角平分线--平行线--等腰三角形
角平分线等腰三角形
角平分线与等腰三角形江苏 刘顿角平分线与等腰三角形有着密不可分联系．在许多几何问题中，遇到等腰三角形就会想到顶角的平分线，遇到角平分线又会想到构造等腰三角形．为了能说明这个问题，下面归类说明．一、角平分线+平行线→等腰三角形当一个三角形中出现角平分线和平行线时，我们就可以寻找到等腰三角形．如图1①中，若AD 平分∠BAC ，AD ∥EC ，则△ACE 是等腰三角形；如图1②中，AD 平分∠BAC ，DE ∥AC ，则△ADE 是等腰三角形；如图1③中，AD 平分∠BAC ，CE ∥AB ，则△ACE 是等腰三角形；如图1④中，AD 平分∠BAC ，EF ∥AD ，则△AGE 是等腰三角形．例1 如图2，△ABC 中，AB ＝AC ，在AC 上取点P ，过点P 作EF ⊥BC ，交BA 的延长线于点E ，垂足为点F ．求证：AE ＝AP ．简析 要证AE ＝AP ，可寻找一条角平分线与EF 平行，于是想到AB ＝AC ，则可以作AD 平分∠BAC ，所以AD ⊥BC ，而EF ⊥BC ，所以AD ∥EF ，所以可得到△AEP 是等腰三角形，故AE ＝AP ．例2 如图3，在△ABC 中，∠BAC ，∠BCA 的平分线相交于点O ，过点O 作DE ∥AC ，分别交AB，BC 于点D ，E ．试猜想线段AD ，CE ，DE 的数量关系，并说明你的猜想理由． 简析 猜想：AD +CE ＝DE ．理由如下：由于OA ，OC 分别是∠BAC ，∠BCA 的平分线，DE ∥AC ，所以△ADO 和△CEO 均是等腰三角形，则DO ＝DA ，EC ＝EO ，故AD +CE ＝DE ． 例3 如图4，△ABC 中，AD 平分∠BAC ，E ，F 分别在BD ，AD 上，且DE ＝CD ，EF ＝AC ．求证：EF ∥AB ．简析 由于这里要证明的是EF ∥AB ，而AD 平分∠BAC ，所以必须通过辅助线构造出平行线，这样就可以得到等腰三角形了，于是DE ＝CD 的提示下，相当于倍长中线，即延长AD 至M ，使DM ＝AD ，连结EM ，则可证得△MDE ≌△ADC ，所以ME ＝AC ，又EF ＝AC ，∠M ＝∠CAD ，所以∠M ＝∠EFM ，即∠CAD ＝∠EFM ，又因为AD 平分∠BAC ，所以∠BAD ＝∠EFD ＝∠CAD ，所以EF ∥AB ．二、角平分线+垂线→等腰三角形当一个三角形中出现角平分线和垂线时，我们就可以寻找到等腰三角形．如图5中，若C A B E D O图3 图4 F C D E B A M 图2F B A C D P E 图1① D ② C D C ④F C DAD 平分∠BAC ，AD ⊥DC ，则△AEC 是等腰三角形．例4 如图6，已知等腰R ｔ△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，BF 平分∠ABC ，CD ⊥BD 交BF 的延长线于D ．求证：BF ＝2CD ．简析 由BF 平分∠ABC ，CD ⊥BD ，并在图5的揭示之下，延长线BA ，CD 交于点E ，于是△BCE 是等腰三角形，并有ED ＝CD ，余下来的问题只需证明BF ＝CE ，而事实上，由∠BAC ＝90°，CD ⊥BD ，∠AFB ＝∠DFC ，得∠ABF ＝∠DCF ，而AB ＝AC ，所以△ABF ≌△ACE ，则BF ＝CE ，故BF ＝2CD ．三、作倍角的平分线→等腰三角形当一个三角形中出现一个角是另一个角的2倍时，我们就可以作倍角的平分线寻找到等腰三角形．如图7中，若∠ABC ＝2∠C ，如果作BD 平分∠ABC ，则△DBC 是等腰三角形．例5 如图8，△ABC 中，∠ACB ＝2∠B ，BC ＝2AC ．求证：∠A ＝90°．简析 由于条件中有两个倍半关系，而结论与角有关，因此首先考虑对∠ACB ＝2∠B 进行技术处理，即作CD 平分∠ACB 交AB 于D ，过D 作DE ⊥BC 于E ，则由∠ACB ＝2∠B 知∠B ＝∠BCD ，即△DBC 是等腰三角形，而DE ⊥BC ，所以BC ＝2CE ，又BC ＝2AC ，所以AC ＝EC ，所以易证得△ACD ≌△ECD ，所以∠A ＝∠DEC ＝90°．E 图5 AB C D 图6 B F DE C A 图7 B C D A E 图8 C B A D。
三角形中的特殊模型-平分平行(射影)构等腰、角平分线第二定理模型(解析版)
三角形中的特殊模型-平分平行(射影)构等腰、角平分线第二定理模型角平分线在中考数学中都占据着重要的地位，角平分线常作为压轴题中的常考知识点，需要掌握其各大模型及相应的辅助线作法，且辅助线是大部分学生学习几何内容中的弱点，，本专题就角平分线的非全等类模型作相应的总结，需学生反复掌握。
平分平行(射影)构等腰模型、角平行线第二定理模型(内角平分线定理和外角平分线定理模型)平分平行(射影)构等腰1)角平分线加平行线必出等腰三角形．模型分析：由平行线得到内错角相等，由角平分线得到相等的角，等量代换进行解题．平行线、角平分线及等腰，任意由其中两个条件都可以得出第三个。
(简称：“知二求一”，在以后还会遇到很多类似总结)。
平行四边形中的翻折问题就常出现该类模型。
图1图2图3条件：如图1，OO'平分∠MON，过OO'的一点P作PQ⎳ON. 结论：△OPQ是等腰三角形。
条件：如图2，△ABC中，BD是∠ABC的角平分线，DE∥BC。
结论：△BDE是等腰三角形。
条件：如图3，在△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，过点O作BC的平行线与AB，AC分别相交于点M，N．结论：△BOM、△CON都是等腰三角形。
2)角平分线加射影模型必出等腰三角形．→图4条件：如图4，BE平分∠CBA，∠ACB=∠CDA=90°. 结论：三角形CEF是等腰三角形。
1(2023·浙江·八年级假期作业)如图，已知∠AOB，以点O为圆心，以任意长为半径画弧，与OA、OB分别于点C、D，再分别以点C、D为圆心，以大于12CD为半径画弧，两弧相交于点E，过OE上一点M作MN∥OA，与OB相交于点N，∠MOB=50°，则∠AOM=．【答案】25度/25°【分析】通过两直线平行，同位角相等，再利用角平分线定义求解即可．【详解】∵MN∥OA，∴∠AOB=∠MNB=50°，由题意可知：OM平分∠AOB，∠AOB=25°．故答案为：25°．∴∠AOM=∠MOB=12【点睛】本题考查了基本作图，作已知角的角平分线及其定义和平行线的性质，解此题的关键是熟练掌握基本作图和平行线的性质及角平分线定义的应用．2(2023·浙江·八年级期中)如图，已知△ABC的两边AB=5，AC=8，BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB，过点O作DE∥BC，则△ADE的周长等于．【答案】13【分析】根据BO平分∠CBA，CO平分∠ACB，且ED∥BC，可得出OD=OB，OE=OC，所以三角形ADE的周长是AB+AC.【详解】解：∵BO平分∠CBA，CO平分∠ACB，∴∠DBO=∠OBC，∠OCE=∠OCB，由∵DE∥BC，∴∠DOB=∠OBC，∠EOC=∠OCB，∴∠DBO=∠DOB，∠EOC=∠ECO，∴DO=DB，EO=EC，·又∵AB=5，AC=8，∴ADE的周长=AD+DE+AE=AB+AC=13【点睛】本题主要考查了角平分线的定义、平行线的性质以及等腰三角形的判定，其中运用角平分线的定义和平行线的性质创造等腰三角形的条件是关键．3(2023·广东·八年级期末)如图，▱ABCD中，AB=3cm，BC=5cm，BE平分∠ABC交AD于E点，CF 平分∠BCD交AD于F点，则EF的长为cm．【答案】1【分析】根据角平分线的概念、平行线的性质及等腰三角形的性质，可分别推出AE=AB，DF=DC，进而推出EF=AE+DF-AD．【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠AEB=∠EBC，AD=BC=5cm，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠EBC，则∠ABE=∠AEB，∴AB=AE=3cm，同理可证：DF=DC=AB=3cm，则EF=AE+FD-AD=3+3-5=1cm．故答案为：1．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，关键是运用角平分线的概念和平行线的性质，由等角推出等边．4(2023.江苏八年级期中)如图，已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，∠BCA的角平分线交AD与F，交AB于E，FG⎳BC交AB于G．AE=4cm，AB=12cm，则BG=，GE=．【答案】4cm；4cm．【详解】过E作EH垂直BC交BC于H点，易证△AEC≌△EHC；由角度分析易知∠AEF=∠AFE，即AE=AF，则有EH=EA=AF；又可证△AGF≌△BHE，则AG=EB=12-4=8，则BG=8-4=4，GE=4．【点睛】这道题主要讲解角平分线加射影模型必出等腰三角形的模型．角平行线第二定理(内角平分线定理和外角平分线定理)模型1)内角平分线定理图1图2图3条件：如图1，在△ABC中，若AD是∠BAC的平分线。
全等三角形问题中常见的8种辅助线的作法(有答案)
全等三角形问题中常见的辅助线的作法总论：全等三角形问题最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，构造二个角之间的相等【三角形辅助线做法】图中有角平分线，可向两边作垂线。
也可将图对折看，对称以后关系现。
角平分线平行线，等腰三角形来添。
角平分线加垂线，三线合一试试看。
线段垂直平分线，常向两端把线连。
要证线段倍与半，延长缩短可试验。
三角形中两中点，连接则成中位线。
三角形中有中线，延长中线等中线。
1.等腰三角形“三线合一”法：遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题2.倍长中线：倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形3.角平分线在三种添辅助线4.垂直平分线联结线段两端5.用“截长法”或“补短法”：遇到有二条线段长之和等于第三条线段的长，6.图形补全法：有一个角为60度或120度的把该角添线后构成等边三角形7.角度数为30、60度的作垂线法：遇到三角形中的一个角为30度或60度，可以从角一边上一点向角的另一边作垂线，目的是构成30-60-90的特殊直角三角形，然后计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角。
从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。
8.计算数值法：遇到等腰直角三角形，正方形时，或30-60-90的特殊直角三角形，或40-60-80的特殊直角三角形,常计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角，从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。
常见辅助线的作法有以下几种：最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，二个角之间的相等。
1)遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变D C BAED F CB A换中的“对折”法构造全等三角形．2)遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”法构造全等三角形．3)遇到角平分线在三种添辅助线的方法，（1）可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．（2）可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角的两边相交，形成一对全等三角形。
构造等腰三角形解题的五种途径
构造等腰三⾓形解题的五种途径2019-09-19等腰三⾓形是⼀类特殊的三⾓形，它的性质和判定在⼏何证明和计算中有着⼴泛的应⽤.有些⼏何图形中不存在等腰三⾓形，可根据已知条件和图形特征，通过添加适当的辅助线，巧妙构造等腰三⾓形，然后利⽤等腰三⾓形的性质使问题获解.⼀、利⽤⾓平分线+平⾏线，构造等腰三⾓形当⼀个三⾓形中出现⾓平分线，我们可以通过作平⾏线构造等腰三⾓形.如图1，AD是ABC的⾓平分线.①如图2，过点D作DE∥AC交AB于点E，则ADE是等腰三⾓形；②如图3，过点B作BE∥AC交AD的延长线于点E，则ABE是等腰三⾓形；③如图5，点E是AB边上⼀点，过点E作EF∥AC分别交AD、BC于点F、G，则AEF是等腰三⾓形；④如图4，点E是AB边上⼀点，过点E作EF∥AC，交AD的延长线于点F，交BC于点G，则AEF是等腰三⾓形；⑤如图6，过点C作CE∥AD交AB的反向延长线于点E，则ACE是等腰三⾓形；⑥如图7，点E是AC边上⼀点，过点E作EF∥AD，交AB的反向延长线于点F，交BC于点G，则AEF是等腰三⾓形.我们知道，等腰三⾓形的顶⾓平分线、底边上的中线和底边上的⾼互相重合，简称“三线合⼀”.现在的问题是：如果三⾓形⼀边上的中线与它的对⾓的⾓平分线重合，那么这个三⾓形是否是等腰三⾓形呢？答案是肯定的，现在就来证明这个定理.例1 如图8，ABC中，中线AD平分∠BAC.求证：AB=AC.分析：AD既是AC的中线，同时⼜是ABC的⾓平分线.联想到与⾓平分线和中线有关的辅助线，可过点B（或点C）作AC（或AB）的平⾏线.证明：如图9，延长AD⾄点E，使DE=AD.BD=CD，∠BDE=∠ADC，DE=AD，BDE≌CDA.BE=AC，∠E=∠CAD.⼜∠BAD=∠CAD，∠BAD=∠E.AB=BE.AB=AC.说明：本例也可过点D作DEAB，DFAC，垂⾜分别为E、F，如图10所⽰，从⾯积⼊⼿证明.⼆、利⽤⾓平分线+垂线，构造等腰三⾓形当⼀个三⾓形中出现⾓平分线时，我们也可以通过作垂线的⽅法构造等腰三⾓形.如图11，点E是∠ABC的⾓平分线AD上的⼀点，过点E作AD的垂线分别交AB、AC于点M、N，则AMN是等腰三⾓形.例2 如图12，在ABC中，∠A=90°，AB=AC，∠ABC的平分线BD交AC于D， CEBD，交BD的延长线于点E.求证：CE=BD.分析：由⾓平分线和垂线可以构造以BC为腰、∠ABC为顶⾓的等腰三⾓形.证明：如图12，延长CE交AB的反向延长线于点F.BD平分∠ABC，CEBD，由⾓平分线的对称性知CE=EF=CF.∠1+∠F =90°，∠2+∠F =90°，∠1=∠2.⼜AB=AC，∠BAD=∠CAF=90°，BAD≌CAF.BD=CF.CE=BD.三、利⽤中垂线，构造等腰三⾓形当⼀个三⾓形中出现⾼时，可以在⾼所在的边（或其延长线）上取⼀点，使⾼是该点与该边上三⾓形的⼀顶点组成的线段的中垂线，从⽽构造等腰三⾓形.如图13，AD是ABC的⾼.①如图14，在线段BC上取⼀点E使ED=DE，连结AE，则AEC是等腰三⾓形；②如图15，在线段BC的延长线上取⼀点E，使BD=DE连结AE，则ABE是等腰三⾓形.例3 如图16，在ABC中，ADBC于点D，∠B=2∠C.求证：AB+BD=CD.分析：由待证结论AB+BD=CD并结合已知条件“ADBC”，可构造以AB为腰、AD为底边上的⾼的等腰三⾓形.证明：在BC上取⼀点E，使BD=DE，连结AE，则ABE是等腰三⾓形.AB=AE，∠B=∠AED.⽽∠AED=∠C+∠CAE，且∠B=2∠C，∠C+∠CAE=2∠C.∠CAE=∠C.AE=CE.AB=CE.AB+BD=CE+DE=CD.四、利⽤平⾏线，构造等腰三⾓形过等腰三⾓形⼀腰上的点作底边或另⼀腰的平⾏线，都可以得到等腰三⾓形. 如图17，在ABC中，AB=AC.过线段AB上⼀点D 作DE∥BC，DF∥AC，分别交AC、BC于点E、F，则ADE和BDF都是等腰三⾓形.例4 如图18，ABC中，AB=AC，D是AB上⼀点，E是AC延长线上⼀点，且BD=CE，DE交BC于点F.求证：DF=EF.分析：由待证结论知点F是线段DE的中点，再结合已知条件“AB=AC”，可过点D作DM∥AC构造等腰三⾓形.证明：过点D作DM∥AC交BC于点M，则∠DMB=∠ACB，∠FDM=∠E.AB=AC，∠B=∠ACB.∠B=∠DMB.BD=DM.⼜BD=CE，DM=CE.在DMF和ECF中，DM=CE，∠FDM=∠E，∠DFM=∠EFC，DMF≌ECF.DF=EF.说明：本例也可过点E作EN∥AB交BC的延长线于点N，证明过程留给同学们完成.五、转化倍⾓，构造等腰三⾓形当⼀个三⾓形中出现⼀个⾓是另⼀个⾓的2倍时，我们就可以通过转化倍⾓寻找到等腰三⾓形.如图19，ABC中，∠B=2∠C.①如图20，作BD平分∠ABC，则DBC是等腰三⾓形；②如图21，延长CB到点D，使BD=BA，连结AD，则ADC是等腰三⾓形；③如图22，以C为⾓的顶点，CA为⼀边，在形外作∠ACD=∠ACB，交BA的延长线于点D，则DBC是等腰三⾓形.例5 如图23，在ABC中，∠ABC=2∠C，BC=2AB.求证：∠A=90°.分析：结合已知条件“∠ABC=2∠DBA”和“BC=2AB”，可作∠ABC的平分线BD交AC于点D，并取BC的中点E，连结DE，借助等腰三⾓形的“三线合⼀”和三⾓形全等证明.证明：作∠ABC的平分线BD交AC于点D，则∠DBE=∠C.BD=CD.取BC的中点E，连结DE，则BE=AB，且DEBC.在ABD和EBD中，BE=AB，∠DBE=∠DBA，BD=BD，ABD≌EBD.∠BED=∠A=90°.（作者单位：湖北省襄阳市襄州区黄集镇初级中学）注：本⽂为⽹友上传，不代表本站观点，与本站⽴场⽆关。
角平分线与平行线结合的等腰三角形问题Word版
角平分线与平行线构造等腰三角形问题基本图形1已知： AB∥CD, （1）CE平分∠ACD交AB于E.问⊿ACE是什么特殊三角形？（2）反过来，若AC＝AE,问CE是∠ACD的平分线吗?基本图形2已知：△ABC,AB＝AC,（1）AE是外角∠BAD的平分线.问AE与BC平行吗？（2）若AE∥BC，问∠DAE＝∠BAE吗？（3）若AE是外角∠BAD的平分线，且AE∥BC，AB＝AC吗？问题举例1.已知：如图，AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F，求证：四边形AEDF是菱形。
2．（2016•泰安）如图，在□ABCD中，AB=6，BC=8，∠C的平分线交AD于E，交BA的延长线于F，则AE+AF的值等于（）A．2 B．3 C．4 D．63．如图，CD、BD平分∠BCA及∠ABC，EF过D点且EF∥BC，AB＝8，AC＝6 。
则△AEF的周长是______ 4.（2013泰安）如图，在平行四边形ABCD中，AB=4，∠BAD的平分线与BC的延长线交于点E，与DC 交于点F，且点F为边DC的中点，DG⊥AE，垂足为G，若DG=1，则AE的边长为（）A．2B．4C．4 D．85.（2013菏泽）如图所示，在△ABC中，BC=6，E、F分别是AB、AC的中点，动点P在射线EF上，BP交CE于D，∠CBP的平分线交CE于Q，当CQ=3CE时，EP+BP= ．6.如图，正方形ABCD中，AB＝6，点E在边C D上，且CD＝3DE．将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连结AG、CF．下列结论：①△ABG≌△AFG；②BG＝GC；③AG∥CF；④S△FGC＝3．其中正确结论的个数是( )A．1 B．2 C．3 D．47.已知：□ABCD,BE平分∠ABC, CF平分∠BCD,BE、CF分别交AD于E、F，BE与CF交于点G．(1)求证：BE⊥CF．(2)若AB=5，BC=8，求EF的长．8.（2013•张家界）如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC．设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F.求证：OE=OF；9.（2013泰安）如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，E为AB的中点，（1）求证：AC2=AB•AD；（2）求证：CE∥AD；10.已知：△ABC，AB＝AC，AE是外角∠BAD的平分线，点D为BC的中点，DE∥AC交AE于E,连接BE.求证：四边形AEBD是矩形. 11.（2017.岱岳区）如图，已知一次函数y=23x-3与反比例函数y=xk的图象相交于点A（4，n），与X 轴相交于点B.（1）求反比例函数的表达式；（2）将线段AB沿X轴向右平移5个单位到DC，设DC与双曲线交于点E，求点E到x轴的距离.。
全等三角形经典辅助线做法汇总
全等三角形问题中常见的辅助线的作法（有答案）总论：全等三角形问题最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，构造二个角之间的相等【三角形辅助线做法】图中有角平分线，可向两边作垂线。
角平分线平行线，等腰三角形来添。
线段垂直平分线，常向两端把线连。
三角形中两中点，连接则成中位线。
也可将图对折看，对称以后关系现。
角平分线加垂线，三线合一试试看。
要证线段倍与半，延长缩短可试验。
三角形中有中线，延长中线等中线。
1. 等腰三角形“三线合一”法：遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题2.倍长中倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形3. 角平分线在三种添辅助线4. 垂直平分线联结线段两端5.用“截长法”或“补短法” ：遇到有二条线段长之和等于第三条线段的长，6. 图形补全法：有一个角为60 度或120 度的把该角添线后构成等边三角形7.角度数为30 、60 度的作垂线法：遇到三角形中的一个角为30 度或60 度，可以从角一边上一点向角的另一边作垂线，目的是构成30-60-90 的特殊直角三角形，然后计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角。
从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。
8. 计算数值法：遇到等腰直角三角形，正方形时，或30-60-90 的特殊直角三角形，或40-60-80 的特殊直角三角形, 常计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角，从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。
常见辅助线的作法有以下几种：最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，二个角之间的相等。
1）遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”法构造全等三角形2）遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”法构造全等三角形．3）遇到角平分线在三种添辅助线的方法4）（1）可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折” ，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．（2 ）可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角的两边相交，形成一对全等三角形。
角平分线等腰三角形平行线课件
02
等腰三角形的基本性质
等腰三角形的定义
等腰三角形是两边相等的三角形。 等腰三角形两底角相等。
等腰三角形的高、中线、角平分线三线合一。
等腰三角形的性质
两个底角相等，且每个底角的大 小为（180° - 顶角度数）/ 2。
顶角与底角的大小关系为：顶角 > 底角。
等腰三角形的中线、高线和角平 分线三线合一。
等腰三角形的判定
如果一个三角形有两边相等，则它是 等腰三角形。
如果一个三角形的中线、高线和角平 分线三线合一，则它是等腰三角形。
如果一个三角形有两个底角相等，则 它是等腰三角形。
03
平行线的基本性质
平行线的定义
平行线的定义
在同一平面内，两条永不相交的直线称为平行线。
平行线的表示方法
用符号“//”表示两条直线平行。
判定2
内错角相等则两直线平行 。如果∠3=∠4，则 AB//CD。
判定3
同旁内角互补则两直线平 行。如果∠5+∠6=180°， 则AB//CD。
04
角平分线等腰三角形和平行线的综合应 用
角平分线与等腰三角形的综合应用
总结词
利用角平分线性质和等腰三角形性质，解决几何问题。
详细描述
在几何问题中，常常需要综合运用角平分线性质和等腰三角形性质。角平分线性质指出，角平分线将相对边分成 两段相等的线段，而等腰三角形性质则说明等腰三角形两底角相等且对应的两腰相等。通过结合这两个性质，可 以解决一些复杂的几何问题，例如求角度、证明线段相等或进
性质1
同位角相等。当两条直线 被第三条直线所截，同位 角相等，即∠1=∠2。
性质2
内错角相等。当两条直线 被第三条直线所截，内错 角相等，即∠3=∠4。
等腰三角形、角平分线、平行线知二推一(2013年广州中考压轴题)
△OEC内部有三个等腰三角形。
马上CA和CE割线定理：CD*CE=CB*CA
ED x 5 1, AE 5 1
所以AE*ED=4
广州数学江志兴
（2）当OC＞时，CD所在直线于圆O相交，设另一交点为E，连接AE．
①当D为CE中点时，求△ACE的周长；
E
E
2
D
D
2
2
A 2 O 2B C
A 2 O 2B C
方法二：连OE,OD得到径弦三角形，从 OE=OD=ED=DC，多等长想圆，马上知道 △EOC为直角三角形。从EO=2，EC=4， 知道∠C=30°，从而计算出AE,AC
AEC周长 2
22 36
广州数学江志兴
（2）当OC＞2 2 时，CD所在直线于⊙O相交，设另一交点为E，连接AE．
①当D为CE中点时，求△ACE的周长；
②连接OD，是否存在四边形AODE为梯形？若存在，请说明梯形个数并求此
时AE•ED的值；若不存在，请说明理由．
Ex D
（2）②本题第一个知识链接：过等腰三角形 一腰上一点，作腰或底的平行线，都得到一 个新年等腰三角形。
时AE•ED的值；若不存在，请说明理由．
Ex
a
D
Aa
a
axa
2
a
2 O 2 BC
（2）②本题第二个知识链接：等腰三角形 平行线，角平分线，三者知二推一 现在△AEC为等腰，OD平行AE，所以连接
，得OD为∠EOB的平分线！ 圆中有角平分线，就等于有弧中点，所以连 BD，必然有DB=ED=x,然后∠BDC四边形 AEDB的外角等于内对角∠A，所以这个
2013年广州中考压轴题
技巧知识点全剖析
已知AB是圆O的直径，AB＝4，点C在线段AB的延长线上运动，点D在圆O上运动（不 与点B重合），连接CD，且CD＝OA
八年级数学人教版(上册)小专题(七)角平分线+平行线→等腰三角形
(2)如图 2，AB＞AC，BD 平分∠ABC，CD 平分△ABC 的外角 ∠ACG，过点 D 作 DE∥BC，分别交 AB，AC 于点 E，F，则 EF 与 BE，CF 之间有何关系？写出你的结论，并加以证明.
解： BE－CF＝EF. 证明：∵BD 平分∠ABC，CD 平分∠ACG， ∴∠EBD＝∠CBD，∠FCD＝∠DCG. ∵DE∥BC，
第十三章 轴对称
小专题(七) 角平分线＋平行线→等腰三角形
模型展示 常见的“角平分线＋平行线→等腰三角形”模型有以下两种：
(1)如图 1，BC 平分∠ABD，AC∥BD，AC＝3，则 AB＝ 3 . (2)如图 2，AE∥BC，AE 平分∠DAC，则△ABC 是等腰 三角形.
模型应用 (1)如图 3，在△ABC 中，BE 是角平分线，DE∥BC 交 AB 于点 D．若 DE＝7，AD＝5，则 AB＝ 12 .
∴∠EDB＝∠CBD，∠FDC＝∠DCG.
∴∠EDB＝∠CBD，∠FDC＝∠DCG. ∴BE＝DE，CF＝DF. 又∵ED－DF＝EF，∴BE－CF＝EF.
(3)如图 3，BD，CD 分别平分△ABC 的外角∠GBC 和∠HCB， 过点 D 作 DE∥BC，分别交 BG，CH 于点 E，F，则 EF 与 BE，CF 之间存在怎样的关系？直接写出你的结论.
(2)如图 4，在△ABC 中，∠ABC 与∠ACB 的平分线相交于点 F， 过点 F 作 DE∥BC，分别交 AB，AC 于点 D，E.若 AB＝12，AC ＝18，BC＝24，则△ADE 的周长为 30 .
1.(2021·淄博)如图，在△ABC 中，∠ABC 的平分线交 AC 于点 D，过点 D 作 DE∥BC 交 AB 于点 E.
(1)求证：BE＝DE. 证明：∵BD 平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠CBD． ∵DE∥BC，
角平分线等腰三角形平行线
∴CD=DE(角平分线上的点到角两边的距离相等)
∴DE=3
1.已知△ABC 中, ∠C= 90°，A
AD平分∠CAB ，BC=10 ，
BD=7 ，求点D到
E
AB 的距离为﹍3﹍﹍。
解: 过D作DE⊥AB于点 E C
D
B
∵∠C= 90°，DE⊥AB ,AD平分∠ CAB ， ∴CD=DE(角平分线上的点到角两边的距离相等) ∵ BC=10， BD=7 ∴DE=CD=BC -BD=10-7=3
5、若过△ABC 的两个外角平分线的交点作这
两个角的公共边的平行线，如图所示，则
线段EF与线段BE，CF三者
又有何数量关系？
A
C B
E
D
F
竭尽所想:
例：在△ABC 中,∠ABC=∠ACB， BO平分∠AB CO平分∠ACB ，你能得到什么结论呢?
A
得到一点0，使它到三边距离都相等
● 连接AO,并延长与BC相
∴ ∠1=∠2 ∴AD∥BC
在一个题目中，已知：
（1）角平分线+平行线=>等腰三角形 （2）角平分线+等腰三角??形=>平行线 （3）平行线+等腰三角形=>角平分线
基本图形变化延伸
如图，BF平分∠ABC，CF平分∠ACB，过点F作 DE∥BC，分别交AB、AC于Ｄ、Ｅ两点，已知AB=6cm
，AC=9cm，求△ADE的周长
如图，AB=AD，BC=CD，AC，BD相交于 E点，由这些条件你能推导出哪些结论呢？ 请说明理由。
D
A
E
C
B
能力挑战：
如图，△ABC 和△EDC都为等边三角形
A
请试着说明 AD=BE
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14，6复习课1：2008-4-30
一、巩固运用---熟识基本图形“角平分线--平行线--等腰三角形”
1、根据以下各图及已知条件，分别指出图形中的等腰三角形，并说明理由.
（l ）如图7，OC 平分∠A OB ，C D∥OB. （2）如图8，OC 平分∠AOB ，OC ∥BD.
（3）如图9，AD 平分∠BAC，C E∥AD .
（4）如图10，AD 平分∠BAC，G E∥AD .
[说明]要求不但巩固“等角对等边”，而且从中归纳出一个“基本图形”：角平分线加平行线、出现等腰三角形.（戏称此图为“抱孩子图形”）.这个多题归一的题组练习以“抱孩子图形”为载体，有益于探究意识的增强.
2、根据教学实际情况，可酌情进一步训练（选用）
（l ）如图11，已知BD 平分∠ABC ，CD 平分∠ACB ，EF ∥BC
说明EF=BE+CF ；
（2）如图12，已知BD 平分∠ABC ，CD 平分∠ACB ，DE ∥AB ，DF ∥AC 说明△DEF 的周长为
BC ；
（3）如图13，已知BD 平分∠ABC ，CD 平分△ABC 的一个外角，DE ∥BC ，说明EF=BE –CF ；
（4）如图14，已知AB 平分∠DAE ，AC 平分∠DAF ，BC ∥EF
说明AD=2
1BC.
[说明]在学习几何说理表达规范的同时，初步感知从复杂图形中区分出基本图形的分解与组合思想；另外，由第4小题引导学生得出直角三角形的一个性质定理，以此鼓励学生在实践应用中逐步积累有关发现、叙述、总结数学规律的经验.
14．6复习课2：2008-4-30
二、拓展运用---质疑等腰三角形三线合一的逆命题的正确性
由等腰三角形的性质“等边对等角”与判定“等角对等边”的关系，自然会联想另一性质“等腰三角形的三线合一”的逆命题及其正确与否.
习题1：如图15，根据以下条件，能否判断△ABC是等腰三角形？并说明理由.
（l）已知∠BAD=∠DAC，AD⊥BC，
（2）已知BD=DC，AD⊥BC，
（3）已知∠BAD=∠DAC ，BD=DC，
第3小题是习题1的重点，需倍长中线，化归为判定等腰三角形.最后归纳：若三角形一边上的中线，此边上的高，此边所对角的平分线中任意两条重合，则此三角形为等腰三角形.
[说明]教学中进行“逆向思考”、“反思学习”的指导，鼓励学生对已有的知识经验进行反思、质疑，对问题进行多角度分析.
三、拓展运用—三角形中线添线方法
习题2：已知，如图16，线段a、h，
求作△ABC，使AB=AC，且BC=a，高AD=h
习题3：如图17，已知点E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE=∠CDE求证：AB=CD .
现给出以下两种添加辅助线(如图18、图19)的方法，请任选一种证明.
总结规律：证明几何元素间的度量关系.比如要证明两线段相等时，往往先观察这条两线段分布在什么位置上，是等腰三角形的两腰，还是两个全等三角形的对应边，然后有的放矢，证明一个三角形是等腰三角形，或两个三角形全等.
四，拓展应用——构造等腰三角形
习题4：如图分别是小杰，小丽制作的两个风筝.他(她)根据AB=AD，∠B=∠D，不用测量就知BC=CD，请你用所学知识说明理由.（如图4，图5）
[说明] 本题应联结BD，构造等腰三角形；而学生常会先试着联结AC，陷入构造全等三角形的思维定势.教学中注意利用认知冲突培养学生思维的批判性.
习题5：如图6、图7、图8，在△ABC中，AB=AC，
（1）用一条直线把以下各三角形分割成两个等腰三角形.
（2）能否用两条直线把以下各三角形分割成三个等腰三角形呢？
习题6：如图9，在正方形ABCD所在的平面内，是否能找到这样的点P，使△PAB，△PBC，△PCD，△PDA都是等腰三角形？
如果存在，请在图中画出所有的点P，并分别写出∠PAB的度数；
如果不存在，请说明其理由.
习题7：图10已知⊙O中，AC=BD，说明△OCD是等腰三角形.
习题8：图11已知在△ABC中，∠DBC =∠DCB，∠BAD =∠CAD，说明AB=AC.。