§2 二维离散型随机变量及其分布
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二维离散随机变量及其分布(3.2)
yj p1 j p2 j pij
x2
… … …
pi
p1 p2
pi
xi
p j pi1源自p1 pi 2
p2
…
…
…
p j
…
第三章 二维随机变量及其分布
§2 二维离散随机变量
例 3 从 1 ，2 ，3 ，4 这4个数中随机取出一个，记为 X，
再从 1 到 X 中随机地取出一个数，记为 Y， 试求 X ， Y 的联合分布律与X 及 Y 各自的边缘 分布律．
PX 1， Y 1
1 PX 2， Y 0 9
PX 2， Y 1 P 0
2 9
PX 2， Y 2 P 0
第三章
二维随机变量及其分布
§2 二维离散随机变量
由此得 X， Y 的联合分布律为
Y X
0 1 2
0
1
2
1 9 2 9 1 9
j 1,2,
X， Y 的联合分布律也可以由 下表表示
Y X x1
y1
y2
… … …
yj p1 j p2 j
pij
… … … …
p11 p21
pi1
p12 p22
x2
xi
第三章 二维随机变量及其分布
§2 二维离散随机变量
3)二维离散型随机变量联合分布律的性质
性质 1 ：非负性
i， j ， i，j 1， 2， 对任意的
解：
0， 1， 2． X 的可能取值为 0， 1， 2；Y 的可能取值为
1 1 PX 0， Y 0 2 9 3
第三章
二维随机变量及其分布
二维离散型随机变量及其分布
[例1] 1个口袋中装有大小形状相同的6个球， 其中2个红球、4个白球，现从袋中不放回地取两 次球，每次取一个。设随机变量
0, 表示第一次取红球 0, 表示第二次取红球 X 1, 表示第一次取白球 Y 1, 表示第二次取白球
求（X,Y）的联合分布律。
二、 边缘分布律(Marginal distribution regularity)
2007年12月
三、随机变量的独立性(Independence of random
variable)
定理1 设（X,Y）是二维离散型随机变量，则 X，Y相互独立的充要条件是：对所有的i,j，均有
pij=pi..p.j
[例3] 见例1，判断X,Y是否相互独立？
例4 已知随机变量(X,Y)的分布律为
x\y 1 0
1 1/10 3/10
0 3/10 3/10 解：
求X、Y的边缘分布律。
x\y 1 0 pi. 1 1/10 3/10 2/5 0 3/10 3/10 3/5
p.j 2/5 3/5
故关于X和Y的分布律分别为：
X0 1
Y/5 2/5
小结
联合分布律 边缘分布律
思考
1、统计学中有两种抽样：不放回抽样和有放 回抽样。将例1中“不放回地取两次球”改为
“有放回地取两次球”，试求（X,Y）的联合分 布律、（X,Y）分别关于X,Y的边缘分布律及判断 X,Y是否相互独立？
2、上述我们解决了：已知二维离散型随机变
量（X,Y）的联合分布律，如何求（X,Y）关于X 或关于Y的边缘分布律的问题。那么，已知X,Y的 边缘分布律，能否求（X,Y）的联合分布律呢？
1、定义 设（X，Y）是二维离散型随机变量， 称分量X的分布律为（X，Y）关于X的边缘分布律； 分量Y的分布律为（X，Y）关于Y的边缘分布律。
2-2离散型随机变量及其分布律
松定理（第二章）和中心极限定理（第五章），利用这些定理
可以近似计算出它们的值．
3．泊松分布
定义 2.5 如果随机变量 X 的分布律为
P{X k} k e ， k 0,1, 2,L ， 0 ，
k!
就称 X 服从参数为 的泊松分布，记为 X ~ P() ．
【注 1】 P{X
k
k}
e
0 ， k 0,1, 2,L
一般地，在随机试验 E 中，如果样本空间 只包含两个
样本点
{1,2}，且
X
0, 1,
若 =1 , 若 =2 ,
则 X ~ B(1, p) ，其中 p P{X 1} P({2}) ．
在现实生活中，0 1两点分布有着广泛的应用．例如某产品 合格与不合格；某课程的考试及格与不及格；某事件 A 发生与 不发生等许多现象都能够刻划成 0 1两点分布．
§2 离散型随机变量及其分布律
一、离散型随机变量及其分布律的概念 定义 2.1 若随机变量 X 的取值为有限个或可列无限多个，就 称 X 为离散型随机变量．
定义 2.2 设 X 为离散型随机变量，其所有可能的取值为 x1, x2 ,L , xi ,L ，且
P{X xi} pi ， i 1, 2,L ．
的概率为 0.6 ，求该射手在 4 次射击中，命中目标次数 X 的
分布律，并问 X 取何值时的概率最大． 解 将每次射击看成一次随机试验，所需考查的试验结果只
有击中目标和没有击中目标，因此整个射击过程为 4 重的贝
努里试验．故由题意知， X ~ B(4, 0.6) ，即
P{X k} C4k 0.6k 0.44k ， k 0,1, 2,3, 4 ．
P{X
10}
2.2 概率论——二维离散型随机变量及其分布
1,
x 0或y 0, 0 x 1, y 0或0 y 1, x 0 x 1, y 1
P(X1=1, X2=1) = P(|Y|<1, |Y|<2)= P(|Y|<1) = 0.6826
列表为：
X1 X2 0 1
0
0.0455 0
1
0.2719 0.6826
例5：设二维d.r.v.(X,Y)服从二元两点分布：
Y X
0
1
0
q
0
1
0
p
试求（X，Y）的分布函数。
0, F ( x, y) q,
2.2 二维d.r.v.及其分布
定义 如果随机向量 ( X,Y ) 的全部取值 (向量或点 ) 为有限多个或至多可列个，则称 ( X,Y )为离散型随机向量。
( X,Y )为离散型随机向量
X与Y均为离散型随机变量
记( X ,Y )的取值集合为 E {( xi , y j ), i, j 1,2, } P{ X xi ,Y y j } pij , i, j 1,2,
(1) 确定随机变量 (X, Y) 的所有取值数对. (2) 计算取每个数值对的概率. (3) 列出表格.
对任意的A E
P{( X ,Y ) A} pij
ij
( xi , y j ) A
( X ,Y )的联合分布函数
F(x, y) P{X x,Y y}
pij
xi x y j y
解 (1) X 可能的取值为 1，2，3，Y 可能的取值为2，3，4,
但 ( X ,Y )的取值为(1,2),(1,3),(1,4),(2,3)，(2,4),(3,4)。
由古典概型公式
P{ X
1,Y
2}
x 0或y 0, 0 x 1, y 0或0 y 1, x 0 x 1, y 1
P(X1=1, X2=1) = P(|Y|<1, |Y|<2)= P(|Y|<1) = 0.6826
列表为：
X1 X2 0 1
0
0.0455 0
1
0.2719 0.6826
例5：设二维d.r.v.(X,Y)服从二元两点分布：
Y X
0
1
0
q
0
1
0
p
试求（X，Y）的分布函数。
0, F ( x, y) q,
2.2 二维d.r.v.及其分布
定义 如果随机向量 ( X,Y ) 的全部取值 (向量或点 ) 为有限多个或至多可列个，则称 ( X,Y )为离散型随机向量。
( X,Y )为离散型随机向量
X与Y均为离散型随机变量
记( X ,Y )的取值集合为 E {( xi , y j ), i, j 1,2, } P{ X xi ,Y y j } pij , i, j 1,2,
(1) 确定随机变量 (X, Y) 的所有取值数对. (2) 计算取每个数值对的概率. (3) 列出表格.
对任意的A E
P{( X ,Y ) A} pij
ij
( xi , y j ) A
( X ,Y )的联合分布函数
F(x, y) P{X x,Y y}
pij
xi x y j y
解 (1) X 可能的取值为 1，2，3，Y 可能的取值为2，3，4,
但 ( X ,Y )的取值为(1,2),(1,3),(1,4),(2,3)，(2,4),(3,4)。
由古典概型公式
P{ X
1,Y
2}
二维离散型随机变量
F
(
x,
y)
1 3
,
1 x 2, y 2, 或 x 2,1 y 2,
1, x 2, y 2.
说明 离散型随机变量 ( X ,Y ) 的分布函数归纳为
F ( x, y) pij ,
xi x y j y
其中和式是对一切满足xi x, y j y 的i, j求和.
注意 联合分布
pij 1.
i1 j1
二维随机变量 ( X,Y ) 的分布律也可表示为
X Y
y1 y2
yj
x1
x2 xi
p11 p21
p12 p22
pi1
pi 2
p1 j p2 j pij
3、离散型随机变量的边缘分布律
定义设二维离散型随机变量( X ,Y )的联合分布
律为
P{X xi ,Y y j } pij , i, j 1, 2, .
3 7
pj (Y ) P{Y yj}
4
7 3
7
1
例2 设随机变量 X 在 1,2,3,4四个整数中等可能地 取值, 另一个随机变量Y 在 1 ~ X 中等可能地取一 整数值.试求 ( X ,Y ) 的分布律.
解 { X i,Y j}的取值情况是 : i 1,2,3,4,
j取不大于i的正整数. 且由乘法公式得
记
pi ( X ) pij P{X xi }, i 1, 2, ,
j 1
p j (Y ) pij P{Y y j }, j 1, 2, , i 1
分别称 pi ( X ) (i 1, 2, ) 和 p j (Y ) ( j 1, 2, ) 为 ( X ,Y )
关于 X 和关于 Y 的边缘分布律.
§2.2离散型随机变量及其分布列
1, x a F ( x) 0, x a
1
例2.2.9 若
.
服从两点分布
0
P
q
求
的分布函数
解： P（ x） 0 当 x 0时，F（x） F（x） P（ x） P（ 0） q 当 0 x 1 时， F ( x) P( x) P( 0) P( 1) 1 当 x 1 时， 例2.2.10 设 的分布列为
0 1 2 3 4 5
k 5 k 5k
k=0,1,2,3,4,5.
q 5 5 pq 4 10 p 2 q 3 10 p 3 q 2 5 p 4 q p 5
3．分布列的性质
由概率的性质可知，任一离散型随机变量 的分布列 p i 都具有下述性质：
非负性：1）pi 0, i 1, 2, 规范性：2） pi 1
k 6 k 6
5000
5000
其中b(k;5000,1/1000)= C
k 5000
1 k 1 5000 k ( ) (1 ) 1000 1000
这时如果直接计算P 5 ，计算量较大。由于n很大 ，p较小，而np=5不很大 ，
可以利用 Poisson定理
5 P( 5) 1 P 5 1 e k 0 k !
i
例2.2.11 设随机变量
的分布函数为 的分布列。
解: 依题意可得
0, x 1 0.4, 1 x 1 F ( x) ,求 0.8,1 x 3 1, x 3
的可能取值为-1，1，3
P 1 F 1 0 F 1 0.4,
P 3 F 3 0 F 3 0.2
所以 的分布列为
二维离散型随机变量及其分布律
则(ξ ,η )的可能取值为(0,0),(0,1),(1,0),(1,1), 故 (ξ ,η )为二维离散型随机变量。
1
2. 联合分布律
定义： 设二维随机变量(ξ ,η )的所有可能取的值是 (xi ,yj ),i,j=1,2, ，若{ξ = xi ,η = yj }的概率 L pij = p{ξ = xi ,η = yj} (1) (2) pij ≥ 0 i,j=1,2, L i,j=1,2, L
第2-3节 二维离散型随机变量及其分布律
1.二维离散型随机变量的定义
定义： 若二维随机变量(ξ ,η )的所有可能取的值是 有限对或可列多对， (ξ ,η )=(xi ,yj ),i,j=1,2, L 则称(ξ ,η )为二维离散型随机变量。
例：抛掷两枚硬币一次，观察出现正反的情况，令
⎧0 ξ＝⎨ ⎩1 ⎧0 ,η＝ ⎨ A币出现正面 ⎩1 A币出现反面 B币出现反面 B币出现正面
称之为随机变量η 在ξ = xi条件下的条件分布律。
4
5. 随机变量的独立性
定义： 设二维随机变量(ξ ,η )联合分布律为 pij = p{ξ = xi ,η = yj} i,j=1,2, L 若对于任意的i, j，恒有pij ≡ pi. p. j，即 p{ξ = xi ,η = yj} = p{ξ = xi} p{η = yj} 则称为随机变量ξ 与η 独立。
ij
∑∑ p
i =1 j =1
∞
∞
=1 L i,j=1,2, 为二维离散
则称为pij = p{ξ = xi ,η = yj}
型随机变量(ξ ,η )的联合分布律。
2
3. 边缘ห้องสมุดไป่ตู้布律
定义： 设二维随机变量(ξ ,η )的联合分布律为：pij = p{ξ = xi ,η = yj} i,j=1,2, 则称为pξ(xi ) = p{ξ = xi ,η < +∞} = pi. L 为(ξ ,η )关于分量ξ的边缘分布律。 类似，(ξ ,η )关于分量η的边缘分布律为: pη(η = yj ) = p{ξ < +∞,η = yj} = p.j j=1,2, L i,=1,2, L
2-2离散型随机变量及其分布律
4、二项分布的泊松近似 (泊松定理)
当试验次数n很大时，计算二项分布很麻烦，必须寻求近似方法
P ( X 5 )
5 k 0
Ck 5000
(
1 1000
)k
(
999 1000
)5000k
离散型随机变量X b(n, p). 又设np ( 0), 则有
Cnk
pk (1
p )nk
n
k e
k!
即当n 很大且p 很小时，可用泊松分布近似计算二项分布.
P(X=0)=P(A1)=1/2,
P(X 1) P(A1A2 ) P(A1)P(A2 ) 1 4 P(X 2) P(A1 A2A3 ) P(A1)P(A2)P(A3) 1 8 P(X 3) P(A1 A2 A3A4 ) P(A1)P(A2 )P(A3 )P(A4 ) 1 16 P(X 4) P(A1A2 A3 A4 ) P(A1)P(A2)P(A3)P(A4) 1 16
例3 (P30，例2) 设射手每次击中目标的概率p=0.75, 且各次射击 相互独立。现共射击4次，以X表示击中目标的次数。（1）写出X的 分布律；（2）求恰击中3次的概率；（3）求至少击中2次的概率。
解 : 定义 A {击中目标}, 伯努利试验.
X的可能取值有:0,1,2,3,4. 显然, X b(2,0.75)
解 : 记 X表示200人中患此病的人数.
显然, X b(200, 0.01)
np 200* 0.01 2
P ( X 4 ) 1 P( X 3)
3
1
Ck 200
(0.01)k
(0.99)2004
k
k0
1 3 2k e2 k0 k !
=1-0.8571=0.1429 (查泊松分布表: P247)
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P{X xi , Y y j } pij ， i 1, 2,, j 1, 2, ，
就称上式为二维离散型随机变量 ( X , Y ) 的分布律或 X 和 Y 的 联合分布律，
1
二维离散型随机变量的分布律也记列表为
X
Y
x1
p11 p12 p1 j
x2
xi
y1 y2 yj
§2
二维离散型随机变量及其分布
一、二维离散型随机变量及其分布律的概念
定义 2.1 如果二维随机变量 ( X , Y ) 的所有可能取值为有限对 或可列对，就称 ( X , Y ) 为 二维离散型随机变量．
定义 2.2 设 ( X , Y ) 为二维离散型随机变量，其所有可能的取 值为 ( xi , y j ) ，其中 i 1, 2,, j 1, 2, ，且
p21
pi1
p22 pi 2 p2 j pi j
2
例 2.1
设同一品种的五个产品中，有两个次品，每次从中取一
个检验，连续两次．设 X 表示第一次取到的次品个数； Y 表示 第二次取到的次品个数．试分别就⑴不放回；⑵有放回两种情 况，求出 ( X , Y ) 的概率分布．
pij ，其中 D 为任一平面区域．
( X , Y ) 的分布函数为
F ( x, y ) P X x, Y y
xi x y j y
p
ij
，
x , y ．
6
例 2.2
已知二维随机变量 ( X , Y ) 的分布律为
X Y 0 1
i j
ij
所以 b 0.2 ． 1知，0.7 a b 1 ，
X Y
1 0.2 0.1
0 0.1 0.1
1 0.3 0.2
⑵ 由⑴得 ( X , Y ) 的分布律为
0 1
故： P{X Y } P{X 0, Y 0} P{X 1, Y 1} 0.1 0.2 0.3 ．
性质 2.1
设二维离散型随机变量 ( X , Y ) 的分布律为
P{X xi , Y y j } pij ， i 1, 2,, j 1, 2, ，
则有⑴ pij 0 ， i 1, 2,, j 1, 2, ；⑵ 性质 2.1 不难验证，证明从略．
【注】 如果 pij (i 1, 2,, j 1, 2,) 满足性质 2.1 中的⑴和 ⑵，则 pij (i 1, 2, ， j 1, 2,) 必能构成某二维离散型随机 变量 ( X , Y ) 的分布律．
1
0
1
0.2 0.1
a 0.1
0.3 b
且 F (0,1.5) 0.5 ．⑴ 求常数 a , b 的值；⑵ 计算 P{ X Y } ．
解 ⑴ 由 F (0,1.5) P{X 0, Y 1.5} 0.5 ，得 0.4 a 0.5 ， 故 a 0.1 ． 又由
p
解 ⑴ 不放回的情况：利用乘法公式可计算得
3 2 3 P{ X 0, Y 0} P{ X 0}P{Y 0 X 0} ； 5 4 10 3 3 同理可求得 P{ X 0, Y 1} ， P{ X 1, Y 0} ， 10 10 X 1 0 1 P{ X 1, Y 1} ， Y 10 3 3 0 所以 ( X , Y ) 的分布律为 10 10
p
i j
ij
பைடு நூலகம்
1．
5
设二维离散型随机变量 ( X , Y ) 的分布律为
P{X xi , Y y j } pij ， i 1, 2,, j 1, 2, ，
则 ( X , Y ) 具有下列结论． 结论 2.1 结论 2.2
P{( X , Y ) D}
( xi , y j )D
1
3 10
1 10
3
续解 ⑵ 有放回的情况：与⑴相仿，利用乘法公式可计算得
3 3 9 ； P{ X 0, Y 0} P{ X 0}P{Y 0 X 0} 5 5 25 6 6 同理可得： P{ X 0, Y 1} ， , P{ X 1, Y 0} 25 25 4 ，故有放回的情况下， ( X , Y ) 的分布律为 P{ X 1, Y 1} 25 X 0 1 Y 9 6 0 25 25 6 4 1 25 25 4