人教a版数学必修5第三章不等式教学案

人教A版数学必修5第三章不等式教学案

课题：§ 3.1不等式与不等关系

第1课时

授课类型：新授课

【教学目标】

1 ?知识与技能：通过具体情景，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，理解不等式（组）的实际背景，掌握不等式的基本性质；

2 ?过程与方法：通过解决具体问题，学会依据具体问题的实际背景分析问题、解决问题的方法；

3 ?情态与价值：通过解决具体问题，体会数学在生活中的重要作用，培养严谨的思维习惯。

【教学重点】

用不等式（组）表示实际问题的不等关系，并用不等式（组）研究含有不等关系的问题。理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值。

【教学难点】

用不等式（组）正确表示出不等关系。

【教学过程】

1. 课题导入

在现实世界和日常生活中，既有相等关系，又存在着大量的不等关系。如两点之间线段最短，三角形两边之和大于第三边，等等。人们还经常用长与短、高与矮、轻与重、胖与瘦、大与小、不超过或不少于等来描述某种客观事物在数量上存在的不等关系。在数学中，我们用不

等式来表示不等关系。

下面我们首先来看如何利用不等式来表示不等关系。

2. 讲授新课

1）用不等式表示不等关系

引例1:限速40km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40km/h, 写成不等式就是：v乞40

引例2:某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量应不少于 2.5%，蛋白质的含量p

应不少于2.3%，写成不等式组就是用不等式组来表示

问题1:设点A与平面:-的距离为d,B为平面〉上的任意一点，贝U d -| AB |。

问题2:某种杂志原以每本 2.5元的价格销售，可以售出8万本。据市场调查，若单价每提

高0.1元，销售量就可能相应减少2000本。若把提价后杂志的定价设为x元，怎样用不等

式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？

x _ 2 5

解：设杂志社的定价为x元，则销售的总收入为（8 0.2）x万元，那么不等关系

0.1

“销售的总收入仍不低于20万元”可以表示为不等式

x —2 5

（8 0.2）x_20

0.1

问题3:某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管截成500mm和600mm两种。按照生产的要求，600mm的数量不能超过500mm钢管的3倍。怎样写出满足所有上述不等关系的不等式呢？解：假设截得500 mm的钢管x根，截得600mm的钢管y根。根据题意，应有如下的不等关系：

（1 ）截得两种钢管的总长度不超过4000mm ;

（2）截得600mm钢管的数量不能超过500mm钢管数量的3倍；

（3）截得两种钢管的数量都不能为负。

要同时满足上述的三个不等关系，可以用下面的不等式组来表示：

500^600^4000;

』3x>y;

| xZO;

I y"

3. 随堂练习

1、试举几个现实生活中与不等式有关的例子。

2、课本P82的练习1、2

4. 课时小结

用不等式（组）表示实际问题的不等关系，并用不等式（组）研究含有不等关系的问题。

5. 评价设计

课本P83习题3.1[A组]第4、5题

【板书设计】

【授后记】

第2课时

授课类型：新授课

【教学目标】

1. 知识与技能：掌握不等式的基本性质，会用不等式的性质证明简单的不等式；

2 .过程与方法：通过解决具体问题，学会依据具体问题的实际背景分析问题、解决问题的方法；

3 .情态与价值：通过讲练结合，培养学生转化的数学思想和逻辑推理能力

【教学重点】

掌握不等式的性质和利用不等式的性质证明简单的不等式；

【教学难点】

利用不等式的性质证明简单的不等式。

【教学过程】

1. 课题导入

在初中，我们已经学习过不等式的一些基本性质。

请同学们回忆初中不等式的的基本性质。

(1)不等式的两边同时加上或减去同一个数，不等号的方向不改变；

即若a b= a -c?b=c

(2 )不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不改变；即若a b, c 0 二ac bc

(3 )不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变。即若a b, c ::: 0= ac ::: bc

2. 讲授新课

1、不等式的基本性质：

师：同学们能证明以上的不等式的基本性质吗？

证明：

1)°.° (a + c) —(b + c)

=a—b> 0,

a+ c > b+ c

2) T(a c)「(b c)二a「b 0 ,

实际上，我们还有a . b, b . c= a . c ,(证明：T a> b, b>c,

--a—b> 0, b —c > 0.

根据两个正数的和仍是正数，得

(a—b) + (b —c) > 0,即a —c > 0,

??? a> c.

于是，我们就得到了不等式的基本性质：

(1) a b,b c= a c

(2) a b= a c b c

(3) a b,c 0= ac bc

(4) a b,c ::: 0= ac ::: bc

2、探索研究

思考，禾U用上述不等式的性质，证明不等式的下列性质：

(1) a b,c d = a c b d ；

(2) a b 0,c d 0= ac bd ；

(3) a b 0,n N, n 1= a n b n;n a n b。

证明：

1)T a> b,

?- a+ c> b+

c.

?/ c> d,

…b+ c> b+ d.

由①、②得 a + c > b + d .

2)a b,c °—c b — ac bd c d,b 0= bc bd

3)反证法)假设n a 乞n b ,

则：若\a " = a ：：： b 这都与a b 矛盾,

a = b

［范例讲解］:

例1、已知a b 0,c ::: 0,求证

c c

。

a b 1 证明：以为a b ? 0 ,所以ab>0,- ab 1 1 1 1 a b ，即一 ab ab

ba 由 c<0，得 c .-

a b 3. 随堂练习1

1、课本P82的练习3

2、在以下各题的横线处适当的不等号:

3 + ?、2 ) 2

［补充例题］

例 2、比较(a + 3) (a —5 )与(a + 2) ( a — 4)的大小。

分析：此题属于两代数式比较大小，实际上是比较它们的值的大小，可以作差，然后展开， 合并同类项之后，判断差值正负 (注意是指差的符号，至于差的值究竟是多少，在这里无关 紧要)。根据实数运算的符号法则来得出两个代数式的大小。比较两个实数大小的问题转化

为实数运算符号问题。

解：由题意可知：

ab (2)

(6 — 1) 2； (3) .5-2

- 5 ' ⑷当 a >b > 0 时，log 1 a.

2 log 1 b 2

答案：⑴v (2)v (3 )v (4 )v

(a + 3)( a —5) — ( a + 2)( a —4)

=(a2—2a —1 5) — ( a2—2a—8)

= —7< 0

■'■( a+ 3)( a — 5)<( a + 2) ( a —4)

随堂练习2

1、比较大小：

(1)(x+5) (x +7)与(x+6) 2

(2)x25x 6与2x25x 9

4. 课时小结

本节课学习了不等式的性质，并用不等式的性质证明了一些简单的不等式，还研究了如何比较两个实数(代数式)的大小——作差法，其具体解题步骤可归纳为：

第一步：作差并化简，其目标应是n个因式之积或完全平方式或常数的形式；

第二步：判断差值与零的大小关系，必要时须进行讨论；

第三步：得出结论

5. 评价设计

课本P83习题3.1［A组］第2、3题；［B组］第1题

【板书设计】

【授后记】

课题：§ 3.2 一元二次不等式及其解法

第1课时

授课类型：新授课

【教学目标】

1 ?知识与技能：理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系，掌握图象法解一

元二次不等式的方法；培养数形结合的能力，培养分类讨论的思想方法，培养抽象概括能力和逻辑思维能力；

2 .过程与方法：经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程和通过函数图象探究

一元二次不等式与相应函数、方程的联系，获得一元二次不等式的解法；

3 ?情态与价值：激发学习数学的热情，培养勇于探索的精神，勇于创新精神，同时体会事

物之间普遍联系的辩证思想。

【教学重点】

从实际情境中抽象出一元二次不等式模型；一元二次不等式的解法。

【教学难点】

理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集的关系。

【教学过程】

1. 课题导入

从实际情境中抽象出一元二次不等式模型：

教材P84互联网的收费问题

教师引导学生分析问题、解决问题，最后得到一元二次不等式模型：

2

x —5x：：0 ................. (1) .....

2. 讲授新课

1) 一元二次不等式的定义

象x2 -5x 0这样，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是

2的不等式，称为一元二次不等式

2) 探究一元二次不等式x2 - 5x ：：： 0的解集

怎样求不等式(1)的解集呢？

探究：

(1)二次方程的根与二次函数的零点的关系

容易知道：二次方程的有两个实数根：X")= 0,屜-5

二次函数有两个零点：N =0,x2 =5

于是，我们得到：二次方程的根就是二次函数的零点。

(2 )观察图象，获得解集

画出二次函数y =x2_5X的图象，如图，观察函数图象，可知：