第三章 线性规划在各个领域的应用
线性规划的应用
线性规划的应用1. 引言线性规划是一种优化问题的数学建模工具，广泛应用于经济、工程、运输、资源分配等领域。
本文将探讨线性规划在生产计划、供应链管理和投资组合优化中的应用。
2. 生产计划中的线性规划应用生产计划是企业核心业务之一，通过合理的生产计划可以提高生产效率和降低成本。
线性规划可以帮助企业确定最佳的生产计划，以满足市场需求并最大化利润。
例如，假设一家制造公司有多个产品需要生产，每个产品的生产成本、销售价格和市场需求量都不同。
通过线性规划模型，可以确定每个产品的生产数量，以最大化总利润。
3. 供应链管理中的线性规划应用供应链管理是企业与供应商、生产商和分销商之间协调和优化物流和信息流的过程。
线性规划可以用于优化供应链中的物流和库存管理。
例如，一家零售公司需要决定每个仓库的库存水平和重新补充货物的频率，以最大程度地满足顾客需求并最小化库存成本。
通过线性规划模型，可以确定最佳的库存水平和补货策略。
4. 投资组合优化中的线性规划应用投资组合优化是金融领域中的一个重要问题，即如何选择一组资产以最大化收益并控制风险。
线性规划可以用于确定最佳的投资组合权重。
例如，一个投资者有多个可选的资产，每个资产有不同的预期收益率和风险。
通过线性规划模型，可以确定每个资产的权重，以最大化整体投资组合的预期收益并控制风险。
5. 结论线性规划是一种强大的数学工具，可以应用于各种优化问题中。
本文讨论了线性规划在生产计划、供应链管理和投资组合优化中的应用。
通过合理的模型建立和求解，可以帮助企业和个人做出最佳决策，提高效益和竞争力。
3第三章线性规划应用
资金 X1+X2+X3+X4+X5 ≤100,000 行业 X1+X2 ≤50,000
X3+X4 ≤50,000 债券 X5 ≥0.25(X3+X4) 太平洋石油 X2 ≤ 0.6(X1+X2) 非负性约束X1≥0 X2≥0 X3≥0 X4≥0 X5≥0
精品课件
护士的最少人数 60 70 60 50 20 30
28
6、人员安排
设第j时段开始上班的人数为Xj,j=1,2,…,6,
目标函数：min Z=x1+x2+x3+x4+x5+x6
约束条件： x1+x2 ≥70
x2+x3 ≥60
x3+x4 ≥ 50
x4+x5 ≥20
x5+x6 ≥30
x6+x1 ≥60
护士的最 少人数 60
70
60
50
20
30
30
序号1时段上班的人（3元）：3X1+3 X6 序号2时段上班的人（ 3元）：3X1+3X2 序号3时段上班的人（ 3元）：3X2+3X3 序号4时段上班的人（4元）：4X3+4X4 序号5时段上班的人（4元）：4X4+4X5 序号6时段上班的人（5元）：5X5+5X6
时间
11-12 12-13 13-14 14-15 15-16 16-17 17-18 18-19 19-20 20-21 21-22
需要的 总人数
线性规划的应用
线性规划的应用一、引言线性规划是一种数学优化方法，广泛应用于各个领域，如经济学、管理学、工程学等。
本文将介绍线性规划的基本概念、模型建立以及应用案例。
二、线性规划的基本概念1. 目标函数：线性规划的目标是最大化或最小化一个线性函数，称为目标函数。
目标函数通常表示为z = c₁x₁ + c₂x₂ + ... + cₙxₙ，其中c₁、c₂、...、cₙ为系数，x₁、x₂、...、xₙ为决策变量。
2. 约束条件：线性规划的约束条件是一组线性不等式或等式，用于限制决策变量的取值范围。
约束条件通常表示为a₁x₁ + a₂x₂ + ... + aₙxₙ ≤ b，其中a₁、a₂、...、aₙ为系数，b为常数。
3. 决策变量：线性规划中的决策变量是需要确定的变量，其取值决定了目标函数的取值。
决策变量通常表示为非负数，即x₁, x₂, ..., xₙ ≥ 0。
三、线性规划模型建立线性规划的模型建立包括确定目标函数、约束条件以及决策变量的取值范围。
下面以一个生产计划问题为例，详细说明线性规划模型的建立过程。
假设某工厂生产两种产品A和B，每天可用的生产时间为8小时。
产品A每单位利润为100元，产品B每单位利润为150元。
产品A每小时需要2人工时，产品B每小时需要3人工时。
工厂每天可用的人工时为20小时。
现在需要确定每天生产的产品数量，以最大化利润。
1. 确定目标函数：由于目标是最大化利润，因此目标函数为z = 100A + 150B，其中A为产品A的数量，B为产品B的数量。
2. 确定约束条件：根据生产时间和人工时的限制，可以得到以下约束条件：- 2A + 3B ≤ 20（人工时限制）- A, B ≥ 0（非负数限制）3. 确定决策变量的取值范围：由于产品数量不能为负数，因此决策变量的取值范围为A, B ≥ 0。
四、线性规划的应用案例线性规划在实际应用中有广泛的应用，下面以物流配送问题为例，介绍线性规划的应用案例。
某物流公司需要将货物从仓库分配到不同的配送中心，以满足客户的需求。
线性规划的应用
线性规划的应用引言概述：线性规划是一种优化问题的数学建模方法，可以用于解决许多实际问题。
本文将探讨线性规划在不同领域的应用，包括生产计划、资源分配、运输问题、金融投资和市场营销等。
一、生产计划1.1 产能规划：线性规划可以匡助企业确定最优产能规划，通过最大化产量和最小化成本，实现生产效益的最大化。
1.2 原材料采购：线性规划可以优化原材料的采购计划，确保原材料的供应充足，同时最小化采购成本。
1.3 生产调度：线性规划可以匡助企业制定最佳的生产调度方案，合理安排生产过程，提高生产效率和产品质量。
二、资源分配2.1 人力资源：线性规划可以匡助企业合理分配人力资源，根据不同部门和岗位的需求，确定最佳的人员配置方案。
2.2 设备调度：线性规划可以优化设备的调度计划，确保设备的利用率最大化，减少闲置时间和能源浪费。
2.3 资金分配：线性规划可以匡助企业合理分配资金，根据不同项目的需求，确定最佳的资金分配方案，实现资金的最大效益。
三、运输问题3.1 物流配送：线性规划可以优化物流配送路线，确定最佳的配送方案，减少运输成本和时间。
3.2 仓储管理：线性规划可以匡助企业优化仓储管理，确定最佳的仓储位置和库存量，减少库存成本和仓储空间的浪费。
3.3 运输调度：线性规划可以匡助企业制定最佳的运输调度计划，合理安排运输车辆和货物的装载，提高运输效率和减少运输成本。
四、金融投资4.1 资产配置：线性规划可以匡助投资者确定最佳的资产配置方案，平衡风险和收益，实现投资组合的最优化。
4.2 资金规划：线性规划可以优化资金的规划和运用，确保资金的最大化利用和最小化风险。
4.3 投资决策：线性规划可以匡助企业制定最佳的投资决策方案，根据不同项目的收益和风险，确定最优的投资方向。
五、市场营销5.1 定价策略：线性规划可以匡助企业确定最佳的定价策略，根据市场需求和成本考虑，确定最优的价格水平。
5.2 促销策略：线性规划可以优化促销策略，确定最佳的促销活动方案，提高产品销售量和市场份额。
第三章 线性规划
定义3.2.3 设 X 1, X 2, , X k是 n 维欧氏空间 En 中的 k 个
点，若存在 1,2, ,k ，且 0 i 1i 1,2, ,k ， i 1 ，使
凸组合 ，则称 是 的 X 1X 1 2 X 2 k X k
i
X X 1, X 2, , X k
．
由此可见，凸集与极点的定义都与两点的凸组合密 切相关．可以证明：有界凸集的任意一点都可以表示为 该集的极点的凸组合．
即可。
例6 将下列线性规划模型化为标准形式
min z x1 2x2 4x3
x1 x2 x3 4
s.t.
2x1 x2 3x3 5 x1 3x2 x3 6
3x1 x2 2x3 7
x1 0, x2 0, x3无约束
解：以 x2 代替 x2 ；令 x3 x4 x5 ，x4 0，x5 0 ；z z 上述线性规划模型可化为标准型：
s.t.
n j 1
aij x j
bi i
1,2,
,m
x j 0 j 1,2, , n
（2）向量表示的缩写
max z C T X
n
s.t. j1 Pj x j b X 0
其中
C c1, c2 , , cn T ; X x1, x2 , , xn T ;
Pj a1 j , a2 j , , amj T ;
线性关系：约束条件及目标函数均保持线性关系．
具有以上特点的决策问题，被称之为线性规划问题。
二、线性规划问题的数学模型
一般形式 标准形式 缩写形式
1、LP问题的一般形式
maxminz c1x1 c2 x2 cn xn
a11x1 a12x2 a1n xn , b1
线性规划的实际应用
线性规划的实际应用指导教师：大连市第八中学数学组崔贺课题组成员：大连市第八中学高二（2）班全体同学课题背景：提高企业的经济效益是现代化管理的根本任务，各个领域中的大量问题都可以归结为线性规划问题。
近几十年来，线性规划在各个行业中都得到了广泛的应用。
根据美国《财富》杂志对全美前500家大公司的调查表明，线性规划的应用程度名列前茅，有85%的公司频繁地使用线性规划，并取得了提高经济效益的显著效果。
所谓线性规划，是求线性函数在线性(不等式或等式)约束下达最(小或大)值的问题。
线性规划广泛应用于工农业、军事、交通运输、决策管理与规划、科学实验等领域。
线性规划的理论和方法主要在两类问题中得到应用,一是在人力、物力、资金等资源一定的条件下，如何使用它们来完成最多的任务；二是给定一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务。
常见的问题在：物资调运问题、产品安排问题、下料问题。
研究过程：一、研究性学习开题报告（一）教师提出总体要求（二）分析课题背景，可行性论证（三）制定总体目标与计划（四）明确具体操作过程（五）划分小组，确定活动地点（六）由组长负责小组成员分工（七）确定成果形式：论文（数学模型与解答）、心得体会二、小组活动（注：各小组数学模型见线性规划模型汇编）第一小组活动时间：2003.4.12活动地点：大连市天津街改造办活动目的：调查了解城市规划、布局与设计中的线性规划问题参加人员：组长：陈燕组员：丁琳许玲见琦任鑫王鑫刘姝言王全智孙颖李舒然冯昱黄漪墨活动过程：来到活动地点，我们见到了有关规划设计的负责人，通过他的讲解，我们对天津街规划有了初步的认识。
这个规划，考虑到了整体市容市貌，提升城市功能，加强布局的合理性，以及保护原有城市风貌，发挥天津街中心商业区的作用等各方面因素，为取得经济效益、社会效益和商业效益的最大化而建设的。
天津街改造工程预计投资10个亿，用五年左右的时间，完善各种服务设施，改善交通和购物环境，打造精品步行街和商业主力店，引入各种经营业态，让人们旅游购物更方便。
线性规划的应用
线性规划的应用一、引言线性规划是一种数学优化方法，广泛应用于工程、经济、管理等领域。
本文将针对线性规划的应用进行详细介绍，包括定义、模型建立、解决方法以及实际案例分析。
二、定义线性规划是一种在给定约束条件下，通过最大化或者最小化线性目标函数来求解最优解的方法。
线性规划的数学模型可以表示为：最大化（或者最小化）目标函数：Z = c₁x₁ + c₂x₂ + ... + cₙxₙ约束条件： a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a₁ₙxₙ ≤ b₁a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a₂ₙxₙ ≤ b₂...aₙ₁x₁ + aₙ₂x₂ + ... + aₙₙxₙ ≤ bₙx₁, x₂, ..., xₙ ≥ 0其中，x₁, x₂, ..., xₙ为决策变量，c₁, c₂, ..., cₙ为目标函数的系数，a₁₁,a₁₂, ..., aₙₙ为约束条件的系数，b₁, b₂, ..., bₙ为约束条件的常数。
三、模型建立1. 确定决策变量：根据实际问题确定需要优化的变量，例如生产数量、投资金额等。
2. 建立目标函数：根据问题要求，将目标转化为线性函数，确定目标函数的系数。
3. 设定约束条件：根据问题的限制条件，建立约束条件的线性不等式。
4. 确定变量的取值范围：根据实际情况确定变量的取值范围，通常为非负数。
四、解决方法线性规划问题可以通过多种方法求解，其中最常用的方法包括单纯形法和内点法。
1. 单纯形法：单纯形法是一种通过迭代计算来逐步接近最优解的方法。
它从初始基本可行解开始，通过交换基变量和非基变量来改进解的质量，直到找到最优解为止。
2. 内点法：内点法是一种通过寻觅目标函数的内部点来逼近最优解的方法。
它通过迭代计算来逐步接近最优解，相比于单纯形法，内点法在处理大规模问题时更为高效。
五、实际案例分析为了进一步说明线性规划的应用，我们以一个生产计划优化问题为例进行分析。
假设某公司生产两种产品A和B，每天可用的生产时间为8小时。
数学建模实验报告第三章线性规划
实验名称：第三章线性规划一、实验内容与要求用linprog语句求解各种线性规划问题，对生产实际中的问题，进行预测。
二、实验软件三、实验内容：1、某鸡场有1000只鸡，用动物饲料和谷物混合喂养。
每天每只鸡平均食混合饲料，其中动物饲料所占比例不能少于20%。
动物饲料每千克元，谷物饲料每千克元，饲料公司每周仅保证供应谷物饲料6000KG，问饲料怎样混合，才能使成本最低？程序：C=[150 90];A=[1 1];B=[12/7];Aeq=[0 1];beq=[0,8];vlb=[ 0];vub=[];[x,fval]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub)实验结果:2、某工厂用A1、A2两台机床加工B1、B2、B3三种不同零件。
已知在一个生产周期内A1只能工作80机时；A2只能工作100机时。
一个生产周期内计划加工B1为70件、B2为50件、把为20件。
两台机床加工每个零件的时间和加工每个零件的成本，分别如下列各表所示：加工每个零件时间表(单位：机时/个)加工每个零件成本表（单位：元/个）问怎样安排两台机床一个周期的加工任务，才能使加工成本最低？程序：C=[2;3;5;3;3;6];A=[1 2 3 0 0 00 0 0 1 1 3-1 0 0 -1 0 00 -2 0 0 -1 00 0 -2 0 0 -3];B=[80;100;-70;-50;-20];Aeq=[];beq=[];vlb=[0;0;0;0;0;7];vub=[];[x,fval]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub)实验结果:四、实验体会。
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【解】 设x1、x2为每天加工甲、乙两种零件的件数，
则产品的产量是
y
min(
1 2
x1
,
1 3
x2
)
设备A、B每天加工工时的约束为
5x1 4x2 2 8 60 9x1 10x2 3 8 60
要求一种设备每台每天的加工时间不超过另一种设备 1小时的约束为
（5x1 4x2 ) (9x1 10x2 ) 60
x1 x2 10
3x1 x2 x1 6x2
15 15
x1 0，x2 0
均衡配套生产问题
【例3】均衡配套生产问题。某产品由2件甲零件和3件乙零 件组装而成。两种零件必须经过设备A、B上加工，每件甲 零件在A、B上的加工时间分别为5分钟和9分钟，每件乙零 件在A、B上的加工时间分别为4分钟和10分钟。现有2台设 备A和3台设备B，每天可供加工时间为8小时。为了保持两 种设备均衡负荷生产，要求一种设备每天的加工总时间不超 过另一种设备总时间1小时。怎样安排设备的加工时间使每 天产品的产量最大。
xi 0 (i 1, 2,3, 4,5)
﹡销售库存问题
【例5】时代服装公司生产一款新的时装，据预测今后6个月的
需求量如下表所示。每件时装用工2h和10元原材料费，售价40
元 。 该 公 司 1 月 初 有 4 名 工 人 ， 每 人 每 月 可 工 作 200h ， 月 薪
2000元。该公司可于任一个月初新雇工人，但每雇1人需一次
生产计划问题
【例1】某企业在计划期内计划生产甲、乙、丙三种产品。这 些产品分别需要在设备A、B上加工，需要消耗材料C、D，按 工艺资料规定，单件产品在不同设备上加工及所需要的资源 如表1所示。已知在计划期内设备的加工能力各为200台时， 可供材料分别为360、300公斤；每生产一件甲、乙、丙三种 产品，企业可获得利润分别为40、30、50元，假定市场需求 无限制。企业决策者应如何安排生产计划，使企业在计划期 内总的利润收入最大？
Max z 6.5%x1+9.2%x2 +4.5%x3 +5.5%x4 +4.2%x5
（3）约束条件 ① 总投资额为20万现金 ② 汽车业的投资不得超过12万 ③ 电器业的投资不得超过8万 ④ 对长江汽车业的投资不得超过对汽车业投
资的65% ⑤ 对纸业的投资不得低于对汽车业投资的
20% ⑥ 非负
债券名称 黄河汽车 长江汽车 华南电器 西南电器 缜山纸业
回报率 6.5% 9.2% 4.5% 5.5% 4.2%
【解】 （1）决策变量 本问题的决策变量是对五种投资对象的投资额。
设：该公司对五种债券的投资额分别为x1 ，x2 ， x3 ，x4 ，x5（万元）。
（2）目标函数 本问题的目标是使得公司总回报额最大，即
42
x1 x1
2x2 5x2
4x3 200 x3 360
2x1 3x2 5x3 300
x1 0，x2 0，x3 0
产品配料问题
【例2】某饲料公司用甲、乙两种原料配制饲料，甲乙两种 原料的营养成份及配合饲料中所含各营养成份最低量由表2 给出。已知单位甲、乙原料的价格分别为10元和20元，求 满足营养需要的饲料最小成本配方。
数学模型（线性规划模型）
Max z 6.5%x1+9.2%x2 +4.5%x3 +5.5%x4 +4.2%x5
x1 x2 x3 x4 x5 20
x1
x2
12
s.t.
x3 x2
x4 8 65%(x1+x2 )
x5
20%(x1+x2 )
性额外支出1500元，也可辞退工人，但每辞退1人需补偿1000
元。如当月生产数超过需求，可留到后面月份销售，但需付库
存费每件每月5元，当供不应求时，短缺数不需补上。试帮助该
公司决策，如何使6个月的总利润最大。
月份 1
2
3
4
5
6
需求 500 600 300 400 500 800
销地
产地
B1
4
A1
资源
产品
表1 产品资源消耗
甲
乙
丙
设备A 设备B 材料C 材料D 利润(元/件)
3
1
2
2
2
4
4
5
1
2
3
5
40
30 50
现有资源
200 200 360 300
【解】 设x1、x2、x3 分别为甲、乙、丙三种产品的产 量, 则 数学模型为：
max Z 40x1 30x2 50x3
3x1 x2 2x3 200
表2 甲、乙两原料营养成份含量及最低需要量
甲原料 x 1 营养成分 （营养成分单位/原
料单位）
乙原料 x 2 （营养成分单位/原
料单位）
配合饲料的最 低含量
钙
1
1
10
蛋白质
3
1
15
热量
1
6
15
【解】 设x1、x2分别为甲、乙两种原料的用料数量, 则数 学模型为：
min Z 10x1 2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱx2
A2
2
A3
8
销量
8
运输问题
B2
B3
12
4
产量 B4
11 16
10
3
9 10
5
11
6 22
14
12
14
48
运筹学
第三章 线性规划在各个领 域的应用
薛威 2014年8月
课前思维锻炼
英国军队在一次激烈的抗战过后，医护 人员统计受伤人数。在这个连队中有100名 受伤士兵，据资料统计：其中有85名伤员 失去了一只脚，有80名失去了一只手，75 名失去了一只耳朵，70名失去了一只眼睛。 医护人员想得出至少有多少伤员同时失去 了一只脚、一只手、一只耳朵和一只眼睛， 但是又不想浪费时间挨个去统计。你能帮 助这位医护人员想出一种更好的解决方法 吗？
线性规划模型为
max Z y
1 y 2 x1
y
1 3
x2
5x1 4 x2
960
9－ x14x11－ 0 x62x2
1440 60
4 x1 6 x2 60 y、x1、x2 0
投资组合优化问题
【例4】投资组合优化问题。某公司董事会决定将20万现金进 行债券投资。经咨询，现有五种债券是较好的投资对象，它们 是：黄河汽车，长江汽车，华南电器，西南电器，缜山纸业。 它们的投资回报率如表3—12所示。为减少风险，董事会要求， 对汽车业的投资不得超过12万，对电器业的投资不得超过8万， 其中对长江汽车业的投资不得超过对汽车业投资的65%，对纸 业的投资不得低于对汽车业投资的20%。该公司应如何投资， 才能在满足董事会要求的前提下使得总回报额最大？