云南省昆明市第一中学2020届高三第八次考前适应性训练 数学(理)试题
云南省昆明市第一中学2020届高三第八次考前适应性训练数学（理）试题一、选择题:本题共12小题，每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.欧拉公式cos sin ixe x i x =+(其中i 为虚数单位)是由著名数学家欧拉发现的,当x=π时,10,ieπ+=这是数学里最令人着迷的一个公式，数学家们评价它是“上帝创造的公式”.根据欧拉公式，若将3ie π所表示的复数记为z,则z i = 13.22A i +13.22B i -31.22C i -31.22D i + 2.已知集合A={x||x|<3,x ∈N },集合B={-1,0,1,2},则图中阴影部分所表示的集合为A.{1,2}B.{0,1,2}C.{-1,1,2}D.{-1,0,1,2}3.函数()sin ||xf x e x =⋅的大致图象是4.已知向量(2,3),(,4)a b x ==-，且a 与b 共线,则b 在a 方向上的投影为413.A.13B.13C -413.D 5.已知点(3)A -在双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的渐近线上，则该双曲线的离心率为.3AB.2C.3D.46.△ABC 的三个内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,若2sin sin cos 2,a A B b A a +=则ba= A.1.2B.3CD.27.执行如图所示的程序框图,若输出的5,i =则图中判断框内可填入 的条件是4.?5A S ≤7.8B S ≤？9.10C s ≤？15.?16D S ≤8.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如18=7+11,在不超过18的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于18的概率是2.21A3.28B1.14C1.7D 9.已知正三棱柱111ABC A B C -的各棱长都相等，D 是侧棱1BB 的中点,则异面直线1AB 与1C D 所成的角的大小为A.30°B.45°C.60°D.90°10.已知函数f(x)=sinωx -cosωx 在(,)42ππ上单调递减,若ω>0,则ω的取值范围是7.[2,]2A7.[3,]2BC.[3,4]7.[,4]2D11.已知定义在R 上的偶函数f(x)满足f(x)=f(2-x),且x ∈[0,1]时,2(),f x x =则11()2f -= A.-14B.12C.34D.112.已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,,F F B ,C 分别为椭圆的上、下顶点,直线2BF 与椭圆的另一个交点为D,若127cos ,25F BF ∠=则直线CD 的斜率为 24.25A14.25B12.25C7.25D 二、填空题:本题共4小题，每小题5分,共20分。
13.曲线()ln xf x e x =⋅在点(1,0)处的切线方程为____14.若直线kx-y+k=0与不等式组1010220y x y x y -≤⎧⎪--≤⎨⎪+-≥⎩表示的平面区域有公共点，则实数k 的取值范围是_____15.已知5sin cos 5θθ+=且θ∈(0,π),则3tan()4πθ-=____16.在三棱锥A-BCD 中,AB=AC,DB=DC,AB+BD=4,AB ⊥BD,则三棱锥A-BCD 的外接球体积的最小值为____ 三、解答题:共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。
第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
(一)必考题:共60分 17.(12分)已知数列{}n a 满足1*123(1)242,.2n n n n a a a a n -+++++=∈N (1)求{}n a 的通项公式; (2)求{}n a 的前n 项和.n S18.(12分)某厂生产不同规格的一种产品，根据检测标准，其合格产品的质量y(g)与尺寸x(mm)之间近似满足关系式(,b y c x b =⋅c 为大于0的常数).按照某项指标测定，当产品质量与尺寸的比在区间(,)97e e内时为优等品.现随机抽取6件合格产品,测得数据如下:（1）现从抽取的6件合格产品中再任选3件，记ξ为取到优等品的件数，试求随机变量ξ的分布列和期望； （2）根据测得数据作了初步处理，得相关统计量的值如下表：根据所给统计量,求y 关于x 的回归方程; 附:对于样本(,)(1,2,,6)i i v u i =,其回归直线u=b·v+a 的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:121()()ˆˆˆ,, 2.7183()niii nii v v uu bau bv e v v ==--==-≈-∑∑19.(12分)如图,三棱柱111ABC A B C -的底面是等边三角形1,A 在底面ABC 上的射影为△ABC 的重心G.(1)已知1,AA AC =证明:平面1ABC ⊥平面11A B C ；(2)已知平面11A B BA 与平面ABC 所成的二面角为60°,G 到直线AB 的距离为a,求锐二面角111B AC C --的余弦值.20.(12分)已知点F(0,1),直线l:y=-1,点E 为l 上一动点,过E 作直线12,l l l ⊥为EF 的中垂线1,l 与2l 交于点G,设点G 的轨迹为曲线Γ.(1)求曲线Γ的方程;(2)若过F 的直线与Γ交于A,B 两点,线段AB 的垂直平分线交y 轴于点P,求|FP|与|AB|的比值.21.(12分)已知函数f(x)=ln(1+x)+sinx-ax,a>0. (1)当a=2时,证明:f(x)≤0;(2)若f(x)在(-1,+∞)只有一个零点,求a.(二)选考题:共10分。
请考生在第22、23题中任选一题作答。
如果多做，则按所做的第一题计分。
22.(选修4-4:坐标系与参数方程](10分)以直角坐标系的原点O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴,建立极坐标系，并在两种坐标系中取相同的长度单位.已知圆1C 和圆2C 的极坐标方程分别是ρ=4cosθ和ρ=2sinθ.(1)求圆1C 和圆2C 的公共弦所在直线的直角坐标方程;(2)若射线OM:θ=α与圆1C 的交点为O 、P,与圆2C 的交点为O 、Q,求|OP|·|OQ|的最大值.23.[选修4-5:不等式选讲](10分)已知a,b,c 分别是△ABC 的三个内角A,B,C 的对边. (1)若a,b,c 成等比数列，证明:2222()a b c a b c ++>-+；(2)若a+b<2c,证明:c a c <<2020届昆一中高三联考卷第八期联考理科数学参考答案及评分标准命题、审题组教师 杨昆华 张宇甜 顾先成 李春宣 王海泉 莫利琴 蔺书琴 张远雄 崔锦 杨耕耘一、选择题1. 解析：依题意i31e cosisin332z πππ==+=，则1i i 2z =-，选C. 2. 解析：{}{}{}3,33,0,1,2A x x x x x x =<∈=-<<∈=N N ，易知图中阴影部分对应的集合为AB ，BCB 1DE{}0,1,2AB =，选B.3. 解析：函数()=e sin x f x x ⋅为非奇非偶函数，排除B ，C 选项；当0x =时，()00f =，所以选A.4. 解析：由已知：a 与b 共线，可得83x =-，所以b 在a 方向上的投影为：cos =a b b a b a ⋅=，， 选D.5.解析：因为ba-= 所以2c e a ==，选B ． 6. 解析：由正弦定理得：22sin sin sin cos 2sin A B B A A +=，所以22sin (sin cos )2sin B A A A ⋅+=，即：sin 2sin B A =，所以sin 2sin b Ba A==，选D ． 7. 解析：1,0i S ==；1,22S i ==；2113,3242S i =+==；3317,4482S i =+==；47115,58162S i =+==，此时输出，结合选项，选C.8. 解析：不超过18的素数有2,3,5,7,11,13,17，随机选取两个不同的数，其和等于18的情况有5,13和7,11两种，所以概率为272221C =，选A ．9. 解析：设BC 的中点为E ，则AE ⊥平面1BC ，连结1B E ，则11B E C D ⊥，由三垂线定理得11AB C D ⊥，选D ．10. 解析：因为())4f x x πω=-，因为0ω>，由已知得：24πππω-≤，所以4ω≤，由于()44424x πωππωππω-∈--，，所以4423242ωπππωπππ⎧-≥⎪⎪⎨⎪-≤⎪⎩，解得732ω≤≤，选B ． 11. 解析：()()()=2=f x f x f x --，可推出()f x 为周期为2的函数，所以1111116=2224f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，选A.12. 解析：有题意可知，127cos 25F BF ∠=，所以24cos 5bOBF a∠==，令5,40a t b t t ==>，(),则3c t =，所以43BD k =-,所以2222216=25D D D BD CD D D D y b y b y b b k k x x x a -+-===--，所以1225BD k =，选C.二、填空题13. 解析：因为()e e ln xx f x x x'=+⋅，由导数的几何意义知()1e k f '==，故曲线()e ln x f x x =⋅在点()1,0处的切线方程为()e 1y x =-.14. 解析：直线0kx y k -+=过定点()10-，， 不等式组表示的区域如图：可知k 的取值范围是：117⎡⎤⎢⎥⎣⎦，. 15. 解析：由21sin cos 5θθ+=（）得：42sin cos 05θθ=-<，所以()2πθπ∈，，由29sin cos 12sin cos 5θθθθ-=-=（），所以35sin cos θθ-=，由5sin cos 35sin cos θθθθ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩得：25sin θ=， 5cos θ=-，所以tan 2θ=-， 所以3tan 11tan()41tan 3πθθθ+-==--． 16. 解析：由题意可得，△ABD ≅△ACD ,所以AC CD ⊥,所以AD 为三棱锥A BCD -的外接球的直径，设=AB x ，则4BD x =-，所以2222(4)(4)82x x AD x x +-=+-≥=，所以三棱锥A BCD -的外接球的半径min =2R ，所以三棱锥A BCD -的外接球体积的最小值为82π三、解答题 （一）必考题17. 解析：（1）1n =时，11a =2n ≥时，由1123(1)2422n n n n a a a a -++++⋅⋅⋅+=…① 可得21231(1)2422n n n na a a a ---+++⋅⋅⋅+=…② ①-②，12n n a n -=，11()2n n a n -=⋅因为1a 适合11()2n n a n -=⋅，所以{}n a 的通项公式为11()2n n a n -=⋅. ………6分（2）011121111()2()()222n n n S a a a n -=++⋅⋅⋅+=⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯， …③1211111()2()()2222n n S n =⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯，…④ ③-④得01111111()()()()22222n n n S n -=++⋅⋅⋅+-⨯111()112()12212nn n S n -=-⨯-，114(2)()2n nS n -=-+⋅. ………12分 18. 解：（1）由已知，优等品的质量与尺寸的比在区间e e ,97⎛⎫⎪⎝⎭内，即()0.302,0.388y x ∈，则随机抽取的6件合格产品中，有3件为优等品，3件为非优等品 ， 现从抽取的6件合格产品中再任选3件，则取到优等品的件数0,1,2,3ξ=， ()0333361020C C P C ξ===，()1233369120C C P C ξ===， ()2133369220C C P C ξ===，()3033361320C C P C ξ===． ξ的分布列为所以()199130123202020202E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=． ………6分 （2）解：对b y c x =⋅（,0b c >）两边取自然对数得ln ln ln y c b x =+，令ln ,ln i i i i v x u y ==，得u b v a =⋅+，且ln a c =，根据所给统计量及最小二乘估计公式有，1222175.324.618.360.2710.542101.424.66ni i i ni i v u nvu b v nv ∧==--⨯÷====-÷-∑∑， 118.324.6612a u b v ∧∧⎛⎫=-=-⨯÷= ⎪⎝⎭，得ln 1ˆˆa c ==，故ˆe c=， 所求y 关于x 的回归方程为0.5e y x =． ………12分19.（1）证明：连接CG 并延长交AB 于M ，由已知得1A G ⊥平面ABC ，且CM AB ⊥， 所以1A G ⊥AB ，因为1CMA G G =，所以AB ⊥平面1A MC ，所以AB ⊥1A C ，因为四边形11A ACC 是平行四边形，且1AA AC =， 所以四边形11A ACC 是菱形， 所以11A C AC ⊥，因为1ABAC A =，所以1A C ⊥平面1ABC ，因为1A C ⊂平面11A B C ，所以平面1ABC ⊥平面11A B C . ………5分 （2）解：连接1A B ，因为1A 在底面ABC 上的射影是ABC ∆的重心G ，所以1Rt A GA ∆与1Rt A GB ∆全等，所以11A A A B =，因为CM AB ⊥，所以点M 为AB 中点，所以1A M AB ⊥， 故平面11A B BA 与平面ABC 所成的二面角的平面角为160A MG ∠=， 由GM a =，得3MC a =，AB =，1A G =，故可以M 为原点，MB ，MC 分别作为x 轴、y 轴、建立空间直角坐标系，则,0,0)B，1(0,)A a，1,)B a, 1,4)C a ,(0,3,0)C a ,所以11,0,0)A B =，1(0,2)CA a =-，11(3,3,0)A C a a =，设()1111,,n x y z =为平面11A B C 的一个法向量，则1111111123020n A B n CA ay ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，可取()10,3,2n =，设平面11A CC 的一个法向量为()2222,,n x y z =，则21122212233020n AC ax ay n CA ay ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，可取()2n =-，所以1212127co ,s n n n n n n⋅〈〉==⋅， 即锐二面角111B A C C --. ………12分20. 解：(1)由条件可知GE GF =，即点G 到l 的距离等于点G 到点F 的距离， 所以点G 的轨迹是以l 为准线，F 为焦点的抛物线， 其方程为：24x y =.………5分（2）设线段AB 的垂直平分线与AB 交于点M ，分别过点,A B 作11,AA l BB l ⊥⊥，垂足为11,A B ， 再过点A 作1AC BB ⊥，垂足为C ，因为,PFM ABC PMF ACB ∠=∠∠=∠， 所以PFM ∆∽ABC ∆，所以FP FM ABBC=，设AF m =，BF n =(不妨设n m >)，由抛物线定义得1AF AA m ==， 1BF BB n ==，所以BC n m =-， 而22m n n mFM AM AF m +-=-=-=， 所以122n mFP FM AB BC n m -===-.………12分21. 解：（1）当2a =时，()()ln 1sin 2f x x x x =++-，令()()1cos 21g x f x x x '==+-+，则()()21sin 1g x x x '=--+， 若10x -<≤，则()211sin 1x x ≥>-+，则()0g x '<，则()g x 在(]1,0-上单调递减，又()00g =，故()()0g x f x '=≥，故()f x 在(]1,0-上单调递增， 又()00f =，故对任意()1,0x ∈-，()0f x <恒成立； 若0x ≥，因为111x<+且cos 1x ≤，所以()0f x '<，则()f x 在[)0,+∞上单调递减，又()00f =， 故对任意()0,+x ∈∞，()0f x <恒成立.综上，当2a =时，对任意()1,-+∞， ()0f x ≤恒成立. ……… 5分 （2）当2a >时，()1cos 1f x x a x'=+-+在(]1,0-上单调递减，又()020f a '=-<， 又1110a -<-<则，11(1)cos(1)0f a a-=->，结合零点存在性定理知在()1,0-内存在实数1x 可使得()10f x =，又()00f =，与()f x 在()1,-+∞只有一个零点矛盾；当02a <<时，()1cos 1f x x a x '=+-+在[]0,π上单调递减，又1103213f a ππ⎛⎫'=--< ⎪⎝⎭+， 结合零点存在性定理知在0,3π⎛⎫⎪⎝⎭内存在实数m 可使得()0f m '=，故当[]0,x m ∈时()0f x '>，即()f x 在[]0,m 上单调递增，又()00f =，故()0f m >；构造函数()2111e 22x F x x x =++-，1x ≥，则()1()e 2x G x F x x '==+-，则()1e 0x G x '=-<， 故()G x 在[)1,+∞单调递减，又3(1)e 02G =-<，故()0G x <，故()F x 在[)1,+∞单调递减，- 11 - 又(1)2e 0F =-<，故()0F x <即2111e 022x x x ++-<，对任意1x ≥恒成立， 因为02a <<，所以21a >，故20F a ⎛⎫< ⎪⎝⎭，即22211e 0a a a ++-<，即2211e 0a a a ⎛⎫++-< ⎪⎝⎭， 因为2e 1e 13a m π->->>，且222222e 1sin e 1e 111e 0a a a a f a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+---<++-< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 即()2e 10a f f m ⎛⎫-⋅< ⎪⎝⎭，由零点存在性定理知：在2,e 1a m ⎛⎫- ⎪⎝⎭内存在实数2x 可使()20f x =， 又()00f =，与()f x 在()1,-+∞只有一个零点矛盾；综上，要使()f x 在()1,-+∞只有一个零点，则2a =. ……… 12分（二）选考题：第22、23题中任选一题做答。
云南省昆明市第一中学2022届高三第八次考前适应性训练理科数学试题及答案
机密＊启用前【考试时间：3月30日15: 00一17:00】昆明市第一中学2022届高中新课标高三第八次考前适应性训练理科数学注意事项：1. 答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效。
3.非选择题的作答：用黑色签宇笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4.选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上的指定的位置用2B铅笔涂黑。
答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
5.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共切分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合A=jl,2\ ,B= j x[a x-2=0\, 若B�A,则由实数a组成的集合为A.j1 !B. 121C.l 1,2\D.J0,1,2\2.若(1+ m i) (m -i) > 0,其中i为虚数单位，则实数m的值为A.0B.1C.2D.33.已知a=3°·3 ,b =(½)-o.4 ,c =log40. 3, 则A.b>a>cB. a >c >bC. c > b > aD. c >a >b4.在“绿水青山就是金山银山”发展理念的指导下，治沙防沙的科技实力不断提升，并为沙漠治理提供了有力的资金和技术支持．现在要调查某地区沙漠经过治理后的植物覆盖面积和某野生动物的数量，将该地区分成面积相近的150个地块，用简单随机抽样的方法抽出15个作为样区，调查得到样本数据(x i,y.) (i=l,2,3, …，15)其中x i和Y,分别表示第i个样区的植物覆盖面积（单位：公顷）和这种野生动物的数量，经统计得LX i=60立江=1200, 则该地区的植物覆盖面积和这种野生动物数量的估计值分别为6.尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经知道地震时释放出的能量E(单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为lg E=4. 8+ 1. 5M. 2011年3月11日，日本东北部海域发生里氏9.0级地襞，它所释放出来的能量大约是2022年1月2日在云南丽江市宁范县发生5.5级地震所释放能噩的倍数为A.lQ4B.10sC.105D.1047.已知点O为三角形ABC所在平面内一点，且环.01仁ciB.玩仁玩;. 成，则点O一定为三角形ABC的A.外心B.垂心C.内心D.重心A.600, 1200B.600 12000，5.函数f(x)= 1 -9尤3'(x4+1) 的部分图象大致为y l 2）＇ �2C.60,1200 D.60,120008.巳知圆周率'TT满足等式卫习1. 1 1 1 1 1 1----—+---+---+· ..4＋3 5 7 9 11 13 15' 如图是计算'TT的近似值的程序框图，图中空白框中应填入A.S =S +(-1)k2k -1B.S=S+ (-1) k2k + 1C.S =S(-1/2k -1D.S =S-(-1) k2k + 1c-o·-19.已知数列位.l,l炉满足a.==+ 1,b几=(-1) "m -1, 若a,.>b. 对任意nEN*恒成立，则实数nm的取值范围是1A.[ -1 , 2)B.[ -1 ,1)C.[ -2 ,1)3D.[ -2 -)'2210. 已知凡，凡分别是椭圆C:气＋乌=l(a>b>O)的左、右焦点，P,Q为C上关于坐标原点对称的两a b点，且I PQ I=I F l F2 I, I PF l I=3I PF2 I, 则C的离心率为顶顶顶邓A.-B.-C.D.-16 10 8 411已知函数f(x)= I s in(½x +告）+ sin(节-½寸I.有下述四个结论功(x)的最小正周期为4'TT;@f(x)的图象关于直线x=卫对称；3Xx冗@J(x)的最大值为丘；其中所有正确结论的编号为＠知）在停叶上单调递减x A.少＠ B.心＠＠） C.(2)@D.(D(2)@ -2 -I-2-2-1-2-212.在三棱锥P-ABC中，PC=8,AC =3 ,BC =8, L AC E =60°, 点P到三角形ABC三边的距离相等，且点P在平面ABC上的射影落在三角形ABC内，则CP与平面ABC所成角的正切值为A B c DA 平互3BC ../IT D. 尽理数．第1页（共4页）理数·第2页（共4页）昆明一中2022届高三第八次联考参考答案（理科数学）命题、审题组教师杨昆华张波杨仕华张兴虎王海泉卢碧如江明丁茵蔺书琴杨耕耘李建民一、选择题题号123456789101112答案D B A B A A B C D D C C1.解析：由题意，当=B ∅时，a 的值为0；当{}=1B 时，a 的值为2；当{}=2B 时，a 的值为1，选D ．2.解析：由题意得()()21i i =2(1)i 0m m m m +-+->，得22010m m >⎧⎨-=⎩，得1m =，选B ．3.解析：由0.40.0.4434log 0.3log 131303a c b -=<=<<=⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以b a c >>，选A ．4.解析：该地区的的植物覆盖面积估计值为600，这种野生动物数量的估计值为15111501200015i i y =⨯=∑，选B .5.解析：因为函数()f x 的定义域为R ，()()()()4419913131x x x x f x f x x x -----===-⎡⎤+-+⎣⎦，所以函数()f x 是奇函数，故排除C 、D ，又()()4194103311f -==-<+，排除B 选项，选A ．6.解析：设日本地震释放的能量为1E ，云南地震释放的能量为2E ，则1lg 4.8 1.5918.3E =+⨯=，2lg 4.8 1.5 5.513.05E =+⨯=，所以2118.31413.052101010E E ==，选A .7.解析：由OA OB OB OC ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r ，得()0OB OA OC ⋅-=u u u r u u u r u u u r ，即0OB CA ⋅=u u u r u u u r ，所以OB CA ⊥；同理可得OA BC ⊥（或OC AB ⊥），所以点O 一定为三角形ABC 的垂心，选B .8.解析：模拟程序的运行过程知，1k =，0S =，满足条件k N <；1(1)01211S -=-=⋅-，2k =，满足条件k N <；2(1)1122113S -=---=⋅，3k =，满足条件k N <；…根据以上分析判断空白处应填写(1)21kS S k -=--，选C ．9.解析：当n 为奇数时，11n a n=+，1n b m =--，由n n a b >对任意*N n ∈恒成立得11m --≤，即2m ≥-；当n 为偶数时，11n a n =-，1n b m =-，由n n a b >对任意*N n ∈恒成立得32m <，所以322m -≤<，选D .10.解析：由题意132PF a =，212PF a =，根据椭圆的对称性知线段PQ 与12F F 互相平分，且12PQ F F =可得四边形12PFQF 为矩形，得12=90F PF ∠︒，在Rt △12PF F 中，2221212PF PF F F +=得()2223222a a c ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得221016c a =，4e =，选D ．11.解析：()1π1πsin cos 212212f x x x ⎛⎫⎛⎫=+++== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=()f x 的最小正周期为2ππ2T ==，①错误；令π2π3x k +=，k Z ∈，所以26k x ππ=-，k Z ∈，令π263k ππ-=，得1k =，②正确；当π22π3x k +=，k Z ∈，()f x，③正确；当π,π2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，π4π7π2,333x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，()f x 先减后增，④错误，选C ．12.解析：设点P 在平面ABC 内的射影为O 点，因为点P 到三角形ABC 三边的距离相等，且点P 在平面ABC 上的射影落在三角形ABC 内，则点O 到三角形ABC 三边的距离相等，所以点O 为三角形ABC 的内心，设三角形ABC 的内切圆的半径为r ，三角形ABC 的内切圆与边BC 切于点D ，因为3AC =，8BC =，60ACB ∠=o ，所以7AB =，又()11sin 6022ABC S AC BC AC BC AB r ∆=⋅⋅=++⋅o，所以3r =，在直角三角形OCD 中，90CDO ∠=o ，30OCD ∠=o，所以3CO =，因为PO ⊥平面ABC ，所以PCO ∠为CP 与平面ABC 所成的角，因为8PC =，所以PO =，所以CP 与平面ABC 所成角的正切值为PO CO ==C .二、填空题13.解析：如图，函数2log y x =与3y x =-交于点(2,1)，所以()M x 在2x =时有最小值，即(2)1M =．14.解析：当1n =时，12a =；当2n ≥时，由11222n n n n a --=-=，所以12,12,2n n n a n -=⎧=⎨≥⎩.15.解析：如图，121(1)x dx S --=⎰阴，而2349212500S ⨯=⨯⨯阴，所以 1.396S =阴.16.解析：设1F A t =，由12AB F A =u u u r u u u r ，则2AB t =，由双曲线定义知232F B t a =-，22F A a t =+，因为向量1F B u u u r 与向量2BF u u u u r 的夹角为120o ，所以有1260F BF ∠=o ，在三角形2ABF 中，2222222cos 60F A AB BF AB BF =+-⋅o ，即()()()2221243222322a t t t a t t a +=+--⋅-⋅解得2t a =，在三角形12BF F 中，2221212122cos 60F F BF BF BF BF =+-⋅⋅o ，即2249c t =()()213223322t a t t a +--⋅⋅-⋅，把2t a =代入，化简得227c a =，即227c a =，所以椭圆的离.三、解答题（一）必考题17.解：（1）因为8cos (cos cos )+=C a B b A c ，所以，由正弦定理得：8cos (sin cos sin cos )sin +=C A B B A C ，所以8cos sin()sin +=C A B C ，又因为π+=-A B C ，所以sin()sin 0+=≠A B C ，所以1cos 8=C .………6分（2）在△ACD 和△CDB 中，由余弦定理得：2222cos =+-⋅∠AD AC CD AC CD ACD ，①2222cos =+-⋅∠DB BC CD BC CD DCB ，②因为1cos 08=>C ，且0π<<C ，–11–11O所以3cos cos 4∠=∠==ACD BCD ，因为::2:1∆∆==ACD CDB S S AD DB ，又因为CD 平分∠ACB ，所以::2:1==AC BC AD DB ，所以，由①÷②解得：2=AC ，1=BC ，所以11sin 212288△=⋅⋅=⨯⨯⨯=ABC S AC BC C .………12分18.（1）e c dx y +=适宜作为年销售量额y 关于年研发资金投入量x 的回归方程类型．………2分（2）①由e c dx y +=，得ln y dx c =+，即w dx c=+$()()()121122158.21900.0065i ii ii x x w w d x x ==--==≈-∑∑，$ 3.20.06520 1.9c w d x =-=-⨯=$则w 关于x 的回归方程为µ0.065 1.9wx =+所以0.0651ln .9ˆx y =+，即0.065 1.9ˆe x y +=………8分②若下一年销售额y 需达到90亿元，则由$0.065 1.9e 90x y +==，得0.065 1.9ln 90 4.5x +=≈，4.5 1.9400.065x -≈=，所以预测下一年的研发资金投入量约为40亿元．………12分19.（1）证明：连结1A B ，1BC ，因为侧面11BB C C 为矩形，所以点D 为1BC 的中点，又因为点E 为11A C 的中点，所以DE ∥1A B ，因为1A B ⊂平面11AA B B ，DE ⊄平面11AA B B ，所以，DE ∥平面11AA B B .………6分（2）设11A B 的中点为O ，以O 为原点建立空间直角坐标系如图所示，则()0,0,0O ，()0,1,2A -，C ），1,122D ⎫⎪⎪⎝⎭，1,,022E ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，设(),,m x y z =u r 是平面CDE 的一个法向量，则因为()0,1,1ED =u u u r，1,22EC ⎫=⎪⎪⎝⎭u u u r ，所以，040y z y z ⎧⎪+=++=，令x=11x y z ⎧⎪⎨⎪⎩=⇒==-，所以，)1m =-u r，因为1,22AE ⎫=-⎪⎪⎝⎭u u u r ，所以4cos ,5m AE =u r u u u r ，所以，直线AE 与平面CDE 所成角的正弦值为45.………12分20.解：（1）设()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y ，,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，因为F 为△ABC 的重心，所以1231233203x x x p y y y ++⎧=⎪⎪⎨++⎪=⎪⎩，即123123320x x x p y y y ⎧++=⎪⎨⎪++=⎩，由抛物线的定义可知12336222p p p AF BF CF x x x p ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=+++++== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故2p =，所以抛物线E 的方程为24y x =；………5分（2）因为OC =，所以2222333345OC x y x x =+=+=，所以35x =-（舍）或31x =，当30y >时，32y =，由（1）可知12312330x x x y y y ++=⎧⎨++=⎩，即121222x x y y =-⎧⎨=--⎩，由2114y x =得()222(2)42y x --=-，即22224484y y x ++=-，由2224y x =得222220y y +-=，若21y =，则212x =-，11y =--，则112x =+，则AB ==若21y =-，则21x =+，11y =，则11x =，则AB ==当30y <时，32y =-，同理可知AB =.………12分21.解：（1）当1x =时，可得2111y =⨯-=，所以()1112b f a =--=，即22a b +=-，因为()1f x ax b x-'=-，即()112b f a =--='，即1a b +=-联立方程组221a b a b +=-⎧⎨+=-⎩，解得0a =，1b =-．………4分（2）由方程()2f x x λ=有唯一实数解，即2ln 0x x x λ--=有唯一实数解，设()2ln x x g x x λ--=，则()221x x g x x λ--='，0x >，令2210,0x x x λ--=>，因为0λ>，所以180λ∆=+>，且12102x x λ=-<，所以方程有两异号根，设10x <，20x >，因为0x >，所以1x 应舍去，当()20,x x ∈时，()0g x '<，()g x 在()20,x 上单调递减；当()2,x x ∈+∞时，()0g x '>，()g x 在()2,x +∞上单调递增，当2x x =时，()20g x '=，()g x 取最小值()2g x ，因为()0g x =有唯一解，所以()20g x =，则()()2200g x g x ⎧=⎪⎨='⎪⎩，即2222222ln 0210x x x x x λλ⎧--=⎨--=⎩，因为0λ>，所以222ln 10x x +-=，设函数()2ln 1h x x x =+-，因为当0x >时，()h x 是增函数，所以()0h x =至多有一解，因为()10h =，所以方程222ln 10x x +-=的解为21x =，将21x =代入222210x x λ--=，可得1λ=．………12分（二）选考题：第22、23题中任选一题做答。
云南省昆明市第一中学高三数学第八次考前适应性训练试
云南省昆明市第一中学2016届高三数学第八次考前适应性训练试题理（扫描版）OPCBA昆明市第一中学第八期月考 参考答案（理科数学）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
1.解析：因为p ⌝为：,32x ∃∈≤R ，选B ．2. 解析：由1211i zz-=-++得()()21211222i i i 3i i z ---===-+，所以z =C ． 3. 解析：因为23sin 3sin 2cos 212cos 122707000==--=+--︒︒︒︒，选A ．4. 解析：甲、乙、丙三人都没有被录取的概率为12341(1)(1)(1)34560P =-⨯-⨯-=，则三人中至少有一人被录取的概率为159160P P =-=，选D ． 5. 解析：由124PF PF +=，2212122cos604PFPF PF PF +-⋅︒=得12312PF PF ⋅=，124PF PF ⋅=，选A ．6. 解析：由a b ⊥r r 得2x =，所以向量()2,1b =r，由a r ∥c r 得2y =-，所以向量()1,2c =-r，因此()3,1b c +=-r r，所以b c +=r r B .7. 解析：如图，设圆锥的底面半径为r ，由正弦定理2sin AB r ACB =∠，即32sin 60r =o，求得r = 因为母线与底面所成的角的余弦值为35，所以3cos 5PAO ∠=，所以4tan 3PAO ∠=，得圆锥的高tan PO r PAO =⋅∠=所以2133V π=⨯=，选C ． 8. 解析：42n mx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的通项为44431442()()r r r r r r rr n T C mx C m n x x ---+==，令432r -=-得2r =，则222424C m n =，则224m n =，又0m >，0n >，得2mn =，则2224m n mn +≥=，选A ．9. 解析：当2x ππ<≤时，()tan sin tan sin 2tan y x x x x x =++-=，当32x ππ<<时，()tan sin tan sin 2sin y x x x x x =+--=，选D ． 10. 解析：根据程序框图，S 是求222231log log log 342n n +++++L 的和，所以()21log 2S n =-+，当()21log 25S n =-+<-时，有62n >，所以63n =，此时输出164n +=，选D .11. 解析：由三视图可知，该几何体是将一个棱长为4的正方体沿着如图所示的截面ABCDEF 截去之后剩下的几何体，表面积为()()24222233243622224+⨯⎡⎤⨯+⨯+⨯+⨯⨯=⎢⎥⎣⎦48123+，所以该几何体的表面积为48123+，选B.12. 解析：()2661f x x x '=-+，()1260f x x ''=-=得12x =，111123222842f ⎛⎫=⨯-⨯++= ⎪⎝⎭，所以()32232f x x x x =-++关于1,22⎛⎫⎪⎝⎭对称，所以1232015201442403020162016201620162f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋅⋅⋅+=⨯+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，选C ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
2020届云南省昆明市第一中学高三第八次考前适应性训练数学(理)试题(解析版)
2020届云南省昆明市第一中学高三第八次考前适应性训练数学（理）试题一、单选题1．欧拉公式i e cos isin x x x =+(其中i 为虚数单位)是由著名数学家欧拉发现的，当πx =时，πi e 10+=，这是数学里最令人着迷的一个公式，数学家们评价它是“上帝创造的公式”.根据欧拉公式，若将πi 3e 所表示的复数记为z ，则iz=( ) A ．13i 2+ B ．13i 22- C ．31i 2- D ．31i 22+ 【答案】C【解析】根据欧拉公式可得πi 3ππe cosisin 33z ==+，进而可求出i z .【详解】 依题意，πi 3ππ13ecosisin i 332z ==+=+，则3131i i 2i 2z =+=-. 故选：C. 【点睛】本题考查新定义，考查复数的除法运算，属于基础题.2．已知集合{3,}A x x x =<∈N ，集合{}1,0,1,2B =-，则图中阴影部分所表示的集合为( )A ．{}1,2B ．{}0,1,2C ．{}1,1,2-D ．{}1,0,1,2-【答案】B【解析】易知图中阴影部分对应的集合为A B I ，可求出集合A ，然后与集合B 取交集即可. 【详解】由题意，{|||3,}{|33,}{0,1,2}A x x x x x x =<∈=-<<∈=N N ，{}1,0,1,2B =-，易知图中阴影部分对应的集合为A B I ，{}0,1,2A B =I . 故选：B. 【点睛】本题考查集合的交集，考查绝对值不等式的解法，属于基础题. 3．函数()e sin ||x f x x =⋅的大致图象是( )A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】结合函数的奇偶性，并利用特殊值法，可排除错误选项，得出答案. 【详解】易知函数()e sin ||xf x x =⋅为非奇非偶函数，可排除B ，C 选项；当0x =时，()00f =，可排除选项D. 故选：A. 【点睛】本题考查函数图象的识别，考查学生的推理能力，属于基础题.4．已知向量(2,3),(,4)a b x ==-r r，且a r 与b r 共线，则b r 在a r方向上的投影为( ) A ．413B 13C ．13-D ．413【答案】D【解析】由a r 与b r共线，可求出x 的值，进而由b r 在a r 方向上的投影为a ba⋅r r r ，可求出答案. 【详解】由a r 与b r共线，可得4230x -⨯-=，解得83x =-，则85224333a b ⎛⎫⋅=⋅--⨯=- ⎪⎝⎭r r，a ==r所以b r 在a r方向上的投影为52cos ,a b b a b a -⋅===r r r r r r . 故选：D. 【点睛】本题考查共线向量的性质，考查向量的投影，考查学生的计算求解能力，属于基础题.5．已知点(1A -在双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线上，则该双曲线的离心率为( ) AB ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】由点A 在双曲线的渐近线上，可求出b a，进而由离心率c e a ==求出答案. 【详解】由题意，双曲线的渐近线方程为by x a=±，易知点(1A -在直线by x a =-b a=，所以双曲线的离心率2c e a ====.故选：B. 【点睛】本题考查双曲线的离心率及渐近线，考查学生的计算求解能力，属于基础题. 6．ABC V 的三个内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若2sin sin cos 2a A B b A a +=，则ba=( ) A ．1 BCD ．2【答案】D【解析】利用正弦定理将角化为边，并结合22sin cos 1A A +=，可将原式转化为sin 2sin B A =，由sin sin b B a A=，可求出答案.【详解】由正弦定理得22sin sin sin cos 2sin A B B A A +=，所以22sin (sin cos )2sin B A A A ⋅+=，即sin 2sin B A =，所以sin 2sin b B a A==. 故选：D. 【点睛】本题考查正弦定理的应用，考查学生的计算求解能力，属于基础题.7．执行如图所示的程序框图，若输出的5i =，则图中判断框内可填入的条件是( )A ．4?5S ≤B ．78S <？ C ．910s ≤？ D ．15?16S ≤【答案】C【解析】根据题意，运行该程序，当7,48S i ==时，判断框成立，当15,516S i ==时，判断框不成立，结合选项可选出答案. 【详解】由题意，运行该程序，输入1,0i S ==，判断框成立；则1,22S i ==，判断框成立；则2113,3242S i =+==，判断框成立；则3317,4482S i =+==，判断框成立； 则47115,58162S i =+==，判断框不成立，输出5i =. 结合选项，判断框内可填入的条件是910s ≤？. 故选：C. 【点睛】本题考查程序框图，考查学生的计算求解能力与推理能力，属于中档题.8．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如18711=+，在不超过18的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于18的概率是( )A ．221B ．328C ．114D ．17【答案】A【解析】不超过18的素数有7个，从中随机选取两个不同的数，其和等于18的情况有两种，结合古典概型的概率公式，可求出答案. 【详解】由题意，不超过18的素数有2,3,5,7,11,13,17，从中随机选取两个不同的数，其和等于18的情况有5,13和7,11两种，所以所求概率为272221C =. 故选：A. 【点睛】本题考查古典概型的概率求法，考查排列组合的应用，考查学生的计算求解能力，属于基础题.9．已知正三棱柱111ABC A B C -的各棱长都相等，D 是侧棱1BB 的中点，则异面直线1AB 与1C D 所成的角的大小为( ) A ．30° B ．45°C ．60°D ．90°【答案】D【解析】利用向量的线性运算，可得()()111111AB C D AB BB C B B D =+⋅+⋅u u u u r u u u r u u u r u u u u u u r u u r u u u r，将其展开，计算可求得110AB C D ⋅=u u u u ru u u r ，从而可知异面直线1AB 与1C D 所成的角的大小为90︒.【详解】设该三棱柱的棱长为a ，()()111111AB C D AB BB C B B D=+⋅+⋅u u u u r u u u r u u u r u u u u u u r u u r u u u r 11111111AB C B AB B D BB C B BB B D =⋅+⋅+⋅+⋅u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r ，因为111ABC A B C -是正三棱柱，所以111BB C B ⊥，1BB AB ⊥，所以10AB B D ⋅=u u u r u u u u r，1110BB C B ⋅=u u u r u u u u r ，即11AB C D ⋅u u u u r u u u r 1111AB C B BB B D =⋅+⋅u u u r u u u u r u u u r u u u u r ，又11C B CB =u u u u r u u u r ，所以2111cos602AB C B AB CB AB CB a ︒⋅=⋅=⋅=u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，且111121122BB B D B B B a B =⎛⎫⋅=⋅ ⎪⎝-⎭u u u r u u u u r u u u r u u u r ，所以22111111022AB C B BB B D a a ⋅+⋅=-=u u u r u u u u r u u u r u u u u r ，即110AB C D ⋅=u u u u ru u u r .故11AB C D ⊥u u u u r u u u r，即异面直线1AB 与1C D 所成的角的大小为90︒.故选：D.【点睛】本题考查异面直线夹角的求法，考查学生的空间想象能力与计算求解能力，属于中档题.10．已知函数()sin cos f x x x ωω=-在ππ,42⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，若0>ω，则ω的取值范围是( ) A ．7[2,]2B ．7[3,]2C ．[3，4]D ．7[,4]2【答案】B【解析】对函数()f x 化简，并结合函数的单调性可得πππ2π442ππ3π2π242k k ωω⎧-≥+⎪⎪⎨⎪-≤+⎪⎩，又ππ242T-≤，可求得04ω<≤，从而可知只有0k =时符合题意，即可求出ω的取值范围. 【详解】由题意，()πsin cos 2)4f x x x x ωωω=-=-，由0>ω，令ππ,42x ⎛⎫∈⎪⎝⎭，可得πππππ()44424x ωωω-∈--，，因为()f x 的单调递减区间为π3π2π,2π22k k ⎛⎫++ ⎪⎝⎭()k ∈Z ， 所以πππ2π442ππ3π2π242k k ωω⎧-≥+⎪⎪⎨⎪-≤+⎪⎩，即38742k k ωω≥+⎧⎪⎨≤+⎪⎩， 又因为πππ242T ω-≤=，所以04ω<≤，所以()047384Z 2k k k ωω<≤⎧⎪⎨+≤≤+∈⎪⎩，显然只有0k =时，符合题意， 故732ω≤≤. 故选：B. 【点睛】本题考查三角函数的恒等变换，考查三角函数的单调性的应用，考查学生的推理能力与计算求解能力，属于中档题.11．已知定义在R 上的偶函数()f x 满足()()2f x f x =-，且[]0,1x ∈时，2()f x x =，则11()2f -=( ) A ．14B ．12C ．34D ．1【答案】A【解析】结合函数()f x 的性质，可知函数()f x 是周期为2的函数，进而可得111116222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，从而可求出答案. 【详解】由()()2f x f x =-，可得()()2f x f x -=+，因为函数()f x 为定义在R 上的偶函数，所以()()f x f x =-， 则()()()2f x f x f x -=+=，即()()2f x f x +=， 所以函数()f x 是周期为2的函数， 则111116222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，因为[]0,1x ∈时，2()f x x =，所以1111224f f ⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：A. 【点睛】本题考查函数的周期性与奇偶性的应用，考查学生的计算求解能力，属于中档题.12．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，,B C 分别为椭圆的上、下顶点，直线2BF 与椭圆的另一个交点为D ，若127cos 25F BF ∠=，则直线CD 的斜率为( ) A ．2425B ．1425C ．1225D ．725【答案】C【解析】由127cos 25F BF ∠=，可得2cos OBF ∠的值，即可求出ba的值，设(),D m n ，可得22221m b a n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，从而可得22BD CD n b n b b k k m m a -+⋅=⋅=-，进而由BD b k c =-，可求出CD k . 【详解】由题意，22212cos 7o 251c s OB F F F B ∠==∠-，解得24cos 5OBF ∠=， 因为222222BF OB OF b c a =+=+=，所以2cos b OBF a ∠=，故45b a =. 设(),D m n ，则22221m n a b +=，即22221m b a n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则222222222216251BD CDm b b n b n b n b b k k m a m m m a --+-⋅=⋅===-=⎫⎪⎭-⎛- ⎝， 因为24cos 5OBF ∠=，所以24tan 3OF B ∠=，所以43BD k =-， 故1625124253CDk ==--.故选：C.【点睛】本题考查椭圆的几何性质，考查直线的斜率及二倍角公式的应用，考查学生的计算求解能力，属于中档题.二、填空题13．曲线()e ln x f x x =⋅在点()1,0处的切线方程为____. 【答案】()e 1y x =-【解析】对函数()f x 求导，可求出()1f '，又点()1,0在曲线()f x 上，结合导数的几何意义，可求出切线方程. 【详解】由题意，1(1)e ln10f =⋅=，因为()e e ln x xf x x x '=+⋅，所以()11e 1e ln1e 1f '=+⋅=，故曲线()e ln xf x x =⋅在点()1,0处的切线方程为()e 1y x =-.故答案为：()e 1y x =-. 【点睛】本题考查导数的几何意义的应用，考查学生的计算求解能力，属于基础题.14．若直线0kx y k -+=与不等式组1010220y x y x y -≤⎧⎪--≤⎨⎪+-≥⎩表示的平面区域有公共点，则实数k 的取值范围是_____. 【答案】1,17⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】作出不等式组表示的区域，如图阴影部分，可求得41,33A ⎛⎫⎪⎝⎭，()0,1B ，而直线0kx y k -+=恒过定点()10P -，，当直线0kx y k -+=与阴影部分有公共点时，PA PB k k k ≤≤.【详解】作出不等式组表示的区域，如图阴影部分，联立10220x y x y --=⎧⎨+-=⎩，可得41,33A ⎛⎫⎪⎝⎭， 联立10220y x y -=⎧⎨+-=⎩，可得()0,1B ，直线0kx y k -+=过定点()10P -，，直线PA的斜率为11 34713PAk==+，直线PB的斜率为10101PBk-==+，当直线0kx y k-+=与阴影部分有公共点时，1,17k⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.故答案为：1,17⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题考查线性规划，考查直线的斜率，考查数形结合的方法解题中的应用，属于中档题. 15．已知5sin cos5θθ+=且()0,πθ∈，则3πtan()4θ-=____.【答案】13-【解析】由5sin cos5θθ+=且()0,πθ∈，可求出35sin cosθθ-，进而可求出sin,cosθθ，从而可求出tanθ，结合3πtan1tan()41tanθθθ+-=-，可求出答案.【详解】由()21sin cos5θθ+=，可得142sin cos1055θθ=-=-<，所以π,π2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，即sin0,cos0θθ><，又()29sin cos12sin cos5θθθθ-=-=，所以35sin cosθθ-，即5sin cos35sin cosθθθθ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩25sinθ=，5cos5θ=-，所以tan 2θ=-，则3πtan tan3πtan 114tan()3π41tan 31tan tan 4θθθθθ-+-===--+.故答案为：13-. 【点睛】本题考查两角和与差的正切公式的应用，考查同角三角函数关系的应用，考查学生的计算求解能力，属于中档题.16．在三棱锥A BCD -中，AB AC =，DB DC =，4AB DB +=，AB BD ⊥，则三棱锥A BCD -外接球的体积的最小值为______． 【答案】823π 【解析】：先将三棱锥还原到长方体中，根据题意建立长方体的体对角线与AB 的函数关系式，求解体对角线的最小值，由此得出外接球的体积的最小值． 【详解】：如图所示，三棱锥A BCD -的外接圆即为长方体的外接圆，外接圆的直径为长方体的体对角线AD ，设AB AC x ==，那么4DB DC x ==-, AB BD ⊥,所以22AD AB DB =+．由题意，体积的最小值即为AD 最小，22(4)AD x x =+-，所以当2x =时，AD 的最小值为22，所以半径为2，故体积的最小值为82π．【点睛】：根据题意把三棱锥还原到长方体是解决三棱锥外接球问题的常见解法，不同题目背景，还原方法不一样，但三棱锥的四个顶点一定是长方体的顶点．三、解答题17．已知数列{}n a 满足()1*123(1)2422n n n n a a a a n -+++++=∈N L . （1）求{}n a 的通项公式；（2）求{}n a 的前n 项和n S .【答案】（1）11()2n n a n -=⋅；（2）114(2)()2n n S n -=-+⋅【解析】（1）由题意可得，()212311231(1)24(212)2422n n n n n na a a a n n a a a a -----+++⋅⋅++-⋅++++=L ，即可求出12n n a -的表达式，进而可求出n a 的表达式；（2）由11()2n n a n -=⋅，利用错位相减法，可求出{}n a 的前n 项和n S .【详解】（1）当1n =时，11a =，当2n ≥时，可得21231(1)2422n n n na a a a ---+++⋅⋅⋅+=， 则()212311231(1)24(212)2422n n n n n na a a a n n a a a a -----+++⋅⋅++-⋅++++=L ，即12n n a n -=，故11()2n n a n -=⋅.因为11a =，满足11()2n n a n -=⋅，所以{}n a 的通项公式为11()2n n a n -=⋅.（2）由题意，012112311111()2()3()()2222n n n S a a a a n -=+++⋅⋅⋅+=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯，则123111111()2()3()()22222nn S n =⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯， 则01111111()()()()22222n nn n S S n --=++⋅⋅⋅+-⨯，即11()112()12212nn n S n -=-⨯-，所以114(2)()2n n S n -=-+⋅.【点睛】本题考查通项公式的求法，考查利用错位相减法求数列的前n 项和，考查学生的计算求解能力，属于中档题.18．某厂生产不同规格的一种产品，根据检测标准，其合格产品的质量y (g )与尺寸x (mm )之间近似满足关系式(,by c x b =⋅c 为大于0的常数).按照某项指标测定，当产品质量与尺寸的比在区间e e(,)内时为优等品.现随机抽取6件合格产品，测得数据如下：（1）现从抽取的6件合格产品中再任选3件，记ξ为取到优等品的件数，试求随机变量ξ的分布列和期望；（2）根据测得数据作了初步处理，得相关统计量的值如下表：根据所给统计量，求y 关于x 的回归方程.附:对于样本(,)(1,2,,6)i i v u i =L ，其回归直线$$ub v a =⋅+$的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：121()()ˆˆˆ,, 2.7183()niii nii v v u u bau bv e v v ==--==-≈-∑∑. 【答案】（1）分布列见解析，32；（2）0.5y ex = 【解析】（1）优等品的质量与尺寸的比在区间e e(,)97内，可知随机抽取的6件合格产品中，有3件为优等品，可知ξ可取的值有0,1,2,3，分别求出对应的概率，进而可列出分布列并求出数学期望；（2）对b y c x =⋅（,0b c >）两边取自然对数得ln ln ln y c b x =+，令ln ,ln i i i i v x u y ==，得u b v a =⋅+，且ln a c =，进而根据所给统计量及最小二乘估计公式，可求出$,ba $，从而可求出ˆc，即可得到y 关于x 的回归方程. 【详解】（1）由题意，优等品的质量与尺寸的比在区间e e(,)97内，而e e0.302,0.38897≈≈， 所以随机抽取的6件合格产品中，有3件为优等品，3件为非优等品. 现从抽取的6件合格产品中再任选3件，则取到优等品的件数0,1,2,3ξ=，0333361(0)20C C P C ξ===，()1233369120C C P C ξ===， 2133369(2)20C C P C ξ===，()3033361320C C P C ξ===. 则ξ的分布列为：ξ12 3P120 920920120所以()199130123202020202E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=. （2）对b y c x =⋅（,0b c >）两边取自然对数得ln ln ln y c b x =+，令ln ,ln i i i i v x u y ==，得u b v a =⋅+，且ln a c =，根据所给统计量及最小二乘估计公式有，61621221675.324.618.30.271610.542101.424.666i i i ii v u vubvv ==--⨯⨯====-⨯-∑∑$， $118.324.6612a u bv ⎛⎫=-=-⨯÷= ⎪⎝⎭$，即$ln 1a c ==$，故ˆe c =， 所求y 关于x 的回归方程为$0.5e y x =. 【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列与数学期望，考查回归方程的求法，考查学生的计算求解能力，属于中档题.19．如图，三棱柱111ABC A B C -的底面是等边三角形，1A 在底面ABC 上的射影为△ABC 的重心G .（1）已知1AA AC =，证明：平面1ABC ⊥平面11A B C ；（2）已知平面11A B BA 与平面ABC 所成的二面角为60°，G 到直线AB 的距离为a ，求锐二面角111B AC C --的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2【解析】（1）连接CG 并延长交AB 于M ，易知1A G ⊥平面ABC ，进而可证明AB ⊥平面1A MC ，可得AB ⊥1A C ，再由四边形11A ACC 是菱形，可得11A C AC ⊥，从而可证明1A C ⊥平面1ABC ，进而可证明平面1ABC ⊥平面11A B C ；（2）连接1A B ，易知11A A A B =，进而可得1A M AB ⊥，结合平面11A B BA 与平面ABC 所成的二面角的平面角为160A MG ∠=o ，由GM a =，可得3MC a =，AB =，1A G =，从而以M 为原点，MB ，MC 分别作为x 轴、y 轴，过点M 作平行与1A G的直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，分别求出平面11A B C 、平面11A CC 的法向量1n u r 、2n u u r，由121212os ,c n n n n n n⋅〈〉=⋅u r u u ru r u u r u r u u r ，进而可求出锐二面角111B AC C --的余弦值. 【详解】（1）证明：连接CG 并延长交AB 于M ，由已知得1A G ⊥平面ABC ， 由AB Ì平面ABC ，可得1A G ⊥AB ，又CM AB ⊥，1CM A G G ⋂=，CM ⊂平面1A MC ，1AG ⊂平面1A MC ，所以AB ⊥平面1A MC ，由1AC ⊂平面1A MC ，可得AB ⊥1A C ， 因为四边形11A ACC 是平行四边形，且1AA AC =，所以四边形11A ACC 是菱形，所以11A C AC ⊥，又因为1AB AC A ⋂=，且AB Ì平面1ABC ，1AC ⊂平面1ABC ，所以1A C ⊥平面1ABC ，因为1AC ⊂平面11A B C ，所以平面1ABC ⊥平面11A B C .（2）连接1A B ，因为1A 在底面ABC 上的射影是ABC V 的重心G ， 所以1Rt A GA V 与1Rt A GB V 全等，所以11A A A B =，因为CM AB ⊥，所以点M 为AB 中点，所以1A M AB ⊥， 故平面11A B BA 与平面ABC 所成的二面角的平面角为160A MG ∠=o ， 由GM a =，得3MC a =，23AB a =，1tan 603A G MG a ︒=⋅=，故以M 为原点，直线,MB MC 分别作为x 轴、y 轴，过点M 作平行与1A G 的直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则(3,0,0)B a ，1(0,,3)A a a ，1(23,,3)B a a a ，1(3,4,3)C a a a ，(0,3,0)C a ，所以11(23,0,0)A B a =uuu u r ，1(0,2,3)CA a a =-uuu r ，11(3,3,0)A C a a =uuuu r，设()1111,,n x y z =u r为平面11A B C 的一个法向量，则11111111230230n A B ax n CA ay az ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩u v u u u u v u v u u u v，可取()10,3,2n =u r ， 设平面11A CC 的一个法向量为()2222,,n x y z =u u r， 则111221122330230n AC ax ay n CA ay az ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩u v u u u u v u v u u u v ，可取()23,3,2n =-u u r ， 所以1212127cos 3493,4n n n n n n ⋅〈〉===+⋅++⋅u r u u ru r u u r u r u u r ， 故锐二面角111B AC C --的余弦值为74.【点睛】本题考查面面垂直的证明，考查二面角的求法，利用空间向量法是解决二面角问题的常见方法，属于中档题.20．已知点()0,1F ，直线l ：1y =-，点E 为l 上一动点，过E 作直线1l l ⊥，2l 为EF的中垂线，1l 与2l 交于点G ，设点G 的轨迹为曲线Γ. （1）求曲线Γ的方程；（2）若过F 的直线与Γ交于,A B 两点，线段AB 的垂直平分线交y 轴于点P ，求FP 与AB 的比值.【答案】（1）24x y =；（2）12【解析】（1）易知GE GF =，即点G 到l 的距离等于点G 到点F 的距离，可知点G 的轨迹为抛物线，求出方程即可；（2）设线段AB 的垂直平分线与AB 交于点M ，分别过点,A B 作11,AA l BB l ⊥⊥，垂足为11,A B ，再过点A 作1AC BB ⊥，垂足为C ，易知PFM V ∽ABC V ，可得FP FM ABBC=，进而结合抛物线的定义，可求出FM BC的值，即可得到FP 与AB 的比值. 【详解】（1）由题意可知GE GF =，即点G 到l 的距离等于点G 到点F 的距离， 所以点G 的轨迹是以l 为准线，F 为焦点的抛物线， 其方程为：24x y =.（2）设线段AB 的垂直平分线与AB 交于点M ，分别过点,A B 作11,AA l BB l ⊥⊥，垂足为11,A B ，再过点A 作1AC BB ⊥，垂足为C ，因为,PFM ABC PMF ACB ∠=∠∠=∠， 所以PFM △∽ABC V ，所以FP FM ABBC=，设AF m =，BF n =(不妨设n m >)，由抛物线定义得1AF AA m ==，1BF BB n ==， 所以BC n m =-， 而22m n n mFM AM AF m +-=-=-=，所以122n mFP FM AB BC n m -===-.【点睛】本题考查抛物线方程的求法，考查抛物线定义及抛物线性质的应用，考查学生的计算求解能力，属于中档题.21．已知函数()ln(1)sin f x x x ax =++-，0a >. （1）当2a =时，证明：()0f x ≤； （2）若()f x 在()1,-+∞只有一个零点，求a . 【答案】（1）证明见解析；（2）2【解析】（1）当2a =时，()()ln 1sin 2f x x x x =++-，其定义域为()1,-+∞，利用导函数可求得()f x 在()1,-+∞上的单调性，进而可证明()()00f x f ≤=； （2）若2a >或02a <<，利用导数研究函数的单调性，可证明函数()f x 的零点个数不唯一，与已知条件矛盾；若2a =时，由（1）可知，()f x 在()1,-+∞只有一个零点. 【详解】（1）当2a =时，()()ln 1sin 2f x x x x =++-，其定义域为()1,-+∞， 令()()1cos 21g x f x x x'==+-+，则()()21sin 1g x x x '=--+， 若10x -<≤，则()211sin 1x x ≥>-+，则()0g x ¢<，则()g x 在(]1,0-上单调递减，又()00g =，故()()0g x f x '=≥，故()f x 在(]1,0-上单调递增， 又()00f =，故对任意()1,0x ∈-，()0f x <恒成立；若0x >，因为111x<+且c o s 1x ≤，所以()0f x ¢<，则()f x 在()0,+?上单调递减，又()00f =，故对任意()0,+x ∈∞，()0f x <恒成立. 综上，当2a =时，对任意()1,x ∈-+∞，()0f x ≤恒成立. （2）①若2a >时，令()()1cos 1T x f x x a x'==+-+，则()()21sin 1T x x x '=--+， 易知10x -<≤时，()211sin 1x x ≥>-+，则()0T x ¢<，即()f x ¢在(]1,0-上单调递减，由1110a -<-<，且11(1)cos(1)0f a a'-=->，()020f a '=-<， 结合零点存在性定理知在()1,0-内存在实数1x 使得()10f x '=，故()11,x x ∈-时，()f x 单调递增，()1,0x x ∈时，()f x 单调递减. 由()00f =，可知()10f x >.因为2a >，所以e 1a -<，即1e 10a --<-<， 所以()()()()sin e1e 1e 10e 1e 0aa a a a f a a a a a --------<-=-=-+-+-<-，因为()1,0x x ∈时，()0f x >，所以()1e 11,ax --∈-，因为()10f x >，0(e )1af --<，所以()f x 在()11,x -上存在一个不为0的零点，因为()00f =，所以2a >时，函数()f x 的零点个数不唯一，与题意矛盾，所以()2a ,∉+∞；②若02a <<时，1()cos 1f x x a x'=+-+，易知()f x ¢在[0,]π上单调递减， 又()1π101πf a '=--<+，(0)cos0201f a a '=+-=->， 结合零点存在性定理知，存在()0,πm ∈使得()0f m '=， 故当[)0,x m ∈时，()0f x '>，(],πx m ∈时，()0f x '<， 即()f x 在[)0,m 上单调递增，()f x 在(],πm 上单调递减， 又()00f =，故()0f m >； 构造函数211()1e 22x F x x x =++-，1x ≥，则1()()e 2x G x F x x '==+-， 则()1e xG x '=-，显然1x ≥时，()0G x '<，故()G x 在[1,)+∞单调递减，又3(1)e 02G =-<，故()0G x <，故()F x 在[)1,+∞单调递减，又(1)2e 0F =-<，故()0F x <，即2111e 022x x x ++-<，对任意1x ≥恒成立， 因为02a <<，所以21a >，故20F a ⎛⎫< ⎪⎝⎭，即22211e 0a a a++-<，故2211e 0a a a ⎛⎫++-< ⎪⎝⎭恒成立， 所以2222221sin 1111e 0e e e a aa a f a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+---≤++-< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，因为()0,x m ∈时，()0f x >，而2e 1e 10a->->，21e 0a f ⎛⎫-< ⎪⎝⎭，所以()2e 10,a m -∉，即2e 1a m ->，所以()f x 在2,e 1a m ⎛⎫- ⎪⎝⎭上存在一个大于0的零点， 因为()00f =，所以02a <<时，函数()f x 的零点个数不唯一，与题意矛盾，所以()0,2a ∉；若2a =时，由（1）知，()f x 在(]1,0-上单调递增，在()0,+?上单调递减，且()00f =，显然函数()f x 在()1,-+∞只有一个零点.综上，要使()f x 在(1,)-+∞只有一个零点，则2a =. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、最值、零点，考查不等式的证明，考查分类讨论的思想在解题中的应用，考查学生的推理能力与计算求解能力，属于难题.22．以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，并在两种坐标系中取相同的长度单位.已知圆1C 和圆2C 的极坐标方程分别是4cos ρθ=和2sin ρθ=.（1）求圆1C 和圆2C 的公共弦所在直线的直角坐标方程；（2）若射线OM ：θα=与圆1C 的交点为O 、P ，与圆2C 的交点为O 、Q ，求OP OQ ⋅的最大值.【答案】（1）2y x =；（2）4【解析】（1）由直角坐标和极坐标的互化公式：222x y ρ=+，cos x ρθ=，sin y ρθ=，可得圆1C 和圆2C 的直角坐标方程，进而将两方程相减可得圆1C 和圆2C 的公共弦所在直线的直角坐标方程；（2）易知,P Q 两点在直角坐标系中在第一象限，且π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，由,P Q 两点的极坐标分别为(4cos ,)P αα，(2sin ,)Q αα，可得4sin 2OP OQ α⋅=，进而求出最大值即可.【详解】（1）由题意，圆1C 的直角坐标方程为2240x y x +-=，圆2C 的直角坐标方程为2220x y y +-=，将两圆的直角坐标方程相减，可得圆1C 和圆2C 的公共弦所在直线的直角坐标方程为2y x =.（2）由题意知，,P Q 两点在直角坐标系中在第一象限，则π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 又,P Q 两点的极坐标分别为(4cos ,)P αα，(2sin ,)Q αα，所以4cos ,2sin OP OQ αα==，从而4sin 24OP OQ α⋅=≤，当π4α=时等号成立，所以OP OQ ⋅的最大值为4.【点睛】 本题考查极坐标与直角坐标方程间的转化，考查圆与圆的公共弦所在直线方程的求法，考查利用极径的含义求最值，属于中档题.23．已知,,a b c 分别是ABC V 的三个内角,,A B C 的对边.（1）若,,a b c 成等比数列，证明：2222()a b c a b c ++>-+；（2）若2a b c +<，证明：c a c <<【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析【解析】（1）利用作差法，2222()2()a b c a b c ab bc ac ++--+=+-，结合a c b +>，2b ac =，可证明结论成立；（2）由2a b c +<，且0a >，可得220a ab ac +-<，进而可证明()22a c c ab -<-，从而a c -<. 【详解】证明：（1）依题意可得，a c b +>，2b ac =，则22222()2()2()2()0a b c a b c ab bc ac ab bc b b a c b ++--+=+-=+-=+->， 所以2222()a b c a b c ++>-+.（2）由2a b c +<，且0a >，可得220a ab ac +-<，所以2222a ac c c ab -+<-，即()22a c c ab -<-，则a c -<a c <-所以c a c <<【点睛】本题考查不等式的证明，考查三角形的性质及等比中项的应用，考查学生推理能力，属于中档题.。
昆明一中2020届高三第八次高考仿真模拟理科数学试题(含答案解析)
昆明第一中学2020届高中新课标高三第八次高考仿真模拟理科数学试卷本试题卷分阅读题和表达题两部分，共8页。
考生作答时，将答案答在答题卡上(答题注意事项见答题卡)，在本试卷上答题无效，试卷满分150分，考试时间150分钟。
注意事项:1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚，并请认真填涂准考证号。
2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。
答在试卷上的答案无效。
3.非选择题的作答:用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4.选考题的作答:先把所选题目的题号在答题卡上的指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡.上的非答题区域均无效。
5.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并上交。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合{}{}2,211A x x x B x x ==-=--<,则A I B =A.{- 1}B. {0}C. φD. {-1,0}2.若a 为实数,且复数(1)(1)z i ai =-+在复平面内对应的点位于虚轴上,则a = A.- 1 B.0 C.1 D.23.已知正三棱柱的各棱长均为2,它的三视图中的俯视图如图所示,则该正三棱柱的左视图的面积为A. 3B.2C. 23D.44.已知角α的顶点与原点重合,始边与x 轴的正半轴重合,终边在直线y = 3x 上，则cos sin cos sin αααα+=-A. -2B.-1C.1D.2 5. 41(1)x x++的展开式中，常数项为A.1B.3C.4D.136.过点(1,1)作圆224x y +=的弦,则所得弦长的取值范围为A.[1,22]B.[1,4]C.[2,4]D. [22,4] 7. 函数()()sin xxf x e e x -=-的大致图象为8.设随机变量ξ ~ B(2,p),若P(ξ≥1) =59，则p = A. 19 B. 13 C. 59 D.. 539.在锐角∆ABC 中,BC = 2,sinB + sinC = 2sinA,则BC 边上的中线长的最小值为 A.1 B.2 C.3 D.210. 已知A,B,C 是球O 的球面上的三点3,∠ABC = 60° ,且三棱锥O- ABC 的体积为463,则球O 的体积为A.24πB.48πC.163πD.323π11. 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为5，过右焦点F 的直线与两条渐近线分别交于A 、B 两点,且与其中的一条渐近线垂直,若∆OAB 的面积为163，其中O 为坐标原点,则双曲线的焦距为A.25B.210C.215D.4512.已知函数()ln ,()1f x x a g x ax b =+=++,若0,()()x f x g x ∀>≤,则ba的最小值为A.1+eB.1- eC.1 + 2eD.1-2e 二、填空题:本题共4小题，每小题5分,共20分。
云南昆明一中2022届高三第八次考前适应性训练
一、选择题：本题共35个小题，每小题4分，共140分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
“工业母机”即制造机器的机器―机床，是制造其他机器的基础（图1)。
“一五计划”时期，我国举全国之力兴建了18家机床国企，工业基础得到了改善；改革开放后，机床产业进一步扩大；上世纪90年代，很多国内机床产业破产重组；到了21世纪，国内机床行业迎来黄金10年，但表现出“薄利多销”;2020年下半年开始，工业母机和高端芯片一样，成了我国“卡脖子”行业。
据此完成1-3题。
1.下列工业部门与“工业母机”关联性最强的是A.重金属锻造B.轻金属合金C.贵金属加工D.稀有金属提炼2.“一五计划”与改革开放前期机床产业焕发“生机”的共同因素是A.国际产业转移B.国内经济复苏C.政府政策原因D.研发能力提升3.21世纪开始至今，我国机床行业从“薄利多销”到遭遇“卡脖子”现象，我国应该A.加强产品上游研发投入，实现从“种类大国”向“产量大国”转型B.提高自主研发能力，降低核心零部件和技术对国外产业的依赖程度C.积极与“贸易壁垒国”进行核心技术交流，尽快突破核心技术难题D.加强生产制造环节的研究探索，从模仿制造尝试突破核心技术瓶颈“海浩”是指干冷空气流经相对温暖的海面，引起水汽不断蒸发并迅速冷却为雾或冰晶的现象，又称蒸发雾。
“海浩”一般发生在寒冷的北方，其发生时海面白气腾腾，在大风的促进下，海水好似沸水开锅，甚为壮观。
2021年1月初，山东青岛出现了百年难遇的“海浩奇观”，当时的气温一度低至-180C。
据此完成4—5题。
4.下列现象与“海浩”现象成因相近的是A.城市日出前后的晨雾B.寒流上空的海雾C.我国南方春季的海雾D.暖流上空的海雾5.有关大风对“海浩”现象的促进作用表述正确的是A.增大海气温差B.减弱海面蒸发C.加速海面结冰D.促使冷水上涌冰劈作用，又称冻融风化，属于风化作用中物理风化作用的一种。
当岩石的孔隙或裂隙中的水在冻结成冰时，体积膨大，对岩石的裂隙壁产生很大的压力，使岩石裂隙加深加宽。
2020届云南省昆明市第一中学高三第八次考前适应性训练数学(文)试题(解析版)
所以 在 方向上的投影为 .
故选：D.
【点睛】
本题考查共线向量的性质，考查向量的投影，考查学生的计算求解能力，属于基础题.
5．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如 ，在不超过16的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于16的概率是（）
A． B． C． D．
【答案】A
故答案为：
【点睛】
本题考查的是一元二次不等式组表示的区域的画法，考查了直线过定点的问题，属于基础题.
15．若 ， ，则 _____________.
【答案】
【解析】由条件算出 ，然后利用 求解即可.
【详解】
因为 ，所以
所以
所以 ，解得
故答案为：
【点睛】
本题考查的是三角函数的同角基本关系和倍角公式，较简单.
尺寸x（mm）
38
48
58
68
78
88
质量
16.8
18.8
20.7
22.4
24
25.5
质量与尺寸的比
0.442
0.392
0.357
0.329
0.308
0.290
（1）现从抽取的6件合格产品中再任选2件，求选中的2件均为优等品的概率；
（2）根据测得数据作了初步处理，得相关统计量的值如下表：
75.3
24.6
（2）由 ，利用错位相减法，可求出 的前 项和 .
【详解】
（1）当 时， ，
当 时，可得 ，
则 ，即 ，故 .
因为 ，满足 ，所以 的通项公式为 .
（2）由题意， ，
则 ，
则 ，
即 ，
所以 .
【点睛】
云南省昆明市第一中学2021届高三第八次考前适应性训练数学(理)答案
云南省昆明市第一中学2021届高三第八次考前适应性训练数学（理）试题参考答案1．D 【思路点拨】根据解一元二次不等式的方法，结合集合交集、补集的定义进行求解即可.【解析】因为()(){}{}1601,2,3,4,5,6U x N x x *=∈+-+≥=，所以{}U4,5A =，而{}1,0,1,4,6B =-所以(){}4UA B ⋂=，故选：D2．A 【思路点拨】由三角函数的定义可得sin α=1cos 3α=，再利用两角差的余弦公式即可求解.【解析】由题意可得sin 3α=，1cos 3α=，πcos 6α⎛⎫- ⎪⎝⎭=6cos cos απ+sin sin 6απ×11+32=，故选：A ．3．C 【思路点拨】由题意可知，能为B 型血病人输血的有O 型和B 型，由互斥事件的概率公式求解.【解析】由题意可知，能为B 型血病人输血的有O 型和B 型， 因此，在该地区任选一人，能为病人输血的概率为49%+25%=74%. 故选：C4．A 【思路点拨】设蒲的长度组成等比数列{a n }，其a 1＝3，公比为12，其前n 项和为A n ．莞的长度组成等比数列{b n }，其b 1＝1，公比为2，其前n 项和为B n ．利用等比数列的前n 项和公式及其对数的运算性质即可得出．．【解析】设蒲的长度组成等比数列{a n }，其a 1＝3，公比为12，其前n 项和为A n ． 莞的长度组成等比数列{b n }，其b 1＝1，公比为2，其前n 项和为B n ．则A n 1312112n ⎛⎫- ⎪⎝⎭=-，B n 2121n -=-，由题意可得：131********n n ⎛⎫- ⎪-⎝⎭=--，化为：2n 62n +=7， 解得2n ＝6，2n ＝1（舍去）． ∴n 62lg lg ==132lg lg +≈2.6． ∴估计2.6日蒲、莞长度相等， 故选A ．【名师指导】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式在实际中的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5．A 【思路点拨】根据直线l 是否存在斜率，结合圆的垂径定理、点到直线距离公式分类讨论求解即可.【解析】当直线l 的斜率不存在时，直线4x =与圆相交于)(4,3，)(4,3-两点，所以弦长为6，满足题意；当直线l 的斜率存在时，设直线方程为)(14y k x +=-，圆的半径为=5r ，圆心到直线l的距离d =，由垂径定理可知：2223d r +=可得4d =，4=，所以158k =，直线l 的方程为158680x y --=， 故选：A ．6．C 【思路点拨】可得数列{}n a 是等比数列，然后根据条件算出公比q 即可.【解析】因为211n n n a a a -+=，所以211n n n a a a -+=，所以数列{}n a 是等比数列， 则其公比满足2202220201535a q a ===，所以q =又数列{}n a各项均为正数，所以q =20212020a qa ==故选：C7．B 【思路点拨】可得原几何体如图所示正三棱锥A BCD -，取BD 中点E ，连接,AE CE ，设底面边长为2x ，表示出2522x AO OE -===，1333x OE CE ==，即可求出x ，进而求出腰长.【解析】根据三视图可得原几何体如图所示正三棱锥A BCD -，取BD 中点E ，连接,AE CE ，则底面中心O 在CE 上，连接AO ，可得AO ⊥平面ABC ， 由三视图可知5AB AC AD ===，45AEC ∠=， 设底面边长为2x ，则DE x =，则25AE x =-，则在等腰直角三角形AOE 中，2522xAO OE -===， O 是底面中心，则133xOE CE ==，则25323x x-=，解得3x =， 则1AO =，底面边长为23， 则正视图（等腰三角形）的腰长为()22312+=.故选：B.【名师指导】本题考查根据三视图计算原几何体的相关量，解题的关键是根据正三棱锥中的关系求出底面边长.8．C 【思路点拨】已知直线斜率与渐近线斜率比较，建立基本量的不等关系即可. 【解析】因为双曲线的一条渐近线为by x a=-，直线30x y +=可化为3y x =-， 由题意可得3b a -≥-，即3ba≤；又因为3b a ==，所以1e <故选:C ．9．A 【思路点拨】求出函数()f x 的定义域，分析函数()f x 的奇偶性与单调性，将不等式变形为()()31f t f t <-，根据函数()f x 的单调性可得出关于实数t 的不等式，由此可解得实数t 的取值范围.【解析】因为函数()sin xxf x e ex -=-+的定义域为R ，()()()()sin sin sin x x x x x x f x e e x e e x e e x f x ----=-+-=--=--+=-,所以，函数()f x 为奇函数；()cos cos 2cos 0x x f x e e x x x -'=++≥=+>，所以函数()f x 在R 上单调递增，因为()()130f t f t +-<，所以()()()1331f t f t f t <--=-， 所以，31t t <-，解得12t >. 故选：A.【名师指导】思路点睛：根据函数单调性求解函数不等式的思路如下： （1）先分析出函数在指定区间上的单调性；（2）根据函数单调性将函数值的关系转变为自变量之间的关系，并注意定义域； （3）求解关于自变量的不等式 ，从而求解出不等式的解集. 10．B 【思路点拨】根据函数的对称性，函数的单调性进行求解即可.【解析】当1x e ≤≤时，()ln 11ln f x x x =-=-，此时函数单调递减，而函数图象关于直线1x =对称，因此函数在[]2,1e -上单调递增，而13()=()22f f ，又因为11221323e -<<<<，所以112()()()323f f f <<，所以132()()()323f f f <<，故选：B11．D 【思路点拨】首先可得n a n =，然后设所求等比数列为1b ，1b q ，21b q ，3*11(,,2)b q b q q ∈≥N ，求出210q ≤≤，*11310001()b b q≤≤∈N ，然后可得答案. 【解析】由2x x nx -<可得01x n <<+，则n a n =；设所求等比数列为1b ，1b q ，21b q ，3*11(,,2)b q b q q ∈≥N ，则311000b q ≤，即10q ≤≤， 所以210q ≤≤，*11310001()b b q≤≤∈N ； 因为q 为偶数，所以当2q时，等比数列有125个；当4q =时，等比数列有15个； 当6q =时，等比数列有4个； 当8q =时，等比数列有1个； 当10q =时，等比数列有1个．所以满足条件的等比数列共有12515411146++++=个， 故选：D12．D 【思路点拨】设底面三角形ABC 的重心为O ，连接OO '，得到OO '⊥底面ABC ，连接AE ，OD 、DE ，设球O 的半径为r ，分别求得,,r AD OA 的值，结合余弦定理，即可求解.【解析】因为球O 与直三棱柱111ABC A B C -的所有面均相切， 且直三棱柱111ABC A B C -的底面是正三角形，所以球心O 为该三棱柱上、下底面三角形重心连线的中点， 如图所示，设底面三角形ABC 的重心为O ，连接OO '， 则OO '⊥底面ABC ，连接AE ，易知点O '在AE 上， 连接OD 、DE ，因为D 是侧面11BB C C 的中心，所以四边形OO ED '为正方形， 设球O 的半径为r，则由AB =可得3123123r =⨯⨯=，易得223(23)102AD r =+⨯=， 连接OA ，可得2232(23)523OA r =+⨯⨯=， ∴222310cos 2DO AD AO ADO DO AD +-∠==⋅⋅， 故所求弦长为3102cos r ADO ⋅∠=， 故选：D.【名师指导】解决与球有关的切、接问题，其通法是作出截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题思维流程：（1）定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为半径；如果是外接球，球心到接点的距离相等且为半径；（2）作截面：选准最佳角度做出截面（要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素间的关系），达到空间问题平面化的目的；（3）求半径下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球半径的方程，并求解. 13．2【思路点拨】根据平面向量模的坐标表示公式，结合平面向量数量积的定义和运算性质进行求解即可.【解析】因为221(3)2a =+=，所以π22cos 23a b ⋅=⨯⋅=， 因此()2422a a b a a b ⋅-=-⋅=-=， 故答案为：214．36【思路点拨】根据题意，有一名教师需要对两名学生进行家庭问卷调查，运用排列和组合的定义，结合分步计数原理进行求解即可.【解析】根据题意，有一名教师需要对两名学生进行家庭问卷调查，所以有12234236C C A ⋅⋅=种.故答案为：3615．22134x y +=【思路点拨】42>，然后结合椭圆的定义可得答案.【解析】因为i z x y =+且i i 4z z ++-=42>，所以z 在复平面内的轨迹是以()0,1-和()0,1为焦点，24a =为长轴的椭圆，所以z 的轨迹方程为22134x y +=故答案为：22134x y +=16．①②④【思路点拨】命题1p ：构造函数，利用导数、结合任意的定义进行判断本命题的真假，命题2p ：利用特殊值法，结合存在的定义进行判断本命题的真假， 命题3p ：利用一元二次方程根的判别式进行判断本命题的真假， 命题4p ：利用特殊值法进行判断本命题的真假.然后利用或、且、非命题的真假命题的判断方法进行判断即可.【解析】1p ：()1x f x e x =--，()1=0x f x e '=-，=0x ，当0x >时，()0,()f x f x '>单调递增，当0x <时，()0,()f x f x '<单调递减， 所以min ()(0)0f x f ==，所以1p 为真． 2p ：当01x =时成立，所以2p 为真．3p ：()22=24(3)4120a a ∆---=+>，方程有两个不相等实根，所以3p 为真．4p ：当sin 1x =-时，()1sin 0sin f x x x=+<，所以4p 为假． 所以12p p ∧，14p p ∧⌝，34p p ⌝∨⌝为真， 故答案为：①②④．【名师指导】关键点睛：本题的关键一是构造函数利用导数判断命题1p 的真假；二是正确掌握且、或、非命题的真假判断方法. 17．(1)证明见解析；(2)π3．【思路点拨】(1)将正切化成正余弦，化简整理，再用正弦定理角化即得；(2)结合(1)及余弦定理化简为1cos 2A ≥，再结合余弦函数对锐角递减得解.【解析】(1)因1tan tan tan tan ()2cos cos B CB C C B+=+，则sin cos sin cos 1sin sin ()cos cos 2cos cos cos cos B C C B B CB C C B C B +=+，所以sin 1sin sin ()cos cos 2cos cos cos cos A B CB C C B C B=+， 所以2sin sin sin A B C =+，由正弦定理得：2b c a +=， 所以a 是b ，c 的等差中项．(2)由余弦定理得：222+c cos 2b a A bc-=，又由(1)2b c a +=得：2b c a +=，22222222231331+c ()(+c )(c)+c 1242422cos 222222b c b b bc b bc bc b abc A bcbc bc bc bc +---+--====≥=， 当且仅当a b c ==，即△ABC 为正三角形时，取“=”， 由2b c a +=知，A 为锐角，余弦函数对锐角是递减的， 所以A 的最大值为π3． 【名师指导】含有正余弦、正切的三角函数式，切化弦是最佳解决方案.18．【思路点拨】（1）根据分层抽样得出抽取3名男性，2名女性，再由古典概率公式可求得答案；（2）由题意得ξ所有可能的取值分别为2，3，4，5，6，分别求得取各值的概率，可得分布列，由离散型随机变量的分布列的期望公式可求得答案．【解析】（1）由题意得3月4日新增病例中有12名男性，8名女性，按性别从中分层抽取5人，其中有3名男性，2名女性，∴这2人至少有1名女性的概率1122322570.710C C C P C +===； （2）由题意得ξ所有可能的取值分别为2，3，4，5，6，60601(2)1201204P ξ==⨯=，60401(3)21201203P ξ==⨯⨯=， 602040405(4)212012012012018P ξ==⨯⨯+⨯=，40201(5)21201209P ξ==⨯⨯=，20201(6)12012036P ξ==⨯=，∴ξ的分布列为∴2345643189363E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. 【名师指导】方法点睛：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列及数学期望的求法，是中档题，求解离散型随机变量分布列的步骤是： 1.首先确定随机变量X 的所有可能取值；2.计算X 取得每一个值的概率，可通过所有概率和为1来检验是否正确；3.进行列表，画出分布列的表格；4.最后扣题，根据题意求数学期望或者其它． 19．【思路点拨】（1）根据等式MA =求出M 的坐标，再结合椭圆的定义、离心率公式进行求解即可；（2）根据圆的垂径定理，利用勾股定理进行求解即可.【解析】解：（1）设(),(0,0)M x y x y >>，因为F 点为抛物线D ：22x py =的焦点，点A 是该抛物线的对称轴与准线的交点，所以0,2p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，0,2p A ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 因为MA =2p y ⎫+⎪⎭，2p y ⎫=+⎪⎭，整理得2204p y py -+=：解得：2p y =， 因此220,2px p x p x x p =⋅⋅⇒=±∴>∴=，所以MA =，MF p =，因为M 在以A ，F 为焦点的椭圆C 上，所以2c AF p ==，)21a MA MF p =+=，所以椭圆C的离心率212c c e a a ====． （2）设()11,B x y ，则圆心114,22x y Q +⎛⎫⎪⎝⎭，所以该圆的半径为r =114,22x y Q +⎛⎫ ⎪⎝⎭到直线3y =的距离为1432y d +=-， 因为2p =，则211=4x y ，则GH =====所以弦GH 的长为定值【名师指导】关键点睛：本题的关键是应用椭圆的定义和圆的垂径定理以及熟练的数学运算能力.20．【思路点拨】（1）根据矩形的性质、圆的性质，结合线面垂直的判定定理、线面平行的判定定理、以及平行线的性质进行证明即可；（2）根据棱锥的体积公式，结合基本不等式能求出PD 的长，最后利用空间向量夹角公式进行求解即可.【解析】解：（1）因为四边形ABCD 是矩形，所以AD CD ⊥． 因为点D 在以AP 为直径的圆上，所以AD DP ⊥，CDDP D =，,CD DP ⊂平面PDC ，所以AD ⊥平面PDC ．因为//AD BC ，AD ⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，所以//AD 平面PBC ． 因为平面PBC平面PAD m =，所以//AD m ，所以直线m ⊥平面PDC ．（2）设PD x =，所以AD 02x <<），12PADSx =⋅ 因为平面PAD ⊥平面ABCD ，交线为AD ，且AB AD ⊥，所以AB ⊥平面PAD ，而PA ⊂平面PAD ，所以AB PA ⊥．在直角△PAB中，PB =2PA =，有AB =因为P ABD B PAD V V --=，所以221432P ABD B PADPADx x V V S AB --+-==⋅⋅==， 当且仅当224x x =-，即x =此时PD AD ==PC =．如图，建立空间直角坐标系，可得(P ，)A，)B ，()C所以(2,0,PA =，()0,AB =，()2,0,0CB=，(0,PC =设平面PAB 和平面PBC 的法向量分别为000(,,)m x y z =和(,,)n x y z=由0000000m PA m AB =⎧⋅=⇒⎨⋅==⎩，所以()1,0,1m=，由00030n CB n PC y ⎧=⋅=⇒⎨⋅=-=⎪⎩⎩，所以 (0,2,n =-所以6cos 2m nm n ϕ⋅-===⨯⋅所以二面角C PB A --的余弦值为．21．【思路点拨】（1）当n=1时，令f （x ）=0lnxx=即可求函数y=f （x ）的零点个数； （2）若函数y=f （x ）与函数y=g （x ）的图象分别位于直线y=1的两侧，∀n ∈N *，函数f （x ）有最大值f （1n e ）=1ne ＜1，即f （x ）在直线l ：y=1的上方，可得g （n ）=()ne n＞1求n 的取值集合A ；（3）∀x 1，x 2∈（0，+∞），|f （x 1）﹣g （x 2）|的最小值等价于1()nenne-，发布网球场相应的函数值，比较大小，即可求|f （x 1）﹣g （x 2）|的最小值． 【解析】（1）当1n =时，由()ln 0xf x x==，解得1x =. 所以函数()f x 在()0,∞+上存在一个零点； （2）由函数()ln n x f x x =求导，得()11ln '(0)n n xf x x x+-=>， 由()'0f x >，得10n x e <<；由()'0f x <，得1n x e >，所以函数()f x 在10,n e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,n e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减， 则当1nx e =时，函数()f x 有最大值()1max1n f x f e ne ⎛⎫== ⎪⎝⎭；由函数()(0)x n e g x x x =>求导，得()()1'(0)x n x n e g x x x+-=>， 由()'0g x >得x n >；由()'0f x <得0x n <<.所以函数()g x 在()0,n 上单调递减，在(),n +∞上单调递增， 则当x n =时，函数()g x 有最小值()()minne g x g n n ⎛⎫== ⎪⎝⎭；因为*n N ∀∈，函数()f x 的最大值111nf e ne ⎛⎫=< ⎪⎝⎭， 即函数()ln n xf x x=在直线1y =的下方， 故函数()(0)xn e g x x x=>在直线l ：1y =的上方，所以()()min1ne g x g n n ⎛⎫==> ⎪⎝⎭，解得n e <.所以n 的取值集合为{}1,2A =.（3）对()12,0,x x ∀∈+∞，()()12f x g x -的最小值等价于()()min max1ne g xf x n ne⎛⎫-=- ⎪⎝⎭， 当1n =时，()()min max 1g x f x e e-=-； 当2n =时，()()2minmax142e g x f x e-=-； 因为()2242110424e e ee e e e --⎛⎫⎛⎫---=> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以()()12f x g x -的最小值为2312424e e e e--=. 【名师指导】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出 ，本专题在高考中的命题方向及命题角度 从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．22．【思路点拨】（1）根据伸缩变换的公式，结合两角和的正弦公式、直角坐标方程与极坐标方程互化公式进行求解即可；（2）根据参数方程，利用点到直线距离公式，结合辅助角公式进行求解即可. 【解析】解：（1）由题意，曲线1C 的参数方程为cos ,sin ,x y αα=⎧⎨=⎩()α为参数，经过伸缩变换2,x x y y ''=⎧⎨=⎩后，曲线2C 的参数方程为2cos ,sin ,x y αα=⎧⎨=⎩()α为参数，由πsin 4ρθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭ρθθ⎫=-⎪⎪⎝⎭， 化为直角坐标方程为40x y ++=，所以，曲线2C 的参数方程为2cos ,sin ,x y αα=⎧⎨=⎩()α为参数， 直线l 的直角坐标方程为40x y ++=． （2）设(2cos ,sin )P αα，点P 到直线l 的距离为d =（其中，sin ϕ=cos ϕ=）， 当sin()1αϕ+=-时，即π2π2k αϕ+=-，k Z ∈时，点P 到直线l 的距离d 取到最小值，此时，πcos cos 2πsin 2k αϕϕ⎛⎫=--=-= ⎪⎝⎭，k Z ∈，πsin sin 2πcos 2k αϕϕ⎛⎫=--=-= ⎪⎝⎭k Z ∈，所以，点P 的坐标为55⎛-- ⎝⎭．23．【思路点拨】（1）利用零点分段法，去绝对值，解不等式即可得解；（2）要证明3333()f x a b c abc≤+++,对任意的x ∈R ，(),,0,a b c ∈+∞恒成立，只需证明333max min 3()f x a b c abc ⎛⎫≤+++ ⎪⎝⎭，由绝对值不等式求得()f x 的最大值，利用基本不等式求得3333a b c abc+++的最小值即可. 【解析】解：（1）由不等式()1f x >可得：()241f x x x =--+>，可化为：4,241x x x <-⎧⎨-+++>⎩或42,241x x x -≤≤⎧⎨-+-->⎩或2,241x x x >⎧⎨--->⎩，解得：4x <-或342x -≤<-或x ∈∅，所以，不等式的解集为3,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭． （2）因为()24(2)(4)6f x x x x x =--+≤--+=，当且仅当4x ≤-时，等号成立， 另一方面，因为a ，b ，,()0c ∈+∞，33333336a b c abc abc abc abc+++≥=+≥， 当且仅当1a b c ===时，等号成立，所以，3333()f x a b c abc≤+++．。
2020年高考模拟云南省昆明一中高考数学模拟测试卷(理科) 含解析
2020年高考模拟高考数学模拟试卷（理科）一、选择题1．已知集合A＝{x|﹣2x+1≤3}，B＝|x|lnx≤1}，则A∩B＝（）A．（﹣1，e]B．（﹣1，1]C．（﹣1，0）D．（0，e]2．若复数z满足，其中i为虚数单位，则|z|＝（）A．2B．C．D．33．空气质量指数AQI是反映空气质量状况的指数，AQI指数值越小，表明空气质量越好，其对应关系如表：AQI指数值≤50（50，100]（100，150]（150，200]（200，300]＞300空气质量优良轻度污染中度污染重度污染严重污染如图是某市10月1日﹣20日AQI指数变化趋势：下列叙述正确的是（）A．该市10月的前半个月的空气质量越来越好B．这20天中的中度污染及以上的天数占C．这20天中AQI指数值的中位数略高于100D．总体来说，该市10月上旬的空气质量比中旬的空气质量差4．若1717+a（a∈Z，0≤a＜4）能被3整除，则a＝（）A．0B．1C．2D．35．已知椭圆的中心在原点，离心率，且它的一个焦点与抛物线y2＝﹣4x的焦点重合，则此椭圆方程为（）A．B．C．D．6．函数f（x）＝sin2x﹣cos2x+2sin x cos x的图象的一条对称轴为（）A．B．C．D．7．执行如图所示的程序框图，则输出的a＝（）A．2B．1C．﹣1D．8．已知圆锥SO的底面半径为3，母线长为5．若球O1在圆锥SO内，则球O1的体积的最大值为（）A．B．9πC．D．12π9．若数列{a n}的前n项的和S n＝3a n﹣2，则这个数列的通项公式为（）A．B．C．a n＝3n﹣2D．10．已知点A（3，4）是双曲线上一点，F1，F2分别是双曲线C的左、右焦点，若以F1F2为直径的圆经过点A，则双曲线C的离心率为（）A．B．2C．D．511．设函数，若f（0）是函数f（x）的最小值，则实数a的取值范围是（）A．[﹣1，2]B．[﹣1，0]C．[1，2]D．[0，2]12．已知平面向量满足，且{||，||，||}＝{1，2，4}，则的最大值为（）A．B．C．D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若实数x，y满足，则z＝3x+2y的最大值为．14．设S n为等差数列{a n}的前n项和，若a1＝1，公差d＝2，S k+2﹣S k＝20，则k＝．15．已知函数f（x）＝，若方程f（x）＝﹣恰好有三个不等的实根，则实数a的取值范围为．16．已知四棱锥P﹣ABCD的底面是正方形，高为，侧棱长均为5，O为侧面△PCD的内心，则四棱锥O﹣ABCD的体积为．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分17．在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，cos2C+3cos（A+B）＝1．（1）求角C；（2）若c＝2，求△ABC面积的最大值．18．某城市为鼓励人们绿色出行，乘坐地铁，地铁公司决定按照乘客经过地铁站的数量实施分段优惠政策，不超过30站的地铁票价如下表：乘坐站数x0＜x≤1010＜x≤2020＜x≤30票价（元）369现有甲、乙两位乘客同时从起点乘坐同一辆地铁，已知他们乘坐地铁都不超过30站．甲、乙乘坐不超过10站的概率分别为，；甲、乙乘坐超过20站的概率分别为，．（1）求甲、乙两人付费相同的概率；（2）设甲、乙两人所付费用之和为随机变量X，求X的分布列和数学期望．19．如图所示的几何体中，正方形ABCD所在平面垂直于平面APBQ，四边形APBQ为平行四边形，G为PC上一点，且BG⊥平面APC，AB＝2．（1）求证：平面PAD⊥平面PBC；（2）当三棱锥P﹣ABC体积最大时，求平面APC与平面BCQ所成二面角的正弦值．20．过点（0，2）的直线l与抛物线C：x2＝2py（p＞0）交于A，B两点，且OA⊥OB（O 为坐标原点）．（1）求抛物线C的方程；（2）在y轴上是否存在定点M，使得∠OMA＝∠OMB？并说明理由．21．已知函数f（x）＝x﹣lnx．（1）求f（x）的最小值；（2）设m为整数，且对于任意正整数n，，求m的最小值．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．以直角坐标系的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，并在两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线l的参数方程为（t为参数，0＜α＜π），抛物线C的普通方程为y2＝2x．（1）求抛物线C的准线的极坐标方程；（2）设直线l与抛物线C相交于A，B两点，求|AB|的最小值及此时α的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知f（x）＝|ax﹣4|﹣|ax+8|．（1）当a＝2时，解不等式f（x）＜2；（2）求f（x）的最大值．参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A＝{x|﹣2x+1≤3}，B＝|x|lnx≤1}，则A∩B＝（）A．（﹣1，e]B．（﹣1，1]C．（﹣1，0）D．（0，e]【分析】可以求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．解：A＝{x|x≥﹣1}，B＝{x|0＜x≤e}，∴A∩B＝（0，e]．故选：D．2．若复数z满足，其中i为虚数单位，则|z|＝（）A．2B．C．D．3【分析】设出复数z，利用复数相等的条件求出a，b的值，然后由复数模的公式计算得答案．解：设z＝a+bi（a，b∈R），∵，∴2（a+bi）+a﹣bi＝3﹣i，即3a+bi＝3﹣i，解得a＝1，b＝﹣1，∴复数z＝1﹣i的模为．故选：C．3．空气质量指数AQI是反映空气质量状况的指数，AQI指数值越小，表明空气质量越好，其对应关系如表：AQI指数值≤50（50，100]（100，150]（150，200]（200，300]＞300空气质量优良轻度污染中度污染重度污染严重污染如图是某市10月1日﹣20日AQI指数变化趋势：下列叙述正确的是（）A．该市10月的前半个月的空气质量越来越好B．这20天中的中度污染及以上的天数占C．这20天中AQI指数值的中位数略高于100D．总体来说，该市10月上旬的空气质量比中旬的空气质量差【分析】根据AQI指数值越小，表明空气质量越好，及其折线图即可判断出正误．解：由图知，前半个月中，空气质量先变好再变差，处于波动状态，A错误，这20天中的中度污染及以上的天数有5天，B错误，10月上旬大部分AQI指数在100以下，10月中旬大部分AQI指数在100以上，D错误，故选：C．4．若1717+a（a∈Z，0≤a＜4）能被3整除，则a＝（）A．0B．1C．2D．3【分析】根据若1717+a＝（18﹣1）17+a，把（18﹣1）17按照二项式定展开，分析可得a 的值．解：若1717+a＝（18﹣1）17+a＝1817﹣•1816+•1815﹣•1814+…+•18﹣+a（a∈Z，0≤a＜4）能被3整除，则﹣+a＝0，则a＝1，故选：B．5．已知椭圆的中心在原点，离心率，且它的一个焦点与抛物线y2＝﹣4x的焦点重合，则此椭圆方程为（）A．B．C．D．【分析】先求出焦点的坐标，再由离心率求得半长轴的长，从而得到短半轴长的平方，写出椭圆的标准方程．解：抛物线y2＝﹣4x的焦点为（﹣1，0），∴c＝1，由离心率可得a＝2，∴b2＝a2﹣c2＝3，故椭圆的标准方程为+＝1，故选：A．6．函数f（x）＝sin2x﹣cos2x+2sin x cos x的图象的一条对称轴为（）A．B．C．D．【分析】先结合二倍角公式对已知函数进行化简，然后结合正弦函数的性质可求解：因为f（x）＝sin2x﹣cos2x+2sin x cos x＝﹣cos2x+＝2sin（2x﹣），又f（）＝2sin＝2取得函数的最大值，所以函数f（x）的图象的一条对称轴为x＝，故选：C．7．执行如图所示的程序框图，则输出的a＝（）A．2B．1C．﹣1D．【分析】模拟程序框图的运行过程，即可得出a的取值是以3为周期而变化的，从而得出程序运行后输出的a值．解：n＝1，a＝；n＝2，a＝﹣1；n＝3，a＝2；n＝4，a＝；…，a的值构成3为周期的数列，因为2020＝3×673+1，所以当n＝2020时，a＝．故选：D．8．已知圆锥SO的底面半径为3，母线长为5．若球O1在圆锥SO内，则球O1的体积的最大值为（）A．B．9πC．D．12π【分析】由题意可得当球O1的轴截面是△SAB的内切圆时，内切球等体积最大，由题意求出轴截面的内切圆的半径，进而求出内切球的体积．解：设圆锥SO的轴截面为等腰△SAB，则球O1的体积最大时，球O1的轴截面是△SAB 的内切圆，所以S△SAB＝＝（SA+SB+AB）•r，解得：r＝，所以球O1的体积的最大值为（）3＝，故选：A．9．若数列{a n}的前n项的和S n＝3a n﹣2，则这个数列的通项公式为（）A．B．C．a n＝3n﹣2D．【分析】利用数列{a n}的前n项的和S n＝3a n﹣2，可得n≥2时，S n﹣1＝3a n﹣1﹣2，两式相减，证明数列{a n}是以1为首项，为公比的等比数列，即可求出这个数列的通项公式．解：∵数列{a n}的前n项的和S n＝3a n﹣2，①∴n≥2时，S n﹣1＝3a n﹣1﹣2，②①﹣②可得a n＝3a n﹣3a n﹣1，∴a n＝a n﹣1，∵n＝1，S1＝3a1﹣2，∴a1＝1，∴数列{a n}是以1为首项，为公比的等比数列，∴，故选：A．10．已知点A（3，4）是双曲线上一点，F1，F2分别是双曲线C的左、右焦点，若以F1F2为直径的圆经过点A，则双曲线C的离心率为（）A．B．2C．D．5【分析】根据圆周角定理得到AF1⊥AF2，所以|F1F2|＝2|AO|＝10＝2c，由此求得c＝5；结合双曲线的定义求得a＝，所以根据双曲线离心率的公式解答．解：由已知得AF1⊥AF2，所以|F1F2|＝2|AO|＝10，所以c＝5，又﹣＝2a，所以a＝，所以双曲线C的离心率e＝＝＝，故选：C．11．设函数，若f（0）是函数f（x）的最小值，则实数a的取值范围是（）A．[﹣1，2]B．[﹣1，0]C．[1，2]D．[0，2]【分析】讨论a＜0和a≥0时，得出f（0）是函数f（x）的最小值时满足的不等式，求出解集即可．解：当a＜0时，函数f（x）的最小值为f（a），不满足题意；当a≥0时，要使f（0）是函数f（x）的最小值，只须≥a2+2，即4+a≥a2+2，解得﹣1≤a≤2，综上知，实数a的取值范围是[0，2]．故选：D．12．已知平面向量满足，且{||，||，||}＝{1，2，4}，则的最大值为（）A．B．C．D．【分析】由⊥知，当满足与+同向时，|++|取得最大值，讨论||＝1、2、3时，求出|+|的值，即可得出|++|的最大值．解：因为⊥，所以当满足与+同向时，|++|取得最大值，当||＝1时，|+|＝＝2，所以|++|的最大值为1+2；当||＝2时，|+|＝＝，所以|++|的最大值为2+；当||＝4时，|+|＝＝，所以|++|的最大值为4+；综上知，|++|的最大值是4+．故选：A．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若实数x，y满足，则z＝3x+2y的最大值为6．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．解：由实数x，y满足作出可行域如图，联立，解得B（2，0），化目标函数z＝3x+2y为y＝﹣x+，由图可知，当直线y＝﹣x+过B时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为z＝3×2+2×0＝6．故答案为：614．设S n为等差数列{a n}的前n项和，若a1＝1，公差d＝2，S k+2﹣S k＝20，则k＝4．【分析】求出＝n2，从而（k+2）2﹣k2＝20，由此能求出k的值．解：因为等差数列{a n}的前n项和，若a1＝1，公差d＝2，所以＝n2，因为S k+2﹣S k＝20，所以（k+2）2﹣k2＝20，解得k＝4．故答案为：4．15．已知函数f（x）＝，若方程f（x）＝﹣恰好有三个不等的实根，则实数a的取值范围为1＜a＜．【分析】画出函数的图象，利用方程根的个数，转化为直线与曲线位置关系，转化为方程，解出即可．解：要满足方程f（x）＝﹣x+a（a∈R）恰好有三个不等的实根，则直线y＝x+a与y＝在x＞0相切以上（不含相切）和直线y＝﹣x+a过点（1，1）以下（不含过该点的直线），当直线y＝﹣x+a与y＝相切时，即＝﹣x+a，所以1＝﹣x2+ax，所以△＝0，所以a＝1（﹣1舍去），当直线y＝﹣x+a过点（1，1）时，a＝，所以1＜a＜．故答案为：1＜a＜．16．已知四棱锥P﹣ABCD的底面是正方形，高为，侧棱长均为5，O为侧面△PCD的内心，则四棱锥O﹣ABCD的体积为．【分析】由题意可得，底面ABCD的边长为6，在△PCD中，作PE⊥CD于E，通过角平分线的性质，＝＝，设底面正方形的边长为x，则＝2×，解得x．可得四棱锥O﹣ABCD的体积为V P﹣ABCD．解：由题意可得，底面ABCD的边长为6，在△PCD中，作PE⊥CD于E，通过角平分线的性质，＝＝，所以＝，设底面正方形的边长为x，则＝2×，解得x＝6．所以四棱锥O﹣ABCD的体积＝V P﹣ABCD＝×××62＝．故答案为：．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分17．在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，cos2C+3cos（A+B）＝1．（1）求角C；（2）若c＝2，求△ABC面积的最大值．【分析】（1）由已知可得（cos C﹣2）（2cos C+1）＝0，由于cos C≠2，可求cos C＝﹣，进而可求C的值．（2）由余弦定理，基本不等式可求ab≤，进而根据三角形的面积公式即可求解．解：（1）由cos2C+3cos（A+B）＝1，可得2cos2C﹣3cos C﹣2＝0，（cos C﹣2）（2cos C+1）＝0，因为cos C≠2，所以cos C＝﹣，可得C＝．（2）由c2＝a2+b2﹣2ab cos C，得a2+b2+ab＝4，4﹣ab＝a2+b2≥2ab，ab≤，所以S△ABC＝ab sin C≤×＝，当a＝b＝时，△ABC面积的最大值为．18．某城市为鼓励人们绿色出行，乘坐地铁，地铁公司决定按照乘客经过地铁站的数量实施分段优惠政策，不超过30站的地铁票价如下表：乘坐站数x0＜x≤1010＜x≤2020＜x≤30票价（元）369现有甲、乙两位乘客同时从起点乘坐同一辆地铁，已知他们乘坐地铁都不超过30站．甲、乙乘坐不超过10站的概率分别为，；甲、乙乘坐超过20站的概率分别为，．（1）求甲、乙两人付费相同的概率；（2）设甲、乙两人所付费用之和为随机变量X，求X的分布列和数学期望．【分析】（1）利用古典概型，求解概率，设“甲、乙两人付费相同”为事件A，转化求解即可．（2）由题意可知X的所有可能取值为：6，9，12，15，18．求解概率，得到分布列，然后求解期望即可．解：（1）由题意知甲乘坐超过10站且不超过20站的概率为，乙乘坐超过10站且不超过20站的概率为，设“甲、乙两人付费相同”为事件A，则，所以甲、乙两人付费相同的概率是．（2）由题意可知X的所有可能取值为：6，9，12，15，18.，，×，×，．因此X的分布列如下：X69121518P所以X的数学期望．19．如图所示的几何体中，正方形ABCD所在平面垂直于平面APBQ，四边形APBQ为平行四边形，G为PC上一点，且BG⊥平面APC，AB＝2．（1）求证：平面PAD⊥平面PBC；（2）当三棱锥P﹣ABC体积最大时，求平面APC与平面BCQ所成二面角的正弦值．【分析】（1）通过证明AP⊥BC，AP⊥BG，得到AP⊥平面PBC，面PAD⊥平面PBC．（2）利用V P﹣ABC＝V C﹣APB＝，求三棱锥P﹣ABC体积的最大值，只需求PA•PB的最大值．令PA＝m，PB＝n，由AP⊥PB，可得以m2+n2＝4，当且仅当m＝n＝，再建立空间直角坐标系求解．【解答】（1）证明：因为平面ABCD⊥平面APBQ，平面APBQ∩平面ABCD＝AB，四边形ABCD为为正方形，即BC⊥AB，BC⊂平面ABCD，所以BC⊥平面APBQ，又因为AP⊂平面APBQ，所以AP⊥BC，因为BG⊥面APC，AP⊂平面PAC，所以AP⊥BG，因为BC∩BG＝B，BC，BG⊂平面PBC，所以AP⊥平面PBC，因为AP⊂平面PAD，所以平面PAD⊥平面PBC．（2）解：V P﹣ABC＝V C﹣APB＝，求三棱锥P﹣ABC体积的最大值，只需求PA•PB的最大值．令PA＝m，PB＝n，由（1）知AP⊥PB，所以m2+n2＝4，当且仅当m＝n＝，即PA＝PB＝时，（V P﹣ABC）min＝mn≤•＝．以AB中点O为坐标原点建立空间直角坐标系如图，则A（0，﹣1，0），B（0，1，0），C（0，1，2），P（1，0，0）．设为平面APC的一个法向量，则，可取x＝1，则，因为四边形APBQ为平行四边形，△APB为等腰直角三角形，所以四边形APBQ为正方形，取平面BCQ的一个法向量为，所以cos，＞＝＝，所以sin，＞＝，即平面APC与平面BCQ所成二面角的正弦值为20．过点（0，2）的直线l与抛物线C：x2＝2py（p＞0）交于A，B两点，且OA⊥OB（O 为坐标原点）．（1）求抛物线C的方程；（2）在y轴上是否存在定点M，使得∠OMA＝∠OMB？并说明理由．【分析】（1）设直线l：y＝kx+2，与抛物线方程联立，利用韦达定理结合条件x1x2+y1y2＝0，即可求出p＝1，从而求出抛物线C的方程；（2）假设存在满足条件的点M（0，t），设A（x1，y1），B（x2，y2），由∠OMA＝∠OMB得k MA+k MB＝0，由（1）知，代入上式化简得到＝0，显然k ≠0，所以t＝﹣2，故存在M（0，﹣2）满足条件．解：（1）设直线l：y＝kx+2，A（x1，y1），B（x2，y2），联立得x2﹣2pkx﹣4p＝0，则，所以y1y2＝（kx1+2）（kx2+2）＝k2x1x2+2k（x1+x2）+4＝4，由OA⊥OB得，∴x1x2+y1y2＝0，∴﹣4p+4＝0，∴p＝1，所以抛物线C的方程为x2＝2y．（2）假设存在满足条件的点M（0，t），设A（x1，y1），B（x2，y2），由（1）知，若∠OMA＝∠OMB，则k MA+k MB＝0，∴＝＝＝＝＝0，显然k≠0，∴t＝﹣2，∴存在M（0，﹣2）满足条件．21．已知函数f（x）＝x﹣lnx．（1）求f（x）的最小值；（2）设m为整数，且对于任意正整数n，，求m的最小值．【分析】（1）先对函数求导，然后结合导数可求函数的单调性，进而可求函数的最小值；（2）结合（1）对x进行赋值，然后结合数列的裂项求和及不等式的放缩法即可求．解：：（1），当x∈（0，1）时，f′（x）＜0，故f（x）在（0，1）单调递减；当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）在（1，+∞）单调递增；故f（x）≥f（1）＝1，故f（x）的最小值为1．（2）由（1）可得，f（x）＝x﹣lnx≥1即lnx≤x﹣1，所以ln（1+）≤＝＝，k∈N*，n≥2，则ln（1+）+ln（1+）+＝＜ln2，即ln（1+）（1+）…（1+）＜ln2，所以（1+）（1+）…（1+）＜2．又因为（1+）（1+）…（1+）＞1，故对任意正整数n，（1+）（1+）…（1+）＜m的整数m的最小值为2．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．以直角坐标系的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，并在两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线l的参数方程为（t为参数，0＜α＜π），抛物线C的普通方程为y2＝2x．（1）求抛物线C的准线的极坐标方程；（2）设直线l与抛物线C相交于A，B两点，求|AB|的最小值及此时α的值．【分析】（1）直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（2）利用一元二次方程根和系数关系式的应用和三角函数关系式的变换的应用求出结果．解：（1）依题意可得，抛物线C的普通方程为y2＝2x．则抛物线的准线的普通方程为x ＝﹣，化为极坐标方程即是．（2）将直线的参数方程程为（t为参数，0＜α＜π），代入抛物线的普通方程y2＝2x，化简整理得t2sin2α﹣2t cosα﹣1＝0，所以，．所以＝，当时，|AB|取得最小值2．[选修4-5：不等式选讲]23．已知f（x）＝|ax﹣4|﹣|ax+8|．（1）当a＝2时，解不等式f（x）＜2；（2）求f（x）的最大值．【分析】（1）将a＝2代入f（x）中，然后利用零点分段法解不等式f（x）＜2即可；（2）直接利用绝对值三角不等式求出f（x）的最大值．解：（1）当a＝2时，f（x）＝|2x﹣4|﹣|2x+8|＝．∵f（x）＜2，∴x＞2或，∴x＞2或，∴，∴不等式的解集为{x|}．（2）∵f（x）＝|ax﹣4|﹣|ax+8|≤|（ax﹣4）﹣（ax+8）|＝12，∴f（x）的最大值为12．。
云南省2020届高三适应性考试数学试题(A卷)(理)
云南省2020届高三适应性考试数学试题（A 卷）（理）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。
1．已知集合2{|0}A x x x =+≤，{|ln(21)}B x y x ==+，则A B =（ ）A ．1(,0]2-B ．1[,0]2-C ．1[0,)2D ．1[1,]2--2．已知i 是虚数单位，复数2(12i)-的共轭复数虚部为（ ） A ．4iB ．3C ．4D ．4-3．已知向量(3,2)=a ，(1,1)=-b ，若()λ+⊥a b b ，则实数λ=（ ） A ．12-B ．12C ．1-D ．14．已知(1)n x +的展开式的各项系数和为32，则展开式中4x 的系数为（ ） A ．5B ．10C ．15D ．205．已知命题:0p x ∀≥，1x e ≥或sin 1x ≤，则p ⌝为（ ） A ．0x ∃<，1x e <且sin 1x > B ．0x ∃<，1x e ≥或sin 1x ≤ C ．0x ∃≥，1x e <且sin 1x >D ．0x ∃≥，1x e <或sin 1x >6．已知函数()f x 满足(1)(1)f x f x -=+，当(,1]x ∈-∞时，函数()f x 单调递减，设41lo ()g 2a f =，13lo ()g 3b f =，3lo (9)gc f =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．a b c <<B ．c a b <<C ．a c b <<D ．c b a <<7．已知一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体的表面积为（ ）A.4＋12π 12π+ D.4+ 8．受新冠肺炎疫情影响，某学校按上级文件指示，要求错峰放学，错峰有序吃饭。
高三年 级一层楼六个班排队，甲班必须排在前三位，且丙班、丁班必须排在一起，则这六个班排队 吃饭的不同安排方案共有（ ） A ．240种B ．188种C ．120种D ．156种9．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 在线段1BC 上运动，则下列判断中正确的是（ ）①平面1PB D ⊥平面1ACD ②．1A P ∥平面1ACD③异面直线1A P 与1AD 所成角的取值范围是π(0,]3④．三棱锥1D APC -的体积不变 A. ①③ B. ①②④ C. ①③④ D. ③④ 10．若函数)2,0)(sin(2)(πθπωθω<<>+=x x f 的图象过点)(,30x f ），（在 ），（π0 只有两个零点，则ω的最值情况为 A ．最小值为31，最大值为34B ．无最小值，最大值为34C ．无最小值，最大值为37D ．最小值为31，最大值为37 11．数学上有很多著名的猜想，角谷猜想就是其中之一，它是指对于任意一个正整数，如果 是奇数，则乘3加1，如果是偶数，则除以2，得到的结果再按照上述规则重复处理，最终 总能够得到1。
云南省昆明市第一中学2022-2023学年高三第八次考前适应性训练数学答案
昆明一中2023届高三第八次联考数学参考答案命题、审题组教师 杨昆华 彭力 顾先成 莫利琴 孙思应 梁云虹 丁茵 张远雄 崔锦 秦绍卫一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8答案CACDADBB （D 也给分）1. 解析：，所以，所以，选C.2. 解析：依题意，所以，所以，则，选A.3. 解析：对物理感兴趣的同学占，对历史感兴趣的同学占，这两组的比例数据都包含了既对物理感兴趣又对历史感兴趣的同学的比例，设既对物理感兴趣又对历史感兴趣的同学占该班学生总数的比例为，则对物理或历史感兴趣的同学的比例是，即，即，选C ．4. 解析：，若先满足项中的次数，则可以写出，其中展开式的通项为，令得，所以项的系数为，选D ．5. 解析：由残差 得，即，所以 ①，又，，因为回归直线经过中心点（，），所以 ②， 联立①②解得，所以，选A ．6. 解析：由题意，，由得，又，所以， 选D .7. 解析：设△的外接圆的圆心为，则,根据抛物线的定义及圆心在上 得，即，又由得，所以，即，选B ． 8. 解析：由已知得：，，连接并延长，交于点， 则，即二面角的平面角为，{}12,,1,2,42x B y y x A ==Î=ìüíýîþ{}1,2A B =!()1,42BA B =ìüíýîþ!2244i z =-=2i z =±2z =()()()21i 21i 1i1i1i 1i z +===+---+56%74%x 56%+74%x -56%+74%90%x -==40%x ()()6622+=+x x y x x y éù--ëû7x y y ()5126C x x y -()52xx-()()()52101551rrrr r r r TC x x C x --+=-=-107r -=3r =7x y ()313651=60C C ×--!i ii e y y =-!!70.635y -=-!735.6y =!35.67b a =+!4x =23y =!y bx a =+!x y !234b a =+!!=6.2=4.2a b!，! =10.4ab +!()2πsin 23f x x j æö=++ç÷èø()00f =2ππ3k j =-+()k ÎZ ππ22j -<<π3j =AOF ()00,B x y 3BO BF BA ===B C 032p BF x =+=032p x =-BO BF =04p x =3=24p p-=4p OA OB OC ==PA PB PC ==CO AB D PD AB CD AB ^^，P AB C --PDC Ð由正三角形ABC 的边长为由三棱锥P ﹣ABC 为正三棱锥，则三棱锥P ﹣ABC 的外接球的球心M 在直线上，由已知可得三棱锥P ﹣ABC 的外接球的半径为 由，解得， 所以.同理，外接球的球心M 在三棱锥P ﹣ABC 外时，所以本题选BD 均给分.二、多选题题号 9 10 11 12 答案ABDADBCDAC9. 解析：指标值的样本频率是，指标值在区间的产品约有件，选项A 正确；抽取的产品的质量指标值的样本平均数和样本方差分别为：， ，选项BD 正确；由直方图可得出，从第一组至第七组的频率依次是，所以指标值的第百分位数在内，设它等于，则，解得，选项C 错误；所以选ABD ．10. 解析：对于A ，，且，所以，则，A 正确；对于B ，当时，，B 错误；对于C ，在△中，由得，即,同理，,则为△的垂心，C 错误；对于D ，由知，由知，则△为等边三角形，D 正确；所以选AD.22OC OD ，==PO 222MC MO OC =+MO =PO =3PD =1cos 3PDC Ð=cos PDC Ð=x Î[)205,215100.024=0.24´(]205,2152000.24=48´1700.021800.091900.222000.332100.242200.082300.02200x =´+´+´+´+´+´+´＝()()()2222222300.02200.09100.2200.33100.24200.08300.02150s -´+-´+-´+´+´+´´=+＝0.020.090.220.330.240.080.02，，，，，，60[)195,205m ()()1950.033=0.60.02+0.09+0.22m -´-203.18m »()(),41,2AB x AC ==-!!""，AB AC !!""‖24x =-2x =-0AB AC ×>!!""π02BAC £Ð<ABC OA OB OB OC ×=×!!"!!"!!""0OB CA ×=!!"!!"OB CA ^OC BA ^OA BC ^O ABC ()0AB AC BC +×=!!""!!!"AB AC =12AB AC AB AC ×=!!""!!""π3BAC Ð=ABC11. 解析：由，得，当时，；当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增. 时，；时，；,,结合函数的图象，A 错误，所以选BCD. 12. 解析：对于A ：，因为，，且，所以，，所以当时，，A 正确；对于B ：，所以，B 错误； 对于C ：，当且仅当时等号成立，因为，所以等号不成立，C 正确；对于D ：因为，，且，所以，，令，，则，，D 错误，所以选AC.三、填空题13. 解析： ，，两边同时平方可得，故.14. 解析：过作交于点，连接，由已知可得，， ， 又由，可得，所以， 所以. 15. 解析：将抛物线化为，准线， 所以椭圆的一个焦点，即，由与的一个交点为得，即，联立解得， 所以椭圆的长轴长．16. 解析：由题意，在上恒成立，即恒成立，令，即在上恒成立，设，函数()()1e x f x x =+()()2e x f x x ¢=+2x =-()20f ¢-=2x <-()0f x ¢<()f x 2x >-()0f x¢>()f x x ®-¥()0f x ®x ®+¥()f x ®+¥()212ef -=-()10f -=22222221(12)+5415(+55a b b b b b b +=-=-+=-）0a >0b >21a b +=01a <<102b <<25b =2215a b +³21231(01)111b a a a a a +-==-+<<+++121221b a +<<+1213b b a b b a ba b b a b b a b b+++=+=++³+++a b b +=a b b +¹0a >0b >21a b +=01a <<102b <<12a =14b =121e 4->1e a b -<81cos sin 5q q -+=3sin cos 5q q -=91sin 225q -=16sin 225q =P PO AD ^O BO PO ABCD ^平面PO BO ^PO BD ^AP BD ^BD PAD ^平面BD AD ^AD =PO =OB =4PB 214y x =24x y =1l y =-：2222:1(0)y x C a b a b+=>>()01F -，1c =l C (2,)A m 22b a =22b a =222212c b aa b c=ìï=íï=+î1a =+C 22a =()()13cos 21sin 022f x x a x ¢=+-+³R ()2sin 1sin 20x a x -+-+³[]sin 11t x =Î-，()2120t a t -+-+³[]11t Î-，()()212g t t a t =-+-+在上，使不等式恒成立，只需即解得，故实数的取值范围是.四、解答题17. 解：（1）由题意得：，解得， 则，即，解得：或，因为，所以，，所以. ………5分 （2）假设存在常数，使得数列为等比数列， 则，即， 解得：，此时，所以 ， 所以存在，使得数列为等比数列. ………10分18. 解：（1）因为， 所以，因为，所以，而，所以． ………6分 （2）由（1）得：，所以，，因为，所以，所以，由正弦定理得：，()g t []11t Î-，()0g t ³()()1010g g -³ìïí³ïî，，()()11201120a a ---+³ìïí-+-+³ïî，，02a ££a []02，()2343243926a a a a a a ++=ìïí+=+ïî39a =2430a a +=3130a q q æö+=ç÷èø3q =131q >3q =11a =()()*13131312n n n S n ´--==Î-N l {}n S l +()()()2213S S S l l l +=++()()()24113l l l +=++12l =1322nn S +=1111322311322n n nn S S +++´==+´12l =12n S ìü+íýîþ2cos 2sin sin 1sin 2sin cos cos A B BA B B B==+()sin cos cos sin sin cos cos B A B A B A B C =-=+=-π6B =1cos 2C =-0πC <<2π3C =sin cos 0B C =->ππ2C <<π02B <<πsin cos sin 2BC C æö=-=-ç÷èøπ2C B =+π22A B =-()2222222222222sin cos sin sin cos 21cos cos 2cos 11cos c C B a b A BB B B BB =-++-==++-因为，所以，所以， 因为， 当且仅当的最大值为所以，所以实数的最小值为………12分19. 解：（1）当点为的中点时，∥平面，证明如下：因为，分别为，的中点，则∥，平面，平面， 所以∥平面，同理可得，∥平面， 又，所以平面∥平面，由于平面，所以∥平面. ………6分（2）由题意，是⊙的直径，得，又，则， 由于，，两两垂直，点，，，都在半径为则，可得，以为原点，，，所在直线分别为，，轴建立直角坐标系， 则，，，， 得，，设为平面的一个法向量，则，得， 又为平面的一个法向量，设二面角夹角为，则π02B <<cos 0B ¹()()22222222cos 12cos 11cos 2cos11cos cos BB BB B B=-+--+-()2222222cos 11cos 24cos 555cos cos B BB BB-+-=+-³=2cos B =222c a b +m £m D AB 1O D 1A AC O D BC AB OD AC OD Ë1A AC AC Ì1A AC OD 1A AC 1OO 1A AC 1O O OD O =!1OO D 1A AC 1O D Ì1OO D 1O D 1A AC BC O 90BAC °Ð=2BC =AB =1AC =AB AC 1AA 1A A B C (22221AB AC AA ++=12AA =A AB AC 1AA x y z (0,0,0)A B (0,1,0)C 1(0,0,2)A 12)A B =-"1(0,1,2)A C =-!"(,,)n x y z =!1A BC 112020A B n z A C n y z ì×=-=ïí×=-=ïî""!""n =!(0,1,0)AC ="1A AB 1C A B A --q cos cos ,AC n q ==""所以二面角夹角的余弦值为分20. 解：（1）由散点图可知，选择回归方程类型更适合；………2分（2）令，先建立与的线性回归方程，由于，所以， 所以与的线性回归方程为， 故关于的回归方程为令，代入回归方程可得（千件， 所以预测观看人次为万人时的销售量约为件； ………8分（3）由散点图可知，这名主播中，优秀主播的个数有个，所以的可能取值为，，，，所以，， ，，所以的分布列为：数学期望 ………12分21. 解：（1）将代入直线所以，即双曲线方程；......5分（2）当过点的两条切线斜率都存在时，设直线的方程为， 联立得，因为, 1C A B A --ln y c d x =+ln x w =y w !1011021666.6()()10()ii i ii dy y www w ==--===-åå30.310210.3cy d w =-=-´=!y w !10.310y w =+y x !10.310ln .y x =+28x =!10.310ln 2810.310(2ln 2ln 7)43.6y =+=+´+»)28043600104X 012330643101(0)6C C P X C ===21643101(1)2C C P X C ===12643103(2)10C C P X C ===03643101(3)30C C P X C ===X 11316()0123.6210305E X =´+´+´+´=0y =:l y =+x =c =b a =1a b ==22:12x C y -=00(),P x y 1:l y tx m =+22,21,y tx m x y =+ìïí-=ïî222()221204x t x t m m ----=2102t -¹令，有，由于点在直线上，所以，代入上式得，设两条切线的斜率分别为，所以，化简得；过点的其中一条切线斜率不存在时，也满足，即点一定在圆上，设过点的直线方程为，则有.所以 ......12分22. 解：（1）因为，则，当，则，在单调递增，而，所以；当，则当，，即在单调递减，，不符合题意，综上可得的取值范围为. ………6分 （2）证明： . 只需证，即证， 设，所以，令，因为， 所以在单调递增，所以，所以， 所以在单调递增，所以令，， 所以在上单调递增，所以，即成立,所以成立. ………12分0D =2222224(12)(2)0216210t m m t t m ----=--=Þ00(),P x y 1l 00m x y t =-2220000(2)210x t x y t y -+--=12,t t 201220112y t t x =+=--22001x y =+00(),P x y 22001x y =+P 221x y +=)N :l y kx ¢=11122r d k £=Þ-££=11,22k éùÎ-êúëû()e 1x f x ax =--()e x f x a ¢=-1a £()0f x ¢³()e 1x f x ax =--[0,)+¥(0)0f =()0f x ³1a >(0,ln )x a Î()e 0x f x a ¢=-<()e 1x f x ax =--(0,ln )x a Î()(0)0f x f <=a (],1-¥()()()2e 1ln ln x x xf x ax x m x x m -³-Û³++()e 1ln 1x x x x -³+()()ln 1e 1e 1ln 1x x x x +--³+()e 1x g x x-=()()21e 1x x g x x -+¢=()()1e 1x h x x =-+()e 0x h x x ¢=³()()1e 1x h x x =-+[)0,+¥()()0=0h x h ³()0g x ¢³()g x [)0,+¥()()()()()()ln 1e 1e 1ln 1ln 1ln 1x x g x g x x x x x +--³Û³+Û³++()()ln 1t x x x =-+()11011x t x x x ¢=-=³++()t x [)0,+¥()()00t x t >=()ln 1x x ³+()()2ln x f x ax x m ³-+。