苏科版中考专题之尺规作图

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中考专题--尺规作图

D
C
A
B
G
3．如图，G是线段AB上一点，AC与DG相交于E 点．请先作出∠ABC的平分线BF，交AC于点F；（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法与证明）然后证明：当AD//BC，AD=BC，∠ABC=2∠ADG时， DE=BF． D E C
A
G
B
4、画已知线段的垂直平分线（重点）
已知：线段AB。求作：作直线CD交AB于O，使CD⊥AB,且AO=BO.
步骤： 1、分别以点A、B为圆心，以大于AB一半的长为半径画弧，两弧的交于点C、D。 2、连结CD。则CD是线段AB的垂直平分线．
C A B
D
5.过定点作已知直线的垂线 5.过定点作已知直线的垂线（重点）
3、平分已知角（重点）
已知： AOB。已知： ∠AOB。
求作：射线OC， AOC=∠ BOC。求作：射线OC，使∠AOC=∠ BOC。 OC
B
E
C
O
D
A
作法：
1、以点O为圆心，任意长为半径画弧分别交OA、 OB于点D、E。 2、分别以D、E为圆心、大于DE的一半的长为半径画弧，在∠AOB内两弧交于点C。 3、作射线O和圆规来画图,称为尺规作图.最基本,最常用的尺规作图,通常称基本作图.其中,直尺是没有刻度的; 一些复杂的尺规作图都是由基本作图组成的.以前学过的”作一条线段等于已知线段”,就是一种基本作图. 下面介绍几种基本作图: 复习）下面介绍几种基本作图:（复习）
中考模拟
1．如图，在 ABC中，AB=AC=5,BC=8．用尺规作图作边BC上的中线AD.（保留作图痕迹，不要求写作法），并求AD的长． A
B
C
2．如图，AC是平行四边形ABCD的对角线．（1）请按如下步骤完成作图（保留作图痕迹）： ①分别以A,C为圆心，以大于1/2AC长为半径画弧，弧在AC两侧的交点分别为P,Q； ②连结PQ,PQ分别与AB,AC,CD交于点E,O,F． (2)求证：AE=CF

苏科版2019-2020初三数学中考专题复习——尺规作图

初三数学专题复习尺规作图【基础训练】1．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，以B为圆心，BC的长为半径圆弧，交AC于点D，连接BD，则∠ABD＝．2．如图，在▱ABCD中，CD＝8，BC＝10，按以下步骤作图：①以点C为圆心，适当长度为半径作弧，分别交BC，CD于M，N两点；②分别以点M，N为圆心，以大于MN的长为半径画弧，两弧在▱ABCD的内部交于点P；③连接CP并延长交AD于点E，交BA的延长线于点F，则AF的长为．3．如图，△ABC中，AB＝5，AC＝4，以点A为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB、AC于D 和E，再分别以点D、E为圆心，大于二分之一DE为半径作弧，两弧交于点F，连接AF并延长交BC于点G，GH⊥AC于H，GH＝2，则△ABG的面积为．4．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是菱形，点A的坐标为（0，），分别以A，B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧交于点E，F，直线EF恰好经过点D，则点D的坐标为．5．已知⊙O1，⊙O2，⊙O3是等圆，△ABP内接于⊙O1，点C，E分别在⊙O2，⊙O3上．如图，①以C为圆心，AP长为半径作弧交⊙O2于点D，连接CD；②以E为圆心，BP长为半径作弧交⊙O3于点F，连接EF；下面有四个结论：①CD+EF＝AB ②③∠CO2D+∠EO3F＝∠AO1B④∠CDO2+∠EFO3＝∠P 所有正确结论的序号是．6．下面是小明设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程．已知：如图1，直线BC及直线BC外一点P．求作：直线PE，使得PE∥BC．作法：如图2．①在直线BC上取一点A，连接P A；②作∠P AC的平分线AD；③以点P为圆心，P A长为半径画弧，交射线AD于点E；④作直线PE．所以直线PE就是所求作的直线．根据小明设计的尺规作图过程．（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：∵AD平分∠P AC，∴∠P AD＝∠CAD．∵P A＝PE，∴∠P AD＝，∴∠PEA＝，∴PE∥BC．（）（填推理依据）．【典型例题】例1．已知：如图，四边形ABCD是平行四边形．（1）用直尺和圆规在BC、AD上分别求作点E，F使AECF为菱形（不要求写作法，保留作图痕迹）；（2）求证：AECF为菱形．例2．如图，∠MAN＝90°，B，C分别为射线AM，AN上的两个动点，将线段AC绕点A逆时针旋转30°到AD，连接BD交AC于点E．（1）当∠ACB＝30°时，依题意补全图形，并直接写出的值；（2）写出一个∠ACB的度数，使得，并证明．例3．已知，如图，△ABC中，∠C＝90°，E为BC边中点．（1）尺规作图：以AC为直径，作⊙O，交AB于点D（保留作图痕迹，不需写作法）．（2）连结DE，求证：DE为⊙O的切线；（3）若AC＝5，DE＝，求BD的长．【巩固练习】1．如图，已知∠MON及其边上一点A．以点A为圆心，AO长为半径画弧，分别交OM，ON于点B和C．再以点C为圆心，AC长为半径画弧，恰好经过点B．错误的结论是（）A．S△AOC＝S△ABC B．∠OCB＝90°C．∠MON＝30°D．OC＝2BC2．已知直线l及直线l外一点P．如图，（1）在直线l上取一点A，连接PA；（2）作PA的垂直平分线MN，分别交直线l，PA于点B，O；（3）以O为圆心，OB长为半径画弧，交直线MN于另一点Q；（4）作直线PQ．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（）A．△OPQ≌△OAB B．PQ∥AB C．AP＝BQ D．若PQ＝PA，则∠APQ＝60°3．数学课上，老师提出如下问题：△ABC是⊙O的内接三角形，OD⊥BC于点D．请借助直尺，画出△ABC中∠BAC的平分线．晓龙同学的画图步骤如下：（1）延长OD交于点M；（2）连接AM交BC于点N．所以线段AN为所求△ABC中∠BAC的平分线．请回答：晓龙同学画图的依据是．4．已知锐角∠AOB，如图，（1）在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径作，交射线OB于点D，连接CD；（2）分别以点C，D为圆心，CD长为半径作弧，交于点M，N；（3）连接OM，MN，ON．根据以上作图过程及所作图形，若∠AOB＝20°，则∠OMN＝．5．如图，在菱形ABCD中，按以下步骤作图：①分别以点A和B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于点E、F；②作直线EF交BC于点G，连接AG；若AG⊥BC，CG＝3，则AD的长为．6．如图是一块直角三角形木板，其中∠C＝90°，AC＝1.5m，面积为1.5m2．一位木匠想把它加工成一个面积最大且无拼接的正方形桌面，∠C是这个正方形的一个内角．（1）请你用尺规为这位木匠在图中作出符合要求的正方形；（2）求加工出的这个正方形的边长．7．请仅用无刻度的直尺在下列图1和图2中按要求画菱形．（1）图1是矩形ABCD，E，F分别是AB和AD的中点，以EF为边画一个菱形；（2）图2是正方形ABCD，E是对角线BD上任意一点（BE＞DE），以AE为边画一个菱形．8．如图，AB为半圆O的直径，C为半圆上一点，AC＜BC．（1）请用直尺（不含刻度）与圆规在BC上作一点D，使得直线OD平分ABC的周长；（不要求写作法，但要保留作图痕迹）（2）在（1）的条件下，若AB＝10，OD＝，求△ABC的面积．9．如图，B是⊙O的半径OA上的一点（不与端点重合），过点B作OA的垂线交⊙O于点C，D，连接OD．E是⊙O上一点，，过点C作⊙O的切线l，连接OE并延长交直线l于点F．（1）①依题意补全图形；②求证：∠OFC＝∠ODC；（2）连接FB，若B是OA的中点，⊙O的半径是4，求FB的长．10．已知⊙O及⊙O外一点P．（1）方法证明：如何用直尺和圆规过点P作⊙O的一条切线呢？小明设计了如图①所示的方法：①连接OP，以OP为直径作⊙O′；②⊙O′与⊙O相交于点A，作直线P A．则直线P A即为所作的过点P的⊙O的一条切线．请证明小明作图方法的正确性．（2）方法迁移：如图②，已知线段l，过点P作一条直线与⊙O相交，且该直线被⊙O所截得的弦长等于l．（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）。

2023年中考数学---《尺规作图》知识总结与专项练习题(含答案解析)

2023年中考数学---《尺规作图》知识总结与专项练习题（含答案解析）知识总结1.尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图．只使用圆规和直尺，并且只准许使用有限次，来解决不同的平面几何作图题．2.基本要求它使用的直尺和圆规带有想像性质，跟现实中的并非完全相同．①直尺必须没有刻度，无限长，且只能使用直尺的固定一侧．只可以用它来将两个点连在一起，不可以在上画刻度．②圆规可以开至无限宽，但上面亦不能有刻度．它只可以拉开成你之前构造过的长度3.基本作图有：（1）作一条线段等于已知线段．（2）作一个角等于已知角．（3）作已知线段的垂直平分线．具体步骤：①以线段两个端点为圆心，大于线段长度的一半为半径画圆弧，两圆弧在线段的两侧别分交于M、N。

如图①②连接MN，过MN的直线即为线段的垂直平分线。

如图②（4）作已知角的角平分线．具体步骤：①以角的顶点O为圆心，一定长度为半径画圆弧，圆弧与角的两边分别交于两点M、N。

如图①。

②分别以点M与点N为圆心，大于MN长度的一半为半径画圆弧，两圆弧交于点P。

如图②。

③连接OP，OP即为角的平分线。

（5）过一点作已知直线的垂线．4.复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作。

5.设计作图：应用与设计作图主要把简单作图放入实际问题中．首先要理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图。

专项练习题1．尺规作图（保留作图痕迹，不要求写出作法）：如图，已知线段m，n．求作△ABC，使∠A＝90°，AB＝m，BC＝n．【分析】先在直线l上取点A，过A点作AD⊥l，再在直线l上截取AB＝m，然后以B点为圆心，n为半径画弧交AD于C，则△ABC满足条件．【解答】解：如图，△ABC为所作．2．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD是△ABC的角平分线．（1）作∠ACB的角平分线，交AB于点E（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；（2）求证：AD＝AE．【分析】（1）按照角平分线的作图步骤作图即可．（2）证明△ACE≌△ABD，即可得出AD＝AE．【解答】（1）解：如图所示．（2）证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵BD是∠ABC的角平分线，CE是∠ABC的角平分线，∴∠ABD＝∠ACE，∵AB＝AC，∠A＝∠A，∴△ACE≌△ABD（ASA），∴AD＝AE．3．如图，已知线段AC和线段a．（1）用直尺和圆规按下列要求作图．（请保留作图痕迹，并标明相应的字母，不写作法）①作线段AC的垂直平分线l，交线段AC于点O；②以线段AC为对角线，作矩形ABCD，使得AB＝a，并且点B在线段AC的上方．（2）当AC＝4，a＝2时，求（1）中所作矩形ABCD的面积．【分析】（1）①按照线段垂直平分线的作图步骤作图即可．②以点O为圆心，OA的长为半径画弧，再以点A为圆心，线段a的长为半径画弧，两弧在线段AC上方交于点B，同理，以点O为圆心，OC的长为半径画弧，再以点C为圆心，线段a的长为半径画弧，两弧在线段AC下方交于点D，连接AD，CD，AB，BC，即可得矩形ABCD．（2）利用勾股定理求出BC，再利用矩形的面积公式求解即可．【解答】解：（1）①如图，直线l即为所求．②如图，矩形ABCD即为所求．（2）∵四边形ABCD为矩形，∴∠ABC＝90°，∵a＝2，∴AB＝CD＝2，∴BC＝AD＝＝＝，∴矩形ABCD的面积为AB•BC＝2×＝．4．如图，四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝BC，AD⊥DC于点D．（1）用尺规作∠ABC的角平分线，交CD于点E；（不写作法，保留作图痕迹）（2）连接AE．求证：四边形ABCE是菱形．【分析】（1）根据角平分线的作图步骤作图即可．（2）由角平分线的定义和平行四边形的判定定理，可得四边形ABCE为平行四边形，再结合AB＝BC，可证得四边形ABCE为菱形．【解答】（1）解：如图所示．（2）证明：∵BE是∠ABC的角平分线，∴∠ABE＝∠CBE，∵AB∥CD，∴∠ABE＝∠BEC，∴∠CBE＝∠BEC，∴BC＝EC，∵AB＝BC，∴AB＝EC，∴四边形ABCE为平行四边形，∵AB＝BC，∴四边形ABCE为菱形．5．如图，在4×4的方格纸中，点A，B在格点上．请按要求画出格点线段（线段的端点在格点上），并写出结论．（1）在图1中画一条线段垂直AB．（2）在图2中画一条线段平分AB．【分析】（1）利用数形结合的思想作出图形即可；（2）利用矩形的对角线互相平分解决问题即可．【解答】解：（1）如图1中，线段EF即为所求（答案不唯一）；（2）如图2中，线段EF即为所求（答案不唯一）．6．“水城河畔，樱花绽放，凉都宫中，书画成风”的风景，引来市民和游客争相“打卡”留念．已知水城河与南环路之间的某路段平行宽度为200米，为避免交通拥堵，请在水城河与南环路之间设计一条停车带，使得每个停车位到水城河与到凉都宫点F的距离相等．（1）利用尺规作出凉都宫到水城河的距离（保留作图痕迹，不写作法）；（2）在图中格点处标出三个符合条件的停车位P1，P2，P3；（3）建立平面直角坐标系，设M（0，2），N（2，0），停车位P（x，y），请写出y与x之间的关系式，在图中画出停车带，并判断点P（4，﹣4）是否在停车带上．【分析】（1）利用过直线外一点作垂线的方法作图即可；（2）根据停车位到水城河与到凉都宫点F的距离相等，可得点P1，P2，P3；（3）根据停车位P（x，y）到点F（0，﹣1）和直线y＝1的距离相等，得1﹣y＝，从而解决问题．【解答】解：（1）如图，线段F A的长即为所求；（2）如图，点P1，P2，P3即为所求；（3）∵停车位P（x，y）到点F（0，﹣1）和直线y＝1的距离相等，∴1﹣y＝，化简得y＝﹣，当x＝4时，y＝﹣4，∴点P（4，﹣4）在停车带上．7．图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点，△ABC的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹．（1）网格中△ABC的形状是；（2）在图①中确定一点D，连结DB、DC，使△DBC与△ABC全等；（3）在图②中△ABC的边BC上确定一点E，连结AE，使△ABE∽△CBA；（4）在图③中△ABC的边AB上确定一点P，在边BC上确定一点Q，连结PQ，使△PBQ∽△ABC，且相似比为1：2．【分析】（1）利用勾股定理的逆定理证明即可；（2）根据全等三角形的判定，作出图形即可；（3）根据相似三角形的判定作出图形即可；（4）作出AB，BC的中点P，Q即可．【解答】解：（1）∵AC＝＝，AB＝＝2，BC＝5，∴AC2+AB2＝BC2，∴∠BAC＝90°，∴△ABC是直角三角形；故答案为：直角三角形；（2）如图①中，点D，点D′，点D″即为所求；（3）如图②中，点E即为所求；（4）如图③，点P，点Q即为所求．8．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠ABC＝45°．（1）请用尺规作出⊙O的切线AD（保留作图痕迹，不写作法）；（2）在（1）的条件下，若AB与切线AD所夹的锐角为75°，⊙O的半径为2，求BC的长．【分析】（1）过点A作AD⊥AO即可；（2）连接OB，OC．证明∠ACB＝75°，利用三角形内角和定理求出∠CAB，推出∠BOC＝120°，求出CH可得结论．【解答】解：（1）如图，切线AD 即为所求；（2）过点O 作OH ⊥BC 于H ，连接OB ，OC ．∵AD 是切线，∴OA ⊥AD ，∴∠OAD ＝90°，∵∠DAB ＝75°，∴∠OAB ＝15°，∵OA ＝OB ，∴∠OAB ＝∠OBA ＝15°，∴∠BOA ＝150°，∴∠BCA ＝∠AOB ＝75°，∵∠ABC ＝45°，∴∠BAC ＝180°﹣45°﹣75°＝60°，∴∠BOC ＝2∠BAC ＝120°，∵OB ＝OC ＝2，∴∠BCO ＝∠CBO ＝30°，∵OH ⊥BC ，∴CH ＝BH ＝OC •cos30°＝，∴BC ＝2． 9．如图，在△ABC 中，AD 是△ABC 的角平分线，分别以点A ，D 为圆心，大于21AD 的长为半径作弧，两弧交于点M ，N ，作直线MN ，分别交AB ，AD ，AC 于点E ，O ，F ，连接DE ，DF ．（1）由作图可知，直线MN 是线段AD 的．（2）求证：四边形AEDF是菱形．【分析】（1）根据作法得到MN是线段AD的垂直平分线；（2）根据垂直平分线的性质则AF＝DF，AE＝DE，进而得出DF∥AB，同理DE∥AF，于是可判断四边形AEDF是平行四边形，加上F A＝FD，则可判断四边形AEDF为菱形．【解答】（1）解：根据作法可知：MN是线段AD的垂直平分线；故答案为：垂直平分线；（2）证明：∵MN是AD的垂直平分线，∴AF＝DF，AE＝DE，∴∠F AD＝∠FDA，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∴∠FDA＝∠BAD，∴DF∥AB，同理DE∥AF，∴四边形AEDF是平行四边形，∵F A＝FD，∴四边形AEDF为菱形．10．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝8，BC＝5．（1）作BC的垂直平分线，分别交AB、BC于点D、H；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）的条件下，连接CD，求△BCD的周长．【分析】（1）利用基本作图，作BC的垂直平分线即可；（2）根据线段垂直平分线的性质得到DC＝DB，则利用等角的余角相等得到∠A＝∠DCA，则DC＝DA，然后利用等线段代换得到△BCD的周长＝AB+BC．【解答】解：（1）如图，DH为所作；（2）∵DH垂直平分BC，∴DC＝DB，∴∠B＝∠DCB，∵∠B+∠A＝90°，∠DCB+∠DCA＝90°，∴∠A＝∠DCA，∴DC＝DA，∴△BCD的周长＝DC+DB+BC＝DA+DB+BC＝AB+BC＝8+5＝13．11．已知：△ABC．（1）尺规作图：用直尺和圆规作出△ABC内切圆的圆心O．（只保留作图痕迹，不写作法和证明）（2）如果△ABC的周长为14cm，内切圆的半径为1.3cm，求△ABC的面积．【分析】（1）作∠ABC，∠ACB的角平分线交于点O，点O即为所求；（2）△ABC的面积＝（a+b+c）•r计算即可．【解答】解：（1）如图，点O即为所求；（2）由题意，△ABC的面积＝×14×1.3＝9.1（cm2）．12．已知四边形ABCD为矩形，点E是边AD的中点，请仅用无刻度的直尺完成下列作图，不写作法，保留作图痕迹．（1）在图1中作出矩形ABCD的对称轴m，使m∥AB；（2）在图2中作出矩形ABCD的对称轴n，使n∥AD．【分析】（1）如图1中，连接AC，BD交于点O，作直线OE即可；（2）如图2中，同法作出点O，连接BE交AC于点T，连接DT，延长TD交AB于点R，作直线OR即可．【解答】解：（1）如图1中，直线m即为所求；（2）如图2中，直线n即为所求；13．如图，在10×10的正方形网格中，小正方形的顶点称为格点，顶点均在格点上的图形称为格点图形，图中△ABC为格点三角形．请按要求作图，不需证明．（1）在图1中，作出与△ABC全等的所有格点三角形，要求所作格点三角形与△ABC有一条公共边，且不与△ABC重叠；（2）在图2中，作出以BC为对角线的所有格点菱形．【分析】（1）根据全等三角形的判定画出图形即可；（2）根据菱形的定义画出图形即可．【解答】解：（1）如图1中，△ABD1，△ABD2，△ACD3，△ACD4，△CBD5即为所求；（2）如图2中，菱形ABDC，菱形BECF即为所求．14．【问题提出】如何用圆规和无刻度的直尺作一条直线或圆弧平分已知扇形的面积？【初步尝试】如图1，已知扇形OAB，请你用圆规和无刻度的直尺过圆心O作一条直线，使扇形的面积被这条直线平分；【问题联想】如图2，已知线段MN，请你用圆规和无刻度的直尺作一个以MN为斜边的等腰直角三角形MNP；【问题再解】如图3，已知扇形OAB，请你用圆规和无刻度的直尺作一条以点O为圆心的圆弧，使扇形的面积被这条圆弧平分．（友情提醒：以上作图均不写作法，但需保留作图痕迹）【分析】【初步尝试】如图1，作∠AOB的角平分线OP即可；【问题联想】如图2，作线段MN的垂直平分线RT，垂足为R，在射线RT上截取RP＝RM，连接MP，NP，三角形MNP即为所求；【问题再解】方法一：构造等腰直角三角形OBE，作BC⊥OE，以O为圆心，OC为半径画弧交OB于点D，交OA于点F，弧DF即为所求．方法二：作OB的中垂线交OB于点C，然后以C为圆心，CB长为半径画弧交OB中垂线于点D，再以O为圆心，OD长为半径画弧分别交OA、OB于点E、F．则弧EF即为所求．【解答】解：【初步尝试】如图1，直线OP即为所求；【问题联想】如图2，三角形MNP即为所求；【问题再解】如图3中，即为所求．15．如图，在6×6的方格纸中，点A，B，C均在格点上，试按要求画出相应格点图形．（1）如图1，作一条线段，使它是AB向右平移一格后的图形；（2）如图2，作一个轴对称图形，使AB和AC是它的两条边；（3）如图3，作一个与△ABC相似的三角形，相似比不等于1．【分析】（1）把点B、A向右作平移1个单位得到CD；（2）作A点关于BC的对称点D即可；（3）延长CB到D使CD＝2CB，延长CA到E点使CE＝2CA，则△EDC满足条件．【解答】解：（1）如图1，CD为所作；（2）如图2，（3）如图3，△EDC为所作．。

第44课时：尺规作图(2)

第44课时尺规作图（2）班级________姓名________学号________一、中考考点：1、了解尺规作图的步骤，对于尺规作图题，会用准确的作图语言写已知、求作和作法（不要求证明）．2、运用尺规基本作图解决有关的作图问题．二、典型例题：例１、如图A 、B 、C 三点表示三个城市．现计划要建一个电厂为三个城市供电，使它到三个城市的距离相等．(1)在图中作出电厂O 的位置,写出作法；(2)如再建一个物资批发站,使物资批发站到电厂的距离也等于电厂到三个城市的距离,且物资批发站P 到A 、C 两个城市的距离相等，物资批发站应建在何处？请作出其位置．例2、某农场有一块三角形土地，准备分成面积相等的4块，分别承包给4位农户，请你设计两种不同的分配方案．(在已给的图形中直接画图，保留画图痕迹，不写画法)例3、如图，小云在为班级办黑板报时遇到了一个难题，在版面设计过程中需将一个半圆面三等分，请你帮助她设计一个合理的等分方案．要求用尺规作出图形,保留作图痕迹,并简要写出作法．例4、在平面直角坐标系内,已知点A(2,1), o 为坐标原点.请你在坐标轴上确定点P,使得ΔAOP 成为等腰三角形.在给出的坐标系中把所有这样的点P 都找出来,画上实心点,并在旁边标上P 1,P 2,……,P k,(有k 个就标到P K 为止,不必写出画法)例5、某服装厂里有大量剩余的等腰直角三角形边角布料，现找出其中一种，如图所示，测得∠C=90°，AC=BC=4，现要从这种三角形中剪出几种不同的扇形，做成不同形状的玩具，要求使扇形的半径恰好在△ABC 的边上，且扇形的弧与△ABC 的其它边相切．请你在下面备用的等腰直角三角形中,设计出所有符合要求的不同的方案示意图,并求出扇形的半径．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）初三数学第一轮复习（44）A B C ＡＢ A BC5cm14cmCB O A 三、课后作业：１、已知△ABC ，读下列语句，并按要求在图中用尺规作图．（不写作法，保留作图痕迹）（1）作∠B 的平分线，交AC 于D ；（2）作BC 边的垂直平分线交BD 于P ，交BC 边于点E ，若以点P 为圆心，PE 为半径作圆，则⊙P 与AB 的位置关系是_______________．（3）在（2）的条件下，⊙P 与AC 一定相切吗？△ABC 满足什么条件时，⊙P 与AC 相切？2、如图，有一座石拱桥的桥拱是以O 为圆心，OA 为半径的一段圆弧．⑴请你确定弧AB 的中点；(要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明) ⑵若∠AOB=120°，OA=4米，请求出石拱桥的高度．3、有一横断面为等腰梯形ABCD 的防洪堤被洪水冲掉一角后，其形状如下图所示： (1)请用尺规作图的方法将这个等腰梯形补充完整(不写作法，保留作图痕迹) (2)已知AB=6，BC=6，∠A=30°．求这个横断面的面积．4、如图，己知△ABC 中，AB ＞AC ．试用直尺(不带刻度)和圆规在图中过点A 作一条直线l ，使点C 关于直线l 的对称点在边AB 上(不要求写作法，也不必说明理由，但要保留作图痕迹)．5、如图，木工师傅要把一块矩形木板ABCD 的四个角锯成半径为5cm ，且与两边相切的圆弧形，请你帮助师傅设计一种方案，并在木板上把一个角的圆弧线作出来（保留作图痕迹，不写作法）6、如图1，M N ，分别表示边长为a 的等边三角形和正方形，P 表示直径为a 的圆．图2是选择基本图形M P ，用尺规画出的图案，2248S a a π=-阴影．（1）请你从图1中任意选择两种基本图形，按给定图形的大小设计一个新图案，还要选择恰当的图形部分涂上阴影，并计算阴影的面积；（尺规作图，不写作法，保留痕迹，作直角时可以使用三角板）（27、如图，A 、B 两点是平面内两个点，在平面内找一点C ，使△ABC 构成等腰直角三角形，且C 为直角顶点，请问这样的点有几个？并在图中作出所有符合条件的点．（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）··BA 图2 图1。

中考数学复习专题尺规作图

专题25 尺规作图解读考点会利用基本作图画较简单的图形．1．画三角形会利用基本作图画三角形较简单的图形．2．画圆会利用基本作图画圆．2年中考2015年题组1．2015深圳如图,已知△ABC,AB＜BC,用尺规作图的方法在BC上取一点P,使得PA+PC=BC,则下列选项正确的是A．B．C． D．答案D．考点：作图—复杂作图．2．2015三明如图,在△ABC中,∠ACB=90°,分别以点A和B为圆心,以相同的长大于12AB为半径作弧,两弧相交于点M和N,作直线MN交AB于点D,交BC于点E,连接CD,下列结论错误的是A．AD=BD B．BD=CD C．∠A=∠BED D．∠ECD=∠EDC 答案D．解析试题分析：∵MN为AB的垂直平分线,∴AD=BD,∠BDE=90°；∵∠ACB=90°,∴CD=BD；∵∠A+∠B=∠B+∠BED=90°,∴∠A=∠BED；∵∠A≠60°,AC≠AD,∴EC≠ED,∴∠ECD≠∠ED C．故选D．考点：1．作图—基本作图；2．线段垂直平分线的性质；3．直角三角形斜边上的中线．3．2015福州如图,C,D分别是线段AB,AC的中点,分别以点C,D为圆心,BC长为半径画弧,两弧交于点M,测量∠AMB的度数,结果为A．80° B．90° C．100° D．105°答案B．解析试题分析：如图,AB是以点C为圆心,BC长为半径的圆的直径,因为直径对的圆周角是90°,所以∠AMB=90°,所以测量∠AMB的度数,结果为90°．故选B．考点：1．等腰三角形的性质；2．作图—基本作图．4．2015潍坊如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,按如下步骤作图：第一步,分别以点A、D为圆心,以大于12AD的长为半径在AD两侧作弧,交于两点M、N；第二步,连接MN分别交AB、AC于点E、F；第三步,连接DE、DF．若BD=6,AF=4,CD=3,则BE的长是A．2 B．4 C．6 D．8答案D．考点：1．平行线分线段成比例；2．菱形的判定与性质；3．作图—基本作图．5．2015嘉兴数学活动课上,四位同学围绕作图问题：“如图,已知直线l 和l外一点P,用直尺和圆规作直线PQ,使PQ⊥l于点Q．”分别作出了下列四个图形．其中作法错误的是A．B．C．D．答案A．考点：作图—基本作图．6．2015衢州数学课上,老师让学生尺规作图画Rt△ABC,使其斜边AB=c,一条直角边BC=a．小明的作法如图所示,你认为这种作法中判断∠ACB是直角的依据是A ．勾股定理B ．直径所对的圆心角是直角C ．勾股定理的逆定理D ．90°的圆周角所对的弦是直径答案B ．解析试题分析：由作图痕迹可以看出O 为AB 的中点,以O 为圆心,AB 为半径作圆,然后以B 为圆心BC =a 为半径花弧与圆O 交于一点C ,故∠ACB 是直径所对的圆周角,所以这种作法中判断∠ACB 是直角的依据是：直径所对的圆心角是直角．故选B ．考点：1．作图—复杂作图；2．勾股定理的逆定理；3．圆周角定理．7．2015自贡如图,将线段AB 放在边长为1的小正方形网格,点A 点B 均落在格点上,请用无刻度直尺在线段AB 上画出点P ,使AP =3172,并保留作图痕迹．备注：本题只是找点不是证明,∴只需连接一对角线就行答案作图见试题解析．考点：作图—应用与设计作图．8．2015北京市阅读下面材料：在数学课上,老师提出如下问题：小芸的作法如下：老师说：“小芸的作法正确．”请回答：小芸的作图依据是．答案到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上；两点确定一条直线．考点：1．作图—基本作图；2．作图题．9．2015百色已知⊙O为△ABC的外接圆,圆心O在AB上．1在图1中,用尺规作图作∠BAC的平分线AD交⊙O于D保留作图痕迹,不写作法与证明；2如图2,设∠BAC的平分线AD交BC于E,⊙O半径为5,AC=4,连接OD交BC 于F．①求证：OD ⊥BC ；②求EF 的长．答案1作图见试题解析；2①证明见试题解析；②3217．解析试题分析：1按照作角平分线的方法作出即可；2①由AD 是∠BAC 的平分线,得到CD BD =,再由垂径定理推论可得到结论；②由勾股定理求得CF 的长,然后根据平行线分线段成比例定理求得34EF FD CE AC ==,即可求得37EF CF =,继而求得EF 的长．考点：1．相似三角形的判定与性质；2．全等三角形的判定与性质；3．勾股定理；4．圆周角定理；5．作图—复杂作图；6．压轴题．10．2015南京如图,在边长为4的正方形ABCD中,请画出以A为一个顶点,另外两个顶点在正方形ABCD的边上,且含边长为3的所有大小不同的等腰三角形．要求：只要画出示意图,并在所画等腰三角形长为3的边上标注数字3答案答案见试题解析．解析试题分析：①以A为圆心,以3为半径作弧,交AD、AB两点,连接即可；②连接AC,在AC上,以A为端点,截取个单位,过这个点作AC的垂线,交AD、AB两点,连接即可；③以A为端点在AB上截取试题解析：满足条件的所有图形如图所示：考点：1．作图—应用与设计作图；2．等腰三角形的判定；3．勾股定理；4．正方形的性质；5．综合题；6．压轴题．11．2015镇江图①是我们常见的地砖上的图案,其中包含了一种特殊的平面图形﹣正八边形．1如图②,AE是⊙O的直径,用直尺和圆规作⊙O的内接正八边形ABCDEFGH 不写作法,保留作图痕迹；2在1的前提下,连接OD,已知OA=5,若扇形OAD∠AOD＜180°是一个圆锥的侧面,则这个圆锥底面圆的半径等于．答案1作图见试题解析；2158．解析试题分析：1作AE的垂直平分线交⊙O于C,G,作∠AOG,∠EOG的角平分线,分别交⊙O于H,F,反向延长FO,HO,分别交⊙O于D,B顺次连接A,B,C,D,E,F,G,H,八边形ABCDEFGH即为所求；2由八边形ABCDEFGH是正八边形,求得∠AOD的度数,得到AD的长,设这个圆锥底面圆的半径为R,根据圆的周长的公式即可求得结论．试题解析：1如图所示,八边形ABCDEFGH即为所求；2∵八边形ABCDEFGH是正八边形,∴∠AOD=3608×3=135°,∵OA=5,∴AD的长=1355180π⨯=154π,设这个圆锥底面圆的半径为R,∴2πR=154π,∴R=158,即这个圆锥底面圆的半径为158．故答案为：158．考点：1．正多边形和圆；2．圆锥的计算；3．作图—复杂作图．12．2015广安手工课上,老师要求同学们将边长为4cm的正方形纸片恰好剪成六个等腰直角三角形,聪明的你请在下列四个正方形中画出不同的剪裁线,并直接写出每种不同分割后得到的最小等腰直角三角形面积注：不同的分法,面积可以相等答案答案见试题解析．2正方形ABCD中,E、F分别是AB、BC的中点,O是AC、BD的交点,连接OE、OF,即可把正方形纸片恰好剪成六个等腰直角三角形；然后根据三角形的面积公式,求出分割后得到的最小等腰直角三角形面积即可；3正方形ABCD中,F、H分别是BC、DA的中点,O是AC、BD的交点,连接HF,即可把正方形纸片恰好剪成六个等腰直角三角形；然后根据三角形的面积公式,求出分割后得到的最小等腰直角三角形面积即可；4正方形ABCD中,E、F分别是AB、BC的中点,O是AC的中点,I是AO的中点,连接OE、OB、OF,即可把正方形纸片恰好剪成六个等腰直角三角形；然后根据三角形的面积公式,求出分割后得到的最小等腰直角三角形面积即可．试题解析：根据分析,可得：．考点：1．作图—应用与设计作图；2．操作型．13．2015孝感如图,一条公路的转弯处是一段圆弧AB．1用直尺和圆规作出AB所在圆的圆心O；要求保留作图痕迹,不写作法2若AB的中点C到弦AB的距离为20m,AB=80m,求AB所在圆的半径．答案1作图见试题解析；250m ．试题解析：1如图1,点O 为所求；2连接OA ,OC ,OC 交AB 于D ,如图2,∵C 为AB 的中点,∴OC ⊥AB ,∴AD =BD =12AB =40,设⊙O 的半径为r ,则OA =r ,OD =OD ﹣CD =r ﹣20,在Rt △OAD 中,∵222OA OD BD =+,∴222(20)40r r =-+,解得r =50,即AB 所在圆的半径是50m ．考点：1．作图—复杂作图；2．勾股定理；3．垂径定理的应用；4．作图题．14．2015宜昌如图,一块余料ABCD,AD∥BC,现进行如下操作：以点B为圆心,适当长为半径画弧,分别交BA,BC于点G,H；再分别以点G,H为圆心,大于12GH的长为半径画弧,两弧在∠ABC内部相交于点O,画射线BO,交AD于点E．1求证：AB=AE；2若∠A=100°,求∠EBC的度数．答案1证明见试题解析；240°．考点：1．作图—基本作图；2．等腰三角形的判定与性质．15．2015随州如图,射线PA切⊙O于点A,连接PO．1在PO的上方作射线PC,使∠OPC=∠OPA用尺规在原图中作,保留痕迹,不写作法,并证明PC是⊙O的切线；2在1的条件下,若PC切⊙O于点B,AB=AP=4,求AB的长．．答案1作图见试题解析,证明见试题解析；839解析试题分析：1按照作一个角等于已知角的作图方法作图即可,连接OA,作OB⊥PC,由角平分线的性质证明OA=OB即可证明PC是⊙O的切线；2先证明△PAB是等边三角形,则∠APB=60°,进而∠POA=60°,在Rt△AOP 中求出OA,用弧长公式计算即可．试题解析：1作图如右图,连接OA,过O作OB⊥PC,∵PA切⊙O于点A,∴OA⊥PA,又∵∠OPC=∠OPA,OB⊥PC,∴OA=OB,即d=r,∴PC是⊙O的切线；2∵PA、PC是⊙O的切线,∴PA=PB,又∵AB=AP=4,∴△PAB是等边三角形,∴∠APB=60°,∴∠AOB=120°,∠POA=60°,在Rt△AOP中,tan60°=4OA,∴OA=433,∴431203180ABlπ⨯⨯==839π．考点：1．切线的判定与性质；2．弧长的计算；3．作图—基本作图．16．2015广州如图,AC是⊙O的直径,点B在⊙O上,∠ACB=30°．1利用尺规作∠ABC的平分线BD,交AC于点E,交⊙O于点D,连接CD保留作图痕迹,不写作法；2在1所作的图形中,求△ABE与△CDE的面积之比．答案1作图见试题解析；212．试题解析：1如图所示；考点：1．作图—复杂作图；2．圆周角定理．17．2015吉林省图①,图②,图③都是4×4的正方形网格,每个小正方形的顶点称为格点,每个小正方形的边长均为1．在图①,图②中已画出线段AB,在图③中已画出点A．按下列要求画图：1在图①中,以格点为顶点,AB为一边画一个等腰三角形；2在图②中,以格点为顶点,AB为一边画一个正方形；3在图③中,以点A为一个顶点,另外三个顶点也在格点上,画一个面积最大的正方形．答案1作图见试题解析；2作图见试题解析；3作图见试题解析．解析试题分析：1根据勾股定理,结合网格结构,5形即可；2根据勾股定理逆定理,结合网格结构,作出边长为5的正方形；3根据勾股定理逆定理,结合网格结构,作出最长的线段作为正方形的边长即可．试题解析：1如图①,符合条件的C点有5个：；3如图③,边长为10的正方形ABCD的面积最大．．考点：作图—应用与设计作图．18．2015哈尔滨图1、图2是两张形状、大小完全相同的方格纸,方格纸中的每个小正方形的边长均为1,每个小正方形的顶点叫做格点．1在图1中画出等腰直角三角形MON,使点N在格点上,且∠MON=90°；2在图2中以格点为顶点画一个正方形ABCD,使正方形ABCD面积等于1中等腰直角三角形MON面积的4倍,并将正方形ABCD分割成以格点为顶点的四个全等的直角三角形和一个正方形,且正方形ABCD面积没有剩余画出一种即可．答案1答案见试题解析；2答案见试题解析．试题解析：1如图1所示；2如图2、3所示；考点：作图—应用与设计作图．19．2015六盘水如图,已知Rt △ACB 中,∠C ＝90°,∠BAC ＝45°．14分用尺规作图,在CA 的延长线上截取AD ＝AB ,并连接BD 不写作法,保留作图痕迹；24分求∠BDC 的度数；34分定义：在直角三角形中,一个锐角A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切,记作cotA ,即的对边的邻边A A A ∠∠=cot ,根据定义,利用图形求°的值．答案1答案见试题解析；2°；321+．试题解析：1如图,2∵AD=AB,∴∠ADB=∠ABD,而∠BAC=∠ADB+∠ABD,∴∠ADB=12∠BAC=12×45°=°,即∠BDC的度数为°；3设AC=x,∵∠C=90°,∠BAC=45°,∴△ACB为等腰直角三角形,∴BC=AC=x,AB=2AC=2x,∴AD=AB=2x,∴CD=2x x+=(21)x+,在Rt△BCD中,cot∠BDC=DCBC=(21)xx+=21+,即°=21+．考点：1．作图—复杂作图；2．解直角三角形；3．新定义；4．综合题．20．2015山西省如图,△ABC是直角三角形,∠ACB=90°．1尺规作图：作⊙C,使它与AB相切于点D,与AC相交于点E,保留作图痕迹,不写作法,请标明字母；2在你按1中要求所作的图中,若BC=3,∠A=30°,求DE的长．答案1作图见试题解析；232π．试题解析：1如图,⊙C为所求；2∵⊙C切AB于D,∴CD⊥AB,∴∠ADC=90°,∴∠DCE=90°﹣∠A=90°﹣30°=60°,∴∠BCD=90°﹣∠ACD=30°,在Rt△BCD中,∵cos∠BCD=CDBC,∴CD=3cos332DE的长33602180π⋅32．考点：1．作图—复杂作图；2．切线的性质；3．弧长的计算；4．作图题．21．2015济宁如图,在△ABC中,AB=AC,∠DAC是△ABC的一个外角．实验与操作：根据要求进行尺规作图,并在图中标明相应字母保留作图痕迹,不写作法1作∠DAC的平分线AM；2作线段AC的垂直平分线,与AM交于点F,与BC边交于点E,连接AE,CF．猜想并判断四边形AECF的形状并加以证明．答案1作图见试题解析；2作图见试题解析,四边形AECF的形状为菱形．解析考点：1．作图—复杂作图；2．角平分线的性质；3．线段垂直平分线的性质；4．作图题；5．探究型；6．菱形的判定．22．2015宁波在边长为1的小正方形组成的方格纸中,若多边形的各顶点都在方格纸的格点横竖格子线的交错点上,这样的多边形称为格点多边形．记格点多边形内的格点数为a ,边界上的格点数为b ,则格点多边形的面积可表示为1-+=nb ma S ,其中m ,n 为常数．1在下面的方格中各画出一个面积为6的格点多边形,依次为三角形、平行四边形非菱形、菱形；2利用1中的格点多边形确定m ,n 的值．答案1答案见试题解析；2112m n =⎧⎪⎨=⎪⎩．2∵格点多边形内的格点数为a ,边界上的格点数为b ,则格点多边形的面积可表示为：1-+=nb ma S ,其中m , n 为常数,∴三角形：3816S m n =+-=,平行四边形：3816S m n =+-=,菱形：5416S m n =+-=,则38165416m n m n +-=⎧⎨+-=⎩,解得：112m n =⎧⎪⎨=⎪⎩．考点：作图—应用与设计作图．23．2015杭州“综合与实践”学习活动准备制作一组三角形,记这些三角形的三边分别为a ,b ,c ,并且这些三角形三边的长度为大于1且小于5的整数个单位长度．1用记号a ,b ,ca ≤b ≤c 表示一个满足条件的三角形,如2,3,3表示边长分别为2,3,3个单位长度的一个三角形．请列举出所有满足条件的三角形． 2用直尺和圆规作出三边满足a ＜b ＜c 的三角形用给定的单位长度,不写作法,保留作图痕迹．答案1共9种：2,2,2,2,2,3,2,3,3,2,3,4,2,4,4,3,3,3,3,3,4,3,4,4,4,4,4；2答案见试题解析．解析试题分析：1应用列举法,根据三角形三边关系列举出所有满足条件的三角形；2首先判断满足条件的三角形只有一个：a=2,b=3,c=4,再作图：①作射线AB,且取AB=4；②以点A为圆心,3为半径画弧；以点B为圆心,2为半径画弧,两弧交于点C；③连接AC、B C．则△ABC即为满足条件的三角形．考点：1．作图—应用与设计作图；2．三角形三边关系．24．2015温州各顶点都在方格纸格点横竖格子线的交错点上的多边形称为格点多边形．如何计算它的面积奥地利数学家皮克GPick ,1859～1942年证明了格点多边形的面积公式121-+=b a S ,其中a 表示多边形内部的格点数,b 表示多边形边界上的格点数,S 表示多边形的面积．如图,4=a ,6=b ,616214=-⨯+=S ．1请在图中画一个格点正方形,使它的内部只含有4个格点,并写出它的面积．2请在图乙中画一个格点三角形,使它的面积为27,且每条边上除顶点外无其它格点．注：图甲、图乙在答题纸上答案．解析试题分析：1根据皮克公式画图计算即可；2根据题意可知a =3,b =3,画出满足题意的图形即可．试题解析：1方法不唯一,如图①或图②所示：2方法不唯一,如图③或图④所示：考点：作图—应用与设计作图．25．2015青岛问题提出用n根相同的木棒搭一个三角形木棒无剩余,能搭成多少种不同的等腰三角形问题探究不妨假设能搭成m种不同的等腰三角形,为探究m与n之间的关系,我们可以先从特殊入手,通过试验、观察、类比、最后归纳、猜测得出结论．探究一1用3根相同的木棒搭一个三角形,能搭成多少种不同的等腰三角形此时,显然能搭成一种等腰三角形．所以,当n=3时,m=1．2用4根相同的木棒搭一个三角形,能搭成多少种不同的等腰三角形只可分成1根木棒、1根木棒和2根木棒这一种情况,不能搭成三角形．所以,当n=4时,m=0．3用5根相同的木棒搭一个三角形,能搭成多少种不同的等腰三角形若分成1根木棒、1根木棒和3根木棒,则不能搭成三角形．若分成2根木棒、2根木棒和1根木棒,则能搭成一种等腰三角形．所以,当n=5时,m=1．4用6根相同的木棒搭一个三角形,能搭成多少种不同的等腰三角形若分成1根木棒、1根木棒和4根木棒,则不能搭成三角形．若分成2根木棒、2根木棒和2根木棒,则能搭成一种等腰三角形．所以,当n=6时,m=1．综上所述,可得：表①探究二1用7根相同的木棒搭一个三角形,能搭成多少种不同的三角形仿照上述探究方法,写出解答过程,并将结果填在表②中2用8根、9根、10根相同的木棒搭一个三角形,能搭成多少种不同的等腰三角形只需把结果填在表②中表②你不妨分别用11根、12根、13根、14根相同的木棒继续进行探究,…问题解决：用n根相同的木棒搭一个三角形木棒无剩余,能搭成多少种不同的等腰三角形设n分别等于4k﹣1,4k,4k+1,4k+2,其中k是正整数,把结果填在表③中表③问题应用：用2016根相同的木棒搭一个三角形木棒无剩余,能搭成多少种不同的等腰三角形写出解答过程,其中面积最大的等腰三角形每腰用了根木棒．只填结果答案探究二：2；1；2；2；问题解决：k；k﹣1；k；k；问题应用：672．试题解析：1用7根相同的木棒搭一个三角形,能搭成多少种不同的等腰三角形此时,能搭成二种等腰三角形,即分成2根木棒、2根木棒和3根木棒,则能搭成一种等腰三角形用10根相同的木棒搭一个三角形,能搭成多少种不同的等腰三角形分成3根木棒、3根木棒和4根木棒,则能搭成一种等腰三角形分成4根木棒、4根木棒和2根木棒,则能搭成一种等腰三角形所以,当n=10时,m=2．故答案为：2；1；2；2．问题解决：由规律可知,答案为：k；k﹣1；k；k．问题应用：2016÷4=504,504﹣1=503,当三角形是等边三角形时,面积最大,2016÷3=672,∴用2016根相同的木棒搭一个三角形,能搭成503种不同的等腰三角形,其中面积最大的等腰三角形每腰用672根木棒．考点：1．作图—应用与设计作图；2．三角形三边关系；3．等腰三角形的判定与性质；4．探究型；5．综合题；6．压轴题．2014年题组1．2014·安顺用直尺和圆规作一个角等于已知角,如图,能得出∠A′O′B′＝∠AOB的依据是A．SAS B．SSS C．ASA D．AAS答案B．考点：作图—基本作图；全等三角形的判定与性质．2．2014涉县一模如图,AD为⊙O的直径,作⊙O的内接正三角形ABC,甲、乙两人的作法分别如下：甲：①作OD的垂直平分线,交⊙O于B,C两点．②连接AB,A C．△ABC即为所求作的三角形．乙：①以D为圆心,OD的长为半径作圆弧,交⊙O于B,C两点．②连接AB,BC,C A．△ABC即为所求作的三角形．对于甲、乙两人的作法,可判断A．甲、乙均正确 B．甲、乙均错误C．甲正确,乙错误 D．甲错误,乙正确答案A．解析试题分析：根据甲的思路,作出图形如下：连接OB,BD,∵OD=BD,OD=OB,∴OD=BD=OB,∴△BOD为等边三角形,∴∠OBD=∠BOD=60°,又BC垂直平分OD,∴OM=DM,∴BM为∠OBD的平分线,∴∠OBM=∠DBM=30°,又OA=OB,且∠BOD为△AOB的外角,∴∠BAO=∠ABO=30°,∴∠ABC=∠ABO+∠OBM=60°,同理∠ACB=60°,∴∠BAC=60°,∴∠ABC=∠ACB=∠BAC,∴△ABC为等边三角形,故乙作法正确,故选A考点：垂径定理；等边三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形．3．2014·玉林如图,BC与CD重合,∠ABC＝∠CDE＝90°,△ABC≌△CDE,并且△CDE可由△ABC逆时针旋转而得到．请你利用尺规作出旋转中心O 保留作图痕迹,不写作法,注意最后用墨水笔加黑,并直接写出旋转角度是．答案90°．解析试题分析：如图所示：旋转角度是90°．考点：作图-旋转变换．4．2014河南如图,在△ABC中,按以下步骤作图：①分别以B,C为圆心,以大于12BC的长为半径作弧,两弧相交于M,N两点；②作直线MN交AB于点D,连接CD,若CD=AC,∠B=25°,则∠ACB的度数为答案105°．考点：作图—基本作图；线段垂直平分线的性质．5．2014梅州如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,分别以A、C为圆心,大于12 AC长为半径画弧,两弧相交于点M、N,连结MN,与AC、BC分别交于点D、E,连结AE,则：1∠ADE= ；2AE EC；填“=”“＞”或“＜”3当AB=3,AC=5时,△ABE的周长=答案190°；2=；37．考点：线段垂直平分线的性质；勾股定理的应用．考点归纳归纳 1：作三角形基础知识归纳：利用基本作图作三角形1已知三边作三角形；2已知两边及其夹角作三角形；3已知两角及其夹边作三角形；4已知底边及底边上的高作等腰三角形；5已知一直角边和斜边作直角三角形．注意问题归纳：用没有刻度的直尺和圆规作图．只使用圆规和直尺,并且只准许使用有限次,来解决不同的平面几何作图题．例1已知：线段a、c和∠β如图,利用直尺和圆规作△ABC,使BC=a,AB=c,∠ABC=∠β．不写作法,保留作图痕迹．答案作图见解析．考点：作图—基本作图．归纳 2：用角平分线、线段的垂直平分线性质画图基础知识归纳：角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．线段垂直平分线的性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段．②垂直平分线上任意一点,到线段两端点的距离相等．基本做图如图：例2两个城镇A,B与两条公路ME,MF位置如图所示,其中ME是东西方向的公路．现电信部门需在C处修建一座信号发射塔,要求发射塔到两个城镇A,B的距离必须相等,到两条公路ME,MF的距离也必须相等,且在∠FME的内部．答案作图见解析．考点：作图—应用与设计作图．归纳 3：与圆有关的尺规作图基础知识归纳：1过不在同一直线上的三点作圆即三角形的外接圆；2作三角形的内切圆；3作圆的内接正方形和正六边形．注意问题归纳：关键是找准圆周心作出圆．例3如图,在△ABC中,先作∠BAC的角平分线AD交BC于点D,再以AC边上的一点O为圆心,过A,D两点作⊙O用尺规作图,不写作法,保留作图痕迹,并把作图痕迹用黑色签字笔加黑答案考点：作图—复杂作图．1年模拟1．2015届山东省胶南市校级模拟已知：用直尺和圆规作图,不写作法,保留作图痕迹,如图,在∠AOB内,求作点P,使P点到OA,OB的距离相等,并且P点到M,N 的距离也相等．答案作图见解析．解析试题分析：点P到M、N两点的距离相等即作MN的垂直平分线；点P到OA、OB的距离也相等．即作角平分线,两线的交点就是点P的位置．试题解析：如图所示：考点：1．作图—复杂作图；2．角平分线的性质；3．线段垂直平分线的性质．2．2015届广东省黄冈中学校级模拟已知△ABC中,∠C=90°,请利用尺规作出△ABC的内切圆O不写作法,请保留作图痕迹答案作图见解析．考点：1．三角形的内切圆与内心；2．作图—复杂作图．3．2015届湖北省宜昌市兴山县模拟考试如图：在△ABC中,AD⊥BC,垂足是D．1作△ABC的外接圆O,作直径AE尺规作图；2若AB=8,AC=6,AD=5,求△ABC的外接圆直径AE的长．答案1作图见解析；2．试题解析：1如图：2证明：由作图可知AE为⊙O的直径,∴∠ABE=90°,直径所对的圆周角是直角∵AD⊥BC,∴∠ADC=90°,∴∠ABE=∠ADC,∵AB AB=∴∠E=∠C,∴△ABE∽△ADC,∴AC ADAE AB=,即658AB=,∴AE=．考点：1．三角形的外接圆与外心；2．作图—复杂作图．4．2015届江苏省盐城模拟考试实践操作：如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,利用直尺和圆规按下列要求作图,并在图中标明相应的字母保留作图痕迹,不写作法1作∠BCA的角平分线,交AB于点O；2以O为圆心,OB为半径作圆．综合运用：在你所作的图中,1AC与⊙O的位置关系是直接写出答案2若BC=6,AB=8,求⊙O的半径．答案实践操作：画图见解析；综合运用：1相切；23．试题解析：实践操作：1如图所示：CO即为所求；2如图所示：⊙O即为所求；综合运用：1AC与⊙O的位置关系是：相切；。

苏科版2019-2020初三数学中考专题复习——尺规作图

2025年中考数学考点分类专题归纳之尺规作图

2025年中考数学考点分类专题归纳尺规作图1、定义（1）尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图．只使用圆规和直尺，并且只准许使用有限次，来解决不同的平面几何作图题．（2）基本要求它使用的直尺和圆规带有想像性质，跟现实中的并非完全相同．直尺必须没有刻度，无限长，且只能使用直尺的固定一侧．只可以用它来将两个点连在一起，不可以在上画刻度．圆规可以开至无限宽，但上面亦不能有刻度．它只可以拉开成你之前构造过的长度．2、基本作图有：（1）作一条线段等于已知线段．（2）作一个角等于已知角．（3）作已知线段的垂直平分线．（4）作已知角的角平分线．（5）过一点作已知直线的垂线．3、复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．4、应用与设计作图主要把简单作图放入实际问题中．首先要理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图．1．（2024•鄂尔多斯）如图，在菱形ABCD中，按以下步骤作图：①分别以点C和点D为圆心，大于CD为半径作弧，两弧交于点M，N；②作直线MN，且MN恰好经过点A，与CD交于点E，连接BE，则下列说法错误的是（）A．∠ABC＝60°B．S△ABE＝2S△ADEC．若AB＝4，则BE D．sin∠CBE2．（2024•河南）如图，已知▱AOBC的顶点O（0，0），A（﹣1，2），点B在x轴正半轴上按以下步骤作图：①以点O为圆心，适当长度为半径作弧，分别交边OA，OB于点D，E；②分别以点D，E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点F；③作射线OF，交边AC于点G，则点G的坐标为（）A．（1，2）B．（，2）C．（3，2）D．（2，2）3．（2024•郴州）如图，∠AOB＝60°，以点O为圆心，以任意长为半径作弧交OA，OB于C，D两点；分别以C，D为圆心，以大于CD的长为半径作弧，两弧相交于点P；以O为端点作射线OP，在射线OP上截取线段OM＝6，则M点到OB的距离为（）A．6 B．2 C．3 D．4．（2024•宜昌）尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的垂线，下列作图中正确的是（）A．B．C．D．5．（2024•襄阳）如图，在△ABC中，分别以点A和点C为圆心，大于AC长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN分别交BC，AC于点D，E．若AE＝3cm，△ABD的周长为13cm，则△ABC的周长为（）A．16cm B．19cm C．22cm D．25cm6．（2024•潍坊）如图，木工师傅在板材边角处作直角时，往往使用“三弧法”，其作法是：（1）作线段AB，分别以A，B为圆心，以AB长为半径作弧，两弧的交点为C；（2）以C为圆心，仍以AB长为半径作弧交AC的延长线于点D；（3）连接BD，BC．下列说法不正确的是（）A．∠CBD＝30°B．S△BDC AB2C．点C是△ABD的外心D．sin2A+cos2D＝17．（2024•台州）如图，在▱ABCD中，AB＝2，BC＝3．以点C为圆心，适当长为半径画弧，交BC于点P，交CD于点Q，再分别以点P，Q为圆心，大于PQ的长为半径画弧，两弧相交于点N，射线CN交BA的延长线于点E，则AE的长是（）A．B．1 C．D．8．（2024•巴中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，按下列步骤作图：①以点B为圆心，适当长为半径画弧，与AB，BC分别交于点D，E；②分别以D，E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧交于点P；③作射线BP交AC于点F；④过点F作FG⊥AB于点G．下列结论正确的是（）A．CF＝FG B．AF＝AG C．AF＝CF D．AG＝FG9．（2024•昆明）如图，点A在双曲线y═（x＞0）上，过点A作AB⊥x轴，垂足为点B，分别以点O和点A为圆心，大于OA的长为半径作弧，两弧相交于D，E两点，作直线DE交x轴于点C，交y轴于点F （0，2），连接AC．若AC＝1，则k的值为（）A．2 B．C．D．10．（2024•安顺）已知△ABC（AC＜BC），用尺规作图的方法在BC上确定一点P，使PA+PC＝BC，则符合要求的作图痕迹是（）A．B．C．D．11．（2024•湖州）尺规作图特有的魅力曾使无数人沉湎其中．传说拿破仑通过下列尺规作图考他的大臣：①将半径为r的⊙O六等分，依次得到A，B，C，D，E，F六个分点；②分别以点A，D为圆心，AC长为半径画弧，G是两弧的一个交点；③连结OG．问：OG的长是多少？大臣给出的正确答案应是（）A．r B．（1）r C．（1）r D．r12．（2024•益阳）如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝4，BC＝3．按以下步骤作图：①以A为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB，AC于点M，N；②分别以M，N为圆心，以大于MN的长为半径作弧，两弧相交于点E；③作射线AE；④以同样的方法作射线BF．AE交BF于点O，连接OC，则OC＝_______．13．（2024•抚顺）如图，▱ABCD中，AB＝7，BC＝3，连接AC，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径作弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交CD于点E，连接AE，则△AED的周长是____．14．（2024•葫芦岛）如图，OP平分∠MON，A是边OM上一点，以点A为圆心、大于点A到ON的距离为半径作弧，交ON于点B、C，再分别以点B、C为圆心，大于BC的长为半径作弧，两弧交于点D、作直线AD分别交OP、ON于点E、F．若∠MON＝60°，EF＝1，则OA＝_______．15．（2024•山西）如图，直线MN∥PQ，直线AB分别与MN，PQ相交于点A，B．小宇同学利用尺规按以下步骤作图：①以点A为圆心，以任意长为半径作弧交AN于点C，交AB于点D；②分别以C，D为圆心，以大于CD长为半径作弧，两弧在∠NAB内交于点E；③作射线AE交PQ于点F．若AB＝2，∠ABP＝60°，则线段AF的长为_______．16．（2024•东营）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，以顶点C为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，BC于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线CP交AB于点D．若BD＝3，AC＝10，则△ACD的面积是____．17．（2024•淮安）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝5，分别以点A、B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧交点分别为点P、Q，过P、Q两点作直线交BC于点D，则CD的长是__．18．（2024•南京）如图，在△ABC中，用直尺和圆规作AB、AC的垂直平分线，分别交AB、AC于点D、E，连接DE．若BC＝10cm，则DE＝___cm．19．（2024•赤峰）如图，D是△ABC中BC边上一点，∠C＝∠DAC．（1）尺规作图：作∠ADB的平分线，交AB于点E（保留作图痕迹，不写作法）；（2）在（1）的条件下，求证：DE∥AC．20．（2024•攀枝花）已知△ABC中，∠A＝90°．（1）请在图1中作出BC边上的中线（保留作图痕迹，不写作法）；（2）如图2，设BC边上的中线为AD，求证：BC＝2AD．21．（2024•牡丹江）在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝1．以AD为腰作等腰△ADE，使∠ADE＝90°，过点E作EF⊥DC交直线CD于点F．请画出图形，并直接写出AF的长．22．（2024•贵港）尺规作图（只保留作图痕迹，不要求写出作法）．如图，已知∠α和线段a，求作△ABC，使∠A＝∠α，∠C＝90°，AB＝a．23．（2024•北京）下面是小东设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程．已知：直线l及直线l外一点P．求作：直线PQ，使得PQ∥l．作法：如图，①在直线l上取一点A，作射线PA，以点A为圆心，AP长为半径画弧，交PA的延长线于点B；②在直线l上取一点C（不与点A重合），作射线BC，以点C为圆心，CB长为半径画弧，交BC的延长线于点Q；③作直线PQ．所以直线PQ就是所求作的直线．根据小东设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明．证明：∵AB＝____，CB＝____，∴PQ∥l（__________）（填推理的依据）．24．（2024•孝感）如图，△ABC中，AB＝AC，小聪同学利用直尺和圆规完成了如下操作：①作∠BAC的平分线AM交BC于点D；②作边AB的垂直平分线EF，EF与AM相交于点P；③连接PB，PC．请你观察图形解答下列问题：（1）线段PA，PB，PC之间的数量关系是__________；（2）若∠ABC＝70°，求∠BPC的度数．25．（2024•陇南）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°．（1）作∠ACB的平分线交AB边于点O，再以点O为圆心，OB的长为半径作⊙O；（要求：不写做法，保留作图痕迹）（2）判断（1）中AC与⊙O的位置关系，直接写出结果．26．（2024•青岛）已知：如图，∠ABC，射线BC上一点D．求作：等腰△PBD，使线段BD为等腰△PBD的底边，点P在∠ABC内部，且点P到∠ABC两边的距离相等．27．（2024•广安）下面有4张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长都是1，请在方格纸中分别画出符合要求的图形，所画图形各顶点必须与方格纸中小正方形的顶点重合，具体要求如下：（1）画一个直角边长为4，面积为6的直角三角形．（2）画一个底边长为4，面积为8的等腰三角形．（3）画一个面积为5的等腰直角三角形．（4）画一个一边长为2，面积为6的等腰三角形．28．（2024•河南）如图，反比例函数y（x＞0）的图象过格点（网格线的交点）P．（1）求反比例函数的解析式；（2）在图中用直尺和2B铅笔画出两个矩形（不写画法），要求每个矩形均需满足下列两个条件：①四个顶点均在格点上，且其中两个顶点分别是点O，点P；②矩形的面积等于k的值．29．（2024•湖北）图①、图②都是由边长为1的小菱形构成的网格，每个小菱形的顶点称为格点．点O，M，N，A，B均在格点上，请仅用无刻度直尺在网格中完成下列画图．（1）在图①中，画出∠MON的平分线OP；（2）在图②中，画一个Rt△ABC，使点C在格点上．30．（2024•宁波）在5×3的方格纸中，△ABC的三个顶点都在格点上．（1）在图1中画出线段BD，使BD∥AC，其中D是格点；（2）在图2中画出线段BE，使BE⊥AC，其中E是格点．31．（2024•济宁）在一次数学活动课中，某数学小组探究求环形花坛（如图所示）面积的方法，现有以下工具；①卷尺；②直棒EF；③T型尺（CD所在的直线垂直平分线段AB）．（1）在图1中，请你画出用T形尺找大圆圆心的示意图（保留画图痕迹，不写画法）；（2）如图2，小华说：“我只用一根直棒和一个卷尺就可以求出环形花坛的面积，具体做法如下：将直棒放置到与小圆相切，用卷尺量出此时直棒与大圆两交点M，N之间的距离，就可求出环形花坛的面积．”如果测得MN＝10m，请你求出这个环形花坛的面积．32．（2024•金华）如图，在6×6的网格中，每个小正方形的边长为1，点A在格点（小正方形的顶点）上．试在各网格中画出顶点在格点上，面积为6，且符合相应条件的图形．。

(苏科版)中考数学一轮复习课件：4.12 尺规作图(PPT课件)

A
B
C
D
【变式】
如图，在□ABCD中，AB=3，BC=5以点 B为圆心, 以任意长为半径作弧，分别交BA,BC于点P,Q,再分别以 P,Q为圆心，以大于PQ的一半长为半径作弧，两弧在 ∠ABC内交于点 M，连接BM并延长交AD于点E，则DE的长为_________.
【例题2】如图，在△ABC中，AB＞AC，按以下步骤作图：分别以点B和点C为圆心，大于BC一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN交AB于点D；连结CD．若AB=6，AC=4，则△ACD的周长为无刻度的直尺和① 圆规
来完成的作图方法称为尺规作图
作一条线段等于已知线段（已知线段 a ）作一个角等于已知角（已∠α）五中基本尺规作图作已知角的平分线（已知∠ＡOＢ）
尺
规作
图
作线段的垂直平分线（已知线AB）
过一点作已知直线的垂线（已知点 P 和直线 l ）
步

图示
骤
(2)过点M、N作直线MN，
直线MN即为线段AB的垂直
平分线
过上一点作直线的垂线（已知点P和直线l） 1.以点P为圆心，任意长为半径向点P两侧的直线上作弧，交直线于A、B两点； 2.分别以点A、B为圆心，步 1 以大于 AB长为半径向直 2 骤线两侧作弧，两弧分别交于M、N点； 3.过点M、N作直线MN，则直线MN即为所求垂线
【变式】任意一条线段EF，其垂直平分线的尺规作图痕迹如图所示.若连接EH、HF、FG，GE，则下列结论中，不一定正确的是（）
A．△EGH为等腰三角形 C．四边形EGFH为菱形
B．△EGF为等边三角形 D．△EHF为等腰三角形
【例3】已知：如图△ABC三个顶点的坐标分别为 A（0，﹣3）、B（3，﹣2）、C（2，﹣4），正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度．（1）画出△ABC向上平移6个单位得到的△A1B1C1；（2）以点C为位似中心，在网格中画出△A2B2C2，使 △A2B2C2与△ABC位似,且△A2B2C2与△ABC的位似比为2：1，并直接写出点A2的坐标．

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课时1 尺规作图姓名：______________
一、课前准备
已知：如图，∠MPN
（1）求作：射线OA ，使∠AOB=∠MPN
（2）在（1）的前提下，在射线OA 上找一点C ，作CD ∥OB
二、典型例题
例1．如图，已知线段a ，b （a ＞b ）．
问题（1）：画一个Rt △ABC ，∠C=90°，使得AB=a ,BC=b ．(尺规作图，保留作图痕迹) ；
问题（2）已知∠MAN ，仅用没有刻度的直尺和圆规分别在射线AM 、AN 上确定点B 、点C ，使
得AC ＝b ，AB ＋BC ＝a （保留作图痕迹，不要作法）；
问题（3）在（2）前提下，若sin ∠MAN ＝13
5，a ＝61，b ＝39，△ABC 的面积为．
例2．已知，如图，线段AB ，利用无刻度的直尺和圆规，作一个满足条件的△ABC ：
① △ABC 为直角三角形；② tan ∠A ＝13
．(保留作图痕迹)
A B
三、课后练习
1．如图，已知△ABC （AC ＜BC ），用尺规在BC 上确定一点P ，
2．使PA+PC=BC ，则符合要求的作图痕迹是（）
2．如图，已知正七边形ABCDEFG ，请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求画图．
（1）在图1中，画出一个以AB 为边的平行四边形；
（2）在图2中，画出一个以AF 为边的菱形．
3．如图，OA =2，以点A 为圆心，1为半径画⊙A 与OA 的延长线交于点C ，过点A 画OA 的垂线，
垂线与⊙A 的一个交点为B ，连接BC
（1）线段BC 的长等于；
（2）请在图中按下列要求逐一操作，并回答问题：
①以点为圆心，以线段的长为半径画弧，与射线BA 交于点D ，使线段OD 的长等
于6②连OD ，在OD 上画出点P ，使OP 得长等于
3
62，请写出画法，并说明理由．
A B C D
四、基础巩固
1．某校有25名同学参加某比赛，预赛成绩各不相同，取前13名参加决赛，其中一名同学已经
知道自己的成绩，能否进入决赛，只需要再知道这25名同学成绩的（）
A. 最高分
B. 中位数
C. 方差
D.平均数
2．若关于x 的分式方程x
m x x --=-222的解为正数，则满足条件的正整数m 的值为（） A ．1，2，3 B ．1，2 C ．1，3 D ．2，3
3．如图，平面直角坐标系中，矩形ABCD 的边AB ：BC=3：2，点A （3，0），B （0，6）分别在x 轴,y 轴上，反比例函数x
k y =的图象经过点D ，则k 值为（） A ．-14 B ．14 C ．7 D ．-7
4．如图AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，∠CDB=30°，CD=32，则阴影部分的面积为（）
A ．2π
B ．π
C ．
3π D ．3
2π
5．把多项式822-x 分解因式的结果是____________________．
6．若正多边形的一个外角是45°，则该正多边形的边数是____________．
7．直线42--=x y 分别交x 轴、y 轴于点A 、B ，O 为坐标原点，则AOB S △=
8．如图，在□ABCD 中，E 为边CD 上一点，将△ADE 沿AE 折叠至△AD ′E 处，AD ′与CE 交于点F ．若
∠B ＝50°，∠DAE ＝20°，则∠FED ′的大小为________度 9．计算：（1）)1(2)1(2
---x x (2)解不等式组⎪⎩⎪⎨⎧+<->-322
20
62x x x
10．如图，AB 是⊙O 的直径，点D 在AB 的延长线上，点C 在⊙O 上， CA ＝CD ，∠CDA ＝30°．
(1)试判断直线CD 与⊙O 的位置关系，并说明理由；
(2)若⊙O 的半径为4，求点A 到CD 所在直线的距离．
A 11．如图，在一滑梯侧面示意图中，BD ∥AF ，BC ⊥AF 于点C ，DE ⊥AF 于点E ．BC ＝1.8m ，BD ＝0.5m ，∠A ＝45º，∠F ＝30º．
(1)滑道DF 的长为____________；
(2)求踏梯AB 底端A 与滑道DF 底端F 的距离AF (结果保留根号)．
五、挑战自我
1．如图，将△ABC 放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A ，点B ，点C 均落在格点上． ①计算AC 2＋BC 2的值等于________；
②求出sin ∠CAB 的值等于________；
③请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出一个矩形ABEF ，使得该矩形的面积等于AC 2＋BC 2．。