金融数学课后答案

【篇一：金融数学(利息理论)复习题练习题】

购买一张3年期，面值为1000元的国库券，每年末按息票率为8%

支付利息，第三年末除支付80元利息外同时偿付1000元的债券面值，如果该债券发行价为900元，请问他做这项投资是否合适？ 2.

已知：1） 1?i

2） 1?

由于(1?m)?(1?n)?1?i 由于(1?)?(1?)?1?d

3. 假设银行的年贷款利率12%，某人从银行借得期限为1年，金额

为100元的贷款。银行对借款人的还款方式有两种方案：一、要求

借款人在年末还本付息；二、要求借款人每季度末支付一次利息年

末还本。试分析两种还款方式有何区别？哪一种方案对借款人有利？

4. 设m?1，按从小到大的顺序排列i,i

(m)

(m)(m)

(m)

?(1?i5)(1?i6)?1 求m?? ?(1?

d(5)d(6)?1

)(1?6) 求m?? 5

(5)(6)

d(m)m

(n)

,d,d(m),?

解：由

i?d?i?d? i?d

d(m?1)?d(m) ? d?d(m) i(m)?d(n) ? d(m)?i(m) i(m?1)?i(m)?

i(m)?i

i(m)?limd(m)?? 1?i?e??1?? ， lim

m??

?d?d(m)???i(m)?i

5. 两项基金x,y以相同的金额开始，且有：（1）基金x以利息强度5%计息；

（2）基金y以每半年计息一次的名义利率j计算；（3）第8年末，基金x中的金额是基金y中的金额的1.5倍。求j.

6. 已知年实际利率为8%，乙向银行贷款10,000元,期限为5年，计算下列三种

还款方式中利息所占的额度：

1）贷款的本金及利息积累值在第五年末一次还清； 2）每年末支付

贷款利息，第五年末归还本金； 3）贷款每年年末均衡偿还（即次用

年金方式偿还）。三种还款方式乙方支付的利息相同吗? 请你说明

原因？

7.某人在前两年中，每半年初在银行存款1000元，后3年中，每季初在银行存款2000元，每月计息一次的年名义利率为12% 计算5

年末代储户的存款积累值。

8. 期末付款先由1到n递增付款，然后再由n

?1到1的递减付款形成的变额年

金称为虹式年金，试求付款期利率为i的虹式年金的现值和终值。解：现值为：

a???2?2?3?3?,...,?(n?1)?n?1?n?n?(n?1)?n?1?,...,??2n?1 ?a?

?2?2?3?3?4?,..?.(,n?1)?n?n?n?1?(n?1)?n?2?,..?.?,2n

n a??a????2??3?,...,??n??n?1??n?2?,...,??2n?1?(1??)1??)

a??((1 ??)2

n?1

同理可证终值公式。

9. 固定养老保险计划：

责任：未退休时，每月初存入一定金额（养老保险金），具体方式： 25岁—29岁，月付200元， 30岁---39岁，月付300元， 40岁—49岁，月付500元， 50岁—59岁，月付1000元，

权益：从退休时（60岁），每月初领取p元退休金，一直领取20年。问题：在给定年利率i

?10%，分别计算从25，30，40，50岁参加养老保险，

60岁以后月退休金为多少？查表可得：

a|0.1?8.5136，s0.1?271.0244，s0.1?164.4940，

s0.1?57.2750，s0.1?15.9374。

10．某人继承一笔遗产：从现在起每年初可得10000元。该继承人以10%年利率

将以产收入存入银行，到第五年底，在领取第六年年金之前将遗产的权益转卖给他人，然后将前五年的存款收入取出并和转卖收入一并做一项年收益率为12%的投资项目。若每年底的投资回报是相同的，项目有效期为30年。求投资人每年的回报金额。

11．考虑下列两种等价的期末年金：

a：首付6000元，然后每年减少100元，直到某年（k），然后保持一定付款的水平直到永远；

b：每年底固定付款5000元；如果年利率为6%，试求k（近似整数）。解：

方法一：价值等式：5000a|?(6000?100(k?1))?a|?6000a|?100?

a|?k?k

0.6

5000?(6000?100(k?1))?k?6000(1??k)?100(a?k?k)

解得a|?10，查表得k?15

方法二：价值等式：5000|?(6000?100(k?1))|?100(da) 注意到(da)|?答：k?15。

12．某人退休一次性获得退休金y元，它将其中的一部分x用于投资回报率为

n?a|i

解得|?10查表得k?15

ix的永久基金，另一部分用于投资回报率为j的十年期的国债。已知他前十年的收入是后十年的两倍，试确定他投资于永久基金占总退休金的比例。 13．某汽车销售商计划采取以下两种零售策略：

1）若一次性付清车款，零售价格为2万元；或 2）以年利率10%，提供4年分期付款（按月付款）。

如果目前市场上，商业零售贷款月换算的年名义利率为12%，试分析两种零售策略那种对消费者更优惠？

14．十万元的投资每年底收回一万元，当不足一万元时将不足一万元的部分与

最后一次的一万元一次收回。如果每半年接转一次利息的年名义利率为7%，试求收款次数和最后一次的收款金额。

15．考虑一个十年期的投资项目：第一年初投入者投入10000元，

第二年初投入5000元，然后每年初只需投入维修费1000元。该项

目期望从第六年底开始有收益：最初为8000元，以后每年递增

1000元。用dcf法计算该投资项目的价值。特别如果贷款利率为10%，该项目是否有投资价值？

16．某项10年期贷款，年利率为8%，如果还款额同时以年利率为7%在投资，求下列情况下的实际收益率：1）到期一次还清；

2）每年还利息，到期还本金；3）每年等额分期偿还。

17．某基金投资者：每年初投入一定本金，共投资10年。基金本

身的年回报率为7%，年底支付。分别对再投资利率为5% 和8% 两

种情况下，讨论投资者的实际收益率。

18．讨论下列模型假设下得再投资的实际收益率：

1）每年末（一个计息期）投资1单位资金，每年（一个计息期）的直接投资

收益率为i；

2）投资的回报方式为：逐年（一个计息期）收回利息，结束时收回

本金； 3）同时将每年的利息收入以再投资利率为j进行再投资。资金流程图如下：

19．投资者购买以下五年期的金融产品：1）每年底得到1000元；2）每年的收入可按年利率4%再投资且当年收回利息。如果该投资

者将每年的利息收入以年利率3%再投资，实际年收益率为4%。求

该金融产品的购买价。

20．某投资者连续五年每年向基金存款1000元，年利率5%，同时

利息收入可以

年利率为4%投资。给出第十年底的累积余额表达式。

21．1万元的贷款计划20年分年度还清，每年底还款1000元。如

果贷款方可以将每年的还款以年利率为5%投资，计算贷款方的实际

收益率。

22．某活期存款账户年初余额为1000元，4月底存入500元，六

月底和八月底分别提取200元和100元，年底余额为1236元，求

该储户的年资本加权收益率。23．某投资账户年初余额为10万元，5月1日的余额为11.2万元，同时投资3万元，11月1日余额将为12.5万元，同时提取4.2万元，在下一年的1月1日又变为10万元。分别用资金加权和时间加权求投资收益率。

24．某基金由两个投资人，甲年初在基金中有资金1万元，年中又

投入1万元，乙年初有2万元，上半年收益率为10%，下半年收益

率为20%，利用投资组合法计算甲乙应分得的收益。

25．债券a，面值为pa，收益率为ia，无违约风险；

债券b，面值为pb，收益率为ib，违约概率为p（0?p?1），如果

违约发生则到期债券的价值为0，即债券b在到期时的价值为随机变量xb?

pb......不违约

0............违约

。

问题：在什么条件（pa，pb，p，ia，ib满足什么关系）下，债券

a和债券b对投资者来说有相同的期望收益？

分析：要使两债券在到期时有相同的期望收益，两债券期末的期望

本利和应相同，所以应有关系：pa(1?ia)?e[xb](1?ib) 即：

pa(1?ia)?pb(1?p)(1?ib)

26．某按月摊还的债务，年实际利率为11%，如果第三次还款中的

本金量为1000元，计算第33次还款中本金部分的金额。

27．某借款人借款2000元，年利率为10%，要求两年内还清。借

款人以偿债基金方式还款：每半年向基金存款一次，而且存款利率

为季度挂牌利率8%，求每半年应偿债基金的存款额。并构造偿还表。 28．假设一笔贷款期限为5年，贷款利率为10%，如果贷款人计划

每年末的总付款额为：1000元、2000元、3000元、4000元和

5000元。试分别用分期偿还法和偿债基金利率为8%的偿债基金法

计算原始贷款本金。

【篇二：金融数学引论答案第三章北京大学出版】

第三章习题答案

1 已知某投资的内部回报率为r ，且在该投资中c0 = 3000 元，c1

= 1000 元， r2 = 2000 元和r3 = 4000 元。计算r 。

解: 令v = 1

1+r

，由p(r) = 0 有

c0 + c1v ? r2v2 ? r3v3 = 0

代入数据，解得：

v ≈ 0.8453

∴ r = 18.30%

2 十年期投资项目的初期投入100, 000 元，随后每年年初需要一笔

维持费用：第

一年3000 元，以后各年以6% 的速度增长。计划收入为：第一年

末30,000 元，以后逐年递减4% ，计算r6 。

解: 由i = 6%, j = 4%

r6 = 30000(1 ? j)5 ? 3000(1 + i)5

= 20446.60元

3 已知以下投资方式：当前投入7000 元，第二年底投入1000 元；

回报为：第一年底4000 元，第三年底5500 元。计算：p(0.09) 和

p(0.10) 。

解: 净现值p(i) 为：

p(i) = ? 7000 + 4000(1 + i)?1

? 1000(1 + i)?2 + 5500(1 + i)?3

p(0.09) = 75.05元

p(0.10) = ? 57.85元

北京大学数学科学学院金融数学系第1 页

4 计算满足以下条件的两种收益率的差：当前的100 元加上两年后

的108.15 元，可以在第一年底收回208 元。

解: 设收益率为i ，其满足：

?100 + 208v ? 108.15v2 = 0

解得

i = 2.03% 或6.03%

两种收益率的差为4.00%

5 每年初存款，第10 年底余额为1000 元，存款利率4% ，每年的

利息收入以4% 的利率进行再投资。给出每年存款金额的表达式。解: 以第10 年底为比较日，有以下的方程

10r + 4%r(is)10p3% ￢ = 1000

解得

r =

1000

10 + 4%(is)10p3% ￢

6 现在10000 元贷款计划在20 年内分年度还清，每年还款1000 元。如果贷款方可以将每年的还款以年利率5% 进行投资。计算贷款方

的实际年收益率。解: 设年收益率为i ，有

1000 a20p5% ￢ v20 = 10000

解得

i ≈ 6.16%

北京大学数学科学学院金融数学系第2 页

7 某投资者购买了如下的五年期金融产品：

(1) 每年底得到1000 元；

(2) 每年的收入可以按年利率4% 投资且当年收回利息。

如果该投资者将每年的利息收入以年利率3% 再投资，实际年收益率为4%。计算购买价格。

解: 设购买价格为p ，有

p = 4448.42 元

8 某投资者连续五年每年期末向基金存款1000 元，年利率5% 。同时，利息收入可以以年利率4% 投资。给出第十年底的累积余额表达式。

解: 对现金流进行拆分，第10 年底的余额为：

s1￢1p ? 11

? 50 ? s6p ￢ ? 6

= 7316.73 元

北京大学数学科学学院金融数学系第3 页

9 甲将2000 元投资10 年，年利率17% ，利息每年支付，利息的再投资利率为 11% ，第10 年底的累积利息为5685.48 元；乙在20 年内，每年底投资150 元，年利率14% ，而且利息以11% 的年利率再投资。计算乙在20 年底的累积利息收入。

解:

由pa = 5685.48

解得(1 + 11%)10 = 2.83942

带入pb 计算得pb = 8438.71元

另解:

直接计算得pb = 8438.71元

10 某人以100000 元购得一块土地，每年需交资产税1500 元。十年后以260000

元卖出，同时交纳8%的销售税。计算年收益率。

解：由净现值公式有

i ≈ 8.075%

11 50000 元投资，可以在今后六年内每年得税后收入18000 元。计算：

1) 15% 的净现值；2)收益率。

解：由净现值公式有

p(i) = ?50000 + 18000a6p15% ￢

(1) p(15%) = 18120.69元

北京大学数学科学学院金融数学系第4 页

(2) p(i) = 0

解得：

i ≈ 27.698%

12 某人拥有10000 元按月以i(12) = 6% 支付利息的债券，其在得到每月的利息后，立即以i(12) = 12% 存入银行，计算其账户在第12 次、24 次和36 次存款后的余额。并对以上三种情况计算其每年平均的i(12) 。

解：第n 次存款后的余额为

np ￢

每年的平均i(12) 满足

i(12)

)n = p(n)

把n = 12, 24, 36 代入得到

p(12) = 10634.16 , i(12) = 6.16%

p(24) = 11348.67 , i(24) = 6.34%

p(36) = 12153.84 , i(36) = 6.52%

13 某基金的年初金额为500000 元，年底余额为680000 元。投资收入为60000 元，投资成本为5000 元。用资本加权法计算年实际收益率。

解：由题意，a = 500000，b = 680000

所以，i = 60000 ? 5000 = 55000

i =

a +

b ? i

= 9.78%

北京大学数学科学学院金融数学系第5 页

14 某基金的年利率4%，年初余额1000 元，如果在第三个月底存入200 元，第9个月底取款300 元。假定利率按单利计算，计算年底的余额。

解：

= 943 元

15 (1)假定：1?tit = (1 ? t)i，给出1?ti0 的表达式；2）假定：1?ti0 = ti ，给出1?tit

的表达式。

解：在考虑福利的前提下有

(1 + ti0)(1 +1?tit) = 1 + i

(1) 由1?tit = (1 ? t)i得

i t 0 =

(1 + i) ? 1 ? (1 ? t)i

1 + (1 ? t)i

(2) 由i t 0 = ti 得

1?tit =

(1 + i) ? 1 ? (1 ? t)i

1 + ti

(1 ? t)i

1 + ti

16 在初始时刻和第1 年底分别向基金投入1000 元，已知基金在第1 年底的余额为1200 元，第2 年底的余额为2200 元。分别用资本加权法和时间加权法计算年收益率。

解：资本加权法

1000(1 + i)2 + 1000(1 + i) = 2200

解得

i ≈ 6.52%

时间加权法

(1 + i)2 =

1200

1000

1200 + 1000

解得

i ≈ 9.54%

北京大学数学科学学院金融数学系第6 页

17 基金在元旦的余额为a，6月底的余额为b，年底的余额为c。

(1) 若一年中没有任何资本的注入，证明：投资额加权法和资本加权法计算的年收益率都是c?a

；

(2) 如果在6 月底计算余额后立即投入资本d ，试分别给出投资额加权法和时间加权法计算收益率的表达式。

(3) 如果(2) 中的投资是在余额计算之前投入的，重新计算(2)

率。

(4) 说明(2) 和(3) 中投资额加权法的结果相同的原因。

(5) 试说明(2) 中时间加权法的结果大于(3) 的结果。

解：(1) 资本加权法

a(1 + i) = c

i =

c ? a

时间加权法

1 + i =

? c

i =

c ? a

(2) 资本加权法

a(1 + i) + d(1 +

) = c

c =

c ? a ? d

a + 1

时间加权法

1 + i =

? c

b + d

i =

b c 中的两种收益

【篇三：金融数学引论答案第5—7章北京大学出版】

第五章习题答案

1. 已知某10年期零息票债券兑现值为1000，试对收益率为10%和9%分别计算当前价格。并说明如果收益率下调10%，债券价格上涨的百分比。

解： (1)记p为买价，则有价值方程:

p1(1 + 10%)10 = 1000

p2(1 + 9%)10 = 1000

解得:p1 = 385.54元p2 = 422.41元

(2)收益率下降后

解得:p

1 = 422.41元，上涨百分比:9.56%; p

2 = 458.93元，上涨百分

比:8.65%。

2. 已知26周的短期国债的发行价格为9600元，到期兑现10,000元。

1〕按短期国债计算天数的典型方法计算贴现率；

2〕假定投资期恰为半年，计算年收益率。

解： (1)由短期国债的定价公式

10000(1 ? yd

360

) = 9600

解得：yd = 7.91%

(2)由定义设年换算收益率为i，则：

9600(1 + i)

= 10000

解得：i = 8.51%

3. 短期国债的贴现率均为8%，计算52 周国债与13 周短期国债的

年利率之

比。52周实际天数已经超过360，如何处理；年利率之比是指等价

年利率之比还是贴现率的比。

4. 某10年期面值为100元的债券半年名息率10%，到期兑现105元，如果收益率为半年换算8%，计算债券的买价。

北京大学数学科学学院金融数学系第1 页

解：由基本公式：

5. 由债券价格计算公式，给出以下导数的计算公式，并解释其含义。

1) ?p

?i , ?p

和?p

2) ?n

和?n

解： (1.1)由基本公式对i求导：

= fr(da)npi? np(n + 1, i) 0

解释：债券的买价随着年限的增加而递减。

(1.2)由基值公式对n求导：

cln(1 + i)

(g ? i)vn

解释：当债券溢价出售时，债券的价格是年限的增函数；当债券折

价出售时，债券的价格是年限的减函数。

(1.3)由makeham公式对g求导：

(c ? k) =

(1 ? vn) 0

解释：债券的价格是修正息率的增函数。

(2.1)由(1.2)得由p = fr 1?vn

i + cvn得

n = f(p, i, g) =

ln ip?fr

ic?fr

ln v

故

i(ic ? fr)

解释:(1)若g i, 当i、g保持不变时，要使价格增加，期限必然增加；

(2)若g i, 当i、g保持不变时，要使价格增加，期限必然减少。

北京大学数学科学学院金融数学系第2 页

(2.2)利用链式法则

i(c ? p)

解释:(1)若g i, 当p、i保持不变时，增加g，即减少兑现值，期限

必然增加；(2)若g i, 当p、i保持不变时，增加g，即增加兑现值，期限必然减少。

6. 两种面值为100元，半年名义息率8%的债券以面值出售。债券

甲在5年后到期，债券乙在10年后到期，兑现值均为面值。如果市场利率突然上升至半年换算名利率10%，分别计算两种债券的价格

变化百分比，并对你的结果给出一般的解释。解： 1)记pi为买价:

半年换算名利率上升到5%,由f = c得到g = r,由溢价折价公式有：

= 92.27元

= 87.53元

p1的变动百分比：92.27?100

100 = ?7.73%

p2的变动百分比：87.53?100

100 = ?12.47%

0 ? p

= (g ? i)anpi ?

(g ? i)

ln(1 + i)vn

题目中是g i从而变动百分比是在数值上依年限递减的。

7. 两种面值均为1000元，期限相同均以面值兑现的债券，半年实

际收益率均为4%。第一种债券的半年实际息率为5%，价格为1136.78；第二种债券的半年实际息率为2.5%，计算第二种债券的

价格。

北京大学数学科学学院金融数学系第3 页

解： fr = cg,由f = c得到g = r. 由溢价折价公式：

第一类债券的价格：

得：anp0.04= 13.678

第二类债券的价格：

= 794.83元

8. 面值1000元的债券，半年名息率9%，经过一定时间后以1125元兑现。已知半年

换算收益率10%，依此计算的兑现值的现值为225元。计算债券的价格。解： g =

1125

= 4%, 由makeham公式：

p = k +

(c ? k) = 945元

9. 某n年期债券面值1000元，面值兑现，每年息票100元，买价为1110元。已知k = 450，计算基值。

解：由溢价折价公式：

i =

g(c ? k)

p ? k

1110 ? 450

= 0.0833

由gi = fr得

g =

0.0833

= 1200

10. 某人现有面值1000元的10年期债券，半年息率10%，半年名收益率7%，面值兑现。若以相同的收益率考虑购买半年息率6%以面值兑现的八年期债券。计算八年期债券的面值?

解：由溢价折价公式：

c1[1 + (g1 ? i)an1pi] = c2[1 + (g2 ? i)an2pi]

得：

c2 =

1 + (3% ? 3.5%)a16p3.5%= 1291.31

北京大学数学科学学院金融数学系第4 页

11. 年债券面值1000元，面值兑现，半年息率12%。债券以半年名收益率10%买入。债券的期限延长一倍，买入价增加50元。计算n年期债券的买入价。解： g = fr

i = 1000￡6%

5% = 1200 由基值公式p = g + (c ? g)vn，

期限为n，则p = 1200 ? 200vn

期限为2n，则p + 50 = 1200 ? 200v2n

解得p = 1100

12. 已知一个标准货币单位债券的息率为收益率的1.5倍，溢价差为p ；另有一个

标准货币单位的债券的息率为收益率的75%，计算其价格。

解：标准货币单位债券即面值为1，由折价溢价公式，

p1 = 1 + p = 1 + (1.5i ? i)anpi ?

解得：ianpi= 2p

则

p2 = 1 + (0.75i ? i)anpi= 1 ? 0.5p

13. 已知定期债券的溢价差为5元，实际利息收入占息票的75%，计算息票值。解： (1 ? 75%)fr = 5

解得：fr = 20元

14. 某10年期半年付息票的债券按半年名收益率9%认购。如果已知倒数第二次息票中折价差部分的金额为8元，计算摊还表中前四年折价累计额的总和。解：已知c(g ? i)v2 = 8

则前四年折价累计额的总和为：

= c(g ? i)(a20p4.5%? a12p4.5%)

= 33.98

15. 现有面值1000的5年期债券，半年名息率10%，面值兑现，以半年名收益