2020年全国高中数学联赛广西赛区初赛试题及答案解析
2020年全国高中数学联赛试题及详细解析
2020年全国高中数学联赛试题及详细解析说明：1． 评阅试卷时，请依据本评分标准。
选择题只设6分和0分两档，填空题只设9分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准规定的评分档次给分，不要再增加其它中间档次。
2． 如果考生的解题方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，5分为一个档次，不要再增加其他中间档次。
一、选择题（本题满分36分，每小题6分）本题共有6小题，每小题均给出A ，B ，C ，D 四个结论，其中有且仅有一个是正确的。
请将正确答案的代表字母填在题后的括号内。
每小题选对得6分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分。
1．使关于x 的不等式36x x k -+-≥有解的实数k 的最大值是（ ） A ．63- B ．3 C ．63+ D ．62．空间四点A 、B 、C 、D 满足,9||,11||,7||,3||====DA CD BC AB 则BD AC ⋅的取值（ ）A ．只有一个B ．有二个C ．有四个D ．有无穷多个6.记集合},4,3,2,1,|7777{},6,5,4,3,2,1,0{4433221=∈+++==i T a a a a a M T i 将M 中的元素按从大到小的顺序排列，则第2020个数是（ ）A ．43273767575+++ B ．43272767575+++ C ．43274707171+++ D ．43273707171+++二、填空题（本题满分54分，每小题9分） 本题共有6小题，要求直接将答案写在横线上。
7.将关于x 的多项式2019321)(x xx x x x f +-+-+-= 表为关于y 的多项式=)(y g,202019192210y a y a y a y a a +++++ 其中.4-=x y 则=+++2010a a a .8.已知)(x f 是定义在),0(+∞上的减函数，若)143()12(22+-<++a a f a a f 成立，则a 的取值范围是 。
全国高中数学联赛广西赛区预赛试题
全国高中数学联赛广西赛区预赛试题参考解答及评分标准一、选择题（每小题6分，共36分） 1、选C.解：关于t 的方程02=++c bt t 最多有两不同的解n m ,，从而n x f m x f ==)(,)(，必有一个方程有两个不相等的实根，另一个方程有三个不同的实数解.而由已知，只有1)(=x f 有三个不同的实数解.不妨设54321x x x x x <<<<，由于)(x f 关于直线2=x 对称，必有23=x ，451=+x x ，442=+x x ，故12345,,,,,()x x x x x f x x x x x ++++则＝81|210|1)10(=-=f .2、选D.解：根据题意，令 21kn m += （1）201l n m += （2）其中.k l l k m >均为正整数，且、、 (1)),2(10-⨯得 .39)10(,9102==-=--kl klkm m m m 即于是有以下三种可能：I .4,2,3,110,9===⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-=-l k m m m kl k经检验这组符合条件，此时.4=nII .,0,0,,910,1矛盾为任意正整数===⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-=-n l k m m m kl kIII .,310,3该方程组无正整数解⎪⎩⎪⎨⎧=-=-kl k m m 综上所述，n 只能取4.3、选A.解：对于正整数x ，2x被7除的余数规律是2，4，1，2，4，1，…；2x 被7除的余数规律是1，4，2，2，4，1，0，…. 所以，22x x -被7除所得余数的规律将呈周期性变化，周期为21，且一个周期内恰有6个x 的值使22xx -能被7整除，故在小于10000的正整数中，共有2857个正整数满足条件.4、选A.解：以P 为公共顶点，正四面体的各面为底面，将正四面体分为四个三棱锥，它们的体积之和即为正四面体的体积，所以点P 到各面距离之和等于正四面体的高.四面体每个面三角形的高 h ==，从而 3h =， 于是正四面体的高 2H == .5、选B.解：设双曲线的方程为),0,0(12222>>=-b a by a x 半焦距为c ，则.222b a c +=由,22121a B F B F A F A F =-=- ,1221B F B F A F A F =+=解得a B F A F 222==，这表明AB ⊥x 轴，又易知此时ab B F A F 222==，结合.222b a c +=解得双曲线的离心率.3==ace 6、选D.解：欲使方程有实根，应有240m n -≥.如上表，适合条件的m,n 共有19组，故36=P . 二、填空题（每小题9分，共54分）1、 1 .解：由 )()()(2121x f x f x x f ⋅=+ 得 )0()0(2f f =，而0)0(≠f ，所以1)0(=f ， 又)()()0(x f x f f ⋅-=，故1)0()2010()2009()1()0()1()2009()2010(4021==⋅⋅⋅--⋅-f f f f f f f f .21 .解：不妨设 0a b c d ≥≥≥>，则由条件，22224,8a b c d a b c d +++=+++=，于是，22224,8b c d a b c d a ++=-++=-. 由 Cauchy 不等式，22223()()b c d b c d ++≥++， 即 223(8)(4)a a -≥-，2220a a --≤，所以01a <≤， 因此 a1（此时13b c d ===-）.3、[10,18] . 解：由条件，有2446a b a b a b a b -≥⎧⎪-≤⎪⎨+≥⎪⎪+≤⎩……①，而 (2)42f a b -=-，所以问题即求在条件①下目标函数42a b -的最值. 经从图像分析可知，由24a b a b -=⎧⎨+=⎩得到的交点A （3，1）为(2)f -的最小值，即432110⨯-⨯=；由46a b a b -=⎧⎨+=⎩得到的交点B （5，1）为(2)f -的最大值，即452118⨯-⨯=. 因此，10(2)18f ≤-≤.4、,1)2. 解：设点(cos ,sin )P a b θθ，则 (cos ,sin ),(cos ,sin )OP a b AP a a b θθθθ==-. 于是，0OP AP ⋅=2222cos (cos 1)cos cos (cos )(sin )0sin 1cos b a a a b a θθθθθθθθ-⇒-+=⇒=-=+， 所以 211cos e θ=+. 由 cos (1,1)θ∈-，知 1cos (0,2)θ+∈.故 21(,1)2e ∈， 即 ,1)2e ∈.5、 64 .解：令2x =-，得 064a =. 已知等式两边同时对x 求导，得251112126(22)(22)2(2)12(2)x x x a a x a x +-+=+++++.再令1x =-，由上式得12122120a a a +++=.因此 01212021264a a a a a ++++==.6、 160 .解：设至少经过3点的直线有k 条，每条上的点数从多到少依次为：12,,,(3,1)k i a a a a i k ≥≤≤则由已知，有 12222211(1)(1)(1)487ka a a C C C C -+-++-=-=. 又由 21312i a C -≥-= 知 3k ≤.当1k =时 128a C = 无解； 当2k =时 12229a a C C +=，解得 124,3a a ==； 当3k =时 12322210a a a C C C ++= 无解. 故有1条直线过其中4点，1条过3点， 即三角形个数为 3331143160C C C --=.三、解答题（每小题20分，共60分）1、解：由112(32)(1)0(2)n n n na n a n a n +--+++=≥，得11(2)(1)(2)n n n n n a a n a a +--=+-，于是 11111()22n n n n n a a a a n +-+-=-.……………………5分从而 11111()22n n n n n a a a a n +-+-=- =1211()12n n n n a a n n --+⋅-- =21131122n na a n n +⎛⎫=⋅⋅⋅- ⎪-⎝⎭=12n +. ……………………10分 令 []11(1)2n n a xn y a x n y +-+=--+， 则 1111()222n n a a xn x y +-=+-比较系数，得x=1,y=0。
2020年全国高中数学联赛广西赛区预赛试题参考答案
2020年全国高中数学联赛广西赛区预赛试题（考试时间：2020年6月21日9:00—11:30）一、填空题（本大题共8小题，每小题10分，共80分.）1.已知集合{1=M ，2，…，}2020，对M 的任意非空子集A ，A λ为集合A 中最大数与最小数的和，则所有的这样的A λ的算术平均数是▲.2.已知关于x 的方程2290bx x b ++-=有唯一实数解x a =，则a b +的值为▲.3.已知复数z满足3i 4+=z z ，则i -z 的最小值为▲.4.设集合{1=M ，2，…，}2020，A M ⊆，且对集合A 中的任意元素x ，4x A ∉，则集合A 的元素个数的最大值为▲.5.已知数列{}n a 的前两项分别是12=a ，24=a ，设1+=-n n n b a a .若数列{}n b 是公差为1的等差数列，则=2020a ▲.6.之和是▲.7.设1θ、2θ为锐角，且20202020112018201822sin cos 1cos sin θθθθ+=，则12θθ+=▲.8.已知点O 为坐标原点，曲线1C ：221x y -=和曲线2C ：22y px =相交于点M 、N .若OMN △的外接圆经过点7,02P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则曲线2C 的方程为▲.二、解答题（本大题共4小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）9.（本小题满分15分）已知正整数m 、n 中有且仅有一个是3的倍数，设d 是222m n ++和223m n +的最大公约数.证明：d 不是平方数.10.（本小题满分15分）已知()333222330x y z xyz x y z xy yz zx ++--++---=，其中x 、y 、z 为不全相等的正实数.证明：（1）3x y z ++=；（2）()()()2221116x y y z z x +++++>.11.（本小题满分20分）如图，设点H 为ABC △内一点，点D 、E 、F 分别是AH 、BH 、CH 的延长线与BC 、CA 、AB 的交点，点G 为FE 的延长线与BC 的延长线的交点，点O 为DG 的中点，以O 为圆心、OD 为半径作圆交线段FE 于点P .求证：（1）BD BG DC GC =；（2）PB BD PC DC=.12.（本小题满分20分）空间中8个点，其中任意四点不共面，在这些点之间连接17条线段.证明：在这17条线段之中必存在3条线段，其长度a 、b 、c 满足不等式()()()22234a b c p p a p b p c ++≥---2a b c p ++=.2021363161620412113532π232y x =2020年全国高中数学联赛广西赛区预赛试题参考答案一、填空题（本大题共8小题，每小题10分，共80分.）1．；2．；3．；4．；5．；6．；7．；8．.1.已知集合{1=M ，2，…，}2020，对M 的任意非空子集A ，A λ为集合A 中最大数与最小数的和，则所有的这样的A λ的算术平均数是▲.参考答案：考查M 的子集{}2021|A x x A '=-∈.若A A '=，则=2021A A λλ'=.若A A '≠，设A 中最大数为a ，最小数为b ，则A '中最大数为2021b -，最小数为2021a -，此时，+20212A A λλ'=.故所求算术平均数为2021.2.已知关于x 的方程2290bx x b ++-=有唯一实数解x a =，则a b +的值为▲.参考答案：方程2290bx x b ++-=有唯一实数解x a =，则0a =，此时29b =，经检验3b =时满足题意.故3a b +=.3.已知复数z满足3i 4+=z z ，则i -z 的最小值为▲.参考答案：z 在复平面上对应的曲线方程为：2214+=y x .cos 2sin i θθ=+z ，[)0,2θπ∈，则i -z ()cos 2sin 1i θθ=+-.故i 3-==≥=z ，当且仅当2sin 3θ=时等号成立.4.设集合{1=M ，2，…，}2020，A M ⊆，且对集合A 中的任意元素x ，4x A ∉，则集合A 的元素个数的最大值为▲.参考答案：首先，构造404个集合{}418931127128505k k k =⋅⋅⋅⋅⋅⋅,:;,,,;,,.其次，集合M 中的数除前述已提到的808个外，剩下的每个数x 单独构成一个集合{}x ，有1212个.一共40412121616+=个集合，根据抽屉原理，如果集合A 中有多于1616个数，则必有两个数取自上述同一集合，从而存在x ，4x A ∈，矛盾.故集合A 中至多有1616个数，满足条件的一个集合是{}23732331265065072020A =⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅,,,;,,,;,,,.5.已知数列{}n a 的前两项分别是12=a ，24=a ，设1+=-n n n b a a .若数列{}n b 是公差为1的等差数列，则=2020a ▲.参考答案：易知121=2=-b a a ，因为公差为1，所以1=+n b n .故而201920201122320202041211==+=+++⋅⋅⋅+=∑i i a a b .6.之和是▲.参考答案：设三个正四面体的棱长分别为a 、b 、c ，不妨0a b c <≤≤.由()33312a b c ++=，得333153a b c ++=.其中，3125c ≤，即5c ≤.因为33333153c a b c ≥++=，所以351c ≥，4c ≥.进而有4c =或者5c =.若4c =，不存在符合条件的a ，b ；若5c =，易得1a =、3b =.所求表面积的和为：))2222222221114sin 60sin 60sin 60135222a b c a b c ︒︒︒⎛⎫++++=++= ⎪⎝⎭7.设1θ、2θ为锐角，且20202020112018201822sin cos 1cos sin θθθθ+=，则12θθ+=▲.参考答案：20202221222201821009sin cos cos cos cos θθθθθ+++⋅⋅⋅+ 个11010202022122201821009sin 1010cos cos cos θθθθ⎛⎫ ⎪≥⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭ 个211010sin θ=；同理，20202221222201821009cos sin sin sin sin θθθθθ+++⋅⋅⋅+ 个211010cos θ≥.所以，20202020112018201822sin cos 1cos sin θθθθ+≥，取等号当且仅当122πθθ+=.8.已知点O 为坐标原点，曲线1C ：221x y -=和曲线2C ：22y px =相交于点M 、N .若OMN △的外接圆经过点7,02P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则曲线2C 的方程为▲.参考答案：如上图，不妨设点M 、N 的坐标分别为()00x y ，、()00x y -，，T 为MN 与x 轴的交点，则T 的坐标为()00x ，.因为O 、M 、P 、N 四点共圆，所以由相交弦定理，得OT TP MT TN ⋅=⋅，即20000722x x y px ⎛⎫⋅-== ⎪⎝⎭，其中00x >.解得0722x p =-，2200274y px p p ==-.代入曲线1C 的方程，得()22727412p p p ⎛⎫---= ⎪⎝⎭，即23284450p p -+=.解得，158p =（舍去）或34p =.故曲线2C 的方程为232y x =.二、解答题（本大题共4小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）9.（本小题满分15分）已知正整数m 、n 中有且仅有一个是3的倍数，设d 是222m n ++和223m n +的最大公约数.证明：d 不是平方数.参考答案：不妨设m 是3的倍数，n 不是3的倍数，则()20mod3m ≡，()21mod3n ≡，()20mod9m ≡，()220mod9m n ≡.······················5分所以，()2220mod3m n ++≡，()2233mod9m n +≡.········································10分从而d 是3的倍数，但不是9的倍数，故d 不是平方数.·····································15分10.（本小题满分15分）已知()333222330x y z xyz x y z xy yz zx ++--++---=，其中x 、y 、z 为不全相等的正实数.证明：（1）3x y z ++=；（2）()()()2221116x y y z z x +++++>.参考答案：（1）()()22203x y z x y z xy yz zx =++-++---()()()()222132x y z x y y z z x ⎡⎤=++--+-+-⎣⎦.因为x 、y 、z 不全相等，所以()()()2220x y y z z x -+-+->，从而30x y z ++-=.故3x y z ++=.····························································································5分（2）()()()222111x y y z z x +++++222222x y z x y y z z x=+++++()()()()222222x y z x y y y z z z x x x y z =++++++++-++··························10分()222222x y z xy yz zx x y z >+++++-++()()2x y z x y z =++-++233=-6=.·····················································15分11.（本小题满分20分）如图，设点H 为ABC △内一点，点D 、E 、F 分别是AH 、BH 、CH 的延长线与BC 、CA 、AB 的交点，点G 为FE 的延长线与BC 的延长线的交点，点O 为DG 的中点，以O 为圆心、OD 为半径作圆交线段FE 于点P .求证：（1）BD BG DC GC =；（2）PB BD PC DC=.参考答案：（1）在ABC △中，根据塞瓦定理，因为AD 、BE 、CF 三线交于点H ，所以1AF BD CE FB DC EA⋅⋅=.根据梅涅劳斯定理，因为直线()F E G 与ABC △的三边分别交于F 、G 、E ，所以1AF BG CE FB GC EA⋅⋅=.因此，BD BG DC GC=.························································································5分（2）因为22BD BG OD DC GC OC -=-，所以BD OD DC OC=.·················································10分连接OP ，由BD BG DC GC =，得OB OD OB OD OD OC OD OC -+=-+，即OD OB OC OD =，从而OP OB OC OP=.························································································15分而COP POB ∠=∠，所以COP POB ∽△△.因此，PB OP OD BD PC OC OC DC===，命题得证.·······················································20分12.（本小题满分20分）空间中8个点，其中任意四点不共面，在这些点之间连接17条线段.证明：在这17条线段之中必存在3条线段，其长度a 、b 、c 满足不等式2224a b c ++≥2a b c p ++=.参考答案：（1）这17条线段之中必有3条线段构成三角形.（反证法）假设这17条线段之中任意3条不构成三角形.设点P 是这8个点中连接线段最多的一个点，连接线段数为x ，则有7x -个点不与点P 连线,以这7x -个点为端点的线段数不超过(7)x x -，故所连线段总数不超过()7x x x +-.而()2781617x x x x x +-=-+≤<，这与题设矛盾，故17条线段中必有3条线段构成一个三角形.······························10分（2）据海伦公式，原不等式222a b c ⇔++≥，其中S 为该三角形的面积.·····15分由于222a b c ++≥222sin 0a b c C ⇔++-≥()22222cos sin 0a b a b ab C C ⇔+++--≥2222sin 06a b ab C π⎛⎫⎛⎫⇔+-+≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭而22222sin 206a b ab C a b ab π⎛⎫+-+≥+-≥ ⎪⎝⎭，故上式成立.因此，综上（1）（2），命题得证.································································20分。
2020年全国高中数学联赛广西赛区预赛试题
2020年全国高中数学联赛广西赛区预赛试题（考试时间：2020年6月21日9:00—11:30）一、填空题（本大题共8小题，每小题10分，共80分.）1.已知集合{1=M ，2，…，}2020，对M 的任意非空子集A ，A λ为集合A 中最大数与最小数的和，则所有的这样的A λ的算术平均数是▲.2.已知关于x 的方程2290bx x b ++-=有唯一实数解x a =，则a b +的值为▲.3.已知复数z满足3i 4+=z z ，则i -z 的最小值为▲.4.设集合{1=M ，2，…，}2020，A M ⊆，且对集合A 中的任意元素x ，4x A ∉，则集合A 的元素个数的最大值为▲.5.已知数列{}n a 的前两项分别是12=a ，24=a ，设1+=-n n n b a a .若数列{}n b 是公差为1的等差数列，则=2020a ▲.6.之和是▲.7.设1θ、2θ为锐角，且20202020112018201822sin cos 1cos sin θθθθ+=，则12θθ+=▲.8.已知点O 为坐标原点，曲线1C ：221x y -=和曲线2C ：22y px =相交于点M 、N .若OMN △的外接圆经过点7,02P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则曲线2C 的方程为▲.二、解答题（本大题共4小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）9.（本小题满分15分）已知正整数m 、n 中有且仅有一个是3的倍数，设d 是222m n ++和223m n +的最大公约数.证明：d 不是平方数.10.（本小题满分15分）已知()333222330x y z xyz x y z xy yz zx ++--++---=，其中x 、y 、z 为不全相等的正实数.证明：（1）3x y z ++=；（2）()()()2221116x y y z z x +++++>.11.（本小题满分20分）如图，设点H 为ABC △内一点，点D 、E 、F 分别是AH 、BH 、CH 的延长线与BC 、CA 、AB 的交点，点G 为FE 的延长线与BC 的延长线的交点，点O 为DG 的中点，以O 为圆心、OD 为半径作圆交线段FE 于点P .求证：（1）BD BG DC GC =；（2）PB BD PC DC=.12.（本小题满分20分）空间中8个点，其中任意四点不共面，在这些点之间连接17条线段.证明：在这17条线段之中必存在3条线段，其长度a 、b 、c 满足不等式()()()22234a b c p p a p b p c ++≥---2a b c p ++=.。
2020年全国高中数学联赛试题及详细解析(1)
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【解析】 a =b ， c =d ，设 a=x ， b=x ； c=y ， d=y ，x － y =9． ( x+y )( x－ y ) =9．
∴ x+y2=9， x－ y2=1， x=5， y2=4． b－ d=53－25=125－ 32=9 3．
11．将八个半径都为 1 的球分放两层放置在一个圆柱内，并使得每
n=q2+q+1，l
≥
1 q(
q+1)
2+1，
2
q≥ 2，q∈ N．已知此图中任四点不共面， 每点至少有一条连线段， 存在一点至少有 q+2 条连
线段．证明：图中必存在一个空间四边形 ( 即由四点 A、B、 C、 D和四条连线段 AB、BC、CD、
DA组成的图形 ) ．
2020 年全国高中数学联赛解答
BD DQ 本题成立．而要证 BDQ∽ DAQ，只要证 AD=AQ即可．
二、（本题 50 分）
设三角形的三边长分别是正整数 l ，m， n．且 l >m>n>0．
l
m
n
已知
3 10 4
=
3 10 4
=
3 10 4
，其中
{ x} =x－ [ x] ，而 [ x] 表示不超过
x 的最大整数．求这种三角
形周长的最小值．
2
y=－ (cot
u+tan u)+cos
u=－ sin2
u+cosu．在
u∈ [ － ，－ ] 46
时， sin2
u与
cos u 都单调递
11 增，从而 y 单调递增．于是 u=－ 6时， y 取得最大值 6 3，故选 C．
全国高中数学联赛广西赛区预赛试题
全国高中数学联赛广西赛区预赛试题参考解答及评分标准一、选择题（每小题6分，共36分） 1、选C.解：关于t 的方程02=++c bt t 最多有两不同的解n m ,，从而n x f m x f ==)(,)(，必有一个方程有两个不相等的实根，另一个方程有三个不同的实数解.而由已知，只有1)(=x f 有三个不同的实数解.不妨设54321x x x x x <<<<，由于)(x f 关于直线2=x 对称，必有23=x ，451=+x x ，442=+x x ，故12345,,,,,()x x x x x f x x x x x ++++则＝81|210|1)10(=-=f .2、选D.解：根据题意，令 21kn m += （1）201l n m += （2）其中.k l l k m >均为正整数，且、、 (1)),2(10-⨯得 .39)10(,9102==-=--kl klkm m m m 即于是有以下三种可能：I .4,2,3,110,9===⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-=-l k m m m kl k经检验这组符合条件，此时.4=nII .,0,0,,910,1矛盾为任意正整数===⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-=-n l k m m m kl kIII .,310,3该方程组无正整数解⎪⎩⎪⎨⎧=-=-kl k m m 综上所述，n 只能取4.3、选A.解：对于正整数x ，2x被7除的余数规律是2，4，1，2，4，1，…；2x 被7除的余数规律是1，4，2，2，4，1，0，…. 所以，22x x -被7除所得余数的规律将呈周期性变化，周期为21，且一个周期内恰有6个x 的值使22xx -能被7整除，故在小于10000的正整数中，共有2857个正整数满足条件.4、选A.解：以P 为公共顶点，正四面体的各面为底面，将正四面体分为四个三棱锥，它们的体积之和即为正四面体的体积，所以点P 到各面距离之和等于正四面体的高.四面体每个面三角形的高 h ==，从而 3h =， 于是正四面体的高 2H == .5、选B.解：设双曲线的方程为),0,0(12222>>=-b a by a x 半焦距为c ，则.222b a c +=由,22121a B F B F A F A F =-=- ,1221B F B F A F A F =+=解得a B F A F 222==，这表明AB ⊥x 轴，又易知此时ab B F A F 222==，结合.222b a c +=解得双曲线的离心率.3==ace 6、选D.解：欲使方程有实根，应有240m n -≥.如上表，适合条件的m,n 共有19组，故36=P . 二、填空题（每小题9分，共54分）1、 1 .解：由 )()()(2121x f x f x x f ⋅=+ 得 )0()0(2f f =，而0)0(≠f ，所以1)0(=f ， 又)()()0(x f x f f ⋅-=，故1)0()2010()2009()1()0()1()2009()2010(4021==⋅⋅⋅--⋅-f f f f f f f f .21 .解：不妨设 0a b c d ≥≥≥>，则由条件，22224,8a b c d a b c d +++=+++=，于是，22224,8b c d a b c d a ++=-++=-. 由 Cauchy 不等式，22223()()b c d b c d ++≥++， 即 223(8)(4)a a -≥-，2220a a --≤，所以01a <≤， 因此 a1（此时13b c d ===-）.3、[10,18] . 解：由条件，有2446a b a b a b a b -≥⎧⎪-≤⎪⎨+≥⎪⎪+≤⎩……①，而 (2)42f a b -=-，所以问题即求在条件①下目标函数42a b -的最值. 经从图像分析可知，由24a b a b -=⎧⎨+=⎩得到的交点A （3，1）为(2)f -的最小值，即432110⨯-⨯=；由46a b a b -=⎧⎨+=⎩得到的交点B （5，1）为(2)f -的最大值，即452118⨯-⨯=. 因此，10(2)18f ≤-≤.4、,1)2. 解：设点(cos ,sin )P a b θθ，则 (cos ,sin ),(cos ,sin )OP a b AP a a b θθθθ==-. 于是，0OP AP ⋅=2222cos (cos 1)cos cos (cos )(sin )0sin 1cos b a a a b a θθθθθθθθ-⇒-+=⇒=-=+， 所以 211cos e θ=+. 由 cos (1,1)θ∈-，知 1cos (0,2)θ+∈.故 21(,1)2e ∈， 即 ,1)2e ∈.5、 64 .解：令2x =-，得 064a =. 已知等式两边同时对x 求导，得251112126(22)(22)2(2)12(2)x x x a a x a x +-+=+++++.再令1x =-，由上式得12122120a a a +++=.因此 01212021264a a a a a ++++==.6、 160 .解：设至少经过3点的直线有k 条，每条上的点数从多到少依次为：12,,,(3,1)k i a a a a i k ≥≤≤则由已知，有 12222211(1)(1)(1)487ka a a C C C C -+-++-=-=. 又由 21312i a C -≥-= 知 3k ≤.当1k =时 128a C = 无解； 当2k =时 12229a a C C +=，解得 124,3a a ==； 当3k =时 12322210a a a C C C ++= 无解. 故有1条直线过其中4点，1条过3点， 即三角形个数为 3331143160C C C --=.三、解答题（每小题20分，共60分）1、解：由112(32)(1)0(2)n n n na n a n a n +--+++=≥，得11(2)(1)(2)n n n n n a a n a a +--=+-，于是 11111()22n n n n n a a a a n +-+-=-.……………………5分从而 11111()22n n n n n a a a a n +-+-=- =1211()12n n n n a a n n --+⋅-- =21131122n na a n n +⎛⎫=⋅⋅⋅- ⎪-⎝⎭=12n +. ……………………10分 令 []11(1)2n n a xn y a x n y +-+=--+， 则 1111()222n n a a xn x y +-=+-比较系数，得x=1,y=0。
2020年全国高中数学联赛试题及详细解析.docx
2020 年全国高中数学联赛试题及详细解析说明：1． 评阅试卷时，请依据本评分标准。
选择题只设6 分和 0 分两档，填空题只设9 分和 0 分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准规定的评分档次给分，不要再增加其它中间档次。
2． 如果考生的解题方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分， 5 分为一个档次，不要再增加其他中间档次。
一、选择题（本题满分36 分，每小题 6 分）本题共有 6 小题，每小题均给出 A ， B ，C ，D 四个结论，其中有且仅有一个是正确的。
请将正确答案的代表字母填在题后的括号内。
每小题选对得 6 分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得 0 分。
1．使关于 x 的不等式 x 36 x k 有解的实数 k 的最大值是（）A ． 63B． 3C． 63D ． 62．空间四点 A 、 B 、 C 、 D 满足 | AB | 3, | BC | 7 , | CD | 11 , | DA | 9 , 则 AC BD 的取值（）A ．只有一个B ．有二个C ．有四个D ．有无穷多个a 1 a 2 a 3a 4| a iT , i 1,2,3,4}, 将 M 中的元素按从大到小的6. 记集合 T { 0,1,2,3,4,5,6}, M {7 27 3747序排列， 第2020 个数是（）A ． 5 5 6 3B ． 55 6 2 7 7273 74 772 73 7 4 C ．11 0 4 D ．11 0 3 7 72737477273 7 4二、填空 （本 分54 分，每小 9 分） 本 共有 6 小 ，要求直接将答案写在横 上。
7. 将关于 x 的多 式 f ( x)1 x x2 x 3x 19x 20 表 关于 y 的多 式 g( y)a 0 a 1 y a 2 y 2 a 19 y 19 a 20 y 20, 其中 y x 4. a 0a 1a20.8. 已知 f (x) 是定 在 ( 0,) 上的减函数， 若 f (2a 2a1) f (3a 24a 1) 成立， a 的取 范是。
2020年全国高中数学联赛试题及详细解析 (3)
2020年全国高中数学联赛试题及详细解析一、选择题本题共有6小题，每题均给出（A ）、（B ）、（C ）、（D ）四个结论，其中有且仅有一个是正确的，请将正确答案的代表字母填在题后的括号内，每小题选对得6分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分。
1．设全集是实数，若A ={x|2-x ≤0}，B ={x |2210-x=x 10},则B A I 是 （ ）(A) {2} (B) {-1} (C) {x |x ≤2} (D) ∅2．给定正数p ,q ,a ,b ,c ，其中p ≠q ，若p ,a ,q 是等比数列，p ,b ,c ,q 是等差数列，则一元二次方程bx 2-2ax +c =0 （ ） (A)无实根 (B)有两个相等实根 (C)有两个同号相异实根 (D)有两个异号实根 3．平面上整点（纵、横坐标都是整数的点）到直线5435+=x y 的距离中的最小值是 (A)17034 (B) 8534 (C) 201 (D) 301（ ） 4．设5sin5cosππωi +=，则以ω,ω3,ω7,ω9为根的方程是 （ ）(A) x 4+x 3+x 2+x +1=0 (B) x 4-x 3+x 2-x +1=0(C) x 4-x 3-x 2+x +1=0 (D) x 4+x 3+x 2-x -1=0二、填空题（本题满分54分，每小题9分）本题共有6小题，要求直接将答案写在横线上。
5．arcsin(sin2000︒)=__________. 6．设a n 是(3-n x )的展开式中x 项的系数(n =2,3,4,…)，则nn n a a a 333(lim 3322+++∞→Λ)=________. 7．等比数列a +log 23,a +log 43,a +log 83的公比是____________.8． 在椭圆12222=+by a x (a ＞b ＞0)中，记左焦点为F ，右顶点为A ，短轴上方的端点为B .若该椭圆的离心率是215-，则∠ABF =_________.【加试】（10月15日上午10∶00-12∶00）一．（本题满分50分）如图，在锐角三角形ABC 的BC 边上有两点E 、F ，满足∠BAE =∠CAF ，作FM ⊥AB ，FN ⊥AC （M 、N 是垂足），延长AE 交三角形ABC 的外接圆于D ．证明：四边形AMDN 与三角形ABC 的面积相等．二．（本题满分50分） 设数列{a n }和{b n }满足，且Λ,2,1,0 47836711=⎩⎨⎧-+=-+=++n b a b b a a n n n n n n证明a n （n=0，1，2，…）是完全平方数．A B C DE F M N三．（本题满分50分）有n 个人，已知他们中的任意两人至多通电话一次，他们中的任意n －2个人之间通电话的次数相等，都是3 k次，其中k 是自然数，求n 的所有可能值．2000年全国高中数学联合竞赛试题答案1.【答案】D【解析】由22≤-x 得x=2，故A={2}；由x x 101022=-得022=--x x ，故B={-1，2}.所以B A I =φ.3．【答案】C【解析】如图所示，设BD=t ，则OD=3t-1，从而B （3t-1，t ）满足方程122=-y x ，可以得到t=3,所以等边三角形，ΔABC 的面积是33.4．【答案】 A【解析】由题意知pq=a2，2b=p+c,2c=q+b⇒32qp b +=，32q p c +=⇒bc=32q p +32q p +≥3232pq q p ⋅=pq=a 2 .因为p ≠q ，故bc> a 2，方程的判别式Δ= 4a 2-4bc<0，因此，方程无实数根.5．【答案】B【解析】设整点坐标(m,n)，则它到直线25x-15y+12=0的距离为22)15(25121525-++-=n m d 34512)35(5+-=n m由于m,n ∈Z ，故5(5m-3n)是5的倍数，只有当m=n=-1，时5(5m-3n)=-10 与12的和的绝对值最小，其值为2，从而所求的最小值为8534.二、填空题（满分54分，每小题9分） 7．【答案】-20°【解析】sin2000°=sin(5×360°+200°)=sin200°=-sin20°故a rcsin(sin2000°)= a rcsin(-sin20°)= -a rcsin(sin20°)= -20° 8．【答案】18 【解析】由二项式定理知，223-⋅=n nn C a ，因此⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-⋅=n n n n a n n 11118)1(2332⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++∞→n n n a a a 3333322lim Λ=⎪⎭⎫⎝⎛-∞→n n 1118lim =18.11．【答案】3242a12．【答案】28【解析】abcd 中恰有2个不中数字时，能组成C 24= 6个不中数字abcd 中恰有3个不中数字时，能组成C 1312C 12C +12C 12C =12+4=16个不中数字abcd 中恰有4个不中数字时，能组成P 33=6个不中数字所以，符合要求的数字共有6+16+6=28个14．【答案】所求区间为[1,3]或[-2-17413]. 【解析】 化三种情况讨论区间[a,b].(1) 若0≤a<b, 则f (x)在[ a, b ] 上单调递减，故f(a) =2b, f(b)=2a 于是有⎪⎩⎪⎨⎧+-=+-=21321221321222b a a b ，解之得[ a, b ] = [ 1, 3 ], (2)若a <0 <b, f (x)在[ a, b ] 上单调递增，在[0,b] 上单调递减，,因此f (x)在x=0处取最大值2b 在x=a 或x=b 处取最小值2a.故2b=213,b=413.由于a<0, 又f(b)=-21(413)2 + 213=03239>故 f(x)在x=a 处取最小值2a,即 2a=221a +213,解得a=-2-17;于是得 [a,b]=[-2-17,413].(2) 当a<b ≤0时，f(x)在[a,b] 上单调递增，故f(a)=2a, f(b)=2b,即2a=-221a +213,2b=-221a +213.由于方程21x 2+2x-213=0的两根异号，故满足a πb π0的区间不存在.综上所述，所求区间为[1,3]或[-2-17413].15．【答案】所求条件为21a +21b=1.又在Rt △POQ 中，设点O 到PQ 的距离为h ，则h 1=21OP +21OQ=1,故得h=1 同理，点O 到QR ，RS ，SP 的距离也为1，故菱形PQRS 与C 0外切.充分性得证. [注]对于给出2222b a b a =+ ，22ba ab +=1等条件者，应同样给分.2000年全国高中数学联合竞赛试卷答案加试二．【解析】[证法一]：由假设得a 1=4, b 1=4且当n ≥1时（2a n+1-1）+13+n b =(14a n +12b n -7)+3(8a n +7b n -4) =[(2a n -1)+n b 3](7+43)依次类推可得（2a n -1）+n b 3= (7+1)34-n (2a 1 -1+13b )=(7+4n )3同理（2a n -1+ ）-n b 3=(7+4n)3从而 a n =41(7+4n )3+41(7+4n)3+21 .由于 7±43=（2±2)3 ，所以 a n =[21(2+n )3+21(2-3)2]n由二项式展开得 c n =21(2+n )3+21(2-3)n =∑≤≤nk k n C 202 k 3 k n 22- , 显然C n 为整数，于是a n 为完全平方数.[证法二]：由已知得a n+1=7a n +6b n -3=7a n +6(8a n-1+7b n-1-4)-3=7a n +48a n-1+42b n-1-27 , 由 a n =7a n-1+6b n-1-3 ,得 42b n-1=7a n -49a n-1+21 ,从而 a n+1=7a n +48a n-1+7a n -49a n-1+21-27=14a n -a n-1-6 . 也就是 a n+1=14a n -a n-1-6 .设(a n+1-ka n +t)=p(a n -ka n-1+t) ……①②③④则有⎪⎩⎪⎨⎧=-==+6)1(114p t pk k p解得()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=-=+=+=323323473234722t p k 或()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=+=-=-=323323473234722t p k三．【解析】显然n ≥5. 记n 个人为A 1，A 2， A N ，设A 1通话的次数为m 1, A i 与 A j 之间通话的数为y ij , l ≤n j i ≤, .则m i +m j – y i . j =∑=ns s m 121-k 3= c . （*）其中c 是常数 ，l ≤n j i ≤, .根据（*）知，=-j i m m )()(s j s i m m m m +-+=s j s i y y ..-≤1 , l ≤n j i ≤, .⇒1≤-j i m m , l ≤n j i ≤,设 m i =max{m s ,1.n s ≤≤} ,m j = min{m s,1≤s ≤n.} , 则 m i +m j ≤1.若 m i +m j =1 ,则对于任意 s ,,j i ≠ 1≤s ≤n ,都有(m i +m s -y I ,s )- (m j +m s -y I ,s )=1-(y I ,s – y j ,s )=0 , 即 y I ,s – y j ,s = 1 故 y I ,s =1 , y j ,s = 0 . s ,,j i ≠ 1≤s ≤n ,因此 m i ≥ n -2 , m j ≥1 . 于是 ，m i +m j ≥n -3≥2 . 出现矛盾 ，故 m i +m j =0 ，即 m s (1≤s ≤n)恒为常数 。