二次函数-2021河南省中考数学第一轮复习课件
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3.4 二次函数(课件)-2021年中考数学一轮复习课件与学案(全国通用)
(2)令x=0,得y=3,因此抛物线与y轴的交点坐标为(0,3). 令y=0,得-x2-2x+3=0,解得:x1=-3, x2=1,即抛物线与x轴的交点坐标为:(-3,0),(1,0).
真题训练
1.（2020年德州市）二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所 示，则下列选项错误的是（ D ）
A．若（﹣2，y1），（5，y2）是图象上的两点，则y1＞y2； B．3a+c＝0 ;
例题精讲
【例1】（1）对于二次函数y=－
1 4
x2+x－4，下列说法正
确的是（ B）
A. 当x>0时，y随x的增大而增大
B. 当x=2时，y有最大值－3
C. 图象的顶点坐标为(－2，－7)
D. 图象与x轴有两个交点
（2）函数y＝ k 与y=－kx2+k(k≠0)在同一直角坐标系
x
中的大致图象可能是（ B ）
6.若抛物线y＝x2－6x＋m与x轴没有交点，则m的取值范围
4．已知抛物线y＝x2－2mx－4(m＞0)的顶点M关于坐标原 点O的对称点为M′，若点M′在这条抛物线上，则点M的坐标
为( ) A．(1，－5) B．(3，－13) C．(2，－8) D．(4，－20)
5．足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出， 足球飞行的路线是一条抛物线，不考虑空气阻力，足球距 离地面的高度h(单位：m)与足球被踢出后经过的时间t(单 位：s)之间的关系如下表：
C．方程ax2+bx+c＝﹣2有两个不相等的实数根
；
D．当x≥0时，y随x的增大而减小.
2.（2020•贵州省安顺市）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过 （﹣3，0）与（1，0）两点，关于x的方程ax2+bx+c+m＝0 （m＞0）有两个根，其中一个根是3．则关于x的方程 ax2+bx+c+n＝0 （0＜n＜m）有两个整数根，这两个整数根是 （B ）
真题训练
1.（2020年德州市）二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所 示，则下列选项错误的是（ D ）
A．若（﹣2，y1），（5，y2）是图象上的两点，则y1＞y2； B．3a+c＝0 ;
例题精讲
【例1】（1）对于二次函数y=－
1 4
x2+x－4，下列说法正
确的是（ B）
A. 当x>0时，y随x的增大而增大
B. 当x=2时，y有最大值－3
C. 图象的顶点坐标为(－2，－7)
D. 图象与x轴有两个交点
（2）函数y＝ k 与y=－kx2+k(k≠0)在同一直角坐标系
x
中的大致图象可能是（ B ）
6.若抛物线y＝x2－6x＋m与x轴没有交点，则m的取值范围
4．已知抛物线y＝x2－2mx－4(m＞0)的顶点M关于坐标原 点O的对称点为M′，若点M′在这条抛物线上，则点M的坐标
为( ) A．(1，－5) B．(3，－13) C．(2，－8) D．(4，－20)
5．足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出， 足球飞行的路线是一条抛物线，不考虑空气阻力，足球距 离地面的高度h(单位：m)与足球被踢出后经过的时间t(单 位：s)之间的关系如下表：
C．方程ax2+bx+c＝﹣2有两个不相等的实数根
；
D．当x≥0时，y随x的增大而减小.
2.（2020•贵州省安顺市）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过 （﹣3，0）与（1，0）两点，关于x的方程ax2+bx+c+m＝0 （m＞0）有两个根，其中一个根是3．则关于x的方程 ax2+bx+c+n＝0 （0＜n＜m）有两个整数根，这两个整数根是 （B ）
专题 二次函数的综合提升-2023年中考数学第一轮总复习课件(全国通用)
2.如图,二次函数y=-x2+4与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),等腰直角
△ACD的直角顶点D在x轴上,AD=3.现将△ACD沿x轴的正方向平移,则当点C
在函数图象上时,△ACD的平移距离为_4_或__6__.
y
y
A
C
DP
C
B0
x
D
AO B x
培优训练
抛物线的变换
知识点二
3.如图,抛物线y=x2-4x(0≤x≤4)记为l1,l1与x轴分别交于点O,A1；将l1绕
=
x1
+ 2
x2
时,
函数值为q,则p-q的值为( A ) A.a B.c C.-a+c
D.a-c
2.已知A(x1,2022),B(x2,2022)是抛物线y=ax2+bx+2021(a≠0)上的两点,则
当x=x1+x2时,二次函数的值是( D )
A. 2b2 5
a
B. b2 5
4a
C.2022
D.2021
2.如图,抛物线
y
=
1 4p
x
2
(
p
>
0)
,点F(0,p),直线l:y=-p,已知抛物线上的点到点
F的距离与到直线l的距离相等,过点F的直线与抛物线交于A,B两点,AA1⊥l
于点A1,BB1⊥l于点B1,连接A1F,B1F,A1O,B1O,若A1F=a,B1F=b,则△A1OB1的面
积=_14_a_b_(只用a,b表示). A C B
9.若P1(x1,x1),P2(x2,x2)是抛物线y=ax2-4ax上两点,则当|x1-2|＞|x2-2|时, 下列不等式一定正确的是( D )
△ACD的直角顶点D在x轴上,AD=3.现将△ACD沿x轴的正方向平移,则当点C
在函数图象上时,△ACD的平移距离为_4_或__6__.
y
y
A
C
DP
C
B0
x
D
AO B x
培优训练
抛物线的变换
知识点二
3.如图,抛物线y=x2-4x(0≤x≤4)记为l1,l1与x轴分别交于点O,A1；将l1绕
=
x1
+ 2
x2
时,
函数值为q,则p-q的值为( A ) A.a B.c C.-a+c
D.a-c
2.已知A(x1,2022),B(x2,2022)是抛物线y=ax2+bx+2021(a≠0)上的两点,则
当x=x1+x2时,二次函数的值是( D )
A. 2b2 5
a
B. b2 5
4a
C.2022
D.2021
2.如图,抛物线
y
=
1 4p
x
2
(
p
>
0)
,点F(0,p),直线l:y=-p,已知抛物线上的点到点
F的距离与到直线l的距离相等,过点F的直线与抛物线交于A,B两点,AA1⊥l
于点A1,BB1⊥l于点B1,连接A1F,B1F,A1O,B1O,若A1F=a,B1F=b,则△A1OB1的面
积=_14_a_b_(只用a,b表示). A C B
9.若P1(x1,x1),P2(x2,x2)是抛物线y=ax2-4ax上两点,则当|x1-2|＞|x2-2|时, 下列不等式一定正确的是( D )
二次函数-2023年中考数学第一轮总复习课件(全国通用)
A.x1=1,x2=-1
B.x1=1,x2=2
C.x1=1,x2=0
D.x1=1,x2=3
(2)如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象则不等式的ax2+bx+c＜0解集是( C )
A.x＜-1 B.x＞3 C.-1＜x＜3 D.x＜-1或x＞3 y
-1 O 3 x
课堂小结
二次函数
知识梳理
强化 训练
二次函数图象与性质
查漏补缺
5.抛物线y=(x+3)(x-1)的对称轴是直线_x_=_-_1___. 6.若抛物线y=x2-8x+c的顶点在x轴上,则c=_-_1____.
7.若抛物线y=x2-4x+k的顶点在x轴下方,则k的取值范围是_k_＜__4__.
8.若抛物线yy==xk2x-22-x6+xm+-34与x轴有交点,则m的取值范围是_k_m≤_≤_3_5且__k_≠__0__. 9.若抛物线y=x2+2x+c与坐标轴只有两个交点,则c的值为__0_或__1_.
1.下列关于抛物线的y=ax2-2ax-3a(a≠0)性质中不一定成立的是( C )
A.该图象的顶点为(1,-4a)； B.该图象与x轴的交点为(-1,0),(3,0)；
C.当x＞1时,y随x的增大而增大；D.若该图象经过(-2,5),一定经过(4,5).
2.抛物线y=(x-t)(x-t-2)(t为常数)与x轴交于A,B两点(点A在点B的左边),
当堂训练
二次函数的基本性质
查漏补缺
1.抛物线y=(x-m)2+(m+1)的顶点在第一象限,则m的取值范围为( B )
A.m＞1
B.m＞0
中考数学专题《二次函数》复习课件(共18张PPT)
（3）抛物线与y轴的交点坐标是（0，c） c决定抛物线与y轴的交点位置
（4）b2-4ac>0，抛物线与x轴有两个公共点 b2-4ac=0，抛物线与x轴有一个公共点 b2-4ac<0，抛物线与x轴没有公共点
基础训练
• 如图,是y=ax2+bx+c的图像， 则a___<___0 b___<___0 c___>__0 , b2-4ac___>__0 a+b+c_ <__0 4a-2b+c__>__0 2a-b__=__0
桥面
-5 0 5
x/m
抛物线顶点的纵坐标是
⑴钢缆的最低点到桥面的距离是__1_米__;
两条抛物线顶点间的距离是
⑵两条钢缆最低点之间的距离是__4_0_米_;
关于y轴对称的抛物线是
(3)右边的抛物线解析式是y_=__0_._0_2_2_5__(_x_-2__0_)__2.+1
高屋建瓴
——函数与几何的综合题
高屋建瓴
——求解析式
5、已知一条抛物线的对称轴是直线x=1，它 与x轴相交于A、B两点(点A在点B的左边)且线 段AB的长是4，它还与过点C(1，-2)的直线有 一个交点是点D(2,-3)，求抛物线的解析式
模式识别： 顶点式
若这条抛物线有P点，使 S△ABP=12，求点P的坐标
高屋建瓴 ——实际应用
y
AO C
P Bx
•1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年3月5日星期六2022/3/52022/3/52022/3/5 •2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于独 立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年3月2022/3/52022/3/52022/3/53/5/2022 •3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022/3/52022/3/5March 5, 2022 •4、享受阅读快乐，提高生活质量。2022/3/52022/3/52022/3/52022/3/5
（4）b2-4ac>0，抛物线与x轴有两个公共点 b2-4ac=0，抛物线与x轴有一个公共点 b2-4ac<0，抛物线与x轴没有公共点
基础训练
• 如图,是y=ax2+bx+c的图像， 则a___<___0 b___<___0 c___>__0 , b2-4ac___>__0 a+b+c_ <__0 4a-2b+c__>__0 2a-b__=__0
桥面
-5 0 5
x/m
抛物线顶点的纵坐标是
⑴钢缆的最低点到桥面的距离是__1_米__;
两条抛物线顶点间的距离是
⑵两条钢缆最低点之间的距离是__4_0_米_;
关于y轴对称的抛物线是
(3)右边的抛物线解析式是y_=__0_._0_2_2_5__(_x_-2__0_)__2.+1
高屋建瓴
——函数与几何的综合题
高屋建瓴
——求解析式
5、已知一条抛物线的对称轴是直线x=1，它 与x轴相交于A、B两点(点A在点B的左边)且线 段AB的长是4，它还与过点C(1，-2)的直线有 一个交点是点D(2,-3)，求抛物线的解析式
模式识别： 顶点式
若这条抛物线有P点，使 S△ABP=12，求点P的坐标
高屋建瓴 ——实际应用
y
AO C
P Bx
•1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年3月5日星期六2022/3/52022/3/52022/3/5 •2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于独 立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年3月2022/3/52022/3/52022/3/53/5/2022 •3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022/3/52022/3/5March 5, 2022 •4、享受阅读快乐，提高生活质量。2022/3/52022/3/52022/3/52022/3/5
人教版初中数学中考复习 一轮复习 二次函数及其应用2(课件)
解方程，得 m1=-2，m2=3（不符合题意，舍去） ∴m=-2
典型例题——二次函数与方程、不等式的关系
9. （2021•泸州）直线 l 过点（0，4）且与 y 轴垂直，若二次函数 y＝（x﹣a）2+（x﹣2a）2+
（x﹣3a）2﹣2a2+a（其中 x 是自变量）的图象与直线 l 有两个不同的交点，且其对称轴
解方程，得 m1= 41-1 ，m2= - 41+1 （不符合题意，舍去）
4
4
∴m= 41-1 ， 4
1 - m＞3，即 m＜-3，当 x=3 时，y=6.∴9来自6m+2m2-m=6,
解方程，得 m1=-1，m2= - 3 （均不符合题意，舍去）. 2
综上所述，m=-2 或 m=
41-1
.
4
2 1＜- m≤3，即-3≤m＜-1，当 x=-m 时，y=6. ∴m2-m=6
bx＋c＝0有 两个不相等的 实数根；
②如果抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴 只有一个 交点，则一元二次方
程ax2＋bx＋c＝0有两个 相等 的实数根；
③如果抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴没有交点，则一元二次方程ax2＋bx
＋c＝0 没有 实数根．
知识点梳理——知识点4：二次函数与一元二次方程及不等式的关系
A(1，0)，B(m，0)(－2＜m＜－1)，下列结论①2b＋c＞0；②2a＋c＜0；
③a(m＋1)－b＋c＞0；④若方程a(x－m)(x－1)－1＝0有两个不等实数根，
A 则4ac－b2＜4a；其中正确结论的个数是(
)
A．4
B．3
C．2
D．1
典型例题——二次函数与方程、不等式的关系
数学中考一轮复习专题15二次函数的图象及其性质课件
知识点1：二次函数的概念
典型例题
【例1】下列函数解析式中，一定为二次函数的是（ ）
A. y=3x-1
B. y=ax2+bx+c
C. s=2t2-2t+1
D. y x2 1 x
【考点】二次函数的定义.
【解析】解：根据二次函数的定义：形如y=ax2+bx+c(a≠0)判定即可．
A. y=3x-1是一次函数；B. y=ax2+bx+c不一定是几次函数；
C. s=2t2-2t+1符合二次函数定义；D. y x2 1 不符合二次函数定义． x
故答案为：C．
典型例题
知识点1：二次函数的概念
【例2】（4分）（202X·甘肃庆阳）将二次函数y＝x2－4x＋5化 成y＝a(x－h)2＋k的情势为________．
【答案】 y＝(x－2)2＋1． 【分析】将二次函数y＝x2－4x＋5按照配方法化成y＝a(x－h)2＋k的情势即可． 【解答】y＝x2－4x＋5＝(x－2)2＋1．
典型例题
知识点2：二次函数的图象和性质
【例5】（3分）（202X•包头10/26）已知二次函数y=ax2-bx+c (a≠0)的图象经
过第一象限的点（1，-b），则一次函数y=bx-ac的图象不经过（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【考点】二次函数图象上点的坐标特征；一次函数的性质；二次函数的性质 【分析】根据二次函数y=ax2-bx+c (a≠0)的图象经过第一象限的点（1，-b）， 可以判断b＜0和ac异号．再根据一次函数的性质即可求解．
知识点梳理
知识点1：二次函数的概念
第13节二次函数的应用-中考数学一轮知识复习课件
4m＋n＝0，
n＝2.
解得m＝－12， n＝2.
∴BC 的解析式为 y＝－12 x＋2.
设 Et，－12t2＋23t＋2 ，则 Gt，－12t＋2 ，
其中 0＜t＜4.
∴EG＝－12 t2＋32 t＋2－－21t＋2
＝－12 (t－2)2＋2.∴DEFF ＝－12 (t－2)2＋2.
∵－12 ＜0，∴当 t＝2 时，DEFF 有最大值，最大值为 2，此时点 E 的坐标为(2，3).
出，小球达到的离地面的最大高度为( C )
A．23.5 m
B．22.5 m
C．21.5 m
D．20.5 m
4．(2020·坪山区一模)在美化校园的活动 中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角 (两边足够长)，用 28 m 长的篱笆围成一个矩 形花园 ABCD(篱笆只围 AB，BC 两边)，设 AB ＝x m.
3 3
x－32
－
3 2
，
BC＝ 3 CD，B(3，0)，∴D 的横坐标为－ 3 . 代入抛物线解析式得
y＝3＋6
3
×3＋1＋
3 3
×
3
－32
－
3 2
＝3＋2
3＋
3
＋1－
3 2
－32
＝
3 ＋1.
∴D(－ 3 ， 3 ＋1). 设 BD 的解析式为 y＝kx＋m.－ 0＝3k＋m.
易求出 Q3 的坐标为4 3 3－1，0 .
④当△PQB∽△BAD 时，如图 4. tan ∠PBQ＝tan ∠BDA， tan ∠PQM＝tan ∠DAE，
易求出 Q4 的坐标为(5－2 3 ，0).
3．(2020·东莞市一模)草莓是云南多地盛产的一种 水果，今年某水果销售店在草莓销售旺季试销售成本 为每千克 18 元的草莓，规定试销期间销售单价不低 于成本单价，也不高于每千克 40 元．经试销发现，销 售量 y (kg)与销售单价 x (元/kg)符合一次函数关系， 如图是 y 与 x 的函数关系图象．
2024年中考第一轮复习 二次函数的图象与性质 课件
∵顶点坐标为(m,-m+1),且顶点与 x 轴的两个交点构成等腰直角三角形,
∴|-m+1|=|m-(m- - + 1)|,解得 m=0 或 1,
∴存在 m=0 或 1,使得函数图象的顶点与 x 轴的两个交点构成等腰直角三角形,故结
论②正确;
∵x1+x2>2m,
1 + 2
∴
>m.
2
∵二次函数 y=-(x-m)2-m+1(m 为常数)的图象的对称轴为直线 x=m,
数y=ax2+bx+c(a≠0)在-3≤x≤3内既有最大值又有最小值,∴结论④正确.
2.[2020·温州]已知(-3,y1),(-2,y2),(1,y3)是 [答案]B
抛物线y=-3x2-12x+m上的点,则
(
[解析] 由对称轴
-12
x=- ==-2,知
2 2×(-3)
)
(-3,y1)和(-1,y1)关于对称轴对称.因为
②b-2a<0;③b2-4ac<0;④a-b+c<0.正确的是(
A.①②
B.①④
C.②③
D.②④
)
图13-2
[答案]A
[解析] ∵抛物线开口向下,且与 y 轴的正半轴相交,
∴a<0,c>0,∴ac<0,故①正确;
∵对称轴与
x 轴交点的横坐标在-1 至-2 之间,∴-2<-2 <-1,
∴4a<b<2a,∴b-2a<0,故②正确;
若已知二次函数的图象与x轴的两个交点的坐标(x1,0),(x2,0),设所求二次函数表达
式为y=a(x-x1)(x-x2),将第三个点(m,n)的坐标(其中m,n为常数)或其他已知条件代
∴|-m+1|=|m-(m- - + 1)|,解得 m=0 或 1,
∴存在 m=0 或 1,使得函数图象的顶点与 x 轴的两个交点构成等腰直角三角形,故结
论②正确;
∵x1+x2>2m,
1 + 2
∴
>m.
2
∵二次函数 y=-(x-m)2-m+1(m 为常数)的图象的对称轴为直线 x=m,
数y=ax2+bx+c(a≠0)在-3≤x≤3内既有最大值又有最小值,∴结论④正确.
2.[2020·温州]已知(-3,y1),(-2,y2),(1,y3)是 [答案]B
抛物线y=-3x2-12x+m上的点,则
(
[解析] 由对称轴
-12
x=- ==-2,知
2 2×(-3)
)
(-3,y1)和(-1,y1)关于对称轴对称.因为
②b-2a<0;③b2-4ac<0;④a-b+c<0.正确的是(
A.①②
B.①④
C.②③
D.②④
)
图13-2
[答案]A
[解析] ∵抛物线开口向下,且与 y 轴的正半轴相交,
∴a<0,c>0,∴ac<0,故①正确;
∵对称轴与
x 轴交点的横坐标在-1 至-2 之间,∴-2<-2 <-1,
∴4a<b<2a,∴b-2a<0,故②正确;
若已知二次函数的图象与x轴的两个交点的坐标(x1,0),(x2,0),设所求二次函数表达
式为y=a(x-x1)(x-x2),将第三个点(m,n)的坐标(其中m,n为常数)或其他已知条件代
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2
2
当△PCM是直角三角形时,分以下两种情况:(i)当∠CPM=90°时,由PC∥x轴,得 1 m2+ 1 m-2=-2,可求得P(-2,-
42
2);(ii)当∠PCM=90°时,作PN⊥y轴于点N,易证△CNP∽△AOC,∴ CN = PN ,可求得P(6,10).②由题意知,直线l
AO CO
是△MBB'的三条中位线所在的直线,当点B,B'在l同侧时,l过CM的中点与BB'平行,当点B,B'在l异侧时,l过点C
A组 河南中考题组
1.(2019河南,8,3分)已知抛物线y=-x2+bx+4经过(-2,n)和(4,n)两点,则n的值为 ( ) A.-2 B.-4 C.2 D.4
答案 B ∵抛物线经过(-2,n)和(4,n)两点,
∴
n n
4 2b 4, 16 4b 4,
解得
b n
2, 4.
故选B.
一题多解 ∵抛物线经过(-2,n)和(4,n)两点,∴抛物线的对称轴为直线x= 2 4 =1,即 b =1,∴b=2,∴n=-(-2)2+
3 4
m-2;
当直线l∥BM且过点C时,直线l的解析式为y=- m 4 x-2;
2m 4
当直线l∥B'M且过点C时,直线l的解析式为y= m 4 x-2.
2m 4
综上所述,直线l的解析式为y=x- 3 m-2或y=- m 4 x-2或y= m 4 x-2.
4
2m 4
2m 4
思路分析 (1)由直线y=- 1 x-2经过点A,C,求得点A,C的坐标,代入y=ax2+ 1 x+c中,求得抛物线的解析式;(2)①
即
1 4
m2
1 2
m
=
m
,
4
2
解得m3=0(舍去),m4=6.
∵当m=6时, 1 m2+ 1 m-2=10,
42
∴点P的坐标为(6,10).
综上所述,点P的坐标为(-2,-2)或(6,10). (8分)
②y=x- 3 m-2或y= m 4 x-2或y= 4 m x-2. (11分)
4
4 2m
2
2
2×(-2)+4=-4.
2.(2016河南,13,3分)已知A(0,3),B(2,3)是抛物线y=-x2+bx+c上两点,该抛物线的顶点坐标是
.
答案 (1,4) 解析 把A(0,3),B(2,3)分别代入y=-x2+bx+c中,
得
3 3
c, 4
2b
c,
解得
c b
3, 2,
∴抛物线的解析式为y=-x2+2x+3.
2m 4
提示:满足条件的直线l即△MBB'的三条中位线所在的直线.
当y=0时,
1 4
x2+
1 2x-2=0,解得源自1=-4,x2=2,∴点B的坐标为(2,0).
∵点C的坐标为(0,-2),点B,B'关于点C对称,
∴点B'的坐标为(-2,-4).
∵点P的横坐标为m(m>0),
∴点M的坐标为
m,
1 2
物线上,且与点B不重合时,请直接写出直线l:y=kx+b的解析式.(k,b可用含m的式子表示)
解析 (1)∵直线y=- 1 x-2交x轴于点A,交y轴于点C,
2
∴A(-4,0),C(0,-2).
∵抛物线y=ax2+ 1 x+c经过点A,C,
2
∴
0 16a 2 c.
2
c,
∴
a c
1, 4 2.
与BM平行或与B'M平行,计算可得l的解析式.
5.(2018河南,23,11分)如图,抛物线y=ax2+6x+c交x轴于A,B两点,交y轴于点C.直线y=x-5经过点B,C. (1)求抛物线的解析式; (2)过点A的直线交直线BC于点M. ①当AM⊥BC时,过抛物线上一动点P(不与点B,C重合),作直线AM的平行线交直线BC于点Q,若以点A,M,P,Q 为顶点的四边形是平行四边形,求点P的横坐标; ②连接AC,当直线AM与直线BC的夹角等于∠ACB的2倍时,请直接写出点M的坐标.
(ii)当∠PCM=90°时,过点P作PN⊥y轴于点N,
∴∠CNP=∠AOC=90°.
∵∠NCP+∠ACO=∠OAC+∠ACO=90°,
∴∠NCP=∠OAC.∴△CNP∽△AOC.∴ CN = PN .
AO CO
∵C(0,-2),N
0,
1 4
m2
1 2
m
2
,∴CN=
1 4
m2+
1 2
m,PN=m.
m
2
.
利用待定系数法可求出直线BB'的解析式为y=x-2;直线BM的解析式为y=- m 4 x+ m 4 ;直线B'M的解析式
2m 4 m 2
为y= m 4 x- 5m 4 .
2m 4 m 2
分三种情况考虑:
当直线l∥BB'且过线段CM的中点N
1 2
m,
1 4
m
2
时,直线l的解析式为y=x-
∴抛物线的解析式为y= 1 x2+ 1 x-2.
42
(3分)
(2)∵点P的横坐标为m,∴点P的坐标为
m,
1 4
m2
1 2
m
2
.
①当△PCM是直角三角形时,有以下两种情况:
(i)当∠CPM=90°时,PC∥x轴, 1 m2+ 1 m-2=-2.
42
解得m1=0(舍去),m2=-2.
∴点P的坐标为(-2,-2). (5分)
4.(2019河南,23,11分)如图,抛物线y=ax2+ 1 x+c交x轴于A,B两点,交y轴于点C,直线y=- 1 x-2经过点A,C.
2
2
(1)求抛物线的解析式;
(2)点P是抛物线上一动点,过点P作x轴的垂线,交直线AC于点M,设点P的横坐标为m.
①当△PCM是直角三角形时,求点P的坐标;
②作点B关于点C的对称点B',则平面内存在直线l,使点M,B,B'到该直线的距离都相等.当点P在y轴右侧的抛
∴y=-(x2-2x+1)+4=-(x-1)2+4,
∴该抛物线的顶点坐标为(1,4).
3.(2015河南,12,3分)已知点A(4,y1),B( 2 ,y2),C(-2,y3)都在二次函数y=(x-2)2-1的图象上,则y1,y2,y3的大小关系是 .
答案 y2<y1<y3 解析 解法一:∵A(4,y1),B( 2 ,y2),C(-2,y3)都在抛物线y=(x-2)2-1上, ∴y1=3,y2=5-4 2 ,y3=15. ∵5-4 2 <3<15,∴y2<y1<y3. 解法二:设点A、B、C三点到抛物线对称轴的距离分别为d1、d2、d3. ∵y=(x-2)2-1,∴其图象的对称轴为直线x=2, ∴d1=2,d2=2- 2 ,d3=4, ∵2- 2 <2<4,且a=1>0,∴y2<y1<y3.