22.1(1) 多边形及内角和
沪教版(上海)数学八年级第二学期-22.1 多边形的内角和 教案
22.1 多边形的内角和教学目标：1.理解多边形及其有关概念，掌握多边形内角和定理，并会运用定理解决简单的计算问题；2. 经历多边形及其有关概念的形成过程，体验类比思想；经历多边形内角和的探索过程，体验化归思想。
3.体会多边形内角和计算公式中所蕴含的函数思想。
教学重难点：重点：多边形内角和定理的探索、归纳及运用定理进行简单计算．难点：多边形内角和定理的探索过程。
教学过程：【环节一】复习引入回忆三角形的概念：由平面内不在同一直线上的三条线段首尾顺次联结所组成的封闭图形叫做三角形．意图：通过类比三角形的概念，引出多边形的概念。
【环节二】新课学习（一）多边形的有关概念1．多边形的概念问：那四边形、五边形、……、多边形的概念呢？由平面内不在同一直线上的一些线段首尾顺次联结所组成的封闭图形叫做多边形。
组成多边形的线段最少有3条，所以三角形是最简单的多边形。
由n条线段组成的多边形就称为n边形，如三角形、四边形、五边形……等等。
2.师生例举生活中的多边形。
设计意图：通过例举生活中的多边形，提高学习多边形的积极性。
3.多边形的相关概念多边形的边、顶点、内角、对角线组成多边形的每一条线段叫做多边形的边；相邻的两条线段的公共端点叫做多边形的顶点；多边形的各顶点通常用大写的英文字母表示；多边形相邻两边所在的射线组成的角叫做多边形的内角；联结多边形的两个不相邻顶点的线段叫做多边形的对角线。
凸多边形和凹多边形的定义。
对于一个多边形，画出它的任意一边所在的直线，如果其余各边都在这条直线的一侧，那么这个多边形叫做凸多边形；否则叫做凹多边形。
DCBA备注：本章所讨论的多边形都是凸多边形。
(二)合作交流，探索多边形内角和定理思考：我们已经知道三角形的内角和为180°，那么四边形的内角和等于多少度？五边形呢？六边形呢？n边形的内角和等于多少度吗？设计意图：通过复习三角形内角和为180°，引出课题并板书课题。
（引导学生把求多边形内角和的问题转化成三角形内角和的问题。
沪教版(上海)数学八年级第二学期-22.1 多边形的内角和 教案
1．掌握多边形及其有关概念，体验类比思想。
2．经历多种方法探索四边形内角和的过程，领会转化及分类讨论的思想，提高发散思维能力；
3．经历n边形内角和的归纳过程，建立“从特殊到一般”的思想，提高归纳推理能力。
三.教学重点和难点
1．重点：探索、归纳多边形的内角和定理。
2．难点：运用不同的方法探讨多边形的内角和。
课题：22.1多边形的内角和
执教教师：
上课班级：
一.教学目标确定的依据
《多边形的内角和》是新教材八年级数学第二学期第二十二章第一节的内容。七年级下对三角形的系统研究及八年级上对逻辑推理的基础性训练，为学生研究本节课提供了知识铺垫及基本的逻辑思维能力。但是在探讨四边形的内角和时，学生思维可能不够发散，不会从多角度探讨多边形的内角和。为了解决这一难点，我将抓住学生已有的资源——添加两条对角线解决四边形的内角和，引导学生换种角度看待辅助线的作法，即辅助线可以看做：选取一个公共点再与多边形的顶点连线，并引导学生发现这个公共点选取的不同方法。希望经历过对多边形的研究后，能够为后续多边形外角和及特殊四边形的研究奠定知识和能力基础。
3．自主学习与多边形相关的概念，提高自主学习能力。
二、探讨四边形的内角和
1．巡视各个小组，适当点拨。
2．在学生已有的添加两条对角线解决内角和的基础上，引导学生发现点选取的不同情况。
3．请代表上台讲解各种方法的计算步骤。
1．学生自主探讨四边形的内角和。
2．深入思考，发现点选取的不同情况。
3．小组内先合作交流，再推选代表上台讲解计算方法。
3．对学生自主学习n边形相关概念后，检测学生对概念的理解程度。
1．回顾类比三角形的概念，归纳五边形、n边形的概念。
多边形多边形的内角和ppt课件
n=9 答:这个多边形的边数是9.
19
例3.已知一个多边形的每个内角都是160°， 请问它是几边形？
解:设这个多边形的边数为n
(n-2) × 180 =160 n
n=18
答:这个多边形的边数是18.
20
1.一个多边形的一个顶点处共有4条对角线,则 它是几边形? 2.一个多边形一共有35条对角线,则它是几边形?
B
D
B
C
C
12ADEFAEA D
B C
B
B
C
D
C
多边形的 3
4
5
6
7…
n
边数
分成的三 角形的
个数
多边形的 内角和
1 180°
2 360 °
n边形的内角和为
3
4
5…
540 ° 720 ° 900 ° …
(n-2)×180 °
n-2
(n-2)×180 °
13
.
A
D
E
F
A
E
A D
B C
B
D
B
C
C
14
A
定义
多边形的边，顶点，内角
多边形的对角线
结论 n边形的内角和为（n-2）× 180º
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1、一课一练22.1(1)
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B
C
D
E
A
B
B D
C C
A F
E D
这种分割方式，将多边形分成（n-1）个三角形， 故所有三角形的内角和为（n-1）×180 °，边 上一点周围所形成的平角不是多边形的内角， 因此n边形的内角和为
多边形的内角和
多边形的内角和多边形是由多个直线段组成的平面图形，它具有许多有趣的性质和定理。
其中一个重要的性质是多边形的内角和，也称为内角和定理。
本文将详细介绍多边形内角和的概念、计算方法以及相关的定理和证明。
一、多边形的内角和定义多边形是由若干个边和角组成的封闭图形。
在多边形中，每个角都有一个对应的内角，定义为由两个相邻边所构成的夹角。
一般来说，多边形的内角和是指该多边形内部所有内角的总和。
二、多边形内角和计算方法要计算多边形的内角和，首先需要知道多边形的边数（即多边形的边数）。
假设多边形有n条边，则该多边形的内角和可以计算如下：内角和 = (n - 2) × 180度这是因为在一个平面中，任意多边形的内角和都等于 (n-2) × 180度。
例如，三角形的内角和是 180度，四边形（矩形、正方形等）的内角和是 360度，五边形的内角和是 540度。
三、多边形内角和定理多边形的内角和定理是一个重要而有趣的定理，它指出：任意一个n边形（n > 2），其内角和等于 (n-2) × 180度。
该定理的证明需要使用数学归纳法，下面给出一个简单的证明过程。
证明：对于n个三角形的情况，由于三角形的内角和是180度，根据上面的计算方法，(n-2) × 180度等于180度，因此结论成立。
假设对于n=k的多边形，结论也成立。
即 (k-2) × 180度 = (k-2) ×180度。
现在考虑一个k+1边形，我们可以通过增加一条边把它分为两个多边形，一个是n边形，另一个是三角形。
假设n边形的内角和为(n-2) × 180度，三角形的内角和为180度。
则整个k+1边形的内角和为 (n-2) × 180度 + 180度 = (n-1) × 180度，由于n=k+1，所以结论对于n=k+1的情况也成立。
综上所述，多边形的内角和定理得证。
四、应用实例下面通过一个实例来应用多边形的内角和定理。
评赵关丽老师《多边形内角和》的课
评赵关丽老师《多边形内角和》的课赵老师的课：（1）注重了学生探索能力的培养，在多边形内角和公式的领导中体现明显，教学效果也突出；（2）注重及时总结梳理知识，把新旧知识有机地联系在一起，使学生能掌握到立体的知识体系，从而更好地帮助学生理解和应用知识；（3）注重对学生进行数学思考方法的渗透，一堂简单的概念课，却能贯穿起分类，类比，方程，函数等重要的数学思想，对提高学生的数学素养很有好处。
（4）由于时间原因，拓展题的讲解还需要再详细一些。
——徐文慧赵关丽老师都能贴近学生生活实际或已有知识的学习实际创设数学情境，恰当地灵活引导学生发现问题、提出问题，并用学生提出的问题激活课堂教学，指导学生解决主要问题后又带着一些问题走出课堂思考；在解决问题的过程中，学生参与面较宽，教师充满热爱学生的激情，启发学生猜想、探究，分析解决问题的思路，关注引导学生在探究中学习，在学习中探究。
并在师生互动的学习活动中进行情感交流，课堂较为和谐；从情境中提出问题与解决问题，促使学生在学习中体验“数学化”（从“生活”到“符号”的转化过程）与“再创造”的过程。
——杨晓辉赵关丽老师认真准备、精心设计了贴近学生生活实际的数学情境：“由房顶的多边形”引入多边形的概念，引导学生提出问题，分析问题，利用多媒体教学设备，在师生互动的教学活动过程中，得到“多角形内角和”的结论。
从猜想的提出到问题的解决，不断引导学生在提出问题与解决问题的过程中，去探究、了解和认识知识点。
赵关丽重视教学与学生实际出发进行教学设计，重视贴近学生学习实际创设情境，在课堂教学中重视紧扣情境引导学生提出问题与解决问题。
由于问题的引入顺其自然、合情合理，这样学生的头脑在教师引导下动起来了，并积极主动地进行理性思维。
要培养具有创新意识和创新能力的学生，首先要有创造型的教师。
现代教育心理学认为，创造型的教师必须注重启发儿童的思维，鼓励他们自己去发现问题和提出问题，对问题的解决方案提出假设并亲自实践；创造型的教师应对儿童的提问表现出极大的兴趣并认真加以对待；对学生自发提出的问题，创造型的教师不是急于给出解答而是鼓励学生自主思考、合作交流并让他们自行寻求可能的解决办法。
多边形的内角和计算公式
多边形的内角和计算公式多边形是几何学中的重要概念，它由若干条线段组成，每两条线段之间的交点被称为顶点。
多边形的内角和计算公式是为了求解多边形内部所有角度之和的公式。
在本文中，我们将介绍多边形的内角和计算公式，以及一些相关的示例和应用。
一、多边形的内角和公式对于n边形（n≥3），其内角和S可以通过下面的公式进行计算：S = (n - 2) × 180°其中，n代表多边形的边数。
这个公式可以简单地解释为：对于一个n边形，可以将其划分为n-2个三角形，而每个三角形的内角和是180°，因此总的内角和就是(n-2)×180°。
二、示例为了更好地理解多边形的内角和计算公式，我们来看几个具体的示例。
1. 三角形三角形是最简单的多边形，由三条线段组成。
根据公式，三角形的内角和为：S = (3 - 2) × 180° = 180°这也证实了三角形内角和等于180°的事实。
四边形是由四条线段组成的多边形。
以矩形为例，根据公式，四边形的内角和为：S = (4 - 2) × 180° = 360°这意味着矩形的内角和等于360°，也即四个内角的和为360°。
3. 五边形（正五边形）五边形是由五条线段组成的多边形。
以正五边形为例，根据公式，五边形的内角和为：S = (5 - 2) × 180° = 540°这表明正五边形的内角和等于540°，也即五个内角的和为540°。
三、应用多边形的内角和计算公式在几何学中有广泛的应用，特别是在图形的角度测量和计算中。
以下是一些应用的示例：1. 角度测量通过知道多边形的边数和一个内角的大小，可以使用内角和公式计算出其他内角的大小。
这对于角度测量和绘图非常有用。
2. 多边形的判定根据多边形的内角和计算公式，可以判定给定的角度能否构成一个多边形。
多边形的内角和计算
多边形的内角和计算多边形是几何学中常见的概念，它由若干个直线段组成的封闭图形。
每个多边形都由一系列的顶点和边组成，而多边形的内角和是一个重要的属性。
在数学中，内角和也称为内角和定理，它表示了一个多边形内部的所有角的和。
对于任意的n边形（其中n大于等于3），内角和可通过以下公式计算：内角和 = (n - 2) × 180度通过这个公式，我们可以计算出任意多边形的内角和，只需知道多边形的边数n即可。
接下来，我们将以一些具体的多边形为例，来计算它们的内角和。
以三角形为例，三角形是最简单的多边形，它由三个顶点和三条边组成。
根据内角和公式，三角形的内角和为：内角和 = (3 - 2) × 180度 = 180度因此，三角形的内角和为180度，这是由于三角形的三个内角的角度之和总是等于180度。
接下来，让我们考虑一个四边形，四边形是由四个顶点和四条边组成的多边形。
根据内角和公式，四边形的内角和为：内角和 = (4 - 2) × 180度 = 360度同样地，四边形的内角和为360度，这就是说四边形的四个内角的角度之和总是等于360度。
接下来，我们考虑一个五边形，五边形是由五个顶点和五条边组成的多边形。
根据内角和公式，五边形的内角和为：内角和 = (5 - 2) × 180度 = 540度同样地，五边形的内角和为540度，这就是说五边形的五个内角的角度之和总是等于540度。
通过以上的例子可以看出，不论多边形的边数是多少，其内角和都可以通过内角和公式来计算。
这个公式的推导基于几何学的原理，可以得出多边形内角和的普适性。
总结起来，多边形的内角和计算是数学中一个基础且重要的内容。
通过内角和的计算，我们可以更加深入地了解多边形的性质和特点。
对于几何学和相关学科的学习和研究都起到了积极的推动作用。
通过以上的讨论，我们详细介绍了多边形的内角和的计算方法，并以三角形、四边形和五边形为例进行了具体的计算。
数学八年级下 第二十二章 四边形 22.1 多边形练习卷一和参考答案
数学八年级下 第二十二章 四边形22.1 多边形（1）一、选择题1．四边形ABCD 中，如果∠A+∠C+∠D=280°，则∠B 的度数是 （ ）A ．80°B ．90°C ．170°D ．20°2．一个多边形的内角和等于1080°，这个多边形的边数是 （ ）A ．9B ．8C ．7D ．63．内角和等于外角和2倍的多边形是 （ ）A ．五边形B ．六边形C ．七边形D ．八边形4．凸n 边形的内角中，锐角的个数最多有 （ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5．一个多边形的每一个顶点处取一个外角，这些外角中最多有钝角 （• ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6、各内角相等的n 边形的一个外角等于 （ ）A 、n n )2(1800-B 、n 0180C 、nn )2(3600- D 、n 0360 7、n 边形所有的对角线条数是 （ ）A 、2)1(-n nB 、2)2(-n nC 、22nD 、2)3(-n n 8、如果正n 边形的一个内角等于一个外角的2倍，那么n 的值是 （ ）A 、4B 、5C 、6D 、7二、填空题9. 五边形的内角和等于_______度．10．六边形的内角和等于_______度．11．正十边形的每一个内角的度数等于______，每一个外角的度数等于_______．12．如图，你能数出 个不同的四边形。
第12题13、如图所示，∠1=∠C+________，∠2=∠B+___________。
∠A+∠B +∠C +∠D+∠E= ________+∠1+∠2=________度。
14、一个多边形的每一个外角等于300，则这个多边形为___________ 边形。
15、当多边形边数增加一条边时，其内角和增加___________度 。
16、若正多边形的一个外角等于其一个内角的52，则这个多边形的内角和是___________ 。
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组成多边形的线段至少有三条，三角形是最简单 的多边形。 由 n 条线段组成的多边形就称为 n 边形，如四 边形、五边形、六边形等。
n3
多边形的组成
• 顶点：组成多边形的每一条线段
• 边：相邻的两条线段的公共端点
F A E B C D
• 内角：多边形相邻两边所成的角
• 对角线：联结多边形的两个不相邻顶点的线段
观察
• 由图片你抽象出什么几何图形？
三角形
观察
• 由图片你抽象出什么几何图形？
四边形
观察
• 由图片你抽象出什么几何图形？
观察
• 由图片你抽象出什么几何图形？
22.1（1） 多边形
三角形的定义
由不在同一直线上的三条线段 首尾顺次联结所组成的封闭图形
多边形的定义
由不在同一直线上的 一些 线段 首尾顺次联结所组成的封闭图形
巩固练习
• 1、如果一个多边形的边数增加1，那么它的内角和 将 .
• 2、求十二边行的内角和 • 3、已知一个多边形的内角和为2160°,求这个多边 形的边数
小结
• 1、多边形及顶点、边、内角、对角线 • 2、内角和定理
多边形的内角和度数
3 4 5
0 1 2
1 2 3
180° 2×180°= 360° 3×180°= 540°
6
┋
3 n-3
4 n-2
4×180°= 720° （n-2）×180°
n
照猫画虎
我们也可以利用不同的方法分割多边形，得到 n 边形的内角和公式
p
p
最终结论
n边形内角和等于
（n－2）× 180°
总结
n 边形有
n n n
个顶点
条边 个内角
n 边形从一个顶点出发有
n-3
条对角线
探索
• 已知三角形的内角和为180°
• 四边形的内角和为多少？ • 五边形的内角和为多少？ • 六边形的内角和为多少？ ┋ • n 边形的内角和为多少？
完成表格，总结规律
边数(n) 图像
从一个顶点出发的 分成的三角形的个数 对角线数