第三章 线性规划问题的计算机求解.
管理运筹学作业 韩伯棠第3版高等教育出版社课后答案
课程：管理运筹学管理运筹学作业第二章线性规划的图解法P23：Q2：（1）－（6）；Q3：(2)Q2：用图解法求解下列线性规划问题，并指出哪个问题具有唯一最优解，无穷多最优解，无界解或无可行解。
（1）Min f＝6X1+4X2约束条件：2X1+X2>=1,3X1+4X2>=3X1, X2>=0解题如下：如图1Min f＝3.6X1=0.2, X2=0.6本题具有唯一最优解。
图1（2）Max z＝4X1+8X2约束条件：2X1+2X2<=10-X1+X2>=8X1,X2>=0解题如下：如图2：Max Z 无可行解。
图2（3） Max z ＝X1+X2 约束条件 8X1+6X2>=24 4X1+6X2>=-12 2X2>=4 X1,X2>=0 解题如下：如图3： Max Z=有无界解。
图3（4） Max Z ＝3X1-2X2 约束条件：X1+X2<=1 2X1+2X2>=4 X1,X2>=0 解题如下：如图4： Max Z 无可行解。
图4(5)Max Z＝3X1+9X2 约束条件：X1+3X2<=22-X1+X2<=4X2<=62X1-5X2<=0X1,X2>=0解题如下：如图5：Max Z =66；X1=4 X2=6本题有唯一最优解。
图5(6)Max Z=3X1+4X2 约束条件：-X1+2X2<=8X1+2X2<=122X1+X2<=162X1-5X2<=0X1,X2>=0解题如下：如图6Max Z =30.669X1=6.667 X2=2.667本题有唯一最优解。
图6Q3：将线性规划问题转化为标准形式（2）min f＝4X1+6X2约束条件：3X1-2X2>=6X1+2X2>=107X1-6X2=4X1,X2>=0解题如下：1）目标函数求最小值化为求最大值：目标函数等式左边min改为max，等式右边各项均改变正负号。
线性规划的应用及计算机求解
金融投资
在金融投资领域，如何合理配置资产以实现最大收益或最小风险是投资者关注的问题。线性规划可以用于制定最优的资产配 置方案，考虑风险和收益的平衡，以实现投资效益的最大化。
例如，一个养老基金可以使用线性规划来配置股票、债券和现金等资产，以实现长期稳定的收益并控制风险。
农业优化
在农业生产中，如何合理安排种植、养殖等 生产活动以达到最优的经济效益是农业经营 者关注的问题。线性规划可以用于解决农业 生产的优化问题，考虑土地、水资源、劳动 力等资源的限制，通过调整生产结构实现农 业生产的效益最大化。
其中，单纯形法是最常用的一种，它 通过迭代的方法逐步逼近最优解，直 到找到最优解或确定无解为止。
02
线性规划的应用领域
生产计划
生产计划是企业运营管理中的重要环节，线性规划可以用于制定最优的生产计划，以最小化生产成本 或最大化利润为目标，考虑生产能力、市场需求、产品组合等因素，通过调整生产资源的配置，实现 生产效益的最大化。
金融投ห้องสมุดไป่ตู้优化案例
总结词
金融投资优化
数学模型
目标函数通常是最大化预期收益或最小化 风险，约束条件包括投资限额、资产种类
限制等。
详细描述
线性规划在金融投资优化中具有实际应用 价值，通过合理配置投资组合，降低投资 风险，提高投资收益。
求解方法
使用计算机求解线性规划问题，常用的算 法有单纯形法、椭球法等。
资源分配优化案例
总结词 详细描述 数学模型 求解方法
资源分配优化
线性规划在资源分配优化中起到关键作用，通过合理分配有限 资源，实现资源利用的最大化，提高资源效益。
目标函数通常是最小化总成本或最大化总效益，约束条件包括 资源限制、需求约束等。
运筹学 第3章 线性规划问题的计算机求解
• 50
74
• 100
78
• 允许增加量是指该系数在上限范围内的 最大增加量。
• 允许减少量是指该系数在下限范围内的 最大减少量。
c • x1系数的上限为100，故 1的允许增加量为
•
上限-现在值=100-50=50
x c • 而 2的下限为50，故 2的允许减少量为
•
现在值-下限=100-50=50
管理运筹学
朱晓辉 管理科学与工程
第三章 线性规划问题的计算机求解
• 3.1 “管理运筹学软件的操作方法
3.2 “管理运筹学”软件的输出信息分析
• 相差值提供的数值表示相应的决策变量的目 标系数需要改进的数量，使得该决策变量有可能 取正数值，当决策变量已取正数值时相差值为零。
• 在目标函数系数范围一栏中，所谓的上限与 下限是指目标函数的决策变量的系数在此范围内 变化时，其线性规划的最优解不变。
c • 其中bj的允许增加（减少）百分比的定义同 i
的允许增加（减少）百分比一样，为bj的增加量 （减少量）除以bj的允许增加量（减少量）所得
到的值。
• 在使用百分之一百法则进行灵敏度分析时，要 注意以下三点：
• （1）当允许增加量（减少量）为无穷大时，则 对于任一个增加量（减少量），其允许增加（减 少）百分比都看成零。
• 在常数项数范围一栏中，所谓上限与下限是指 当约束条件中的常数项在此范围内变化时，与其 对应的约束条件的对偶价格不变。
• 以上讨论计算机输出的关于目标函数系 数及约束条件中常数项的灵敏度分析都是 基于这样一个重要假设：当一个系数发生 变化时，其他系数保持不变。
• 两个或更多的系数发生变化时，怎么来 进行灵敏度分析？
第3章%20线性规划问题的计算机求解pdf
第三章思考题、主要概念及内容“管理运筹学”软件的操作方法“管理运筹学”软件的输出信息分析复习题1.见第二章第7题，设x1为产品Ⅰ每天的产量，x2为产品Ⅱ每天的产量，可以建立下面的线性规划模型：max z=500x1+400x2；约束条件：2x1≤300，3x2≤540，2x1+2x2≤440，1.2x1+1.5x2≤300，x1，x2≥0．使用“管理运筹学”软件，得到的计算机解如图1所示图1根据图3-5回答下面的问题：(1) 最优解即最优产品组合是什么?此时最大目标函数值即最大利润为多少?(2) 哪些车间的加工工时数已使用完?哪些车间的加工工时数还没用完?其松弛变量即没用完的加工工时数为多少?(3) 四个车间的加工工时的对偶价格各为多少?请对此对偶价格的含义予以说明．(4) 如果请你在这四个车间中选择一个车间进行加班生产，你会选择哪个车间?为什么?(5) 目标函数中x1的系数c1，即每单位产品Ⅰ的利润值，在什么范围内变化时，最优产品的组合不变?(6) 目标函数中x2的系数c2，即每单位产品Ⅱ的利润值，从400元提高为490元时，最优产品组合变化了没有?为什么?(7) 请解释约束条件中的常数项的上限与下限．(8) 第1车间的加工工时数从300增加到400时，总利润能增加多少?这时最优产品的组合变化了没有?(9) 第3车间的加工工时数从440增加到480时，从图3-5中我们能否求得总利润增加的数量?为什么?(10) 当每单位产品Ⅰ的利润从500元降至475元，而每单位产品Ⅱ的利润从400元升至450元时，其最优产品组合(即最优解)是否发生变化?请用百分之一百法则进行判断．(11) 当第1车间的加工工时数从300增加到350，而第3车间的加工工时数从440降到380时，用百分之一百法则能否判断原来的对偶价格是否发生变化?如不发生变化，请求出其最大利润．2. 见第二章第8题(2)，仍设xA为购买基金A的数量，xB为购买基金B的数量，建立的线性规划模型如下：max z=5xA+4xB；约束条件：50xA+100xB≤1 200 000，100xB≥300 000，xA，xB≥0．使用“管理运筹学”软件，求得计算机解如图2所示．图2根据图2，回答下列问题：(1) 在这个最优解中，购买基金A和基金B的数量各为多少?这时获得的最大利润是多少?这时总的投资风险指数为多少?(2) 图3-7中的松弛/剩余变量的含义是什么?(3) 请对图3-7中的两个对偶价格的含义给予解释．(4) 请对图3-7中的目标函数范围中的上、下限的含义给予具体说明，并阐述如何使用这些信息．(5) 请对图3-7中的常数项范围的上、下限的含义给予具体说明，并阐述如何使用这些信息．(6) 当投资总金额从1 200 000元下降到600 000元，而在基金B上至少投资的金额从300 000元增加到600 000元时，其对偶价格是否发生变化?为什么?3. 考虑下面的线性规划问题：min z=16x1+16x2+17x3；约束条件：x1+x3≤30， -x2+6x3≥15，05x13x1+4x2-x3≥20，x1，x2，x3≥0．其计算机求解结果如图3所示．图3根据图3，回答下列问题：(1) 第二个约束方程的对偶价格是一个负数(为-3622) ，它的含义是什么? ，它的含义是什么?(2) x2的相差值为0703(3) 当目标函数中x1的系数从16降为15，而x2的系数从16升为18时，最优解是否发生变化?(4) 当第一个约束条件的常数项从30减少到15，而第二个约束条件的常数项从15增加到80时，你能断定其对偶价格是否发生变化吗?为什么?。
OR第三章线性规划问题的计算机求解.ppt
1/10
¼
20
Production problem of Golf Bag
Production Time(hours)
Product
Cutting and Dyeing
Sewing
Finishing
Inspection and Packing
Standard bag 7/10
½
1
Deluxe bag
or第三章线性规划问题的计算机求解lingo求解线性规划matlab求解线性规划excel求解线性规划非线性规划求解线性规划求解线性方程组求解求解非线性方程组齐次线性方程组求解非线性方程求解
第三章
线性规划问题的计算机求解
单纯形法
最初是在4 0年代由George Dantzig 研究出来的。 这个求解程序以可行域的一个顶点为出发点，检 验相邻顶点以判断相邻顶点的目标函数值是否比 当前的顶点更优。若相邻顶点的函数值优于当前 顶点，则取相邻顶点值，这一移动方向也就是朝 最优目标函数值递进的最快方向。反复进行这一 比较，当没有相邻顶点的目标函数值优于当前顶 点时，停止比较，当前顶点即为最优。
18
Production problem of Golf Bag
1. Cutting and dyeing the material 2. Sewing 3. Finishing(inserting umbrella holder, club
separators, etc.) 4. Inspection and packaging
If a decision variable is already positive in the optimal solution, its reduced cost is zero.
《管理运筹学》第四版课后习题解析上
《管理运筹学》第四版课后习题解析（上）第2章 线性规划的图解法1．解：（1）可行域为OABC 。
（2）等值线为图中虚线部分。
（3）由图2-1可知，最优解为B 点，最优解1x =127，2157x =；最优目标函数值697。
图2-1 2．解：（1）如图2-2所示，由图解法可知有唯一解120.20.6x x =⎧⎨=⎩，函数值为3.6。
图2-2（2）无可行解。
（3）无界解。
（4）无可行解。
（5）无穷多解。
（6）有唯一解 1220383x x ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，函数值为923。
3．解： （1）标准形式12123max 32000f x x s s s =++++1211221231212392303213229,,,,0x x s x x s x x s x x s s s ++=++=++=≥（2）标准形式1212min 4600f x x s s =+++12112212121236210764,,,0x x s x x s x x x x s s --=++=-=≥（3）标准形式12212min 2200f x x x s s ''''=-+++1221122122212212355702555032230,,,,0x x x s x x x x x x s x x x s s '''-+-+=''''-+=''''+--=''''≥4．解： 标准形式1212max 10500z x x s s =+++1211221212349528,,,0x x s x x s x x s s ++=++=≥ 松弛变量（0，0） 最优解为 1x =1，x 2=3/2。
5．解： 标准形式12123min 118000f x x s s s =++++121122123121231022033184936,,,,0x x s x x s x x s x x s s s +-=+-=+-=≥剩余变量（0, 0, 13） 最优解为 x 1=1，x 2=5。
单纯形法(第三章线性规划2)
-f 3 –6M -1+M -1+3M 0
0 -M -M x5 x6 x7 B-1b
0 0 0 11 -1 1 0 3 001 1 -M 0 0 4M
3 -1 -1 0 0 -M -M
xj x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 B-1b
0 x4 -M x6 -1 x3
3 -2 0 1 0100 -2 0 1 0
0 1 0 0 0.5 12
40 0 0 0 -25 -600
6/1=6 36/3=12 __
第二步迭代
40 50 0 0 0
xj
基变量
x1 x2
x3 x4 x5
b
40 x1
1 0 1 0 -1 6
0 x4 0 0 -3 1 2 18
50 x2
0 1 0 0 0.5 12
0 0 -40 0 15 -840
f 428 1.36 x4 0.52 x5
X 3 (20 24 84 0 0)T 目标函数值 f 3 = 428。
X3为最优解
即当A产品生产20kg，B产品生产24kg，工厂才能获得最大利 润428百元。x3=84代表煤的剩余量为84t，x4 = x5 = 0表示电力 和劳动日完全利用，没有剩余。
2.单纯形法的主要步骤
Step1. 标准化，找初始基可行解，建立初始的单纯形表；
对于(max , )，松弛变量对应的列构成一个单位阵 Step2.检验当前基可行解是否为最优解
所有检验数 λj 0，则得到最优解（若存在λk ＞0，且pk 0,则该问题
无最优解，停止计算） 否则进行下一步。
Step3.换基迭代（改进基可行解）
例2 用单纯形法求解下列LP问题
《运筹学》管理运筹学1
目标函数
z = 50 x1 + 100 x2
在 z = x2 (x2 = z 斜率为0 ) 到 z = x1 + x2 (x2 = -x1 + z 斜率为-1 )之间时，
原最优解 x1 = 50，x2= 100 仍是最优解。
• 一般情况：
z = c1 x1 + c2 x2 写成斜截式 x2 = - (c1 / c2 ) x1 + z / c2
x2 + s3 = 250
x1 , x2 , s1 , s2 , s3 ≥ 0
对于最优解 x1 =50 x2 = 250 ， s1 = 0 s2 =50 s3 = 0
说明：生产50单位甲产品和250单位乙产品将消耗完所有可能的设备台时
数及原料B，但对原料A则还剩余50千克。
解的性质：
1 线性规划的最优解如果存在，则必定有一个顶点（极点）是最优解； 2 有的线性规划问题存在无穷多个最优解的情况； 3 有的线性规划问题存在无有限最优解的情况，也称无解； 4 有的线性规划问题存在无可行解的情况。
• 作业：P24---6，பைடு நூலகம்，8
16
第三章 线性规划问题的计算机求解(1)
• 管理运筹学软件1.0版使用说明：（演示例1） 一、系统的进入与退出：
1、在WINDOWS环境下直接运行main.exe文件，或者在DOS下UCDOS中文平台环 境下运行，也可直接运行各可执行程序。
2、退出系统的方法可以在主菜单中选退出项，也可按Ctrl+Break键直接退出。 3、在WINDOWS环境下直接运行软件，如果出现乱码，那是因为启用了全屏幕方
s.t. a11 x1 + a12 x2 + … + a1n xn ≤ （ =, ≥ ）b1 a21 x1 + a22 x2 + … + a2n xn ≤ （ =, ≥ ）b2 …… …… am1 x1 + am2 x2 + … + amn xn ≤ （ =, ≥ ）bm x1 ，x2，… ，xn ≥ 0
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➢ 注意：
➢ 1、允许增加（减少）量为无穷大时，其允许 增加（减少）百分比都看做0。
➢ 2、百分之一百法则是判断最优解或对偶价格 是否变化的充分条件，但不是必要条件。
第三章
线性规划问题 的计算机求解
➢ 一、“管理运筹学”软件的操作方法
➢ 2.5版比之2.0版改进了不少功能，如，线性 规划结果输出部分增加了线性规划的逐步运 算过程
➢ 应用注意：
➢ 1、输入系数可以是整数、小数，但不能是分 数；
➢ 2、输入前要合并同类项； ➢ 3、可以解决包含50个约束条件、100个决策
➢ 3、百分之一百法则不能用于约束条件右端常 数项和目标函数系数同时变化的情况，在这 种情况下只有重新求解。
影子价格与对偶价格的区别和联系
➢ 影子价格：当约束条件中的常数项增加一个 单位时，最优目标和数值增加的数量。
➢ 对偶价格：当约束条件中的常数项增加一个 单位时，最优目标和数值改进的数量。
➢ 因此，当目标函数为最大化要求时，影子价 格＝对偶价格，当目标函数为最小化要求时， 影子价格＝－对偶价格。
变量的线性规划问题。
➢ 二、管理运筹学软件的输出信息分析
➢ 1、基本信息内容
➢ 相差值：使决策变量取正值，目标函数系数 要改进的数量。
➢ 对偶价格：约束条件右端项（资源、限制） 增加一个单位使目标函数值得到改进的数量。
➢ 价值系数上下限是最优解不变的范围； ➢ 常数项上下限是对偶价格不变的范围。
X2
Hale Waihona Puke 400C1＝-100
300
AB
200
C
x2＝250
C1＝75
100
C1＝150
O
100 200 300
X1
2x1+x2＝400 x1+x2＝300
X2 400 300 K’ 200 100
x2＝350 x2＝250
O
100 200 300
X1
2x1+x2＝400 x1+x2＝300
注意：
❖ 以上的计算机信息输出分析都基于一个假设： 当一个系数发生变化时，其他系数保持不变， 即以上讨论的所有目标函数系数及约束条件 中常数项的变化范围只适合于单个系数变化 的情况。
❖ 如果有两个和两个以上的系数发生变化时， 怎么进行灵敏度分析呢？
➢ 2、百分之一百法则
➢ 基本概念 ➢ 允许增加量：该系数的上限值减去当前值； ➢ 允许减少量：该系数的当前值减去下限值；
➢ 允许增加百分比：系数增加（减少）量除以 允许增加（减少）量。
➢ 目标函数决策变量系数的百分之一百法则： 当两个或多个目标函数系数同时变化时，对 于所有变化的目标函数决策变量系数，当其 所有允许增加的百分比和允许减少的百分比 之和不超过百分之一百时，最优解不变。