函数极值最值的求法及其应用
函数极值求法及应用
函数极值求法及应用本文将介绍函数极值求法及其应用。
一、函数极值的定义函数极值是指函数在某一区间内的最大值和最小值。
在函数的导数为0或不存在的点处，函数可能取得极值。
二、求函数极值的方法1. 导数法首先，将函数y=f(x)对x求导得到其导函数y'=f'(x)。
然后，解以下方程组：y'=0或y'不存在求得的解即为函数的极值点。
例如，对于函数y=x^2-2x+1，其导函数y'=2x-2。
令y'=0，得到x=1。
此时，函数取得极小值y=0。
注意：在求解时需要注意导数不存在的情况，例如绝对值函数。
2. 二次函数法对于二次函数y=ax^2+bx+c，当a>0时，该函数的最小值为c-b^2/(4a)，当a<0时，该函数的最大值也为c-b^2/(4a)。
例如，对于函数y=x^2-2x+1，其a=1，b=-2，c=1。
因为a>0，所以y的最小值为1-(-2)^2/(4×1)=0。
3. 边界法当函数在一定区间内连续时，其取得极值的点只可能在该区间的边界处或导数不存在的点处。
因此，我们只需要求出函数在该区间的两个端点处的函数值，再比较这两个值和导数不存在的值的大小即可确定极值点。
例如，对于函数y=x^3-3x，当x∈[-1,2]时，极值点只可能在x=-1、x=2或导数不存在的点处。
函数在端点处的值为y(-1)=-2和y(2)=2，导数不存在的点为x=0。
因此，函数在x=0处取得极大值y=0，而在x=-1处取得极小值y=-4。
三、应用函数极值可以在优化问题中起到重要作用。
例如，在最小化成本的问题中，需要确定产量x的大小使得成本最小化。
假设某企业的生产成本函数为y=3x^2-4x+8，其中x为产量，y为成本。
该问题可以转化为求函数y的最小值。
通过求出函数的导数为0的点，我们发现函数在x=2/3处取得最小值y=6.67。
因此，该企业应该保持产量在2/3时，成本会最小。
函数的极值和最值
函数的极值和最值函数的极值和最值是数学中重要的概念，可以帮助我们研究函数的特性和解决实际问题。
本文将介绍函数的极值和最值的定义、求解方法以及应用。
一、函数的极值函数的极值即函数在某个区间内的最大值或最小值。
极值分为两种情况：局部极值和全局极值。
1. 局部极值局部极值是指函数在某个开区间内的最值。
设函数f(x)在点x=a处连续，如果在a的某个邻域内，对于任意的x，有f(x)≤f(a)（或f(x)≥f(a)），则称f(a)是f(x)在该邻域内的局部最小值（或局部最大值）。
其中，f(a)是该局部极值的函数值，a是极值点。
2. 全局极值全局极值是指函数在整个定义域上的最值。
设函数f(x)在[a, b]上连续，如果对于任意的x∈[a, b]，有f(x)≤f(a)（或f(x)≥f(a)），则称f(a)是f(x)在[a, b]上的全局最小值（或全局最大值）。
其中，f(a)是该全局极值的函数值，a是极值点。
二、函数极值的求解方法根据函数的极值定义，我们可以通过以下方法求解函数的极值：1. 导数法导数法是一种常用的求解函数极值的方法。
首先，我们计算函数f(x)的导数f'(x)，然后找出导数为零或不存在的点。
这些点就是可能的极值点。
接下来，对每个可能的极值点进行二阶导数检查，确认是否为极值。
当二阶导数大于0时，该点为局部最小值；当二阶导数小于0时，该点为局部最大值。
2. 区间法区间法适用于离散函数或无法通过导数法求解的情况。
首先，我们将定义域分为若干个区间，并计算每个区间的函数值。
然后，通过比较函数值得出极值。
例如，当函数值最大时，该点为局部最大值；当函数值最小时，该点为局部最小值。
三、函数极值的应用函数的极值在数学和实际问题中具有广泛的应用。
以下是几个典型的应用场景：1. 优化问题函数的极值在优化问题中起到重要作用。
例如，在生产过程中，我们希望找到产量最大或成本最低的方式，这就需要求解函数的最值。
2. 经济学经济学中的需求、供给、收益等问题通常涉及函数的极值。
函数的极值与最值的求解方法
函数的极值与最值的求解方法函数的极值与最值是数学中的重要概念，它们在各个领域的问题中都有着广泛的应用。
本文将介绍函数的极值与最值的求解方法，帮助读者更好地理解和应用这些概念。
一、函数的极值函数的极值是指函数在定义域内的某个点或某些点上取得的最大值或最小值。
寻找函数的极值可以通过以下步骤进行。
1. 确定函数的定义域首先，我们需要确定函数的定义域，即函数所能取值的范围。
函数的定义域可以通过对函数进行分析、画图或进行其他方法来确定。
2. 求函数的导数求出函数的导数后，我们可以通过导数的性质来确定函数的极值点。
导数为0的点可能是函数的极值点，但并不确定它们是否为极值点，还需要进一步的分析。
3. 确定极值点经过分析导数为0的点，我们可以通过二阶导数的符号判断这些点是否为函数的极值点。
若二阶导数为正，则该点为函数的极小值点；若二阶导数为负，则该点为函数的极大值点。
若二阶导数不存在，则需要通过其他方法进行分析。
二、函数的最值函数的最值是指函数在定义域内的某个点或某些点上取得的最大值或最小值。
寻找函数的最值可以通过以下步骤进行。
1. 确定函数的定义域与寻找函数的极值相同，首先我们需要确定函数的定义域。
2. 分析函数的边界点在定义域的边界上求函数的值，将这些点与极值点进行比较，即可求得函数的最值。
需要注意的是，在闭区间上求最值时，要将区间的两个端点也考虑进去。
3. 比较函数的极值以及边界值对于函数的极值点和边界点所对应的函数值，进行比较，找出其中的最大值和最小值即可得到函数的最值。
三、总结与应用函数的极值和最值的求解方法是数学中重要的内容，对于优化问题、最优化问题等有着广泛的应用。
在实际问题中，可以将函数的极值与最值的求解应用到经济学、物理学、工程学等多个领域中。
需要注意的是，函数的极值与最值可能有多个，所以在求解的过程中需要综合考虑多个情况，并进行分析和比较。
同时，在实际问题中，由于函数形式的多样性，有时可能需要借助数值方法或计算机仿真等手段来求解函数的极值与最值。
高等数学第三章 第5节 函数的极值与最值
极小值 f ( 3) 22.
9
f ( x ) x 3 3 x 2 9 x 5图形如下
M
m
10
例2. 求函数 f ( x) ( x 1) x 的极值 .
2 3
2 3
2 x 5 5 2 f ( x ) x ( x 1 ) x 解: 1) 求导数 3 3 3 x 2) 求极值可疑点 2 令 f ( x ) 0 , 得 x1 5 x2 0 导数不存在的点
所以 ( x0 , f ( x0 ))是y f ( x)的一个拐点。
18
因为当 x x0时， 有f ( x) f ( x0 ) 0,
当x x0时，有f ( x) f ( x0 ) 0,
所以f ( x0 )是f ( x )的极小值，
即
f ( x) f ( x0 ) 0 所以f ( x)单增，
y y
o
x0
x
x0
o
x
(是极值点情形)
7
y
y
o
x0
x
o
x0
x
(不是极值点情形)
求极值的步骤:
(1)确定函数的定义域；
(2) 求函数的驻点及导数不 存在的点 ; (3) 由定理判断极值点 ; (4) 求极值.
8
例1 求出函数 f ( x ) x 3 3 x 2 9 x 5 的极值. 解
x0不是f ( x)的极小值点。
19
二、最值的求法
若函数 f ( x) 在 [a, b] 上连续，则f ( x) 在 [a, b] 上的最大值与最小值存 在.
y
y
函数极值与最值问题的解决方法
函数极值与最值问题的解决方法在数学中，函数极值与最值问题一直是学习者们面临的难题。
解决这类问题需要运用一些特定的方法和技巧。
本文将探讨一些常见的解决方法，帮助读者更好地理解和应用。
一、导数法导数法是解决函数极值与最值问题的一种常用方法。
对于给定的函数，我们可以通过求导数来找到其极值点。
具体步骤如下：1. 求出函数的导函数。
2. 解方程f'(x) = 0，找出导函数的零点，即可能的极值点。
3. 利用二阶导数的符号判断这些零点的性质。
若f''(x) > 0，则该点为极小值点；若f''(x) < 0，则该点为极大值点。
4. 将极值点带入原函数，求出函数的极值。
举个例子，考虑函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x + 1。
首先，求导得到f'(x) = 3x^2 -6x + 2。
然后，解方程f'(x) = 0，得到x = 1和x = 2/3。
接着，计算二阶导数f''(x) =6x - 6，发现f''(1) = 0，f''(2/3) = -2。
因此，x = 1是极小值点，x = 2/3是极大值点。
最后，将这两个点带入原函数，求得f(1) = 2和f(2/3) = 4/27，即函数f(x)在x = 1处取得极小值2，在x = 2/3处取得极大值4/27。
二、区间法区间法是一种直观且易于理解的解决函数极值与最值问题的方法。
它通过观察函数在不同区间的变化趋势来确定极值点的位置。
具体步骤如下：1. 找出函数的定义域。
2. 将定义域分成若干个区间。
3. 在每个区间内，计算函数的值，并找出最大值和最小值。
4. 比较各个区间的最大值和最小值，确定函数的最大值和最小值。
例如，考虑函数f(x) = x^2 - 4x + 3。
首先，求出函数的定义域为(-∞, +∞)。
然后，将定义域分成三个区间：(-∞, 1)，(1, 3)，(3, +∞)。
函数的极值与最值求解的方法和步骤
函数的极值与最值求解的方法和步骤在数学中，函数的极值与最值是研究函数性质的重要内容之一。
通过求解函数的极值与最值，我们可以找到函数的最高点和最低点，从而更好地理解函数的特性。
本文将介绍一些常见的方法和步骤，帮助读者更好地理解和应用这一概念。
一、函数的极值与最值的定义在开始讨论求解方法之前，我们首先需要明确函数的极值与最值的概念。
对于定义在某个区间上的函数f(x)，如果存在一个点c，使得在c的邻域内，对于任意的x都有f(x)≤f(c) 或f(x)≥f(c)，那么我们称c为函数f(x)的极值点。
如果函数在整个定义域上的极值点中有一个最大值或最小值，那么我们称之为函数的最值。
二、求解函数极值与最值的方法1. 导数法导数法是求解函数极值与最值的常用方法之一。
通过求解函数的导数，我们可以找到函数的极值点。
具体步骤如下：（1）求出函数f(x)的导函数f'(x)；（2）解方程f'(x)=0，求得函数的驻点；（3）通过二阶导数判别法，判断驻点是极大值点还是极小值点；（4）将驻点代入原函数f(x)，求得函数的极值。
2. 区间法区间法是一种直观且易于理解的方法。
通过将函数在给定区间内的所有值进行比较，我们可以找到函数的最大值和最小值。
具体步骤如下：（1）确定函数f(x)的定义域；（2）将定义域分成若干个子区间；（3）在每个子区间内求出函数的值，并进行比较；（4）找出子区间中的最大值和最小值，即为函数的最值。
3. Lagrange乘数法Lagrange乘数法是一种用于求解约束条件下的极值问题的方法。
当我们需要求解函数在一定条件下的最值时，Lagrange乘数法可以帮助我们进行求解。
具体步骤如下：（1）建立拉格朗日函数L(x,y,...,λ)=f(x,y,...)-λg(x,y,...)，其中f(x,y,...)为目标函数，g(x,y,...)为约束条件；（2）对拉格朗日函数求偏导数，得到一组方程；（3）求解方程组，得到函数的驻点；（4）通过二阶导数判别法，判断驻点是极大值点还是极小值点；（5）将驻点代入原函数f(x,y,...)，求得函数的极值。
高考数学中的函数极值及最值问题及解题方法
高考数学中的函数极值及最值问题及解题方法在高中数学学习中，函数极值及最值问题是一个重要的考点，也是一个有难度的知识点。
在高考数学中，这个知识点被广泛地应用于各种数学题型中，涉及到的知识点和方法需要大家掌握好。
本文将就函数极值及最值问题及解题方法做一些简单的介绍和详解。
第一部分：什么是函数的最值和极值函数的最大值和最小值是这个函数在定义域内的函数值中的最大值和最小值，也就是说，最大值和最小值都是函数的取值，而不是函数本身。
函数的最大值就是这个函数在定义域内取到的最大值，而函数的最小值就是这个函数在定义域内取到的最小值。
函数的极值也是类似的，极大值指的是某个函数在一个特定的区间内取到的最大值，而极小值就是函数在这个特定的区间内取到的最小值。
第二部分：函数的最值和极值问题的解法1. 求函数的最值对于求函数的最值，一般有两种方法：一种方法是借助函数图像，根据函数图像的形态来看出函数的最值所在的位置。
另一种方法是通过求导数，然后借助导数定理来求解函数的最值。
求函数的最值需要用到极限、导数、函数的性质等多个数学知识点，需要考生们细心地掌握。
2. 求函数的极值对于求函数的极值，可以通过以下几种方法来实现：一种方法是通过求导数，然后求得导函数的零点，从而求出函数的极值点。
另一种方法是对函数求导数，然后再对导数进行求导数，直到得到导函数的函数表达式，从而得到函数的极值点。
还有一种方法是使用极限和数列的性质来求解函数的极值。
总的来说，求函数的极值需要使用到导数、函数的性质、函数图像的图形等多个数学知识点，需要考生们认真学习和练习。
第三部分：函数极值及最值问题的解题实例在高考数学中，函数极值及最值问题的解题实例非常丰富，接下来就给大家介绍一些常见的解题思路。
1. 求函数的最值比如，一道求函数最大值的题目：求函数f(x)=x2+2x+3的最小值。
解题思路：首先可以画出函数的图像，在图像上寻找最小值所在的位置。
另一方面，我们也可以通过求导数来求解函数的最值。
函数的极值与最值的求解方法
函数的极值与最值的求解方法函数的极值和最值是数学中一个重要的概念，它们在各个领域的应用中都具有重要的作用。
在本文中，我们将介绍一些常见的函数极值和最值的求解方法，帮助读者更好地理解和应用这一知识。
一、极值的定义和求解方法极值是函数在某一区间内的最大值或最小值。
对于一个单变量函数，要求其极值，可以通过以下步骤进行：1. 求导：首先，我们需要求出函数的导数。
导数就是函数在某一点上的斜率，它可以告诉我们函数的变化趋势。
通过求导，我们可以找到函数的驻点，也就是导数为零的点。
2. 驻点分析：找到导数为零的点后，我们需要对这些点进行分析。
根据驻点的情况，可以得到以下几种可能性：a. 极大值：如果驻点的二阶导数为负，那么这个点就是函数的极大值点。
b. 极小值：如果驻点的二阶导数为正，那么这个点就是函数的极小值点。
c. 无法判断：如果驻点的二阶导数为零或不存在，那么可能是函数的拐点，此时无法确定其极值。
通过上述步骤，我们可以求得函数在给定区间内的极值点和极值值。
二、最值的定义和求解方法最值是函数在整个定义域上的最大值或最小值。
对于一个单变量函数，要求其最值，可以通过以下步骤进行：1. 确定定义域：首先，我们需要确定函数的定义域，也就是函数在哪些区间上有意义。
2. 端点分析：在定义域的首尾，通常会有一些特殊点，如开区间的端点或无穷大。
我们需要对这些点进行分析，看是否有可能成为最值点。
3. 内部分析：在定义域的内部，我们可以借助极值的求解方法来找到函数的最值点。
通过上述步骤，我们可以求得函数的最值点和最值值。
三、扩展部分：多变量函数的极值与最值除了单变量函数外，我们还经常遇到多变量函数的极值和最值的求解问题。
对于一个多变量函数，要求其极值和最值，可以通过以下步骤进行：1. 求偏导数：首先，我们需要对函数进行偏导数的计算。
偏导数是指在求导时将其他变量视为常数，只对某一个变量进行求导。
2. 驻点分析：找到偏导数为零的点，即驻点。
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函数极值最值的求法及其应用
学习目标：会用导数求函数的极值与最值并利用其解决相关的数学问题.
学习重点：利用导数求函数单调区间和极值最值，并能利用他们解决相恒成立问题、方程的根和函数的零点问题.
学习难点：含参函数的分类讨论和数形结合的思想方法. 学习方法：指导学习法.
课前五分钟展示：求函数)0()(>+=a x
a
Inx x f 在区间[]1,e 上的最小值.
基础知识回顾： 1、 单调区间：
在某个区间(a,b)内,如果()0f x '> ,那么函数()y f x =在这个区间内单调 如果()0f x '<,那么函数()y f x =在这个区间内单调
注意：求参数范围时，若函数单调递增，则'()0f x ≥；若函数单调递减，则
'()0f x ≤”来求解，注意此时公式中的等号不能省略，否则漏解．
2、 函数的极值与最值：
极大值和极小值：一般地，设函数)(x f 在点0x 附近有定义，如果对0x 附近的所有的点都有)(x f ＜)(0x f 或)(x f ＞)(0x f ，就说)(0x f 是函数)(x f 的一个极大值或极小值，记作极大值y =)(0x f ，0x 是极大值点或记作极小值y =)(0x f ，0x 是极小值点.
在定义中，极大值与极小值统称为 取得极值的点称为 极值点是自变量的值，极值指的是
最大值和最小值：观察图中一个定义在闭区间[]b a ,上的
函数)(x f 的图象．图中)(1x f 与3()f x 是极小值，2()f x 是极大值．函数)(x f 在[]b a ,上的最大值是)(b f ，最小值是3()f x ．一般地，在闭区间[]b a ,上连续的函数)(x f 在
[]b a ,上必有最大值与最小值．
请注意以下几点：
（1；
（2）函数的极值不是唯一的；
（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系 ；
（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点取得最大值.最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点. 思考探究：
在连续函数)(x f 中，0)('= x f 是函数)(x f 在 x x =处取到极值的什么条件（ ） A 、充分不必要条件 B 、必要不充分条件 C 、充要条件D 、既不充分也不必要条件 典型例题：
题型一：利用导数求函数的极值最值问题：
例1：求函数5224+-=x x y 在区间[]2,3-上的最大值与最小值.
变式练习：已知函数]2,0[,3
34)(2
∈+=
x x x
x f ，]2,0[,31)(3∈+-=x a x x x g .若对任意[]2,01∈x ，总存在[]2,02∈x 使0)()(21=-x g x f .则实数a 的范围为
归纳总结： 题型二：恒成立问题： 例2：已知x x b ax x f ln 2)(+-=在1,2
1
==x x 处取得极值. 1、求b a ,的值；
2、若对]2,41
[∈x 时，c x f >)(恒成立，求c 的取值范围；
3、若存在]2,41
[∈ x 时，使得c x f >)( 成立，求c 的取值范围.
变式练习：设函数a ax x a x x f 244)1(3
1)(23
+++-=
（a>1），若当x≥0时，f(x)>0恒成立，则a 的取值范围是
归纳总结：
题型三：方程的根和函数的零点、不等式有解问题：
例3：已知函数3()31,0f x x ax a =--≠.若()f x 在1x =-处取得极值，直线y=m 与
()y f x =的图象有三个不同的交点，求m 的取值范围.
变式练习：设函数329
()62
f x x x x a =-+-.
1、若方程()0f x =有且只有一个实根，则a 的取值范围是
2、若存在[]3,0∈ x 使得0)(≤ x f 成立，则a 的取值范围是
归纳总结： 课后作业：已知a 为实数，).)(4()(2a x x x f --=
（1）若)(,0)1(x f f 求=-'在[—4，4]上的最大值和最小值； （2）若(][)+∞-∞-,22,)(和在x f 上都是递增的，求a 的取值范围.
课堂小结：(本节课你学到了什么？)。