创新思维经典案例

实验现象
根据实验，在不同 温度下黑体辐射能 量按频率的分布曲 线如下图所示 。其 中频率的单位为 MHz，由 6.25 106 MHz，由 内到外的4 内到外的4条曲线对 应的温度分别是 900K、1200K、 900K、1200K、 1500K和1800K。 1500K和1800K。
M0年6月，英国物理学家瑞利(Rayleigh, 1900年 月，英国物理学家瑞利(Rayleigh, 1842—1912年 1842—1912年)发表论文批评维恩在推导辐 射公式时引入的假设不可靠。他利用电磁波 振动模型导出了一个新的辐射公式，后经金 斯（Jeans, l877—1946年）改进，合称瑞 斯（Jeans, l877—1946年）改进，合称瑞 利—金斯公式（Rayleigh-Jeans Wien formula） 金斯公式（Rayleighformula） 2kT/c3 – u( ,T) = 8 –公式中c为光速，k为玻尔兹曼常量，没有需 公式中c为光速，k 要用实验确定的待定常量。
0
∑
∞ n =0
δ (ε − hν n)dε
普朗克的假设
与配分函数的公式相比较后，我们得到态密度 公式为 D( ) = ( h n) 上面的结果表明：要从理论上导出普朗克公式， 线性谐振子的能量只能等概率地取一系列不连 续的量h 续的量h n。 这与经典物理学关于能量是连续的观点尖锐对 立。 是尊重事实，还是尊重书本和权威？
H L
n
1 2 3 4 5 6 7 0 0 0 0 0 0 0
经验公式
通过对实验数据进行分析，可以得到 1）斯特藩-玻耳兹曼定律 (Stefan-Boltzmann law) 斯特藩(Stefan黑体的辐出度（即图19黑体的辐出度（即图19-2中曲线与横坐标轴所围的面 积）与黑体的热力学温度的四次方成正比，即 MB(T) = T4 其中比例系数 = 5.670 10 8 W m 2 K 4，称为 斯特藩常量(Stefan constant)。 斯特藩常量(Stefan constant)。 2）维恩位移定律 (Wien displacement law) 当黑体的热力学温度T升高时，与单色辐出度M 当黑体的热力学温度T升高时，与单色辐出度MB( ,T) 的最大值相对应的频率 m以同样的比例向高频方向移 动，即 m T 。
8π ν 2 kT , ν → 0 3 u (ν , T ) = c Aν 3 e − Bν / T , ν → ∞
上式可以简化为
1, ν →0 c u (ν , T ) 3 f = = c 2 8πν kT Aν e − Bν / T , ν → ∞ 8π kT
归纳与猜想
在得知上述理论与实验的矛盾之后，德国物理学 家普朗克（Max Planck,1858-1947年）坚信实践 家普朗克（Max Planck,1858-1947年）坚信实践 第一的观点，认为理论仅仅在符合实际时才是正 确的。 维恩公式仅在高频部分是正确的，而瑞利维恩公式仅在高频部分是正确的，而瑞利-金斯 公式仅在低频部分才正确，一个在全频范围内都 正确的公式应该以瑞利正确的公式应该以瑞利-金斯公式为低频极限， 而以维恩辐射定律为高频极限，即
2
ε
/c3
(1)
为简谐振子的平均能量。
由玻尔兹曼统计
ε （2） – 其中 为 z – lnz/
=∫
1/(kT)，配分函数和平均能量分别 1/(kT)，配分函数和平均能量分别 ∞
0
e
−β ε
D (ε )d ε
1 ∞ −β ε ε = ∫ ε e D(ε )d ε z 0
积分中的D 积分中的D(ε)为态密度。
理论说明
为了说明上述实验结果 ，人们进行了理论研究。 ，人们进行了理论研究。 在热平衡的条件下，小孔的单色辐出度M 在热平衡的条件下，小孔的单色辐出度MB( ,T) 应该与空腔内的能量密度u( 应该与空腔内的能量密度u( ,T) 成正比。 维恩公式（Wien formula） 维恩公式（Wien formula）
ε =
hν
e
hν / kT
∂ hν ⇒− ln z = hνβ −1 ∂β e −1
对上式进行积分，我们得到 h ) ln z = ln(1 e 即 h ) 1= h n z = (1 e e 利用狄拉克函数，上式可以改写成
z=
∑
∞ n =0
∫
∞
e
−β ε
0
δ (ε − hν n)dε =
∫
∞
e
−β ε
经过一段时间的犹豫之后，普朗克提出一个大 胆的、革命性的假设：每个简谐振子发射和吸 收的能量是不连续的。 这些能量值只能是某个最小能量元ε 这些能量值只能是某个最小能量元ε 的整数倍， 而每个能量元和振子的频率成正比，后来人们 称 ε = h 为“能量子” 。 能量子” 1900年12月14日，普朗克在德国物理学会的一 1900年12月14日，普朗克在德国物理学会的一 次会议上宣布了他的能量子假说，从此开创了 近代物理的新纪元，这一天被定为“ 近代物理的新纪元，这一天被定为“量子论诞 生日” 生日”。普朗克本人也由于创建量子论，而荣 获1918年的诺贝尔物理学奖。 1918年的诺贝尔物理学奖。
按经典理论，能量是连续的，简谐振子的态密 度D(ε)为常数，由此容易得到 ε = kT，代 kT，代 入(1)后又回到了瑞利—金斯公式，与实验不符 (1)后又回到了瑞利—金斯公式，与实验不符 合。 这说明了简谐振子的态密度D 这说明了简谐振子的态密度D(ε)不是常数。 正确的态密度公式应该是什么？我们可以用逆 向思维的方法，从已经实验证明的普朗克公式 出发来进行倒推。 由普朗克公式可以得出简谐振子的平均能量为
实验验证
普朗克所导出的新 的辐射公式，虽然 没有现成的理论依 据，但是在高频时 趋近维恩公式，在 低频时则趋近瑞利 公式，与实验完全 一致，而且在中频 部分和实验曲线符 合得也非常好。
原因的探求
普朗克公式取得了成功，但是不能从已知的理 论中得到说明。他决定进一步寻找隐藏在上述 公式背后的物理实质。 普朗克把研究的角度从热力学转换为统计力学； 并把研究的对象从空腔内的辐射改为空腔腔壁 的物质，并假设腔壁物质由简谐振子组成。 由辐射与腔壁的热平衡条件，得到 u( ,T) = 8 其中 ε
3
满足此条件的最简单的函数是
Bν / T f = Bν / T e −1
令
，可以得到 B=c3A/(8 k) 利用上面的结果，我们推出
8πν 2 kT 8πν 2 hν u (ν , T ) = f = 3 hν / kT 3 c c e −1
上式称为普朗克公式（Planck formula），式中 h = B k = 6.626 10 34 J s 称为普朗克常数（Planck constant）。
理想模型
我们把能够全部吸收外来一切电磁辐射的物体 称为绝对黑体，简称黑体(black body)。 称为绝对黑体，简称黑体(black body)。 黑体只是一种理想的模型，碳黑能够很好地吸 收外来的电磁波，可以近似地看成黑体。一个 开小孔的不透光空腔几乎可以全部吸收外来的 电磁波，可作为黑体来进行观测和实验。 黑体发射出来的电磁辐射称为黑体辐射，单位 时间内单位面积黑体辐射的能量( 时间内单位面积黑体辐射的能量(辐出度)记为 MB(T)，其中在频率 附近的单位频率间隔内的 (T)，其中在频率 能量( 能量(单色辐出度)记为MB( ,T) 。 记为M
矛盾与问题
u n, T
H L
n
上述两个理论公 式与实验数据的 对比如图所示， 绿线为维恩公式， 红线为瑞利红线为瑞利-金斯 公式，而兰色为 实验结果。
维恩公式在理论上不够严格， 维恩公式在理论上不够严格，与实验 不完全符合可以理解。 不完全符合可以理解。 瑞利瑞利 - 金斯公式是严格按照经典电磁 场理论和经典统计物理理论导出的， 场理论和经典统计物理理论导出的， 它在高频（短波） 它在高频（短波）部分与实验的矛盾 不可调和，给物理学界带来很大困惑， 不可调和，给物理学界带来很大困惑， 在当时被称为是“紫外灾难” 在当时被称为是“紫外灾难”，它动 摇了经典物理的基础。 摇了经典物理的基础。
科学发现系列讲座
能量子的再发现
背景
物体不仅能够发射电磁波，而且也可以吸收和 反射电磁波。实验表明，同一温度下，物体吸 收电磁波的能力与其发射能力成正比。 物体在某个频率范围内发射电磁波的能力越大， 则它吸收该频率范围内电磁波的能力也越大。 不同物体在同一频率范围内发射或吸收电磁波 的能力不同，一般来说深色物体比浅色物体吸 收和发射电磁波的能力强；颜色越深，吸收和 发射电磁波的能力越强。
–1896年 ， 德国物理学家维恩（Wien,1864-1928 年 ） 1896年 德国物理学家维恩（ Wien,1864-1928年 把空腔内的热辐射与气体分子类比， 把空腔内的热辐射与气体分子类比，得到了一个能 量密度按频率分布的公式 – u( ,T) =A 3e B /T –式中的常量A和B由实验确定。 由实验确定。