集合论：无穷集合及其基数
无穷集合及基数
集合与图论
一一对应与可数集
定义4.1 设A，B是集合，若存在着从A到B的 双射，就称A和B等势(或对等)，记作A≈B。
Cantor把自然数集N+称为可数集(或可列集)， 这是因为它的元素可以一个一个的数出来。 凡是与自然数集N+等势的集合，它们的元素 通过一一对应关系，也都可以一个一个的数出来， 因此： 定义4.2 凡是与自然数集N+等势的集合，称为 可数集(或可列集)。
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集合与图论
一一对应与可数集
1874年，Cantor注意到伽利略”悖论”。 在1874年到1897年间完全解决了这个问题。 Cantor详细地分析了断定有限集合的元素多少 的方法，即采用数数的方法。他认为“数数的过程” 就是作“一一对应的过程”。 Cantor认为这种“一一对应”的方法不仅适用 于有限集，也适用于无限集。 他牢牢地抓住这个原则，抛弃了部分必定小于 全体的教条，经历了大约23年之后，他才冲破了传 统观念的束缚，革命性的解决了伽利略“悖论”。 Cantor认为在N+与N(2)之间存在着一一对应(即 双射)，因此N+与N(2)的元素个数是相等的。
集合与图论
伽利略“悖论”
1638年意大利的天文学家伽利略发现了下面 的问题： N+={1,2,3,…,n,…}与N(2)={1,4,9,…,n2,…} 这两个集合，哪一个的元素更多一些？ 一方面，凡是N(2)的元素都是N+的元素，也就 是说N(2)⊆N+，而且由于2，3，5等元素都不在N(2) 中，所以N(2)⊂N+。这样看来，N+中的元素要比 N(2)中的元素要多。
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集合与图论
伽利略“悖论”
但另一方面，对于N+中的每个元素都可以在N(2) 中找到一个元素与之对应，这样看来，N(2)中的元素 不比N+中的元素要少。
第三章 基数(集合论讲义)
4
证明：由定义直接得到。 事实上，任何两个集合的基数都可以进行比较。
定理 3.3 （Zermelo）设 A 和 B 是任意两个集合，则 | A |<| B | ，| A |=| B | ，| A |>| B |
三者中恰有一个成立。
选择公理 设集族 A = {Aα :α ∈ S}中的元素 Aα 都是非空集，则存在指标集 S 上的函数 f ， 使得对任意α ∈ S ，都有 f (α ) ∈ Aα 。
i =1
则 A 中元素可如下排列：
a1,1, a1,2 , a2,1, a1,3 , a2,2 , a3,1, a1,4 , a2,3 , a3,2 , a4,1, , a1,n−1, a2,n−2 , , an−1,1,
2
所以 A 是可列集。
上述证明方法称为对角线法。
推论 2.1 有理数集 是可列集。
单地认为它们的规模相同。自然数集 和 的幂集 2 似应有所区别。最终的做法是，两个
集合规模是否相同取决于它们之间是否存在一一映射。
定义 1.1 设 A ， B 是任意两个集合，若存在一个双射 f ： A → B ，则称 A 和 B 等势，或 称 A 和 B 的基数相同，记为 A ∼ B ， A 的基数记为 | A | 。
由定理 2.1 知，ℵ0 是最小的无限基数，问：是否有最大的无限基数。下面的定理回答这个
问题。
定理 3.5 （Cantor）对于任何集合 A ，必有 | A |<| ρ( A) | 。
证明：首先来说明| A |≤| ρ( A) | 。为此作映射 f ： A → ρ( A) x ⎯⎯f →{x}
显然，f 是单射。所以| A |≤| ρ( A) | 。再来说明 | A |≠| ρ( A) |。否则存在双射 g ：A → ρ( A) 。 若 a ∈ g(a) ，则称 a 是 A 的“内部元素”；若 a ∉ g(a) ，则称 a 是 A 的“外部元素”。设 B 是由 A 的外部元素所组成的集合，即， B = {x : x ∉ g(x)} 。因 B ∈ ρ( A) ，故存在 b ∈ A ， 使 得 g(b) = B 。 但 是 b ∈ g(b) 当 且 仅 当 b ∉ g(b) ， 矛 盾 。 故 | A |≠| ρ( A) | 。 总 之 ， | A |<| ρ( A) | 。
集合论中的集合的基数与有限集合的性质
集合论中的集合的基数与有限集合的性质集合论是数学中的一个重要分支，研究对象是集合及其性质。
在集合论中，我们经常会涉及到集合的基数以及有限集合的性质。
本文将介绍集合的基数概念，并探讨有限集合的一些性质。
一、集合的基数在集合论中，基数是用来描述集合中元素的数量的概念。
对于一个集合A，记为|A|，表示集合A的基数。
集合的基数可以是有限的，也可以是无限的。
1. 有限集合的基数对于一个有限集合A，其基数表示集合中元素的个数。
例如，对于集合A={1, 2, 3, 4, 5}，其基数为5，记为|A|=5。
有限集合的基数是一个非负整数。
2. 无限集合的基数对于一个无限集合A，其基数表示集合中元素的数量是无穷的。
常见的无限集合有自然数集合N，整数集合Z，有理数集合Q以及实数集合R等。
无限集合的基数可以是可数无穷的，也可以是不可数无穷的。
二、有限集合的性质有限集合具有一些特殊的性质，下面我们将介绍几个常见的有限集合性质。
1. 空集的基数为0空集是不包含任何元素的集合，记为∅。
空集的基数为0，即|∅|=0。
2. 子集的基数小于等于原集合的基数对于一个有限集合A和其子集B，有|B|≤|A|。
这是因为子集B中的元素个数不会超过原集合A中的元素个数。
3. 幂集的基数对于一个有限集合A，幂集P(A)是包含A的所有子集的集合。
幂集P(A)的基数为2的A的基数次方，即|P(A)|=2^|A|。
例如，对于集合A={1, 2, 3}，其幂集P(A)的基数为2^3=8。
4. 有限集合的并集与交集对于两个有限集合A和B，其并集A∪B中的元素个数为|A∪B|=|A|+|B|-|A∩B|，其中|A∩B|表示A和B的交集的基数。
例如，对于集合A={1, 2, 3}和集合B={3, 4, 5}，其并集A∪B的基数为|A∪B|=3+3-1=5。
5. 有限集合的补集对于一个有限集合A和全集U，A的补集A'表示U中不属于A的元素构成的集合。
有|A'|=|U|-|A|。
基数的基本概念
基数的基本概念基数（Cardinal number）是数学中表示数量的概念，用于表示集合的大小或元素的个数。
在数学中，基数是集合论中的一个重要概念，它用于度量集合的元素个数，是一种数学语言中描述数量的方式。
基数的基本概念源自人们对实际生活中的物体、事物、数量的观察和认知。
自然数是最早形成的基数概念，它用于表示自然世界中物体、事物的个数。
例如，我家有3只小猫，这里的"3"就代表了小猫的数量，即猫这个集合的基数。
在数学中，除了自然数之外，还有无限个基数可以用来表示不同集合的大小。
由于集合的大小是无法直接观察和感知的，所以需要借助数学工具来描述和比较不同集合的大小。
基数的引入就是为了满足这个需求。
在集合论中，基数的定义是通过对集合之间的一一对应关系进行研究而得到的。
两个集合A和B之间存在一一对应关系，如果存在一个函数，将A的元素与B 的元素一一对应起来。
根据Cantor-Bernstein定理，如果两个集合之间存在一一对应关系，那么它们的基数是相等的。
基于这个思想，可以通过找到两个集合之间的一一对应关系来比较它们的大小，从而确定它们的基数。
对于有限集合，它的基数就是它的元素个数。
例如，一个集合中有4个元素，那么它的基数就是4。
而对于无限集合，它的基数不能够通过直接数数得到，而是通过与其他无限集合找到一一对应关系来确定。
对于无穷集合来说，基数的比较更为复杂。
作为最早研究无穷集合基数的数学家，Cantor提出了一个重要的结论——无穷集合可以有不同的基数大小。
他定义了一个最小的无穷基数，称为可数基数，用aleph-null（א₀）表示。
其中，“aleph”是希伯来语的第一个字母，“null”表示无穷的概念。
这个基数表示的是可数集合的大小，例如自然数集、整数集和有理数集等都是可数集合，它们的基数都是aleph-null。
另外一个重要的基数是连续基数，用c表示。
连续基数表示的是不可数集合的大小，例如实数集和幂集（集合的所有子集构成的集合）等。
集合论与图论答案 第四章习题
第四章 无穷集合及其基数习题136P 1.设A 为由序列12,,,,n a a a的所有项组成的集合，则是否市可数的？为什么？解：因为序列是可以重复的，故若A 是由有限个数组成的集合，则A 是有限的集合；若A 是由无限个数组成的集合，则A 是可数的。
故本题A 是至多可数的。
2.证明：直线上互不相交的开区间的全体所构成的集合至多可数。
证：在每个开区间中取一个有理数，则这些有理数构成的集合是整个有理数集合Q 的子集，因此是至多可数的。
3.证明：单调函数的不连续点的集合至多可数。
证：设A 是所有不连续点的集合，f 是一个单调函数，则00,x A x ∀∈对应着一个区间0((0),(0))f x f x -+，于是由上题便得到证明。
4.任一可数集A 的所有有限子集构成的集族是可数集合。
证：设1212{,,,,},{,,,},n i i ik A a a a B a a a ==则B A ⊆且B k =<∞。
令{,}B B A B B =⊆<∞，设:{0,1}A ϕ→，则ϕ是Ａ的子集的特征函数。
,()B B ϕ∀∈B =｛0，1的有穷序列｝，即i a A ∀∈， 若i a B ∈，则对应1；若i a B ∉则对应0。
于是,()B B ϕ∀∈B 就对应着一个由0，1组成的有限序列0，1，1，0，…，0，1。
此序列对应着一个二进制小数，而此小数是有理数。
于是，可数集A 的所有有限子集B 对应着有理数的一个子集。
又121212,,,,B B B B B B ∀∈B ≠对应的小数也不同，故ϕ是单射。
而可数集Ａ的所有有限子集B 是无穷的，故B 是可数的。
5．判断下列命题之真伪：(1)若:f X Y →且f 是满射，则只要X 是可数的，那么Y 是至多可数的；(2)若:f X Y →且f 是单射，那么只要Y 是可数的，则X 也是可数的；(3)可数集在任一映射下的像也是可数的； 答案：对，错，错。
7．设Ａ是有限集，Ｂ是可数集，证明：{|:}A B f f A B =→是可数的。
集合的基数与无穷集合
集合的基数与无穷集合随着数学的发展，集合论逐渐成为数学的基础理论之一。
集合的基数是集合论中的一个重要概念，其与无穷集合之间的关系也引起了人们的广泛关注。
本文将从集合基数的定义及性质出发，探讨无穷集合与有限集合基数的比较，以及无穷集合中的不同基数。
一、集合基数的定义与性质集合的基数指的是该集合所包含元素的个数。
对于一个有限集合来说，其基数即为其中元素的个数。
而对于无穷集合，其基数的概念需要引入更加精确的定义。
在集合论中，使用Cantor-Bernstein定理来定义无穷集合的基数。
该定理指出，对于两个集合A和B，若存在一个从A到B的一一对应关系和一个从B到A的一一对应关系，那么A和B具有相同的基数。
根据Cantor-Bernstein定理，可以区分出不同基数的无穷集合。
二、无穷集合与有限集合的基数比较对于有限集合，其基数即为其中元素的个数，可以用自然数来表示。
例如，一个集合包含了5个元素，那么它的基数就是5。
而对于无穷集合来说，其基数可能会有不同的情况。
最简单的无穷集合是自然数集N，其基数为可数无穷。
可数无穷意味着可以通过将集合中的元素与自然数一一对应来计数。
然而，存在一些无穷集合的基数比可数无穷还要大。
这些集合被称为不可数无穷集合。
其中最著名的例子是实数集R，其基数被称为连续基数，记作c。
通过Cantor的对角线方法可以证明实数集的基数大于自然数集的基数，即c > N。
三、无穷集合中的不同基数除了可数无穷与不可数无穷的区别外，无穷集合中还存在着更多不同基数的集合。
Cantor的连续假设猜想了一个介于可数无穷和连续基数之间的基数，称为aleph-one，记作ℵ1。
根据Cantor的连续假设，ℵ1是介于N和c之间的基数。
然而，该猜想在数学界中一直没有被证明或者证伪，至今仍然是一个未解决的问题。
此外，根据集合论中的基数定理，对于给定的基数k，存在着一个比k大的基数。
这给出了一种无穷增长的方式来构造不同基数的集合。
无限集合的基数
5. 连续统基数运算
连续统基数א1运算性质 ① א1 +n +א0 = א1 ② א1 + א1 = א1 ， nא1= א1 ③ א0א1= א1 ，(א1)n = א1
6. 超越数知多少？
➢ 实数中不是代数数的数叫超越数，超 越数有א1个。
2. 可数基运算 ③ 的证明
2. 可数基运算
3. 代数数集是可数集 整系数代数多项式（代数方程）的 根叫代数数
➢ 代数数的个数（基数）是 א0
3. 代数数集是可数集
证明：
① n次整系数代数多项式至多有(א0)n = א0个 ② 所有整系数代数多项式至多有א0א0 = א0个 ③ 每个n次整系数代数多项式至多有א0个根 ④ 所有代数数有א0个
数学欣赏
1. 集合的基数
我们知道：自然数集、整数集、奇数集、 偶数集、平方数集、有理数集、实数集等都是 无限集——它们的元素都有无穷多个。但是它 们也有区别，比如：有理数集等都是可数集， 而实数集是不可数集。
因此，从对等的角度来看，实数比有理数 更多一些。
1. 集合的基数
➢ 我们把描述一个集合元素个数多少的量叫 做这个集合的基数；
4. 实数集是不可数的 ➢ 实数集是不可数的，其基（连续
统基数）记为 א1 。 א1 > א0
总结一下 实数（不可数）
有理数 无理数 代数数 超越数 （可数） (（不？可数）) （可数） (（不？可）数)
总结一下
✓有理数集可数（基为 א0 ） ✓无理数集不可数（基为 א1 ） ✓代数数集可数（基为 א0 ） ✓超越数集不可数（基为 א1 ）
集合论中的无穷集合与基数理论
集合论中的无穷集合与基数理论集合论是数学中的一个重要分支，研究集合及其性质以及集合之间的关系。
在集合论中，无穷集合和基数理论是两个核心概念。
本文将介绍无穷集合和基数理论的基本概念和性质，并探讨它们在数学中的应用。
一、无穷集合的概念及性质无穷集合是指元素个数不可数的集合。
与有穷集合不同，无穷集合的元素个数无限。
著名的数学家康托尔提出了无穷集合的概念，并对无穷集合进行了深入研究。
在无穷集合中，存在着不同的无穷性质。
例如，自然数集合N就是一个无穷集合，因为它的元素个数是无限的。
但是，N与实数集R之间存在着不同的无穷性质。
根据康托尔的对等性原理，如果两个集合之间存在一一对应关系，即可以用一个集合的元素与另一个集合的元素一一对应，那么这两个集合具有相同的基数（也称为势或者无穷基数）。
康托尔利用对等性原理定义了不同程度的无穷性，即不同基数的无穷集合。
根据康托尔的对等性原理，N与R之间是不存在一一对应关系的，即N与R具有不同的基数。
具体地说，N的基数被称为可数基数，而R的基数被称为不可数基数。
无穷集合的研究不仅仅关注元素个数的多少，还关注基数的大小与比较。
二、基数理论的概念及性质基数理论是研究集合基数的数学理论。
基数是描述集合大小的量度，用来比较不同集合的元素个数多少。
在基数理论中，康托尔引入了基数的概念，并对基数进行了系统的研究。
对于任意一个集合，都存在着一个唯一的基数来描述它的大小。
基数用符号|A|表示，其中A是一个集合。
根据对等性原理，如果两个集合之间存在一一对应关系，那么它们具有相同的基数。
所以，基数是一个集合的本质特征。
在基数理论中，最小的基数是零基数，用符号0表示。
零基数表示一个集合中没有元素。
而最大的基数则是连续基数，用符号c表示。
连续基数是指实数集R的基数，代表了无限个元素的集合。
根据康托尔的基数偏序原理，对于任意两个基数a和b，存在着三种可能的关系：a小于b、a等于b或者a大于b。
基数的大小关系与集合的包含关系是相关联的，但不完全相同。
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第四章 无穷集合及其基数
4.1可数集
如果从自然数集合N 到集合X 存在一个一一对应 f: N X,则称集合X 是无穷可数集合, 简称可数集或可列集。
如果X 不是可数集且X 不是有限集,则称X 为不可数无限集,可简称为不可数集
Tips:
(1)可数集与不可数集是对无穷集合而言的,有限集既不称作不可数集合也不称
作可数集
(2)这里的自然数集采用{1, 2, …}
(3)对等(X~Y)：集合X 到集合Y 存在一一对应
1.常见的可数集
(1)整数集Z
(2)自然数集N
(3)可数集的任一无穷子集
(4)有限集和可数集之并
(5)有限个可数集之并
(6)可数个可数集之并
(7)全体有理数之集Q
(8)区间[0,1]中的一切有理数之集
(9)整系数代数多项式的全体(可数个可数集之并)
(10)代数数(整系数代数多项式)的全体
2.判定
集合A 为可数集的充分必要条件是A 的全部元素可以排成无重复项的序列
a 1, a 2, ... , a n , ...
3.性质
(1)无限集A 必包含可数子集
(2)可数集的任一无限子集也是可数集 (基数)
(3)设A 是可数集,M 是有限集,则A∪M 是可数集
--->从可数集A 中除去一个有限集M,则A\M 仍是可数集(差集) --->设M 是一个无限集, A 是有限或可数集, 则M~A∪M
--->设M 是一个无穷不可数集，A 为M 的至多可数子集(即A 有穷或可
数),则M~M\A
(4)设A 1,A 2, ... ,A n (n≥1)都是可数集,则它们的并集也是可数集
(5)可数个有限集之并至多是可数集。
即可数个有限集之并可能有限，可能可数
(6)可数个可数集之并是可数集。
即：设A 1,A 2,...,A n ,...为可数集合的一个无穷
序列,则是可数集
⋃∞
n =1A n Tips:
1.可数集被认为是最小的无穷集
2.与自己的真子集存在一一对应是无穷集合独有的特点
--->由此，引出无穷集合的定义：
凡能与自身的一个真子集对等的集合称为无穷集合,或无限集合
4.2连续统集-不可数的无穷集
凡与集合[0,1]对等的集合称为具有“连续统的势”的集合, 或简称连续统
1.区间[0, 1]中的所有实数构成的集合是不可数无穷集合(不能被排成一排)(P31)
2.性质
(1)设A 1,A 2,
... ,A n 是n 个两两不相交的连续统，则是连续统，即⋃n i =1A i ～[0,1]
⋃n i =1A i (2)设A 1,A 2,...,A n ,...为两两不相交的集序列。
如果A k ~[0,1], k=1,2,3,...,则 ~[0,1]
⋃n i =1A i (3)令S = { f | f: N → {0, 1} }, 则:
1.S ~ [0,1]
2.若A 为可数集, 则2A ~ [0, 1](Ch(A)~S)
3.常见的连续统
(1)全体实数之集
(2)全体无理数之集
(3)全体超越数(非代数数)之集
(4)所有0、1的无穷序列所构成的集合
(5)可数集的幂集
(6)连续统的笛卡尔积
--->平面上所有点的集合
--->可数个连续统的笛卡尔积
(7)连续统个连续统的并集
4.3基数及其比较
集合A 的基数是一个符号，凡与A 对等的集合都赋以同一个记号,集合A 的基数 记为|A |, 也记作cardA
所有与集合A 对等的集构成的集族称为A 的基数(这样的定义方法仿佛是可数集和可数个，连续统集和连续统个)
1.基数比较的定义：
α, β是任意两个基数，A, B 是分别以α, β为其基数的集。
如果A 与B 的一个真
子集对等，但A 却不能与B 对等，则称基数α小于基数β，记为α < β(这与我们之前所学的有穷集合基数的比较是一致的)
这种“多少”的概念是建立在一一对应的基础上的
2.判定
(1)规定α≤β当且仅当存在单射f: A →B
(2)规定α<β当且仅当存在单射f:A →B,且不存在A 到B 的双射
(3)定义大法好
3.超穷数
无穷集合的基数也称超穷数，超穷数也可以比较大小
(1)平面上的点和线
(2)一维空间的点和n 维空间的点
(3)平面上的点和平面上的圆(一个园相当于一个三元组？)
(4)集合[0,1]中的数和自然数集N 中的数
(5)有理数和自然数
4.康托的连续统假设
如果a表示可数集合的基数,c表示连续统集的基数,那么没有一个基数b,使得a<b<c
5.显然的：
无穷集合的基数有无穷多个，且没有最大的。