不等式选讲习题 含答案
答案第42讲 不等式选讲--高考数学习题和答案
即 a + b < ab + 1 ，
证毕．
11．【解析】（Ⅰ）当 a = 2 时， f (x) = | 2x − 2 | +2 . 解不等式 | 2x − 2 | +2 6 ，得 −1 x 3. 因此， f (x) ≤ 6 的解集为{x | −1 x 3} . （Ⅱ）当 x ∈ R 时， f (x) + g(x)= | 2x − a | +a+ |1− 2x |
值为 3，故当且仅当 a ≥ 3 且 b ≥ 2 时， f (x) ≤ ax + b 在[0, +∞) 成立，因此 a + b 的
最小值为 5． 4．D．【证明】由柯西不等式，得 (x2 + y2 + z2 )(12 + 22 + 22 ) ≥ (x + 2 y + 2z)2 ．
因为 x + 2 y + 2z=6 ，所以 x2 + y2 + z2 ≥ 4 ，
2010-2018 年
−2, x ≤ −1, 1．【解析】(1)当 a = 1时， f (x) =| x +1| − | x −1| ，即 f (x=) 2x, −1 < x < 1,
2, x ≥1. 故不等式 f (x) > 1 的解集为{x | x > 1}．
2 (2)当 x ∈ (0,1) 时| x +1| − | ax −1|> x 成立等价于当 x ∈ (0,1) 时| ax −1|< 1 成立．
专题十六 不等式选讲
第四十二讲 不等式选讲
全国通用2020_2022三年高考数学真题分项汇编专题20不等式选讲(含答案及解析)
全国通用2020_2022三年高考数学真题分项汇编：20 不等式选讲1．【2022年全国甲卷】已知a，b，c均为正数，且a2+b2+4c2=3，证明：(1)a+b+2c≤3；(2)若b=2c，则1a +1c≥3．【答案】(1)见解析(2)见解析【解析】【分析】（1）根据a2+b2+4c2=a2+b2+(2c)2，利用柯西不等式即可得证；（2）由（1）结合已知可得0<a+4c≤3，即可得到1a+4c ≥13，再根据权方和不等式即可得证.(1)证明：由柯西不等式有[a2+b2+(2c)2](12+12+12)≥(a+b+2c)2，所以a+b+2c≤3，当且仅当a=b=2c=1时，取等号，所以a+b+2c≤3；(2)证明：因为b=2c，a>0，b>0，c>0，由（1）得a+b+2c=a+4c≤3，即0<a+4c≤3，所以1a+4c ≥13，由权方和不等式知1a +1c=12a+224c≥(1+2)2a+4c=9a+4c≥3，当且仅当1a =24c，即a=1，c=12时取等号，所以1a +1c≥3.2．【2022年全国乙卷】已知a，b，c都是正数，且a32+b32+c32=1，证明：(1)abc≤19；(2)ab+c +ba+c+ca+b≤2√abc；【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【解析】【分析】（1）利用三元均值不等式即可证明；（2）利用基本不等式及不等式的性质证明即可．(1)证明：因为a >0，b >0，c >0，则a 32>0，b 32>0，c 32>0， 所以a 32+b 32+c 323≥√a 32⋅b 32⋅c 323，即(abc )12≤13，所以abc ≤19，当且仅当a 32=b 32=c 32，即a =b =c =√193时取等号．(2)证明：因为a >0，b >0，c >0，所以b +c ≥2√bc ，a +c ≥2√ac ，a +b ≥2√ab ， 所以a b+c≤2√bc=a 322√abc，b a+c≤2√ac=b 322√abc，ca+b≤2√ab =322√abc a b +c +b a +c +ca +b ≤a 322√abc +b 322√abc c 322√abc=a 32+b 32+c 322√abc=12√abc当且仅当a =b =c 时取等号．3．【2021年甲卷文科】已知函数()2,()2321f x x g x x x =-=+--．（1）画出()y f x =和()y g x =的图像； （2）若()()f x a g x +≥，求a 的取值范围． 【答案】（1）图像见解析；（2）112a ≥ 【解析】 【分析】（1）分段去绝对值即可画出图像；（2）根据函数图像数形结和可得需将()y f x =向左平移可满足同角，求得()y f x a =+过1,42A ⎛⎫⎪⎝⎭时a 的值可求.【详解】（1）可得2,2()22,2x x f x x x x -<⎧=-=⎨-≥⎩，画出图像如下：34,231()232142,2214,2x g x x x x x x ⎧-<-⎪⎪⎪=+--=+-≤<⎨⎪⎪≥⎪⎩，画出函数图像如下：（2）()|2|f x a x a +=+-，如图，在同一个坐标系里画出()(),f x g x 图像，()y f x a =+是()y f x =平移了a 个单位得到，则要使()()f x a g x +≥，需将()y f x =向左平移，即0a >，当()y f x a =+过1,42A ⎛⎫⎪⎝⎭时，1|2|42a +-=，解得112a =或52-（舍去），则数形结合可得需至少将()y f x =向左平移112个单位，112a ∴≥.【点睛】关键点睛：本题考查绝对值不等式的恒成立问题，解题的关键是根据函数图像数形结合求解. 4．【2021年乙卷文科】已知函数()3f x x a x =-++． （1）当1a =时，求不等式()6f x ≥的解集; （2）若()f x a >-，求a 的取值范围． 【答案】（1）(][),42,-∞-+∞.（2）3,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭. 【解析】 【分析】（1）利用绝对值的几何意义求得不等式的解集.（2）利用绝对值不等式化简()f x a >-，由此求得a 的取值范围. 【详解】（1）[方法一]：绝对值的几何意义法当1a =时，()13f x x x =-++，13x x -++表示数轴上的点到1和3-的距离之和， 则()6f x ≥表示数轴上的点到1和3-的距离之和不小于6，当4x =-或2x =时所对应的数轴上的点到13-，所对应的点距离之和等于6， ∴数轴上到13-，所对应的点距离之和等于大于等于6得到所对应的坐标的范围是4x ≤-或2x ≥，所以()6f x ≥的解集为(][),42,-∞-+∞.[方法二]【最优解】：零点分段求解法 当1a =时，()|1||3|f x x x =-++． 当3x ≤-时，(1)(3)6-+--≥x x ，解得4x ≤-； 当31x -<<时，(1)(3)6-++≥x x ，无解； 当1≥x 时，(1)(3)6-++≥x x ，解得2x ≥． 综上，|1||3|6-++≥x x 的解集为(,4][2,)-∞-+∞． （2）[方法一]：绝对值不等式的性质法求最小值 依题意()f x a >-，即3a x a x -+>-+恒成立，333x a x x a a x -++-+=≥++，当且仅当()()30a x x -+≥时取等号，()3min f x a ∴=+, 故3a a +>-，所以3a a +>-或3a a +<， 解得32a >-.所以a 的取值范围是3,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭.[方法二]【最优解】：绝对值的几何意义法求最小值由||x a -是数轴上数x 表示的点到数a 表示的点的距离，得()|||3||3|f x x a x a =-++≥+，故|3|a a +>-，下同解法一. [方法三]：分类讨论+分段函数法 当3a ≤-时，23,,()3,3,23,3,x a x a f x a a x x a x -+-<⎧⎪=--≤≤-⎨⎪-+>-⎩则min [()]3=--f x a ，此时3-->-a a ，无解． 当3a >-时，23,3,()3,3,23,,x a x f x a x a x a x a -+-<-⎧⎪=+-≤≤⎨⎪-+>⎩则min [()]3=+f x a ，此时，由3a a +>-得，32a >-．综上，a 的取值范围为32a >-．[方法四]：函数图象法解不等式由方法一求得()min 3f x a =+后，构造两个函数|3|=+y a 和y a =-，即3,3,3,3a a y a a --<-⎧=⎨+≥-⎩和y a =-， 如图，两个函数的图像有且仅有一个交点33,22⎛⎫- ⎪⎝⎭M ，由图易知|3|a a +>-，则32a >-．【整体点评】（1）解绝对值不等式的方法有几何意义法，零点分段法． 方法一采用几何意义方法，适用于绝对值部分的系数为1的情况， 方法二使用零点分段求解法，适用于更广泛的情况，为最优解；（2）方法一，利用绝对值不等式的性质求得()3min f x a =+，利用不等式恒成立的意义得到关于a 的不等式，然后利用绝对值的意义转化求解；方法二与方法一不同的是利用绝对值的几何意义求得()f x 的最小值，最有简洁快速，为最优解法方法三利用零点分区间转化为分段函数利用函数单调性求()f x 最小值，要注意函数()f x 中的各绝对值的零点的大小关系，采用分类讨论方法，使用与更广泛的情况；方法四与方法一的不同在于得到函数()f x 的最小值后，构造关于a 的函数，利用数形结合思想求解关于a 的不等式.5．【2020年新课标1卷理科】已知函数()|31|2|1|f x x x =+--． （1）画出()y f x =的图像；（2）求不等式()(1)f x f x >+的解集． 【答案】（1）详解解析；（2）7,6⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭.【解析】 【分析】（1）根据分段讨论法，即可写出函数()f x 的解析式，作出图象； （2）作出函数()1f x +的图象，根据图象即可解出． 【详解】（1）因为()3,1151,1313,3x x f x x x x x ⎧⎪+≥⎪⎪=--<<⎨⎪⎪--≤-⎪⎩，作出图象，如图所示：（2）将函数()f x 的图象向左平移1个单位，可得函数()1f x +的图象，如图所示：由()3511x x --=+-，解得76x =-．所以不等式()(1)f x f x >+的解集为7,6⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭．【点睛】本题主要考查画分段函数的图象，以及利用图象解不等式，意在考查学生的数形结合能力，属于基础题．6．【2020年新课标2卷理科】已知函数2()|21|f x x a x a =-+-+.（1）当2a =时，求不等式()4f x ≥的解集；（2）若()4f x ≥，求a 的取值范围.【答案】（1）32x x ⎧≤⎨⎩或112x ⎫≥⎬⎭；（2）(][),13,-∞-+∞.【解析】 【分析】（1）分别在3x ≤、34x <<和4x ≥三种情况下解不等式求得结果；（2）利用绝对值三角不等式可得到()()21f x a ≥-，由此构造不等式求得结果. 【详解】（1）当2a =时，()43f x x x =-+-.当3x ≤时，()43724f x x x x =-+-=-≥，解得：32x ≤；当34x <<时，()4314f x x x =-+-=≥，无解； 当4x ≥时，()43274f x x x x =-+-=-≥，解得：112x ≥； 综上所述：()4f x ≥的解集为32x x ⎧≤⎨⎩或112x ⎫≥⎬⎭.（2）()()()()22222121211f x x a x a x a x a a a a =-+-+≥---+=-+-=-（当且仅当221a x a -≤≤时取等号）， ()214a ∴-≥，解得：1a ≤-或3a ≥，a ∴的取值范围为(][),13,-∞-+∞.【点睛】本题考查绝对值不等式的求解、利用绝对值三角不等式求解最值的问题，属于常考题型. 7．【2020年新课标3卷理科】设a ，b ，c ∈R ，a +b +c =0，abc =1． （1）证明：ab +bc +ca <0；（2）用max{a ，b ，c }表示a ，b ，c 中的最大值，证明：max{a ，b ，c }． 【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）方法一：由()22222220a b c a b c ab ac bc ++=+++++=结合不等式的性质，即可得出证明；（2）方法一：不妨设{}max ,,a b c a =，因为0,1a b c abc ++==，所以0,a >0,b <0,c <()()a b c=-+-≥34,a ≥a【详解】（1）［方法一］【最优解】：通性通法()22222220a b c a b c ab ac bc ++=+++++=，()22212ab bc ca a b c ∴++=-++. 1,,,abc a b c =∴均不为0，则2220a b c ++>，()222120ab bc ca a b c ∴++=-++<． ［方法二］：消元法由0a b c ++=得()b a c =-+，则()ab bc ca b a c ca ++=++()2a c ac =-++()22a ac c =-++223024c a c ⎛⎫=-+-≤ ⎪⎝⎭，当且仅当0a b c ===时取等号，又1abc =，所以0ab bc ca ++<． ［方法三］：放缩法方式1：由题意知0,a ≠0,a b c ++=(),a c b =-+()222224a c b c b cb bc =+=++≥，又()ab bc ca a b c bc ++=++2a bc =-+224a a ≤-+2304a =-<，故结论得证．方式2：因为0a b c ++=，所以()22220222a b c a b c ab bc ca =++=+++++ ()()()22222212222a b b c c a ab bc ca ⎡⎤=++++++++⎣⎦()()122222232ab bc ca ab bc ca ab bc ca ≥+++++=++． 即0ab bc ca ++≤，当且仅当0a b c ===时取等号， 又1abc =，所以0ab bc ca ++<． ［方法四］：因为0,1a b c abc ++==，所以a ，b ，c 必有两个负数和一个正数，不妨设0,a b c ≤<<则(),a b c =-+()20ab bc ca bc a c b bc a ∴++=++=-<.［方法五］：利用函数的性质方式1：()6b a c =-+，令()22f c ab bc ca c ac a =++=---，二次函数对应的图像开口向下，又1abc =，所以0a ≠， 判别式222Δ430a a a =-=-<，无根， 所以()0f c <，即0ab bc ca ++<．方式2：设()()()()()31f x x a x b x c x ab bc ca x =---=+++-，则()f x 有a ，b ，c 三个零点，若0ab bc ca ++≥，则()f x 为R 上的增函数，不可能有三个零点， 所以0ab bc ca ++<．（2）［方法一］【最优解】：通性通法不妨设{}max ,,a b c a =，因为0,1a b c abc ++==，所以0,a >0,b <0,c <()()a b c =-+-≥则34,a a ≥≥．故原不等式成立． ［方法二］：不妨设{}max ,,a b c a =，因为0,1a b c abc ++==，所以0a >，且,1,b c a bc a +=-⎧⎪⎨=⎪⎩则关于x 的方程210x ax a++=有两根，其判别式24Δ0a a =-≥，即a故原不等式成立． ［方法三］：不妨设{}max ,,a b c a =，则0,a >(),b a c =-+1,abc =()1,a c ac -+=2210ac a c ++=，关于c 的方程有解，判别式()22Δ40a a =-≥，则34,a a ≥≥．故原不等式成立． ［方法四］：反证法假设{}max ,,a b c0a b ≤<<1ab c =>a b c --=1132a b ---≥=={}max ,,a b c ≥证． 【整体点评】（1）方法一：利用三项平方和的展开公式结合非零平方为正数即可证出，证法常规，为本题的通性通法，也是最优解法；方法二：利用消元法结合一元二次函数的性质即可证出；方法三：利用放缩法证出；方法四：利用符号法则结合不等式性质即可证出；方法五：利用函数的性质证出．（2）方法一：利用基本不等式直接证出，是本题的通性通法，也是最优解；方法二：利用一元二次方程根与系数的关系以及方程有解的条件即可证出；方法三：利用消元法以及一元二次方程有解的条件即可证出；方法四：利用反证法以及基本不等式即可证出．。
高三数学不等式选讲试题答案及解析
高三数学不等式选讲试题答案及解析1.不等式的解集是．【答案】【解析】由绝对值的几何意义，数轴上之间的距离为，结合图形，当落在数轴上外时.满足不等式，故答案为.【考点】不等式选讲.2.不等式的解集是【答案】【解析】原不等式可化为，解得.考点:绝对值不等式解法3.已知函数（Ⅰ）证明:；（Ⅱ）求不等式:的解集．【答案】（Ⅰ）祥见解析；（Ⅱ）．【解析】（Ⅰ）通过对x的范围分类讨论将函数f（x）=|x-2|-|x-5|中的绝对值符号去掉，转化为分段函数，即可解决；（Ⅱ）结合（1）对x分x≤2，2＜x＜5与x≥5三种情况讨论解决即可．试题解析：（Ⅰ）当所以（Ⅱ）由（1）可知，当的解集为空集；当时，的解集为：；当时，的解集为：；综上，不等式的解集为：；【考点】绝对值不等式的解法．4.设函数=（1）证明：2；（2）若，求的取值范围.【答案】（2）【解析】本题第（1）问，可由绝对值不等式的几何意义得出，从而得出结论；对第（2）问，由去掉一个绝对值号，然后去掉另一个绝对值号，解出的取值范围.试题解析：（1）证明：由绝对值不等式的几何意义可知：，当且仅当时，取等号，所以.（2）因为，所以，解得：.【易错点】在应用均值不等式时,注意等号成立的条件:一正二定三相等.【考点】本小题主要考查不等式的证明、绝对值不等式的几何意义、绝对值不等式的解法、求参数范围等不等式知识，熟练基础知识是解答好本类题目的关键.5.（5分）（2011•陕西）（请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分）A．（不等式选做题）若不等式|x+1|+|x﹣2|≥a对任意x∈R恒成立，则a的取值范围是．B．（几何证明选做题）如图，∠B=∠D，AE⊥BC，∠ACD=90°，且AB=6，AC=4，AD=12，则AE= ．C．（坐标系与参数方程选做题）直角坐标系xoy中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建极坐标系，设点A，B分别在曲线C1：（θ为参数）和曲线C2：p=1上，则|AB|的最小值为．【答案】（﹣∞，3] 2 1【解析】A．首先分析题目已知不等式|x+1|+|x﹣2|≥a恒成立，求a的取值范围，即需要a小于等于|x+1|+|x﹣2|的最小值即可．对于求|x+1|+|x﹣2|的最小值，可以分析它几何意义：在数轴上点x 到点﹣1的距离加上点x到点2的距离．分析得当x在﹣1和2之间的时候，取最小值，即可得到答案；B．先证明Rt△ABE∽Rt△ADC，然后根据相似建立等式关系，求出所求即可；C．先根据ρ2=x2+y2，sin2+cos2θ=1将极坐标方程和参数方程化成直角坐标方程，根据当两点连线经过两圆心时|AB|的最小，从而最小值为两圆心距离减去两半径．解：A．已知不等式|x+1|+|x﹣2|≥a恒成立，即需要a小于等于|x+1|+|x﹣2|的最小值即可．故设函数y=|x+1|+|x﹣2|．设﹣1、2、x在数轴上所对应的点分别是A、B、P．则函数y=|x+1|+|x﹣2|的含义是P到A的距离与P到B的距离的和．可以分析到当P在A和B的中间的时候，距离和为线段AB的长度，此时最小．即：y=|x+1|+|x﹣2|=|PA|+|PB|≥|AB|=3．即|x+1|+|x﹣2|的最小值为3．即：k≤3．故答案为：（﹣∞，3]．B．∵∠B=∠D，AE⊥BC，∠ACD=90°∴Rt△ABE∽Rt△ADC而AB=6，AC=4，AD=12，根据AD•AE=AB•AC解得：AE=2，故答案为：2C．消去参数θ得，（x﹣3）2+y2=1而p=1，则直角坐标方程为x2+y2=1，点A在圆（x﹣3）2+y2=1上，点B在圆x2+y2=1上则|AB|的最小值为1．故答案为：1点评：A题主要考查不等式恒成立的问题，其中涉及到绝对值不等式求最值的问题，对于y=|x﹣a|+|x﹣b|类型的函数可以用分析几何意义的方法求最值．本题还考查了三角形相似和圆的参数方程等有关知识，同时考查了转化与划归的思想，属于基础题．6.（2012•广东）不等式|x+2|﹣|x|≤1的解集为_________．【答案】【解析】∵|x+2|﹣|x|=∴x≥0时，不等式|x+2|﹣|x|≤1无解；当﹣2＜x＜0时，由2x+2≤1解得x≤，即有﹣2＜x≤；当x≤﹣2，不等式|x+2|﹣|x|≤1恒成立，综上知不等式|x+2|﹣|x|≤1的解集为故答案为7.设函数，若，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由的图象，可知在处取得最小值，∵, ,即,或．∴实数的取值范围为，选C.8.已知不等式的解集与不等式的解集相同，则的值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】解不等式得或，所以的两个根为和，由根与系数的关系知.故选.【考点】绝对值不等式的解法，一元二次不等式的解法.9.设函数,其中。
高三数学不等式选讲试题答案及解析
高三数学不等式选讲试题答案及解析1.设函数，，记的解集为M，的解集为N.（1）求M；（2）当时，证明：.【答案】（1）；（2）详见解析.【解析】（1）由所给的不等式可得当时，由，或当时，由，分别求得它们的解集，再取并集，即得所求．（2）由，求得N，可得．当x∈M∩N时，f（x）=1-x，不等式的左边化为，显然它小于或等于，要证的不等式得证．（1）当时，由得，故；当时，由得，故；所以的解集为.（2）由得解得，因此，故.当时，，于是.【考点】1.其他不等式的解法；2.交集及其运算．2.设不等式的解集为M，.（1）证明：；（2）比较与的大小，并说明理由.【答案】（1）证明过程详见解析；（2）|1－4ab|＞2|a－b|.【解析】本题主要考查绝对值不等式的解法、绝对值的运算性质、作差法比较大小等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，先利用零点分段法将化为分段函数，解不等式求出M，再利用绝对值的运算性质化简得，由于，代入得；第二问，利用第一问的结论，作差比较大小，由于和均为正数，所以都平方，作差比较大小.（1）记f(x)＝|x－1|－|x＋2|＝由－2＜－2x－1＜0解得，则． 3分所以． 6分（2）由（1）得，．因为|1－4ab|2－4|a－b|2＝(1－8ab＋16a2b2)－4(a2－2ab＋b2)＝(4a2－1)(4b2－1)＞0， 9分所以|1－4ab|2＞4|a－b|2，故|1－4ab|＞2|a－b|． 10分【考点】绝对值不等式的解法、绝对值的运算性质、作差法比较大小.3.阅读：已知、，，求的最小值.解法如下：，当且仅当，即时取到等号，则的最小值为.应用上述解法，求解下列问题：（1）已知，，求的最小值；（2）已知，求函数的最小值；（3）已知正数、、，，求证：.【答案】（1）9；（2）18；（3）证明见解析.【解析】本题关键是阅读给定的材料，弄懂弄清给定材料提供的方法（“1”的代换），并加以运用.主要就是，展开后就可应用基本不等式求得最值.（1）；（2）虽然没有已知的“1”，但观察求值式子的分母，可以凑配出“1”：，因此有，展开后即可应用基本不等式；（3）观察求证式的分母，结合已知有，因此有此式中关键是凑配出基本不等式所需要的两项，如与合并相加利用基本不等式有，从而最终得出.（1）， 2分而，当且仅当时取到等号，则，即的最小值为. 5分（2）， 7分而，，当且仅当，即时取到等号，则，所以函数的最小值为. 10分（3）当且仅当时取到等号，则. 16分【考点】阅读材料问题，“1”的代换，基本不等式.4.已知不等式的解集与不等式的解集相同，则的值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】解不等式得或，所以的两个根为和，由根与系数的关系知.故选.【考点】绝对值不等式的解法，一元二次不等式的解法.5.在实数范围内，不等式的解集为___________.【答案】【解析】因此解集为.【考点】本题主要考查绝对值不等式的解法，考查运用能力.6.已知函数f(x)=|2x－1|+|2x+a|,g(x)=x+3.(1)当a=－2时,求不等式f(x)<g(x)的解集;(2)设a>－1,且当x∈[－,)时, f(x)≤g(x),求a的取值范围.【答案】(1){x|0<x<2}(2)(－1,]【解析】(1)当a=－2时,不等式f(x)<g(x)化为|2x－1|+|2x－2|－x－3<0.设函数y=|2x－1|+|2x－2|－x－3,则y=,其图象如图所示.从图象可知,当且仅当x∈(0,2)时,y<0.所以原不等式的解集是{x|0<x<2}.(2)当x∈[－,)时, f(x)=1+a.不等式f(x)≤g(x)化为1+a≤x+3.所以x≥a－2对x∈[－,)都成立.故－≥a－2,即a≤.从而a的取值范围是(－1,]7.已知关于x的不等式的解集不是空集，则a的最小值是__________。
高三数学不等式选讲试题答案及解析
高三数学不等式选讲试题答案及解析1.若不等式的解集是区间的子集，则实数的范围为__________．【答案】.【解析】不等式x2＜|x-1|+a等价为x2-|x-1|-a＜0，设f（x）=x2-|x-1|-a，若不等式x2＜|x-1|+a的解集是区间（-3，3）的子集，则，即，解得a≤5，故答案为：（-∞，5]【考点】不等式的解法及应用．2.不等式的解集是【答案】【解析】原不等式可化为，解得.考点:绝对值不等式解法3.若不等式对任意的恒成立，则的最大值是．【答案】9【解析】∵，∴，∴==5+≥5+=5+4=9，当且仅当，即时，取等号，所以的最小值为9，所以≤9，所以的最大值为9.考点: 基本不等式；转化与化归思想4.若不等式|x-a|-|x|<2－a2对x∈R恒成立，则实数a的取值范围是。
【答案】【解析】,所以原式恒成立，即,即,解得【考点】不等式恒成立问题5.设a、b、c为正数，a+b+9c2=1，则的最大值是，此时a+b+c= .【答案】【解析】由柯西不等式得，所以，当且仅当且，即，所以的最大值是，此时.【考点】柯西不等式.6.已知关于x的不等式（其中），若不等式有解，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】∵设故，即的最小值为，所以有解，则解得，即的取值范围是，选C.7.若存在实数x使|x-a|+|x-1|≤3成立,则实数a的取值范围是（）A．-2≤a≤2B．-1≤a≤1C．-2≤a≤4D．-1≤a≤2【答案】C【解析】由题意知左边的最小值小于或等于3,根据不等式的性质得|(x-a)-(x-1)|≤3,∴|a-1|≤3,∴-2≤a≤4.选C.8.已知函数f(x)=|x－a|,其中a>1.(1)当a=2时,求不等式f(x)≥4－|x－4|的解集;(2)已知关于x的不等式|f(2x+a)－2f(x)|≤2的解集为{x|1≤x≤2},求a的值.【答案】(1){x|x≤1或x≥5}.(2)3【解析】(1)当a=2时, f(x)+|x－4|=当x≤2时,由f(x)≥4－|x－4|得－2x+6≥4,解得x≤1;当2<x<4时, f(x)≥4－|x－4|无解;当x≥4时,由f(x)≥4－|x－4|得2x－6≥4,解得x≥5;所以f(x)≥4－|x－4|的解集为{x|x≤1或x≥5}.(2)记h(x)=f(2x+a)－2f(x),则h(x)=由|h(x)|≤2,解得≤x≤又已知|h(x)|≤2的解集为{x|1≤x≤2}.所以=1且=2于是a=3.9.不等式＜0的解集为（）A．{x|﹣2＜x＜3}B．{x|x＜﹣2}C．{x|x＜﹣2或x＞3}D．{x|x＞3}【答案】A【解析】∵，得到（x﹣3）（x+2）＜0即x﹣3＞0且x+2＜0解得：x＞3且x＜﹣2所以无解；或x﹣3＜0且x+2＞0，解得﹣2＜x＜3，所以不等式的解集为﹣2＜x＜3故选A10.已知，且，求的最小值．【答案】1.【解析】观察已知条件与所求式子，考虑到柯西不等式，可先将条件化为，此时，由柯西不等式得，即，当且仅当，即，或时，等号成立，从而可得的最小值为1.试题解析：, ,,，当且仅当，或时的最小值是1.【考点】柯西不等式.11.设a,b,c,d∈R,且a>b,c>d,则下列结论正确的是()A．a+c>b+d B．a-c>b-dC．ac>bd D．>【答案】A【解析】选A.因为a>b,c>d,所以a+c>b+d.12.若正数a,b满足ab=a+b+3,则ab的取值范围是.【答案】[9,+∞)【解析】令=t(t>0),由ab=a+b+3≥2+3,则t2≥2t+3,所以t≥3或t≤-1(舍去),所以≥3,ab≥9,当a=b=3时取等号.13.当0≤x≤时,函数y=x2(1-5x)的最大值为()A．B．C．D．无最大值【答案】C【解析】选C.y=x2(1-5x)=x2=x·x·.因为0≤x≤,所以-2x≥0,所以y≤=,=.当且仅当x=-2x,即x=时,ymax14.对于实数x,y,若|x-1|≤1,|y-2|≤1,则|x-2y+1|的最大值为()A．5B．4C．8D．7【答案】A【解析】选A.由题意得,|x-2y+1|=|(x-1)-2(y-1)|≤|x-1|+|2(y-2)+2|≤1+2|y-2|+2≤5,即|x-2y+1|的最大值为5.15.若x<5,n∈N,则下列不等式:①<5;②|x|lg<5lg;③xlg<5;④|x|lg<5.其中能够成立的有.(填序号)【答案】④【解析】因为0<<1,所以lg<0,由x<5不能确定|x|与5的关系,所以可以否定①②③,而|x|lg <0,所以④成立.16.已知|x－a|<b(a、b∈R)的解集为{x|2<x<4},求a－b的值．【答案】2【解析】由|x－a|<b，得a－b<x<a＋b.又|x－a|<b(a、b∈R)的解集为{x|2<x<4}，所以a－b＝2. 17.已知函数.（1）当时，解不等式；（2）当时，恒成立，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】(1)利用零点分段法,去分为.三种情况绝对值，在每种情况下解不等式；求三次交集，最后再求一次并集，属于基础问题，关键是把绝对值去掉，并且不要忘记求交集；(2)当时，将其中一个绝对值去掉，问题转化为恒成立，,利用公式将绝对值去掉，并且反解,转化为或恒成立的最值问题，因为.，所以只能大于等于的最大值.此题属于基础题型.试题解析：（1） 2分当时，，即，解得当时，,即，解得当时，，即，解得不等式的解集为 5分（2）恒成立即 10分【考点】1解不等式；2.恒成立问题.18.已知a2+2b2+3c2=6,若存在实数a,b,c,使得不等式a+2b+3c>|x+1|成立,求实数x的取值范围.【答案】-7<x<5【解析】由柯西不等式得(a+2b+3c)2≤(a2+2b2+3c2)(1+2+3),当且仅当a=b=c=1时,等号成立.故a+2b+3c的最大值为6,故|x+1|<6,解得-7<x<5.19.设x,y,z>0,x+y+z=3,依次证明下列不等式,(1)(2-)≤1.(2)≥.(3)++≥2.【答案】见解析【解析】证明：(1)由(2-)=-[()2-2+1]+1=-(-1)2+1≤1,得(2-)≤1.当且仅当xy=1时取等号.(2)≥=,因为2+≤2+,且由(1)知(2-)≤1,当且仅当x=y=1时取等号.所以≥=①.(3)同理可得≥②,≥③,由柯西不等式得(++)(a+b+c)≥9,对于a,b,c>0,++≥④,利用不等式④,由①,②,③及已知条件x + y + z =3得++≥++≥==2.20.已知函数f(x)＝|2x－a|＋a.若不等式f(x)≤6的解集为{x|－2≤x≤3}，则实数a的值为________．【答案】a＝1【解析】由|2x－a|＋a≤6得，|2x－a|≤6－a，∴a－6≤2x－a≤6－a，即a－3≤x≤3，∴a－3＝－2，∴a＝1.21.设a，b，c为正数，且a＋b＋4c＝1，则＋＋的最大值是________．【答案】【解析】由柯西不等式得(＋＋)2≤·[()2＋()2＋()2]＝×1∴＋＋≤.22.已知a，b，c∈R，a＋2b＋3c＝6，则a2＋4b2＋9c2的最小值为________．【答案】12【解析】∵(x＋y＋z)2＝x2＋y2＋z2＋2xy＋2yz＋2zx≤3(x2＋y2＋z2)，∴a2＋4b2＋9c2≥ (a＋2b＋3c)2＝＝12.∴a2＋4b2＋9c2的最小值为12.23. A．（不等式选讲）已知函数．若关于x的不等式的解集是，则的取值范围是B．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，已知曲线与直线相切，则实数的值为_______【答案】A：；B：或【解析】根据题意，由于，则可知的解集为R，则说明了对一切实数都成立，则可知。
不等式A+B(有答案)
不等式选讲[基础训练A 组]一、选择题1．下列各式中，最小值等于2的是（ ）A ．x y y x +B ．4522++x x C ．1tan tan θθ+ D ．22x x-+2．若,x y R ∈且满足32x y +=，则3271xy++的最小值是（ ）A ．B ．1+C ．6D ．7 3．设0,0,1x y x y A x y +>>=++, 11x y B x y=+++，则,A B 的大小关系是（ ）A ．AB = B ．A B <C ．A B ≤D ．A B > 4．若,,x y a R +∈，且y x a y x +≤+恒成立，则a 的最小值是（ ）A ．2B C ．1 D ．125．函数46y x x =-+-的最小值为（ ）A ．2BC ．4D ．6 6．不等式3529x ≤-<的解集为（ ）A ．[2,1)[4,7)-B ．(2,1](4,7]-C ．(2,1][4,7)--D ．(2,1][4,7)-二、填空题1．若0a b >>，则1()a b a b +-的最小值是_____________。
2．若0,0,0a b m n >>>>，则b a , a b , m a m b ++, nb n a ++按由小到大的顺序排列为 3．已知,0x y >，且221x y +=，则x y +的最大值等于_____________。
4．设1010101111112212221A =++++++- ，则A 与1的大小关系是_____________。
5．函数212()3(0)f x x x x=+>的最小值为_____________。
三、解答题1．已知1a b c ++=，求证：22213a b c ++≥2．解不等式7340x x +--+>3．求证：221a b ab a b +≥++-4．证明：1)1...<++<不等式选讲 [基础训练A 组]一、选择题1．D20,20,222x x x x -->>∴+≥ 2．D3331117x y ++≥== 3．B 11111x y x y x y B A x y x y y x x y+=+>+==++++++++，即A B < 4．B,)22x y x y +≥+，≥，而y x a y x +≤+，1a ≥恒成立，得12a a ≤≥即5．A 46462y x x x x =-+-≥-+-=6．D 259925927253,2534,1253x x x x x x x x ⎧-<-<-<-<<⎧⎧⎪⇒⇒⎨⎨⎨-≥-≤-≥≤-≥⎩⎩⎪⎩或或，得(2,1][4,7)-二、填空题1．31()3()a b b b a b -++≥=-2．b b m a n a a a m b n b ++<<<++ 由糖水浓度不等式知1b b ma a m+<<+， 且1b b n a a n +<<+，得1a a n b b n +>>+，即1a n ab n b+<<+ 32x yx y +≤+≤=4．1A < 101010101110101010211111111122122212222A =++++<++++=++-个5．92212331212()3922x x f x x x x =+=++=三、解答题1．证明：2222()(222)a b c a b c ab bc ac ++=++-++2222()2()a b c a b c ≥++-++22223()()1a b c a b c ∴++≥++= 22213a b c ∴++≥另法一：22222221()33a b c a b c a b c ++++-=++-2222221(222222)31[()()()]03a b c ab bc ac a b b c a c =++---=-+-+-≥22213a b c ∴++≥另法二：2222222(111)()()1a b c a b c ++++≥++=即2223()1a b c ++≥，22213a b c ∴++≥2．解：原不等式化为73410x x +--+>当43x >时，原不等式为7(34)10x x +-->得5x <，即453x <<； 当473x -≤≤时，原不等式为7(34)10x x ++->得12x >-1423x -<≤； 当7x <-时，原不等式为7(34)10x x +-->得6x >，与7x <-矛盾；所以解为152x -<<3．证明：22()(1)a b ab a b +-++-2222222222211(222222)21[(2)(21)(21)]21[()(1)(1)]02a b ab a b a b ab a b a ab b a a b b a b a b =+---+=+---+=-++-++-+=-+-+-≥221a b ab a b ∴+≥++- 4．证明：<<∴<<1)1...∴<++<不等式选讲 [综合训练B 组]一、选择题1．C 24a c a c a b b c a b b c b c a ba b b c a b b c a b b c ---+--+---+=+=++≥------114a b b c a c ∴+≥---，而ca n cb b a -≥-+-11恒成立，得4n ≤2．C 2(1)1111222222(1)x x y x x x --=+=+≤-=----3．B =>>P R >；又>R Q >，所以P R Q >>4．B 222,()()a ab b a b a b a b ab ++=++-+=，而2()04a b ab +<<所以22()0()()4a b a b a b +<+-+<，得413a b <+<5．D ()()()(1)(1)(1)a b c a b c a b c b c a c a b M a b c abc+++++++++=---=8abc≥=6．A ,a b≠>>>>二、填空题1．3- 13333y x x =--≤-=-max 3y =-2．> 设36log 4,log 7a b ==，则34,67a b==，得7346423abbb⋅=⋅=⋅⋅即4237b a b-⋅=，显然1,22b b >>，则423107b a b a b a b -⋅=>⇒->⇒> 3． 214a 2222222(123)()(23)x yzx y z a ++++≥++=即222214()x y z a ++≥，222214a x y z ∴++≥4．3 1()4M a b c a b d a c d b c d ≥+++++++++++ 3()34a b c d =+++=，即min 3M =5．12 l g l gl g222l g ()1l g l g l g 1x y z x y zx y z⋅⋅≥⇒++≥ 而2222lg lg lg (lg lg lg )2(lg lg lg lg lg lg )x y z x y z x y y z z x ++=++-++2[lg()]2(lg lg lg lg lg lg )12(lg lg lg lg lg lg )1xyz x y y z z x x y y z z x =-++=-++≥即lg lg lg lg lg lg 0x y y z z x ++≤，而lg ,lg ,lg x y z 均不小于0 得lg lg lg lg lg lg 0x y y z z x ++=，此时lg lg 0x y ==，或lg lg 0y z ==，或lg lg 0z x ==， 得1,10x y z ===，或1,10y z x ===，或1,10x z y ===12x y z ++=三、解答题1．解：34(3)(4)1x x x x -+-≥---= min (34)1x x ∴-+-=当1a ≤时，34x x a -+-<解集显然为φ， 所以1a >2．证明：2222222(111)()()a b c a b c ++++≥++2222()39a b c a b c ++++∴≥3a b c++≥3．证明：12112(11)1...12(1)n n n n nn n n n n n C C C C C C n -=+=+++≥+++=+22(1)nn ∴≥+（本题也可以用数学归纳法）4．证明：2222()()1,2a b a b a b c ab c c +-++=-==- ,a b ∴是方程22(1)0x c x c c --+-=的两个不等实根， 则22(1)4()0c c c =---> ，得113c -<< 而2()()()0c a c b c a b c ab --=-++> 即22(1)0c c c c c --+->，得20,3c c <>或 所以103c -<<，即413a b <+<不等式选讲[综合训练B 组]一、选择题1．设,a b c n N >>∈，且ca nc b b a -≥-+-11恒成立，则n 的最大值是（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．62． 若(,1)x ∈-∞，则函数22222x x y x -+=-有（ ）A ．最小值1B ．最大值1C ．最大值1-D ．最小值1-3．设P =Q =R =,,P Q R 的大小顺序是（ ） A ．P Q R >> B ．P R Q >> C ．Q P R >> D ．Q R P >>4．设不等的两个正数,a b 满足3322a b a b -=-，则a b +的取值范围是（ ） A ．(1,)+∞ B ．4(1,)3C ．4[1,]3D ．(0,1)5．设,,a b c R +∈，且1a b c ++=，若111(1)(1)(1)M a b c=---，则必有（ ）A ．108M ≤<B ．118M ≤< C ．18M ≤< D ．8M ≥6．若,a b R +∈，且,a b M≠=N =M 与N 的大小关系是 A ．M N > B ．M N < C ．M N ≥ D ．M N ≤二、填空题1．设0x >，则函数133y x x=--的最大值是__________。
高考数学复习：不等式选讲练习及答案
－ 2<x<1， 或
－（ x－ 1）＋（ x＋ 2） ≥５
x≤－2， 或
－（ x－1）－（ x＋ 2） ≥５， 解得 x≥２或 x≤－3. 故原不等式的解集为 { x|x≤－ 3 或 x≥2}． 答案 { x|x≤－ 3 或 x≥2} 高频考点二 不等式的证明
例 2．【 2017 课标 II ，理 23】已知
.
（ 2）当 x 1,1 时， g x 2 .
所以
的解集包含 1,1 ，等价于当 x 1,1 时 f x 2 .
又 f x 在 1,1 的学科 & 网最小值必为 f 1 与 f 1 之一，所以 f 1 2 且 f 1 2 ，得 1 a 1 .
所以 a 的取值范围为 1,1 .
1.【 2016 高考新课标 1 卷】（本小题满分 10 分） ,选修 4—5：不等式选讲
4. （ 2018 年江苏卷） [ 选修 4—5：不等式选讲 ] 学 -科网
若 x， y， z 为实数，且 x+2 y+2z=6，求
的最小值．
【答案】 4
【解析】证明：由柯西不等式，得
．
，故当且仅当
因为
，所以
，
当且仅当
时，不等式取等号，此时
，
所以
的最小值为 4．
1.【 2017 课标 II ，理 23】已知
1. （ 2018 年全国 I 卷理数） [选修 4–5：不等式选讲 ]
已知
.
（ 1）当 时，求不等式
的解集；
（ 2）若
时不等式
成立，求 的取值范围 .
【答案】（1）
．
（2） ． 【解析】 [来源 学科网 ZXXK]
AZ第二十五讲 不等式选讲(选考部分)真题精练答案部分
第二十五讲 不等式选讲(选考部分)真题精练答案部分1．【解析】(1)如图所示：(2)()4133212342x x f x x x x x ⎧⎪--⎪⎪=--<<⎨⎪⎪-⎪⎩，≤，，≥，()1f x >． 当1x -≤，41x ->，解得5x >或3x <，1x -∴≤． 当312x -<<，321x ->，解得1x >或13x <， 113x -<<∴或312x <<， 当32x ≥，41x ->，解得5x >或3x <，332x <∴≤或5x >， 综上，13x <或13x <<或5x >， ()1f x >∴，解集为()()11353⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭，，，．2．【解析】(1)当12x <-时，()11222f x x x x =---=-，若112x -<<-； 当1122x -≤≤时，()111222f x x x =-++=<恒成立； 当12x >时，()2f x x =，若()2f x <，112x <<． 综上可得，{}|11M x x =-<<．(2)当()11a b ∈-，，时，有()()22110a b -->，即22221a b a b +>+， 则2222212a b ab a ab b +++>++，则()()221ab a b +>+， 即1a b ab +<+，证毕．3．【解析】(1)当2a =时，()|22|2f x x =-+.解不等式|22|26x -+…，得13x-剟. 因此，()6f x ≤的解集为{|13}x x -剟.(2)当x R ∈时，()()|2||12|f x g x x a a x +=-++-|212|x a x a -+-+…|1|a a =-+，当12x =时等号成立， 所以当x R ∈时，()()3f x g x +…等价于|1|3a a -+…. ①当1a …时，①等价于13a a -+…，无解.当1a >时，①等价于13a a -+…，解得2a ….所以a 的取值范围是[2,)+∞.4．【解析】(1)当1a =时，不等式()1f x >化为|1|2|1|10x x +--->，当1x -≤时，不等式化为40x ->，无解；当11x -<<时，不等式化为320x ->，解得213x <<； 当1x ≥时，不等式化为20x -+>，解得12x <≤．所以()1f x >的解集为2{|2}3x x <<． (2)有题设可得，12,1()312,112,x a x f x x a x a x a x aì--<-ïï=+--íï-++>ïî≤≤，所以函数()f x 图象与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为21(,0),(21,0),(,1)3a A B a C a a -++，ABC D 的面积为22(1)3a +．有题设得22(1)63a +>，故2a >．所以a 的取值范围为(2,)+?． 5．【解析】(1)由||x ab +<，得b a x b a --<<-．则2,4,b a b a --=⎧⎨-=⎩解得3a =-,1b =．=≤4==．1=，即1t =时等号成立，故max 4=．6．【证明】由abb a b a b a +=+=+11，0>a ，0>b ，得1=ab ． (1)由基本不等式及1=ab ，有2a b +=≥，即2a b +≥，当且仅当1a b == 时等号成立．(2)假设22<+a a 与22<+b b 同时成立，则由22<+a a 及0>a 得10<<a ；同理，10<<b ，从而1<ab ，这与1=ab 矛盾，故22<+a a 与22<+b b 不可能同时成立．7．【解析】(1)11a b =+≥，得2ab ≥，且当a b == 故33a b+≥≥，且当a b ==时取等号．所以33a b +的最小值为(2)由(1)知，23a b +≥≥．由于6>，从而不存在,a b ， 使得236a b +=．8．【解析】(1)当a =-2时，不等式()f x ＜()g x 化为|21||22|30x x x -+---<，设函数y =|21||22|3x x x -+---，y =15, 212, 1236, 1x x x x x x ⎧-<⎪⎪⎪--≤≤⎨⎪->⎪⎪⎩， 其图像如图所示，从图像可知，当且仅当(0,2)x ∈时，y ＜0，∴原不等式解集是{|02}x x <<．(2)当x ∈[2a -，12)时，()f x =1a +，不等式()f x ≤()g x 化为13a x ++≤， ∴2x a -≥对x ∈[2a -，12)都成立，故2a -≥2a -，即a ≤43， ∴a 的取值范围为(-1，43]． 9．【解析】(1)2222222,2,2a b ab b c bc c a ca +≥+≥+≥，得222a b c ab bc ca ++≥++，由题设得()21a b c ++=，即2222221a b c ab bc ca +++++=． 所以()31ab bc ca ++≤，即13ab bc ca ++≤． (2)∵2222,2,2a b c b a c b a c b c a+≥+≥+≥， ∴222()2()a b c a b c a b c b c a+++++≥++， 即222a b c a b c b c a ++≥++，∴2221a b c b c a++≥． 10．【解析】(1)当3a =-时，()3323f x x x ⇔-+-厖2323x x x ⎧⇔⎨-+-⎩……或23323x x x <<⎧⇔⎨-+-⎩…或3323x x x ⎧⇔⎨-+-⎩…… 1x ⇔…或4x …．(2)原命题()4f x x ⇔-…在[1,2]上恒成立24x a x x ⇔++--…在[1,2]上恒成立22x ax ⇔---剟在[1,2]上恒成立 30a ⇔-剟．11．【解析】(1)当1a =时，()32f x x ≥+可化为|1|2x -≥．由此可得 3x ≥或1x ≤-．故不等式()32f x x ≥+的解集为{|3x x ≥或1}x ≤-．(2)由()0f x ≤ 得30x a x -+≤，此不等式化为不等式组30x a x a x ≥⎧⎨-+≤⎩ 或30x a a x x ≤⎧⎨-+≤⎩， 即4x a a x ⎧⎪⎨⎪⎩≥≤或2x a a x ⎧⎪⎨-⎪⎩≤≤， 因为0a >，所以不等式组的解集为{}|2a x x ≤-， 由题设可得2a -=1-，故2a =．。
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不等式选讲习题
1.（2014全国新课标I 卷）若0,0,a b >>且11a b
+= （I ）求33a b +的最小值；
（II ）是否存在,,a b 使得236?a b +=并说明理由. 2.（2014全国新课标II 卷）设函数1
()(0).f x x x a a a
=++-> （I ）证明：()2;f x ≥
（II ）若(3)5,f <求a 的取值范围.
3.（2013全国新课标I 卷）已知函数()212,() 3.f x x x a g x x =-++=+ （I ）当2a =-时，求不等式()()f x g x <的解集；
（II ）设1,a >-且当1,22a x ⎡⎫
∈-⎪⎢⎣⎭
时，()()f x g x ≤，求a 的取值范围.
4.（2013全国新课标II 卷）设,,a b c 均为正数，且1,a b c ++=证明：
（I ）1
;3
ab bc ac ++≤ （II ）222 1.a b c b c a ++≥.
5.（2012全国新课标卷）已知函数() 2.f x x a x =++- （I ）当3a =-时，求不等式()3f x ≥的解集； （II ）若()4f x x ≤-的解集包含[]1,2，求a 的取值范围.
6.（2011全国新课标卷）设函数()3f x x a x =-+，其中0a >. （I ）当1a =时，求不等式()32f x x ≥+的解集； （II ）若不等式()0f x ≤的解集为{|1},x x ≤-，求a 的值.
7.（2015第一次省统测）已知a 是常数，对任意实数x ，不等式
|2||1||2||1|x x a x x -++≤≤--+都成立.
（I ）求a 的值； （II ）设,0>>n m 求证：.221
22
2a n n mn m m +≥+-+
8.设函数.142)(+-=x x f
（I ）画出函数)(x f y =的图象； （II ）若不等式ax x f ≤)(的解集非空，求a 的取
2ab ≥，当且仅当a b ==时等号成立 当且仅当a b ==时等号成立 所以33a b +的最小值为.………5分
（II ）由（I ）知23a b +≥=≥ 由于6>，从而不存在,,a b 使得23 6.a b +=………10分 2.（2014全国新课标II 卷） 解：（I ）由0a >，有1111() 2.f x x x a x a x a a a a a a =++-≥++-=+=+≥= 所以，() 2.f x ≥………4分 （II ）1
(3)33.f a a
=+
+- 当03a <≤时，1(3)6f a a =-+，由(3)5,f <得165a a -+<，解得
1 3.2
a +<≤ 当3a >时，1
(3)f a a
=+由(3)5,f <得15a a
+<，解得532
a <<
综上所述，a 的取值范围是15(
22
a +<<………10分 3.（2013全国新课标I 卷）
解：（I ）当2a =-时，()212 2.f x x x =-+-
由()()f x g x <，得212230x x x -+---< 设()21223,f x x x x =-+---则
其图象如图所示，由图象可知，当且仅当(0,2)x ∈时，()0.f x < 所以，不等式()()f x g x <的解集为(0,2).………5分
（II ）当1,22a x ⎡⎫
∈-⎪⎢⎣⎭
时，()1.f x a =+ 不等式()()f x g x ≤可化为1 3.a x +≤+
所以，2x a ≥-对1,22a x ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭
都成立.故4
2,.23a a a -≥-≤即
所以，a 的取值范围是4
(1,].3
-.………10分 4.（2013全国新课标II 卷）.
证明：（I ）222a b ab +≥Q 2222,2,2b c bc a c ac +≥+≥
222222222a b b c a c ab bc ac ∴+++++≥++，即222a b c ab bc ac ++≥++
又()1a b c ++=Q ，即 2222221a b c ab bc ac +++++=
1222ab bc ac ab bc ac ∴---≥++，即3()1ab bc ac ++≤ 1
3
ab bc ac ∴++≤
………5分 （II ）222
2,2,2a b c b a c b a c b c a
+≥+≥+≥Q
222()2()a b c a b c a b c b c a ∴+++++≥++，即222
1.a b c a b c b c a ++≥++= 222
1.a b c b c a
∴++≥………10分
5.（2012全国新课标卷）
解：（I ）不等式()3f x ≥的解集为(,1][4,)-∞+∞U （II ）()4f x x ≤-Q
24x a x x ∴++-≤-，即42x x x a ---≥+
当[]1,2x ∈时，由42x x x a ---≥+，得42x x x a -+-≥+，即2x a +≤ 解得22a x a --≤≤-
又因为()4f x x ≤-的解集包含[]1,2 所以，21a --≤且22a -≥，即30.a -≤≤ 所以，a 的取值范围是[3,0].- 6.（2011全国新课标卷）
解：（Ⅰ）当1a =时，()32f x x ≥+可化为12x -≥，由此可得 13x x ≤-≥或 故不等式()32f x x ≥+的解集为{|13}x x x ≤-≥或.
(Ⅱ) 由()0f x ≤ 得30x a x -+≤此不等式化为不等式组
30x a a x x ≤⎧⎨-+≤⎩或30x a x a x >⎧⎨
-+≤⎩即2x a a x ≤⎧⎪⎨≤-
⎪⎩或4
x a
a x >⎧⎪
⎨≤⎪⎩ 又因为0a >，所以不等式30x a x -+≤的解集为|2a x x ⎧
⎫≤-⎨⎬⎩
⎭
由题意知12
a -=-，解得 2.a = 7.（2015第一次省统测）
（I ）解：3|21||2||1|=-++≤--+x x x x Θ
对任意实数x ，不等式a x x ≤--+|2||1|都成立. 对任意实数x ，不等式|2||1|x x a -++≤都成立.
（II ）证明：由（I ）知.3=a 又,0>>n m Θ
8.设函数.142)(+-=x x f
（I ）画出函数)(x f y =的图象； （II ）若不等式ax x f ≤)(的解集非空，求a 的取值范围.
（Ⅰ）由于25,()23,2x x f x x x -+<2
⎧=⎨
-≥⎩
则函数()y f x =的图像如图所示:
（Ⅱ）由函数()y f x =与函数y ax =的图像可知，当且仅当1
2
a ≥或2a <-时，函数()y f x =与函数y ax =的图像有交点，故不等式()f x ax ≤的解集非空时，a 的取值范围为()1
,2[,)2
-∞-+∞U .。