第四章弯曲变形图片解析
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《材料力学》课程讲解课件第四章弯曲内力
x
∴ 弯曲构件内力：Fs －剪力，M －弯矩。
若研究对象取m - m 截面的右段：
Y 0, Fs F FBY 0.
mC 0,
FBY
FBY (l x) F(a x) M 0.
Fs
F (l a) l
,
M F (l a) x 18 l
1. 弯矩：M 构件受弯时，横截面上
存在垂直于截面的内力偶矩 （弯矩）。
由 Fy 0, 得到：
A
FAy
a
Mc
C FSc
FAy q 2a FSc 0
FSc FAy q 2a qa
（剪力FS 的实际方向与假设方
向相反，为负剪力）
由 MC 0, 得到：
MC FAy 2a 2qa a M1 0
MC FAy 2a 2qa a M1 2qa2
F
M (x) FAY x M A
F(x L) (0 x l)
x
③根据方程画内力图
FL
x
41
§4-4 剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图
q
例题4-2
悬臂梁受均布载荷作用。
x
试写出剪力和弯矩方程，并
q
l
x
FS
M x
FS x
画出剪力图和弯矩图。
解：任选一截面x ，写出
剪力和弯矩方程
ql FS x＝qx
变形特点——杆轴线由直线变为一条平面的曲线。
P
主要产生弯曲变形的杆--- 梁。
q
M
二、平面弯曲的概念：
RA
NB
3
F1
q
F2
M
纵向对称面
平面弯曲 受力特点——作用于杆件上的外力都垂直于杆的轴线，且都在
弯曲变形4-25
AC 段： 0x1 a
EIdd2yx121 M(x1)Fl bx1
y
F
A
D C B B x
Ed d I1 1x yEI(x1)F 2l x b1 2C1
EI1 yF 6l b x1 3C1x1D1
CB 段：
ax2 l
A
F Ay
ymax
F By
x1
x2
a
b
Ed d I2y 2 22 xM (x2)F l x b 2F (x2a)
7ql3 48EI
25
§ 4-5 用叠加法求梁的变形
***.刚度条件
y [y], []
max
max
建筑钢梁的许可挠度： l ~ l
250 1000
机械传动轴的许可转角： 1
3000
精密机床的许可转角：
1
5000
26
§4-6 简单超静定梁·提高梁的刚度的措施
B
Fa F
Fa B
F
例5 已知钢制圆轴左端受力为F
例6 已知钢制圆轴左端受力为F
B
＝20 kN，a＝l m，l＝2 m，
E=206 GPa。轴承B处的许可转
角θ =0.5°。根据刚度要求
确定轴的直径d。
2）由刚度条件确定轴的直径： B
Fla180
3EI
I
Fla180
3E
d4
64
Fla180
3E
d4
634F Ela18 04
642010321180
320610920.5
111103m111mm
28
§4-6 简单超静定梁·提高梁的刚度的措施
一.提高梁刚度的措施 1 选择合理的截面形状
薄板弯曲和薄壳问题
y
Ni 0
0
Ni
刚度矩阵b 刚度矩阵S
kbe se Bb T DBb dxdy kSe se BS T BS dxdy
Kb kbe KS kSe
总体刚度矩阵 K Kb KS
等效节点力
q x, y
Qe
se
N T
0
dxdy
0
Q Qe
K Q
§4 薄壳变形的假设
1
(i k,l, m, n)
M DBe
T
U e 1 2
1
se
D
1
dxdy
1 2
e
T
se BT DBdxdy e
1 e T ke e 2
ke se BT DBdxdy
K ke
总变形能
U
U e
1 T
2
K
不计边界外力，只有面内横向载荷时的外力功为
1
(i=k, l, m, n)
三、单元刚阵
w N(x, y)e
1
x
2
x
2
1
1
y
2 y2
w
2
x
2
1 2
y
2
N e [B] e
1
xy
2 2 xy
应变矩阵
2 2 xy
B Bk Bl Bm Bn
6xi x a4
Dp
1
z
h
M x
2
h
x
zdz
2
h
M xy
2
h
xy
zdz
x
2
h
M y
2
h
y
第四章 平面弯曲解析
14
4.2.2 剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图
(1)剪力方程和弯矩方程
剪力和弯矩沿着梁轴线分布的数学表达 式:
Q=Q(x) M=M(x)
(2)剪力方程和弯矩图
以x为横坐标，剪力Q为纵坐标→Q-x图。 以x为横坐标，弯矩M为纵坐标→M-x图。
15
[例4-1] 试作出如图所示简支梁的剪力图和弯矩图。
第4章 平面弯曲
平面弯曲计算 简单超静定梁的求解 压杆的稳定性简介
1
第
4.1 平面弯曲的概念和实例
4
4.2 平面弯曲的内力分析
章
4.3 平面弯曲的正应力计算
4.4 平面弯曲的变形计算
平
面 4.5 简单超静定梁的求解
弯 曲 4.6 压杆稳定性简介
目录
2
4.1 平面弯曲的概念和实例
(1)实例：
桥式起重机
A
y 2 dA
2 h
y2
bdy
b13
2
y
3
2
h
2
bh3 12
bh3
WZ
IZ ym ax
12
h
2
bh2
6
28
(2)圆形截面
D
Iz
y2dA
A
3 sin 2 dd
2
2
3d sin 2 d
D 4
0
0
64
(3)圆环形截面
Wz
Iz ymax
D4 64 D3
D 2 32
内径为d 外径为
2) 纵线(a-a,b-b)弯曲成曲线， 且梁的一侧伸长，另一侧缩 短。
纯弯曲梁的变形特点 图4-10 纯弯曲梁的变形特点
第4章 弯曲
机械设计基础 第四章 弯曲
周占霞
第4章 弯 曲
4.1 平面弯曲的概念和梁的计算简图 4.1.1 平面弯曲的概念 4.1.2 梁的计算简图 4.2 梁的内力——剪力与弯矩 4.2.1 用截面法分析计算梁的内力 4.2.2 剪力与弯矩正负号的规定 4.3 剪力方程与弯矩方程、剪力图与弯矩图 4.4 纯弯曲正应力 4.4.1 纯弯梁横截面上的正应力 4.4.2 常见截面的惯性矩、抗弯截面系数及平行移轴定理 4.4.3 横力弯曲时梁的正应力计算
弯 曲 4.1 平面弯曲的概念和梁的计算简图
4.1.2 梁的计算简图
（3）实际约束(支座)的简化： ① 固定端 这种支座使梁的端截面既不能移动也不能转动、因此它有三个约束，相应
有三个支反力：水平支反力 FX ，铅垂支反力 FY和矩 M 。如跳水板支座。
A
FAx
A
MA FAy
弯 曲 4.1 平面弯曲的概念和梁的计算简图
l
点的集中力。
Fs
Fb/l
如下图所示。
x
Fa/l x
M
Fab/l
若将集中力F看为Δx区间上均匀的分布荷载，如左图所示，则在Δx梁段内，剪力从 Fb/l沿斜直线过度到- Fa/l，不存在突变现象。
F
Fb/l
Fa/l
习题例4
简支梁如图所示。试作该梁的剪力图和弯矩图。
解：先求支座约束力
∑MB(F)=0, FA×0.6+10×0.4×0.2- 2 = 0 FA= 2 kN
M(x)
FA
Fs(x)
AC段 Fs(x)= -2 (0＜x≤0.2 m) M(x)= -2x (0 ≤ x ＜ 0.2 m)
CB段 Fs(x)= -10x (0.2 m≤ x ＜ 0.6m)
周占霞
第4章 弯 曲
4.1 平面弯曲的概念和梁的计算简图 4.1.1 平面弯曲的概念 4.1.2 梁的计算简图 4.2 梁的内力——剪力与弯矩 4.2.1 用截面法分析计算梁的内力 4.2.2 剪力与弯矩正负号的规定 4.3 剪力方程与弯矩方程、剪力图与弯矩图 4.4 纯弯曲正应力 4.4.1 纯弯梁横截面上的正应力 4.4.2 常见截面的惯性矩、抗弯截面系数及平行移轴定理 4.4.3 横力弯曲时梁的正应力计算
弯 曲 4.1 平面弯曲的概念和梁的计算简图
4.1.2 梁的计算简图
（3）实际约束(支座)的简化： ① 固定端 这种支座使梁的端截面既不能移动也不能转动、因此它有三个约束，相应
有三个支反力：水平支反力 FX ，铅垂支反力 FY和矩 M 。如跳水板支座。
A
FAx
A
MA FAy
弯 曲 4.1 平面弯曲的概念和梁的计算简图
l
点的集中力。
Fs
Fb/l
如下图所示。
x
Fa/l x
M
Fab/l
若将集中力F看为Δx区间上均匀的分布荷载，如左图所示，则在Δx梁段内，剪力从 Fb/l沿斜直线过度到- Fa/l，不存在突变现象。
F
Fb/l
Fa/l
习题例4
简支梁如图所示。试作该梁的剪力图和弯矩图。
解：先求支座约束力
∑MB(F)=0, FA×0.6+10×0.4×0.2- 2 = 0 FA= 2 kN
M(x)
FA
Fs(x)
AC段 Fs(x)= -2 (0＜x≤0.2 m) M(x)= -2x (0 ≤ x ＜ 0.2 m)
CB段 Fs(x)= -10x (0.2 m≤ x ＜ 0.6m)
第四章 弯曲 (3)
极轴，q表示截面m–m的位置。
q
x
B
M (q ) Px P(R Rcosq ) PR(1 cosq ) (0 q )
FS (q ) P 1 Psinq (0 q )
N (q ) P q (0 q ) 2 Pcos
M图 R P
A
平面刚架 的内力图
刚结点：受力以后，刚节点处夹角保持不 变。刚节点能承受力与力矩。
平面刚架：是由在同一平面内，不同取向的杆件， 通过杆端相互刚性连结而组成的结构。 A 平面刚架的内力：剪力，弯矩，轴力。
C
B
弯矩图：画在各杆的受拉一側，不注明正、负号。 剪力和轴力图：可画在刚架轴线的任一側（通常正值画在 刚架的外側）。注明正、负号。
例 作图示刚架的弯矩图 解：求支反力 F
计算内力时， A 一般应先求支反力， 由于该图的A端为 一自由端，无需计 算支反力就可计算 弯矩，故此步骤可 省略。
x1
a x2
C
M图
1.5a
Fa Fa
B 作弯矩方程： 如图所示：AC段的坐标原点取在A端。 CB段的坐标原点取在C端。 (0 x1 a) AC： M x1 Fx1 CB： (0 x2 a) M x2 Fx2 作图： 注意：在绘制弯矩图时，我们规定为弯矩图画在杆件受拉的一侧， 即杆件弯曲变形凸入的一侧。由(a)(b)式可见：两段的弯矩方程均 为斜直线，故只要定出A、C、B三点处 的弯矩值即可作出弯矩图。
a q +
q
M x
–
qa2
=
=
2q M1
qa2 2qa2/2
–
x
+
q
+
弯曲变形区的应力与应变状态分析
r
邻部分材料的制约，材
料不易流动，因此其横
断面形状变化较小，仅
在两端会出现少量变形，
横断面形状基本保持为
矩形。BBρa)b)
图4-7 窄板、宽板的变形 a）窄板 b）宽板
第四章 弯曲
二、弯曲变形时材料的流动情况
5、弯曲后的畸变、翘曲 细而长的板料弯曲件，由于沿折弯 线方向工件的刚度小，塑性弯曲时，外区宽度方向的压应变和 内区的拉应变将得以实现，结果使折弯线翘曲。当板料弯曲件 短而粗时，沿工件纵向刚度大，宽度方向应变被抑制，翘曲则 不明显。对于管材、型材弯曲后的剖面畸变如图4-8b所示，这 种现象是因为径向压应力所引起的。另外，在薄壁管的弯曲中， 还会出现内侧面因受切向压应力的作用而失稳起皱的现象。
的减薄量大于内侧的增厚量，因
此使弯曲变形区的材料总厚度变 薄。变形程度愈大，变薄现象愈 严重。
图4-6 弯曲前后坐标网格的变化 a）弯曲前 b）弯曲后
接下页
第四章 弯曲
二、弯曲变形时材料的流动情况
4、变形区横断面的变形。 板料的相对宽度 B/ｔ（B是 板料的宽度，ｔ是板料的厚 度）对弯曲变形区的材料变 形有很大影响。一般将相对 宽度B /ｔ＞3 的板料称为宽 板 ，相对宽度B /ｔ≤ 3 的 称为窄板。
简述如下:弯曲开始前，先将 平板毛坯放入模具定位板中 定位，然后凸模下行，实施 弯曲，直至板材与凸模、凹 模完全贴紧(此时冲床下行至 下死点)，然后开模(此时冲 床上行至上死点)，再从模具 里取出Ｖ形件。
V
图4-3 V形弯曲模
第四章 弯曲
一、弯曲过程与特点 （续）
在板材A处，凸模施加外力2F，M
R
3、校正弯曲阶段：到行程终了时，凸凹模对弯曲件进行校正， 使其直边、圆角与凸模全部靠紧。整个变形区的材料完全处于 塑性变形较稳定的状态。
冲压工艺学4弯曲课件
越小越有利于弯曲成形。
第四章 弯曲
第三节 最小弯曲半径
最小弯曲半径的近似计算：
断面收缩率可表示为：
弯曲最外侧的拉伸应变
=
1+
t
2
1 2 r 1
t
r=( 1 1)t
2
r =( 1 1)
t 2
实际应用： 最小弯曲半径rmin =t Kmin
其中,最小弯曲系数Kmin
1
2max
1,
不必计算，查表4-1可得。
第四章 弯曲
第四节 弯曲卸载后的回弹
二、回弹值的确定（续）
１．大半径自由弯曲（ 弯曲系数K r / t 10 ）时的回弹值
K>10时，弯曲半径较大，弯曲变形程 度较小，弹性变形的影响较大，回弹 明显。
凸模工作部分的圆角半径可按下式
进行计算：
卸载前弯曲半径,
rp
即凸模圆角半径
卸载后弯曲半径
rp
1
r
第四章 弯曲
第三节 最小弯曲半径
2．提高弯曲极限变形程度的方法 （1）经冷变形硬化的材料，可热处理后再弯曲。 （2）清除冲裁毛刺，或将有毛刺的一面处于弯曲受压的内缘。 （3）对于低塑性的材料或厚料，可采用加热弯曲。 （4）采取两次弯曲的工艺方法，中间加一次退火。 （5）对较厚材料的弯曲，如结构允许，可采取开槽后弯曲。
三、影响回弹值的因素
１．材料的力学性能 S / E 越大，回弹越大。
材料的力学性能对回弹值的影响 1、3－退火软钢 2-软锰黄铜 4-经冷变形硬化的软钢
第四章 弯曲
第四节 弯曲卸载后的回弹
三、影响回弹值的因素（续）
２．弯曲系数 K r / t
Ｋ越大，弹性变形在总变形 的比例越大，回弹就越大。
第四章 弯曲
第三节 最小弯曲半径
最小弯曲半径的近似计算：
断面收缩率可表示为：
弯曲最外侧的拉伸应变
=
1+
t
2
1 2 r 1
t
r=( 1 1)t
2
r =( 1 1)
t 2
实际应用： 最小弯曲半径rmin =t Kmin
其中,最小弯曲系数Kmin
1
2max
1,
不必计算，查表4-1可得。
第四章 弯曲
第四节 弯曲卸载后的回弹
二、回弹值的确定（续）
１．大半径自由弯曲（ 弯曲系数K r / t 10 ）时的回弹值
K>10时，弯曲半径较大，弯曲变形程 度较小，弹性变形的影响较大，回弹 明显。
凸模工作部分的圆角半径可按下式
进行计算：
卸载前弯曲半径,
rp
即凸模圆角半径
卸载后弯曲半径
rp
1
r
第四章 弯曲
第三节 最小弯曲半径
2．提高弯曲极限变形程度的方法 （1）经冷变形硬化的材料，可热处理后再弯曲。 （2）清除冲裁毛刺，或将有毛刺的一面处于弯曲受压的内缘。 （3）对于低塑性的材料或厚料，可采用加热弯曲。 （4）采取两次弯曲的工艺方法，中间加一次退火。 （5）对较厚材料的弯曲，如结构允许，可采取开槽后弯曲。
三、影响回弹值的因素
１．材料的力学性能 S / E 越大，回弹越大。
材料的力学性能对回弹值的影响 1、3－退火软钢 2-软锰黄铜 4-经冷变形硬化的软钢
第四章 弯曲
第四节 弯曲卸载后的回弹
三、影响回弹值的因素（续）
２．弯曲系数 K r / t
Ｋ越大，弹性变形在总变形 的比例越大，回弹就越大。
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（1）弯曲变形过程。板料弯曲的特点。 （2）弯曲工艺的主要质量问题。 （3）什么最小弯曲半径？影响最小弯曲半径的因素 有哪些？ （4）什么是回弹？影响回弹的因素有哪些？怎样减 小回弹？ （5）什么是偏移？克服偏移的措施有哪些？ （6）什么是弯曲件的结构工艺性要素？ （7）弯曲模工作部分结构设计的内容？每一要素如 何设计？
19、加工一个弯曲件，要做一套弯曲模，一套落料模，制
造顺序一般是 A、先做好落料模，后做弯曲模；
B
B、先做好弯曲模，试模确定坯料尺寸后再做落料模；
C、先后顺序没什么影响；D、不能确定。
（ ）20、板料发生弯曲变形时，相对弯曲半径越小， 表示板料的弯曲变形程度越小。
（ ）21、板料发生弯曲变形时，材料的屈服点越大， 弯曲时回弹越小。
（ 1 ） 中性层内移 （ 2 ） 变形区板料的厚度变薄 （ 3 ） 变形区板料长
3、将板料、型材、管材或棒料等 ___________的冲压方法称为弯曲。 弯成一定角度 、 一定曲率 ， 形成一定形状的零件
4.弯曲变形程度用 r ／ t 来表示。弯曲变形程度越大，回弹 。
弯成一定角度 、 一定曲率 ， 形成一定形状的零件
14、为保证弯曲可靠进行，二次弯曲间应采用 _C_______处理。 A 、淬火 B 、回火 C 、退火
17、弯曲件为 ____ ____ ，无需考虑设计凸、凹模的间隙。 A 、π形 B 、 V 形 C 、 U 形 D、桶形
18、弯曲U形件时，凸、凹模之间隙值越大，回弹角 B A、越小；B、越大；C、没影响；D、不确定。
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Company name
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带顶板及定位销的弯曲模
1-凹模；2-顶板；3-定位销； 4-凸模；5-侧板
1、弯曲变形区内____________的金属层称为应变中性层。
应变等于零 2、板料塑性弯曲的变形特点是：___________.
则弯曲时各部分互相牵制作用愈大，所以回弹就大。
×
11、弯曲件在变形区的切向外侧部分 _A_______ 。 A 、受拉应力 B 、受压应力 C 、不受力
12、弯曲件的最小相对弯曲半径是限制弯曲件产生 C________ 。 A 、变形 B 、回弹 C 、裂纹
13、弯曲件在变形区内出现断面为扇形的是 ___B_ 。 ________ 。 A 、宽板 B 、窄板 C 、薄板
（ ）22、弯曲模的凸、凹模间隙不对称时，容易导 致偏移现象。
（1）弯曲变形过程。板料弯曲的特点。 （2）弯曲工艺的主要质量问题。 （3）什么最小弯曲半径？影响最小弯曲半径的因素 有哪些？ （4）什么是回弹？影响回弹的因素有哪些？怎样减 小回弹？ （5）什么是偏移？克服偏移的措施有哪些？ （6）什么是弯曲件的结构工艺性要素？ （7）弯曲模工作部分结构设计的内容？每一要素如 何设计？
5. 在弯曲工艺方面，减小回弹最适当的措施是 。 采用校正弯曲
6.工件上有多个弯曲角时，一般应该先弯
，后弯 。
外 角、内 角
7、板料的弯曲半径与其厚度的比值称为最小弯曲半径。
×
8、冲压弯曲件时，弯曲半径越小，则外层纤维的拉伸越大。 √
9、弯曲件的回弹主要是因为冲件弯曲变形程度很大所致。
×
10、一般而言，弯曲件愈复杂，一次弯曲成形角的数量愈多，