机器学习中的EM算法详解及R语言实例
em算法的应用场景和案例
em算法的应用场景和案例EM算法（Expectation Maximization Algorithm）是一种常用的统计学习方法，主要用于估计含有隐变量的概率模型的参数。
以下是EM算法的一些应用场景和案例：1.K-Means聚类：这是EM算法的硬聚类应用案例。
在K-Means聚类中，我们试图将数据划分为K个不同的簇，其中每个簇的中心是所有属于该簇的数据点的平均值。
EM算法在这里被用来迭代地更新簇的中心和分配数据点到最近的簇。
2.GMM（高斯混合模型）聚类：这是EM算法的软聚类应用案例。
高斯混合模型是一种概率模型，它假设所有的数据点都是由几个高斯分布混合而成的。
EM算法在这里被用来估计每个高斯分布的参数以及每个数据点属于每个高斯分布的概率。
3.PLSA（概率潜在语义分析）模型：在文本挖掘和信息检索中，PLSA模型被用来发现文档和单词之间的潜在主题。
EM算法在这里被用来估计模型中的参数，包括每个文档的主题分布和每个主题中的单词分布。
4.硬币投掷实验：这是一个简单的EM算法应用案例。
假设有三枚硬币A，B，C，我们不知道它们投掷出正面的概率。
在实验中，我们首先投掷硬币A，如果A出现正面，我们就选择硬币B投掷，否则选择硬币C。
我们只观察到了所选择的硬币的投掷结果（正面或反面），而没有观察到硬币A的投掷结果。
EM算法在这里可以被用来估计三枚硬币投掷出正面的概率。
5.在自然语言处理中的应用：EM算法还可以用于词义消歧和主题模型中，例如隐含狄利克雷分布（LDA）。
在这些模型中，EM算法用于估计话题的分布和文档中单词的主题分配。
6.图像处理和计算机视觉：EM算法也广泛应用于图像处理和计算机视觉领域，例如用于混合高斯模型（GMM）来分割图像，或者用于隐马尔可夫模型（HMM）来进行图像序列分析等。
7.在生物信息学中的应用：EM算法在生物信息学中也有广泛的应用，例如在基因表达数据的分析、蛋白质分类和基因序列分析等领域。
EM算法
在医学研究中的应用
ˆ 和 ˆ 2： 3)计算均值和方差的最大似然估计校正值
2 ˆ ˆ 4)重复以上的2-3步,直至 和 收敛为止。
经过EM迭代算法可得:
迭代算法补入的两个数据:第4行第5个为2.5216,第8行第3个为4.5522。
在医学研究中的应用
5)MonteCarlo模拟,随机取 x
假设我们想估计知道A和B两个参数，在开始状态下二者都是未知的，但如果知道了A的信息就可以得到B的信息，反过来 知道了B也就得到了A。可以考虑首先赋予A某种初值，以此得到B的估计值，然后从B的当前值出发，重新估计A的取值， 持续迭代直到收敛为止。
迭代的结果真的有效吗？
从最大似然到EM算法
EM算法推导
里面了。那下一步怎么办啊？你开始喊：“男的左边，女的右边！”。然后你就先统计抽样得 某些男生和女生一见钟情，无法硬把他们拉扯开。那现在这200个人已经混到一起了， 到的 100个男生的身高。 随便指出一个人（的身高），无法确定这个人（的身高）是男生（的身高）还是女生（的身 假设他们的身高是服从高斯分布的。但是这个分布的均值 μ和方差σ2我们不知道，这两个参数 高）。也就是说不知道抽取的那200个人里面的每一个人到底是从男生的那个身高分布里面 就是我们要估计的。记作 θ=[μ,σ2]T 抽取的，还是女生的那个身高分布抽取的。 用数学的语言就是，抽取得到的每个样本都不知道是从哪个分布抽取的。 两个问题需要估计： 一是这个人是男的还是女的？
i 1 zi
p( xi , zi ; ) ln LEM ( ) ln p( xi , zi ; ) ln Q( zi ) Q( zi ) i zi i zi p( xi , zi ; ) Q( zi ) ln Q( zi ) i zi
EM算法
EM算法EM算法--应用到三个模型：高斯混合模型，混合朴素贝叶斯模型，因子分析模型判别模型求的是条件概率p(y|x)，生成模型求的是联合概率p(x,y).即= p(x|y) ? p(y)常见的判别模型有线性回归、对数回归、线性判别分析、支持向量机、boosting、条件随机场、神经网络等。
常见的生产模型有隐马尔科夫模型、朴素贝叶斯模型、高斯混合模型、LDA、RestrictedBoltzmann Machine等。
所以这里说的高斯混合模型，朴素贝叶斯模型都是求p(x,y)联合概率的。
(下面推导会见原因)套路小结：凡是生产模型，目的都是求出联合概率表达式，然后对联合概率表达式里的各个参数再进行估计，求出其表达式。
下面的EM算法，GMM 等三个模型都是做这同一件事：设法求出联合概率，然后对出现的参数进行估计。
一、EM算法：作用是进行参数估计。
应用：（因为是无监督，所以一般应用在聚类上，也用在HMM 参数估计上）所以凡是有EM算法的，一定是无监督学习.因为EM是对参数聚集给定训练样本是高斯混合模型，混合朴素贝叶斯模型，因子分析模型"> 样例独立，我们想要知道每个样例隐含的类别z，使是p(x,z)最大，（即如果将样本x(i)看作观察值，潜在类别z看作是隐藏变量，则x可能是类别z，那么聚类问题也就是参数估计问题，）故p(x,z)最大似然估计是：高斯混合模型，混合朴素贝叶斯模型，因子分析模型">所以可见用到EM算法的模型（高斯混合模型，朴素贝叶斯模型）都是求p(x,y)联合概率，为生成模型。
对上面公式，直接求θ一般比较困难，因为有隐藏变量z存在，但是一般确定了z后，求解就容易了。
EM是一种解决存在隐含变量优化问题的有效方法。
竟然不能直接最大化?(θ)，我们可建立?的下界（E步），再优化下界（M步），见下图第三步，取的就是下界高斯混合模型，混合朴素贝叶斯模型，因子分析模型" action-data="http%3A%2F%%2Fbl og%2F515474%2F201305%2F19180744-0ed136937810 4b548dbee01337f6ba69.jpg" action-type="show-slide"> （总式）解释上式：对于每一个样例i，让Qi表示该样例隐含变量z的某种分布，Qi满足的条件是（如果z 是连续性的，那么Qi是概率密度函数（因子分析模型就是如此），需要将求和符号换成积分符号即：高斯混合模型，混合朴素贝叶斯模型，因子分析模型">因子分析模型是如此，这个会用在EM算法的M步求。
EM算法详细例子及推导
EM算法详细例子及推导EM算法（Expectation-Maximization Algorithm）是一种用于求解含有隐变量（latent variable）的概率模型的参数估计方法。
其基本思想是通过迭代的方式，通过观测数据得到对隐变量的估计，然后再基于该估计对模型参数进行优化。
下面我们以一个简单的高斯混合模型为例，详细介绍EM算法的推导和实例。
1. 高斯混合模型（Gaussian Mixture Model, GMM）高斯混合模型是一种概率模型，由多个高斯分布组合而成。
假设我们观测到的数据由K个高斯分布组成，每个高斯分布对应一个参数向量：均值miu和方差sigma^2、同时，我们还有一个隐变量Z，表示观测数据属于哪个高斯分布，取值范围为{1,2,...,K}。
2.EM算法EM算法的核心思想是通过交替进行两个步骤：E步（Expectation）和M步（Maximization）。
在E步中，我们对当前模型参数下的隐变量进行估计，得到对隐变量的最大似然估计。
在M步中，我们利用得到的隐变量估计更新模型参数，使模型对观测数据的似然函数最大化。
不断重复这两步直至模型收敛。
下面我们通过具体的例子来推导EM算法。
假设我们观测到了一个数据集X = {x1, x2, ..., xn}，我们希望通过EM算法对其进行建模。
Step1: 初始化模型参数首先，我们需要初始化模型参数。
选择K个高斯分布的参数miu和sigma^2，并假设所有的高斯分布对应的隐变量Z服从均匀分布。
这时，我们得到了初始模型参数Theta = {miu1, sigma^21, ..., miuK,sigma^K, pi1, pi2, ..., piK}。
Step2: E步，计算隐变量的后验分布在E步中，我们计算隐变量的后验分布。
对于每个观测样本xi，我们计算其属于每个高斯分布的概率，即：gamma(k,i) = P(Zi=k，xi, Theta) = P(Zi=k，xi, miu_k,sigma_k^2) = pi_k * N(xi，miu_k, sigma_k^2) / sum(pi_j * N(xi，miu_j, sigma_j^2)， j=1 to K其中N(xi，miu_k, sigma_k^2)表示xi在第k个高斯分布下服从的概率密度函数。
EM算法及应用实例
EM算法及应用实例EM算法，全称为Expectation-Maximization算法，是一种常用的统计推断算法，用于在包含隐变量的概率模型中进行参数估计。
EM算法的基本思想是通过交替进行两步操作，一步是求期望（E步），另一步是求极大化解（M步）。
通过交替进行这两步操作，EM算法可以逐步提高模型对参数的估计，并逼近参数的最优解。
EM算法在统计学、机器学习和数据处理等领域有广泛的应用。
下面将对EM算法的两个步骤进行详细介绍，并给出一个应用实例加以说明。
1. E步（Expectation Step）在E步中，给定当前模型参数的估计，计算隐变量的条件概率分布期望（即给定观测数据下的隐变量的期望）。
这一步的目的是根据当前参数估计的情况，计算隐变量的期望，用于下一步的参数估计。
2. M步（Maximization Step）在M步中，给定E步计算得到的隐变量的期望，计算模型参数的估计值，使得参数估计值使得隐变量的期望最大化。
这一步的目的是用E步计算得到的隐变量的期望来修正参数估计。
下面给出一个EM算法的应用实例：高斯混合模型的参数估计。
高斯混合模型是一种常用的概率分布模型，它是由多个高斯分布按一定比例叠加而成。
每个高斯分布被称为一个混合成分，每个混合成分有自己的均值和方差。
给定一个观测数据集，我们希望用高斯混合模型来对这个数据集进行建模，从而估计出每个混合成分的均值和方差。
假设数据集包含N个样本，每个样本是一个d维的向量。
高斯混合模型的参数可以分为两类：混合比例和混合成分参数。
混合比例表示每个混合成分在总体中所占的比例，混合成分参数表示每个混合成分的均值和方差。
假设总共有K个混合成分，则混合比例可以用一个K维向量表示，并满足各个元素之和为1、混合成分的均值和方差可以分别用K个d维向量和K个d×d维矩阵表示。
首先，我们需要初始化混合比例和混合成分参数的估计值。
这些估计值可以随机初始化或者通过其他方式得到。
EM算法及其应用
EM算法及其应用EM算法作为一种常用的统计方法，被广泛应用于各种领域，如计算机视觉、自然语言处理、生物信息学等。
在本文中，我们将详细探讨EM算法及其应用。
一、EM算法概述EM算法（Expectation-Maximization Algorithm）是一种用于概率模型参数估计的迭代算法，由Arthur Dempster等人于1977年提出。
它可以用于处理带有隐变量的模型参数估计，也可以被看做一种极大化带有隐变量的数据似然函数的方法。
EM算法的核心思想是将似然函数分解为两部分，一部分是观测数据，另一部分是隐变量。
在每次迭代中，EM算法首先根据当前参数的值计算出对隐变量的期望，即E步。
然后，它通过极大化在E步中计算出的隐变量的期望下的似然函数来更新参数，即M步。
这个过程不断迭代，直到收敛为止。
二、EM算法应用案例1. 高斯混合模型高斯混合模型（Gaussian Mixture Model，GMM）是一种用来描述多个高斯分布的模型。
在计算机视觉中，GMM被广泛应用于图像分割和姿态估计等领域。
由于图像中的像素值往往服从高斯分布，因此使用GMM进行图像分割时，可以将像素分为多个高斯分布。
使用EM算法进行GMM参数估计的步骤如下：1) 初始化高斯分布的个数和参数；2) E步：计算每个样本属于每个高斯分布的概率，即计算隐变量的期望；3) M步：根据在E步中计算出的隐变量的期望，更新高斯分布的均值和方差。
4) 不断迭代E步和M步，直到收敛。
2. K均值聚类K均值聚类是一种无监督学习的算法，它将n个样本划分为k 个簇，使得每个样本都属于距离它最近的簇。
这种算法被广泛应用于图像分割和文本聚类等领域。
使用EM算法进行K均值聚类的步骤如下：1) 随机初始化k个簇的中心点；2) E步：将每个样本分配到距离它最近的簇中，即计算隐变量的期望；3) M步：根据在E步中计算出的隐变量的期望，更新每个簇的中心点；4) 不断迭代E步和M步，直到收敛。
em算法
em算法EM 算法是Dempster,Laind,Rubin 于1977 年提出的求参数极大似然估计的一种方法，它可以从非完整数据集中对参数进行MLE 估计，是一种非常简单实用的学习算法。
这种方法可以广泛地应用于处理缺损数据，截尾数据，带有噪声等所谓的不完全数据。
最大期望算法经过两个步骤交替进行计算：1）计算期望（E），利用概率模型参数的现有估计值，计算隐藏变量的期望；2）最大化（M），利用E 步上求得的隐藏变量的期望，对参数模型进行最大似然估计。
3）M 步上找到的参数估计值被用于下一个E 步计算中，这个过程不断交替进行。
总体来说，EM的算法流程如下：1.初始化分布参数2.重复直到收敛：E步骤：估计未知参数的期望值，给出当前的参数估计。
M步骤：重新估计分布参数，以使得数据的似然性最大，给出未知变量的期望估计。
EM算法流程假定集合由观测数据和未观测数据组成，和分别称为不完整数据和完整数据。
假设Z的联合概率密度被参数化地定义为，其中表示要被估计的参数。
的最大似然估计是求不完整数据的对数似然函数的最大值而得到的：EM算法包括两个步骤：由E步和M步组成，它是通过迭代地最大化完整数据的对数似然函数的期望来最大化不完整数据的对数似然函数，其中：假设在算法第t次迭代后获得的估计记为，则在(t+1)次迭代时，E-步：计算完整数据的对数似然函数的期望，记为：M-步：通过最大化来获得新的。
通过交替使用这两个步骤，EM算法逐步改进模型的参数，使参数和训练样本的似然概率逐渐增大，最后终止于一个极大点。
直观地理解EM算法，它也可被看作为一个逐次逼近算法：事先并不知道模型的参数，可以随机的选择一套参数或者事先粗略地给定某个初始参数，确定出对应于这组参数的最可能的状态，计算每个训练样本的可能结果的概率，在当前的状态下再由样本对参数修正，重新估计参数λ，并在新的参数下重新确定模型的状态，这样，通过多次的迭代，循环直至某个收敛条件满足为止，就可以使得模型的参数逐渐逼近真实参数。
机器学习中的EM算法详解及R语言实例
机器学习中的EM算法详解及R语言实例最大期望算法（EM）来自WXin gong zhong 号datadwK均值算法非常简单（可参见之前发布的博文），详细读者都可以轻松地理解它。
但下面将要介绍的EM算法就要困难许多了，它与极大似然估计密切相关。
1 算法原理不妨从一个例子开始我们的讨论，假设现在有100个人的身高数据，而且这100条数据是随机抽取的。
一个常识性的看法是，男性身高满足一定的分布（例如正态分布），女性身高也满足一定的分布，但这两个分布的参数不同。
我们现在不仅不知道男女身高分布的参数，甚至不知道这100条数据哪些是来自男性，哪些是来自女性。
这正符合聚类问题的假设，除了数据本身以外，并不知道其他任何信息。
而我们的目的正是推断每个数据应该属于哪个分类。
所以对于每个样本，都有两个需要被估计的项，一个就是它到底是来自男性身高的分布，还是来自女性身高的分布。
另外一个就是，男女身高分布的参数各是多少。
既然我们要估计知道A和B两组参数，在开始状态下二者都是未知的，但如果知道了A的信息就可以得到B的信息，反过来知道了B也就得到了A。
所以可能想到的一种方法就是考虑首先赋予A某种初值，以此得到B的估计，然后从B的当前值出发，重新估计A的取值，这个过程一直持续到收敛为止。
你是否隐约想到了什么？是的，这恰恰是K均值算法的本质，所以说K均值算法中其实蕴含了EM算法的本质。
EM算法，又称期望最大化（Expectation Maximization）算法。
在男女身高的问题里面，可以先随便猜一下男生身高的正态分布参数：比如可以假设男生身高的均值是1.7米，方差是0.1米。
当然，这仅仅是我们的一个猜测，最开始肯定不会太准确。
但基于这个猜测，便可计算出每个人更可能属于男性分布还是属于女性分布。
例如有个人的身高是1.75米，显然它更可能属于男性身高这个分布。
据此，我们为每条数据都划定了一个归属。
接下来就可以根据最大似然法，通过这些被大概认为是男性的若干条数据来重新估计男性身高正态分布的参数，女性的那个分布同样方法重新估计。
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最大期望算法（EM）
来自 WXin gong zhong 号 datadw
K 均值算法非常简单（可参见之前发布的博文），详细读者都可以轻松 地理解它。但下面将要介绍的 EM 算法就要困难许多了，它与极大似然 估计密切相关。
1 算法原理
不妨从一个例子开始我们的讨论，假设现在有 100 个人的身高数据，而 且这 100 条数据是随机抽取的。一个常识性的看法是，男性身高满足一 定的分布（例如正态分布），女性身高也满足一定的分布，但这两个分 布的参数不同。我们现在不仅不知道男女身高分布的参数，甚至不知道 这 100 条数据哪些是来自男性，哪些是来自女性。这正符合聚类问题的 假设，除了数据本身以外，并不知道其他任何信息。而我们的目的正是 推断每个数据应该属于哪个分类。所以对于每个样本，都有两个需要被 估计的项，一个就是它到底是来自男性身高的分布，还是来自女性身高 的分布。另外一个就是，男女身高分布的参数各是多少。
4.2 应用实例 软件包 mclust 提供了利用高斯混合模型对数据进行聚类分析的方法。 其中函数 Mclust()是进行 EM 聚类的核心函数，它的基本调用格式为
在正式介绍 EM 算法的原理和执行过程之前，此处首先对边缘分布的概 念稍作补充。
2. 收敛探讨
下面我们将讨论高斯混合模型（ＧＭＭ），相当于是 EM 的一种实现。 并给出在 R 中进行数据挖掘的实例。
4. 高斯混合模型
高斯混合模型（GMM，Gaussian Mixture Model）可以看成பைடு நூலகம் EM 算 法的一种现实应用。利用这个模型可以解决聚类分析、机器视觉等领域 中的许多实际问题。
既然我们要估计知道 A 和 B 两组参数，在开始状态下二者都是未知的， 但如果知道了 A 的信息就可以得到 B 的信息，反过来知道了 B 也就得 到了 A。所以可能想到的一种方法就是考虑首先赋予 A 某种初值，以此 得到 B 的估计，然后从 B 的当前值出发，重新估计 A 的取值，这个过 程一直持续到收敛为止。你是否隐约想到了什么？是的，这恰恰是 K 均 值算法的本质，所以说 K 均值算法中其实蕴含了 EM 算法的本质。
EM 算法，又称期望最大化（Expectation Maximization）算法。在男 女身高的问题里面，可以先随便猜一下男生身高的正态分布参数：比如 可以假设男生身高的均值是 1.7 米，方差是 0.1 米。当然，这仅仅是我 们的一个猜测，最开始肯定不会太准确。但基于这个猜测，便可计算出 每个人更可能属于男性分布还是属于女性分布。例如有个人的身高是 1.75 米，显然它更可能属于男性身高这个分布。据此，我们为每条数据 都划定了一个归属。接下来就可以根据最大似然法，通过这些被大概认 为是男性的若干条数据来重新估计男性身高正态分布的参数，女性的那 个分布同样方法重新估计。然后，当更新了这两个分布的时候，每一个 属于这两个分布的概率又发生了改变，那么就再需要调整参数。如此迭 代，直到参数基本不再发生变化为止。
4.1 模型推导
在讨论 EM 算法时，我们并未指定样本来自于何种分布。实际应用中， 常常假定样本是来自正态分布之总体的。也就是说，在进行聚类分析时， 认为所有样本都来自具有不同参数控制的数个正态总体。例如前面讨论 的男性女性身高问题，我们就可以假定样本数据是来自如图 13-5 所示 的一个双正态分布混合模型。这便有了接下来要讨论的高斯混合模型。