第三章 非线性规划[001]
非线性规划
非线性规划非线性规划是一种涉及非线性目标函数和/或非线性约束条件的优化问题。
与线性规划不同，非线性规划可能存在多个局部最优解，而不是全局最优解。
非线性规划在许多领域都有广泛的应用，如经济学、工程学和管理学等。
非线性规划的一般形式可以表示为：最小化或最大化 f(x)，其中 f(x) 是一个非线性函数，x 是决策变量向量。
满足一组约束条件g(x) ≤ 0 和 h(x) = 0，其中 g(x) 和 h(x) 是非线性函数。
为了求解非线性规划问题，可以使用不同的优化算法，如梯度下降法、牛顿法和拟牛顿法等。
这些算法的目标是找到目标函数的最小值或最大值，并满足约束条件。
非线性规划的难点在于寻找全局最优解。
由于非线性函数的复杂性，这些问题通常很难解析地求解。
因此，常常使用迭代算法来逼近最优解。
非线性规划的一个重要应用是在经济学中的生产计划问题。
生产活动通常受到多个因素的限制，如生产能力、原材料和劳动力等。
非线性规划可以帮助确定最佳的生产数量，以最大化利润或最小化成本。
另一个应用是在工程学中的优化设计问题。
例如，优化某个结构的形状、尺寸和材料以满足一组要求。
非线性规划可以帮助找到最佳设计方案，以最大程度地提高性能。
在管理学中，非线性规划可以用于资源分配和风险管理问题。
例如，优化一个公司的广告预算，以最大程度地提高销售额。
非线性规划可以考虑多种因素，如广告投入和市场需求，以找到最佳的广告投放策略。
总之，非线性规划是一种重要的优化方法，用于解决涉及非线性目标函数和约束条件的问题。
它在经济学、工程学和管理学等领域有广泛的应用。
尽管非线性规划的求解难度较大，但通过合适的优化算法，可以找到最佳的解决方案。
非线性规划知识点讲解总结
非线性规划知识点讲解总结1. 非线性规划的基本概念非线性规划是指目标函数和/或约束条件包含非线性项的优化问题。
一般来说，非线性规划问题可以表示为如下形式：\[\min f(x)\]\[s.t. \ g_i(x) \leq 0, \ i=1,2,...,m\]\[h_j(x)=0, \ j=1,2,...,p\]其中，\(x \in R^n\)是优化变量，\(f(x)\)是目标函数，\(g_i(x)\)和\(h_j(x)\)分别表示不等式约束和等式约束。
目标是找到使目标函数取得最小值的\(x\)。
2. 非线性规划的解决方法非线性规划问题的求解是一个复杂的过程，通常需要使用数值优化方法来解决。
目前，常用的非线性规划求解方法主要包括梯度方法、牛顿方法和拟牛顿方法。
（1）梯度方法梯度方法是一种基于目标函数梯度信息的优化方法。
该方法的基本思想是在迭代过程中不断沿着梯度下降的方向更新优化变量，以期望找到最小值点。
梯度方法的优点是简单易实现，但缺点是可能陷入局部最优解，收敛速度慢。
（2）牛顿方法牛顿方法是一种基于目标函数的二阶导数信息的优化方法。
该方法通过构造目标函数的泰勒展开式，并利用二阶导数信息来迭代更新优化变量，以期望找到最小值点。
牛顿方法的优点是收敛速度快，但缺点是计算复杂度高，需要计算目标函数的二阶导数。
（3）拟牛顿方法拟牛顿方法是一种通过近似求解目标函数的Hessian矩阵来更新优化变量的优化方法。
该方法能够克服牛顿方法的计算复杂度高的问题，同时又能保持相对快速的收敛速度。
拟牛顿方法的典型代表包括DFP方法和BFGS方法。
3. 非线性规划的应用非线性规划方法在实际生活和工程问题中都有着广泛的应用。
以下将介绍非线性规划在生产优化、资源分配和风险管理等领域的应用。
（1）生产优化在制造业中，生产线的优化调度问题通常是一个非线性规划问题。
通过对生产线的机器设备、生产工艺和生产速度等因素进行建模，并设置相应的目标函数和约束条件，可以使用非线性规划方法来求解最优的生产调度方案，以最大程度地提高生产效率和减少成本。
非线性规划
S X gi X 0, i 1, 2, , m; h j X 0, j 1, 2, , p; X En
[例题 2.5] 求解无约束极值问题 min f X x1 5 x2
解：任取 X
0
2, 1 ， f X 0
T
1 0 2 0 T 2 1 4, 10 ， A ， ， A 0 10 0 1 10
0
f X 1 ， f X f X f X 2 f X 0
0
T
0
T
2
0
0
X 1 X 0 0f X 0 2, 1 ，
T
f X 1 0, 0 ，
0 ， f x 半正定；反之，如果在 x 点有 f x 0 ， f x 正定，
2
2
则 x 为严格局部最小解。 定理 2.3 设 f x 是 n 元可微凸函数，如果 f x
0 ，则 x 是上述问题的最小解。
2
[例题 2.3] 试求二次函数 f x1 , x2 2 x1 8 x1 2 x2 4 x2 20 的极小点。
2 f X 都是半正定的；如果对所有的 X S ， 2 f X 都是正定的，则 f X 在 S 上
第三章非线性规划
第三章 非线性规划§1 非线性规划1.1 非线性规划的实例与定义如果目标函数或约束条件中包含非线性函数，就称这种规划问题为非线性规划问题。
一般说来，解非线性规划要比解线性规划问题困难得多。
而且，也不象线性规划有单纯形法这一通用方法，非线性规划目前还没有适于各种问题的一般算法，各个方法都有自己特定的适用范围。
下面通过实例归纳出非线性规划数学模型的一般形式，介绍有关非线性规划的基本概念。
例1 （投资决策问题）某企业有n 个项目可供选择投资，并且至少要对其中一个项目投资。
已知该企业拥有总资金A 元，投资于第),,1(n i i =个项目需花资金i a 元，并预计可收益i b 元。
试选择最佳投资方案。
解 设投资决策变量为 ⎩⎨⎧=个项目决定不投资第，个项目决定投资第i i x i 0,1，n i ,,1 =，则投资总额为∑=ni ii xa 1，投资总收益为∑=ni ii xb 1。
因为该公司至少要对一个项目投资，并且总的投资金额不能超过总资金A ，故有限制条件 ∑=≤<ni ii A xa 1另外，由于),,1(n i x i =只取值0或1，所以还有 .,,1,0)1(n i x x i i ==-最佳投资方案应是投资额最小而总收益最大的方案，所以这个最佳投资决策问题归结为总资金以及决策变量（取0或1）的限制条件下，极大化总收益和总投资之比。
因此，其数学模型为：∑∑===ni ii ni ii xa xb Q 11maxs.t. ∑=≤<ni ii A xa 1.,,1,0)1(n i x x i i ==-上面例题是在一组等式或不等式的约束下，求一个函数的最大值（或最小值）问题，其中目标函数或约束条件中至少有一个非线性函数，这类问题称之为非线性规划问题，简记为（NP ）。
可概括为一般形式)(min x fq j x h j ,,1,0)(s.t. =≤ (NP) p i x g i ,,1,0)( ==其中T n x x x ][1=称为模型（NP ）的决策变量，f 称为目标函数，i g ),,1(p i =和),,1(q j h j =称为约束函数。
非线性规划
非线性规划
组长：马文海 成员：黄羽兰、吴春安、林志铖、汤嘉晨
非线性函数概述：
具有非线性约束条件或目标函数的数学规划，是 运筹学的一个重要分支。非线性规划研究一个n元实函 数在一组等式或不等式的约束条件下的极值问题，且 目标函数和约束条件至少有一个是未知量的非线性函 数。目标函数和约束条件都是线性函数的情形则属于 线性规划。
f ( x) f1 ( x) f 2 ( x)
2 2 2
数学模型: max f ( x) 20x1 16x2 [2 x1 x2 ( x1 x2 ) ]
max f ( x) 20x1 16x2 [2x x ( x1 x2 ) ]
2 1 2 2 2
x* a b
最优解:
最优值:
z * ab
例2 投资决策问题
某钢铁厂准备用 5000 万用于 A、 B 两个项目技术改造投资，设 x1,x2分别表示分配给项目 A、B的投资。据专家预估投资项目 A、B 的年收益分别为20%和16%，同时投资后的风险损失将随着总投资 2 和单项投资的增长而增加。已知总的风险损失为2x12 x2 ( x1 x2 )2 。问如何分配资金才能使期望的收益最大，同时风险损失为最小。 解 这个问题有两个指标函数: 收益函数和风险损失函数
非线性规划简史：
非线性规划是20世纪50年代才开始形成的一门新兴学 科。1951年H.W.库恩和A.W.塔克发表的关于最优性条件 （后来称为库恩－塔克条件）的论文是非线性规划正式诞 生的一个重要标志。在50年代还得出了可分离规划和二次 规划的n种解法，它们大都是以G.B.丹齐克提出的解线性规 划的单纯形法为基础的。50年代末到60年代末出现了许多 解非线性规划问题的有效的算法，70年代又得到进一步的 发展。非线性规划在工程、管理、经济、科研、军事等方 面都有广泛的应用，为最优设计提供了有力的工具。20世 纪80年代以来，随着计算机技术的快速发展，非线性规划 方法取得了长足进步，在信赖域法、稀疏拟牛顿法、并行 计算、内点法和有限存储法等领域取得了丰硕的成果。
非线性规划的基本概念及问题概述
牛顿法在凸优化问题上表现较好，但在非凸问题 上可能陷入局部最优解。
拟牛顿法
01
拟牛顿法是一种改进的牛顿法，通过构造海森矩阵 的近似来降低计算成本。
02
拟牛顿法在每一步迭代中更新搜索方向，并逐渐逼 近最优解。
03
拟牛顿法在处理大规模非线性规划问题时表现较好 ，但仍然需要计算目标函数的二阶导数。
共轭梯度法
共轭梯度法结合了梯度法和牛 顿法的思想，通过迭代更新搜 索方向来寻找最优解。
共轭梯度法的迭代方向是梯度 方向和上一次迭代方向的线性 组合，可以加快收敛速度。
共轭梯度法适用于大规模优化 问题，尤其在约束条件较多或 非凸函数情况下表现较好。
05
非线性规划的挑战与解决方 案
局部最优解问题
局部最优解问题
案例二：生产计划优化问题
总结词
生产计划优化问题旨在通过合理安排生 产计划，降低生产成本并满足市场需求 。
VS
详细描述
生产计划优化问题需要考虑生产过程中的 各种因素，如原材料需求、设备能力、劳 动力成本等。目标函数通常是非线性的， 因为生产成本和产量之间的关系是非线性 的。约束条件可能包括资源限制、交货期 限制等。
例子
最小化成本函数，其中成本是生产量 的函数，生产量受到资源、生产能力 等约束。
最大化问题
最大化目标函数
在给定的约束条件下，找到一组变量 ，使得目标函数达到最大值。
例子
最大化收益函数，其中收益是销售量 的函数，销售量受到市场需求、价格 等约束。
约束条件下的优化问题
01
在满足一系列约束条件下，寻找最优解，使得目标函数达到最 优值。
梯度法适用于目标函数和约束条件比较简单的情况，但对于非凸函数或约束条件复 杂的情况可能不收敛或收敛到局部最优解。
非线性规划的相关概念
非线性规划的相关概念引言非线性规划是数学规划领域中的一个重要研究方向，它是线性规划的推广和扩展。
在许多实际问题中，约束条件和目标函数往往是非线性的，因此需要非线性规划方法来解决这些问题。
本文将介绍非线性规划的基本概念和相关理论。
基本概念1. 可行解在非线性规划中，可行解指的是满足约束条件的解。
具体地，给定约束条件和目标函数，如果存在一组解使得所有约束条件都得到满足，那么这组解就是可行解。
非线性规划的目标是找到一个可行解，使得目标函数值最小或最大。
2. 局部极小解和全局极小解在非线性规划中，局部极小解指的是在某个局部范围内，目标函数值最小的可行解。
全局极小解指的是在整个可行域内，目标函数值最小的可行解。
在非线性规划中，寻找全局极小解往往非常困难，因为非线性规划问题一般没有全局最优解的性质。
因此，通常采用近似算法来寻找接近全局极小解的解。
3. 无约束问题和约束问题非线性规划可以分为无约束问题和约束问题。
无约束问题是指在没有约束条件的情况下，找到目标函数的最小值或最大值。
约束问题是指在满足一组约束条件的情况下，找到目标函数的最小值或最大值。
约束问题通常比无约束问题更加复杂，因为需要考虑约束条件的影响。
相关理论1. 梯度下降法梯度下降法是非线性规划中常用的优化方法之一。
基本思想是通过迭代更新解，使得目标函数值逐渐降低。
具体地，梯度下降法使用目标函数的梯度信息来指导搜索方向，并选择适当的步长来更新解。
该方法通常在局部范围内找到局部极小解，并且易于实现。
2. 牛顿法牛顿法是一种经典的非线性优化方法，广泛应用于非线性规划问题的求解。
它利用目标函数和约束条件的一阶和二阶导数信息来更新解。
具体地，牛顿法通过计算目标函数的海森矩阵来确定搜索方向，并选择适当的步长来更新解。
该方法在局部范围内通常能够快速收敛到极小解。
3. 二次规划二次规划是非线性规划中的一种特殊形式，目标函数是二次函数，约束条件是线性条件。
它可以通过求解一组二次方程组来得到最优解。
非线性规划的基本概念
新点的目标函数值。
解： 由于
f x1 6 x1 4 x2 ,
f x2 4x1 2x2
则函数在 x =[0,1]T 处的最速下降方向是
P
f
x
f
x1 f
x2 x1 0
6 x1 4 x2
4 x1 2 x2
x1 0
4 2
(2)若f1, f2是S上的凸函数, f1 f2是S上的凸函数。 性质2: 设S Rn是非空凸集, f是凸函数,cR1,则集合
HS ( f ,c)xS| f ( x) c 是凸集。
证明:略.
➢ （3） 凸函数的判定 定理1：（一阶条件）
m in f ( x)
s.t. gi ( x) 0, i 1,, p
hi ( x) 0, j 1,, q
➢（4）可行域和可行解：
称
X
x
Rn
gi ( x) hi ( x)
0, i 1,, p 0, j 1,, q
为MP问题的约束集或可行域。
若x在X内，称x为MP的可行解或者可行点。
则称f是S上的凸函数，或f在S上是凸的。 若 f (x1 (1 )x2 ) f ( x1 ) (1 ) f ( x2 ),x1, x2 S
则称f是S上的严格凸函数，或f在S上是严格凸的。
若 f 是S上的(严格)凸函数，称f是S上的(严格) 凹函数, 或f在S上是(严格)凹的。
例 f ( x)|| x||其中xRn是凸函数
4 2
42 22
2
5 1
5
5
5
新点是： x1
x
e
0 1
2
5 1
5
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第三章 非线性规划§1 非线性规划1.1 非线性规划的实例与定义如果目标函数或约束条件中包含非线性函数，就称这种规划问题为非线性规划问题。
一般说来，解非线性规划要比解线性规划问题困难得多。
而且，也不象线性规划有单纯形法这一通用方法，非线性规划目前还没有适于各种问题的一般算法，各个方法都有自己特定的适用范围。
下面通过实例归纳出非线性规划数学模型的一般形式，介绍有关非线性规划的基本概念。
例 1 （投资决策问题）某企业有n 个项目可供选择投资，并且至少要对其中一个项目投资。
已知该企业拥有总资金A 元，投资于第),,1(n i i 个项目需花资金i a 元，并预计可收益i b 元。
试选择最佳投资方案。
解 设投资决策变量为个项目决定不投资第，个项目决定投资第i i x i 0,1，n i ,,1 ，则投资总额为ni ii xa 1，投资总收益为ni ii xb 1。
因为该公司至少要对一个项目投资，并且总的投资金额不能超过总资金A ，故有限制条件ni iiA xa 1另外，由于),,1(n i x i 只取值0或1，所以还有 .,,1,0)1(n i x x i i最佳投资方案应是投资额最小而总收益最大的方案，所以这个最佳投资决策问题归结为总资金以及决策变量（取0或1）的限制条件下，极大化总收益和总投资之比。
因此，其数学模型为：ni iini iix a xb Q 11maxs.t.ni iiA xa 1.,,1,0)1(n i x x i i上面例题是在一组等式或不等式的约束下，求一个函数的最大值（或最小值）问题，其中至少有一个非线性函数，这类问题称之为非线性规划问题。
可概括为一般形式)(min x fq j x h j ,,1,0)(s.t.(NP)p i x g i ,,1,0)(其中T n x x x ][1称为模型（NP ）的决策变量，f 称为目标函数，i g ),,1(p i 和),,1(q j h j 称为约束函数。
另外，0)( x g i ),,1(p i 称为等式约束，0)( x h j ),,1(q j 称为不等式的约束。
对于一个实际问题，在把它归结成非线性规划问题时，一般要注意如下几点： （i ）确定供选方案：首先要收集同问题有关的资料和数据，在全面熟悉问题的基础上，确认什么是问题的可供选择的方案，并用一组变量来表示它们。
（ii ）提出追求目标：经过资料分析，根据实际需要和可能，提出要追求极小化或极大化的目标。
并且，运用各种科学和技术原理，把它表示成数学关系式。
（iii ）给出价值标准：在提出要追求的目标之后，要确立所考虑目标的“好”或“坏”的价值标准，并用某种数量形式来描述它。
（iv ）寻求限制条件：由于所追求的目标一般都要在一定的条件下取得极小化或极大化效果，因此还需要寻找出问题的所有限制条件，这些条件通常用变量之间的一些不等式或等式来表示。
1.2 线性规划与非线性规划的区别如果线性规划的最优解存在，其最优解只能在其可行域的边界上达到（特别是可行域的顶点上达到）；而非线性规划的最优解（如果最优解存在）则可能在其可行域的任意一点达到。
1.3 非线性规划的Matlab 解法Matlab 中非线性规划的数学模型写成以下形式 )(min x f)(0)(x Ceq x C Beq x Aeq BAx ,其中)(x f 是标量函数，Beq Aeq B A ,,,是相应维数的矩阵和向量，)(),(x Ceq x C 是非线性向量函数。
Matlab 中的命令是X=FMINCON(FUN,X0,A,B,Aeq,Beq,LB,UB,NONLCON,OPTIONS)它的返回值是向量x ，其中FUN 是用M 文件定义的函数)(x f ；X0是x 的初始值；A,B,Aeq,Beq 定义了线性约束Beq X Aeq B X A *,*，如果没有线性约束，则A=[],B=[],Aeq=[],Beq=[]；LB 和UB 是变量x 的下界和上界，如果上界和下界没有约束，则LB=[]，UB=[]，如果x 无下界，则LB=-inf ，如果x 无上界，则UB=inf ；NONLCON 是用M 文件定义的非线性向量函数)(),(x Ceq x C ；OPTIONS 定义了优化参数，可以使用Matlab 缺省的参数设置。
例2 求下列非线性规划.0,0208)( min 212212212221x x x x x x x x x f（i ）编写M 文件fun1.m function f=fun1(x); f=x(1)^2+x(2)^2+8; 和M 文件fun2.mfunction [g,h]=fun2(x); g=-x(1)^2+x(2);h=-x(1)-x(2)^2+2; %等式约束（ii ）在Matlab 的命令窗口依次输入options=optimset('largescale','off');[x,y]=fmincon('fun1',rand(2,1),[],[],[],[],zeros(2,1),[], ... 'fun2', options)就可以求得当1,121 x x 时，最小值10 y 。
1.4 求解非线性规划的基本迭代格式 记（NP ）的可行域为K 。
若K x *，并且 K x x f x f ),()(*则称*x 是（NP ）的整体最优解，)(*x f 是(NP)的整体最优值。
如果有**,),()(x x K x x f x f则称*x 是（NP ）的严格整体最优解，)(*x f 是(NP)的严格整体最优值。
若K x *，并且存在*x 的邻域)(*x N ，使 K x N x x f x f )(),()(**，则称*x 是（NP ）的局部最优解，)(*x f 是(NP)的局部最优值。
如果有K x N x x f x f )(),()(**则称*x 是（NP ）的严格局部最优解，)(*x f 是(NP)的严格局部最优值。
由于线性规划的目标函数为线性函数，可行域为凸集，因而求出的最优解就是整个可行域上的全局最优解。
非线性规划却不然，有时求出的某个解虽是一部分可行域上的极值点，但却并不一定是整个可行域上的全局最优解。
对于非线性规划模型(NP)，可以采用迭代方法求它的最优解。
迭代方法的基本思想是：从一个选定的初始点nR x出发，按照某一特定的迭代规则产生一个点列}{k x ，使得当}{k x 是有穷点列时，其最后一个点是(NP)的最优解；当}{k x 是无穷点列时，它有极限点，并且其极限点是(NP)的最优解。
设nk R x 是某迭代方法的第k 轮迭代点，n k R x 1是第1 k 轮迭代点，记k k k k p t x x1（1）这里1,,1knkk pR p R t ，并且k p 的方向是从点k x 向着点1 k x 的方向。
式（1）就是求解非线性规划模型(NP)的基本迭代格式。
通常，我们把基本迭代格式（1）中的kp 称为第k 轮搜索方向，k t 为沿kp 方向的步长，使用迭代方法求解(NP)的关键在于，如何构造每一轮的搜索方向和确定适当的步长。
设0, p R x n，若存在0 ，使),0(),()( t x f tp x f ， 称向量p 是f 在点x 处的下降方向。
设0, p R x n，若存在0 t ，使K tp x ，称向量p 是点x 处关于K 的可行方向。
一个向量p ，若既是函数f 在点x 处的下降方向，又是该点关于区域K 的可行方向，称之为函数f 在点x 处关于K 的可行下降方向。
现在，我们给出用基本迭代格式（1）求解(NP)的一般步骤如下：0° 选取初始点0x ，令0: k 。
1° 构造搜索方向，依照一定规划，构造f 在点kx 处关于K 的可行下降方向作为搜索方向kp 。
2° 寻求搜索步长。
以k x 为起点沿搜索方向kp 寻求适当的步长k t ，使目标函数值有某种意义的下降。
3° 求出下一个迭代点。
按迭代格式（1）求出k k k k p t x x 1。
若1k x已满足某种终止条件，停止迭代。
4° 以1k x 代替kx ，回到1°步。
1.5 凸函数、凸规划设)(x f 为定义在n 维欧氏空间)(n E 中某个凸集R 上的函数，若对任何实数)10( 以及R 中的任意两点)1(x 和)2(x ，恒有)()1()())1(()2()1()2()1(x f x f x x f 则称)(x f 为定义在R 上的凸函数。
若对每一个)10( 和R x x )2()1(恒有)()1()())1(()2()1()2()1(x f x f x x f 则称)(x f 为定义在R 上的严格凸函数。
考虑非线性规划},,2,1,0)(|{)( min l j x g x R x f j Rx 假定其中)(x f 为凸函数，),,2,1)((l j x g j 为凸函数，这样的非线性规划称为凸规划。
可以证明，凸规划的可行域为凸集，其局部最优解即为全局最优解，而且其最优解的集合形成一个凸集。
当凸规划的目标函数)(x f 为严格凸函数时，其最优解必定唯一（假定最优解存在）。
由此可见，凸规划是一类比较简单而又具有重要理论意义的非线性规划。
§2 无约束问题2.1 一维搜索方法当用迭代法求函数的极小点时，常常用到一维搜索，即沿某一已知方向求目标函数的极小点。
一维搜索的方法很多，常用的有：（1）试探法（“成功—失败”，斐波那契法，0.618法等）；（2）插值法（抛物线插值法，三次插值法等）；（3）微积分中的求根法（切线法，二分法等）。
考虑一维极小化问题)(min t f bt a （2）若)(t f 是],[b a 区间上的下单峰函数，我们介绍通过不断地缩短],[b a 的长度，来搜索得（2）的近似最优解的两个方法。
为了缩短区间],[b a ，逐步搜索得（2）的最优解*t 的近似值，我们可以采用以下途径：在],[b a 中任取两个关于],[b a 是对称的点1t 和2t （不妨设12t t ，并把它们叫做搜索点），计算)(1t f 和)(2t f 并比较它们的大小。
对于单峰函数，若)()(12t f t f ，则必有],[1*t a t ，因而],[1t a 是缩短了的单峰区间；若)()(21t f t f ，则有],[2*b t t ，故],[2b t 是缩短了的单峰区间；若)()(12t f t f ，则],[1t a 和],[2b t 都是缩短了的单峰。
因此通过两个搜索点处目标函数值大小的比较，总可以获得缩短了的单峰区间。