2019年六年级上册3.7《探索与表达规律》word课时提升作业
《探索与表达规律》word教案 (公开课)2022年北师大版 (14)
3.5 探索与表达规律字母表示数【学习目标】课标要求：1.能用字母和代数式表示以前学过的运算律和计算公式。
2．体会字母表示数的意义，形成初步的符号感。
3. 经历探索规律并用代数式表示规律的过程。
目标达成：理解用字母表示数的意义。
学习流程：【课前展示】出示小题【创境激趣】提供便于学生感受需要使用一般性符号表达事物的实例。
如：“一支青蛙一张嘴，两支眼睛四条腿……〞，让学生想方法用一句歌词将它唱完整。
【自学导航】请同学们认真看题，利用图形解答以下问题〔利用电脑或投影仪〕问题〔一〕【合作探究】搭一个正方形需要4根火柴棒。
①按上述方式，搭2个正方形需要______根火柴棒，搭3个正方形需要______根火柴棒。
②搭10个这样的正方形需要多少根火柴棒？③搭100个这样的正方形需要多少根火柴棒？你是怎样得到的？待学生解答完以上问题后，出示引申题：④如果用X表示所搭正方形的个数，那么搭X个这样的正方形需要多少根火柴棒？与同学交流？【展示提升】典例分析知识迁移提供教材上的实例，师生共同活动。
要求学生经历“独立思考、合作交流【强化训练】①要求学生说出用字母表示数的其他例子，教师引导学生分析各式中字母可表示什么数。
②练一练：1、小明步行上学,速度为v米/秒,亮亮骑自行车上学,速度是小明的3倍, 那么亮亮的速度可以表示为_______米/秒.2、如图, 用字母表示图中阴影局部的面积是_________3、一个三位数,个位数字是a, 十位数字是b, 百位数字是c, 这个三位数是____________【归纳总结】让学生交流这节课的学习收获，包括知识和方法方面的。
【板书设计】【教学反思】本节课按照创设问题情景→建立模型→解释、应用与拓展的根本模式展开教学，课堂显得生机勃勃。
1、学生自主探究、合作学习的课堂教学模式。
本节课的核心环节〔第二环节〕均由学生在动手、动脑与小组交流中成教学目标，学生表现兴趣盎然，在探索与合作的过程中体验了认识事物、寻求规律与解决问题的过程，在掌握知识、开展能力的同时促进了积极的情感形成。
2019年秋六年级数学上册 第三章 7《探索与表达规律》习题 鲁教版五四制
2019年秋六年级数学上册 第三章 7《探索与表达规律》习题 鲁教版五四制一、基础题1.选择题（1）观察下列数：2，9，28，65，126，…，找出规律是( )A.n(n-1)B.n(n+1)C.n 3+1D.n 2+1（2）有以下两个数串:1 3 5 7 … 1995 1997 1999 和 1 4 7 10 …1993 1996 1999 同时出现在这两个数串中的数的个数共有（ ）A.333个B. 334个C.335个 D 336个(3)百货大楼进一批花布，出售时要在进价的基础上加一定的利润，其数量x 与售价y 如下表：……下列用数量x 表示售价y 的公式中，正确的是 （ ）A.y ＝8x+0.3B.y ＝8.3xC. y ＝8+0.3xD.y ＝8.3+x 二、综合题1.填空题观察下面一组数据，填上适当的数11，-21，31，-41， ，-61… 2.观察下列各式:1+3＝22)31(⨯+,1+3+5＝23)51(⨯+，1+3+5+7＝24)71(⨯+… 则1+3+5+7+…+（2n-1）＝3.观察下列等式：12+1＝1×2 22+2＝2×3 32+3＝3×4.……请你将猜想的规律用自然数n （n ≥1）表示是三、综合题1.观察下列两组式子：1=12 1×3=22-1，1+3=12 2×4=32-1，1+3+5=32 3×5=42-1，1+3+5+7=42 4×6=52-1，……(1)试写出1+3+5+7+…+99= ，99× = 2-1；(2)试用字母表示你探索得到的规律.参考答案四、基础题1.选择题(1)C (2)A (3)B五、综合题1.填空题(1)1 5(2)(121)(1)2n n+--(3)n2+n=n(n+1)六、综合题(1)502,101,100(2) 1+3+5+7+……+(2n-1)=n2;n(n-2)=(n+1)2-1附送：2019年秋六年级数学上册第三章 7《探索与表达规律》学案鲁教版五四制一、学习目标知识与能力目标：经历探索数量关系，运用符号表示规律，通过运算验证规律的过程，拥有一定的问题解决，和社会调查的经验。
六上3.7探索与表达规律
教学案设计：六年级上册第三章第七节：探索与表达规律§3.7探索与表达规律（1）教学目标：1：会用代数式表示简单问题中的数量关系，能合并同类项，去括号等法则验证所探索的规律。
2：培养面对挑战困难的勇气，鼓励学生大胆尝试，从中获得体验，教学重点：探索问题情境中的数学规律教学难点：能从问题情景中发现规律,并能应用规律解决相应的问题。
第一模块：自学设计自学任务：（一）标准问题：餐桌的摆法：（填表）（1）1张餐桌可坐6人,2张餐桌可坐___人.（二）、1张餐桌可坐6人,按下图方式将餐桌拼在一起（1）2张餐桌拼在一起可坐____ 人，3张桌子拼在一起可坐______人；n张桌子拼在一起可坐____ 人。
（2）一家餐厅有40张这样的长方形餐桌,按照上图方式每5张拼成1张大桌子,则40张桌子可拼成8张大桌子,共可坐__ 人；（3）一家餐厅有40张这样的长方形餐桌,按照上图方式每8张拼成1张大桌子,则40张桌子可拼成5张大桌子,共可坐__ 人；（4）如果有8n张这样的长方形餐桌，按照上图方式每8张拼成1张大桌子，此时一共可摆放把椅子。
（三）（1）.小明也用上面的8张桌子拼成一张大桌子，但8n张桌子的周围只能摆放16n把椅子，你能说出他的桌子是怎么摆放的吗？（2）.若仍用上面的桌子，每8张桌子拼成1张大桌子，你还有其他摆放方法吗？按照你的摆放方法，8n 张桌子的周围功课摆放多少把椅子？（四）自学诊断：1.按规律填空，并用字母表示一般规律： 2，4，6，8， ，12，14，… 2，4，8， ，32，64，… 1，3，7， ，31，…2. 观察下列等式：91816412-=-=，，25916-=， 361620-=，…………这些等式反映出自然数间的某种规律，设n 表示大于０的自然数，用关于n 的等式把你得出的规律表示出来是___________．第二模块：训练设计一、 基础训练1、用火柴帮按如图所示的方式搭图形 课本108页随堂练习1的图 (1)按图示规律填空：2、用棋子摆出下列一组图形：课本108页随堂练习2的图⑴摆第1个图形用_____枚棋子，摆第2个图形用_____枚棋子，摆第3个图形用______枚棋子； ⑵按照这种方式摆下去，摆第n 个图形用_____枚棋子，摆第100个图形用_______枚棋子。
2021-2022学年鲁教版六年级数学上册《3.7探索与表达规律》题型分类练习(附答案)
2021-2022学年鲁教版六年级数学上册《3.7探索与表达规律》题型分类训练（附答案）一．规律型：数字的变化类1．列数81，82，83，84，…，82022，其中个位数字是8的数有（）A．672个B．506个C．505个D．252个2．若a≠2，则我们把称为a的“友好数”，如3的“友好数”是，﹣2的“友好数”是，已知a1＝3，a2是a1的“友好数”，a3是a2的“友好数”，a4是a3的“友好数”，……，依此类推，则a2021＝（）A．3 B．﹣2 C．D．3．已知，a1＝，a2＝，a3＝，…，a n＝，S n＝a1+a2+…+a n，则S2020＝．4．观察表一寻找规律，表二，表三分别是从表一中截取的一部分，则a＝，b＝．5．右边是一个按某种规律排列的数阵：根据规律，自然数2021应该排在从上向下数的第m行，是该行中的从左向右数的第n个数，那么m+n的值是（）A．131 B．130 C．129 D．1286．十九世纪的时候，MorizStern（1858）与AchilleBro cot（1860）发明了“一棵树”，称之为有理数树，它将全体正整数和正分数按照如图所示的方法排列．从1开始，一层一层的“生长”出来：是第一层，第二层是和，第三层是，，，，…，按照这个规律，在第层第个数（从左往右数）．7．我国宋代数学家杨辉在《详解九章算法》中发现了二项和的乘方规律，如（a+b）0＝1，（a+b）1＝a+b，（a+b）2＝a2+2ab+b2，（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2a+b3，试计算（a ﹣b）6的第二项是．8．杨辉三角是二项式系数在三角形中的一种几何排列（在欧洲也称为帕斯卡三角形），它是中国古代数学的杰出研究成果之一，是一种离散型的数形结合．如图，是杨辉三角的一部分，则图中第五行中的所有数字之和为．9．如图被称为“杨辉三角”或“贾宪三角”．其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和．表中两平行线之间的一列数：1，3，6，10，15，…，我们把第一个数记为a1，第二个数记为a2，第三个数记为a3，…，第n个数记为a n，则a6+a10的值为（）A．76 B．74 C．72 D．7010．一个白色圆生成一个黑色圆，一个黑色圆生成一个白色圆和一个黑色圆，按如图方式排列，依此类推，第十行圆的个数为（）A．30个B．34个C．55个D．89个11．斐波那契数列因意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例引入，故又称为“兔子数列”，即：1，1，2，3，5，8，13，21，34…在实际生活中，很多花朵（如梅花、飞燕草、万寿菊等）的瓣数恰是斐波那契数列中的数，斐波那契数列在现代物理及化学等领域也有着广泛的应用．若斐波那契数列中的第n个数记为a n，则1+a3+a5+a7+a9+..+a2021与斐波那契数列中的第个数相同．12．任选一个三位数，要求个、十、百位的数字各不相同，把这个三位数的三个数字按大小重新排列，得出一个最大的数和一个最小的数，用得出的最大的数减去最小的数得到一个新数，再将这个新数按上述方式重新排列，再相减，…．这样运算若干次后一定会得到同一个重复出现的数，这个数称为“卡普雷卡尔黑洞数”．该“卡普雷卡尔黑洞数”为（）A．594 B．459 C．954 D．49513．已知一列数x1，x2，x3…，x2021满足x1+x2+…+x2021＝×（1+2+…+2021），且|x1﹣3x2+1|＝|x2﹣3x3+2|＝…＝|x2020﹣3x2021+2020|＝|x2021﹣3x1+2021|，则x1﹣2x2﹣3x3＝．二．规律型：图形的变化类14．下面是一种利用图形计算正整数乘法的方法，请根据图1～图4四个算图所示的规律，可知图5所表示的算式为．15．如图所示，正方形的边长均是a，以图①、②、③呈现的规律类推，图⑩中阴影部分的面积是．16．妈妈想考一考读七年级的儿子，她让儿子先把面积为1的矩形等分成两个面积为的矩形，再把面积为的矩形等分成两个面积为的矩形，再把面积为的矩形等分成两个面积为的矩形，如此进行下去，试用如图所揭示的规律计算++++++＝．17．如图所示，直线AB，CD相交于点O，“阿基米德曲线”从点O开始生成，如果将该曲线与每条射线的交点依次标记为1，﹣2，3，﹣4，5，﹣6…．那么标记为“2021”的点在（）A．射线OA上B．射线OB上C．射线OC上D．射线OD上18．如图，已知∠PMQ＝30°，点A1，A2，A3…在射线MQ上，点B1，B2，B3…均在射线MP上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4…均为等边三角形，若MA1＝1，则△A2021B2021A2022的边长为．19．如图，将边长都为1的正方形按如图所示摆放，点A1、A2、…A n分别是正方形的中心，则2021个这样的正方形重叠部分的面积和为．20．如图，四边形OAA1B1是边长为1的正方形，以对角线OA1为边作第二个正方形OA1A2B2，连接AA2，得到△AA1A2；再以对角线OA2为边作第三个正方形OA2A3B3，连接A1A3，得到△A1A2A3；再以对角线OA3为边作第四个正方形OA3A4B4，连接A2A4，得到△A2A3A4，…，则△A n A n+1A n+2的面积等于．参考答案一．规律型：数字的变化类1．解：∵81的个位数字是8，82的个位数字是4，83的个位数字是2，84的个位数字是6，85的个位数字是8，86的个位数字是4，…∴这列数的个位数字以8，4，2，6，每4个数循环出现，∵2022÷4＝505…2，∴第2021个数的个位数是8，∴个数数字是8的个数为：505+1＝506（个）．故选：B．2．解：∵a1＝3，a2是a1的“友好数”，∴a2＝＝﹣2，∵a3是a2的“友好数”，∴a3＝＝，∵a4是a3的“友好数”，∴a4＝＝，∵a5是a4的“友好数”，∴a5＝＝3，……∴每四个数是一组循环，∵2021÷4＝505…1，∴a2021＝a1＝3，故选：A．3．解：∵a n＝＝＝2（﹣），∴S n＝a1+a2+…+a n＝2×（）+2×（）+2×（）+...+2（﹣）＝2×（+﹣+...+﹣）＝2×（）＝，∴S2020＝＝，故答案为：．4．解：由图可知，a在第6行第5列，所以，a＝6×5＝30，∵70在第10行第7列，∴b在第11行第8列，∴b＝11×8＝88．故答案为：30；88．5．解：∵每行的最后一个数是这个行的行数m的平方，第m行的数字的个数是2m﹣1，∵442＝1936，所以2021在第45行，∵452＝2025，∴45行最后一个数字是2025，第45行有2×45﹣1＝89个数字，从2025往前数4个数据得到2021，从而得出2021是第85个数据，∴m＝45，n＝85，∴m+n＝45+85＝130．故选：B．6．解：由图可知，向右发散的都是真分数，规律是→，向左发散的都是假分数，规律是→，∴→→→→→→→→→，∴在第10层，由图知，左边有1个数，的左边有3个数，左边有7个数，左边有15个数，左边有31个数，左边有63个数，左边有126个数，的左边有252个数，∴在第10层从左往右数第253个数，故答案为：10；253．7．解：由题意可知，从第二个式子开始，每个式子的第二项依次是b，2ab，3a2b，......，根据此规律，第n个式子的第二项应为（n﹣1）a n﹣2b，∵（a﹣b）6是第7个式子，∴取n＝7，又∵（a﹣b）6＝[a+（﹣b）]6，∴（a﹣b）6的第二项为（7﹣1）a7﹣2（﹣b）＝﹣6a5b，故答案为﹣6a5b．8．解：由题意得：第五行中的数字分别为：1，4，6，4，1，∴1+4+6+4+1＝16．故答案为：16．9．解：由题意可知：a1＝1，a2＝1+2＝3，a3＝1+2+3＝6，.....．a6＝1+2+3+4+5+6＝21，.....．a10＝1+2+3+4+5+6+7+8+9+10＝55，∴a6+a10＝21+55＝76，故选：A．10．解：由题意知前六行圆数为：1，1，2，3，5，8，即从第三行开始圆数为前两行圆数之和，∴第七行为：13，第八行为：21，第九行为：34，第十行为：55，故选：C．11．解：∵斐波那契数列中a1＝a2＝1，∴1＝a2．∴1+a3+a5+a7+a9+•••+a2021＝a2+a3+a5+a7+a9+•••+a2021＝a4+a5+a7+a9+•••+a2021＝a6+a7+a9+•••+a2021＝a8+a9+••••+a2021＝a10+•••+a2021＝•••＝a2020+a2021＝a2022．故答案为：2022．12．解：若选的数为325，则用532﹣235＝297，以下按照上述规则继续计算：972﹣279＝693，963﹣369＝594，954﹣459＝495，954﹣459＝495，…．故“卡普雷卡尔黑洞数”是495．故选：D．13．解：根据上面的分析，可以得到：x1﹣3x2+1＝+M，x2﹣3x3+2＝+M，…x2021﹣3x1+2021＝+M．上面2021个等式相加（上面n个等式中，可能有部分右边是﹣M），（x1+x2+…+x2021）﹣3（x1+x2+…+x2021）+（1+2+3+…+2021）＝p*M．（右边的和是P个M，p≠0），而条件1+2+3+…+2021＝2（x1+x2+…+x2021）．所以得到0＝p×M，而p≠0，只有M＝0．∴x1﹣3x2+1＝0，x2﹣3x3+2＝0．这两个等式相加得到x1﹣2x2﹣3x3＝﹣3．答案为：﹣3．二．规律型：图形的变化类14．解：图5中标的数字个位逆时针顺序排列正是结果，左下方的三组交点个数逆时针排列为321，右下方的三组交点个数逆时针排列为123，它们为两个因数，即321×123＝39483．故答案为：321×123＝39483．15．解：∵图①中阴影部分面积S①＝a2﹣π（a）2＝a2；图②中阴影部分面积S②＝a2﹣4（π•a2）＝a2；图③中阴影部分面积S③＝a2﹣9（π•a2）＝a2；……∴图⑩中阴影部分的面积是a2．故答案为：a2．16．解：原式＝1﹣＝．故答案为：．17．解：观察图形的变化可知：奇数项：1、3、5、…2n﹣1（n为正整数）；偶数项：﹣2、﹣4、﹣6、…﹣2n．∵2021是奇数项，每四条射线为一组，OA为始边，∴标记为“2021”的点在射线OA上．故选：A．18．解：∵△A1B1A2为等边三角形，∴∠B1A1A2＝60°，∵∠PMQ＝30°，∴∠MB1A1＝∠B1A1A2﹣∠PMQ＝30°，∴∠MB1A1＝∠PMQ，∴A1B1＝MA1＝1，同理可得：A2B2＝MA2＝2，A3B3＝MA3＝4＝22，A4B4＝MA4＝23，..．∴△A2021B2021A2022的边长＝22020，故答案为：22020．19．解：过点A1作A1D⊥A2D于D、A1E⊥A2E于E，如图所示：∵A1是正方形的中心，∴A1D＝A1E，A1D⊥A1E，∵∠BA1D+∠BA1E＝∠CA1E+∠BA1E，∴∠BA1D＝∠CA1E，在△A1BD和△A1CE中，，∴△A1BD≌△A1CE（ASA），∴2个正方形重叠阴影部分的面积＝正方形面积的＝×12＝，∴2021个这样的正方形重叠部分的面积和＝×（2021﹣1）＝505，故答案为：505．20．解：设△AA1A2、△A1A2A3、△A2A3A4的面积分别为S1、S2、S3，∵四边形OAA1B1是正方形，∴OA＝AA1＝A1B1＝1，∴S1＝，∵∠OAA1＝90°，∴OA2＝A2A3＝2，∴S2＝，同理可求：S3＝，S4＝4…，∴S n＝2n﹣2，∴△A n A n+1A n+2的面积S n+1＝2n﹣1，故答案为：2n﹣1．。
[K12配套]六年级数学上册 3.7 探索与表达规律公开课教案(2)
![[K12配套]六年级数学上册 3.7 探索与表达规律公开课教案(2)](https://img.taocdn.com/s3/m/6e2e1f7de518964bcf847cf9.png)
这些等式反映出自 然数间的某种规律，设 表示大于０的自然数，用关于 的等式把你得出的规律表示出来是___________．
课下训练
１.观察下列各式：
，
．
想一想，什么样的两数之积等于这两数之和？设 表示正整数，用关于 的等式表示这个规律为____________．
２.折纸问题：（填表）
①对折次数与所得单层面积的变化关系表：
3.7探索与表达规律
课题
课时
1
课型
新授
教学
目标
重点
难点
分析
及
突破
措施
教学重点：用字母、运算符号表示简单问题的规律，并能验证所探索的规律。
教学难点：经历探索数量
准备
小黑板、彩色粉笔
板书
设计
探索规律（二）
一、复习铺垫、导入新课二、创设情境、设疑激趣
三、自主探究、合作交流四、动手操作、实践新知
②对折次数与所得层数的变化关系表：
③对折次数与所得折痕数的变化关系表：
教学后记
（包括达标情况、教学得失、改进措施等）
学生经历探索数量关系、运 用符号表示规律、通过运算 验证规律的过程。拥有一定的问题解决、课题研究、社会调查的经验。
五、归纳小结、评价升华
教学过程
（包括导引新课、依标导学、异步训练、达标测试、作业设计等）
上课时间：
一．前置准备：
一首永远唱不完的儿歌，你能用字母表示这首儿歌吗？
1只青蛙1张嘴，2只眼睛，4条腿，1 声扑通跳下水；2只青蛙2张嘴，4只眼睛，8条腿，2声扑通跳下水；······
（N只青蛙N张嘴，2N只眼睛，4N条腿，N声扑通跳下水。）
当堂训练：
１．有人说一张普通的报纸连续对折最多不会超过8次。利用今天在折纸问题中对折次数与单层面积以及所折层数的关系的探索，对这一论点进行论证或反驳。
2021-2022学年鲁教版六年级数学上册《3-7探索与表达规律》同步练习题(附答案)
2021-2022学年鲁教版六年级数学上册《3.7探索与表达规律》同步练习题（附答案）1．一组数据排列如下：12 3 43 4 5 6 74 5 6 7 8 9 10…按此规律，某行最后一个数是148，则此行的所有数之和是（）A．9801B．9603C．9025D．81002．观察下面“品”字形中各数之间的规律，根据观察到的规律得出a+b的值为（）A．32B．33C．34D．353．观察下列算式：21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，26＝64，27＝128，通过观察，用你所发现的规律确定227的个位数字是（）A．2B．4C．6D．84．一列数a1，a2，a3，…满足条件：a1＝，a n＝（n≥2，且n为整数），则a1+a2+a3+…+a2021＝．5．如图，在3×3的九个格子中填入9个数字，当每行、每列及每条对角线的3个数字之和都相等时，我们把这个数表称为三阶幻方．若﹣2、﹣1、0、1、2、3、4、5、6这9个数也能构成三阶幻方，则此时每行、每列及每条对角线的3个数字之和都为．6．观察下列等式：①31＝，②32＝，③33＝，④34＝，…，按此规律，第n个等式为．7．观察下列一组数：，…，根据该组数的排列规律，可推出第10个数是．8．一般地，将连续的正整数1，2，…，n2填入n×n个方格中，使得每行、每列、每条对角线上的数的和相等，就形成了一个n阶幻方（如图是3阶幻方的一种情况）．记n阶幻方每行的数的和为N n，易知N3＝15，那么N4＝．9．观察下列等式：121＝112，12321＝1112，1234321＝11112，…，那么：12345678987654321＝．10．任意写一个是3的倍数（非零）的数，先把这个数的每一数位上的数字都立方，再相加，得到一个新数，然后把这个新数的每一个数位上的数字再立方，求和，…，重复运算下去，就能得到一个固定的数字a，我们称它为数字“黑洞”，这个数字a＝．11．有依次排列的3个数：3，9，8对应相邻的两个数，都用右边的数减去左边的数，所得之差写在这两个数之间，可产生一个新数串：3，6，9，﹣1，8．这称为第一次操作；做第二次同样的操作后也可产生一个新数串：3，3，6，3，9，﹣10，﹣1，9，8，继续依次操作下去从数串3，9，8开始操作至第2024次以后所产生的那个新数串的所有数之和是．12．有若干个数，第一个数记为a1，第二个数记为a2，…，第n个数记为a n．若a1＝﹣，从第二个数起，每个数都等于“1与它前面那个数的差的倒数”，a2021＝．13．电子跳蚤落在数轴上的某点k0，第一步从k0向左跳1个单位到k1，第二步由k1向右跳2个单位到k2，第三步由k2向左跳3个单位到k3，第四步由k3向右跳4个单位到k4，…，按以上规律跳了140步时，电子跳蚤落在数轴上的点k140所表示的数恰是2091．则电子跳蚤的初始位置k0点所表示的数是．14．观察下列等式：9﹣1＝8；16﹣4＝12；25﹣9＝16；36﹣16＝20，…这些等式反映正整数间的某种规律，设n（n≥1）表示正整数，用关于n的等式表示这个规律为．15．考察下列式子，归纳规律并填空：1＝（﹣1）2×1；1﹣3＝（﹣1）3×2；1﹣3+5＝（﹣1）4×3；…1﹣3+5﹣7+…+（﹣1）n+1×（2n﹣1）＝（n为正整数）．16．填在下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据这种规律，m的值是．17．阅读下列材料：数学中枚举法是一种重要归纳法，也称为列举法、穷举法．用枚举法解题时应该注意：（1）常常需要将对象进行恰当分类．（2）使其确定范围尽可能最小，逐个试验寻求答案，假设正整数N的末尾为5，N的平方数记为M．例：152＝225（2＝1×2），252＝625（6＝2×3），352＝1225（12＝3×4），452＝2025（20＝4×5），552＝3025（30＝5×6），…正整数M特点是：①正整数M的末两位数字是25；②去掉末两位数字25后，剩下部分组成的数字等于正整数N去掉个位数字5后剩余部分组成的数字与比此数大1的数之积．（如例中的括号内容）（1）根据以上特点，一个四位数的M一共有个；（2）利用代数方法求证：对正整数N，正整数M都满足以上两个特点．（3）如果正整数M的首位数是2且小于六位，又满足N的各位数字之和与M的各位数字之和相等，此时正整数M的值为．18．阅读材料：求1+2+22+23+24+…+22021的值．解：设S＝1+2+22+23+24+ (22021)将等式两边同时乘以2，得：2S＝2+22+23+24+…+22021+22022；将下式减去上式得：2S﹣S＝22022﹣1，即S＝22022﹣1，即1+2+22+23+24+…+22021＝22022﹣1；请你仿照此法计算：（1）1++．（2）1+3+32+33+34+…+3n．19．化简求值：+++…+20．如图，将一个面积为1的圆形纸片分割成6部分，部分①是圆形纸片面积的一半，部分②是部分①面积的一半，部分③是部分②面积的一半，依此类推：（1）阴影部分的面积是；（2）受此启发，求出的值；（3）直接写出＝．21．观察下面的一列式子：﹣＝＝﹣＝＝﹣＝＝…利用上面的规律回答下列问题：（1）填空：﹣＝；（2）计算：++++++．22．（1）观察：4×6＝24，14×16＝224，24×26＝624，34×36＝1224，…，请你用含n（n为自然数）的代数式表示这一规律：；（2）利用（1）中规律计算：134×136．23．有一列数，第一个数是1，第二个数是4，第三个数记为x3，以后依次记为x4，x5，…，x n，从第二个数开始，每个数是它相邻两个数的和的一半．（1）求x3，x4，x5，x6，并写出计算过程；（2）探索这一列数的规律，猜想第k个数等于什么？并由此算出x2021是多少？24．若a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数．如：2的差倒数是＝﹣1，﹣1的差倒数是＝．已知a1＝﹣，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数，…，依此类推．（1）分别求出a2，a3，a4的值；（2）求a1+a2+a3+…+a2160的值．25．附加题：在公式（a+1）2＝a2+2a+1中，当a分别取1，2，3…，n时，可取下列n个等式：（1+1）2＝12+2×1+1（2+1）2＝22+2×2+1（3+1）2＝32+2×3+1…（n+1）2＝n2+2n+1（1）猜想：1+2+3+4+…+n＝；（用含有n的代数式表示）（2）试证明你的猜想结果．26．阅读理解并回答问题．（1）观察下列各式：＝＝﹣，＝＝﹣，＝＝﹣，＝＝﹣，＝＝﹣，…请你猜想出表示（1）中的特点的一般规律，用含x（x表示整数）的等式表示出来＝．（2）请利用上述规律计算：（要求写出计算过程）+++…++（3）请利用上述规律，解方程++++＝参考答案1．解：∵每一行的最后一个数分别是1，4，7，10…，∴第n行的最后一个数字为1+3（n﹣1）＝3n﹣2，∴3n﹣2＝148，解得：n＝50，因此第50行最后一个数是148，∴此行的数之和为50+51+52+…+147+148＝＝9801，故选：A．2．解：∵左边的数为连续的奇数1，3，5，7，9，11，上边的数为2，4，6，…，∴b＝2×6﹣1＝11，∵上边的数与左边的数的和正好等于右边的数，∴a＝11+12＝23，∴a+b＝23+11＝34，故选：C．3．解：∵2n的个位数字是2，4，8，6四个一循环，∴27÷4＝6…3，则227的个位数字是8．故选：D．4．解：∵a1＝，a n＝（n≥2，且n为整数），∴；；；…由此可以看出，这列数每三个为一个循环周期，∵2021÷3＝673…2，∴a2021＝2，．∵，∴a1+a2+a3+…+a2021＝673×++2＝1012．故答案为：1012．5．解：把﹣2、﹣1、0、1、2、3、4、5、6这9个数相加除以3得：（﹣2﹣1+0+1+2+3+4+5+6）＝6，故答案为：6．6．解：由：①31＝，②32＝，③33＝，④34＝，…，所以第n个等式为，故答案为：，7．解：由分析知：第10个数为﹣，故答案为：﹣．8．解：∵1+2+3+…+32＝＝45∴N3＝45÷3＝15规律：1+2+3+…+n2＝∴1+2+3+…+42＝＝136∴N4＝136÷4＝34．故答案为34．9．解：∵121＝112，12321＝1112，1234321＝11112，…，∴123…n（n﹣1）…321＝n个1的平方，∴12345678987654321＝1111111112．10．解：以69为例，第一步计算：63+93＝216+729＝945，第二步计算：93+43+53＝729+64+125＝918，第三步计算：93+13+83＝1242，第四步计算：13+23+43+22＝81，第五步计算：83+13＝513，第六步计算：53+13+33＝153，第七步计算：13+53+33＝153，…，∴这个固定数字是153，故答案为：153．11．解：第一次操作后，所产生的那个新数串的所有数之和是（3+9+8）+5＝20+5；第二次操作后，所产生的那个新数串的所有数之和是（3+9+8）+2×5＝20+5×2；……第n次操作后，所产生的那个新数串的所有数之和是（3+9+8）+n×5＝20+5n；∴当n＝2024时，所产生的那个新数串的所有数之和是（3+9+8）+2024×5＝10140；故答案为：10140．12．解：由题意得：a1＝﹣，a2＝＝，a3＝＝3，a4＝＝﹣，…则该数据为﹣，，3的循环排列，∵2021÷3＝673……2，∴a2021＝a2＝．故答案为：．13．解：设电子跳蚤落在数轴当的点k0＝a，规定向右为正，向左为负，由题意得，a﹣1+2﹣3+4﹣…+140＝2091，∴a+70×1＝2091，∴a＝2021，∴k0为2021，故答案为：2021．14．解：9﹣1＝32﹣12＝8＝4+4；16﹣4＝42﹣22＝12＝4×2+4；25﹣9＝52﹣32＝16＝4×3+4；36﹣16＝62﹣42＝20＝4×4+4，…依此类推，（n+2）2﹣n2＝4n+4．故答案为：（n+2）2﹣n2＝4n+4．15．解：1＝（﹣1）2×1；1﹣3＝（﹣1）3×2；1﹣3+5＝（﹣1）4×3；…；1﹣3+5﹣7+…+（﹣1）n+1×（2n﹣1）＝（﹣1）n+1n．16．解：分析可得图中阴影部分的两个数分别是左下是12，右上是14，则m＝12×14﹣10＝158．故答案为：158．17．解：（1）根据正整数M的特点，满足4位数的M有，352＝1225，452＝2025，552＝3025，652＝3025，752＝5625，852＝7225，952＝9025，∴满足条件的四位数的M一共有7个．（2）设正整数N的十位数字为n，则N＝10n+5；∴M＝（10n+5）2＝100n2+100n+25＝100n（n+1）+25，满足正整数M的两个特点.（3）当M是三位数时，M的首位数是2，只有N＝15，M＝225，且1+5≠2+2+5，不满足题意；当M是四位数时，M的首位数是2，只有N＝45，M＝2025，且4+5＝2+0+2+5，满足题意；当M是五位数时，M的首位数是2，有N＝145，M＝21025或N＝155，M＝24025或N ＝165，M＝27225；当N＝145，M＝21025时，1+4+5＝2+1+0+2+5，满足题意；当N＝155，M＝24025时，1+5+5≠2+4+0+2+5，不满足题意；当N＝165，M＝27225时，1+6+5≠2+7+2+2+5，不满足题意；综上，正整数M的值为2025或21025．18．解：（1）设S＝1+++++•+，将等式两边同时乘以得：S＝++++•++．将上式减去下式得：S＝1﹣．∴S＝2﹣2×＝2﹣．∴1+++++•+＝2﹣．（2）设S＝1+3+32+33+34+•+3n，将等式两边同时乘以3，得：3S＝3+32+33+34+•+3n+3n+1．将下式减去上式得：2S＝3n+1﹣1．∴S＝＝．∴1+3+32+33+34+•+3n＝．19．解：原式＝++++……++＝1﹣+﹣+﹣+﹣+……+﹣+﹣＝1+﹣＝．20．解：（1）∵部分①是整体面积的一半，部分②是部分①面积的一半，部分③是部分②面积的一半，…，∴图中阴影部分的面积是部分④的一半，即××××＝，故答案为：；（2）＝1﹣＝；（3）＝1﹣，故答案为：，1﹣．21．解：（1）根据题意知﹣＝，故答案为：；（2）原式＝++++++＝1﹣+﹣+…+﹣＝1﹣＝．22．解：（1）[10（n﹣1）+4][10（n﹣1）+6]＝100n（n﹣1）+24；（2）n＝14时，134×136＝100×14×13+24＝18200+24＝18224．故答案为：[10（n﹣1）+4][10（n﹣1）+6]＝100n（n﹣1）+24．23．解：（1）根据题意得，（1+x3）＝4，解得x3＝7，（4+x4）＝7，解得x4＝10，（7+x5）＝10，解得x5＝13，（10+x6）＝13，解得x6＝16；∴x3，x4，x5，x6的值分别是7、10、13、16；（2）根据（1）中数据规律，第k个数是：3k﹣2，∴x2021＝3×2021﹣2＝6061．24．解：（1）∵a1＝﹣，∴a2＝＝，a3＝＝4，a4＝＝﹣；（2）根据（1）可知，每三个数为一个循环组循环，∵a1+a2+a3＝﹣++4＝，2160÷3＝720，∴a1+a2+a3+…+a2160＝×720＝3180．25．解：（1）猜想：1+2+3+4+…+n＝．（2）证明：（1+1）2＝12+2×1+1（2+1）2＝22+2×2+1（3+1）2＝32+2×3+1…（n+1）2＝n2+2n+1等式左边的和等于右边的和：22+32+42+…n2+（n+1）2＝12+22+32+…n2+2（1+2+3+…+n）+n化简得：（n+1）2＝1+2（1+2+…+n）+n则1+2+3+…+n＝．26．解：（1）＝﹣．（2）+++…++＝﹣+﹣+﹣…+﹣+﹣＝1﹣＝．（3）++++＝则﹣＝两边同时乘以（x﹣4）（x+1），得x+1﹣（x﹣4）＝x﹣4解得x＝9经检验x＝9是原方程的解．。
2019年六年级上册3.7《探索与表达规律》word课时提升作业
2019年六年级上册3.7《探索与表达规律》word课时提升作业(30分钟50分)一、选择题(每小题4分,共12分)1.某校生物教师李老师在生物实验室做试验时,将水稻种子分组进行发芽试验:第1组取3粒,第2组取5粒,第3组取7粒……即每组所取种子数目比该组前一组增加2粒,按此规律,那么请你推测第n组应该有种子数( )A.(2n+1)粒B.(2n-1)粒C.2n粒D.(n+2)粒2.一列数a1,a2,a3,…,其中a1=,a n=(n为不小于2的整数),则a4的值为( )A. B. C. D.3.如图,第①个图形中一共有1个平行四边形,第②个图形中一共有5个平行四边形,第③个图形中一共有11个平行四边形,……则第⑩个图形中平行四边形的个数是( )A.54B.110C.19D.109二、填空题(每小题4分,共12分)4.观察下列各式的计算过程:5×5=0×1×100+2515×15=1×2×100+25,25×25=2×3×100+25,35×35=3×4×100+25,…试猜测,第n个算式(n为正整数)应表示为.5.下列图形是由一些小正方形和实心圆按一定规律排列而成的,如图所示,按此规律排列下去,第20个图形中有个实心圆.6.当n等于1,2,3,…时,由白色小正方形和黑色小正方形组成的图形分别如图所示.则第n 个图形中白色小正方形和黑色小正方形的个数总和等于(用n表示,n是正整数).三、解答题(共26分)7.(8分)从2开始,连续的偶数相加,和的情况如下:2=2=1×2;2+4=6=2×3;2+4+6=12=3×4;2+4+6+8=20=4×5;…(1)请推测从2开始,n个连续偶数相加,和是多少?(2)取n=6,验证(1)的结论是否正确.8.(8分)有规律排列的一列数:2,4,6,8,10,12,…它的每一项可用式子2n(n是正整数)来表示.有规律排列的一列数:1,-2,3,-4,5,-6,7,-8,…(1)它的每一项你认为可用怎样的式子来表示?(2)它的第100个数是多少?(3)xx是不是这列数中的数?如果是,是其中的第几个数?【变式训练】把正整数从小到大依次排列成如下形式:12 34 5 67 8 9 10…观察规律,求出第10行的最后一个数和第20行的第一个数.【培优训练】9.(10分)观察下列等式:12×231=132×21,13×341=143×31,23×352=253×32,34×473=374×43,62×286=682×26,…以上每个等式中两边数字是分别对称的,且每个等式中组成两位数与三位数的数字之间具有相同规律,我们称这类等式为“数字对称等式”.(1)根据上述各式反映的规律填空,使式子称为“数字对称等式”:①52×= ×25;②×396=693×.(2)设这类等式左边两位数的十位数字为a,个位数字为b,且2≤a+b≤9,写出表示“数字对称等式”一般规律的式子(含a,b且ab≠0).课时提升作业(二十六)探索与表达规律(30分钟50分)一、选择题(每小题4分,共12分)1.某校生物教师李老师在生物实验室做试验时,将水稻种子分组进行发芽试验:第1组取3粒,第2组取5粒,第3组取7粒……即每组所取种子数目比该组前一组增加2粒,按此规律,那么请你推测第n组应该有种子数( )A.(2n+1)粒B.(2n-1)粒C.2n粒D.(n+2)粒【解析】选A.由题意得取得种子数为3,5,7,…从3开始的奇数,故第n组应该有种子数为(2n+1)粒.2.一列数a1,a2,a3,…,其中a1=,a n=(n为不小于2的整数),则a4的值为( )A. B. C. D.【解析】选A.因为a1=,a n=,所以a2==,同理a3==,a4==.3.如图,第①个图形中一共有1个平行四边形,第②个图形中一共有5个平行四边形,第③个图形中一共有11个平行四边形,……则第⑩个图形中平行四边形的个数是( )A.54B.110C.19D.109【解析】选D.第①个图形中有1个平行四边形;第②个图形中有1+4=5个平行四边形;第③个图形中有1+4+6=11个平行四边形;第④个图形中有1+4+6+8=19个平行四边形;…第n个图形中有1+2(2+3+4+…+n)个平行四边形;所以第⑩个图形中有1+2(2+3+4+5+6+7+8+9+10)=109个平行四边形.二、填空题(每小题4分,共12分)4.观察下列各式的计算过程:5×5=0×1×100+2515×15=1×2×100+25,25×25=2×3×100+25,35×35=3×4×100+25,…试猜测,第n个算式(n为正整数)应表示为.【解析】方法一:左边两个因数是相同的两个数,十位数字从0开始依次增加1,个数数字为5,故左边第n个算式表示为[10(n-1)+5]×[10(n-1)+5];等号右边为左边十位数字乘以比它大1的数字再乘以100,然后加上25,故表示为100n(n-1)+25,所以第n个算式表示为[10(n-1)+5]×[10(n-1)+5]=100n(n-1)+25.方法二:左边的两个相同的因数分别看作是5×1,5×3,5×5…,故第n个是5(2n-1),等号右边为左边十位数字乘以比它大1的数字再乘以100,然后加上25,所以第n个算式表示为5(2n-1)×5(2n-1)=100n(n-1)+25.答案:[10(n-1)+5]×[10(n-1)+5]=100n(n-1)+25(或5(2n-1)×5(2n-1)=100n(n-1)+25)5.下列图形是由一些小正方形和实心圆按一定规律排列而成的,如图所示,按此规律排列下去,第20个图形中有个实心圆.【解析】第(1)个图形中有4+2×0=4个实心圆;第(2)个图形中有4+2×1=6个实心圆;第(3)个图形中有4+2×2=8个实心圆;…第(n)个图形中有4+2×(n-1)=2n+2个实心圆,所以第20个图形中有2×20+2=42个实心圆.答案:426.当n等于1,2,3,…时,由白色小正方形和黑色小正方形组成的图形分别如图所示.则第n 个图形中白色小正方形和黑色小正方形的个数总和等于(用n表示,n是正整数).【解题指南】解答本题的三个步骤1.观察图案的变化趋势.2.从第1个图形进行分析,运用从特殊到一般的探索方式,找出黑白正方形个数增加的变化规律.3.用含有n的代数式进行表示.【解析】第1个图形中有1个白色小正方形和4×1个黑色小正方形;第2个图形中有22个白色小正方形和4×2个黑色小正方形;第3个图形中有32个白色小正方形和4×3个黑色小正方形;…第n个图形中有n2个白色小正方形和4n个黑色小正方形;因此第n个图形中白色小正方形和黑色小正方形的个数总和等于n2+4n.答案:n2+4n三、解答题(共26分)7.(8分)从2开始,连续的偶数相加,和的情况如下:2=2=1×2;2+4=6=2×3;2+4+6=12=3×4;2+4+6+8=20=4×5;…(1)请推测从2开始,n个连续偶数相加,和是多少?(2)取n=6,验证(1)的结论是否正确.【解析】(1)由题中规律可得.n个连续偶数相加,即2+4+6+8+…+2n=n×(n+1).(2)当n=6时,2+4+6+8+10+12=42=6×(6+1),所以(1)的结论正确.8.(8分)有规律排列的一列数:2,4,6,8,10,12,…它的每一项可用式子2n(n是正整数)来表示.有规律排列的一列数:1,-2,3,-4,5,-6,7,-8,…(1)它的每一项你认为可用怎样的式子来表示?(2)它的第100个数是多少?(3)xx是不是这列数中的数?如果是,是其中的第几个数?【解析】(1)它的每一项可以用式子(-1)n+1n(n是正整数)表示.(2)它的第100个数是(-1)100+1×100=-100.(3)当n=xx时,(-1)xx+1×xx=xx,所以xx是其中的第xx个数.【变式训练】把正整数从小到大依次排列成如下形式:12 34 5 67 8 9 10…观察规律,求出第10行的最后一个数和第20行的第一个数.【解析】观察规律得第1行1个数,第2行2个数,所以第10行为10个数,且为1+2+3+…+10=55.第19行的最后一个数为:1+2+3+…+19=190,则第20行的第一个数为191.【培优训练】9.(10分)观察下列等式:12×231=132×21,13×341=143×31,23×352=253×32,34×473=374×43,62×286=682×26,…以上每个等式中两边数字是分别对称的,且每个等式中组成两位数与三位数的数字之间具有相同规律,我们称这类等式为“数字对称等式”.(1)根据上述各式反映的规律填空,使式子称为“数字对称等式”:①52×= ×25;②×396=693×.(2)设这类等式左边两位数的十位数字为a,个位数字为b,且2≤a+b≤9,写出表示“数字对称等式”一般规律的式子(含a,b且ab≠0).【解析】(1)①因为5+2=7,所以左边的三位数是275,右边的三位数是572,所以52×275=572×25.②因为左边的三位数是396,所以左边的两位数是63,右边的两位数是36,63×396=693×36.(2)因为左边两位数的十位数字为a,个位数字为b,所以左边的两位数是10a+b,三位数是100b+10(a+b)+a,右边的两位数是10b+a,三位数是100a+10(a+b)+b,所以一般规律的式子为:(10a+b)×[100b+10(a+b)+a]=[100a+10(a+b)+b]×(10b+a).附送：2019年六年级上册4.1.2《等式的基本性质》word题组训练1.下列等式变形错误的是( )A.由a=b得a+5=b+5B.由a=b得a-6=b-6C.由x+2=y-2得x=yD.由7+x=y+7得x=y2.下列方程的变形,符合等式的基本性质的是( )A.6x-3=8,得6x=8-3B.5x+2=1,得5x=1+2C.由-9x=7,得x=9+7D.由-x=1,得x=-53.如图所示,天平右盘里放了一块砖,左盘里放了半块砖和2kg的砝码,天平两端正好平衡,那么一块砖的质量是( )A.1kgB.2kgC.3kgD.4kg4.如果x+8=10,那么x=10+ .【变式训练】如果4a+3b=5,那么4a=5 .5.若x+3=4,则4x+12= .6.将等式2a=2b两边同时减a+b变形为a-b=b-a,再将两边同时除a-b变形为1=-1,最后结果明显是错误的,你能找到错误原因吗?利用等式的基本性质解简单的一元一次方程1.解方程-x=5时,应在方程两边( )A.同时乘-B.同时乘-5C.同时除以D.同时除以52.若x=2是关于x的方程2x+3m-1=0的解,则m的值为( )A.-1B.0C.1D.3.方程x+1=0的解是.4.在等式3x=x+1两边都,得3x-x= ,化简得2x= ,解得x= .5.利用等式的基本性质解下列方程并检验.(1)2x-7=9. (2)-x-2=3.【变式训练】利用等式的基本性质解一元一次方程:(1)x+1=2. (2)-=3. (3)5=x-4.(4)5(y-1)=10. (5)--3=5.6.若2m+3与-5互为相反数,试求m的值.【错在哪？】作业错例课堂实拍利用等式的基本性质解方程:-x-5=4.(1)找错:从第______步开始出现错误.(2)纠错:__________________________________________________________________________.提技能·题组训练等式的基本性质1.下列等式变形错误的是( )A.由a=b得a+5=b+5B.由a=b得a-6=b-6C.由x+2=y-2得x=yD.由7+x=y+7得x=y【解析】选C.选项C的变形左边减2,右边加2,不符合等式的基本性质1.2.下列方程的变形,符合等式的基本性质的是( )A.6x-3=8,得6x=8-3B.5x+2=1,得5x=1+2C.由-9x=7,得x=9+7D.由-x=1,得x=-5【解析】选D.A中等式的左边加3,右边减3,所以不正确;B中等式的左边减2,右边加2,所以不正确;C中等式的左边除以-9,右边加9,所以不正确;D中等式的左右两边都乘以-5,所以正确.3.如图所示,天平右盘里放了一块砖,左盘里放了半块砖和2kg的砝码,天平两端正好平衡,那么一块砖的质量是( )A.1kgB.2kgC.3kgD.4kg【解析】选D.设一块砖的质量是xkg,则:2+x=x,解得:x=4,所以一块砖的质量是4kg.4.如果x+8=10,那么x=10+ .【解析】等式两边都加-8,得x=10+(-8).答案:(-8)【变式训练】如果4a+3b=5,那么4a=5 .【解析】由左边知等式两边应同时减3b,所以4a=5-3b.答案:-3b5.若x+3=4,则4x+12= .【解析】等式的左边x+3乘以4得4(x+3)=4x+12,等式的右边也乘以4得16.答案:16【一题多解】由x+3=4得,x=1,把x=1代入4x+12得,4×1+12=16.答案:166.将等式2a=2b两边同时减a+b变形为a-b=b-a,再将两边同时除a-b变形为1=-1,最后结果明显是错误的,你能找到错误原因吗?【解析】由2a=2b,得a=b.故a-b=0,故在a-b=b-a的两边同时除以a-b,即除以一个等于0的数,违反了等式的基本性质2.【易错提醒】利用等式的基本性质2对等式进行变形时,一定要注意除数不能为0,当等式两边同时除以一个不确定的数时,必须注意这个数有没有为0的可能.利用等式的基本性质解简单的一元一次方程1.解方程-x=5时,应在方程两边( )A.同时乘-B.同时乘-5C.同时除以D.同时除以5【解析】选B.方程两边应同时除以-,即同乘-5.2.若x=2是关于x的方程2x+3m-1=0的解,则m的值为( )A.-1B.0C.1D.【解析】选A.把x=2代入原方程得2×2+3m-1=0,整理得3m+3=0,等式的两边同时减3,得3m=-3,等式的两边同时除以3,得m=-1.3.方程x+1=0的解是.【解析】等式的两边同时减1,得x=-1.答案:x=-14.在等式3x=x+1两边都,得3x-x= ,化简得2x= ,解得。
鲁教版小学数学六年级上册《探索与表达规律》同步练习2
《探索与表达规律》同步练习21．如图下列每个图形都是若干个棋子围成的正方形图案，图案的每条边（包括两个顶点）上都有n （2≥n ）个棋子，按下图的排列规律推断，第八个图案的棋子数是多少，第n 个图案的棋子数表示出来．2．观察下列各式：4333,3222,2111222⨯=+⨯=+⨯=+…，用n （自然数）把这个规律表示出来．3．下面一组式子211211-=⨯；31213121-=⨯；41314131-=⨯；51415141-=⨯… （1）写出这一组式子所表达的一般规律． （2）利用这一规律，计算.1009919291191901⨯++⨯+⨯4．探索规律225152=可写成25)11(1100++⨯⨯625252=可写成25)12(2100++⨯⨯1225352=可写成25)13(3100++⨯⨯2025452=可写成25)14(4100++⨯⨯…（1）把这个规律用含有n 的式子写出来；（2）计算952．5．观察：41)7131(731⨯-=⨯ 41)151111(1511141)11171(1171⨯-=⨯⨯-=⨯ … 计算：59551151111171731⨯+⨯+⨯+⨯．6．观察下列等式9－1＝8，16－4＝12，25－9＝16，36－16＝20，……这些等式反映出自然数间的什么规律呢？设n 表示自然数，请用含有n 的等式表示出来。
参考答案1．).1(4-n〔提示：4＝4×（2－1） 8＝4×（3－1） 12＝4×（4－1） 16＝4×（5－1）… 4（n －1）〕2．).1(2+=+n n n n3．（1）111111+-=+⨯n n n n （2）90011001901=- 4．（1）25)1(100)510(2++⨯⨯=+n n n （提示：设十位数字是n ，则任何一个个位是5的两位数都可以写成510+n（2）90255．由上列等式可以得如下规律：.1771441)411()4(1=⨯+-=+n n n n 6．)1(4)2(22+=-+n n n。
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2019年六年级上册3.7《探索与表达规律》word课时提升作业(30分钟50分)一、选择题(每小题4分,共12分)1.某校生物教师李老师在生物实验室做试验时,将水稻种子分组进行发芽试验:第1组取3粒,第2组取5粒,第3组取7粒……即每组所取种子数目比该组前一组增加2粒,按此规律,那么请你推测第n组应该有种子数( )A.(2n+1)粒B.(2n-1)粒C.2n粒D.(n+2)粒2.一列数a1,a2,a3,…,其中a1=,a n=(n为不小于2的整数),则a4的值为( )A. B. C. D.3.如图,第①个图形中一共有1个平行四边形,第②个图形中一共有5个平行四边形,第③个图形中一共有11个平行四边形,……则第⑩个图形中平行四边形的个数是( )A.54B.110C.19D.109二、填空题(每小题4分,共12分)4.观察下列各式的计算过程:5×5=0×1×100+2515×15=1×2×100+25,25×25=2×3×100+25,35×35=3×4×100+25,…试猜测,第n个算式(n为正整数)应表示为.5.下列图形是由一些小正方形和实心圆按一定规律排列而成的,如图所示,按此规律排列下去,第20个图形中有个实心圆.6.当n等于1,2,3,…时,由白色小正方形和黑色小正方形组成的图形分别如图所示.则第n 个图形中白色小正方形和黑色小正方形的个数总和等于(用n表示,n是正整数).三、解答题(共26分)7.(8分)从2开始,连续的偶数相加,和的情况如下:2=2=1×2;2+4=6=2×3;2+4+6=12=3×4;2+4+6+8=20=4×5;…(1)请推测从2开始,n个连续偶数相加,和是多少?(2)取n=6,验证(1)的结论是否正确.8.(8分)有规律排列的一列数:2,4,6,8,10,12,…它的每一项可用式子2n(n是正整数)来表示.有规律排列的一列数:1,-2,3,-4,5,-6,7,-8,…(1)它的每一项你认为可用怎样的式子来表示?(2)它的第100个数是多少?(3)2015是不是这列数中的数?如果是,是其中的第几个数?【变式训练】把正整数从小到大依次排列成如下形式:12 34 5 67 8 9 10…观察规律,求出第10行的最后一个数和第20行的第一个数.【培优训练】9.(10分)观察下列等式:12×231=132×21,13×341=143×31,23×352=253×32,34×473=374×43,62×286=682×26,…以上每个等式中两边数字是分别对称的,且每个等式中组成两位数与三位数的数字之间具有相同规律,我们称这类等式为“数字对称等式”.(1)根据上述各式反映的规律填空,使式子称为“数字对称等式”:①52×= ×25;②×396=693×.(2)设这类等式左边两位数的十位数字为a,个位数字为b,且2≤a+b≤9,写出表示“数字对称等式”一般规律的式子(含a,b且ab≠0).课时提升作业(二十六)探索与表达规律(30分钟50分)一、选择题(每小题4分,共12分)1.某校生物教师李老师在生物实验室做试验时,将水稻种子分组进行发芽试验:第1组取3粒,第2组取5粒,第3组取7粒……即每组所取种子数目比该组前一组增加2粒,按此规律,那么请你推测第n组应该有种子数( )A.(2n+1)粒B.(2n-1)粒C.2n粒D.(n+2)粒【解析】选A.由题意得取得种子数为3,5,7,…从3开始的奇数,故第n组应该有种子数为(2n+1)粒.2.一列数a1,a2,a3,…,其中a1=,a n=(n为不小于2的整数),则a4的值为( )A. B. C. D.【解析】选A.因为a1=,a n=,所以a2==,同理a3==,a4==.3.如图,第①个图形中一共有1个平行四边形,第②个图形中一共有5个平行四边形,第③个图形中一共有11个平行四边形,……则第⑩个图形中平行四边形的个数是( )A.54B.110C.19D.109【解析】选D.第①个图形中有1个平行四边形;第②个图形中有1+4=5个平行四边形;第③个图形中有1+4+6=11个平行四边形;第④个图形中有1+4+6+8=19个平行四边形;…第n个图形中有1+2(2+3+4+…+n)个平行四边形;所以第⑩个图形中有1+2(2+3+4+5+6+7+8+9+10)=109个平行四边形.二、填空题(每小题4分,共12分)4.观察下列各式的计算过程:5×5=0×1×100+2515×15=1×2×100+25,25×25=2×3×100+25,35×35=3×4×100+25,…试猜测,第n个算式(n为正整数)应表示为.【解析】方法一:左边两个因数是相同的两个数,十位数字从0开始依次增加1,个数数字为5,故左边第n个算式表示为[10(n-1)+5]×[10(n-1)+5];等号右边为左边十位数字乘以比它大1的数字再乘以100,然后加上25,故表示为100n(n-1)+25,所以第n个算式表示为[10(n-1)+5]×[10(n-1)+5]=100n(n-1)+25.方法二:左边的两个相同的因数分别看作是5×1,5×3,5×5…,故第n个是5(2n-1),等号右边为左边十位数字乘以比它大1的数字再乘以100,然后加上25,所以第n个算式表示为5(2n-1)×5(2n-1)=100n(n-1)+25.答案:[10(n-1)+5]×[10(n-1)+5]=100n(n-1)+25(或5(2n-1)×5(2n-1)=100n(n-1)+25)5.下列图形是由一些小正方形和实心圆按一定规律排列而成的,如图所示,按此规律排列下去,第20个图形中有个实心圆.【解析】第(1)个图形中有4+2×0=4个实心圆;第(2)个图形中有4+2×1=6个实心圆;第(3)个图形中有4+2×2=8个实心圆;…第(n)个图形中有4+2×(n-1)=2n+2个实心圆,所以第20个图形中有2×20+2=42个实心圆.答案:426.当n等于1,2,3,…时,由白色小正方形和黑色小正方形组成的图形分别如图所示.则第n 个图形中白色小正方形和黑色小正方形的个数总和等于(用n表示,n是正整数).【解题指南】解答本题的三个步骤1.观察图案的变化趋势.2.从第1个图形进行分析,运用从特殊到一般的探索方式,找出黑白正方形个数增加的变化规律.3.用含有n的代数式进行表示.【解析】第1个图形中有1个白色小正方形和4×1个黑色小正方形;第2个图形中有22个白色小正方形和4×2个黑色小正方形;第3个图形中有32个白色小正方形和4×3个黑色小正方形;…第n个图形中有n2个白色小正方形和4n个黑色小正方形;因此第n个图形中白色小正方形和黑色小正方形的个数总和等于n2+4n.答案:n2+4n三、解答题(共26分)7.(8分)从2开始,连续的偶数相加,和的情况如下:2=2=1×2;2+4=6=2×3;2+4+6=12=3×4;2+4+6+8=20=4×5;…(1)请推测从2开始,n个连续偶数相加,和是多少?(2)取n=6,验证(1)的结论是否正确.【解析】(1)由题中规律可得.n个连续偶数相加,即2+4+6+8+…+2n=n×(n+1).(2)当n=6时,2+4+6+8+10+12=42=6×(6+1),所以(1)的结论正确.8.(8分)有规律排列的一列数:2,4,6,8,10,12,…它的每一项可用式子2n(n是正整数)来表示.有规律排列的一列数:1,-2,3,-4,5,-6,7,-8,…(1)它的每一项你认为可用怎样的式子来表示?(2)它的第100个数是多少?(3)2015是不是这列数中的数?如果是,是其中的第几个数?【解析】(1)它的每一项可以用式子(-1)n+1n(n是正整数)表示.(2)它的第100个数是(-1)100+1×100=-100.(3)当n=2015时,(-1)2015+1×2015=2015,所以2015是其中的第2015个数.【变式训练】把正整数从小到大依次排列成如下形式:12 34 5 67 8 9 10…观察规律,求出第10行的最后一个数和第20行的第一个数.【解析】观察规律得第1行1个数,第2行2个数,所以第10行为10个数,且为1+2+3+…+10=55.第19行的最后一个数为:1+2+3+…+19=190,则第20行的第一个数为191.【培优训练】9.(10分)观察下列等式:12×231=132×21,13×341=143×31,23×352=253×32,34×473=374×43,62×286=682×26,…以上每个等式中两边数字是分别对称的,且每个等式中组成两位数与三位数的数字之间具有相同规律,我们称这类等式为“数字对称等式”.(1)根据上述各式反映的规律填空,使式子称为“数字对称等式”:①52×= ×25;②×396=693×.(2)设这类等式左边两位数的十位数字为a,个位数字为b,且2≤a+b≤9,写出表示“数字对称等式”一般规律的式子(含a,b且ab≠0).【解析】(1)①因为5+2=7,所以左边的三位数是275,右边的三位数是572,所以52×275=572×25.②因为左边的三位数是396,所以左边的两位数是63,右边的两位数是36,63×396=693×36.(2)因为左边两位数的十位数字为a,个位数字为b,所以左边的两位数是10a+b,三位数是100b+10(a+b)+a,右边的两位数是10b+a,三位数是100a+10(a+b)+b,所以一般规律的式子为:(10a+b)×[100b+10(a+b)+a]=[100a+10(a+b)+b]×(10b+a).附送：2019年六年级上册4.1.2《等式的基本性质》word题组训练1.下列等式变形错误的是( )A.由a=b得a+5=b+5B.由a=b得a-6=b-6C.由x+2=y-2得x=yD.由7+x=y+7得x=y2.下列方程的变形,符合等式的基本性质的是( )A.6x-3=8,得6x=8-3B.5x+2=1,得5x=1+2C.由-9x=7,得x=9+7D.由-x=1,得x=-53.如图所示,天平右盘里放了一块砖,左盘里放了半块砖和2kg的砝码,天平两端正好平衡,那么一块砖的质量是( )A.1kgB.2kgC.3kgD.4kg4.如果x+8=10,那么x=10+ .【变式训练】如果4a+3b=5,那么4a=5 .5.若x+3=4,则4x+12= .6.将等式2a=2b两边同时减a+b变形为a-b=b-a,再将两边同时除a-b变形为1=-1,最后结果明显是错误的,你能找到错误原因吗?利用等式的基本性质解简单的一元一次方程1.解方程-x=5时,应在方程两边( )A.同时乘-B.同时乘-5C.同时除以D.同时除以52.若x=2是关于x的方程2x+3m-1=0的解,则m的值为( )A.-1B.0C.1D.3.方程x+1=0的解是.4.在等式3x=x+1两边都,得3x-x= ,化简得2x= ,解得x= .5.利用等式的基本性质解下列方程并检验.(1)2x-7=9. (2)-x-2=3.【变式训练】利用等式的基本性质解一元一次方程:(1)x+1=2. (2)-=3. (3)5=x-4.(4)5(y-1)=10. (5)--3=5.6.若2m+3与-5互为相反数,试求m的值.【错在哪？】作业错例课堂实拍利用等式的基本性质解方程:-x-5=4.(1)找错:从第______步开始出现错误.(2)纠错:__________________________________________________________________________.提技能·题组训练等式的基本性质1.下列等式变形错误的是( )A.由a=b得a+5=b+5B.由a=b得a-6=b-6C.由x+2=y-2得x=yD.由7+x=y+7得x=y【解析】选C.选项C的变形左边减2,右边加2,不符合等式的基本性质1.2.下列方程的变形,符合等式的基本性质的是( )A.6x-3=8,得6x=8-3B.5x+2=1,得5x=1+2C.由-9x=7,得x=9+7D.由-x=1,得x=-5【解析】选D.A中等式的左边加3,右边减3,所以不正确;B中等式的左边减2,右边加2,所以不正确;C中等式的左边除以-9,右边加9,所以不正确;D中等式的左右两边都乘以-5,所以正确.3.如图所示,天平右盘里放了一块砖,左盘里放了半块砖和2kg的砝码,天平两端正好平衡,那么一块砖的质量是( )A.1kgB.2kgC.3kgD.4kg【解析】选D.设一块砖的质量是xkg,则:2+x=x,解得:x=4,所以一块砖的质量是4kg.4.如果x+8=10,那么x=10+ .【解析】等式两边都加-8,得x=10+(-8).答案:(-8)【变式训练】如果4a+3b=5,那么4a=5 .【解析】由左边知等式两边应同时减3b,所以4a=5-3b.答案:-3b5.若x+3=4,则4x+12= .【解析】等式的左边x+3乘以4得4(x+3)=4x+12,等式的右边也乘以4得16.答案:16【一题多解】由x+3=4得,x=1,把x=1代入4x+12得,4×1+12=16.答案:166.将等式2a=2b两边同时减a+b变形为a-b=b-a,再将两边同时除a-b变形为1=-1,最后结果明显是错误的,你能找到错误原因吗?【解析】由2a=2b,得a=b.故a-b=0,故在a-b=b-a的两边同时除以a-b,即除以一个等于0的数,违反了等式的基本性质2.【易错提醒】利用等式的基本性质2对等式进行变形时,一定要注意除数不能为0,当等式两边同时除以一个不确定的数时,必须注意这个数有没有为0的可能.利用等式的基本性质解简单的一元一次方程1.解方程-x=5时,应在方程两边( )A.同时乘-B.同时乘-5C.同时除以D.同时除以5【解析】选B.方程两边应同时除以-,即同乘-5.2.若x=2是关于x的方程2x+3m-1=0的解,则m的值为( )A.-1B.0C.1D.【解析】选A.把x=2代入原方程得2×2+3m-1=0,整理得3m+3=0,等式的两边同时减3,得3m=-3,等式的两边同时除以3,得m=-1.3.方程x+1=0的解是.【解析】等式的两边同时减1,得x=-1.答案:x=-14.在等式3x=x+1两边都,得3x-x= ,化简得2x= ,解得x= .【解析】等式的两边同时减去x,得3x-x=x+1-x,化简得,2x=1,解得x=.答案:减去x x+1-x 15.利用等式的基本性质解下列方程并检验.(1)2x-7=9. (2)-x-2=3.【解析】(1)方程两边同时加7,得2x=16;两边再同时除以2,得x=8.检验:把x=8代入方程的左边,得2×8-7=9.方程的左右两边相等,所以x=8是方程2x-7=9的解.(2)两边同时加2,得-x=5;两边再同时乘-2,得x=-10.检验:把x=-10代入方程的左边,得-×(-10)-2=3.方程的左右两边相等,所以x=-10是方程-x-2=3的解.【知识拓展】等式的其他性质(1)对称性:如果a=b,那么b=a.(2)传递性:如果a=b,b=c,那么a=c(这一性质也叫等量代换).【变式训练】利用等式的基本性质解一元一次方程:(1)x+1=2. (2)-=3. (3)5=x-4.(4)5(y-1)=10. (5)--3=5.【解析】(1)x+1=2,方程两边同时减1,得x+1-1=2-1,x=1.(2)-=3,方程两边同时乘-3,得-×(-3)=3×(-3),x=-9.(3)5=x-4,方程两边同时加4,得5+4=x-4+4,化简,得9=x,即x=9.(4)5(y-1)=10,方程两边同时除以5,得=,化简,得y-1=2,两边同时加1,得y-1+1=2+1,即y=3.(5)--3=5,方程两边同时加3,得--3+3=5+3,化简,得-=8,方程两边同时乘-2,得-×(-2)=8×(-2),即a=-16.6.若2m+3与-5互为相反数,试求m的值.【解析】因为2m+3与-5互为相反数,所以2m+3=5,2m=5-3,2m=2,m=1,所以m的值为1. 【错在哪？】作业错例课堂实拍利用等式的基本性质解方程:-x-5=4.(1)找错:从第______步开始出现错误.(2)纠错:__________________________________________________________________________.。