性
提供可靠的参考。
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求 D mm 75.56
已知 D0 mm 63.38
例：有一个阶梯形圆轴，轴上装有三个皮带轮，如图所示。轴的直径分别为d1=40mm， d2=70mm。已知作用在轴上外力偶矩分别为T1=0.62KN·m，T2=2.05KN·m，T3=1.43KN·m。材料 的许用切应力[τ]=60MPa，G=8×104MPa，轴的许用单位长度扭转角为[θ]=2°/m，试校核轴的
-1.43
已知
[τ]
MPa
<
60
已知 [τ] MPa
<
60
求
θmax(单位不要错）
°/m
1.77
<
求
θmax(单位不要错）
°/m
0.43
<
已知 [θ] °/m
2
已知 [θ] °/m
2
T2=3KN·m， ；材料的[τ]=80MPa，
D0=105mm，试计算
求 AB段Mn（1-1剖面）
K N·m 4.50 背向剖切面为正
°/m
m4
1.05E+01 5.00E-01 1.50E-08
，试设 设计截面的
求 D0 mm 63.38
求 d mm 60.44
求 A1/A2
mm 0.51
， 。材料 ，试校核轴的
。材料 ，试校核轴的
求 CD段Mn（2-2剖面）
K N·m 0.62 背向剖切面为正
求 DB段Mn（3-3剖
面） K N·m
d2=70mm。已知作用在轴上外力偶矩分别为T1=0.62KN·m，T2=2.05KN·m，T3=1.43KN·m。材料 的许用切应力[τ]=60MPa，G=8×104MPa，轴的许用单位长度扭转角为[θ]=2°/m，试校核轴的 强度和刚度。
画扭矩图
数据状态
已知
已知
已知
求
代号
T1
T2
T3
AC段Mn（1-1剖面）
[]
单位 N·m KW r/min
公式
T 9550 N K n
单位 时的强度条件
N·m m3 Pa
公式
max
M n max Wp
[ ]
序号
名称 代号 单位
1
极惯性矩 Ip m4
2
抗扭截面模 量
WP
m3
3
α=d/D
r0=D0/2，平 均半径，D0
单位
max
M n max Wp
[ ]
N·m m3
变形计算 名称 扭转角 极惯性矩 横截面上的扭矩 剪切弹性模量 杆件长度
代号 φ Ip Mn G l
序号 1 2 3 4 5
刚度条件 名称 单位长度上的最大扭转角 极惯性矩 横截面上的最大扭矩 剪切弹性模量 许用单位扭转角
代号 θmax
Ip Mn max
G [θ]
序号
名称
1
极惯性矩
2
抗扭截面模量
3
α=d/D
画扭矩图
数据状态
已知
已知
已知
已知
代号
T1
T2
T3
T4
单位
K N·m
K N·m
K N·m
K N·m
数值
1.5
3
9
4.5
横截面上的力偶矩的方向，为外力偶矩（如T1,T2,T3）指向剖切面为负，背向剖切面为正
利用强度 条件算轴
数据状态
代号
单位
数值 利用刚度 条件算轴
数据状态
代号
单位
数值
已知 τmax MPa
已知 Mn(AC) K N·m 1.43
已知 G MPa
8.00E+04
已知 G MPa
8.00E+04
21.23
求 IP m4 2.51E-07
求 IP m4 2.36E-06
例：如图装有四个皮带轮的一根实心圆轴的计算简图。已知 T1=1.5KN·m，T2=3 T3=9KN·m，T4=4.5KN·m；各轮的间距为L1=0.8m，L2=1.0m，L3=1.2m；材料的[τ] [θ]=0.3°/m，G=8×104MPa。试求：（1）设计轴的直径D；（2）若轴的直径D0=105mm 全轴的相对角φD-A。
L
θ
m
°/m
2
0.5
已知
求
L
φ
m
°
1
2
强度计算
数据状态
已知
已知
求
代号 单位 数值
[τ]
Mpa
60
Mn max KN·m 1.05E+01
WP m3 1.75E-04
max
M n max Wp
[ ]
数据状态 代号 单位 数值
已知 G
Mpa
80000
刚度计算
已知
已知
求
Mn max
θmax
Ip
KN·m
实心轴
数据状态 代号 单位 数值
已知 [τ] M Pa 40
已知 Mn max K N·m
2
空心轴
数据状态 代号 单位 数值
已知 α 无 0.8
已知 WP m3
0.00005
面积比 空心比实心
数据状态 代号 单位 数值
已知
已知
D
d
mm
mm
75.55524026 60.44419221
求 WP m3 5.00E-05
数据状态 代号 单位 数值
已知 NK KW 1
已知 n
r/min 100
求 T KN·m 0.0955
例：传动轴系钢制的实心圆轴，其承受最大扭矩为2KN·m，[τ]=40MPa，试设 计圆轴的直径D。若将此轴改为内外直径比d/D=0.8的空心轴，试设计截面的 内外直径，并比较实心圆轴和空心圆轴的用料。
80
已知 [θ]（注意单
位） °/m 0.3
已知 Mn(AC) K N·m
4.5
已知 Mn(AC) K N·m
4.5
求 D mm 65.92
已知 G MPa
8.00E+04
D>=66mm
求 D mm 102.28
根据题 意计，算选扭转 角φD-A=
数据状态
代号
单位 数值 数据状态 代号 单位
已知
D
mm 105 已知 L1 m
m4 N·m Pa °/m
序号 1 2 3
名称 外力偶矩
功率 转速
代号 T NK n
序号
1 2 3
名称
横截面上的最大扭矩 抗扭截面模量 材料许用切应力
代号 圆轴扭转时的强度条件
Mn max WP
[τ]
序号
名称
强度计算
代号
1
横截面上的最大扭矩
2
抗扭截面模量
3
材料许用切应力
Mn max WP
[τ]
序号 1 2 3 4 5
已知 Mn(AC) K N·m
求 WP m3 1.26E-05
求 WP m3
求 τmax MPa 49.34
求 τmax MPa
数值
校核AC段 的刚度(实
数据状态
代号
单位
数值 校核DB段 的刚度(实
数据状态
代号
单位
数值
70
已知 d1 mm 40
已知 d1 mm 70
1.43
6.73E-05
已知 Mn(AC) K N·m 0.62
已知
G
MPa 8.00E+04
已知 L2 m
已知
AB段Mn（1-1 剖面）
K N·m 4.5 已知 L3 m
已知 BC段Mn（2-2剖面）
K N·m -4.5
数值
0.8
1
1.2
实心轴 数据状态 代号 单位 数值 数据状态 代号 单位 数值 数据状态 代号 单位 数值
已知 d mm 799
已知 WP m3
0.1994 已知
Ip
m4
0.1
求
Ip m4
4.00E-02
求
Ip m4
1.00E-01
求
WP m3
1.99E-01
求
WP m3
1.00E-01 求 d mm
1.01E+03 求 d mm
1.00E+03
数据状态 代号 单位 数值
数据状态 代号 单位 数值
已知 φ ° 1 已知 θ °/m 2
已知
求
求 BC段Mn（2-2剖
面） K N·m
-4.50
求 CD段Mn（3-3剖面）
K N·m -1.50
D>=103mm
已知 CD段Mn（3-3剖面）
K N·m -1.5
求
IP m4 1.19E-05
求 φB-A
° 0.216
求 ΦC-B
° -0.270
求 φD-C
° -0.108
强度计算 序号
名称
代号
单位
K N·m
K N·m
K N·m
K N·m
数值
0.62
2.05
1.43
0.62
横截面上的力偶矩的方向，为外力偶矩（如T1,T2,T3）指向剖切面为负，背向剖切面为正
校核AC段 的强度(实
数据状态
代号
单位
数值 校核DB段 的强度(实
数据状态
代号
单位
已知 d1 mm 40
已知 d2 mm
已知 Mn(AC) K N·m 0.62
代号
Ip WP
已知 D0 mm 63.38
例：有一个阶梯形圆轴，轴上装有三个皮带轮，如图所示。轴的直径分别为d1=40mm， d2=70mm。已知作用在轴上外力偶矩分别为T1=0.62KN·m，T2=2.05KN·m，T3=1.43KN·m。材料 的许用切应力[τ]=60MPa，G=8×104MPa，轴的许用单位长度扭转角为[θ]=2°/m，试校核轴的
-1.43
已知
[τ]
MPa
<
60
已知 [τ] MPa
<
60
求
θmax(单位不要错）
°/m
1.77
<
求
θmax(单位不要错）
°/m
0.43
<
已知 [θ] °/m
2
已知 [θ] °/m
2
T2=3KN·m， ；材料的[τ]=80MPa，
D0=105mm，试计算
求 AB段Mn（1-1剖面）
K N·m 4.50 背向剖切面为正
°/m
m4
1.05E+01 5.00E-01 1.50E-08
，试设 设计截面的
求 D0 mm 63.38
求 d mm 60.44
求 A1/A2
mm 0.51
， 。材料 ，试校核轴的
。材料 ，试校核轴的
求 CD段Mn（2-2剖面）
K N·m 0.62 背向剖切面为正
求 DB段Mn（3-3剖
面） K N·m
d2=70mm。已知作用在轴上外力偶矩分别为T1=0.62KN·m，T2=2.05KN·m，T3=1.43KN·m。材料 的许用切应力[τ]=60MPa，G=8×104MPa，轴的许用单位长度扭转角为[θ]=2°/m，试校核轴的 强度和刚度。
画扭矩图
数据状态
已知
已知
已知
求
代号
T1
T2
T3
AC段Mn（1-1剖面）
[]
单位 N·m KW r/min
公式
T 9550 N K n
单位 时的强度条件
N·m m3 Pa
公式
max
M n max Wp
[ ]
序号
名称 代号 单位
1
极惯性矩 Ip m4
2
抗扭截面模 量
WP
m3
3
α=d/D
r0=D0/2，平 均半径，D0
单位
max
M n max Wp
[ ]
N·m m3
变形计算 名称 扭转角 极惯性矩 横截面上的扭矩 剪切弹性模量 杆件长度
代号 φ Ip Mn G l
序号 1 2 3 4 5
刚度条件 名称 单位长度上的最大扭转角 极惯性矩 横截面上的最大扭矩 剪切弹性模量 许用单位扭转角
代号 θmax
Ip Mn max
G [θ]
序号
名称
1
极惯性矩
2
抗扭截面模量
3
α=d/D
画扭矩图
数据状态
已知
已知
已知
已知
代号
T1
T2
T3
T4
单位
K N·m
K N·m
K N·m
K N·m
数值
1.5
3
9
4.5
横截面上的力偶矩的方向，为外力偶矩（如T1,T2,T3）指向剖切面为负，背向剖切面为正
利用强度 条件算轴
数据状态
代号
单位
数值 利用刚度 条件算轴
数据状态
代号
单位
数值
已知 τmax MPa
已知 Mn(AC) K N·m 1.43
已知 G MPa
8.00E+04
已知 G MPa
8.00E+04
21.23
求 IP m4 2.51E-07
求 IP m4 2.36E-06
例：如图装有四个皮带轮的一根实心圆轴的计算简图。已知 T1=1.5KN·m，T2=3 T3=9KN·m，T4=4.5KN·m；各轮的间距为L1=0.8m，L2=1.0m，L3=1.2m；材料的[τ] [θ]=0.3°/m，G=8×104MPa。试求：（1）设计轴的直径D；（2）若轴的直径D0=105mm 全轴的相对角φD-A。
L
θ
m
°/m
2
0.5
已知
求
L
φ
m
°
1
2
强度计算
数据状态
已知
已知
求
代号 单位 数值
[τ]
Mpa
60
Mn max KN·m 1.05E+01
WP m3 1.75E-04
max
M n max Wp
[ ]
数据状态 代号 单位 数值
已知 G
Mpa
80000
刚度计算
已知
已知
求
Mn max
θmax
Ip
KN·m
实心轴
数据状态 代号 单位 数值
已知 [τ] M Pa 40
已知 Mn max K N·m
2
空心轴
数据状态 代号 单位 数值
已知 α 无 0.8
已知 WP m3
0.00005
面积比 空心比实心
数据状态 代号 单位 数值
已知
已知
D
d
mm
mm
75.55524026 60.44419221
求 WP m3 5.00E-05
数据状态 代号 单位 数值
已知 NK KW 1
已知 n
r/min 100
求 T KN·m 0.0955
例：传动轴系钢制的实心圆轴，其承受最大扭矩为2KN·m，[τ]=40MPa，试设 计圆轴的直径D。若将此轴改为内外直径比d/D=0.8的空心轴，试设计截面的 内外直径，并比较实心圆轴和空心圆轴的用料。
80
已知 [θ]（注意单
位） °/m 0.3
已知 Mn(AC) K N·m
4.5
已知 Mn(AC) K N·m
4.5
求 D mm 65.92
已知 G MPa
8.00E+04
D>=66mm
求 D mm 102.28
根据题 意计，算选扭转 角φD-A=
数据状态
代号
单位 数值 数据状态 代号 单位
已知
D
mm 105 已知 L1 m
m4 N·m Pa °/m
序号 1 2 3
名称 外力偶矩
功率 转速
代号 T NK n
序号
1 2 3
名称
横截面上的最大扭矩 抗扭截面模量 材料许用切应力
代号 圆轴扭转时的强度条件
Mn max WP
[τ]
序号
名称
强度计算
代号
1
横截面上的最大扭矩
2
抗扭截面模量
3
材料许用切应力
Mn max WP
[τ]
序号 1 2 3 4 5
已知 Mn(AC) K N·m
求 WP m3 1.26E-05
求 WP m3
求 τmax MPa 49.34
求 τmax MPa
数值
校核AC段 的刚度(实
数据状态
代号
单位
数值 校核DB段 的刚度(实
数据状态
代号
单位
数值
70
已知 d1 mm 40
已知 d1 mm 70
1.43
6.73E-05
已知 Mn(AC) K N·m 0.62
已知
G
MPa 8.00E+04
已知 L2 m
已知
AB段Mn（1-1 剖面）
K N·m 4.5 已知 L3 m
已知 BC段Mn（2-2剖面）
K N·m -4.5
数值
0.8
1
1.2
实心轴 数据状态 代号 单位 数值 数据状态 代号 单位 数值 数据状态 代号 单位 数值
已知 d mm 799
已知 WP m3
0.1994 已知
Ip
m4
0.1
求
Ip m4
4.00E-02
求
Ip m4
1.00E-01
求
WP m3
1.99E-01
求
WP m3
1.00E-01 求 d mm
1.01E+03 求 d mm
1.00E+03
数据状态 代号 单位 数值
数据状态 代号 单位 数值
已知 φ ° 1 已知 θ °/m 2
已知
求
求 BC段Mn（2-2剖
面） K N·m
-4.50
求 CD段Mn（3-3剖面）
K N·m -1.50
D>=103mm
已知 CD段Mn（3-3剖面）
K N·m -1.5
求
IP m4 1.19E-05
求 φB-A
° 0.216
求 ΦC-B
° -0.270
求 φD-C
° -0.108
强度计算 序号
名称
代号
单位
K N·m
K N·m
K N·m
K N·m
数值
0.62
2.05
1.43
0.62
横截面上的力偶矩的方向，为外力偶矩（如T1,T2,T3）指向剖切面为负，背向剖切面为正
校核AC段 的强度(实
数据状态
代号
单位
数值 校核DB段 的强度(实
数据状态
代号
单位
已知 d1 mm 40
已知 d2 mm
已知 Mn(AC) K N·m 0.62
代号
Ip WP