5、7《方根的估算》
根号估算的方法
根号估算的方法根号是数学中一种非常常见的数学符号，用来表示平方根。
在日常生活中，我们经常需要对一些数值进行估算，而根号估算就是一种简单而常用的方法。
在本文中，我们将介绍根号估算的方法以及其应用。
根号估算的基本原理是利用根号的近似值来对一个数进行估算。
根号的近似值可以通过一些常见的数学方法和技巧来获得。
下面我们将介绍几种常用的根号估算方法。
1. 简化法：对于一个数的平方根，如果该数的个位数是1、4、5、6、9中的一个，那么它的平方根的个位数只可能是1、2、5、6、9中的一个。
例如，根号16约等于4，根号25约等于5。
这种方法适用于对整数的平方根进行估算。
2. 近似法：对于一个非整数的平方根，我们可以通过近似法来估算。
首先，找到该数的两个完全平方数之间的数字，然后将其平均值作为该数的估算值。
例如，要估算根号8的值，我们可以找到两个完全平方数4和9，它们的平均值为6.5，因此根号8约等于6.5。
这种方法适用于对非整数的平方根进行估算。
3. 分解法：对于一个较大的数，我们可以通过分解法来估算其平方根。
首先，将该数分解成两个较小的数的乘积，然后对这两个数进行根号估算。
例如，要估算根号80的值，我们可以将80分解成8和10的乘积，它们的平方根分别约等于2.8和3.2，因此根号80约等于2.8乘以3.2，即8.96。
这种方法适用于对较大数的平方根进行估算。
根号估算方法在实际生活中有着广泛的应用。
例如，在购物时，我们经常需要估算商品的价格折扣，而根号估算可以帮助我们快速而准确地估算出商品的实际价格。
此外，在科学研究和工程设计中，根号估算也经常用于对实验数据和物理量进行估算和分析。
根号估算的优点是简单易用，不需要复杂的计算过程和专业的数学知识。
然而，它也有一定的局限性。
根号估算只能提供一个数的近似值，并不能给出其精确的数值。
因此，在需要高精度计算的情况下，我们仍然需要借助计算器或计算软件来进行准确计算。
在使用根号估算的过程中，我们应该注意估算结果的精度和误差。
(青岛版)义务教育课程标准实验教科书《数学》目录
（青岛版）义务教育课程标准实验教科书《数学》目录青岛版七年级上册第一章基本的几何图形1.1 我们身边的图形世界1.2 点、线、面、体1.3 线段、射线和直线1.4 线段的度量和比较第二章有理数2.1 生活中的正数和负数2.2 数轴2.3 相反数与绝对值第三章有理数的运算3.1 有理数的加法与减法3.2 有理数的乘法与除法3.3 有理数的乘方3.4 有理数的混合运算3.5 利用计算器进行简单的计算第四章数据的收集与简单统计图4.1 收集数据的方式4.2 数据的整理4.3 简单的统计图4.4 统计图的相互转化第五章代数式与函数的初步认识5.1 用字母表示数5.2 代数式5.3 代数式的值5.4 生活中的常量与变量5.5 函数的初步认识第六章整式的加减6.1 单项式与多项式6.2 同类项6.3 去括号6.4 整式的加减第七章数值估算7.1 生活中的数值估算7.2 近似数和有效数字7.3 估算的应用与调整第八章一元一次方程8.1 方程和方程的解8.2 一元一次方程8.3 等式的基本性质8.4 一元一次方程的解法8.5 一元一次方程的应用七年级下册第九章角9.1 角的表示9.2 角的比较9.3 角的度量9.4 对顶角9.5 垂直第十章平行线10.1 同位角10.2 平行线和它的画法10.3 平行线的性质10.4 平行线的判定第十一章图形与坐标11.1 怎样确定平面内点的位置11.2 平面直角坐标系11.3 直角坐标系中的图形11.4 函数与图象11.5 一次函数和它的图象第十二章二元一次方程组12.1 认识二元一次方程组12.2 向一元一次方程转化12.3 图象的妙用12.4 列方程组解应用题第十三章走进概率13.1 天有不测风云13.2 确定事件与不确定事件13.3 可能性的大小13.4 概率的简单计算第十四章整式的乘法14.1 同底数幂的乘法与除法14.2 指数可以是零和负整数吗14.3 科学计数法14.4 积的乘方与幂的乘方14.5 单项式的乘法14.6 多项式乘多项式第十五章平面图形的认识15.1 三角形15.2 多边形15.3 多边形的密铺15.4 圆的初步认识15.5 用直尺和圆规作图八年级上册第一章轴对称与轴对称图形1.1 我们身边的轴对称图形1.2 线段的垂直平分线1.3 角的平分线1.4 等腰三角形1.5 成轴对称的图形的性质1.6 镜面对称1.7 简单的图案设计第二章乘法公式与因式分解2.1 平方差公式2.2 完全平方公式2.3 用提公因式法进行因式分解2.4 用公式法进行因式分解第三章分式3.1 分式的基本性质3.2 分式的约分3.3 分式的乘法与除法3.4 分式的通分3.5 分式的加法与减法3.6 比和比例3.7 分式方程第四章样本与估计4.1 普查与抽样调查4.2 样本的选取4.3 加权平均数4.4 中位数4.5 众数4.6 用计算器求平均数第五章实数5.1 算术平方根5.2 勾股定理5.3 根号2是有理数吗5.4 由边长判定直角三角形5.5 平方根5.6 立方根5.7 方根的估算5.8 用计算器求平方根和立方根5.9 实数第六章一元一次不等式6.1 不等关系和不等式6.2 一元一次不等式6.3 一元一次不等式组八年级下册第七章二次根式7.1 二次根式及其性质7.2 二次根式的加减法7.3 二次根式的乘除法第八章平面图形的全等与相似8.1 全等形与相似形8.2 全等三角形8.3 怎样判定三角形全等8.4 相似三角形8.5 怎样判定三角形相似8.6 相似多边形第九章解直角三角形9.1 锐角三角比9.2 30°，45°，60°角的三角比9.3 用计算器求锐角三角比9.4 解直角三角形9.5 解直角三角形的应用第十章数据离散程度的度量10.1 数据的离散程度10.2 极差10.3 方差与标准差10.4 用科学计算器计算方差和标准. 第十一章几何证明初步11.1 定义与命题11.2 为什么要证明11.3 什么是几何证明11.4 三角形内角和定理11.5 几何证明举例11.6 反证法九年级上册第一章特殊四边形1.1 平行四边形及其性质1.2 平行四边形的判定1.3 特殊的平行四边形1.4 图形的中心对称1.5 梯形1.6 中位线定理第二章图形与变换2.1 图形的平移2.2 图形的旋转2.3 位似第三章一元二次方程3.1 一元二次方程3.2 用配方法解一元二次方程3.3 用公式法解一元二次方程3.4 用因式分解法解一元二次方程3.5 一元二次方程的应用第四章对圆的进一步认识4.1 圆的对称性4.2 确定圆的条件4.3 圆周角4.4 直线与圆的位置关系4.5 三角形的内切圆4.6 圆与圆的位置关系4.7 弧长及扇形面积的计算九年级下册第五章对函数的再探索5.1 函数与它的表示法5.2 一次函数与一元一次不等式5.3 反比例函数5.4 二次函数5.5 二次函数y=ax2图象和性质5.6 二次函数y=ax2+bx+c图象和性.5.7 确定二次函数的解析式5.8 二次函数的应用5.9 用图象法解一元二次方程第六章频率与概率6.1 频数与频率6.2 频数分布直方图6.3 用频率估计概率6.4 用树状图计算概率第七章空间图形的初步认识7.1 几种常见的几何体7.2 棱柱的侧面展开图7.3 圆柱、圆锥的侧面展开图第八章投影与视图8.1 从不同的方向看物体8.2 盲区8.3 影子和投影8.4 正投影8.5 物体的三视图11。
5.7 方根的估算
个性备课
创设情境：
校园里有一个 110 平方米的水池，你能估算出这个水池的边长吗？
交流展示：
活动一：小组交流： 1 、你能估算出水池的边长介于哪两个整数之间吗？说出你的估算过 程。 2、阅读教材 P149 和自己的做法进行对比，理解教材估算的做法。 活动二：典例引领（自学例 1，例 2 思考： ） 1、在对
2 2
， 12 ，
5 1 2
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
7、用估算的方法，求下列无理数的近似值： （1） 68 （精确到 0.1） 3 （2） 1500 （精确到 8、利用估算，比较下列各数的大小： （1） 26 与 5.23 （2） 275 与 4 11
课 后 延 伸 教 （ 学 ） 后 反 思
生活经验表明，靠墙摆放梯子时，若梯子底端离墙的距离约为梯子长 1 度的 时，梯子比较稳定。现有一个长度 6 米的梯子，当梯子稳定摆放时， 3 它的顶端能达到 5.6 米高的墙吗？
3
26 与 10
Hale Waihona Puke 小结：比较大小的常用有哪些方法？ 2、满足－ 3 ＜ｘ＜ 10 的整数ｘ是 。 3、设 10 的整数部分为 a，小数部分为 b，求 b（ 10 + a）的值。
课堂小结：
本节课有什么收获与困惑？
达标检测：
一、 填空题 1、 若无理数 a 满足 2＜a＜3，请写出满足上述条件的 3 个无理数 2、如图，在数轴上点 A 表示的数位- 2 ，点 B 表示的数为 7 ，点 A 和 点 B 之间表示整数的点有 个。 A 二、选择题 3、估计 30 的值，它（ ） A、在 3——4 之间 B、在 4——5 之间 C、在 5——6 之间 D、在 6——7 之间 4、如图，数轴上点 P 表示的数可能是（ ） 2 B 7
立方根与估算
立方根与估算1、定义“若x的平方等于a，则x叫a的平方根，记作x=±2a，读作x等于正、负二次根号a，简称为x等于正，负根号a.若x的立方等于a，则x叫a的立方根，记作x=±3a，读作x等于正、负三次根号a，简称x等于正、负根号a.求一个数a的平方根的运算，叫做开平方，则求一个数a的立方根的运算，叫做开立方，其中a叫做被开方数.2、立方根的性质：正数有一个正的立方根、负数有一个负的立方根，0的立方根有一个，是0.3、平方根与立方根的区别与联系：联系：(1)0的平方根、立方根都有一个是0.(2)平方根、立方根都是开方的结果.区别：(1)定义不同：“如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根”；“如果一个数的立方等于a，这个数就叫做a的立方根.”(2)个数不同：一个正数有两个平方根，一个正数有一个立方根；一个负数没有平方根，一个负数有一个立方根.(3)表示法不同正数a的平方根表示为±a，a的立方根表示为3a.(4)被开方数的取值范围不同±a中的被开方数a是非负数；3a中的被开方数可以是任何数.一、类比学习立方根1、立方根的表示，高次方根的表示及意义2、练习：求下列各数的立方根（1）64 （2）-8 （3） 4 （4）610 （5）-1 （6）-3 （7）2783、正数，0，负数的立方根情况是什么样呢？4、对立方根与平方根的被开方数的取值有什么要求吗？5、应用（1）计算()23527---（2）求各式中X 的值02783=+x ()0343.013=--x ()161814=+x二、探究立方根的性质 1、=-38=-38 =-3a有何发现？2、=33)8( =33)27(=-33)8( =-33)27( =33)(a=332 =333=-33)2( =-33)3( =33a3、如果正方形面积变为原来的4倍，它的边长变为原来的多少倍？面积变为原来的16倍呢？它的边长变为原来的多少倍？面积变为原来的m 倍呢？有何发现？三、巩固训练（一）、知识点1、一般，若一个数x 的平方等于a ，即2x a ，那么 就叫做 的平方根。
估算算术平方根小数部分
估算算术平方根小数部分算术平方根是数学中一个重要的概念，它可以帮助我们快速估算一个数字的平方根的小数部分。
通过估算算术平方根的小数部分，我们可以更加灵活地处理数字，进行近似计算。
接下来，我将详细介绍如何估算算术平方根的小数部分，以及它的指导意义。
首先，我们需要明确一点，算术平方根的小数部分是一个无限不循环的小数。
也就是说，我们无法简单地用有限的数字表示出来。
但是，我们可以通过一些方法来近似地估算它的值，并且能够得到一定的精度。
估算算术平方根的小数部分有多种方法，其中一种常用的方法是通过带余除法来进行近似计算。
具体步骤如下：首先，我们选取一个整数作为算术平方根的初始值。
这个初始值可以是任意整数，通常选择一个比较接近实际值的整数。
然后，我们将被开方数除以初始值，并取商的整数部分作为新的初始值。
比如，如果我们要估算√2的小数部分，初始值可以选择为1，我们将2除以1得到2，取整数部分作为新的初始值，得到2。
接下来，我们将被开方数除以新的初始值，并取商的整数部分作为新的初始值，重复这个过程直到满足我们的精度要求。
通过这种带余除法的方法，我们可以逐步逼近算术平方根的小数部分。
当我们进行足够多的迭代后，估算值的精度会逐渐提高。
当我们达到了所需的精度后，我们就可以停止迭代，并认为得到的结果是算术平方根的小数部分的一个近似值。
这种估算算术平方根的小数部分的方法具有重要的指导意义。
首先，它可以帮助我们在实际运算中更加方便地处理开根号的问题。
通过估算算术平方根的小数部分，我们可以快速得到一个近似值，可以大大简化复杂的计算过程。
其次，估算算术平方根的小数部分也可以帮助我们更好地理解数学概念。
通过逐步逼近的过程，我们可以深入了解算术平方根的性质和特点，提高我们的数学思维能力和解题能力。
总之，估算算术平方根的小数部分是数学中一项重要且有指导意义的技巧。
通过学会这个方法，并在实际应用中不断实践和探索，我们将能够更加熟练地处理数字，并提高我们的数学水平和解题能力。
谭新明 《方根的估算》教学设计
1、估算无理数的方法是：
（1）通过平方运算，采用“夹逼法”，确定真值所在范围；
（2）根据问题中误差允许的范围，在真值的范围内取近似值。
2、“精确到”与“误差小于”意义不同。如精确到1m是四舍五入到个位，答案惟一；误差小于1m，答案在真值左右1m都符合题意，答案不惟一。在本章中误差小于1m就是估算到个位，误差小于10m就是估算到十位。
（二）情景引入，激发兴趣。
某地开辟了一块长方形的荒地，新建一个以环保为主题的公园。已知这块荒地的长是宽的2倍，它的面积为400 000平方米。
（1）公园的宽大约是多少（误差小于100米）？它有1000米吗？
（2）如果要求误差小于10米，它的宽大约是多少？如果要求误差小于0.1米呢？组内交流。
（3）该公园中心有一个圆形花圃，它的面积是800平方米，你能估算它的半径吗？
（六）当堂检测
1、估算下列数的大小：
（1） ≈__________（误差小于0.1）
（2） ≈___________（误差小于1）
2、通过估算，比较 与2.5的大小。
3、满足－ ＜x＜ 的整数x是。
【设计意图】通过本环节，系统巩固新授知识，并检测反馈学生的学习效果。学生完成题目后，教师引导学生主动展示，并给予及时的鼓励和加分奖励，继续激发学生的学习兴趣，让他们继续体验成功的快乐。
【设计意图】通过数学趣题，激发学生课后探究学习数学知识的兴趣，让他们从复杂问题的描述中抽象出数学问题，并通过画图标注已知条件，思索探究解决问题的方法，培养学生综合分析、灵活运用知识解决实际问题的能力。同时，让学生体会数学来源于生活，生活中处处有数学这一道理，进而明确数学学习的趣味性和重要性，激发学生学习数学知识的热情。
∴公园的宽大约为400米或500米，所以，它没有1000米。
初中数学中的常见估算值
初中数学中的常见估算值1. 什么是估算值？估算值是指在进行数学计算时使用的近似数，通常用于快速计算或进行初步评估，而不需要精确的计算结果。
在初中数学中，常见的估算值包括圆周率、平方根、百分比和小数等。
2. 圆周率的估算值圆周率是一个非常重要且常见的数学常数，表示圆的周长与直径之比。
在初中数学中，常用的圆周率的估算值为3.14或22/7。
要计算圆的周长或面积时，可以使用这些估算值进行近似计算。
3. 平方根的估算值平方根是一个数的二次方根，表示一个数的正平方根为正数，负平方根为负数。
在初中数学中，平方根的计算常常用到估算值。
例如，正方形的对角线长度为边长的平方根的2倍，当无法准确计算平方根时，可以使用近似值进行计算。
4. 百分比的估算值百分比是指以百分之一为单位的比率。
在初中数学中，经常需要计算百分比，如百分比的增减、利率、折扣等。
一些常见的百分比的估算值有5%、10%、25%、50%、75%和90%等。
当需要快速估算某个数的百分比时，可以使用这些常见估算值进行近似计算。
5. 小数的估算值小数是指有限或无限不循环小数的一种数形式。
在初中数学中，小数的计算是非常常见的。
例如，加减乘除小数的计算都需要用到近似估算值。
当需要快速计算小数时，可以使用估算值代替准确计算，以便快速得到近似结果。
6. 总结初中数学中的常见估算值包括圆周率、平方根、百分比和小数等。
这些估算值可以帮助我们在数学计算中快速估算结果，进行初步评估。
虽然这些估算值并非精确结果，但在一些情况下能够满足我们的需求。
需要注意的是，在进行估算时应对合理性进行评估，以即使的精确计算结果为目标。
初中数学中的立方根运算技巧
初中数学中的立方根运算技巧在初中数学中，立方根运算是一个重要的概念，它可以帮助我们解决很多与立方根相关的问题。
本文将介绍一些在求解立方根时的常用技巧和方法。
1. 概念与符号立方根，又称为三次根、立方根号，表示为∛a。
它的计算意义是：找到一个数x，使得x³=a。
其中，a为被开方的数，x为立方根。
立方根有正、负两个解，即正立方根和负立方根，常用符号表示为∛a和-∛a。
2. 负立方根的求取当a为负数时，我们可以通过以下方法求取负立方根：a）当a为一个整数的立方时，即a=b³（b为整数），负立方根为-∛a=-b。
例：-8的立方根为∛(-8)=-2。
b）当a为一个不是整数的立方时，负立方根可以转化为正立方根的相反数。
例：-27的立方根为∛(-27)=-∛27带上负号。
3. 立方根的近似计算求解较大数的立方根时，可以采用近似计算的方法来得到一个接近答案的结果。
以下是一种常用的近似计算方法：a）将被开方数a的近似值表示为一个整数b，且b³≈a。
b）通过迭代计算，不断逼近b的立方值与a的差距，直到满足要求为止。
4. 立方根的整数部分估算在没有计算器的情况下，我们可以通过估算被开方数的整数部分来估算立方根的整数部分。
以求解∛173为例，我们可以采取以下步骤：a）找到一个整数x，使得x³小于或等于173。
b）通过逐步增加x，我们可以发现7³=343，8³=512，9³=729。
c）因此，x=8，∛173 ≈ ∛512 = 8。
5. 立方根的小数部分估算在已经确定了立方根的整数部分后，我们可以通过一些技巧来估算立方根的小数部分。
以求解∛173为例，我们可以采取以下步骤：a）将立方根表示为整数部分和小数部分的和：∛173 = 8 + 0.abc...b）假设小数部分为0.abc...，其中a、b和c分别表示小数的百位、十位和个位。
c）将8 + 0.abc...整体立方，得到(8 + 0.abc...)³ = 173d）根据此等式，我们可以逐位算出小数部分的值。
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等，但那些开方开不尽 的一定是无理数，. 当堂测试 1.写出一个-6～-5 之间 的无理数： .
3、你认为
5 1 与 0.5 哪个大？你是怎么想的？与同学交 2.若规定误差小于 1， 2
流。 4、通过估算，你能比较
那么 60 的估算值）
5 1 3 与 的大小吗？ 那么
B.7
[设计说明： 教师应先让学生独立思考， 然后进行充分的交流。 ] （四） 、达标测评： 1、计算 ⑴ 5 （保留 2 位小数）
是一 －1
⑵ 2 2 （保留 2 位小数）
3
在哪两个整数之间？ 2、请你尝试用估算的方法比较
5 1 5 与 的大小 2 8
A．1 与 2 B．2 与 3 与4 C．3 D．4 与 5
（3） 3 20 （误差小于 1）（4） 2 （误差小 ； 0.1）. . 6.已知 7 的整数部分
是 x ，小数部分是 y ， 求 y ( 7 x) 的值.
5、7《方根的估算》 一、教与学目标： 1、能用有理数估计某些二次方根或三次方根的大致范围． 2、通过方根的估算，增强数感，发展合情推理能力． 二、教与学重点难点： 重点：能用有理数估计某些二次方根或三次方根的大致范围． 难点：用估算的方法求无理数的近似值，往往要依据所研究问题的要求确定精确程度 三、教与学方法： 自主探究 、合作交流 四、教与学过程： 集体备课 （一） 、情境导入： 校园里有一个面积为 110 平方米的正方形水池， 你能估算出这 个水池的边长吗?试一试. （1）小莹是这样做的： 因为 110＞100。 ，即有 ＞10 所以水池的边长超过 10 米，大约 为 11 米． （2）小亮是这样做的：因为 110＜11 即有 ＜11，所以水池 的边长不到 11 米，大约为 10 米． 你有更好的方法吗?与同学交流． 【温馨提示】 小亮与小莹都只考虑了问题的一个方面， 分别得到了不足近似 值和过剩近似值．他们的估算都是对的，更全面的回答应是 1 0＜ ＜11． （二） 、探究新知： 例 1、估算 3 260 的值（误差小于 1） （见课本 P149 例 1） （学 生自学例 1） 达标练习：课本 P150 练习第一题 例 2、比较 个性化修改 例如 2 , 3 ,3 6 等， 它们的值都是无限不 循环小数，对它们的求 值，我们可以通过夹逼 （或称做渐进）的方法 估计它们的值所在的 范围 我们知道，带根号的数 不一定是无理数，例如
4.估算比较大小： — 10 __—3.2；
3
130 _________5 ；
6 1 ________ 2
2 1 2
3 1 _ 2
1 2
（填“＞”或“＜”） 4. 估 算 下 列 各 数 的 大 小： （1） 300000 （误 差 小 于 100 ） （ 2 ） ；
600（误差小于 10） ；
5 1 1 与 的大小（学生自学例题 2） 2 2
9 3,
25 5 3 , 27 3 36 6
精讲点拨：作差比较法（设计说明：让学生学会用各种方法比 较两个数的大小，会灵活运用各种方法比较两个数的大小） （三） 、学以致用： 1、比较 3 与 7 的大小，说说你的方法。 [设计说明：问题 1 起着承上启下的作用，在比较的过程中， 学生可能有各种不同的方法，教师要鼓励学生进行充分的交流。] 2、你还会比较- 7 与-1.5 的大小吗？
五、课堂小结： 这节课我们就学到这儿， 本节我们一共学习了哪些内容？你学 会了吗？与小组内的同学交流你的收获吧。 ⑴说说你是如何估算一个无理数的大小，你在生活中见 过估算的方法吗？或举例说明 （2）我们经历了多次数的扩充，每一次扩充都保持了原 有的运算法则和运算性质，从中我们可以体会到数学的和谐 六、作业布置： 课本习题 5.7 A 组 B 组