多边形的内角和(1)
多边形的内角和(一)
对角线：
顶点 C E A B A B D C 五边形ABCDE
(1)
(2)
凸多边形
不是凸多边形 是凸多边形
多边形内角和与边数的关系 多边形内角和 四边形的内角和
n边形的内角和
2× 180° 180°
五边形的内角和
3×180° 180°
1、什么是多边形？ 在平面内，由若干条不在同一条直线上的线段 首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形。 2 、各条边都相等，各个内角都相等的多边形 各条边都相等， 叫正多边形 3、n边形的内角和是多少？
n边形的内角和等于(n - 2)•180°。它揭示 边形的内角和等于(n 180°
了多边形的内角和与边数之间的关系。
练一练
1、十二边形的内角和等于 (12 - 2) • 180°= 1800° 。 180° 1800° _________________________。 _________________________ 2、一个多边形的内角和等于1080°，那么它是 一个多边形的内角和等于1080° ______边形。 ______边形。 八 3、小明想：2008年奥运会在北京召开，设计一 、小明想：2008年奥运会在北京召开，设计一 个内角和为2008的多边形图案多有意义，小明的 个内角和为2008ْْ的多边形图案多有意义，小明的 想法能实现吗？
(n - 2) • 180° 180°
（4－2）× 180° 5－2）×180° 180° 180° （
大家思考一下，添以下的辅助线能否推出五 边形的内角和： A A A B O E B E B D 课 后 思 考 E
C D O 5×180°－360° 4×180°－180° × ° ° × ° ° × × ＝ 5×180 － 2× 180 ＝ （4—1) ×180° ° ＝ 180× (5－2) × － ＝ 3×180° × ° ＝ 3×180° × °
多边形的内角和(1)
1．下图中是凸多边形的为（）．2．五边形的对角线有（）．A．2条B．3条C．4条D．5条3．如果某多边形的外角分别是10°，20°30°，…，80°，则这个多边形的边数是（）．A．6 B．7 C．8 D．94．一个多边形的内角和与外角和相等，则这个多边形是（）．A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形5．下列说法中正确的有（）．①四边形最多有3个钝角；②四边形最多有3个锐角；③四边形至少有1个钝角；④n 边形的内角和能被180°整除．A．1个B．2个C．3个D．4个6．过n边形的一个顶点的所有对角线，把n边形分成8个三角形，则这个多边形的边数是（）．A．8 B．9 C．10 D．117．一个八边形的内角和等于__________度．8．一个多边形的每一个外角为30°，那么这个多边形的边数为_____________．9．若一个多边形的各边都相等，它的周长是42cm，且它的内角和为720°，则它的各边长是___________．10．如图7-3-12，分别以四边形的各个顶点为圆心，半径为R作圆（这些圆互不相交），则图中阴影部分的面积和为____________．11．已知多边形的内角和的度数分别如下，求相应的多边形的边数．（1）9000°；（2）1980°；（3）2700°．12．是否存在一个多边形，它的内角和为2000°？请说明理由．13．求图7-3-13中的x值：14．如图7-3-14，你能求出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G是多少度吗？15．一个n边形的各内角都相等，且其中一个内角比它相邻的一个外角大90°，求n．。
多边形的内角和与外角和(1)
7.5 多边形的内角和与外角和（1）教学目标1．探索并了解“三角形三个内角之和等于180°”；2．经历举例、操作（画图、度量、拼图）、观察、归纳、说理、交流等数学活动，提升学生有条理的表达能力．教学重点探索并掌握“三角形三个内角之和等于180°”．教学难点理解用推理的方法说明为什么三角形的三个内角之和一定等于180°．教学过程（教师）学生活动设计思路新课引入——问题导入：（1）同学们，小学里我们就已经知道了三角形的三个内角的和等于多少度？（2）你能举例说明三角形的三个内角的和等于180°吗？（1）集体回答：180°．（2）学生可能出现的答案：等边三角形的三个角都等于60°，和为180°；两块三角板的三个内角（30°、60°、90°与45°、45°、90°）之和也都为180°．开门见山，点出本节课所研究的问题．通过师生对话，引导学生体会说理的重要性．学生举例说明之后，教师追问：对于任意三角形，它的三个内角之和是不是等于180°呢？为什么？于是，引出下一环节的操作．探究一——画图、度量、计算请每位同学在课堂笔记本上任意画一个三角形，用量角器量出各内角的度数，并求它们的和．动手操作，交流结论．初步得出基本事实：任意三角形的三个内角之和等于180°．探究二——观察利用几何画板中的课件动画演示（通过拖动三角形的顶点改变三角形的内角），再次验证“三角形三个内角之和等于180°”．观察．进一步确认上述事实．探究三——拼图（1）问：还记得小学里怎么说明“三角形三个内角之和等于180°”的吗？（2）请每位同学将课前发下的三角形纸片的3个内角（如图1）剪开，然后拼在一起，观察它们的和是否为180°．（3）教师找出如图2、图3、图4等拼法，贴在黑板上，并标上相应字母．动手操作．通过前一环节，学生对相关结论已经深信不疑．但是，画图、度量、计算是不可能验证出所有三角形都具有上述性质的．为此，逐步引导，为下一环节的说理作好铺垫．ABC（图1）AB C（图2）（图3）ABC……探究四——说理优化选择适当的拼法，进行说理，从而得出结论“三角形三个内角之和等于180°”．师生互动，进行说理．经历说理，体会说理的必要性．知识应用——牛刀小试课本P29练一练第1、3小题．口答．熟练运用所学得的知识，解决简单问题．口答形式能较好地看出学生对性质的掌握情况与应用意识．AB C（图4）知识应用——例题例1 已知，在△ABC中，∠A＝40°，∠B ＝∠C，求∠C的度数．例2 如图5，AD、BC相交于点O，∠A＝50°，∠B＝32°，∠C＝45°，求∠D的度数．发表意见，表达观点，相互补充．参考答案：例 1 在△ABC中，由∠A＋∠B＋∠C＝180°，∠A＝40°，得∠B＋∠C＝140°，又因为∠B＝∠C，所以∠C＝70°．例2 在△AOB中，由∠A＋∠B＋∠AOB＝180°，∠A＝50°，∠B＝32°，得∠AOB＝98°．又因为∠COD＝∠AOB，所以∠COD＝98°．在△COD中，由∠C＋∠D＋∠COD＝180°，∠C＝45°，∠COD＝98°，得∠D＝37°．学以致用，师生互动，锻炼学生的口头表达能力，进一步提升学生有条理的表达能力．例2得出结果之后，追问：若不给出具体角度，你能说明∠A＋∠B与∠C＋∠D之间有怎样的数量关系吗？知识应用——练习1．在△ABC中，若∠A＋∠B＝90°，则△ABC一定是__________三角形．2．在△ABC中，若∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶4，求∠A、∠B、∠C的度数．3．课本P29练一练第2小题．1．作答．2．学生代表口头交流解答思路与过程，其余学生聆听并作补充或纠错．进一步巩固新课知识，并在训练中提升学生有条理的书面表达能力．其中，通过练习1，让学生了解“有两个角互余的三角形是直角三角形”．反之，“直角三角形的两个锐角互余”也成立．小结：通过今天的学习，你学会了什么？你会正确共同小结．师生互动，总结学习成果，体验成功．运用吗？通过这节课的学习，你有什么感受呢？说出来告诉大家．课后作业：课后完成．巩固、运用．课本P34习题7.5第1～5小题．评课记录：（1）教学设计比较合理，条理清楚，一环扣一环。
《多边形内角和》教案
一、教学内容
《多边形内角和》教案，本节课选自人教版八年级数学上册第五章《多边形及其变形》第三节“多边形的内角和”内容。主要教学内容包括：
1.掌握多边形内角和的概念；
2.掌握多边形内角和的计算公式；
3.能够运用多边形内角和公式解决实际问题；
4.理解并掌握多边形内角和与外角和的关系。
五、教学反思
在今天的《多边形内角和》教学中，我尝试了多种教学方法，目的是让学生更好地理解和掌握这个几何概念。从学生的反馈和课堂表现来看，有一些值得肯定的地方，也有一些需要改进的地方。
首先，我发现通过提问和生活实例导入新课的方式，成功吸引了学生的注意力，激发了他们对多边形内角和的兴趣。在讲授新课的过程中，我注重理论联系实际，用具体的案例帮助学生理解内角和的计算公式。这种教学方式得到了学生的积极响应，他们能更快地接受并运用新知识。
此外，学生小组讨论的环节，大家的表现都很积极，分享的成果也很有价值。但我也注意到，有些学生在讨论时容易偏离主题，导致讨论效果不佳。为了提高讨论效率，我应该在讨论前给出更明确的指导，帮助学生聚焦主题，提高讨论质量。
在课后，我会针对今天的课堂教学进行总结，找出存在的问题，并思考如何改进。一方面，我要加强自身对教材的理解，确保教学内容与课本紧密结合；另一方面，我要关注学生的个体差异，因材施教，提高教学效果。
然而，我也注意到在讲解重点难点时，部分学生对内角和与边数的关系以及计算公式的运用还不够熟练。这说明我在这一部分的教学还需要加强，可能需要设计更多的例题和练习，让学生在实践中掌握这些知识点。
在实践活动环节，分组讨论和实验操作让学生们积极参与，课堂氛围活跃。但我发现，在讨论过程中，部分学生过于依赖小组其他成员，自己的思考和分析能力没有得到充分锻炼。因此，我考虑在以后的课堂中，可以适当增加个人任务，鼓励学生独立思考，提高他们的自主探究能力。
多边形的内角和与外角和(一)
第六章平行四边形4. 多边形的内角和与外角和（一）西安市高新一中初中校区邹国胜一．学生起点分析学生已学过三角形的内角和定理，以及三角形的边、顶点、内角等概念，并且已初步了解四边形可分成两个三角形来求内角和，这为本节课的学习打下了基础。
因而学生在探索多边形内角和时，便会很容易想到“拼”和“量”和把多边形转化成三角形等方法，但是，学生对把多边形转化成三角形这种化归思想的理解和应用还存在一定的困难。
尽管如此，由于在以往的学习中，学生的动手实践、自主探索及合作探究能力都得到了一定的训练，通过本节课的学习，这一方面的能力将会得到进一步的提高，学生将会轻松、愉快地完成本节课的学习任务。
二．教学任务分析本节内容是七年级上册多边形相关知识的延展和升华，并且在探索学习过程中又与三角形相联系，从三角形的内角和到多边形的内角和环环相扣，前面的知识为后边的知识做了铺垫，联系性比较强，特别是教材中设计了现实情境，“想一想”，“议一议”等内容，体现了课改的精神．在编写意图上，编者强调使学生经历探索、猜想、归纳等过程，回归多边形的几何特征，而不是硬背公式，发展了学生的合情推理能力．教学目标【知识与技能】掌握多边形内角和定理，进一步了解转化的数学思想【过程与方法】经历质疑、猜想、归纳等活动，发展学生的合情推理能力，积累数学活动的经验，在探索中学会与人合作，学会交流自己的思想和方法．【情感态度与价值观】让学生体验猜想得到证实的成功喜悦和成就感，在解题中感受生活中数学的存在，体验数学充满着探索和创造．教学重难点【教学重点】多边形内角和定理的探索和应用【教学难点】多边形定义的理解；多边形内角和公式的推导；转化的数学思维方法的渗透．三．教学过程设计本节课分成八个环节：第一环节创设现实情境，提出问题，引入新课第二环节实验探究第三环节巩固训练第四环节拓展延伸第五环节思维升华第六环节知识小结第七环节作业布置第八环节课后反思第一环节创设现实情境，提出问题，引入新课1．三角形是如何定义的？2．仿照三角形定义，你能学着给四边形、五边形……边形下定义吗？3．结合图形认识多边形的顶点、边、内角及对角线。
多边形的内角和
9、已知四边形ABCD中，∠A∶∠B∶∠C ∶∠D =3:4:5:6，分别求出最大角和最小角的度数.
解：依题意可设∠A=3x°，∠B=4x°， ∠C=5x°，∠D=6x °,由题意得：
3x+4x+5x+6x=(4-2)×180 18x=2×180 x=20 ∴∠A=3x°= 60° ∠B=4x°= 80° ∠C=5x°=100° ∠D=6x °= 120°
答：最大角和最小角分别为120°,60°.
思维升华
议一议: 剪掉一张长方形纸片的一个角后, 纸片还剩几个角?这个多边形的内角和是 多少度?与同伴交流.
4 -3 = 1
3 -2 = 1
4 -2 = 2
（n=5) 六边形
（n=6)
5 -3 = 2
6 -3 = 3 · · · · · · · · · · · ·
5 -2= 3
6 -2 = 4 · · · · · ·
540º
720º
· · · · · ·
n边形
· · · · · ·
（n-2）· 180º
n-3
第六章 平行四边形
4 多边形的内角和与外角和(一)
在平面内，由若干条不在同 一条直线上的线段首尾顺次相连 组成的封闭图形叫做多边形。
对角线：在多边形中，连接不相邻的两个顶 点的线段叫做多边形的对角线。
多 边 形 的 构 成
对角线 外角 内角
顶点
边
外角： 多边形内角的一边与另一边的பைடு நூலகம்向延长 线所组成的角叫做这个多边形的外角。
3.过某个顶点的所有对角线，将这个多边形分成5个 三角形。这个多边形是几边形？它的内角和是多少？
4.一个多边形的每个内角都等于150°，则这个多边 形是几边形？
七年级数学多边形内角和1
多边形内角和总结知识点总结
多边形内角和总结知识点总结多边形是我们学习数学时经常涉及到的一个概念，它在几何学中有着重要的地位。
多边形的内角和是一个常见的问题，它涉及到多边形的性质和计算方法。
在本文中，我将对多边形内角和的计算方法进行总结，并提及一些相关的知识点。
一、多边形的内角和计算方法多边形的内角和是指在平面上的多边形中，所有内角的和。
根据多边形的边数和性质的不同，内角和的计算方法也有所区别。
下面将分别介绍正多边形和一般多边形的内角和的计算方法。
1. 正多边形的内角和计算方法正多边形是指所有边和内角相等的多边形，常见的正多边形有正三角形、正方形等。
对于正多边形，其内角和的计算方法为：内角和 = (n - 2) × 180度，其中n代表正多边形的边数。
以正三角形为例，它的边数n为3，代入公式可得：内角和 = (3 - 2) × 180度 = 180度。
这意味着正三角形的三个内角之和为180度。
同样地，对于正方形，它的边数n为4，代入公式可得：内角和 = (4 - 2) × 180度 = 360度。
这意味着正方形的四个内角之和为360度。
2. 一般多边形的内角和计算方法除了正多边形，我们还会遇到一般多边形，即边和内角不一定相等的多边形。
对于一般多边形，我们可以通过以下公式来计算其内角和：内角和 = (n - 2) × 180度，其中n代表一般多边形的边数。
这个公式与正多边形的计算方法是一致的。
二、与多边形内角和相关的知识点除了计算多边形内角和的方法外，我们还需要了解一些与其相关的重要知识点。
以下是一些与多边形内角和相关的知识点总结：1. 多边形的性质多边形有许多重要的性质，其中之一是内角和的性质。
无论是正多边形还是一般多边形，其内角和均与边数有关。
正多边形的内角和是固定的，而一般多边形的内角和则根据边数而变化。
2. 角的分类在多边形中，角可以分为内角和外角。
内角是指位于多边形内部的角，而外角是指位于多边形外部的角。
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备课时间：年月日教案总序号
2 自主探究
合作交流
面我们一起来讨论这个问题(板书课题)。
1、）以动激趣,浅探求知。
一画:画三角形、四边形、五边形、六边形(让学生
自己动手画)。
二量:量出五边形、六边形各内角,并求出其和(让
学生自己求知)。
三比较:比较四边形、五边形、六边形分别是三角
形内角和的多少倍,并由此去探索他们之间的初
步规律。
2、）观察联想,启迪思维。
探索方法（一）
(1)观察引探:观察比较以上结论后,启发提问:“边
数少的多边形可以通过量角来求和,如果边数很
多那又怎么办?由上述结论可知,多边形的内角和
是三角形内角和的若干倍,那么这个倍数与多边
形的边数有何关系?能否找出其规律?”(让学生猜
想,大胆尝试)
(2)启发联想:我们已经学过求四边形内角和的推
导方法,它是以三角形为基础求得的,即连结一条
对角线,将四边形分割为两个三角形,其和为
180°×2,那么五边形、六边形、……n边形能否依
此类推呢? (1)启发连线:依照四边形求内角和的
方法,从任一角的顶点作对角线,将多边形分割为
若干个三角形。
(先让学生想,再启发学生)
(2)自主探索、讨论交流:让学生自己去研讨发现多
边形内角和与各三角形内角和之间的关系,三角
形个数与多边形边数的关系。
(3)找规律填空:抽一名学生到事先准备好的小黑
板上填写,其余学生各自完成,教师巡视学生完成
情况,然后教师给出答案让学生对照答案,教师再
作出评价。
三角形有(?-2)个三角形,内角和是180°×(?-2);
四角形有(?-2)个三角形,内角和是180°×(?-2);
五角形有(?-2)个三角形,内角和是180°×(?-2);
……
n边形有(?-2)个三角形,内角和是180°×(?
(4)揭示规律(由学生汇报)
a、三角形的个数与多边形边数有何关系?(比边数
少2)
b、多边形的内角和与所有三角形的内角和有何关
学生自己动手画，
自己动手计算，根
据求得结果去探
索他们之间的初
步规律。
学生到事先准备
好的小黑板上填
写,其余学生各自
完成,教师巡视学
生完成情况,然后
教师给出答案让
学生对照答案,教
师再作出评价。
3展示释疑归纳总结系?(相等)
(5)归纳结论(由学生概述)
n边形内角和等于(n-2)×180°[让学生自主探索,寻
找规律,发现知
探索方法(二):
(1) 变换分割:在多边形内任取一点O,顺次边各顶
点。
(2) (2)再次研讨:让学生去发现多边形内角和与三
角形内角和之间的关系。
(多边形的内角和=
所有三角形的内角和-1周角)
(3) (3)找规律,填空(让一名学生上黑板填写,其他
学生各自完成)。
三角形有?个三角形,内角和是
180°×?-360°=180°×(?-2);
四角形有?个三角形,内角和是
180°×?-360°=180°×(?-2)
五角形有?个三角形,内角和是
180°×?-360°=180°×(?-2)
n边形有?个三角形,内角和是
180°×?-360°=180°×(?-2)
(4)归纳结论(由学生得出)
n边形的内角和是:180°×(n-2)
探索方法(三):
(1)改变连线:以多边形任一边上的一点为起点,连
结各顶点。
(2)再次研讨:让学生去发现多边形内角和与三角
形内角和之间的关系。
(多边形的内角和=所有三
角形的内角和-1平角)
(3)找规律,填空。
(抽一名学生登台填空,其他学生
各自完成)
三角形的内角和是180°×(?-2)
四角形有(?-1)个三角形,内角和
是: 180°×(?-1)-180°=180°×(?-2)
五角形有(?-1)个三角形,内角和是:
180°×(?-1)-180°=180°×(?-2)
……
n边形有?个三角形,内角和是:
180°×(?-1)-180°=180°×(?-2)
(4)揭示其特点(启发学生去发现)
a、分割后三角形的个数有何变化?
b、求多边形内角和的方法有何不同?(探索方法1,
是由多边形内角和等于各三角形内角和求得;探
索方法2,是由多边形的内角和=各三角形内角和
揭示其特点，启发
学生去发现。