专题(五)不等式与参数方程参考答案

10．（2010·江苏高考·Ｔ2１）在极坐标系中，已知圆ρ=2cos θ与直线3ρcos θ+4ρsin θ+a=0相切，求实数a 的值．【命题立意】本题主要考查曲线的极坐标方程等基本知识，考查转化问题的能力． 【思路点拨】将圆ρ=2cos θ与直线3ρcos θ+4ρsin θ+a=0化为普通方程后求解.【规范解答】∵ρ=2cos θ，∴22c o s ρρθ=，圆的普通方程为：22222,(1)1x y x x y +=-+=，直线3ρcos θ+4ρsin θ+a=0的普通方程为340x y a ++=，又圆与直线相切，所以22|3140|1,34a ⋅+⋅+=+解得：2a =，或8a =-．11．（2010·福建高考理科·Ｔ21）在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为(t 为参数)．在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，圆C 的方程为ρ=25sin θ．(Ⅰ)求圆C 的直角坐标方程；(Ⅱ)设圆C 与直线l 交于点,A B ．若点P 的坐标为(3，5)，求PA PB +． 【命题立意】本题主要考查直线的参数方程、圆的极坐标方程，直线与圆的位置关系等基础知识，考查运算求解能力．【思路点拨】（1）求圆的标准方程，（2）写出直线的一般方程，联立圆与直线的方程可求出A ，B 的坐标，进而求出|PA|+|PB|的值．【规范解答】 （1）由ρ=25sin θ，得ρ2=25ρsin θ，∴x 2+y 2=25y ,所以5)5(5)552(2222=-+⇒=+-+y x y y x .（2）直线的一般方程为03553=-+-⇔-=-y x y x ，容易知道P 在直线上，又5)55(322>-+，所以P 在圆外，联立圆与直线方程可以得到：)25,1(),15,2(--B A ，所以|PA|+|PB|=3 2.12．（2010·辽宁高考理科·Ｔ23）已知P 为半圆C ：cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数，πθ≤≤0）上的点，点A 的坐标为（1, 0），O 为坐标原点，点M 在射线OP 上，线段OM 与C 的弧AP 的长度均为3π. （1）以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求点M 的极坐标； （2）求直线AM 的参数方程.【命题立意】本题考查了点的极坐标，以及直线的参数方程，考查计算能力和转化与化归能力．【思路点拨】（1）由M 点的极角和极径，直接写出点M 的极坐标．（2）先求点M 的直角坐标，再用直线的参数方程写出所求直线的参数方程． 【规范解答】（1）由已知，M 点的极角为3π，且M 点的极径等于3π， 故点M 的极坐标为（3π，3π）.（2）M 点的直角坐标为（3,66ππ），A （0,1），故直线AM 的参数方程为 1(1)636x t y t ππ⎧=+-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，（t 为参数）. 13．（2010 ∙海南宁夏高考∙理科T23）已知直线1C:，（t 为参数），圆2C:(θ为参数)， （1)当α=3π时，求1C 与2C 的交点坐标； （2）过坐标原点O 作1C 的垂线，垂足为A ,P 为OA 的中点，当α变化时，求P 点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线.【命题立意】本题主要考查了极坐标方程与普通方程的灵活转化. 【规范解答】（1）当3πα=时，C 1的普通方程为3(1)y x =-，C 2的普通方程为221x y +=.联立方程组解得C 1与C 2的交点为（1,0），13(,)22-.（2）C 1的普通方程为sin cos sin 0x y ααα--=.A 点坐标为2(sin ,cos sin )ααα-，故当α变化时，P 点轨迹的参数方程为P 点轨迹的普通方程为2211()416x y -+=故P 点轨迹是圆心为1(,0)4，半径为14的圆.例11. （2012年福建省理7分）选修4－4：（坐标系与参数方程）在平面直角坐标系中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l 上两点M ，N 的极坐标分别为(2,0)，⎝⎛⎭⎫233，π2，圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝－3＋2sin θ(θ为参数)．（Ⅰ）设P 为线段MN 的中点，求直线OP 的平面直角坐标方程； （Ⅱ）判断直线l 与圆C 的位置关系．【答案】解：（Ⅰ）由题意知，M ，N 的平面直角坐标分别为(2,0)，⎝⎛⎭⎫0，233，又P 为线段MN 的中点，从而点P 的平面直角坐标为⎝⎛⎭⎫1，33， 故直线OP 的平面直角坐标方程为y ＝33x 。

（Ⅱ）因为直线l 上两点M ，N 的平面直角坐标分别为(2,0)，⎝⎛⎭⎫0，233，所以直线l 的平面直角坐标方程为3x ＋3y －23＝0。

又圆C 的圆心坐标为(2，－3)，半径r ＝2，圆心到直线l 的距离d ＝|23－33－23|3＋9＝32＜r ，故直线l 与圆C 相交。

【考点】极坐标和直角坐标的互化，点到直线的距离，直线和圆的位置关系。

【解析】（Ⅰ）求出点P 的平面直角坐标，即可求出直线OP 的平面直角坐标方程。

（Ⅱ）求出直线l 的平面直角坐标方程和圆心坐标、半径，将圆心到直线l 的距离与半径比较即可。

例12. （2012年辽宁省理10分）在直角坐标x O y 中，圆221:4C x y +=，圆222:(2)4C x y -+=。

(Ⅰ)在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆12,C C 的极坐标方程，并求出圆12,C C 的交点坐标(用极坐标表示)；(Ⅱ)求出12C C 与的公共弦的参数方程。

【答案】解：（I ）由x cos y sin ρθρθ=⎧⎨=⎩，以及222x y ρ+=可知：圆221:4C x y +=的极坐标方程为ρ=2；圆222:(2)4C x y -+=即224x y x +=的极坐标方程为4cos ρθ=。

解24cos ρρθ=⎧⎨=⎩得23πρθ==±，。

∴圆12,C C 的交点坐标为2233ππ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，。

（II ）由x cos y sin ρθρθ=⎧⎨=⎩和圆12,C C 的交点坐标2233ππ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，得圆12,C C 交点的直角坐标为()()1313-，，，。

故圆12,C C 的公共弦的参数方程为1 x y t =⎧⎨=⎩（ 33t -≤≤）。

【考点】直线的参数方程和圆的极坐标方程、普通方程与参数方程的互化、极坐标系的组成。

【解析】（I ）利用 x cos y sin ρθρθ=⎧⎨=⎩，以及222x y ρ+=，直接写出圆1C ，2C 的极坐标方程，求出圆1C ，2C 的交点极坐标，然后求出直角坐标（用坐标表示）。

（II ）求出两个圆交点的直角坐标，直接写出圆1C 与2C 的公共弦的参数方程。

例13. （2012年江苏省10分）在极坐标中，已知圆C 经过点()24Pπ，，圆心为直线3sin 32ρθπ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭与极轴的交点，求圆C 的极坐标方程．三、解答题6. （2013·湖北高考理科·Ｔ13）设x ，y ，z ∈R ，且满足：x 2+y 2+z 2=1,x+2y+3z=14,则x+y+z=【解题指南】根据柯西不等式等号成立的条件，求出相应的x ，y ，z 的值。

【解析】由柯西不等式可知：（x+2y+3z ）2≤（x 2+y 2+z 2）（12+22+32），当且仅当123x y z==时取等号，此时y=2x ，z=3x ，x+2y+3z=14x=14，所以1414x =，21414y =，31414z =，x+y+z=614314.147= 【答案】3147. 7. （2013·湖南高考理科·Ｔ10）已知a,b,c ∈R,a+2b+3c=6,则a 2+4b 2+9c 2的最小值为 .【解题指南】本题是利用柯西不等式2332211232221232221)())((b a b a b a b b b a a a ++≥++++求最值【解析】因为36)32()94)(111(2222222=++≥++++c b a c b a ，所以1294222≥++c b a【答案】 12. 四、8.（2013·辽宁高考文科·Ｔ24）与（2013·辽宁高考理科·Ｔ24）相同已知函数(), 1.f x x a a =->其中()I 当2a =时，求不等式()44f x x ≥--的解集；()II 已知关于x 的不等式(2)2()2f x a f x +-≤的解集为{}12x x ≤≤，求a 的值。

【解题指南】利用绝对值的意义，去掉绝对值号，转化为整式不等式问题，是常用的化归方法.【解析】()I 当2a =时，26,2,()42,24,26, 4.x x f x x x x x -+≤⎧⎪+-=-<<⎨⎪-≥⎩当2x ≤时，由()442641f x x x ≥--⇒-+≥⇒≤； 当24x <<时，由()4424f x x ≥--⇒≥，不成立； 当4x ≥时，由()442645f x x x x ≥--⇒-≥⇒≥； 综上，1,5x x ≤≥或所以，当2a =时，不等式()44f x x ≥--的解集为{}1,5.x x x ≤≥或()II 记()(2)2()22h x f x a f x x x a =+-=--则2,0,()42,0,2,.a x h x x a x a a x a -≤⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩由(2)2()2f x a f x +-≤得()2h x ≤， 即11422242222a a x a x a x -+-≤⇒-≤-≤⇒≤≤由已知不等式(2)2()2f x a f x +-≤的解集为{}12x x ≤≤ 亦即()2h x ≤的解集为{}12x x ≤≤所以112122a a -⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩解得 3.a =24.9.（2013·新课标Ⅰ高考文科·Ｔ24）与（2013·新课标Ⅰ高考理科·Ｔ24）相同已知函数|2||12|)(a x x x f ++-=,3)(+=x x g （Ⅰ）当2-=a 时，求不等式)()(x g x f <的解集；（Ⅱ）设1->a ,且当]21,2[a x -∈)时，)()(x g x f ≤,求a 的取值范围. 【解析】当2-=a 时，不等式)()(x g x f <化为03|22||12|<---+-x x x . 设函数3|22||12|---+-=x x x y ，则⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>-≤≤--<-=1,63121,221,5x x x x x x y其图象如图所示，从图象可知，当且仅当)2,0(∈x 时，0<y .所以原不等式的解集是}20|{<<x x .（Ⅱ）当]21,2[a x -∈时，a x f +=1)(. 不等式)()(x g x f ≤化为31+≤+x a .所以2-≥a x 对]21,2[a x -∈都成立，故22-≥-a a ，即34≤a . 从而a 的取值范围为]34,1(-10. （2013·湖南高考理科·Ｔ20）在平面直角坐标系xOy 中,将从点M出发沿纵、横方向到达点N的任一路径称为M到N的一条“L路径”.如图所示的路径MM1M2M3N与路径MN1N都是M到N的“L路径”.某地有三个新建的居民区,分别位于平面xOy内三点A(3,20),B(-10,0),C(14,0)处.现计划在x轴上方区域(包含x轴)内的某一点P处修建一个文化中心.(1)写出点P到居民区A的“L路径”长度最小值的表达式(不要求证明).(2)若以原点O为圆心,半径为1的圆的内部是保护区,“L路径”不能进入保护区,请确定点P的位置,使其到三个居民区的“L路径”长度值和最小.【解题指南】(1)本题必须根据题目中图的提示弄清“L路径”是由直线段构成,所以只能用绝对值来表示.(2)先写出点P到三个居民区的“L路径”,则点P到三个居民区的“L 路径”长度值和的最小值为三个“L路径”的最小值之和,再利用绝对值知识去处理.【解析】设点P的坐标为(x,y),(1)点P到居民区A的“L路径”长度最小值为|x-3|+|y-20|,x∈R,y∈[0,+∞).(2)由题意知,点P到三个居民区的“L路径”长度之和的最小值为点P分别到三个居民区的“L 路径”长度最小值之和(记为d)的最小值. ①当y ≥1时,d=|x+10|+|x-14|+|x-3|+2|y|+|y-20|, 因为d 1(x)=|x+10|+|x-14|+|x-3|≥|x+10|+|x-14|, (*) 当且仅当x=3时,不等式(*)中的等号成立, 又因为|x+10|+|x-14|≥24. (**)当且仅当x ∈[-10,14]时,不等式(**)中的等号成立. 所以d 1(x)≥24,当且仅当x=3时,等号成立,d 2(y)=2y+|y-20|≥21,当且仅当y=1时,等号成立.故点P 的坐标为(3,1)时,P 到三个居民区的“L 路径”长度之和最小,且最小值为45. ②当0≤y ≤1时,由于“L 路径”不能进入保护区,所以d=|x+10|+|x-14|+|x-3|+1+|1-y|+|y|+|y-20|. 此时,d 1(x)=|x+10|+|x-14|+|x-3|, d 2(y)=1+|1-y|+|y|+|y-20|=22-y ≥21.由①知,d 1(x)≥24,故d 1(x)+d 2(y)≥45,当且仅当x=3,y=1时等号成立. 综上所述,在点P(3,1)处修建文化中心,可使该文化中心到三个居民区的“L 路径”长度之和最小. 11.（2013·安徽高考理科·Ｔ20）设函数22*222()1(,)23nn x x x f x x x R n N n=-+++++挝，证明：（1）对每个*n N Î，存在唯一的2[,1]3n x Î，满足()0n n f x =；（2）对任意*p N Î，由（1）中n x 构成的数列{}n x 满足10n n p x x n+<-<。