高中数学 第一章 导数及其应用 1.5.1-1.5.2 曲边梯形的面积、定积分课件 苏教版选修2-2
答案
知识点二
定积分的概念
设函数f(x) 在区间 [a ， b]上有定义，将区间 [a ， b]等分成 n 个小区间，每个 b －a 小区间长度为Δx(Δx＝ )，在每个小区间上取一点，依次为x1，x2，…， n xi ， … ， xn ，作和 Sn ＝ f(x1)Δx ＋ f(x2)Δx ＋ … ＋ f(xi)Δx ＋ … ＋ f(xn)Δx ，如果当 Δx→0(亦即n→＋∞)时，Sn→S(常数)，那么称常数S为函数f(x)在区间[a，b] 上的定积分，记作S＝ʃb af(x)dx .其中a与b分别叫做 积分下限 与 积分上限 ，
答案
思考
(1)如何计算下列两图形的面积？
答案
①直接利用梯形面积公式求解.
②转化为三角形和梯形求解.
答案
(2)求曲边梯形面积时，对曲边梯形进行“以直代曲”，怎样才能尽量 减小求得的曲边梯形面积的误差？ 答案 为了减小近似代替的误差，需要先分割再分别对每个小曲边 梯形 “ 以直代曲 ” ，而且分割的曲边梯形数目越多，得到的面积的 误差越小.
利用定积分的几何意义计算.
解 如图①所示，定积分为图中阴影部分面积A减去B.
1 1 1 1 ∵SA＝SB＝2，∴ʃ－1xdx＝2－2＝0.
2 2 (2)ʃR R － x dx. －R
解 如图②所示，定积分为图中阴影部分面积，
π 2 而阴影部分面积为2R ， π 2 R 2 2 ∴ʃ－R R －x dx＝2R .
自主学习 重点突破 自查自纠
知识梳理
自主学习
知识点一
曲边梯形的面积和汽车行驶的路程
1.曲边梯形的面积 (1)曲边梯形：由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线 y＝f(x) 所围成的图形 称为曲边梯形(如图面积的方法
把区间[a，b]分成许多小区间，进而把曲边梯形拆分为一些 小曲边梯形 ，
第 1章 1.5
定积分
1.5.1 1.5.2
曲边梯形的面积 定积分
学习 目标
1.了解定积分的概念.
2.理解定积分的几何意义.
3.通过求曲边梯形面积的过程和解决有关汽车行驶路程问题的过程，
了解“以直代曲”“以不变代变”的思想.4.能用定积分的定义求简
单的定积分.
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知识梳理 题型探究 当堂检测
另外， 定积分ʃb b]息息相关， 不同的积分区间， af(x)dx 的值与积分区间[a，
2 3 2 定积分的积分限不同，所得的值也不同，例如ʃ1 ( x ＋ 1)d x 与 ʃ 0 0(x ＋1)dx
的值就不同.
答案
(2)用定义求定积分ʃb af(x)dx 的一般步骤是什么？
答案 ①分割：将区间[a，b]n等分，记第i个小区间为[xi－1，xi]，区间
b ʃc f ( x )d x ＋ ʃ a c f(x)dx (其中 a<c<b).
答案
思考
设v＝v(t)在时间区间[t1，t2]上连续且恒有v(t)≥0，定积分 v(t )dt
t1 t2
t2
的意义是什么？
答案 定积分 v(t )dt 表示做变速直线运动的物体在时间区间[t1，t2]内
t1
经过的路程，这就是定积分 v(t )dt 的物理意义.
t1
t2
答案
返回
题型探究
重点突破
题型一 例1
对定积分的理解
用定积分的定义求曲线y＝x3＋1与x＝0，x＝1及y＝0所围成的曲边
梯形的面积.
解析答案
跟踪训练1 的面积.
求由直线x＝0，x＝1，y＝0和曲线y＝x(x－1)围成的图形
解析答案
题型二 求汽车行驶的路程 例2 汽车以速度v做匀速直线运动时，经过时间t所行驶的路程为s＝vt.如 果汽车做变速直线运动，在时刻t的速度为v(t)＝t2＋2(v的单位：km/h，t的 单位：h)，那么它在1≤t≤2这段时间内行驶的路程s(单位：km)是多少？
2.定积分ʃb af(x)dx
b－a 是一个和式 n f(ξi)的极限，是一个常数. i ＝1
n
3.可以利用“分割、以直代曲、作和、逼近”求定积分；对于一些特殊
函数，也可以利用几何意义求定积分.
4.定积分的几何性质可以帮助简化定积分运算.
返回
.
防范措施
解析答案
返回
当堂检测
1
2
3
4
2 1.把区间[1,3]n等分，所得n个小区间的长度均为 n .
2 解析 区间[1,3]的长度为 2，故 n 等分后，每个小区间的长度均为n.
解析答案
1
2
3
4
① . 2.关于定积分ʃb af(x)dx 的说法中，正确的有
①与f(x)和积分区间[a，b]有关，与ξi的取法无关； ②与f(x)有关，与区间[a，b]以及ξi的取法无关； ③与f(x)以及ξi的取法有关，与区间[a，b]无关； ④与f(x)、积分区间[a，b]和ξi的取法都有关.
反思与感悟
解析答案
跟踪训练2
一物体自200 m高空自由落下，求它在开始下落后的第 3秒
至第6秒之间的距离.(g＝9.8 m/s2).
解析答案
题型三
由定积分的几何意义求定积分
例3 利用定积分的几何意义，求：
2 (1)ʃ3 9 － x dx； －3
解
在平面上 y＝ 9－x2表示的几何图形为以原点为圆心，
解析答案
易错易混
因对定积分的几何意义理解不准确致误
例4 如图所示，f(x)在区间[a，b]上，则阴影部分的
面积S为
①ʃb af(x)dx；
b ②ʃc f ( x )d x － ʃ a c f(x)dx； b ③－ʃc f ( x )d x － ʃ a c f(x)dx； b ④－ʃc f ( x )d x ＋ ʃ a c f(x)dx.
36 49 64 81 1 1 255 于是所求平面图形的面积近似等于101＋25＋25＋25＋25＝10× 25 ＝1.02.
解析答案
1
2
3
4
4.根据定积分的几何意义，用不等号连接下列式子：
①ʃ1 0xdx >
2 ②ʃ0 2 2 ʃ1 x dx ； 0
4 －x d x
<
2 ʃ02dx.
答案
1
2
3
4
1 2 3.求由曲线y＝ x 与直线x＝1，x＝2，y＝0所围成的平面图形面积时， 2 把区间5等分，则面积的近似值(取每个小区间的左端点)是 1.02 .
解析 将区间 5
6 7 8 9 6 7 8 9 等分所得的小区间为1，5，5，5，5，5，5，5，5，2，
1 其面积为 S＝2(1＋7)×3＝12.
根据定积分的几何意义知ʃ3 0(2x＋1)dx＝12.
反思与感悟
利用定积分的几何意义求定积分，关键是准确确定被积函数
的图象，以及积分区间，正确利用相关的几何知识求面积，求不规则图形 的面积常用分割法，注意分割点的选取.
反思与感悟 解析答案
跟踪训练3
(1)ʃ1 －1xdx；
即
b ʃaf(x)dx＝SA－SB
(SA，SB表示所在区域的面积).
2.定积分的性质 (1)ʃb akf(x)dx＝
kʃb af(x)dx (k 为常数)；
b b b ʃ f ( x )d x ± ʃ af2(x)dx ； (2)ʃa[ f1(x)± f2(x)]dx＝ a 1
(3)ʃb af(x)dx＝
答案
课堂小结
1.求曲边梯形面积和汽车行驶的路程的步骤：
(1)分割：n等分区间[a，b]；
(2)以直代曲：取点ξi∈[xi－1，xi]；
b－a (3)作和： f(ξi)· n ；
n i＝1
(4)逼近.“以直代曲”也可以用较大的矩形来代替曲边梯形，为了计算 方便，可以取区间上的一些特殊点，如区间的端点(或中点).
以3为半径的上半圆，如图(1)所示.
1 2 9 其面积为 S＝2πr ＝2π.
由定积分的几何意义知ʃ－3
3
9 9－x dx＝2π.
2
解析答案
(2)ʃ3 0(2x＋1)dx.
解 在坐标平面上，f(x)＝2x＋1为一条直线.
ʃ3 x＝0，x＝3 围成的直角梯形 OABC 的 0(2x＋1)dx 表示直线 f(x)＝2x＋1， 面积，如图(2)所示.
长度Δx＝xi－xi－1；
②以直代曲、作和：取点
n b ξi∈[xi－1，xi]，ʃaf(x)dx≈ f(ξi)Δx； i＝1
③逼近.
答案
知识点三
定积分的几何意义与性质
1.定积分的几何意义
由直线x＝a，x＝b(a<b)，x轴及一条曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积
设为S，则有：
(1)在区间[a，b]上，若f(x)≥0，
区间[a，b]叫做 积分区间 ，函数f(x)叫做 被积函数，x叫做 积分变量，f(x)dx
叫做 被积式 .
答案
思考 答案
(1)如何理解定积分？ 定积分是一个数值(极限值)，它的值仅仅取决于被积函数与积分
的上、下限，而与积分变量用什么字母表示无关，
b b 即ʃb f ( x )d x ＝ ʃ f ( u )d u ＝ ʃ a a af(t)dt＝…(称为积分形式的不变性)，
对每个小曲边梯形 “以直代曲”， 即用矩形的面积近似
代替 小曲边梯形 的面积，得到每个小曲边梯形面积的
近似值，对这些近似值 求和 ，就得到曲边梯形面积的
近似值 (如图②所示).
(3)求曲边梯形面积的步骤：① 分割，② 以直代曲，③ 作和 ，④ 逼近 .
2.求变速直线运动的(位移)路程
高中数学第一章导数及其应用1.5.1曲边梯形的面积1.5.2汽车行驶的路程
1．将区间[a，b]等分成 n 份，则每个小区间的长度为( )
A.n1
B.na
C.nb
b－a D. n
解析：选 D.因为原区间长度为 b－a，将其等分成 n 份后，每一 个小区间的长度均为b－n a.
第二十四页，共三十一页。
n
2.
i＝1
ni ＝________．
n
解析：
第十二页，共三十一页。
(2)近似代替 在区间i－n 1，ni 上，用i－n 1处的函数值12i－n 12作为高，以小区 间的长度Δx＝n1作为底边长的小矩形的面积近似代替第 i 个小 曲边梯形的面积， 即ΔSi≈12i－n 12·n1.
第十三页，共三十一页。
(3)求和 曲边梯形的面积为
n
Sn＝
n
(4)求极限：S＝ lim n→∞i＝1
n32(i－1)＝nl→im∞32·n－n 1＝32.
第十八页，共三十一页。
探究点 2 变速直线运动路程的求法 一辆汽车在笔直的公路上变速行驶，设汽车在时刻 t 的
速度为 v(t)＝－t2＋5(t 的单位：h，v 的单位：km/h)，试计算这 辆汽车在 0≤t≤2 这段时间内汽车行驶的路程 s(单位：km)． 【解】 (1)分割：在时间区间[0，2]上等间隔地插入(n－1)个分 点，将区间分成 n 个小区间，记第 i 个小区间为2（i－n 1），2ni (i＝1，2，…，n)，
i＝1
n
ΔSபைடு நூலகம்≈
i＝1
12i－n 12·n1.
＝0·n1＋12·n12·n1＋12·n22·n1＋…＋12·n－n 12·n1＝21n3[12 ＋22＋…＋(n－1)2]＝161－n11－21n. (4)取极限 曲边梯形的面积为 S＝nl→im∞161－n11－21n＝16.
人教版高中数学第一章导数及其应用1.5定积分的概念1.5.1曲边梯形的面积1.5.2汽车行驶的路程1.5.3定积分的概
1．5 定积分的概念1．5．1 曲边梯形的面积 1．5．2 汽车行驶的路程 1．5．3 定积分的概念学习目标：、1.了解定积分的概念(难点).2.理解定积分的几何意义．(重点、易错点).3.通过求曲边梯形面积的过程和解决有关汽车行驶路程问题的过程，了解“以直代曲”“以不变代变”的思想(难点).4.能用定积分的定义求简单的定积分(重点)．[自 主 预 习·探 新 知]1．曲边梯形的面积和汽车行驶的路程 (1)曲边梯形的面积①曲线梯形：由直线x ＝a ，x ＝b (a ≠b )，y ＝0和曲线y ＝f (x )所围成的图形称为曲边梯形(如图151①所示)．②求曲边梯形面积的方法把区间[a ，b ]分成许多小区间，进而把曲边梯形拆分为一些小曲边梯形，对每个小曲边梯形“以直代曲”，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值，对这些近似值求和，就得到曲边梯形面积的近似值(如图151②所示)．图① 图②图151③求曲边梯形面积的步骤：分割，近似代替，求和，取极限． (2)求变速直线运动的(位移)路程如果物体做变速直线运动，速度函数v ＝v (t )，那么也可以采用分割，近似代替，求和，取极限的方法，求出它在a ≤t ≤b 内所作的位移s .2．定积分的概念如果函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，用分点a ＝x 0＜x 1＜…＜x i －1＜x i ＜…＜x n ＝b 将区间[a ，b ]等分成n 个小区间，在每个小区间[x i －1，x i ]上任取一点ξi (i ＝1,2，…，n )作和式∑n i ＝1f (ξi )Δx ＝∑n i ＝1 b －a nf (ξi )，当n →∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f (x )在区间[a ，b ]上的定积分，记作⎠⎛a b f (x )d x ，即⎠⎛a b f (x )d x ＝lim n→∞∑n i ＝1 b －anξ.其中a 与b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ，b ]叫做积分区间，函数f (x )叫做被积函数，x 叫做积分变量，f (x )d x 叫做被积式．思考：⎠⎛a b f (x )d x 是一个常数还是一个变量？⎠⎛a b f (x )d x 与积分变量有关系吗？[提示]由定义可得定积分⎠⎛a b f (x )d x 是一个常数，它的值仅取决于被积函数与积分上、下限，而与积分变量没有关系，即⎠⎛a b f (x )d x ＝⎠⎛a b f (t )d t ＝⎠⎛ab f (u )d u .3．定积分的几何意义与性质 (1)定积分的几何意义由直线x ＝a ，x ＝b (a ＜b )，x 轴及一条曲线y ＝f (x )所围成的曲边梯形的面积设为S ，则有：① ② ③图152①在区间[a ，b ]上，若f (x )≥0，则S ＝⎠⎛a b f (x )d x ，如图152①所示，即⎠⎛a b f (x )d x＝S .②在区间[a ，b ]上，若f (x )≤0，则S ＝－⎠⎛a b f (x )d x ，如图152②所示，即⎠⎛a b f (x )d x ＝－S .③若在区间[a ，c ]上，f (x )≥0，在区间[c ，b ]上，f (x )≤0，则S ＝⎠⎛a c f (x )d x －⎠⎛cbf (x )d x ，如图152③所示，即⎠⎛ab＝SA －SB(S A ，S B 表示所在区域的面积)．(2)定积分的性质①⎠⎛a b kf (x )d x ＝k ⎠⎛ab f (x )d x (k 为常数)； ②⎠⎛a b [f 1(x )±f 2(x )]d x ＝⎠⎛a b f 1(x )d x ±⎠⎛ab f 2(x )d x ；③⎠⎛a b f (x )d x ＝⎠⎛a c f (x )d x ＋⎠⎛cb f (x )d x (其中a ＜c ＜b )． [基础自测]1．思考辨析(1)⎠⎛a b f (x )d x ＝⎠⎛ab f (t )d t .( ) (2)⎠⎛a b f (x )d x 的值一定是一个正数．( ) (3)⎠⎛012xd x <⎠⎛022xd x ( ) [答案] (1)√ (2)× (3)√2．在“近似代替”中，函数f (x )在区间[x i ，x i ＋1]上的近似值( ) A ．只能是左端点的函数值f (x i ) B ．只能是右端点的函数值f (x i ＋1)C ．可以是该区间内任一点的函数值f (ξi )(ξi ∈[x i ，x i ＋1])D ．以上答案均正确C [作近似计算时，Δx ＝x i ＋1－x i 很小，误差可忽略，所以f (x )可以是[x i ，x i ＋1]上任一值f (ξi )．]3．图153中阴影部分的面积用定积分表示为( )图153A.⎠⎛012xd x B.⎠⎛01(2x －1)d x C.⎠⎛01(2x ＋1)d x D.⎠⎛01(1－2x )d x B [根据定积分的几何意义，阴影部分的面积为⎠⎛012xd x －⎠⎛011d x ＝⎠⎛01(2x－1)d x .]4．已知⎠⎛01x 2d x ＝13，⎠⎛12x 2d x ＝73，⎠⎛021d x ＝2，则⎠⎛02(x 2＋1)d x ＝________.【导学号：31062080】[解析] ∵⎠⎛01x 2d x ＝13，⎠⎛12x 2d x ＝73，⎠⎛021d x ＝2，∴⎠⎛02(x 2＋1)d x ＝⎠⎛01x 2d x ＋⎠⎛12x 2d x ＋⎠⎛021d x＝13＋73＋2 ＝83＋2＝143. [答案]143[合 作 探 究·攻 重 难]图154[解] (1)分割将曲边梯形分割成n 个小曲边梯形，用分点1n ，2n ，…，n －1n 把区间[0,1]等分成n 个小区间：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，1n ，⎣⎢⎡⎦⎥⎤1n ，2n ，…，⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i n ，…，⎣⎢⎡⎦⎥⎤n －1n ，n n ，简写作⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n，i n (i ＝1,2，…，n )．每个小区间的长度为Δx ＝i n －i －1n ＝1n .过各分点作x 轴的垂线，把曲边梯形分成n个小曲边梯形，它们的面积分别记作：ΔS 1，ΔS 2，…，ΔS i ，…，ΔS n .(2)近似代替用小矩形面积近似代替小曲边梯形面积，在小区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i n 上任取一点ξi(i ＝1,2，…，n )，为了计算方便，取ξi 为小区间的左端点，用f (ξi )的相反数－f (ξi )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫i －1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫i －1n －1为其一边长，以小区间长度Δx ＝1n 为另一边长的小矩形对应的面积近似代替第i 个小曲边梯形面积，可以近似地表示为ΔS i ≈－f (ξi )Δx ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫i －1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫i －1n －1·1n (i ＝1,2，…，n )．(3)求和因为每一个小矩形的面积都可以作为相应小曲边梯形面积的近似值，所以n 个小矩形面积的和就是曲边梯形面积S 的近似值，即S ＝∑i ＝1nΔS i ≈－∑i ＝1nf(ξi)Δx＝∑i ＝1n⎣⎢⎡⎦⎥⎤－⎝ ⎛⎭⎪⎫i －1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫i －1n －1·1n＝－1n3[02＋12＋22＋…＋(n －1)2]＋1n2[0＋1＋2＋…＋(n －1)]＝－1n3·16n (n －1)(2n －1)＋1n2·－2＝－－n2＋16n2＝－16⎝ ⎛⎭⎪⎫1n2－1. (4)取极限当分割无限变细，即Δx 趋向于0时，n 趋向于∞， 此时－16⎝ ⎛⎭⎪⎫1n2－1趋向于S .从而有 S ＝lim n→∞ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－16⎝ ⎛⎭⎪⎫1n2－1＝16.所以由直线x ＝0，x ＝1，y ＝0和曲线y ＝x (x －1)围成的图形面积为16.[规律方法] 求曲边梯形的面积 (1)思想：以直代曲．(2)步骤：分割→近似代替→求和→取极限． (3)关键：近似代替．(4)结果：分割越细，面积越精确． (5)求和时可用到一些常见的求和公式，如1＋2＋3＋…＋n ＝＋2，12＋22＋32＋…＋n 2＝＋＋6，13＋23＋33＋…＋n 3＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤＋22. [跟踪训练]1．求由抛物线y ＝x 2与直线y ＝4所围成的曲边梯形的面积.【导学号：31062081】[解] ∵y ＝x 2为偶函数，图象关于y 轴对称，∴所求曲边梯形的面积应为抛物线y ＝x 2(x ≥0)与直线x ＝0，y ＝4所围图形面积S阴影的2倍，下面求S 阴影．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝，y ＝4，得交点为(2,4)，如图所示，先求由直线x ＝0，x ＝2，y ＝0和曲线y ＝x 2围成的曲边梯形的面积．(1)分割将区间[0,2]n 等分， 则Δx ＝2n ，取ξi ＝－n.(2)近似代替求和S n ＝∑ni ＝1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－n2·2n ＝8n3[12＋22＋32＋…＋(n －1)2] ＝83⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n .(3)取极限S ＝lim n→∞S n ＝lim n→∞ 83⎝⎛⎭⎪⎫1－1n ⎝⎛⎭⎪⎫1－12n＝83.∴所求平面图形的面积为S 阴影＝2×4－83＝163.∴2S 阴影＝323，即抛物线y ＝x 2与直线y ＝4所围成的图形面积为323.(单位：km/h)，求它在1≤t ≤2这段时间行驶的路程是多少？[解] 将时间区间[1,2]等分成n 个小区间，则第i 个小区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋i －1n ，1＋i n ， 在第i 个时间段的路程近似为Δs i ＝v ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i n Δt ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i n 2＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i n ·1n，i ＝1,2，…，n .所以s n ＝∑n i ＝1Δs i ＝∑n i ＝1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i n 2＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i n ·1n＝－1n3[(n ＋1)2＋(n ＋2)2＋(n ＋3)2＋…＋(2n )2]＋2n2[(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋2n ]＝－1n3⎣⎢⎡⎦⎥⎤＋＋6－＋＋6＋2n2·＋1＋2＝－13⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋1n ＋16⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋1n ＋3＋1n，s ＝lim n→∞s n ＝lim n→∞⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋1n ＋16⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋1n ＋3＋1n ＝23，所以这段时间行驶的路程为23 km.[规律方法]求变速直线运动路程的问题，方法和步骤类似于求曲边梯形的面积，用“以直代曲”“逼近”的思想求解.求解过程为：分割、近似代替、求和、取极限.应特别注意变速直线运动的时间区间.[跟踪训练]2．一物体自200 m 高空自由落下，求它在开始下落后的第3秒至第6秒之间的距离．(g ＝9.8 m/s 2)【导学号：31062082】[解] 自由落体的下落速度为v (t )＝gt . 将[3,6]等分成n 个小区间，每个区间的长度为3n.在第i 个小区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤3＋－n，3＋3i n (i ＝1,2，…，n )上，以左端点函数值作为该区间的速度．所以s n ＝∑n i ＝1v ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3＋－n3n＝∑n i ＝1⎣⎢⎡⎦⎥⎤3g ＋3g n －·3n ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫3ng ＋3gn [1＋2＋…＋－·3n ＝9g ＋9gn2·－2＝9g ＋92g ·⎝⎛⎭⎪⎫1－1n .所以s ＝lim n→∞s n ＝lim n→∞ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤9g ＋92g·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＝9g ＋92g ＝272×9.8＝132.3(m)．故该物体在下落后第3 s 至第6 s 之间的距离是132.3 m.1．在定积分的几何意义中f (x )≥0，如果f (x )＜0，⎠⎛ab f (x )d x 表示什么？提示：如果在区间[a ，b ]上，函数f (x )＜0，那么曲边梯形位于x 轴的下方(如图所示)，由于Δx i ＞0，f (ξi )＜0，故f (ξi )·Δx i ＜0，从而定积分⎠⎛a b f (x )d x ＜0，这时它等于图中所示曲边梯形面积的相反数，即⎠⎛a b f (x )d x ＝－S 或S ＝－⎠⎛a b f (x )d x . 2．⎠⎛024－x2d x 的几何意义是什么？ 提示：是由直线x ＝0，x ＝2，y ＝0和曲线y ＝4－x2所围成的曲边梯形面积，即以原点为圆心，2为半径的14圆的面积即⎠⎛024－x2d x ＝π.3．若f (x )为[－a ，a ]上的偶函数，则f (x )d x 与f (x )d x 存在什么关系？若f (x )为[－a ，a ]上的奇函数，则f (x )d x 等于多少？提示：若f (x )为偶函数，则f (x )d x ＝2f (x )d x ；若f (x )为奇函数，则f (x )d x＝0.说明下列定积分所表示的意义，并根据其意义求出定积分的值． (1)⎠⎛012d x ；(2)⎠⎛12x d x ； (3)1－x2d x .[解] (1)⎠⎛012d x 表示的是图①中阴影部分所示的长方形的面积，由于这个长方形的面积为2，所以⎠⎛012d x ＝2.① ② ③(2)⎠⎛12x d x 表示的是图②中阴影部分所示的梯形的面积，由于这个梯形的面积为32，所以⎠⎛12x d x ＝32. (3)1－x2d x 表示的是图③中阴影部分所示的半径为1的半圆的面积，其值为π2，所以1－x2d x ＝π2.母题探究：1.(变条件)将例3(3)改为利用定积分的几何意义求⎠⎛011－x2d x .[解]⎠⎛011－x2d x 表示的是图④中阴影部分所示半径为1的圆的14的面积，其值为π4， ∴⎠⎛011－x2d x ＝π4.2．(变条件)将例3(3)改为利用定积分的几何意义求⎠⎛011－－d x .[解] ⎠⎛011－－d x 表示的是图⑤中阴影部分所示半径为1的14圆的面积，其值为π4，∴⎠⎛011－－d x ＝π4.3．(变条件)将例3(3)改为利用定积分的几何意义求 (x ＋1－x2)d x .[解] 由定积分的性质得，(x ＋1－x2)d x ＝ x d x ＋1－x2d x .∵y ＝x 是奇函数，∴x d x ＝0.由例3(3)知1－x2d x ＝π2.∴(x ＋1－x2)d x ＝π2.[当 堂 达 标·固 双 基]1．把区间[1,3]n 等分，所得n 个小区间中每个小区间的长度为( ) A.1n B.2n C.3nD.12nB [区间长度为2，n 等分后每个小区间的长度都是2n ，故选B.]2．定积分⎠⎛ab f (x )d x 的大小( )A ．与f (x )和积分区间[a ，b ]有关，与ξi 的取法无关B ．与f (x )有关，与区间[a ，b ]以及ξi 的取法无关C ．与f (x )以及ξi 的取法有关，与区间[a ，b ]无关D ．与f (x )、积分区间[a ，b ]和ξi 的取法都有关A [由定积分的定义可知A 正确．]3．由y ＝sin x ，x ＝0，x ＝π2，y ＝0所围成图形的面积写成定积分的形式是________. 【导学号：31062083】[解析] ∵0＜x ＜π2， ∴sin x ＞0.∴y ＝sin x ，x ＝0，x ＝π2，y ＝0所围成图形的面积写成定积分的形式为sin x d x .[答案] sin x d x4．已知某物体运动的速度为v ＝t ，t ∈[0,10]，若把区间10等分，取每个小区间右端点处的函数值为近似小矩形的高，则物体运动的路程近似值为__________．[解析] ∵把区间[0,10]10等分后，每个小区间右端点处的函数值为n (n ＝1,2，…，10)，每个小区间的长度为1.∴物体运动的路程近似值s ＝1×(1＋2＋…＋10)＝55.[答案] 555．计算： (2－5sin x )d x . 【导学号：31062084】[解] 由定积分的几何意义得，2d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－π2×2＝2π. 由定积分的几何意义得，sin x d x ＝0. 所以 (2－5sin x )d x＝2d x－5sin x d x＝2π.。
高中数学 第一章 导数及其应用 1.5.1 曲边梯形的面积 1.5.2 汽车行驶的路程 1.5.3
1.5.1 曲边梯形的面积1.5.2 汽车行驶的路程1.5.3 定积分的概念[学习目标]1．了解“以直代曲”、“以不变代变”的思想方法．2．会求曲边梯形的面积和汽车行驶的路程．3．了解定积分的概念．4．了解定积分的几何意义和性质．[知识链接]1．如何计算下列两图形的面积？答①直接利用梯形面积公式求解．②转化为三角形和梯形求解．2．求曲边梯形面积时，对曲边梯形进行“以直代曲”，怎样才能尽量减小求得的曲边梯形面积的误差？答为了减小近似代替的误差，需要先分割再分别对每个小曲边梯形“以直代曲”，而且分割的曲边梯形数目越多，得到的面积的误差越小．b f(x)d x表示的含义是什么？3．当f(x)在区间[a，b]上且f(x)<0时，⎠⎛ab f(x)d x表示由y＝f(x)，x＝a，x＝b，y＝0所答当f(x)在区间[a，b]上值小于零时，⎠⎛a围成的图形的面积的相反数．[预习导引]1．曲边梯形的面积(1)曲边梯形：由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的图形称为曲边梯形(如图①所示)．(2)求曲边梯形面积的方法把区间[a，b]分成许多小区间，进而把曲边梯形拆分为一些小曲边梯形，对每个小曲边梯形“以直代曲”，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值，对这些近似值求和，就得到曲边梯形面积的近似值(如图②所示)．(3)求曲边梯形面积的步骤：①分割，②近似代替，③求和，④取极限．2．求变速直线运动的(位移)路程如果物体做变速直线运动，速度函数v＝v(t)，那么也可以采用分割，近似代替，求和，取极限的方法，求出它在a≤t≤b内所作的位移s.3．定积分的概念如果函数f(x)在区间[a，b]上连续，用分点a＝x0<x1<…<x i－1<x i<…<x n＝b将区间[a，b]等分成n个小区间，在每个小区间[x i－1，x i]上任取一点ξi(i＝1,2，…，n)作和式∑i＝1nf(ξi)Δx＝∑i＝1n b－anf(ξi)，当n→∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f(x)在区间[a，b]上的定积分，记作⎠⎛ab f(x)d x，即⎠⎛ab f(x)d x＝li mn→∞∑i＝1n b－anf(ξi)．其中a与b分别叫做积分下限和积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)d x叫做被积式．4．定积分的几何意义如果在区间[a，b]上函数f(x)连续且恒有f(x)≥0，那么定积分⎠⎛ab f(x)d x表示由直线x＝a，x＝b，y＝0和y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积．5．定积分的性质(1)⎠⎛ab kf(x)d x＝k⎠⎛ab f(x)d x(k为常数)；(2)⎠⎛ab[f1(x)±f2(x)]d x＝⎠⎛ab f1(x)dx±⎠⎛ab f2(x)d x；(3)⎠⎛ab f(x)d x＝⎠⎛ac f(x)d x＋⎠⎛cb f(x)d x(其中a<c<b)．要点一 求曲边梯形的面积例1 求抛物线f (x )＝1＋x 2与直线x ＝0，x ＝1，y ＝0所围成的曲边梯形的面积S . 解 (1)分割：把区间[0,1]等分成n 个小区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i n (i ＝1,2，…，n )，其长度Δx ＝1n ，把曲边梯形分成n 个小曲边梯形，其面积记为ΔS i (i ＝1,2，…，n )． (2)近似代替：用小矩形面积近似代替小曲边梯形的面积． ΔS i ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫i －1n ·Δx ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫i －1n 2·1n (i ＝1,2，…，n )．(3)求和：∑i ＝1nΔS i ＝∑i ＝1n1n ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫i －1n 2.(4)取极限：S ＝li m n →∞∑i ＝1n 1n ·⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫i －1n 2＝1＋li m n →∞∑i ＝1n⎝⎛⎭⎪⎫i －1n 2·1n＝1＋li m n →∞ 13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n＝1＋13＝43.所以所求的曲边梯形的面积为43.规律方法 分割、近似代替、求和、取极限是求曲边梯形面积的四个步骤，求曲边梯形的面积时需理解以下几点：①思想：以直代曲；②步骤：化整为零―→以直代曲―→积零为整―→无限逼近；③关键：以直代曲；④结果：分割越细，面积越精确．跟踪演练1 用定积分的定义求由y ＝3x ，x ＝0，x ＝1，y ＝0围成的图形的面积． 解 (1)分割：把区间[0,1]等分成n 个小区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i n(i ＝1,2，…，n )．其长度为Δx ＝1n，把三角形分成一个小三角形和(n －1)个小梯形，其面积分别记为ΔS i (i ＝1,2，…，n )．(2)近似代替：用小矩形的面积代替小三角形和小梯形的面积，取ξi ＝i －1n(i ＝1,2，…，n )，则ΔS i ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫i －1n Δx ＝3·i －1n ·1n ＝3n 2(i －1)(i ＝1,2，…，n )．(3)作和：∑i ＝1nΔS i ＝∑i ＝1n3n2(i －1)＝3n 2[0＋1＋2＋…＋(n －1)]＝32·n －1n . (4)取极限：S ＝li m n →∞∑i ＝1n3n2(i －1)＝li m n →∞ 32·n －1n ＝32.要点二 求变速运动的路程例2 用定积分定义求物体自由落体的下落距离．已知自由落体的运动速度v ＝gt ，求在时间区间[0，t ]内物体下落的距离．解 (1)分割：将时间区间[0，t ]分成n 等份． 把时间[0，t ]分成n 个小区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n t ，it n (i ＝1,2，…，n )，每个小区间所表示的时间段Δt ＝it n －i －1n t ＝tn，在各小区间物体下落的距离记作Δs i (i ＝1,2，…，n )．(2)近似代替：在每个小区间上以匀速运动的路程近似代替变速运动的路程． 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n t ，it n 上任取一时刻ξi (i ＝1,2，…，n )，可取ξi 使v (ξi)＝g i －n t 近似代替第i 个小区间上的速度，因此在每个小区间上自由落体Δt ＝tn内所经过的距离可近似表示为Δs i ≈g ·i －1n t ·tn(i ＝1,2，…，n )． (3)求和：s n ＝∑i ＝1nΔs i＝∑i ＝1ng ·i －1n ·t ·t n＝gt 2n2[0＋1＋2＋…＋(n －1)] ＝12gt 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n .(4)取极限：s ＝li m n →∞ 12gt 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＝12gt 2.规律方法 求变速直线运动的路程问题，方法和步骤类似于求曲边梯形的面积，仍然利用以直代曲的思想，将变速直线运动问题转化为匀速直线运动问题，求解过程为：分割、近似代替、求和、取极限．跟踪演练2 一辆汽车在直线形公路上做变速行驶，汽车在时刻t 的速度为v (t )＝－t 2＋5(单位：km/h)，试计算这辆汽车在0≤t ≤2(单位：h)这段时间内行驶的路程s (单位：km)． 解 (1)分割：在区间[0,2]上等间隔插入n －1个点，将区间分成n 个小区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －n，2i n .记第i 个小区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －n，2i n (i ＝1,2，…，n )，Δt ＝2n.则汽车在时间段⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2n ，⎣⎢⎡⎦⎥⎤2n ，4n ，⎣⎢⎡⎦⎥⎤n －n，2n n上行驶的路程分别记为：Δs 1，Δs 2，…，Δs i ，…，Δs n ，有s n ＝∑i ＝1nΔs i . (2)近似代替：取ξi ＝2in(i ＝1,2，…，n )，Δs i ≈v ⎝ ⎛⎭⎪⎫2i n ·Δt ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－⎝ ⎛⎭⎪⎫2i n2＋5·2n＝－4i 2n 2·2n＋10n(i ＝1,2，…，n )．s n ＝∑i ＝1nΔs i ＝∑i ＝1n⎝⎛⎭⎪⎫－4i 2n 2·2n ＋10n＝－8·13⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12n ＋10.(3)取极限：s ＝li m n →∞s n＝li m n →∞ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－8·13⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12n ＋10＝223. 要点三 利用定积分定义计算定积分例3 利用定积分定义计算⎠⎛12(1＋x )d x 的值．解 (1)分割：∵f (x )＝1＋x 在区间[1,2]上连续，将区间[1,2]分成n 等份，则每个区间长度为Δx i ＝1n，(2)近似替代：在[x i －1，x i ]＝[1＋i －1n ，1＋i n ]上取ξi ＝xi －1＝1＋i －1n(i ＝1,2,3，…，n )，于是f (ξi )＝f (x i －1)＝1＋1＋i －1n ＝2＋i －1n， (3)求和：从而∑i ＝1nf (ξ1)Δx i ＝∑i ＝1n(2＋i －1n )·1n＝∑i ＝1n(2n ＋i －1n2)＝2n ·n ＋1n2[0＋1＋2＋…＋(n －1)]＝2＋1n2·n n －2＝2＋n －12n， (4)取极限：⎠⎛12(1＋x )d x ＝li m n →∞ (2＋n －12n )＝2＋12＝52. 规律方法 (1)利用定积分的定义计算定积分的值能加深对定积分的概念及其几何意义的理解，用定积分的定义求定积分的步骤是：①分割，②近似代替，③求和，④取极限．(2)在每个小区间[x i －1，x i ]上对ξi 的选取是任意的，为了计算方便，ξi 可都取为每个小区间的左端点(或都取为右端点)．跟踪演练3 利用定积分的定义，计算⎠⎛12(3x ＋2)d x 的值．解 令f (x )＝3x ＋2. (1)分割在区间[1,2]上等间隔地插入n －1个分点，把区间[1,2]等分成n 个小区间[n ＋i －1n ，n ＋in](i ＝1,2，…，n )，每个小区间的长度为Δx ＝n ＋i n －n ＋i －1n ＝1n. (2)近似代替、求和 取ξi ＝n ＋i －1n (i ＝1,2，…，n )， 则S n ＝∑i ＝1nf (n ＋i －1n)·Δx ＝∑i ＝1n[n ＋i －n ＋2]·1n＝∑i ＝1n[i －n 2＋5n]＝5＋3n2[0＋1＋2＋…＋(n －1)]＝32×n 2－n n 2＋5＝132－32n . (3)取极限⎠⎛12(3x ＋2)d x ＝lim n →∞S n ＝lim n →∞ (132－32n )＝132. 要点四 定积分几何意义的应用 例4 用定积分的意义求下列各式的值． (1)⎠⎛3－1(3x ＋1)d x ； (2)∫32－321－x 2d x . 解 (1)由直线x ＝－1，x ＝3，y ＝0以及y ＝3x ＋1所围成的图形，如图所示：⎠⎛3－1(3x ＋1)d x 表示由直线x ＝－1，x ＝3，y ＝0以及y ＝3x ＋1所围成的图形在x 轴上方的面积减去在x 轴下方的面积，∴⎠⎛－13(3x ＋1)d x ＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋13×(3×3＋1)－12⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＋1·2＝503－23＝16.(2)由y ＝1－x 2可知，x 2＋y 2＝1，(y ≥0)图象如图，由定积分的几何意义知∫32－321－x 2d x 等于圆心角为120°的弓形CED 的面积与矩形ABCD 的面积之和．S 弓形＝12×23π×12－2×12×1×1×sin π3cos π3＝π3－34， S 矩形＝|AB |·|BC |＝2×32×12＝32，∴∫32－321－x 2d x ＝π3－34＋32＝π3＋34. 规律方法 (1)用定积分表示曲线围成的平面区域的面积的步骤是： ①准确画出各曲线围成的平面区域；②把平面区域分割成容易表示的几部分，同时要注意x 轴下方有没有区域； ③解曲线组成的方程组，确定积分的上、下限； ④根据积分的性质写出结果．(2)利用几何意义求定积分，关键是准确确定被积函数的图象，以及积分区间，正确利用相关的几何知识求面积，不规则的图形常用分割法求面积，注意分割点的准确确定． 跟踪演练4 利用定积分的几何意义求： (1)⎠⎛2－24－x 2d x ； (2)⎠⎛101－x 2d x .解 (1)被积函数的曲线是圆心在原点，半径为2的半圆周，由定积分的几何意义知此积分计算的是半圆的面积，所以有 ⎠⎛2－24－x 2d x ＝π·222＝2π. (2)∵被积函数为y ＝1－x 2，其表示的曲线为以原点为圆心，1为半径的四分之一的圆，由定积分的几何意义可知，所求的定积分即为该四分之一圆的面积． ∴⎠⎛101－x 2d x ＝14π·12＝14π.1．把区间[1,3]n 等分，所得n 个小区间的长度均为( ) A.1nB ．2nC ．3nD ．12n答案 B解析 区间[1,3]的长度为2，故n 等分后，每个小区间的长度均为2n.2．定积分⎠⎛ab f (x )d x 的大小( )A ．与f (x )和积分区间[a ，b ]有关，与ξi 的取法无关B ．与f (x )有关，与区间[a ，b ]以及ξi 的取法无关C ．与f (x )以及ξi 的取法有关，与区间[a ，b ]无关D ．与f (x )、积分区间[a ，b ]和ξi 的取法都有关 答案 A3．求由曲线y ＝12x 2与直线x ＝1，x ＝2，y ＝0所围成的平面图形面积时，把区间5等分，则面积的近似值(取每个小区间的左端点)是________． 答案 1.02解析 将区间5等分所得的小区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，65，⎣⎢⎡⎦⎥⎤65，75，⎣⎢⎡⎦⎥⎤75，85，⎣⎢⎡⎦⎥⎤85，95，⎣⎢⎡⎦⎥⎤95，2， 于是所求平面图形的面积近似等于 110⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3625＋4925＋6425＋8125＝110×25525＝1.02. 4．根据定积分的几何意义，用不等号连接下列式子： ①⎠⎛01x d x ________⎠⎛01x 2d x ；②⎠⎛024－x 2d x ________⎠⎛022d x .答案 ①> ②<1．求曲边梯形面积和汽车行驶的路程的步骤： (1)分割：n 等分区间[a ，b ]； (2)近似代替：取点ξi ∈[x i －1，x i ]；(3)求和：∑i ＝1nf (ξi )·b －an； (4)取极限：S ＝li m n→∞∑i ＝1nf (ξi )·b －an.“近似代替”也可以用较大的矩形来代替曲边梯形，为了计算方便，可以取区间上的一些特殊点，如区间的端点(或中点)．2．定积分⎠⎛abf (x )d x 是一个和式∑i ＝1nb －anf (ξi )的极限，是一个常数． 3．可以利用“分割、近似代替、求和、取极限”求定积分；对于一些特殊函数，也可以利用几何意义求定积分．4．定积分的几何性质可以帮助简化定积分运算.一、基础达标1．当n 很大时，函数f (x )＝x 2在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i n 上的值，可以近似代替为( )A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1nB ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2nC ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫i n D ．f (0)答案 C2．一物体沿直线运动，其速度v (t )＝t ，这个物体在t ＝0到t ＝1这段时间内所走的路程为( ) A.13 B ．12 C ．1 D ．32答案 B解析 曲线v (t )＝t 与直线t ＝0，t ＝1，横轴围成的三角形面积S ＝12即为这段时间内物体所走的路程．3．由直线x ＝1，y ＝0，x ＝0和曲线y ＝x 3所围成的曲边梯形，将区间4等分，则曲边梯形面积的近似值(取每个区间的右端点)是( ) A.119 B ．111256 C ．1127 D ．2564答案 D解析 将区间[0,1]四等分，得到4个小区间：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，14，⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，12，⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，34，⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，1， 以每个小区间右端点的函数值为高，4个小矩形的面积和为曲边梯形面积的近似值S ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫143×14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫123×14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫343×14＋13×14＝2564.4．下列命题不正确的是( )A ．若f (x )是连续的奇函数，则⎠⎛a －a f (x )d x ＝0B ．若f (x )是连续的偶函数，则⎠⎛a －a f (x )d x ＝2⎠⎛0a f (x )d xC ．若f (x )在[a ，b ]上连续且恒正，则⎠⎛ab f (x )d x ＞0D ．若f (x ) 在[a ，b ]上连续且⎠⎛ab f (x )d x >0，则f (x )在[a ，b ]上恒正答案 D解析 对于A ，f (－x )＝－f (x )，⎠⎛a －a f (x )d x ＝⎠⎛0－a f (x )d x ＋⎠⎛0a f (x )d x ＝－∫a 0f (x )d x ＋⎠⎛0a f (x )d x ＝0，同理B 正确；由定积分的几何意义知，当f (x )>0时，⎠⎛abf (x )d x >0即C 正确；但⎠⎛ab f (x )d x >0，不一定有f (x )恒正，故选D.5．已知⎠⎛0t x d x ＝2，则⎠⎛0－t x d x 等于________．答案 －2解析 ∵f (x )＝x 在[－t ，t ]上是奇函数， ∴⎠⎛t －t x d x ＝0.而⎠⎛t －t x d x ＝⎠⎛0－t x d x ＋⎠⎛0t x d x ，又⎠⎛0t x d x ＝2，∴⎠⎛0－t x d x ＝－2.6．由y ＝sin x ，x ＝0，x ＝－π，y ＝0所围成图形的面积写成定积分的形式是S ＝________. 答案 －⎠⎛0－πsin x d x解析 由定积分的意义知，由y ＝sin x ，x ＝0，x ＝－π，y ＝0围成图形的面积为S ＝－⎠⎛0－π sin x d x .7．求直线x ＝0，x ＝2，y ＝0与曲线y ＝x 2所围成的曲边梯形的面积． 解 令f (x )＝x 2. (1)分割将区间[0,2]n 等分，分点依次为x 0＝0，x 1＝2n ，x 2＝4n，…，x n －1＝n －n，x n ＝2.第i 个区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2i －2n ，2i n (i ＝1,2，…，n )，每个区间长度为Δx ＝2i n －2i －2n ＝2n .(2)近似代替、求和取ξi ＝2in(i ＝1,2，…，n )，S n ＝∑i ＝1nf ⎝ ⎛⎭⎪⎫2i n ·Δx ＝∑i ＝1n⎝⎛⎭⎪⎫2i n 2·2n ＝8n 3∑i ＝1ni 2＝8n 3(12＋22＋…＋n 2)＝8n3·n n ＋n ＋6＝43⎝⎛⎭⎪⎫2＋3n ＋1n 2.(3)取极限S ＝li m n →∞S n ＝li m n →∞ 43⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋3n ＋1n 2＝83，即所求曲边梯形的面积为83.二、能力提升8．已知f (x )＝x 3－x ＋sin x ，则⎠⎛2－2f (x )d x 的值为( )A ．等于0B ．大于0C ．小于0D ．不确定答案 A解析 易知f (x )为奇函数，由奇函数的性质⎠⎛0－2f (x )d x ＝－⎠⎛02f (x )d x ，而⎠⎛2－2f (x )d x ＝⎠⎛0－2f (x )d x ＋⎠⎛02f (x )d x ＝0.9．设a ＝⎠⎛01x 13d x ，b ＝⎠⎛01x 2 d x ，c ＝⎠⎛01x 3d x ，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．c >a >bB ．a >b >cC ．a ＝b >cD ．a >c >b答案 B解析 根据定积分的几何意义，易知⎠⎛01x 3d x ＜⎠⎛01x 2d x <⎠⎛01x 13d x ，a ＞b ＞c ，故选B.10．设f (x )是连续函数，若⎠⎛01f (x )d x ＝1，⎠⎛02f (x )d x ＝－1，则⎠⎛12f (x )d x ＝________.答案 －2解析 因为⎠⎛02f (x )d x ＝⎠⎛01f (x )d x ＋⎠⎛12f (x )d x ，所以⎠⎛12f (x )d x ＝⎠⎛02f (x )d x －⎠⎛01f (x )d x ＝－2.11．已知∫π20sin x d x ＝错误!sin x d x ＝1，∫错误!0x 2d x ＝错误!，求下列定积分：(1)⎠⎛0πsin x d x ；(2)∫π20(sin x ＋3x 2)d x .解 (1)⎠⎛0πsin x d x ＝∫π20sin x d x ＋错误!sin x d x ＝2.(2)∫π20(sin x ＋3x 2)d x ＝∫π20sin x d x ＋3∫π20x 2d x ＝1＋π38.12．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ∈[－2，2x ，x ∈[2，πcos x ，x ∈[π，2π]，求f (x )在区间[－2,2π]上的定积分．解 由定积分的几何意义知⎠⎛2－2x 3d x ＝0，⎠⎛2π2x d x ＝π－π＋2＝π2－4，∫2ππcos x d x ＝0， 由定积分的性质得⎠⎛－22πf (x )d x ＝⎠⎛2－2x 3d x ＋⎠⎛2π2x d x ＋∫2ππcos x d x ＝π2－4. 三、探究与创新13．利用定积分的定义计算⎠⎛12(－x 2＋2x )d x 的值，并从几何意义上解释这个值表示什么．解 令f (x )＝－x 2＋2x . (1)分割在区间[1,2]上等间隔地插入n －1个分点，把区间[1,2]等分为n 个小区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋i －1n ，1＋in (i ＝1,2，…，n )，每个小区间的长度为Δx ＝i n －i －1n ＝1n.(2)近似代替、作和取ξi ＝1＋in(i ＝1,2，…，n )，则S n ＝∑i ＝1nf ⎝⎛⎭⎪⎫1＋i n ·Δx＝∑i ＝1n ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－⎝⎛⎭⎪⎫1＋i n 2＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i n ·1n＝－1n3[]n ＋2＋n ＋2＋n ＋2＋…＋n2＋2n 2[(n ＋1)＋(n ＋2)＋(n ＋3)＋…＋2n ] ＝－1n 3⎣⎢⎡⎦⎥⎤2n n ＋n ＋6－n n ＋n ＋6＋2n 2·n n ＋1＋2n 2 ＝－13⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋1n ＋16⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋1n ＋3＋1n ，(3)取极限⎠⎛12(－x 2＋2x )d x ＝li m n →∞S n ＝li m n →∞ ⎣⎢⎡－13⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋1n ＋⎦⎥⎤16⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋1n ＋3＋1n ＝23，⎠⎛12(－x 2＋2x )d x ＝23的几何意义为由直线x ＝1，x ＝2，y ＝0与曲线f (x )＝－x 2＋2x 所围成的曲边梯形的面积.。
高中数学第一章导数及其应用1.5.1曲边梯形的面积1.5.2汽车行驶的路程1
航3．变速运动的汽车行驶的路程能否像求曲边梯形的面积那样求？
其解题思路(sīlù)有什么共同之处？这种思想方法可否运用于变力做 功中？
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新知(xīn zhī) 导学 3．求变速直线运动的路程
如果物体做变速直线运动，速度函数为v＝v(t)，那么(nàme)也可 以采用_分__割__(f_ēn_gē_) 、__近__似__代__替、_____求__和_、_____取__极_的限方法，求 出它在a≤t≤b内所作的位移s.
1.5.1 曲边梯形(tīxíng)的面积~ 1.5.2 汽车行驶的路程
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学习目标 通过求曲边梯形的面积(miàn jī)、汽车行驶的路程了解定积分的 实际背景，了解“以直代曲”、“以不变代变”的思想方 法．
学习重点：曲边梯形的面积、汽车行驶(xíngshǐ)路程的求法．
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②以前我们曾经(céngjīng)用圆的内接(外切)正多边形，无限逼近 圆的方法讨论过圆的面积，能否用这种思考方法来研究这 种含曲边的图形的面积呢？
③利用“以直代曲”思想求曲边梯形的面积时，是否必须等分 自变量的取值区间？ 区间的拆分程度对求曲边梯形的面积有什么影响？ 每个小正区间内点的函数值的选取对求曲边梯形的面积有什么影响？
n
n
即 s＝Δsi≈v(ξi)Δt.①
i＝1
i＝1
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(4)取极限 当所分时间区间愈短，即 Δt＝tn0愈小时，和式①的值就愈 接近 s.因此，当 n→∞，即 Δt＝tn0→0 时，和式①的极限， 就是所求的物体在时间区间[0，t0]上所经过的路程．
高中数学 第1章 导数及其应用 1.5 定积分 1.5.1-1.5.2 曲边梯形的面积 定积分讲义(
1．曲边梯形的面积定积分[对应学生用书P24]曲边梯形的面积如图，阴影部分是由直线x＝1，x＝2，y＝0和函数f(x)＝x2所围成的图形，问题1：利用你已学知识能求出阴影部分的面积吗？提示：不能．问题2：若把区间[1,2]分成许多小区间，进而把阴影部分拆分为一些小曲边梯形，你能近似地求出这些小曲边梯形的面积吗？提示：可以．把每一个小曲边梯形看作一个小矩形求解．问题3：我们知道，拆分后的所有小曲边梯形的面积和是该阴影部分的面积，如何才能更精确地求出阴影部分的面积呢？提示：分割的曲边梯形数目越多，所求面积越精确．1．曲边梯形的面积将已知区间[a，b]等分成n个小区间，当分点非常多(n很大)时，可以认为f(x)在小区间上几乎没有变化(或变化非常小)，从而可以取小区间内任意一点x i对应的函数值f(x i)作为小矩形一边的长．于是，可用f(x i)Δx来近似表示小曲边梯形的面积，这样，和式f(x1)Δx ＋f(x2)Δx＋…＋f(x n)Δx表示了曲边梯形面积的近似值．2．求曲边梯形的面积的步骤求曲边梯形面积的过程可以用流程图表示为：分割以直代曲作和逼近定积分设函数f (x )在区间[a ，b ]上有定义，将区间[a ，b ]等分成n 个小区间，每个小区间长度为Δx ⎝⎛⎭⎪⎫Δx ＝b －a n ，在每个小区间上取一点，依次为x 1，x 2，…，x i ，…，x n ，作和S n ＝f (x 1)Δx ＋f (x 2)Δx ＋…＋f (x i )Δx ＋…＋f (x n )Δx .如果当Δx →0(亦即n →＋∞)时，S n →S (常数)，那么称常数S 为函数f (x )在区间[a ，b ]上的定积分．记为S ＝∫b a f (x )d x .其中，f (x )称为被积函数，[a ，b ]称为积分区间，a 称为积分下限，b 称为积分上限．定积分的几何意义问题1：试利用定积分的定义计算⎠⎛01x d x 的值．提示：将区间[0,1]等分成n 个小区间，则第i 个小区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i n ，第i 个小区间的面积为ΔS i ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫i n ·1n ＝i n ·1n，所以S n ＝∑i ＝1nΔS i ＝i ＝1ni n ·1n ＝1n2(1＋2＋3＋…＋n ) ＝1n 2·n (n ＋1)2＝12＋12n， 当n →＋∞时，S n →12，所以⎠⎛01x d x ＝12.问题2：直线x ＝0，x ＝1，y ＝0和函数f (x )＝x 围成的图形的面积是多少？ 提示：如图，S ＝12×1×1＝12.问题3：以上两个问题的结果一样吗？ 提示：一样．问题4：以上问题说明了什么道理？提示：定积分⎠⎛a bf (x )d x (f (x )≥0)的值等于直线x ＝a ，x ＝b ，(a ≠b )，y ＝0和曲线y ＝f (x )所围成的面积．一般地，定积分⎠⎛a bf (x )d x 的几何意义是，在区间[a ，b ]上曲线与x 轴所围图形面积的代数和(即x 轴上方的面积减去x 轴下方的面积．)1．“分割”的目的在于更精确地实施“以直代曲”，例子中以“矩形”代替“曲边梯形”，分割越细，这种“代替”就越精确．当n 越大时，所有“小矩形的面积和就越逼近曲边梯形的面积”．2．定积分⎠⎛a bf (x )d x 是一个常数，即定积分是一个数值，它仅仅取决于被积函数和积分区间，而与积分变量用什么字母表示无关，如⎠⎛a b x 2d x ＝⎠⎛a bt 2d t .[对应学生用书P26]利用定积分的定义求曲边梯形的面积[例1] 求由直线x ＝1，x ＝2和y ＝0及曲线y ＝x 3围成的图形的面积． [思路点拨]依据求曲边梯形面积的步骤求解． [精解详析](1)分割如图，把曲边梯形ABCD 分割成n 个小曲边梯形，用分点n ＋1n ，n ＋2n ，…，n ＋(n －1)n把区间[1,2]等分成n 个小区间：⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，n ＋1n ，⎣⎢⎡⎦⎥⎤n ＋1n ，n ＋2n ，…，⎣⎢⎡⎦⎥⎤n ＋i －1n ，n ＋i n ，…，⎣⎢⎡⎦⎥⎤n ＋(n －1)n ，2，每个小区间的长度为Δx ＝n ＋i n －n ＋i －1n ＝1n ，过各分点作x 轴的垂线，把曲 边梯形ABCD 分割成n 个小曲边梯形，它们的面积分别记作ΔS 1，ΔS 2，…，ΔS n . (2)以直代曲取各小区间的左端点ξi ，用ξ3i 为一边长，以小区间长Δx ＝1n为其邻边长的小矩形面积近似代替第i 个小曲边梯形的面积，可以近似地表示为ΔS i ≈ξ3i ·Δx ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋i －1n 3·1n(i ＝1,2,3，…，n )．(3)作和因为每一个小矩形的面积都可以作为相应的小曲边梯形面积的近似值，所以n 个小矩形面积的和就是曲边梯形ABCD 的面积S 的近似值，即S ＝∑i ＝1nΔS i ≈i ＝1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋i －1n 31n.①(4)逼近当分割无限变细，即Δx →0时，和式①的值→S . 因为i ＝1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋i －1n 31n ＝1n 4i ＝1n (n ＋i －1)3＝1n 4∑i ＝1n[(n －1)3＋3(n －1)2i ＋3(n －1)i 2＋i 3] ＝1n 4[n (n －1)3＋3(n －1)2·n (n ＋1)2＋3(n －1)·n 6·(n ＋1)·(2n ＋1)＋14n 2(n ＋1)2]， 当n →∞时，S ＝i ＝1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋i －1n 31n＝1＋32＋1＋14＝154. [一点通]四边形面积的求解(1)规则四边形：利用四边形的面积公式． (2)曲边梯形 ①思想：以直代曲；②步骤：分割→以直代曲→作和→逼近； ③关键：以直代曲；④结果：分割越细，面积越精确．1．已知汽车做变速直线运动，在时刻t 的速度为v (t )＝－t 2＋2t (单位：km/h)，求它在1≤t ≤2这段时间行驶的路程是多少？解：将时间区间[1,2]等分成n 个小区间，则第i 个小区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋i －1n ，1＋i n ， 在第i 个时间段的路程近似为ΔS i ＝v ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i n Δt ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i n 2＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i n ·1n ，i ＝1,2，…，n .所以S n ＝∑i ＝1nΔS i ＝i ＝1n ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i n 2＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i n ·1n＝－1n3[(n ＋1)2＋(n ＋2)2＋(n ＋3)2＋…＋(2n )2]＋2n 2[(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋2n ]＝－1n 3⎣⎢⎡⎦⎥⎤2n (2n ＋1)(4n ＋1)6－n (n ＋1)(2n ＋1)6＋2n 2·n (n ＋1＋2n )2 ＝－13⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋1n ＋16⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋1n ＋3＋1n，n →＋∞时，－13⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋1n ＋16⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋1n ＋3＋1n→S . 则当n →∞时，－13⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋1n ＋16⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋1n ＋3＋1n →23. 由此可知，S ＝23.所以这段时间行驶的路程为23km.利用定积分的几何意义求定积分[例2] (1)⎠⎛3－39－x 2d x ； (2)⎠⎛03(2x ＋1)d x .[思路点拨]⎠⎛a bf (x )d x 的几何意义：介于x ＝a ，x ＝b 之间，x 轴上、下相应曲边平面图形面积的代数和．[精解详析](1)在平面上y ＝9－x 2表示的几何图形为以原点为圆心以3为半径的上半圆(如图(1)所示)．其面积为S ＝12·π·32＝92π.由定积分的几何意义知⎠⎛3－39－x 2d x ＝92π.(2)在平面上，f (x )＝2x ＋1为一条直线．⎠⎛03(2x ＋1)d x 表示直线f (x )＝2x ＋1，x ＝0，x ＝3围成的直角梯形OABC 的面积(如图(2)所示)．其面积为S ＝12(1＋7)×3＝12.根据定积分的几何意义知⎠⎛03(2x ＋1)d x ＝12.[一点通](1)利用几何意义求定积分，关键是准确确定被积函数的图象以及积分区间，正确利用相关的几何知识求面积，不规则图形常用分割法求面积，注意分割点的确定．(2)两种典型的曲边梯形面积的计算方法：①由三条直线x ＝a 、x ＝b (a <b )、x 轴，一条曲线y ＝f (x )(f (x )≥0)围成的曲边梯形的面积S ＝⎠⎛a bf (x )d x (如图(1)所示)．②由三条直线x ＝a 、x ＝b (a <b )、x 轴，一条曲线y ＝f (x )(f (x )≤0)围成的曲边梯形的面积S ＝⎪⎪⎪⎪⎠⎛a bf (x )d x ＝ －⎠⎛a bf (x )d x (如图(2)所示)．2．利用定积分的几何意义求⎠⎛1－14－x 2d x . 解：由y ＝4－x 2可得x 2＋y 2＝4(y ≥0)，其图象如图．⎠⎛1－14－x 2d x 等于圆心角为60°的弓形面积CDE 与矩形ABCD 的面积之和．∵S 弓形＝12×π3×22－12×2×2sin π3＝2π3－3，S 矩形＝AB ·BC ＝23，∴⎠⎛1－14－x 2d x ＝23＋2π3－3＝2π3＋ 3. 3．利用定积分的几何意义求∫π2－π2sin x d x .解：∵函数y ＝sin x 在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上是奇函数， ∴∫π2－π2sin x d x ＝0.4．利用定积分的几何意义求∫101－(x －1)2d x . 解：令y ＝1－(x －1)2，则(x －1)2＋y 2＝1(0≤y ≤1)．因此∫101－(x －1)2d x 表示以(1,0)为圆心，1为半径的14圆的面积．∫101－(x －1)2d x ＝π4.利用定积分表示平面图形的面积[例3] 利用定积分表示下列曲线围成的平面区域的面积． (1)y ＝0，y ＝x ，x ＝2；(2)y ＝x －2，x ＝y 2. [思路点拨]画出图形，利用定积分的几何意义表示．[精解详析](1)曲线所围成的区域如图(1)所示，设此面积为S ，则S ＝⎠⎛02(x －0)d x ＝⎠⎛02x d x .(2)曲线所围成的平面区域如图(2)所示，S ＝A 1＋A 2，A 1由y ＝x ，y ＝－x ，x ＝1围成； A 2由y ＝x ，y ＝x －2，x ＝1和x ＝4围成．所以A 1＝2⎠⎛01x d x ，A 2＝⎠⎛14[x －(x －2)]d x ，所以S ＝2⎠⎛01x d x ＋⎠⎛14(x －x ＋2)d x .[一点通]用定积分表示曲线围成的平面区域的面积的步骤是： (1)准确画出各曲线围成的平面区域；(2)把平面区域分割成容易表示的几部分，同时要注意x 轴下方有没有区域； (3)解曲线组成的方程组，确定积分的上、下限； (4)根据定积分的几何意义写出结果．5．曲线y ＝cos x (0≤x ≤2π)与直线y ＝1围成的封闭图形的面积是________． 解析：如图，求曲线y ＝cos x (0≤x ≤2π)与直线围成的封闭图形的面积可根据余弦函数图象的对称性转化为求由直线y ＝0，y ＝1，x ＝0，x ＝2π围成的矩形的面积．答案：2π6．画出曲线y ＝log 12x ，y ＝0，x ＝12，x ＝3所围成的平面区域并用定积分表示其面积．解：曲线所围成的平面区域如图所示．设此面积为S .则S ＝⎠⎛112log 12x d x －⎠⎛13log 12x d x .1．当函数f (x )≥0时，定积分⎠⎛a bf (x )d x 在几何上表示由直线x ＝a ，x ＝b (a <b )，y ＝0及曲线y ＝f (x )所围成的曲边梯形的面积．2．当函数f (x )≤0时，曲边梯形位于x 轴的下方，此时⎠⎛a bf (x )d x 等于曲边梯形面积S 的相反数，即⎠⎛a bf (x )d x ＝－S .3．当f (x )在区间[a ，b ]上有正有负时，定积分⎠⎛a bf (x )d x 表示介于x 轴、函数f (x )的图象及直线x ＝a ，x ＝b (a ≠b )之间各部分面积的代数和(在x 轴上方的取正，在x 轴下方的取负)．[对应课时跟踪训练(十)]一、填空题1．当n →＋∞时，1n ⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin πn ＋sin 2πn ＋…＋sin (n －1)πn表示成定积分为________．解析：根据定积分的几何意义，当n →＋∞时，1n ⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin πn ＋sin 2πn ＋…＋sin (n －1)πn表示曲线y ＝sin x ，x ＝0，x ＝π，y ＝0所围成图形的面积，所以表示成定积分为⎠⎛0πsinx d x .答案：⎠⎛0πsin x d x2.⎠⎛02x 2d x ＝________.解析：定积分⎠⎛02x 2d x 等于直线y ＝x 2与x ＝0，x ＝2，y ＝0围成三角形的面积S ＝12×2×1＝1.答案：13．已知⎠⎛0tx d x ＝2，则⎠⎛0－t x d x ＝________. 解析：⎠⎛0tx d x 表示直线y ＝x ，x ＝0，x ＝t ，y ＝0所围成图形的面积，而⎠⎛0－t表示直线y ＝x ，x ＝0，x ＝－t ，y ＝0所围成图形面积的相反数，所以⎠⎛0－t x d x ＝－2. 答案：－24．若∫π20cos x d x ＝1，则由x ＝0，x ＝π，f (x )＝sin x 及x 轴围成的图形的面积为________．解析：由正弦函数与余弦函数的图象，知f (x )＝sin x ，x ∈[0，π]的图象与x 轴围成的图形的面积，等于g (x )＝cos x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的图象与x 轴围成的图形的面积的2倍．所以答案应为2.答案：25．用定积分表示下列阴影部分的面积(不要求计算)：(1)S ＝__________(图(1))；(2)S ＝__________(图(2))；(3)S ＝__________(图(3))．答案：(1)∫ππ3sin x d x (2)∫2－412x 2d x (3)∫94(x 12)d x二、解答题6．若⎠⎛0ax d x ＝1(a >0)，某某数a 的值． 解：由定积分的几何意义知：⎠⎛0ax d x ＝12×a ×a ＝1(a >0)， 则有a ＝ 2.7．计算定积分⎠⎛05(3x －6)d x .解：如图，计算可得A 的面积为272，B 的面积为6，从而⎠⎛05(3x －6)d x ＝272－word11 / 11 6＝152. 8．利用定积分的几何意义求：⎠⎛011－x 2d x .解：∵被积函数为y ＝1－x 2，其表示的曲线为以原点为圆心，1为半径的四分之一圆，由定积分的几何意义，可知所求的定积分即为四分之一圆的面积，所以∫101－x 2d x ＝π4×12＝π4.。
高中数学 第一章 导数及其应用 1.5 定积分的概念 1.5.1 曲边梯形的面积 1.5.2 汽车行
1．5.1～1.5.2 曲边梯形的面积汽车行驶的路程问题1：曲边梯形与“直边图形”的主要区别是什么？提示：前者有一边是曲线段，而“直边图形”的所有边都是直线段．问题2：能否用求直边图形面积的方法求曲边梯形的面积？提示：不能．问题3：当曲边梯形的高很小时，是否可用“直边图形”的面积近似代替曲边梯形的面积？提示：可以．1．连续函数如果函数y＝f(x)在某个区间I上的图象是一条连续不断的曲线，那么就把它称为区间I上的连续函数．2．曲边梯形的面积(1)曲边梯形：由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的图形称为曲边梯形(如图甲)．(2)求曲边梯形面积的方法与步骤：①分割：把区间分成许多小区间，进而把曲边梯形拆分为一些小曲边梯形(如图乙)；②近似代替：对每个小曲边梯形“以直代曲”，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值；③求和：把以近似代替得到的每个小曲边梯形面积的近似值求和；④取极限：当小曲边梯形的个数趋向无穷时，各小曲边梯形的面积之和趋向一个定值，即为曲边梯形的面积．“以直代曲”的思想曲边梯形的边中有曲线，不方便直接求出其面积，把曲边梯形分割成一系列的小曲边梯形，再用小矩形近似代替之，“以直代曲”求和，无限“细分”去“逼近”面积的精确值，这种极限的思想是学习定积分的一种很重要的思想．问题：利用“以直代曲”的思想可以求物体做变速直线运动的路程吗？ 提示：可以．求变速直线运动的路程如果物体做变速直线运动，速度函数为v ＝v (t )，那么它在时间t 所在的区间内的路程(或位移)也可以运用①分割；②近似代替；③求和；④取极限的方法求得．变速直线运动的路程与曲边梯形的面积间的关系与求曲边梯形面积类似，我们采取“以不变代变”的方法，把求变速直线运动的路程问题化归为求匀速直线运动的路程问题．求由直线⎝ ⎛⎭⎪⎫提示：13＋23＋…＋n 3＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12n n ＋2(1)分割如右图所示，用分点n ＋1n ，n ＋2n ，…，n ＋n －n，把区间等分成n 个小区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，n ＋1n ，⎣⎢⎡⎦⎥⎤n ＋1n ，n ＋2n ，…，n ＋i －1n ，n ＋in，…， ⎣⎢⎡⎦⎥⎤n ＋n －n ，2，每个小区间的长度为Δx ＝n ＋i n －n ＋i －1n ＝1n(i ＝1,2,3，…，n )．过各分点作x 轴的垂线，把曲边梯形ABCD 分割成n 个小曲边梯形，它们的面积分别记作ΔS 1，ΔS 2，…，ΔS n .(2)近似代替各小区间的左端点为ξi ，取以点ξi 的纵坐标ξ3i 为一边，以小区间长Δx ＝1n为其邻边的小矩形面积，近似代替小曲边梯形面积．第i 个小曲边梯形面积，可以近似地表示为ΔS i ≈ξ3i ·Δx ＝⎝⎛⎭⎪⎫n ＋i －1n 3·1n(i ＝1,2,3，…，n )．(3)求和因为每一个小矩形的面积都可以作为相应的小曲边梯形面积的近似值，所以n 个小矩形面积的和就是曲边梯形ABCD 面积S 的近似值，即S ＝∑i ＝1nΔS i ≈∑i ＝1n⎝⎛⎭⎪⎫n ＋i －1n 3 ·1n .(4)取极限当分点数目越多，即Δx 越小时，和式的值就越接近曲边梯形ABCD 的面积S .因此n →∞，即Δx →0时，和式的极限就是所求的曲边梯形ABCD 的面积．因为∑i ＝1n⎝⎛⎭⎪⎫n ＋i －1n 3·1n＝1n 4∑i ＝1n(n ＋i －1)3＝1n 4∑i ＝1n[(n －1)3＋3(n －1)2i ＋3(n －1)i 2＋i 3] ＝1n4，所以S ＝li m n →∞∑i ＝1n⎝⎛⎭⎪⎫n ＋i －1n 3·1n＝1＋32＋1＋14＝154.求曲边梯形的面积应关注两点(1)根据步骤“分割、近似代替、求和、取极限”求曲边梯形的面积S ，实质是用n 个小矩形面积的和S n 来逼近，S n 的极限即为所求曲边梯形的面积S .求小矩形面积时，一般选取函数在相应小区间的左端点值．(2)分割实现了把求不规则的图形的面积化归为计算矩形面积，但这是近似值，为逼近精确值，分割得越细，近似程度就会越好，无限细分就无限逼近精确值．求由直线x ＝1，x ＝2，y ＝0与曲线y ＝2x 2所围成的曲边梯形的面积． 解：(1)分割在区间上等间隔地插入n －1个分点，把区间等分成n 个小区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤n ＋i －1n ，n ＋i n (i ＝1,2，…，n )，每个小区间的长度为Δx ＝1n，每个小区间内曲边梯形的面积记为ΔS i (i ＝1,2，…，n )，显然S ＝∑i ＝1nΔS i .(2)近似代替 记f (x )＝2x 2，取ξi ＝n ＋i －1n (i ＝1,2，…，n )，于是ΔS i ≈ΔS i ′＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋i －1n ·Δx＝2⎝⎛⎭⎪⎫n ＋i －1n 2·1n(i ＝1,2，…，n )．(3)求和S n ＝∑i ＝1nΔS i ′＝∑i ＝1n2⎝⎛⎭⎪⎫n ＋i －1n 2·1n＝2n 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2n 2＋…＋1＋n －1n2＝2nn ＋2n ＋1n 2＝2n ⎣⎢⎡⎦⎥⎤n ＋2n·n n －2＋1n2·n －nn －6＝2＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－1n . 从而得到S 的近似值S ≈S n . (4)取极限S ＝li m n →∞ S n ＝li m n →∞ 2＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋131－1n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫2－1n ＝143.3t 2＋2(单位：km/h)，那么该汽车在0≤t ≤2(单位：h)这段时间内行驶的路程s (单位：km)是多少？(1)分割在时间区间上等间隔地插入n －1个分点，将它等分成n 个小区间．记第i 个小区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －n，2i n (i ＝1,2，…，n )，其长度为Δt ＝2i n－i －n＝2n.每个时间段上行驶的路程记为Δs i (i ＝1,2，…，n )，则显然有s ＝∑i ＝1nΔs i .(2)近似代替取ξi ＝2i n(i ＝1,2，…，n )．于是Δs i ≈Δs i ′＝v ⎝ ⎛⎭⎪⎫2i n ·Δt ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3⎝ ⎛⎭⎪⎫2i n 2＋2·2n＝24i 2n3＋4n(i ＝1,2，…，n )． (3)求和s n ＝∑i ＝1nΔs i ′＝∑i ＝1n⎝⎛⎭⎪⎫24i 2n 3＋4n ＝24n 3(12＋22＋…＋n 2)＋4＝24n3·nn ＋n ＋6＋4＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n 1＋12n＋4.从而得到s 的近似值s n ＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n 1＋12n ＋4.(4)取极限s ＝li m n →∞ s n ＝li m n →∞ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤8⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12n ＋4＝8＋4＝12，所以这段时间内行驶的路程为12 km.变速运动的路程的求法求变速直线运动路程的问题，方法和步骤类似于求曲边梯形的面积，用“以直代曲”“逼近”的思想求解．求解过程为分割、近似代替、求和、取极限．应特别注意变速直线运动的时间区间．已知自由落体的运动速度v ＝gt ，求在时间区间内物体下落的距离． 解：(1)分割将时间区间分成n 等份． 把时间分成n 个小区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n t ，it n (i ＝1,2，…，n )，每个小区间所表示的时间段Δt＝it n －i －1n t ＝tn，在各小区间物体下落的距离记作Δs i (i ＝1,2，…，n )．(2)近似代替在每个小区间上以匀速运动的路程近似代替变速运动的路程． 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n t ，it n 上任取一时刻ξi (i ＝1,2，…，n )，可取ξi 使v (ξi)＝g ·i －n t近似代替第i 个小区间上的速度，因此在每个小区间上自由落体Δt ＝t n内所经过的距离可近似表示为Δs i ＝g ·i －1n t ·tn(i ＝1,2，…，n )． (3)求和s n ＝∑i ＝1n Δs i ＝∑i ＝1ng ·i －1n t ·tn＝gt 2n2 ＝12gt 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n . (4)取极限s ＝lim n →∞ 12gt 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＝12gt 2.4.搞错区间端点致误求由抛物线y ＝2x 2与直线x ＝0，x ＝t (t ＞0)，y ＝0所围成的曲边梯形的面积时，将区间等分成n 个小区间，则第i －1个区间为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i nB.⎣⎢⎡⎦⎥⎤i n ，i ＋1n C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤t i －n ，tin D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤t i －n ，t i －n每个小区间长度为tn，故第i －1个区间的左端点为0＋(i －2)×t n ＝t i －n，右端点为t i －n＋t n ＝t i －n.D1．解决本题易错误地认为区间左端为t i －n，从而误选C.2．在将区间等分成n 个小区间时，其第1个小区间的左端点为0，第2个小区间的左端点为1n ，…，依次类推，第i 个小区间的左端点为i －1n.在求直线x ＝0，x ＝2，y ＝0与曲线y ＝x 2所围成的曲边三角形的面积时，把区间等分成n 个小区间，则第i 个小区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i nB.⎣⎢⎡⎦⎥⎤i n ，i ＋1n C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －n，2i nD.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2i n，i ＋n解析：选C 将区间等分为n 个小区间后，每个小区间的长度为2n，第i 个小区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －n，2i n.1．在“近似代替”中，函数f (x )在区间上的近似值( ) A ．只能是左端点的函数值f (x i ) B ．只能是右端点的函数值f (x i ＋1)C ．可以是该区间内任一点的函数值f (ξi )(ξi ∈)D ．以上答案均正确解析：选C 作近似计算时，Δx ＝x i ＋1－x i 很小，误差可忽略，所以f (x )可以是上任一值f (ξi )．2．已知汽车在时间内以速度v ＝v (t )做直线运动，则下列说法不正确的是( ) A ．当v ＝a (常数)时，汽车做匀速直线运动，这时路程s ＝vt 1B ．当v ＝at ＋b (a ，b 为常数)时，汽车做匀速直线运动，这时路程s ＝bt 1＋12at 21C ．当v ＝at ＋b (a ≠0，a ，b 为常数)时，汽车做匀变速直线运动，这时路程s ＝bt 1＋12at 21D ．当v ＝at 2＋bt ＋c (a ≠0，a ，b ，c 为常数)时，汽车做变速直线运动，这时路程s ＝li m n →∞s n ＝li m n →∞∑i ＝1n v (ξi )Δt解析：选B 对于v ＝at ＋b ，当a ＝0时为匀速直线运动，当a ≠0时为匀变速直线运动，其中a ＞0时为匀加速直线运动，a ＜0时为匀减速直线运动．对于v ＝at 2＋bt ＋c (a ≠0)及v ＝v (t )是t 的三次、四次函数时，汽车做的都是变速(即变加速或变减速)直线运动，故B 是错误的．3．在计算由曲线y ＝－x 2以及直线x ＝－1，x ＝1，y ＝0所围成的图形面积时，若将区间 n 等分，则每个小区间的长度为________．解析：每个小区间长度为1－－n＝2n.答案：2n4.求由抛物线f (x )＝x 2，直线x ＝1以及x 轴所围成的平面图形的面积时，若将区间等分成5个区间，如右图所示，以小区间中点的纵坐标为高，所有小矩形的面积之和为________．解析：由题意得S ＝(0.12＋0.32＋0.52＋0.72＋0.92)×0.2＝0.33.答案：0.335．利用分割、近似代替、求和、取极限的办法求函数y ＝1＋x ，x ＝1，x ＝2的图象与x 轴围成梯形的面积，并用梯形的面积公式加以验证．解：f (x )＝1＋x 在区间上连续，将区间分成n 等份，则每个区间的长度为Δx i ＝1n，在＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋i －1n ，1＋i n 上取ξi ＝x i －1＝1＋i －1n(i ＝1,2,3，…，n )，于是f (ξi )＝f (x i －1)＝1＋1＋i －1n ＝2＋i －1n， 从而S n ＝∑i ＝1nf (ξi )Δx i ＝∑i ＝1n⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋i －1n ·1n ＝∑i ＝1n⎝ ⎛⎭⎪⎫2n ＋i －1n 2＝2n ·n ＋1n 2＝2＋1n2·n n －2＝2＋n －2n ＝52－12n.则S ＝li m n →∞S n＝li m n →∞ ⎝ ⎛⎭⎪⎫52－12n ＝52.如下进行验证：如右图所示，由梯形的面积公式得S ＝12×(2＋3)×1＝52.一、选择题1．下列函数在其定义域上不是连续函数的是( ) A ．y ＝x 2B ．y ＝|x |C ．y ＝xD ．y ＝1x解析：选D 由于函数y ＝1x的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，故其图象不是连续不断的曲线．2．在求由x ＝a ，x ＝b (a <b )，y ＝f (x )(f (x )≥0)及y ＝0围成的曲边梯形的面积S 时，在区间上等间隔地插入n －1个分点，分别过这些分点作x 轴的垂线，把曲边梯形分成n 个小曲边梯形，下列说法中正确的是( )A ．n 个小曲边梯形的面积和等于SB ．n 个小曲边梯形的面积和小于SC ．n 个小曲边梯形的面积和大于SD ．n 个小曲边梯形的面积和与S 之间的大小关系无法确定解析：选A n 个小曲边梯形是所给曲边梯形等距离分割得到的，因此其面积和为S .3．和式∑i ＝15(y i ＋1)可表示为( )A ．(y 1＋1)＋(y 5＋1)B ．y 1＋y 2＋y 3＋y 4＋y 5＋1C ．y 1＋y 2＋y 3＋y 4＋y 5＋5D ．(y 1＋1)(y 2＋1)…(y 5＋1)解析：选C ∑i ＝15(y i ＋1)＝(y 1＋1)＋(y 2＋1)＋(y 3＋1)＋(y 4＋1)＋(y 5＋1)＝y 1＋y 2＋y 3＋y 4＋y 5＋5.4．对于由直线x ＝1，y ＝0和曲线y ＝x 3所围成的曲边三角形，把区间3等分，则曲边三角形面积的近似值(取每个区间的左端点)是( )A.19B.125C.127 D.130解析：选A 将区间三等分为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，13，⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，23，⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，1，各小矩形的面积和为s 1＝03·13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫133·13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫233·13＝19. 5．若做变速直线运动的物体v (t )＝t 2在0≤t ≤a 内经过的路程为9，则a 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4解析：选C 将区间 n 等分，记第i 个区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤a i －n ，ain (i ＝1,2，…，n )，此区间长为a n ，用小矩形面积⎝ ⎛⎭⎪⎫ai n 2·a n 近似代替相应的小曲边梯形的面积，则S n ＝∑i ＝1n⎝⎛⎭⎪⎫ai n 2·an ＝a 3n 3·(12＋22＋…＋n 2)＝a 33·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12n ，依题意得lim n →∞ a 33⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12n ＝9，∴a 33＝9，解得a ＝3.二、填空题6．已知某物体运动的速度为v ＝t ，t ∈，若把区间10等分，取每个小区间右端点处的函数值为近似小矩形的高，则物体运动的路程近似值为________．解析：∵把区间10等分后，每个小区间右端点处的函数值为n (n ＝1,2，…，10)，每个小区间的长度为1，∴物体运动的路程近似值s ＝1×(1＋2＋…＋10)＝55. 答案：557．物体运动的速度和时间的函数关系式为v (t )＝2t (t 的单位：h ；v 的单位：km/h)，近似计算在区间内物体运动的路程时，把区间6等分，则过剩近似值(每个ξi 均取值为小区间的右端点)为________km.解析：以小区间右端点时的速度作为小区间的平均速度，可得过剩近似值为s ＝(2×3＋2×4＋2×5＋2×6＋2×7＋2×8)×1＝66 (km)．答案：668．直线x ＝0，x ＝2，y ＝0与曲线y ＝x 2＋1围成的曲边梯形，将区间5等分，按照区间左端点和右端点估计梯形面积分别为________、________.解析：将区间5等分为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，25，⎣⎢⎡⎦⎥⎤25，45，⎣⎢⎡⎦⎥⎤45，65，⎣⎢⎡⎦⎥⎤65，85，⎣⎢⎡⎦⎥⎤85，2，以小区间左端点对应的函数值为高，得S 1＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫252＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫452＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫652＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫852＋1×25＝3.92，同理S 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫252＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫452＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫652＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫852＋1＋22＋1×25＝5.52.答案：3.92 5.52 三、解答题9．汽车行驶的速度为v ＝t 2，求汽车在0≤t ≤1这段时间内行驶的路程s . 解：(1)分割将区间等分为n 个小区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，1n ，⎣⎢⎡⎦⎥⎤1n ，2n ，…，⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i n ，…，⎣⎢⎡⎦⎥⎤n －1n ，1，每个小区间的长度为Δt ＝i n －i －1n ＝1n . (2)近似代替在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i n (i ＝1,2，…，n )上，汽车近似地看作以时刻i －1n 处的速度v ⎝ ⎛⎭⎪⎫i －1n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫i －1n 2做匀速行驶，则在此区间上汽车行驶的路程为⎝ ⎛⎭⎪⎫i －1n 2·1n . (3)求和在所有小区间上，汽车行驶的路程和为sn ＝02×1n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n 2×1n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2n 2×1n ＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n －1n 2×1n ＝1n 3＝1n 3×n －n n －6＝13⎝⎛⎭⎪⎫1－1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n . (4)取极限汽车行驶的路程 s ＝li m n →∞s n ＝li m n →∞13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＝13.10．求由直线x ＝0，x ＝1，y ＝0和曲线y ＝x (x －1)围成的图形的面积．解：(1)分割将曲边梯形分割成n 个小曲边梯形，在区间上等间隔地插入n －1个点，将区间等分成n 个小区间：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，1n ，⎣⎢⎡⎦⎥⎤1n ，2n ，…，⎣⎢⎡⎦⎥⎤n －1n ，1， 记第i 个区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i n (i ＝1,2，…，n )，其长度为 Δx ＝i n －i －n ＝1n. 把每个小曲边梯形的面积记为ΔS 1，ΔS 2，…，ΔS n .(2)近似代替把每个小曲边梯形近似地看作矩形，可得第i 个小曲边梯形的面积的近似值 ΔS i ≈⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎪⎫i －1n ·Δx ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫i －1n －1·1n＝i －1n 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i －1n (i ＝1,2，…，n )．(3)求和求出这n 个小矩形的面积的和S n ＝∑i ＝1n⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫i －1n ·Δx＝∑i ＝1ni －1n 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i －1n＝16·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n 2，从而得到所求图形面积的近似值S ≈16⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n 2.(4)取极限S ＝lim n →∞ 16·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n 2＝16.所以由直线x ＝0，x ＝1，y ＝0和曲线y ＝x (x －1)围成的图形的面积为16.。
高中数学第一章导数及其应用1.5.1曲边梯形的面积1.5.2汽车行驶的路程课件新人教A版选修2_2
n
ΔSi=
i＝0
ni 2＋2ni ＋1·n1＝
n13(12＋22＋32＋…＋n2)＋n22(1＋2＋3＋…＋n)＋1＝ n13·n（n＋1）6（2n＋1）＋n22·n（n2＋1）＋1＝
1＋n162＋n1＋n1＋2，
S＝ Sn＝
1＋n162＋n1＋n1＋2＝73，
(3)取极限． S＝ Sn＝ 831－n11－21n＝83. 所以所求平面图形的面积为 S 阴影＝2×4－83＝136.所 以 2S 阴影＝332， 即抛物线 y＝x2 与直线 y＝4 所围成的图形面积为332.
类型 2 求变速运动的路程 [典例❷] 汽车以速度 v 做匀速直线运动时，经过时 间 t 所行驶的路程为 s＝vt.如果汽车做变速直线运动，在 时刻 t 的速度为 v(t)＝t2＋2(单位：km/h)，那么它在 1≤t ≤2(单位：h)这段时间内行驶的路程 s 是多少？ 解：将区间[1，2]等分成 n 个小区间，第 i 个小区间 为1＋i－n 1，1＋ni ，第 i 个小区间所对应的小矩形的面积 ΔSi＝v1＋i－n 1·n1，设 n 个小矩形的面积和为 Sn，
第一章 导数及其应用
1．5 定积分的概念 1．5.1 曲边梯形的面积 1．5.2 汽车行驶的路程
[学习目标] 1.了解“以直代曲”“以不变代变”的思 想方法(难点)．
2．了解求曲边梯形面积和变速运动的物体行驶的路 程的方法(重点)．
1．连续函数 如果函数 y＝f(x)在某个区间 I 上的图象是一条连续 不断的曲线，那么就把它称为区间 I 上的连续函数． 温馨提示 连续函数是指在某区间上，而不是指在定 义域上．如 y＝1x在定义域上不是连续1)曲边梯形：由直线 x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0 和曲 线 y＝f(x)所围成的图形称为曲边梯形(如图①)．
高中数学 第一章 导数及其应用 1.5 定积分的概念 1.5.
1．5.1&1.5.2 曲边梯形的面积汽车行驶的路程预习课本P38～44，思考并完成下列问题(1)连续函数与曲边梯形的概念分别是什么？(2)曲边梯形的面积和汽车行驶路程的求解步骤是什么？[新知初探]1．连续函数如果函数y＝f(x)在某个区间I上的图象是一条连续不断的曲线，那么就把它称为区间I上的连续函数．2．曲边梯形的面积(1)曲边梯形：由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的图形称为曲边梯形(如图①)．(2)求曲边梯形面积的方法与步骤：①分割：把区间[a，b]分成许多小区间，进而把曲边梯形拆分为一些小曲边梯形 (如图②)；②近似代替：对每个小曲边梯形“以直代曲”，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值(如图②)；③求和：把以近似代替得到的每个小曲边梯形面积的近似值求和；④取极限：当小曲边梯形的个数趋向无穷时，各小曲边梯形的面积之和趋向一个定值，即为曲边梯形的面积．3．求变速直线运动的位移(路程)如果物体作变速直线运动，速度函数为v＝v(t)，那么也可以采用分割、近似代替、求和、取极限的方法，求出它在a≤t≤b内所作的位移s.[点睛] 当n →＋∞时，所得梯形的面积不是近似值，而是真实值．[小试身手]1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)求汽车行驶的路程时，分割的区间表示汽车行驶的路程．( ) (2)当n 很大时，函数f (x )＝x 2在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i n 上的值，只能用⎝ ⎛⎭⎪⎫i n 2近似代替．( )(3)m i ＝i 2，∑i ＝14m i ＝30.( )答案：(1)× (2)× (3)√2．将区间[1,3]进行10等分需插入________个分点，第三个区间是________． 答案：9 [1.4,1.6]3．做直线运动的物体的速度v ＝2t (m/s)，则物体在前3 s 内行驶的路程为________ m. 答案：9[典例] 求直线x ＝0，x ＝2，y ＝0与曲线y ＝x 2＋1所围成的曲边梯形的面积[参考公式12＋22＋…＋n 2＝16n (n ＋1)(2n ＋1)]．[解] 令f (x )＝x 2＋1.(1)分割：将区间[0,2]n 等分，分点依次为x 0＝0，x 1＝2n ，x 2＝4n，…，x n －1＝n －n，x n ＝2.第i 个区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2i －2n ， 2i n (i ＝1,2，…，n )，每个区间长度为Δx ＝2i n－2i －2n＝2n.(2)近似代替、求和：取ξi ＝2in(i ＝1,2，…，n )，S n ＝∑i ＝1nf ⎝ ⎛⎭⎪⎫2i n ·Δx ＝∑i ＝1n⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫2i n 2＋1·2n＝8n 3∑i ＝1ni 2＋2＝8n3(12＋22＋…＋n 2)＋2＝8n3·n n ＋n ＋6＋2＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋3n ＋1n 2＋2.(3)取极限：S ＝ S n ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤43⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋3n ＋1n 2＋2 ＝143，即所求曲边梯形的面积为143.求曲边梯形面积(1)思想：以直代曲．(2)步骤：分割→近似代替→求和→取极限． (3)关键：近似代替．(4)结果：分割越细，面积越精确． [活学活用]求由直线x ＝1，x ＝2，y ＝0及曲线y ＝x 3所围成的图形的面积．⎝ ⎛⎭⎪⎫提示：13＋23＋…＋n 3＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12n n ＋2解：①分割． 如图所示，用分点n ＋1n ，n ＋2n ，…，n ＋n －n，把区间[1,2]等分成n 个小区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，n ＋1n ，⎣⎢⎡⎦⎥⎤n ＋1n ，n ＋2n ，…，⎣⎢⎡⎦⎥⎤n ＋i －1n ，n ＋i n ，…， ⎣⎢⎡⎦⎥⎤n ＋n －n ，2，每个小区间的长度为Δx ＝n ＋i n －n ＋i －1n ＝1n(i ＝1,2,3，…，n )．过各分点作x 轴的垂线，把曲边梯形ABCD 分割成n 个小曲边梯形，它们的面积分别记作ΔS 1，ΔS 2，…，ΔS n .②近似代替．各小区间的左端点为ξi ，取以点ξi 的纵坐标ξ3i 为一边，以小区间长Δx ＝1n为其邻边的小矩形面积，近似代替小曲边梯形面积．第i 个小曲边梯形面积，可以近似地表示为ΔS i ≈ξ3i ·Δx ＝⎝⎛⎭⎪⎫n ＋i －1n 3·1n(i ＝1,2,3，…，n )．③求和．因为每一个小矩形的面积都可以作为相应的小曲边梯形面积的近似值，所以n 个小矩形面积的和就是曲边梯形ABCD 面积S 的近似值，即S ＝∑i ＝1n ΔS i ≈∑i ＝1n⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫n ＋i －1n 3 ·1n .④取极限．当分点数目越多，即Δx 越小时，和式的值就越接近曲边梯形ABCD 的面积S .因此n →∞，即Δx →0时，和式的极限，就是所求的曲边梯形ABCD 的面积．因为∑i ＝1n⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫n ＋i －1n 3·1n＝1n 4∑i ＝1n(n ＋i －1)3＝1n 4∑i ＝1n[(n －1)3＋3(n －1)2i ＋3(n －1)i 2＋i 3] ＝1n 4[n (n －1)3＋3(n －1)2·n n ＋2＋3(n －1)·n 6·(n ＋1)·(2n ＋1)＋14n 2(n ＋1)2]，所以S ＝∑i ＝1n⎝⎛⎭⎪⎫n ＋i －1n 3·1n＝1＋32＋1＋14＝154.[典例] 一辆汽车作变速直线运动，设汽车在时间t 的速度v (t )＝6t2，求汽车在t ＝1到t ＝2这段时间内运动的路程s .[解] (1)分割：把区间[1,2]等分成n 个小区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤n ＋i －1n ，n ＋i n (i ＝1,2，…，n )，每个区间的长度Δt ＝1n，每个时间段行驶的路程记为Δs i (i ＝1,2，…，n )．故路程和s n ＝∑i ＝1ns i .(2)近似代替：ξi ＝n ＋i －1n(i ＝1,2，…，n )， Δs i ≈v ⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋i －1n ·Δt ＝6·⎝ ⎛⎭⎪⎫n n ＋i －12·1n＝6n n ＋i －2≈6nn ＋i －n ＋i(i ＝1,2,3，…，n )．(3)求和：s n ＝∑i ＝1n6nn ＋i －n ＋i＝6n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＋1n ＋1－1n ＋2＋…＋12n －1－12n＝6n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －12n .(4)取极限：s ＝li m n →∞ s n ＝li m n →∞ 6n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －12n ＝3.求变速直线运动路程的方法求变速直线运动路程的问题，方法和步骤类似于求曲边梯形的面积，用“以直代曲”“逼近”的思想求解．求解过程为：分割、近似代替、求和、取极限．应特别注意变速直线运动的时间区间．[活学活用]已知一质点的运动速度为v (t )＝6t 2＋4(单位：m/s)，求质点开始运动后5 s 内通过的路程．解：(1)分割在时间区间[0,5]上等间隔地插入n －1个点，将区间等分成n 个小区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，5n ，⎣⎢⎡⎦⎥⎤5n ，10n ，…，⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －n，5i n ，…，⎣⎢⎡⎦⎥⎤5n －5n ，5， 其中，第i (1≤i ≤n )个小区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －n，5i n ，其区间长度为5in－i －n＝5n，每个小时间段内的路程记为s 1，s 2，…，s n . (2)近似代替根据题意可得第i (1≤i ≤n )个小时间段内的路程为Δs i ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫6⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －n2＋4·5n＝i －2n 3＋20n.(3)求和每个小时间段内的路程之和为S n ＝∑i ＝1n⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －2n 3＋20n＝750n3[02＋12＋22＋…＋(n －1)2]＋20＝750n 3·16(n －1)n (2n －1)＋20 ＝125n2(2n 2－3n ＋1)＋20.(4)取极限当n →∞时，S n 的极限值就是所求质点运动的路程，s ＝li m n →∞S n ＝li m n →∞ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤125n2n 2－3n ＋＋20＝270，即质点运动的路程为270 m.层级一 学业水平达标1．和式∑i ＝15(x i ＋1)可表示为( )A ．(x 1＋1)＋(x 5＋1)B ．x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5＋1C ．x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5＋5D ．(x 1＋1)(x 2＋1)…(x 5＋1)解析：选C ∑i ＝15(x i ＋1)＝(x 1＋1)＋(x 2＋1)＋(x 3＋1)＋(x 4＋1)＋(x 5＋1)＝x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5＋5.2．在求由x ＝a ，x ＝b (a <b )，y ＝f (x )(f (x )≥0)及y ＝0围成的曲边梯形的面积S 时，在区间[a ，b ]上等间隔地插入n －1个分点，分别过这些分点作x 轴的垂线，把曲边梯形分成n 个小曲边梯形，下列说法中正确的个数是( )①n 个小曲边梯形的面积和等于S ； ②n 个小曲边梯形的面积和小于S ； ③n 个小曲边梯形的面积和大于S ；④n 个小曲边梯形的面积和与S 之间的大小关系无法确定 A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个解析：选A n 个小曲边梯形是所给曲边梯形等距离分割得到的，因此其面积和为S .∴①正确，②③④错误，故应选A.3．在“近似代替”中，函数f (x )在区间[x i ，x i ＋1]上的近似值等于( ) A ．只能是左端点的函数值f (x i ) B ．只能是右端点的函数值f (x i ＋1)C ．可以是该区间内任一点的函数值f (ξi )(ξi ∈[x i ，x i ＋1])D ．以上答案均不正确解析：选C 由求曲边梯形面积的“近似代替”知，C 正确，故应选C.4．在求由函数y ＝1x与直线x ＝1，x ＝2，y ＝0所围成的平面图形的面积时，把区间[1,2]等分成n 个小区间，则第i 个小区间为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i nB.⎣⎢⎡⎦⎥⎤n ＋i －1n ，n ＋i nC ．[i －1，i ]D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤i n ，i ＋1n 解析：选B 把区间[1,2]等分成n 个小区间后，每个小区间的长度为1n，且第i 个小区间的左端点不小于1，排除A 、D ；C 显然错误；故选B.5．函数f (x )＝x 2在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i n 上( )A ．f (x )的值变化很小B ．f (x )的值变化很大C ．f (x )的值不变化D ．当n 很大时，f (x )的值变化很小 解析：选D 当n 很大时，区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i n 的长度1n 越来越小，f (x )的值变化很小，故选D.6.求由抛物线f (x )＝x 2，直线x ＝0，x ＝1以及x 轴所围成的平面图形的面积时，若将区间[0,1] 5等分，如图所示，以小区间中点的纵坐标为高，则所有矩形的面积之和为__________．解析：S ＝15×⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1102＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3102＋⎝ ⎛⎭⎪⎫5102＋⎝ ⎛⎭⎪⎫7102＋⎝ ⎛⎭⎪⎫9102＝0.33.答案：0.337．由直线x ＝0，x ＝1，y ＝0和曲线y ＝x 2＋2x 围成的图形的面积为________________． 解析：将区间[0,1]n 等分，每个区间长度为1n，区间右端点函数值y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫i n 2＋2·i n ＝i 2n2＋2i n.作和S n ＝∑i ＝1n⎝⎛⎭⎪⎫i 2n 2＋2i n 1n ＝∑i ＝1n⎝ ⎛⎭⎪⎫i 2n 3＋2i n 2＝1n 3∑i ＝1ni 2＋2n 2∑i ＝1ni ＝1n 3×16n (n ＋1)(2n ＋1)＋2n 2×n n ＋2＝n ＋n ＋6n2＋n ＋1n ＝8n 2＋9n ＋16n2， ∴所求面积S ＝ 8n 2＋9n ＋16n2＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＋32n ＋16n 2＝43. 答案：438．汽车以v ＝(3t ＋2)m/s 做变速直线运动，在第1 s 到第2 s 间经过的路程是________． 解析：将[1,2]n 等分，并取每个小区间的左端点的速度近似代替，则Δt ＝1n，v (ξi )＝v ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i －1n ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i －1n ＋2＝3n (i －1)＋5.所以s n ＝∑i ＝1n⎣⎢⎡⎦⎥⎤3n i －1＋5·1n＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫3n[0＋1＋2＋…＋n －1]＋5n ·1n＝3n2·n n －12＋5＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋5，所以s ＝s n ＝32＋5＝6.5 (m)．答案：6.5 m9. 求由抛物线y ＝x 2与直线y ＝4所围成的图形的面积． 解：如图，∵y ＝x 2为偶函数，图象关于y 轴对称，∴所求图形的面积应为y ＝x 2(x ≥0)与直线x ＝0，y ＝4所围成的图形面积S 阴影的2倍，下面求S 阴影．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝4，x ≥0，得交点为(2,4)．先求由直线x ＝0，x ＝2，y ＝0和曲线y ＝x 2围成的图形的面积． (1)分割将区间[0,2]n 等分， 则Δx ＝2n，取ξi ＝i －n(i ＝1,2，…，n )．(2)近似代替、求和S n ＝∑i ＝1n⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －n2·2n ＝8n3[02＋12＋22＋32＋…＋(n －1)2]＝83⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n(3)取极限S ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤83⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＝83. ∴S 阴影＝2×4－83＝163.∴2S 阴影＝323.即抛物线y ＝x 2与直线y ＝4所围成的图形的面积为323.10．汽车做变速直线运动，在时刻t 的速度(单位：km/h)为v (t )＝t 2＋2，那么它在1≤t ≤2(单位：h)这段时间行驶的路程为多少？解：将区间[1,2]等分成n 个小区间，第i 个小区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋i －1n ，1＋i n (i ＝1,2，…，n )．第i 个时间区间的路程的近似值为 Δξi ≈Δξi ′＝v (t )·1n＝v ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i －1n ·1n＝3n＋i －n 2＋i －2n 3，于是s n ＝∑i ＝1nΔξi ′＝∑i ＝1n⎣⎢⎡⎦⎥⎤3n ＋i －n 2＋i －2n 3＝n ·3n ＋2n2·[0＋1＋2＋…＋(n －1)]＋1n3[02＋12＋22＋…＋(n －1)2]＝3＋2n 2·n －n2＋1n3·n －nn－6＝3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n .所以s ＝s n ＝3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＝133.故这段时间行驶的路程为133km.层级二 应试能力达标1．设函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，用分点a ＝x 0＜x 1＜…＜x i －1＜x i ＜…＜x n ＝b ，把区间[a ，b ]等分成n 个小区间，在每个小区间[x i －1，x i ]上任取一点ξi (i ＝1,2，…，n )，作和式S n ＝∑i ＝1nf (ξi)Δx (其中Δx 为小区间的长度)，那么S n 的大小( )A ．与f (x )和区间[a ，b ]有关，与分点的个数n 和ξi 的取法无关B ．与f (x )和区间[a ，b ]的分点的个数n 有关，与ξi 的取法无关C ．与f (x )和区间[a ，b ]的分点的个数n ，ξi 的取法都有关D ．与f (x )和区间[a ，b ]的ξi 的取法有关，与分点的个数n 无关解析：选C 用分点a ＝x 0＜x 1＜…＜x i －1＜x i ＜…＜x n ＝b 把区间[a ，b ]等分成n 个小区间，在每个小区间[x i －1，x i ]上任取一点ξi (i ＝1,2，…，n )，作和式S n ＝∑i ＝1nf (ξi )·Δx .若对和式求极限，则可以得到函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝a ，x ＝b ，y ＝0围成的区域的面积，在求极限之前，和式的大小与函数式、分点的个数和变量的取法都有关．2．对于由直线x ＝1，y ＝0和曲线y ＝x 3所围成的曲边三角形，把区间3等分，则曲边三角形面积的近似值(取每个区间的左端点)是( )A.19 B.125 C.127D.130解析：选 A 将区间[0,1]三等分为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，13，⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，23，⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，1，各小矩形的面积和为s 1＝03·13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫133·13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫233·13＝19.3．li m n →∞∑i ＝1n⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫15i n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫5n 的含义可以是( )A ．求由直线x ＝1，x ＝5，y ＝0，y ＝3x 围成的图形的面积B ．求由直线x ＝0，x ＝1，y ＝0，y ＝15x 围成的图形的面积C ．求由直线x ＝0，x ＝5，y ＝0，y ＝3x 围成的图形的面积D ．求由直线x ＝0，x ＝5，y ＝0及曲线y ＝5x围成的图形的面积解析：选C 将区间[0,5]n 等分，则每一区间的长度为5n，各区间右端点对应函数值为y ＝15i n，因此∑i ＝1n⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫15i n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫5n 可以表示由直线x ＝0，x ＝5，y ＝0和y ＝3x 围成的图形的面积的近似值．4．若做变速直线运动的物体v (t )＝t 2，在0≤t ≤a 内经过的路程为9，则a 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选C 将区间[0，a ]分为等长的n 个小区间，第i 个区间记为⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n a ， ia n (i ＝1,2，…，n )，取每个小区间的右端点的速度近似代替，则Δt ＝a n，所以v (t i )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ia n 2，s n＝∑i ＝1n⎝⎛⎭⎪⎫ia n 2·a n ＝a 3n 3(1＋22＋…＋n 2)＝a 3n n ＋n ＋6n 3＝a 36⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋1n ，于是s ＝s n ＝a 36⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋1n ＝a 33＝9，得a ＝3.故选C. 5．已知某物体运动的速度为v ＝t ，t ∈[0,10]，若把区间10等分，取每个小区间右端点处的函数值为近似小矩形的高，则物体运动的路程近似值为________．解析：∵把区间[0,10]10等分后，每个小区间右端点处的函数值为n (n ＝1,2.…，10)，每个小区间的长度为1.∴物体运动的路程近似值S ＝1×(1＋2＋…＋10)＝55. 答案：556.如图，曲线C ：y ＝2x(0≤x ≤2)两端分别为M ，N ，且NA ⊥x 轴于点A ，把线段OA 分成n 等份，以每一段为边作矩形，使其与x 轴平行的边的一个端点在曲线C 上，另一端点在曲线C 的下方，设这n 个矩形的面积之和为S n ，则[(2n －3)(n4－1)S n ]＝__________.解析：依题意可知从原点开始，矩形的高成等比数列，首项为1，公比为22n ，则S n ＝2n(1＋22n ＋24n ＋…＋22n －2n )＝2n·1－22nn1－22n＝2n·－31－n4.所以li m n →∞[(2n －3)(n 4－1)S n ]＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤n －n4－2n·－31－n 4＝12. 答案：127．汽车行驶的速度为v ＝t 2，求汽车在0≤t ≤1这段时间内行驶的路程s . 解：(1)分割将区间[0,1]等分为n 个小区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，1n ，⎣⎢⎡⎦⎥⎤1n ，2n ，…，⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i n ，…，⎣⎢⎡⎦⎥⎤n －1n ，1， 每个小区间的长度为Δt ＝i n －i －1n ＝1n.(2)近似代替 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i n (i ＝1,2，…，n )上，汽车近似地看作以时刻i －1n 处的速度v ⎝ ⎛⎭⎪⎫i －1n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫i －1n 2作匀速行驶，则在此区间上汽车行驶的路程为⎝ ⎛⎭⎪⎫i －1n 2·1n.(3)求和在所有小区间上，汽车行驶的路程和为s n ＝02×1n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n 2×1n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2n 2×1n ＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n －1n 2×1n ＝1n 3[12＋22＋…＋(n －1)2]＝1n 3×n －nn －6＝13⎝⎛⎭⎪⎫1－1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n .(4)取极限 汽车行驶的路程s ＝s n ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＝13.8．弹簧在拉伸的过程中，力与伸长量成正比，即力F (x )＝kx (k 为常数，x 是伸长量)，求将弹簧从平衡位置拉长b 所做的功．解：将物体用常力F 沿力的方向拖动距离x ，则所做的功W ＝F ·x . (1)分割在区间[0，b ]上等间隔地插入n －1个点，将区间[0，b ]等分成n 个小区间：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，b n ，⎣⎢⎡⎦⎥⎤b n ，2b n …，⎣⎢⎡⎦⎥⎤n －bn ，b记第i 个区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －b n ，i ·b n (i ＝1,2，…，n )，其长度为Δx ＝i ·b n －i －b n＝b n . 把在分段⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，b n ，⎣⎢⎡⎦⎥⎤b n，2b n ，…，⎣⎢⎡⎦⎥⎤n －bn ，b 上所做的功分别记作：ΔW 1，ΔW 2，…，ΔW n .(2)近似代替取各小区间的左端点函数值作为小矩形的高，由条件知：ΔW i ≈F ⎝⎛⎭⎪⎫i －b n ·Δx＝k ·i －b n ·bn(i ＝1,2，…，n )． (3)求和W n ＝∑i ＝1nΔW i ≈∑i ＝1nk ·i －b n ·b n＝kb 2n 2[0＋1＋2＋…＋(n －1)] ＝kb 2n 2×n n －2＝kb 22⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n . 从而得到W 的近似值W ≈W n ＝kb 22⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n . (4)取极限W ＝W n ＝∑i ＝1nΔW i ＝kb 22⎝⎛⎭⎪⎫1－1n ＝kb 22.所以将弹簧从平衡位置拉长b 所做的功为kb 22.。
高中数学第一章导数及其应用1.5定积分的概念1.5.1曲边梯形的面积1.5.2汽车行驶的路程课件新人教A选修22
n n 1
2 4
2
2.本例(1)中，若取每个区间的左端点函数值，不经过 计算，比较两个近似值的大小.
【解析】因为函数y=x3在区间［0,1］上是增函数，故 取每个区间的左端点函数值所求的和比取每个区间的
右端点函数值所求的和小.
答案： 1 4
【方法总结】求曲边梯形面积的三个注意点
间上行驶路程的近似值，再求和得s的近似值，最后让
n趋向无穷大就得到s的精确值.
【微思考】 求汽车行驶的路程可以用求曲边梯形面积的方法和步 骤，那变力做功能否用这种方法？ 提示：可以，步骤相同.
【预习自测】 1.下列函数在R上不是连续函数的是( )
A.y=x2
1 x x 【解析】选D.对于函数y= ，当x=0时函数无意义 . 1 x
变速直线运动的路程的求解方法以“_________”的方 不变代变 法，把求变速直线运动的路程问题，化归为求_______ 匀速直 _____________问题.即将区间［a,b］等分成n个区间， 线运动的路程 在每个小区间上，由于v(t)的变化很小，可以认为汽
车近似于做匀速直线运动，从而求得汽车在每个小区
11 C. 27
25 D. 64
(2)(2017·惠州高二检测)求由抛物线y=2x2与直线x=0，
x=t(t>0)，y=0所围成的曲边梯形的面积时，将区间
［0，t］等分成n个小区间，则第i-1个区间为( )
i 1 i A.[ , ] n n t i 1 ti C.[ , ] n n
i i 1 B.[ , ] n n t i 2 t i 1 D.[ , ] n n
【解析】选C.由求曲边梯形面积的“近似代替”知，C 正确.
高中数学第一章导数及其应用1.5.1_1.5.2曲边梯形的面积汽车行驶的路程课时素养评价含解析新人
学习资料课时素养评价九曲边梯形的面积汽车行驶的路程（15分钟30分）1。
当n很大时,函数f（x)=x2在区间上的值可以用下列哪个值近似地代替（）A.fB.f C。
f D。
f（0）【解析】选C.当n很大时,f（x）=x2在上的值可用该区间上任何一点的函数值近似代替.2.设函数f（x）在区间[a，b］上连续，用分点a=x0<x1〈…〈x i—1〈x i<…〈x n=b把区间[a，b］等分成n个小区间,在每个小区间［x i—1，x i］上任取一点ξi(i=1,2,…,n)，作和式S n=f(ξi)Δx（其中Δx为小区间的长度),那么S n的大小( )A。
与f(x）和区间［a，b］有关,与分点的个数n和ξi的取法无关B.与f(x）和区间[a,b］以及分点的个数n有关，与ξi的取法无关C.与f(x)和区间[a,b]以及分点的个数n,ξi的取法都有关D.与f(x)和区间[a,b]以及ξi的取法有关，与分点的个数n无关【解析】选C.由S n的求法可知S n的大小与f（x)和区间［a，b］以及分点的个数n，ξi的取法都有关.3。
直线y=2x+1与直线x=0，x=m,y=0围成图形的面积为6，则正数m= （）A。
1 B。
2 C。
3 D.4【解析】选B。
由题意，直线围成梯形的面积为S=（1+2m+1)m=6，解得m=2，m=-3(舍）。
4。
在计算由曲线y=—x2以及直线x=-1,x=1,y=0所围成的图形的面积时,若将区间［—1，1]n 等分，则每个小区间的长度为______.【解析】区间长度为2，将其n等分得每一个小区间的长度为.答案:5。
求直线x=0,x=2,y=0与曲线y=x2所围成曲边梯形的面积.【解题指南】按分割、近似代替、求和、取极限四个步骤进行.【解析】将区间[0，2]等分成n个小区间，则第i个小区间为。
第i个小区间的面积ΔS i=f·,所以S n=f·==(i-1）2=［02+12+22+…+(n—1)2］=·=.S=S n==,所以所求曲边梯形面积为。