凸规划和模糊线性规划模型在组合投资中的应用_杨梅

N
n
ˉ） ∑bi∗ ∙ Xki ) → W (X
i=1
ˉ） mW ( X
n
( a． ) ｅ．
（6）
ˉ） W (X 因此 S m = ｅ ， 决定了资金增长速度， 因此如 * ˉ 与W ( X ˉ） 何寻找最优决策b 的计算是问题的一个核心。
1.2
凸规划模型求解 凸集与凸函数的理论通常称为凸分析， 它是优化理论
X∈R
函数， 可认为是凹函数， 根据凸规划的定义， 此模型是凸规 划， 其最优解即是其全局最优解。运用 MATLAB 软件中的 优化软件包求解此凸规划[8]。
（7） 2 模糊线性规划模型 Carlsson 和 Fullér[9] 提出可能性均值和可能性方差的 界定， 本文以此将可能性均值和可能性方差来衡量未来投 资的收益和风险， 相对应将模型的约束条件替代为 “带有弹 性” 的约束条件， 建立基于模糊线性规划的组合投资模型。 2.1 可能性均值-方差模型 假设有n种风险资产可以进行组合投资， 设随机向量
（责任编辑/浩 天）
统计与决策２０1 3 年第 10 期·总第 382 期
59
决策参考
i=1,2,…,n;∑b i = 1 b i0，
i=1 n n
(1)
ˉ) = Max ∫ ln(∑b i ∙x i)dF( x1, x2,⋯, x n) ˉ, b W (X
i=1
n
ˉ 固 定 ，这 时 单 位 资 本 的 总 收 入 为 若决策b ˉ)为随机收益向量 X ˉ的收 ˉ 关于决策b ˉ, b S = ∑b i X i。称W ( X
与方法中最重要的工具之一， 凸分析是最优化理论基础， 在最优化方法、 博弈论， 现代经济理论和管理科学中有广 泛的应用。在最优化方法中， 凸分析主要体现在凸规划求 解的应用。 考虑非线性规划： min f ( X )
st. R = {X | g j ( X ) 0, j = 1,2,⋯}
列， 各序列独立同分布， 由辛钦大数定律可知：
1 ln ( m∑ k=1
* m
（11） 。且可以证明函数- 1 ∑ln ∑b i ∙x ji是凸函数。 N j=1 i=1 模型最终可描述为：
N n æ ö ˉ) = -min ç - 1 ∑ln ∑b i ∙x ji ÷ ˉ, b W (X ç N ÷ j=1 i=1 è ø
益倍率。
ˉ) = ∫ ln(∑b i ∙x i)dF( x1, x2,⋯, x n) ˉ, b W (X ˉ的集合， 如记B为全体满足条件b 这时称 ˉ) ˉ） = Sup W ( X ˉ, b W (X ˉ* ∈ B， ˉ 的倍率， 为X 如b 且 * ˉ ˉ ˉ W ( X, b ) = W ( X）
[3]Heckman， J.， R. Lalonde， J. Smith .The Economics and Econometrics 1999.
of Active Labor Markets Programs[Z]. Handbook of Labor Economics，
[4]Heckman， J , E. Vytlacil .Econometric Evaluation of Social Programs， Part I： Causal Models， Structural Models and Econometric Policy Evaluation[Z]. Handbook of Econometrics， 2007.
ˉ = ( X1，X2，⋯，X n )为投资收益， X 其中 X i 为随机变量，
它表示投资在第 i 个项目上单位资本的投资收益， 投资收 ˉ 益具有不确定性， 根据现实情况假设投资收益非负， 则X 的 取 值 为 n- 维 非 负 欧 氏 空 间 ，记 之 为 R n +. 记 ˉ ˉ ) = F( X1, X2,⋯, X n)为随即向量 X 的联合分布函数， 记 F( x 第 i 个项目上的资本占总投资的比例。
决策参考
i=1,2,…,n;∑b i = 1 b i0，
i=1 n i=1 n
(13)
模糊线性规划模型的一般形式为： min f = a1 x1 + a2 x2 + ⋯ + a n x n
c1 ìb11 x1 + b12 x2 + ⋯ + b1n x n ～ ï ïb x + b x + ⋯ + b x c 21 1 22 2 2n n 2 ï ～ ï s.t.í... ï ïb m1 x1 + b m2 x2 + ⋯ + b mn x n c m ï ～ ïx x î 1, 2,⋯, x n 0
ˉ = ( X1, X2,⋯, X n)独立且同分布的随 拟生成与随机向量 X ˉ ∧ = {X ˉ1，X ˉ2， 机样本 X ⋯ }。于是
n ì ü ï min f N ( X ) = -min í ln( b i ∙x i)dF( x1, x2,⋯, x n)ý ∑ ∫ ï i=1 þ î 的近似是：
[2-6]
本文就 T.cover 教授等人提出的一个最优投资决策模 型， 运用凸规划和随机模拟的方法-Bootstrapping 法讨论最 优的投资决策。T.cover 教授等人提出的投资决策模型 [7] 是： 组合投资中资金分配问题。 1.1 T.cover 投资决策模型 假设有n种风险资产可以进行组合投资， 设随机向量
S* = ∏( m
k=1 m
∑bi∗ ∙ Xki ) = exp{ ∑ln ( ∑bi∗ ∙ Xki ) }
i=1 k=1 函数为 F ( x ˉ ) = F( x1, x2,⋯, x n) 的随机序 若X
n æ 1 N ö min f N ( X ) = -min ç （11） ç - N ∑ln ∑b i ∙x ji ÷ ÷ j=1 i=1 è ø 当 样 本 容 量 N 足 够 大 时 式（10）以 概 率 1 近 似 式
决策参考
凸规划和模糊线性规划模型在组合投资中的应用
杨
b 梅 a，
（中南财经政法大学 a.金融学院； b.工商管理学院， 武汉 430073）
摘 要： 文章介绍凸规划和模糊线性规划模型及其求解方法， 提出了基于凸规划和模糊线性规划的组合投 资模型， 并将模型的求解转化为参数规划应用于我国证券市场的组合投资中， 最后采用相应软件求解出最优投 资组合比例。 关键词： 凸规划； 模糊线性规划； 组合投资 中图分类号： F224 文献标识码： A 文章编号： 1002-6487 （2013） 10-0059-04
st. b i 0， ∑bi = 1，i = 1,2，⋯n
i=1
m
（12）
当样本容量 N 足够大时 （12） 式的最优解以概率 1 收 敛 （8） 式最优解， 但此时 （12） 式有一个较为明确的目标函 数。 （12） 式的目标函数是凸函数， ∑bi = 1是关于bi的线性
i=1 m
︸ -b∈B i=1 n
（2）
st. b i 0， ∑bi = 1，i = 1,2，⋯n
i=1 n
m
（3）
其中目标函数 - ∫ ln(∑b i ∙x i)dF( x1, x2,⋯, x n) 可以用
i=1
ˉ*为 X ˉ 的最优决策。 则称b
（4）
Bootstrapping 近 似 。 根 据 服 从 分 布 函 数 ˉ ) = F( X1, X2,⋯, X n)的历史数据， 运用 Bootstrapping 模 F( x
假 定 其 中 f ( X ) 为 凸 函 数 ，g j ( X )( j = 1,2,⋯) 为 凹 函 数， 这样的非线性规划为凸规划。运用凸函数的性质可以 证明， 上述凸规划的局部最优解极为全局最优解。当凸规 划的目标函数 f ( X )为严格凸函数时， 其最优解必定唯一。 由此可见， 凸规划是一类比较简单而又具有重要理论意义 的非线性规划。 1.3 基于凸规划模型的最优组合投资模型 T.cover 教授等人提出的最优投资决策模型最终可归 结为求以下非线性规划的最优解：
i=1
st. b i 0， ∑bi = 1，i = 1,2，⋯n
i=1 X∈R
m
（8）
又由于 max f ( X ) = -min[- f ( X )]， 进而上式 （8） 等价于
n æ ö ˉ) = -min ç - ∫ ln(∑b i ∙x i)dF( x1, x2,⋯, x n) ÷ ˉ, b W ( X ç ÷ i=1 è ø（9）
如， 旅游人才供给优化与评价， 其中包括了创办各类旅游 产业发展所需人才， 极大服务现代旅游产业， 满足发展需 求； 而如道路及配套的技术设备需要国家大量的财政支 出， 此类支出的效率与效益亦是关注重点， 本文所分析的 方法与工具亦可看成是一种典型做法； 另外， 财政税收政 策倾斜性设计更能从技术层面解决投资的效率及政策有 效性问题。
研究了优化约束条件下的投资
组合问题。本文从随机分布的角度， 首先介绍凸规划和模 糊线性规划模型及其求解方法， 提出基于凸规划和模糊线 性规划的组合投资模型， 并将模型的求解转化为参数规划
ˉ = (b1, b2⋯, b n)为一个投资决策向量， b 其中b i 表示投资在
基金项目： 国家社科基金资助项目 （11CJY034） 作者简介： 杨 梅 （1977-） ， 女， 湖北蕲春人， 博士研究生， 讲师， 研究方向： 旅游经济管理。
ˉ = ( X1，X2，⋯，X n )为此 n 种风险投资的投资收益， X 其
中 X i 为随机变量表示单位资本在第 i 个项目上的投资收 ˉ = (b1, b2⋯, b n)为一个投资决策， 益且为模糊数， 记b 其中b i 表示在第 i 个项目上所占的投资比例。
60
统计与决策２０1 3 年第 10 期·总第 382 期