1多边形的内角和优质课件PPT

多边形内角和
3 -3 = 0
3 -2 = 1
180º
4 -3 = 1
4 -2 = 2
360º
5 -3 = 2
5 -2 = 3
540º
6 -3 = 3
6 -2 = 4
720º
······
n -3
······
n -2
······
（ n -2 ）·1880º
从n 边形的一个顶点出发，可以作（n -3）条对角 线，它们将n 边形分为（n -2）个三角形，这（n -2） 个三角形的内角和就是n 边形的内角和，所以，
E
B
D
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C
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思考
你能从四边形、五边形、六边形……的内角和的研究过 程获得启发，发现多边形的内角和与边数的关系吗？能 证明你发现的结论吗？
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归纳
边数
图形
三角形 四边形 五边形 六边形
······ ······
n 边形 2021/02/17
从多边形的一个顶点 分割出三角 引出的对角线条数 形的个数
=（∠BAC +∠BCA +∠B）
D
+ （∠DAC +∠DCA +∠D），B
C
= 180° 2021/02/17 + 180° = 360° ．
3
探究2 你能利用三角形内角和定理证明你的结
论吗？
从四边形的一个顶点出发，
A
可以作___1__条对角线，它们将
四边形分为 2 个三角形，
D
四边形的2内角和3等60于
x = 60
x = 95
22
2.下列各个度数中，不可能是多边形的内角和的是（ A）
A.600° B.720° C.900° D.1 080°
3.若多边形的边数由3增加到5，则其外角和的度数（ C ）
A.增加 B.减少 C.不变 D.不能确定
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A
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精讲例题
例3 一个多边形的内角和等于它的外角和的3 倍，它
是几边形？
解：设这个多边形为 n 边形，
根据题意，可列方程 （ n -2）×180°=3×360°．
解得 n =8． 答：它是八边堂练习
1. 求出下列图形中 x 的值.
x = 65
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形的外角和是360°．得出三角形的外角和是360°有
多种方法．
如图，你能说说怎样由外角与相邻内E 角互补的关系
得出这个结论吗？
Ａ
1
B2 F
3
C
D
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由 ∠1 +∠BAE =180°，∠2 +∠CBF =180°，
∠3 +∠ACD =180°，
得 ∠1 +∠2 +∠3 +∠BAE +∠CBF +∠ACD =540°．
n 边形的内角和等于（n -2）×180°．
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练习巩固
例1 填空. （1）十边形的内角和为 1440 °． （2）已知一8 个多边形的内角和为1 080°，则它的边数
为______．
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例2 如果一个四边形的一组对角互补，那么另一
组对角有什么关系？
解：如图，四边形ABCD 中， ∠A +∠C =180°．
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我们也可以在问题4 的基础上这样理 解多边形外角和等于360°．
如图，从多边形的 一个顶点A 出发，沿多 边形的各边走过各顶点， 再回到点A，然后转向 A 出发的方向．
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在行程中转过的各
个角的和，就是多边形
的外角和．由于走了一
周，所转过的各个角的
和等于一个周角，所以
多边形外角和等于 360°．
由 ∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°，得 ∠BAE +∠CBF +∠ACD
= 540° - 180°
E
Ａ
1
= 360°．
B2 F
3
C
D
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问题2 如图，你能仿照上面的方法求四边形的外
角和吗？
由 ∠BAD +∠1 =180°， ∠ABC +∠2 =180°，
Ａ1 B
2
∠BCD +∠3 =180°，
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问题情境
回忆 长方形、正方形的内角和等于__3_6_0_°_. 思考 任意一个四边形的内角和是否也等于360°呢？
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合作探究
探究1 你能利用三角形内角和定理证明你的
已知：如图结，论在吗四？边形ABCD中.
证明：连接对角线AC，
A
∠BAD +∠B +∠BCD +∠D
问题3 五边形的外角和等于多少度？ 六边形呢？ 仿照上面的方法试一试．
5× 180°-（5-2）×180°= 2× 180°=360°
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6× 180°-（6-2）×180°= 2× 180°=360°
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类比求三角形、四边形的外角和 的方法求出五边形的外角和是360°， 六边形的外角和是360°．
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问题4 你能仿照上面的方法求n 边形（n 是不小于3 的任意整数）的外角和吗？
因为n 边形的每个内角与它相邻的外角是邻补角，它们 的和是180°，所以n 边形内角和加外角和等于n ·180°，
所以，n 边形的外角和为：
n ·180°-（n -2）·180°= 360°．
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∠ADC +∠4 =180°，
D4
得∠BAD + ∠1 + ∠ABC
3C
+∠2 +∠BCD +∠3 +∠ADC +∠4 =180°×4．
由∠BAD +∠ABC +∠BCD +∠ADC =180°×2，得
∠1 +∠2 +∠3 +∠4 =180°×4 - 180°×2 =360°．
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B
C
180°×____=
°．
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探究3 类比前面的过程，你能探索五边形的内角和
吗？六边形呢？
如图，从五边形的一个顶点 A 出发，可以作 2 条对角线，它 们将五边形分为__3__个三角形，
五边形的内角和3 等于 540
B
180°× =
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°．
E D
C
5
如图，从六边形的一个顶点出发，可以作___3__条 对角线，它们将六边形分为___4__个三角形，六边形的 内角和等于180°×A__4__=___7_2F_0__°．
∵ ∠A +∠B +∠C +∠D =（4 - 2）×180° =360°，
∴ ∠B +∠D =360°-（∠A + ∠C） =360°- 180° =180°．
C D
A
B
如果2021四/02/17边形的一组对角互补，那么另一组对角也互补11 .
探究新知
问题1 我们知道，三角形的内角和是180°，三角