向量法求线面角算法报告展示-Scilab
向量法求异面直线的夹角、线面角和二面角的平面角及距离
B1
P
由已知可知P(0,4,z)
A =( 4, 4, z ) － , AP BD =(－4,－4, 0 ), x
D B
y
C
AP · BD =16－16 =0 AP ⊥ BD
AP ⊥ BD
②C1P=2,求二面角A—B1P—B的正切值。 解：P(0, 4,3) B1(4,4,5)
2、求直线和平面所成的角
g1
A
设直线BA与平面β的夹角为θ，
n
θ
β
B C
n 为平面β的法向量,
当 n 与向量 BA 的夹角为锐角g
1
θ= g1 2
当 n 与向量 BA 的夹角为钝角g
2
A
g2
n
θ
β B
θ= g 2 2
C
3.法向量的夹角与二面角的平面角的关系
n1
a
l
g n 2
b
g
q
z
D1
C1
K
G
B1
y D E A B C
DA , DC , DD1 为单位正
交基底建立直角坐标系。
x
①∵A1(1,0,1) C(0,1,0)
D(0,0,0)
1 K 0,0, 2
A1
z
D1
C1
∴ DA1 =(1,0,1)
1 CK 0,1, 2
K
G
B1
cos DA1 , CK
z
D1 C1 B1 P y
AP =(－4, 4,3) AP =0 n·
PB1 =(4, 0,2)
A1
令平面APB1的法向量为 n =(x, y, z)
立体几何中的向量方法——线面所成角PPT课件
四边形，侧面SBC 底面ABCD。已知 ABACB=24，50
BC= ，SA2=S2B= .
3
(1)求证 SA BC.
(2)求直线SD与平面SAB所成角的正弦值。 z
S
C
O By
D
A
x
10
【典例剖析】
例3 如图,在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为矩形，侧
棱PA⊥底面ABCD，PA=AB=1,AD= ，3在线段BC上
面ABCD是正方形，侧棱PD 底面ABCD，PD=DC，E
是PC的中点。
(1)证明：PA//平面EDB；
(2)求EB与底面ABCD所成的角的正切值。
z P
E C
y B
G
D
A
x
13
【巩固练习】
1 三棱锥P-ABC PA⊥ABC,PA=AB=AC,
BAC 900 ,E为PC中点 ,则PA与BE所成角的 余弦值为_________6. 2 直三棱柱ABC-A16 B1C1中, A1A=2, BAC 900 AB=AC=1, 则AC1与截面BB1CC1所成
A1N 5, 求AD与平面ANM 所成的角的正弦值.
解：如图建立坐标系A-xyz,则
A(0, 0, 0), M (6,2,6)
z
AA11
BB11 M
DD11
N C11
由A1N 5,可得 N (0,4,3)
A
Dy
AM (6,2,6), AN (0,4,3).
设AA平NM面••nn的0法0 向即量n64xy(x2,3zyy,z60),z由 0
uuur
uuur
AP (0, 0,1), DP ( 3,r0,1), DE (m 3,1, 0)
线面所成角的求法
★线面所成角的求法：]2,0[⒈作图——证实——盘算求角的症结在于找出平面的垂线及斜线的射影.一般地经由过程斜线上某个特别点作出平面的垂线来找角.角的盘算一般是把已知前提归结到统一个或归结到几个有关的三角形中,从而把空间的盘算改变成平面图形内的解直角三角形或斜三角形的问题.3.向量法：如图,设l为平面α的斜线,l∩α＝A,a为l的偏向向量,n为平面α的法向量,φ为l与α所成的角,则sinφ＝|cos〈a,n〉|＝|a·n||a||n|.1．在正方体ABCD－A1B1C1D1中对角线B1D与平面A1BC1所成的角大小为 ()2．如图,在棱长均为1的三棱锥S－ABC中,E为棱SA的中点,F为△ABC的中间,则直线EF与平面ABC所成角的正切值是()3．已知正三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱长与底面边长相等,则AB1与正面ACC1A1所成角的正弦值等于( )A.64B.104C.22D.324．如图,在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中,AB ＝BC ＝2,A 1D 与BC 1所成的角为π2,则BC 1与平面BB 1D 1D 所成角的正弦值为( )A.63B.12C.155D.325.．正四棱锥S ABCD 中,O 为极点在底面上的射影,P 为侧棱SD 的中点,且SO ＝OD ,则直线BC 与平面PAC 所成的角是________．6.如图,已知点P 在正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′的对角线BD ′上,∠PDA ＝60°.(1)求DP 与CC ′所成角的大小;(2)求DP 与平面AA ′D ′D 所成角的大小．7．已知三棱锥P －ABC 中,PA ⊥平面ABC ,AB ⊥AC ,PA ＝AC ＝12AB ,N 为AB 上一点,AB ＝4AN ,M ,S 分离为PB .BC 的中点．(1)证实：CM ⊥SN ;(2)求SN 与平面CMN 所成角的大小．8．如图,在五棱锥P ABCDE 中,PA ⊥平面ABCDE ,AB ∥CD ,AC ∥ED ,AE ∥BC ,∠ABC ＝45°,AB ＝22,BC ＝2AE ＝4,三角形PAB 是等腰三角形．(1)求证：平面PCD ⊥平面PAC ;(2)求直线PB 与平面PCD 所成角的大小; (3)求四棱锥P ACDE 的体积．9.如图所示,在正方体ABCD—A1B1C1D1中,E是棱DD1的中点．(1)求直线BE和平面ABB1A1所成的角的正弦值;(2)在棱C1D1上是否消失一点F,使B1F∥平面A1BE？证实你的结论．10.如图,四棱锥PABCD中,底面ABCD为矩形,PD⊥底面ABCD,AD＝PD,E,F分离为CD,PB的中点．(1)求证：EF⊥平面PAB;(2)设AB＝2BC,求AC与平面AEF所成角的正弦值．11．如图,四棱锥PABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥底面ABCD,PA＝AB＝1,AD＝3,点F是PB的中点,点E在边BC上移动．(1)点E为BC的中点时,试断定EF与平面PAC的地位关系. 并解释来由;(2)证实：无论点E在BC边的何处,都有PE⊥AF;(3)当BE等于何值时,PA与平面PDE所成角的大小为45°？。
立体几何中的向量方法——线面所成角PPT课件
L
rr
uv
若二面角 l 的大小为 (0 ,) 则 cos r r .
u v4
3. 线面角
设n为平面 的法向量，直线AB与平面所成的角为1，向量AB与n所成的角为
，
2
则
1
2
2
1
2
2
(0
1
2
,0
2
)
而利用 cos2 AB n
AB n
可求 2 ，
n
B
2 1
从而再求出 1
A
n
5
3. 线面角
x
B
| sin
|
C
| ADn | | AD | | n
|
8
例1： 在长方体 ABCD A1B1C1D1中， AB 6, AD 8,
AA1 6, M为B1C1上的一点,且B1M 2, 点N在线段A1D上，
A1N 5, 求AD与平面ANM 所成的角的正弦值.
z
得n (1,1, 4) 又 AD (0,8, 0),
A1N 5, 求AD与平面ANM 所成的角的正弦值.
解：如图建立坐标系A-xyz,则
A(0, 0, 0), M (6,2,6)
z
AA11
BB11 M
DD11
N C11
由A1N 5,可得 N (0,4,3)
A
Dy
AM (6,2,6), AN (0,4,3).
设AA平NM面••nn的0法0 向即量n64xy(x2,3zyy,z60),z由 0
|
sin
|
| |
3
AD AD
• ||
n| n|
AA11 BB11 M
A
| 0 1• 8 0 | 3 34 , 8 • 12 12 ( 4)2 34
向量法求线面角2
求 角
答 角
3、注意事项：
1.如何写好坐标 2.计算仔细
五.课后作业
如图,在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为矩形，
侧棱PA⊥底面ABCD，PA=AB=1,AD= 3，E是线
段BP上近P的三等分点,求PA与平面PDE所成角的得 正弦值。
P E
A B
D
C
变式1：如图,在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为
矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，PA=AB=1,AD= 3，
在线段BC上是否存在一点E,使PA与平面PDE所成 角的大小为450? 若存在，确定点E的位置；若不存
在说明理由。 P
A D
B E
C
空间“角度”问题
一.复习回顾
1、向量法求线面角的公式：2、Leabharlann 量法求线面角的步骤：建 系
写 坐 标
求 向 量
求 角
答 角
2. 线面角
r
r
设直线l的方向向量为a ， 平面 的法向量为u ，且
直s线inl与平a面rr urr所成0≤的 角≤为2
( 0≤ ≤
2
),则
a
u
u a
l a
u
二.作业反馈
1.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面为直角梯
形，AD∥BC，∠BAD=90°PA⊥底面ABCD，
PA=AD=AB=2BC，M、N分别为PC.PB的上中近点P点。的 求BD与平面ADMN所成角的正弦值．三等分点
四.课后小结
1、向量法求线面角的公式：
2、向量法求线面角的步骤：
建 系
写 坐 标
求 向 量
线面角的求法
线面角的范围
线面角的范围是[0,π/2]。 当线面角为0时，直线与平面重合；当线面角为π/2时，直线与平面垂直。
02
线
首先确定直线和平面的向量，通常用向量 表示为$\mathbf{a},\mathbf{b}$。
VS
夹角公式
通过向量数量积和向量模长的计算，得到 线面角的正弦值，即$\sin\theta = |\frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{a}||\mathbf{b}|}| $。
利用坐标系求线面角
1 2
建立坐标系
建立适当的坐标系，确定直线和平面的方程。
找到交线
通过求解直线和平面方程的交点，得到交线向 量。
夹角公式
3
利用向量夹角公式，求出线面角的正弦值。
利用几何定理求线面角
利用定理
利用线面角和线线角的关系，通过已知条件找到线面角的正弦值。
具体定理
例如三角形内角和定理、平行四边形定理等。
判断线面平行关系
判断直线与平面是否平行
若直线与平面内某一直线平行，则直线与平面平行；若直线 与平面内两条相交直线都平行，则直线与平面平行。
判断平面与平面是否平行
若一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的两条相交直 线对应平行，则两个平面平行。
求直线和平面的距离
求点A到平面ABCD的距离
过点A作平面ABCD的垂线，垂足为O，连接OA，则OA为点A到平面ABCD 的距离。
03
线面角的应用
确定点在线面上的位置
确定点P在线面ABCD上的射影
在线面角为锐线面角时，点P为直线AB与CD交点；在线面角为钝线面角时，点P 为直线AB与CD延长线交点。
4向量法求线面角
A o x
G
B
y
（３）夹角公式:
a b cos a b | a ||b | a1b1 a2b2 a3b3 a12 a2 2 a32 b12 b2 2 b32
用于异面直线成角,线面角, 二面角的求解.
（4）法向量概念:
a
m n c
b
1 1 1
1
F
9 3 25
A
D
yБайду номын сангаас
x
B
C
立几专题四例4
【练习】四棱锥S－ABCD中，底面ABCD为平 行四边形，侧面SBC⊥底面ABCD。已知 ∠ABC＝45º,AB＝2,BC=2 2 ,SA＝SB＝ 3 . (Ⅰ)证明：SA⊥BC； z (Ⅱ)求直线SD与平面 S SAB所成角的大小；
作ＳＯ⊥ＢＣ， 连ＯＡ， ∵SA＝SB， ∴ＯＡ＝ＯＢD
北京市立新学校
复习:
(1)若a ( x1, y1, z1 ), b ( x2 , y2 , z2 ) 则
a b x1x2 y1 y2 z1z2 0
(２)若 A( x1 , y1 , z1 ), B( x2 , y2 , z2 )
则 AB ( x2 x1, y2 y1, z2 z1 )
为斜线PF与面M
【例1】在正方体 AC
'
中,求直线DB1与底面
C1
ABCD所成角.
z
D1 A1 B1
D C A
y
x
B
【例2】如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中， 棱AD=DC=3，DD1=4,过点D作D1C的垂线交 C1C于点E，交D1C于点F. z A （Ⅰ）求证：A1C⊥BE； D （Ⅱ）求二面角E-BD-C B C 的大小； （Ⅲ）求BE与平面A1D1C E 所成角的正弦值.
利用向量知识求线线角,线面角,二面角的大小
直线和平面所成的角、二面角都是教学大纲和高考考纲要求掌握的，是立体几何的重点内容，也是高考的必考内容.要熟练掌握它们，需要从以下四个方面入手。
一、1个公式公式12cos cos cos q q q =中涉及三个角，q 是指平面的斜线l 与平面内过斜足且不同于射影的直线m 所在所成的角，1q 是指l 与其射影'l 所成的角，2q 是指'l 与m 所成的角.其中210cos 1,.q q q <<<由此可得最小角定理.二、2个定义1.线面角：一个平面的斜线和它在这个平面内的射影所成的角，叫做斜线和这个平面所成的角（斜线和平面的夹角）.如果直线和平面垂直，那么就说直线和平面所成的角是直角；如果直线和平面平行或直线在平面内，那么说直线和平面所成的角是零度的角.直线和平面所成的角的取值范围为[0,90]鞍，斜线和平面所成角的取值范围为(0,90)鞍.2.二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，其中直线、半平面分别叫做二面角的棱和面.一个平面垂直于二面角l a b --的棱l ，且与两个半平面的交线分别是射线OA OB 、，O 为垂足，则AOB Ð叫做二面角l a b --的平面角.它决定着二面角的大小.其中平面角是直角的二面角叫做直二面有，相交成直二面角的两个平面叫做互相垂直的平面.二面角的取值范围为[0,180]鞍.三、3个定理1.最小角定理：平面的斜线和它在平面内的射影所成的角，是这条斜线和这个平面内任一条直线所成的角中最小的角.2.平面与平面垂直的判定定理：如果一个平面过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.3.平面与平面垂直的性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直它们交线的直线垂直于另一个平面.四、4类求法1.几何法求直线和平面的夹角：根据直线和平面所成角的定义，先找出或作出直线在平面内的射影，然后把直线、射影对应的线段放在三角形中进行求解，其中能够寻找到垂直关系用直角三角形求解更佳.2.向量法求直线和平面的夹角：主要适用于图形比较规则，容易建立空间直角坐标系或容易选择空间向量的基底(要求作为基底的三个向量的模及夹角已知)的题目.(1)平面向量法：在斜线上取向量a 和其射影上取向量'a (注意方向，夹角为锐角)，则|'|c o s ,'|||'|a a a a a a ×<>=×，这里a 、'a 形式上在同一个平面内；(2)法向量法：在斜线上取向量a ，并求出平面的法向量n ，所求夹角记为q ，则||sin |cos ,|||||a n a n a n q ×=<>=×，所以||arcsin ||||a n a n q ×=×.需要注意的是，当法向量与坐标平面平行或垂直时，可以直接给出法向量，当法向量与坐标平面不平行也不垂直时，由于法向量不唯一，不妨设横坐标、纵坐标、竖坐标中的某一个坐标为1，而且尽量让1以外的坐标在点乘中与0相乘，这样计算量较小.3.几何法求二面角的大小：(1)定义法(垂面法)：过二面角内的一点作棱的垂面，垂面与二个半平面的交线形成所求平面角. (2)等价定义法：在二面角的棱上取一点(中点等特殊点) ，分别在两个半平面内作棱的垂线，得出平面角.(3)三垂线法：先作(或找)出二面角的一个面内一点到另一个面的垂线，用三垂线定理或逆定理作出平面角.(4)射影面积法：利用面积射影公式cos S S q =射投其中 为平面角的大小，特点在于不需要画出平面角，也不需要找出棱，尤其适用于没有画出棱的二面角问题.4.向量法求二面角的大小：图形比较规则，又不容易直接作出平面角的具体顶点时，可采用此法.(1)平面向量法:在棱上取一平面角的顶点，利用向量垂直时点乘等于零，求出平面角顶点的坐标，进而转化为向量夹角问题，此时两个向量形式上在同一个平面内.(2)空间向量法：方法基本同(1)，此时两个向量形式上不在同一个平面内，思维量、运算都小一些，试题更具有一般性.(3)法向量法：建立空间直角坐标系后，分别求出两个平面的法向量,，利用公式||||,cos n m ⋅>=<.另外：证明两个平面垂直的关键是面面垂直转化为线面垂直；两个平面垂直的性质应用关键是在一个平面内找出两个平面交线的垂线.利用向量知识求线线角，线面角，二面角的大小。
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题目要求
实现输入A(x1,y1,z1), B(x2,y2,z2), C(x3,y3,z3), D(x4,y4,z4),E(x5,y5,z5)五个点坐标值， 输出直线ED与平面ABC所成角，
或位置关系：“A、B、C三点共线”或“直线ED在 平面ABC内”或“直线ED//平面ABC”
最后祝您身体健康，再见。
设平面的法向量n=（A,B,C）则,根据法向量定义的： (x2-x1)*A+(y2-y1)*B+(z2-z1)*C=0且(x3-x1)*A+(y3-y1)*B+(z3z1)*C=0且(x3-x2)*A+(y3-y2)*B+(z3-z2)*C=0 解得 A=(y3 - y1)*(z3 - z1)-(z2 - z1)*(y3 - y1); B=(x3 - x1)*(z2 - z1)-(x2 - z1)*(z3 - z1); C=(x2 - x1)*(y3 - y1)-(x3 - x1)*(y2 - y1);
程序
判断A, B, C三点共线
算理
2.直线方向向量 D、E两点可以形成一个方向向量 设x=(a,b,c) 则a = x4 - x5;b = y1 - y2;c = z1 - z2;
3.判断三点共线 即证明AB、AC共线 即 若(x2-x1)*(y3-y1)=(y2-y1)*(x3-x1)且(y2-y1)*(z3-z1)=(z2z1)*(y3-y1) 三点共线
程序
线在面内 线面平行
判断线面 平行或线 在面内
算理
4.判断线面平行 即证明平面法向量与直线方向向量垂直 A*a+B*b+C*c=0时，线面平行或线在面内
5.判断线在面内 1中求得的A,B,C即为平面方程Ax+By+Cz+D=0 中的A,B,C 将一点坐标带入方程，可求得D D=-(A*x1+B*y1+C*z1) 当点D、E均满足平面方程时，线在面内 即 A*x4+B*y4+C*z4+D=0且A*x5+B*y5+C*z5+D=0时，直线DE 在平面ABC内
输入 判断A, B, C三点共线
否 是
程序结构
线在面内
是
判断线面 平行或线 在面内
否
结束
线面平行
计算 线面角
程序预览
程序预览
程序
输入
算理
1.平面法向量 这三个点可以形成3个向量,向量AB,向量AC和向量BC 则AB（x2-x1,y2-y1,z2-z1）,AC(x3-x1,y3-y1,z3-z1),BC(x3x2,y3-y2,z3-z2)
输入
A(x1,y1,z1), B(x2,y2,z2), C(x3,y3,z3), D(x4,y4,z4),E(x5,y5,z5)五个点坐标值
分析
无 法 判 断
位 置 关 系
所 成 角
输出
“直线ED//平面ABC” A, B, C 三点共线 或 “直线ED在平面ABC内”
直线ED与平面ABC 所成角
已知A(x1,y1,z1), B(x2,y2,z2), C(x3,y3,z3), D(x4,y4,z4)四点坐标，求两直线所成角，或输出两 直线关系：“直线AB、CD平行”或“直线AB、C向量夹角余弦值的绝对值 即为两直线所夹角 直线平行&重合：方向向量可以表示为a=λ b（b≠0） 的形式
算理
6.直线与平面所成角 设所求角为α |n|=A2 + B2 + C2
2 2 2 a + b + c |x|=
nx ∴cos<n,x>= nx
∴sinα =|cos<n,x>|
程序
计算 线面角
运行结果
——三点共线
运行结果
——线在面内
运行结果
——线面平行
运行结果
——90°情况
问题延伸