浅谈概率论在高等数学中的应用
高等数学课程教学中应用概率论知识及方法
高等数学课程教学中应用概率论知识及方法摘要：本论文着重论述了概率理论在高等数学中的运用研究，结合当前学生在高等数学教育中的现实状况，对当前的高等数学的教学状况进行了剖析，然后对概率理论的基础知识进行了简单的介绍，然后对概率理论在高等数学中的高效运用进行了一些探索，并对高等数学的学习思路进行了论述，希望能够为有关领域的研究工作提供一些借鉴。
关键词：概率论；高等数学；课程教学引言：概率与高等数学是自然科学专业中的两个关键的基础，同时也是本科生有关专业考研的必须的一门课。
对于专科院校来说，高等数学的内容很多，知识点也很复杂，尤其是一些与证明、计算有关的问题，如果能够将概率与高等数学的证明与计算相融合，就能够减少高等数学的学习难度，让学生能够在短时间内将问题求解出来，并且能够将学生的学习潜力和兴趣发挥到极致。
一、专科院校高等数学教学现状（一）学生学习目标不明确，学习动力不足许多学生对于为什么要学数学课程感到迷茫，有些专业在设置高等数学的过程中也显得有些消极，学生不明白数学课程对于专业课程的建设和学生的培训的意义，因此，虽然有了一些高等数学课程，但是上课的时间非常短，这就使得老师们为了满足自己的要求，不得不提高了自己的教学速度，所以，学生的内容太多，速度太快，让学生们慢慢地丧失了对学习的兴趣。
（二）高等数学学习习惯尚未形成高等数学的内容比较抽象，很难让人听懂。
就算学生能把一些数学的概念背下来，但学生并不能把它们完全地记住，也不能把它们完全地掌握起来，学生缺少自己的思维和研究能力，在上课的时候，学生一直都是被动地接受，学生的学习目的并不清晰，而且过于依靠老师，随着时间的推移，学生很难养成自己的学习习惯。
二、概率论在高等数学中的有效应用（一）借助概率分布理念，化简数学问题在数学中，概率分布是一个非常重要的概念，它可以帮助我们理解和解决各种不同的问题。
在统计学中，概率分布理念可以用来描述观察到的数据分布情况。
例如，如果我们有一组人的身高数据，我们可以通过计算每个身高值的出现次数来描述这组数据的分布情况。
用概率思想解决高等数学中的问题
用概率思想解决高等数学中的问题摘要:极限、积分、级数是高等数学中的重要内容，也是概率论的基础，概率论是它们的补充。
本文运用概率论中随机变量的一些性质，主要是利用离散型随机变量概率分布的正则性和连续型随机变量密度函数的正则性以及它们的数字特征期望和方差、特征函数、中心极限定理等重要知识来巧妙解决高等数学中的极限、积分、级数的问题。
这体现了数学分支之间的密切联系，联系的核心是构造概率情景，建立概率模型，从而把纯极限、积分、级数问题转化为概率论中的内容加以解决。
概率思想为高数服务，使复杂的问题简单化，拓宽了解题思路。
关键词：概率论高等数学极限积分级数Making Use of Probability Idea to Solve Problems in HigherMathmaticsAbstract:Limit,integration and series are important parts in Further Mathmatics ,which are also foundation in the Probability Theroy,and in return, the Probability Theroy is their supplement. This paper ,making use of some properties from random variable ,which include regularity about discrete radom variable and regularity about continuous random variable,as well as their expectation and variance,eigefuction and the central limit theorem and so on to solve skillfully some problems in limit,integration and series,which exist in Further Mathmatics.The application reflects close relationship between different branches in Mathematics.The core of the connection is how to constract specifical situation,then,setting up probabilisticmodel.At the time ,the pure problems of limit,integration and series were transfered into context in the Probability Theory.The Probability idea services for Higher Mathematics by simplifying some complex problems and broadenning the ways in working out problems.Keywords:Probability Theory Higher Mathmatics limit integration series极限、积分、级数是高等数学中的重要内容，而这些内容也是后续课程微分几何、复变函数、概率论与数理统计等学习的基础。
概率思想在高等数学中的应用分析
㊀㊀㊀㊀㊀数学学习与研究㊀２０２３ １２概率思想在高等数学中的应用分析概率思想在高等数学中的应用分析Һ郝㊀旭㊀（大同师范高等专科学校，山西㊀大同㊀０３７０３９）㊀㊀ʌ摘要ɔ随着教育事业日新月异的发展变革，人们对高等数学的教育愈加重视，这是因为高等数学，是帮助我国打造理工人才的主要学科．高等数学不仅知识难度大，还包含了大量的理论逻辑．鉴于此，只有在解决实际问题时，深度挖掘正确㊁高效的解题方法，才能提高学习效率㊁降低学习难度．而概率思想对于高等数学而言，除了能提升高数知识的直观性，更能丰富解题思路．文章主要以概率思想为分析对象，分析其在高等数学中的应用，旨在为高等数学领域贡献微薄力量，以期为我国培养大量的理工人才．ʌ关键词ɔ概率思想；高等数学；应用分析立足于学科内容视角而言，高等数学在实际教学过程中，能引导学生对数学知识进行全面研究㊁深入剖析，其不仅是各个高校逐渐重视的创新学科，更是高校教学中需要不断攻克的难点．在学习高等数学时，学生除了要具备扎实的计算能力，还要有强大的数据思维．从目前的高等数学教学发展来看，概率思想已经为各大高校所重视，将其视为关键的教学手段之一．在面对高等数学知识时，利用概率思想，能有效提高解题效率㊁降低问题难度．目前，如何将概率思想在高等数学中融合应用，已经成为广大高校教师深入研究的教育问题．一㊁概率思想的基本内涵概率思想的形成，是数学家们全面㊁深入地剖析了概率理论后得到的．直至发展到１８世纪，才促进了概率思想的变革．分析相关研究资料可以发现，使概率思想得到真正发展的人物，是瑞士的数学家伯努利，其在全面剖析概率思想时，得出了十分著名的 伯努利定理 ．此定理不仅直接促进了概率理论的发展进程，还间接促进了概率思想的发展和应用．随着概率理论的发展，法国数学家拉普拉斯也在其编写的论著中详细阐述了概率思想，还设计了整体结构，总结了概率思想的本质：在面对一个整体时，将其分解成Ｎ个可能事件，同时每个事件发生时，它们之间的可能性相等，如将可能性Ａ分解成ｎ个不同的事件，如此就可以利用ｎＮ来表示可能性Ａ的发生概率．这就是现在广义上的 概率思想 ．二㊁概率思想应用在高等数学计算中的功能优势（一）抽象性较大，复杂程度较高相较于初中㊁高中的数学而言，学习高等数学需要建立在强大的逻辑思维能力之上．鉴于此，在实际教学过程中，教师就应要求学生在学习时不断强化自身的逻辑思维能力，深度理解高数中的抽象元素，敢于突破具象元素的局限，剖析体现具象意义的数学符号与公式，从而使计算结果更加精准化．概率思想则能帮助学生将烦琐的解题过程简单化，从而更容易地理解高等数学里的一些知识点．（二）有效完善高等数学在高等数学中使用概率思想，能充分发挥其补充功能，能为传统的高数计算方法提供丰富的解题思路，能与抽象性解题方法有机融合．在解答高等数学问题时，由于抽象性带来的局限，学生需要发挥强大的想象力，固定的解题模式对于高等数学来说无法长期使用，而普通的解题方法也无法在高等数学中充分发挥作用．而概率思想在解答高等数学时，是利用估测解题成果的方法，逐步完成高数的计算过程．同时概率思想能帮助学生深度解析各种交互元素，促使学生对高数公式更加明晰．如此不仅补充了常规计算的弊端，更能提高高数解题质量．三㊁概率思想应用在高等数学中的功能意义（一）降低高数问题的计算难度计算高等数学问题，是学生学习高数必须具备的能力．由于高等数学的计算过程较为复杂，学生在计算高等数学时，不仅需要具备良好的逻辑思维，还需要具备扎实的数学思维意识，通过设计抽象的数学符号和公式，挖掘出问题的核心矛盾，看透问题的本质，从而更精准地找出解决问题的方法．如此，学生往往需要㊀㊀㊀㊀数学学习与研究㊀２０２３ １２面对极其复杂且难度较高的问题，只有深入分析问题的含义，才能利用数学逻辑思维，得出正确的计算结果．此时，教师可启发学生尽量减少机械计算的方法，引导学生充分发挥概率思想的解题优势，通过抽象逻辑思维，将高数问题的计算难度大大降低．例如，在实际解答高数问题时，学生可利用０ １之间的数字来表示事情发生的概率，通过概率分布情况，将最终结果计算出来．这样的解题模式，除了能使解题过程精简化，还能保证计算结果的准确性㊁强化学生的学习效率，帮助学生深刻感悟概率思想与高等数学的潜在联系．（二）强化高等数学教学质量纵观当前的高校高数教学发展形势，在日常开展高数教学时，大多数教师往往会利用大量的课堂实践，启发学生分析处理高数问题，或向学生布置大量的作业，通过题海战术使学生深刻理解高等数学．但是，随着教育事业的快速变革，组织学生花费大量的课堂时间研究高数问题，已经严重制约了此学科的创新发展．而在高数教学中有机融合概率思想，能为师生之间提供充分的互动空间，产生全新的解题视角，突破单一的理念，促使学生理解各项高数知识内容．在长期㊁有效的师生互动下，概率思想在高数中的应用，既能使学生较为简单地理解各种高数定义，又加强了其对知识的应用．因此概率思想不仅能降低高数问题的难度，还能避免学生花费大量时间去计算高数问题，最终实现提升高数教学质量．（三）激发学生主观能动性高等数学具有极强抽象性与逻辑性，极易压抑学生的学习兴趣．深究其原因不难发现，学生在接触高等数学时，尚未形成强大的逻辑思维能力，也没有锻炼出扎实的计算水平，导致学生在计算高数问题时，产生挫败感，长此以往便会丧失钻研高数问题的兴趣．而概率思想很好地解决了这一学习现象，其可从根本上降低高数问题的计算难度，帮助学生顺利完成高数计算问题，有利于学生收获学习成就感，能建立积极学习的信心，改变 高等数学难学 的错误看法，从而积极地投入到高数学习中，激发自身的主观能动性．四㊁概率思想在高等数学中的应用（一）在化简问题中应用概率思想选定一个数字范围作为总体，并选择部分数字作为样本，用这些数字出现的频率表示事件发生的概率，探究事件发生概率的实际分布，从而提供解题思路．如此也能看出在高等数学中，概率思想的重要作用，通过简化数学问题促使学生深刻感受 概率和数理统计 的意义，并激发学生的学习兴趣．例如，为５０盏灯编制编号，编号为顺向数字表示，如１，２，３， ，５０，这５０盏灯的开关编号同样用１，２，３， ，５０表示，将全部开关视为 闸开关 ，前提条件是打开全部的灯，再展开如下操作：①反方向拉动编号１的位数开关；②反方向拉动编号２的位数开关 反方向拉动编号５０的位数开关．以上过程就是利用概率中的系统抽样思想抽出样本从而来观察总体情况．这样操作既简化了检验程序又保证了准确度．再例如，在高等数学中常见的求和问题，在面对这类问题时，教师可充分融合概率思想．另外，在面对事件发生概率表示为０＜Ｐ＜０的问题时，可通过概率分布将问题解答过程充分简化．例题：计算ðｎｋ＝ðＣｋｎａｋｂｎ－ｋ（ａ＞０，ｂ＞０）时，可将这道题视为概率问题，假设 将橡皮不规律地扔出Ｎ次 ，扔出橡皮用Ｘ代表，如此便可得出正面向上的概率Ｐ＝ａ，得到反面概率为ｐ＝ｂ，当扔出Ｎ次之后，正面向上的概率就可表示为Ｐ｛Ｘ＝ｋ｝＝Ｃｋｎｐｋ（１－Ｐ）ｎ－ｋ，ｋ＝０，１，２，３， ，ｎ．参照这种概率的分布情况，便可探究其分布规律．（二）在定积分中应用概率思想将概率思想与定积分充分融合，能使定积分的计算程序精简化，同时能将问题抽象性有效减轻，以此保证计算准确性．在实际解决定积分问题时，首先要做的是，通过概率思想变形处理，将被积函数变形成为密度函数．其次，选定一函数积分，用来表示概率密度函数．最后，全面剖析正态函数的分布规律，并联系概率密度函数，以此达到积分演算精简化．例如，在计算ʏ＋ɕ－ɕｅｄｘ这一题目时，通过概率思想，可置换定积分的不同元素内容，并得出以下内容：Ｘ Ｎ（ｕ，σ２），此时可将概率密度函数设计成ｆ（ｘ）＝１２πσｅ，ｘɪＲ．由于归一性原则ʏ＋ɕ－ɕｆ（ｘ）ｄｘ＝１，则可得出：ʏ＋ɕ－ɕ１２πσｅｄｘ＝１，ʏ＋ɕ－ɕｅｄｘ＝２πσ．经过精简化的定积分，可利用概率思想转换演算㊀㊀㊀㊀㊀数学学习与研究㊀２０２３ １２模型，如此一来不仅使抽象性得到了降低，还简化了计算过程，使定积分题目的计算效率大大提升．（三）在二重积分中应用概率思想在高等数学中，二重积分也是较为重要的知识之一．二重积分具有丰富的应用，如在平面薄片重心㊁曲面面积等，都可利用二重积分完成．教师在引导学生求解二重积分时，可利用概率思想，以此节省大量的时及精力，充分发挥概率思想的解题优势．（四）提升概率思维要想在高等数学中，充分体现概率思想的价值，教师应重点强调概率思想意识的重要性，以培养学生应用概率思想解题的能力为核心，不断帮助学生内化概率思想，使学生在面对高等数学问题时，能合理使用概率思想．但是值得注意的是，教师在帮助学生树立概率思想意识时，应启发学生练习各种形式的高数题目，并要求学生在练习过程中，充分融合概率思想完成计算，以此达到提升概率思想的应用能力．另外，教师应积极挖掘各种渠道，将概率思想深入开发研究，以便于学生能从各种角度，深刻感受概率思想的应用优势，避免单一㊁机械的演算方法，避免使学生形成思维定式．如此，才能提升学生的概率思维．（五）重视概率思想的培养力度随着现代化教育的深度变革，教师应充分尊重学生的个体差异性，帮助学生在学习高等数学知识的同时，提升概率思维．概率思想虽能有效解决高等数学的困难问题，但在培养学生建立概率思想时，教师也应积极分析学生的实际学习情况，投入更多的精力．例如，教师在开展高等数学教学㊁演示概率思想时，可发挥多媒体设备的教学优势，向学生展示更加直观化的概率思想演示过程，展示不同的高数知识内容，展示典型性公式的推演过程，通过循序渐进的引导，帮助学生更好地掌握概率思想内涵．教师要想使学生在不断发展中取得理想成绩，就应在联系理论知识的基础上，强化学生的应用概率意识，利用正确㊁有效的手段完成培养概率思想的教学目标．例如，学生面对高数题目时，教师应启发学生利用概率思想，在脑海中回顾典型性公式的推算程序，促使学生应用概率思想解题，在内心深处认可概率思想的优势．但在此过程中，教师应注意，虽然要加大培养学生应用概率思想的力度，但也要结合高等数学的教学任务及知识重难点，不能 为了培养而培养 ．这样才能在保证学生扎实掌握概率思想的同时，不断提升高等数学演算能力．（六）不断丰富应用题目类型在高校数学教学中，提供大量的数学思维练习题，逐渐成为广大高校教师经常实施的教学手段．学生在完成有效练习题时，能熟练掌握各种高数演算技巧，并不断提升高数综合素养．但在布置高数练习题时，能否做到科学㊁规范，也是值得广大教师不断探究的问题．首先，教师在布置各种类型的高数练习题时，应以教学重点为核心基础．教师在引导学生利用概率思想完成习题时，应引导学生深度分析概率思想内涵，探究其本质，以及如何利用概率思想计算，以此将高数计算的难度有效降低的同时，确保问题设计的合理性．其次，教师在引导学生将高等数学与概率思想有机融合时，应尽量保证解题方向的正确性，只有这样才能将概率思想的辅助功能充分发挥出来．另外，教师为学生选择高数题型时，应立足于高数计算重难点，在此基础上拓展题型，以便于学生能在解题时拓宽视野，最终实现学生能全面深入地理解高等数学计算方法．最后，高数中不仅可以融入概率思想，其他学科的一些解决问题的思路也是可以融入的．教师在培养学生的同时应该加强专业技能的提升，钻研一些相关学科的前沿性知识，从而增进自身对本学科的理解．结束语综上所述，高等数学由于其知识点难度大，计算过程复杂，极易使学生失去学习兴趣，从而降低了高数教学质量．鉴于此，高数教师应积极探究数学领域的科学教学手段，以概率思想为主要方法，在日常教学中充分发挥概率思想本质优势，强化学生的高数演算效率㊁调动学生主观能动性．另外，教师应紧随学科的发展脚步，深度剖析概率思想与高等数学的潜在联系，旨在提升高数教学效率．笔者相信，经过广大同仁的共同努力，定会促进我国高等数学教学水平快速发展．ʌ参考文献ɔ［１］张忠毅．浅谈概率思想在高等数学中的应用［Ｊ］．科学咨询（教育科研），２０２０（１１）：４０．［２］尹丽，高辉，高胜哲．概率思想在高等数学计算中的应用研究［Ｊ］．数学学习与研究，２０１７（０１）：１４．［３］车晋．概率思想在高等数学计算中的应用分析［Ｊ］．教育现代化，２０２０，７（１８）：１１８－１２０．。
高等数学解题中概率论方法的应用研究
打开。
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（二）概率思想在高等数学积分中的
应用
据有效数据实验表示，概率论的思想在
高等数学积分中也能够有着较高的应用机
制，不仅可以将原本复杂的积分问题简化，
还能够使得结果变得相对准确。概率论的思
想在高等数学积分中的应用，是在结合式子
本身的性质下，在经过一些变形之后，将原
本复杂的积分问题变化为概率密度函数，这
在进行实验时，严格根据规定执行，在多次 实验之后，一些事件发生的概率就会逐渐变 得稳定。他提出的这个定理对于概率论的发 展起到了一定的促进作用。从那以后，概率 论被越来越多地领域所应用。经过一个世纪 的发展，到 19 世纪初，在拉普拉斯提出了 概率论的理论分析之后，概率论已经形成一 个学科体系。拉普拉斯将其定义为：对某一 随机现象进行了 n 次实验与观察，其中 A 事 件出现了 m 次，即出现的频率为 m/n。在大 量的反复实验之后，发现 m/n 接近于一个常 数。在经历几个世纪的发展之后，目前为止， 概率论已经被完善并且趋于成熟。概率论被 各个学科领域广泛应用，如物理学、农业技 术等。概率论的广泛应用对社会的发展进步 起到了一定的推动作用。
一、概率论概述 作为研究随机现象数量的数学分支，概 率论与高等数学之间有着密不可分的联系。 在高等数学解题过程中常常会用到概率论思 想，教师应该结合实际教学内容，科学引导 学生运用概率论，掌握更多解题方法，从而 有效提高学生数学解题能力，帮助学生积累 更多解题技巧。如下对概率论进行几点分析： （一）内涵 所谓概率论，就是对现象数量规律进行 研究的数学分支，随机现象与现象相对而言。 但是在一定的条件下，会出现某一些结果的 现象为决定性现象。比如：标准大气压下， 纯水要在 100 摄氏度的条件下才会沸腾。随 机现象则是在基本条件不变的状况下，每次 试验或者观察前，不能肯定出现哪种结果， 这就是一种偶然性。如：扔一颗硬币，有可 能出现正面，也有可能出现反面，随机现象 实现和它观察成为随机试验。随机试验的每 种可能被称为基本事件，单个基本事件可以 称之为随机事件，一组事件也成为随机事件， 也称之为简称事件。在日常生活中还包括很 多奠定的随机试验，比如掷骰子、抽扑克牌、 扔硬币、轮盘游戏等。另外，事件的概率是 对其发生可能性量度的衡量，一些事件在以 此随机实践中发生是存在偶然的，如果在相 同条件下，如果大量重复出现，那么就说明 其具有一定的数量规律。 （二）发展 概率论起源于 17 世纪，那时候概率论 的内容还很单一，不完善。直到 18 世纪， 概率论才开始快速发展。概率论的发展与雅 克比·伯努利有着密切的关系，为什么说其 是概率论有密切关系，是因为其提出了概率 论发展的起源，即伯努利定理，具体内容：
浅谈概率论在高等数学中的应用
浅谈概率论在高等数学中的应用作者：黄皓来源：《课程教育研究》2017年第29期【摘要】高等数学作为逻辑性强、内容涉及广泛且具有教学系统化特征的学科，是高校学生公认的难学学科。
尤其是高等数学计算与证明问题，学生很难找到准确的方式进行解答。
而概率论的应用则有效帮助学生解决了上述问题，提升了学生解题效率。
本文结合笔者相关经验与知识，对概率论在高等数学中的应用进行了分析，以供参考。
【关键词】概率论高等数学应用【中图分类号】G64 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2017）29-0136-011.概率论在高等数学分布简化解题中的应用概率分布是概率论中的基础知识，依据概率论与高等数学之间存在的关系，利用概率分布可有效简化高等数学题目，降低高等数学计算难度，提升计算准确。
例如，计算■C■■x■y■（x>0，y>0）解：假设在不规则均匀基础上，向上丢抛正反两面薄铜片Z次，则薄铜片在此过程中，其正面朝上的概率则为Y=x/（x+g），如果用T表示上抛Z次薄铜片过程中正面朝上的次数，则有：Y={T=g}=C■■P■（1-P）■，（g=0，1，2，3，4…，a）依据概率论中的分布知识，可得出：1=■P{T=g}=■=C■■P■（1-P）■=■C■■（x/x+y）■（y/x+y）n-g故得出：■=C■■x■y■=（x+y）■-y■-axy■2.概率论在高等数学不等式中的应用在高等数学学习中，不等式问题是解题难度较大的内容之一。
如果找不到准确的证明方式，则无法再短时内得到准确的结果。
实践证明，通过利用概率论理论中的有关内容，可有效简化高等数学不等式证明过程，从而提升证明效率与准确率。
例如，在某高等数学教材中的不等式习题中，即已知在[A，B]区间范围内，f（x）连续且f（x）>0，求证：■f（x）ex×■1/f（x）ex≥（B-A）■在不等式中应注重对积分区间[A，B]的考虑，可依据概率论中的随机变量性质，通过均匀分布进行不等式证明。
浅谈概率论在高等数学中的应用
在 高等数 学 学 习的过程 中 ， 常 常会 遇 到 一 些 比较 难 的计 算 问题 ， 在计算 时 如果 只使 用 高 等数 学 中证 明
ｅ～
，
则 ＋ ６ ａ ｅ ～ ＝１ ， 即 ￣ ６ ｏ ＝ ｅ６
，
按 照 级 数 收 敛 必
问题 的 方法 进 行 计 算 ， 是 一 件 相 当 困难 的事 情 ， 即便 要 Ｉ ｝ 生可 以 知 道 ： ｌ ｉ ｍ 能 够得 出结 果 ， 其步骤 也 非 常繁琐 ， 但是 ， 如 果 能 巧 妙 引入概 率论 ， 则 不但 会使 复杂 的计 算 过 程 变得 简 单 起 来， 而且 ， 还可 以提 高学 生学 习高 等数 学 的兴 趣 。
第２ ９卷 第 ３期
Ｖｏ １ ． ２ ９
兰州教 育 学 院学报
Ｊ Ｏ ＵＲＮＡＬ ＯＦ Ｌ ＡＮＺ ＨＯＵ Ｉ ＮＳ Ｔ Ｉ Ｔ ＵＴ Ｅ ＯＦ ＥＤＵ ＣＡ Ｔ Ｉ Ｏ Ｎ
２ ０ １ ３ 年 ３月
Ｍａ ｒ ．２ ０１ ３
Ｎｏ ． ３
浅谈概率论在高等数学 中的应 用
一
： ０ ．
例 ３ ： 已 知 。 ＝ ［ 青＋ ＋ ＋ … ＋ ］ ） ， ～ ，
求ｌ ｉ ｍａ ．
解： 首 先要 构造 适合 的概 率模 型．
、
使 用概 率分 布进 行化 简
在概率论中， 概率分布是基础性概念 ， 利用概率
分 布 的性 质可 以进 行化 简 。就是 说 ， 使 用 大 于 ０而 小 于 １的数 字对 某些 事件 发 生 的概率 进 行 构造 ， 然 后 按 照概 率分 布解 决 实际 问题 。通 过这 种 处 理 方法 ， 可 以 明显 地 降 低 计 算 难度 ， 提 高 计算 结 果 的准 确 度 ， 从 而 揭示 出概 率论 和 高等数 学 之 间 的关 系 ， 不 断 提 高 学生 学 习高 等数学 的兴趣 Ｊ 。
谈概率论在高等数学中的应用
谈概率论在高等数学中的应用摘要：大部分学生对高等数学的第一印象都是“难”，尤其是在计算问题及证明问题的过程中，经常会遇到各种问题和阻碍。
而概率论是数学中的重要分支，多用来研究随机现象数量规律。
实践证明，如果在高等数学学习中合理引入概率论，不仅能够提高数学解题的效率，还能够提升学生的学习积极性，为高效教学奠定良好的基础。
本文就结合高等数学教学现状，对概率论在高等数学中的应用展开分析，并提出几点策略。
关键词：概率论；高等数学；应用高等数学的学习中，涉及到很多计算、证明的问题，如果找不到正确的方法就很难抽丝剥茧，获得正确的答案。
然而在解题时，如果能够合理运用概率论，则能够起到化繁为简、化难为易的作用，大大提高解题效率，从而培养学生学习高等数学的兴趣。
同时，概率论的应用还能提高学生的解题效率，帮助其重新树立解题的自信心。
一、高等数学教学现状高等数学是必修课程之一，但很多学生一提起这门学科就感到无奈，原因是学习难度较高，学生的学习情况并不理想。
从当前高等数学的教学情况来看，主要存在以下问题：第一，学生学习目标不明确。
高校分专业培养人才，虽然基础课程相差无几，但专业课存在较大的差别。
很多学生都不理解，为什么要学习高等数学，觉得未来工作中用不到相关知识。
其实，部分专业开设高等数学也具有一定的被动性，不理解高等数学课程设置的意义，导致即便开设了高等数学课程，课时分配的也较少，教师想要完成教学任务，就要加快教学进度[1]。
学生的接受能力是有限的，课堂中向学生传输大量的知识，结果就是虽然按时完成了教学内容，但学生对知识是囫囵吞枣，难以完全接受和消化，导致学生逐渐失去学习兴趣，影响主观能动性的发展。
第二，学生没有形成良好的学习习惯。
高等数学相对于高中数学内容更加抽象、难度也更高，学生很难轻易对知识掌握透彻。
课堂中，通过教师的指导学生可以完成数学知识的记忆，但是却无法深入理解和掌握其中的概念公式和运算逻辑。
换而言之，学生的学习缺乏独立思考，课堂状态较为被动，学习目标也不够明确。
高中数学教学中的概率与统计应用
高中数学教学中的概率与统计应用高中数学教学中的概率与统计应用在培养学生的逻辑思维能力、实际问题的解决能力以及数据分析与判断能力方面起着重要的作用。
本文将从实际案例出发，分析概率与统计在高中数学教学中的应用，并探讨如何有效地教授这一内容。
1. 概率与统计在日常生活中的应用概率与统计不仅在数学领域起着重要作用，也广泛应用于日常生活中。
例如，在购买彩票时，我们可以利用概率来计算中奖的可能性，从而更好地选择号码。
另外，在天气预报中，统计分析可以帮助我们预测未来几天的天气情况，使我们能够做出合理的决策。
2. 概率与统计在实际问题解决中的应用概率与统计在实际问题解决中发挥着至关重要的作用。
例如，在调查民意时，我们可以利用统计方法收集和分析数据，从而得出人们对于某一问题的看法和态度。
另外，在质量检测领域，我们可以利用概率方法来评估产品符合质量标准的可能性，从而帮助企业做出决策。
3. 教学案例一：概率的应用在高中数学教学中，概率的应用是一个重要的内容。
以投掷硬币为例，可以通过实验进行概率计算。
通过连续进行大量的实验，记录正面朝上和反面朝上的次数，我们可以得到一个近似的概率值。
除了硬币的实验，我们还可以以骰子的点数和扑克牌的花色等进行实验，进一步巩固概率的概念和计算方法。
4. 教学案例二：统计的应用统计是概率的重要组成部分，通过对数据的收集、整理和分析，我们可以得到有关数据集合的相关信息。
在高中数学教学中，可以通过实际案例进行统计的应用。
例如，统计一个班级的身高数据，然后绘制柱状图或折线图展示数据的分布情况。
另外，也可以通过收集消费数据，分析消费习惯和消费水平等，帮助学生了解数据的处理和分析方法。
5. 教学方法与技巧在高中数学教学中，教师可以采用多种方法与技巧来有效地教授概率与统计的应用。
首先，可以通过实际案例和生活中的问题引导学生思考，并培养他们的实际应用能力。
其次，可以组织学生进行小组合作，让他们共同解决问题，促进学生之间的互动和交流。
概率论在高等数学中的应用
概率论在高等数学中的应用
概率论是一门重要的数学分支学科，它的应用非常广泛。
在高等数学中，概率论的作用也
十分重要。
概率论在高等数学中得到广泛的应用，主要表现在以下几个方面：
首先，概率论的系统推导有助于帮助学生理解和掌握多元微积分、计算机科学等等高等数
学课程。
概率论是微积论、数值分析、线性代数以及计算机科学等研究领域的基本工具。
不仅在计算复杂问题时具有重要的意义，而且能够帮助学生明白概率解决高等数学的实际
意义，这在高等数学的学习中有很重要的作用。
其次，概率论在概率分布中也表现出了良好的作用，这在高等数学中拥有重要地位，因为
概率分布和概率计算是概率论的重要内容。
概率分布可以帮助学生理解和弄清复杂的数学现象、概率计算可以帮助学生在概率分布中做出正确的概率估计，这都是高等数学中重要的内容。
最后，在统计学的研究中，为比较连续特性的差异性、分布的可比性、状态的可靠性、稳
定性、预测的精准度等也使用到了概率论的原理。
因此，概率论也能被引入到统计计算中，为高等数学的学习提供了更全面的理论支持，更加全面地体现了概率论在高等数学中的重要意义。
总之，概率论在高等数学中起到了十分重要的作用，从多元微积分到统计计算，概率论都是高等数学中十分重要的工具，可以帮助学生在高等数学课程中理解并熟悉各种数学理论，获取更多有益的知识。
概率思想在高等数学计算中的应用研究
201917/6202概率思想在高等数学计算中的应用研究曹钻（西安培华学院陕西·西安710000）摘要作为我国大学教育基础学科，高等数学是学习其它专业知识的基础。
对于很多学生而言高等数学十分抽象、复杂、难度大，而概率思想应用于高等数学解题中时，因其能够减弱高等数学问题的抽象性，从而降低了理解难度。
我们可以有效对解题步骤进行化简，从而使计算更加简便。
本文对概率思想在高等数学计算中的应用进行了简要分析。
关键词概率思想高等数学应用分析中图分类号：G641文献标识码：A 1概率思想对于高等数学计算的补充作用高等数学与中学数学最大的不同就是其较为抽象，更注重学生的逻辑思维能力。
基于高等数学复杂抽象的特点，很多学生在进行高等数学学习时经常会觉得题目过于抽象难以理解。
此外在高等数学计算问题中，很少会出现具体的数字，通常会用字母来代替，这就造成无法用具体数字进行计算的问题，更加考验了学生的逻辑推理水平。
概率思想的应用在一定程度上是对传统计算方式的补充，因为高等数学传统计算过程更注重抽象推理，而概率思想可以对计算结果估测计算，使题目抽象性减弱，降低了题目计算难度，帮助学生对问题更快进行求解。
2概率思想应用于高等数学计算中的意义2.1降低解题难度高等数学抽象复杂的特点使得很多题目解决步骤都十分繁琐复杂，很难推演出来，而概率思想的应用使题目不再过于抽象，难以理解，从而大大降低了题目解题难度。
2.2提升解题效率在学习高等数学时，很多学生会花大量时间进行知识学习及习题练习，传统计算方式导致学生需要通过大量时间进行推演，学习效率不高。
概率思想的引入帮助学生减少了计算时间，提升了解题效率。
3概率思想在高等数学计算中的应用举例3.1概率分布等基础概念在高等数学计算中的应用在计算高等数学和问题时，可以结合概率分布知识对其进行快速求解。
比如在对0和1间的数学随机事件发生概率进行计算时，可以采用概率分布知识进行求解，能够有效简化步骤，提高做题效率。
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的证明与计算方法， 学生很难进行求解和计算 。将概率论引入高等数学的证明和计算， 可以有效降低证明与计算的繁 琐程度， 快速得出答案， 同时还可以调动学生学习的积极性 。文章通过实例分析的方法对概率论在高等数学中化简 、 求 级数与广义积分、 不等式证明等方面的应用进行了认真的探讨， 为高等数学教学提供了参考 。 ［ 关键词］ 概率论； 高等数学； 化简； 级数； 广义积分； 不等式证明； 应用 ［ 5823 （ 2013 ） 03011802 ［ 中图分类号］ G427 ［ 文献标志码］ A ［ 文章编号］ 1008收稿日期］ 2012 － 12 － 15
第 29 卷 Vol． 9
第3 期 No． 3
兰州教育学院学报 JOURNAL OF LANZHOU INSTITUTE OF EDUCATION
2013 年 3 月 Mar． 2013
浅谈概率论在高等数学中的应用
许丽利
（ 鸡西大学，黑龙江 鸡西 158100 ）
［ 摘
要］ 对于学生来讲， 高等数学是一门难度相当大的课程， 特别是对于其中的证明及计算问题， 如果不能掌握很好
∑ k =0
x
P（ xk
∑ i =1
ξ i = k） =
∑ k = 0 k！
xk
y －x
。
∑ k = 1 k！
y －x + y －x
解： 设按照不均匀规则上抛硬币 A 次， 那么硬币 在上抛下落的过程中每次为正面的概率就是 P = x / （ x + y） ， 用 T 表示上抛 A 次硬币过程中出现正面的次 数， 则：
2π 槡 槡
两边分别取 e 作为底的指数， 则可以得到： x1 + x2 + x3 + … + x n x1 x2 x3 …x n ≤ ． 槡 n 四、 结语 在高等数学的计算中， 要想巧妙使用概率论， 教 师必须引导学生正确分析概率论中相应的概念 ， 并且
π = 槡 E （ 4 a2 + 5 a + 6 ） b2 π = 槡 （ 4 Ea2 + 5 Ea + 6 ） b2 π = 槡 ｛4［ （ － 1） 2 + （ b2 7 π = 槡 ． b2 7 π ． 因此， 原积分 = 槡 b2 第三， 对于积分计算， 在计算的过程中可以用分 ， 部积分法解决 但是在计算的过程中常常需要反复使 用分部积分法， 并且还要计算极限， 这样的计算相当 复杂， 为解决问题， 常常使用指数分布随机变量的数 学期望进行计算， 这样就可以顺利地解决问题。 例 6 ： 求积分
［2 ］
－ 2a 解： 由于被积函数里存在因子 b ， 符合 λ = 2 指 1 1 ， ． 因此： 且数学期望是 方差是 数分布， 2 4
。 2 ） 3
a －1
∫
!
（ 4a2 +5a +6） b －2a ma =
0
1 2
∫
!
（ 4a2 +5a +6） 2b －2a ma
0
! 2 例 4： 求 ∑ a （ a =1
a k k a－k y ＞ 0） ． 例 1 ： 计算 ∑ C a x y （ x ＞ 0 ， k =2 ［1 ］
!
e －6， 则∑
λ =1
6a － 6 6a e = 1， = e6 ， 即∑ 按照级数收敛必 a！ a ！ λ =1 6a = 0． a→ ! a ！
!
要性可以知道： lim
x x2 x3 xx + + +…+ ］ y － x， 例 3 ： 已知 a x = ［ 1！ 2！ 3！ x！ 求 lima x ．
［3 ］
。
∫
+! －!
（ 4 a2 + 5 a + 6 ） b － （ a2 + 2a + 3） ma．
－ （ a2 + 2 a + 3 ） ， 的， 解： 由于原被积函数里面含有因式 b 在全部的 x b ＞ 0 的情况， 定义函数 f （ a ） = lna （ a ＞ 先 将 该 因 式 进 行 配 方 整 理，这 样 就 可 以 得 到 0 ） ， 那么 f（ a） = lna（ a ＞ 0 ） 就是上凸函数， 则由 f （ Eξ ） ［4 ］ 1 － 2 － （ a +1） 2 2 ≥Ef（ ξ） 知 ： b b ， ， 正好是参数为 σ = μ = － 1 正态分布 2 n n 1 1 ln（ ∏ x b ） = / nb x b ∑ 的概率密度函数其中的一部分， 因此： n n b =1 b =1
∫
!
（ 4 a2 + 5 a + 6 ） b － 2a ma．
0
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兰州教育学院学报
第 29 卷
也要求教师具有高度的创新能力。 需要教师在教学 实践中充分发挥自己的想象力与创造力 ， 不断总结经 验教训， 结合自己已有的相关知识， 逐渐摸索出合理 的、 有效的教学方法。 之后， 再回到实践中不断进行 验证， 完善和进一步创新。 歌师脱胎于歌队的领唱， 作为领唱除了担任高声 还兼有组织与管理歌队的任务。 同样， 教 部的演唱， 师在视唱练耳课堂教学活动中也是一个组织者与管 理者， 因此， 必须具备计划、 设计和组织课堂教学活动 的能力。 （ 二） 合理安排课堂教学 侗族歌师教歌时根据歌队年龄的不同， 教唱不同 ， 。 ， 的内容 提出不同的要求 同样 在利用侗族民间合 必须将因材施 唱进行多声部视唱练耳课堂教学时， ［6 ］ 循序渐进作为教学活动的指导原则。 根据教学 教、 对象的不同情况， 安排适当的内容并选择与之相适应 的教学方法。 在学习的初始阶段， 学生对侗族民间合唱还比较 这时教师就应该发挥主导作用， 通过详细地讲 陌生， 解使学生对侗族民间合唱的音乐本体、 传承方式、 文 ［7 ］ 在了解的基础上再进一步学唱。 化背景有所了解， 讲授时教师应注意内容间的逻辑关系和语言表达技 巧， 以引起学生的兴趣、 维持其注意力。 比如， 在学习 教师可以先播放音乐视 一首新的侗族民间合唱时， 频， 让学生对曲子的多声部唱法建立初步的感性认 识， 接着给学生介绍与该歌相关的侗族文化， 然后对 、 、 、 、 侗族民间合唱的调性 旋律 节奏 节拍 曲式结构、 多 声形态等方面进行详细介绍。 在学生对侗族民间合 唱的结构、 旋律、 声部结合方式等方面有了初步了解 后， 再结 合 学 生 已 有 的 视 唱 练 耳 知 识， 开始新课教 ［8 ］ 学。 当学生经过一段时间的学习， 已经对侗族民间合 唱有了一定的了解时， 在教学中可以逐渐突出学生的 从而提高学生的自学能力， 培养其探索创 主体地位， 帮助学生 新精神。教师则由一个主导者变为引导者， 在教学过程中发展独立思考、 归纳推理等方面的能 ［9 ］ 力。 比如， 可以提供给学生一首侗族民歌， 要求他们 对其进行视唱练耳的教学设计。 学生自由组合成学 习小组， 根据教师提供的相关乐谱、 音像资料， 通过讨
根据分布律性质可以知道：
a a
x －x ×1 ］= 0 ． 5 x ×1 槡 则：
x
1 = = 因此：
k a— k P ｛ T = k｝ = ∑ C k ∑ a P （ 1 － P） k =0 k =0 a k n－k Ck ． ∑ a （ x / x + y） （ y / x + y） k =0 a
［5 ］
。
［ 1］盛 骤． 概 率 论 与 数 理 统 计［M］ ． 北 京： 高 等 教 育 出 版 社， 2012． ［ 2］ 朱奇 锋， 马 宝 艳． 高 等 数 学 和 概 率 论 中 两 个 问 题 的 探 讨 ［ J］ ． 致富时代（ 下半月） ， 2010 ， （ 4） ． ［ 3］ ． 科技与生活， 崔小兵． 概率论方法在微积分中的应用［J］ 2012 ， （ 17 ） ．
槡
1 2 ） ］ 5（ － 1） + 6｝ 2
针对概念进行认真分析， 准确掌握定义式以及定义式 的变形， 然后再和高等数学计算及证明相结合， 并进 行认真计算， 只有这样， 才能将概率论和高等数学计 算有机融合， 化繁为简， 化难为易， 解决高等数学中的 计算问题， 并不断提高学生学习高等数学的兴趣 ［ 参 考 文 献］
k P = ｛ T = k｝ = C k a P （ 1 － P） a— k
由于 Eξ i = Dξ i = 1 ， 根据独立同分布中心极限定 ： 理得
x x
lim P （
x→!
ξi ≤ x ） ∑ i =1
= lim P ［
x→!
ξi ∑ i =1
－x ×1 ≤
x ×1 槡
， （ k = 0， 1， 2 …， a． ）
Eξ = D（ ξ） + （ Eξ） = 6 + 9 = 15 ! 2 a －1 1 ! 1 2 2 1 （ ） = lim （ 另外： Eξ = lim a a =1 3 3 3 a =1 3 2 ） 3
! a －1
= 15 ， 因此：
a2 （ ∑ a =1
2 ） 3
a －1
= 45 ．
第二， 为方便进行计算， 在计算过程中可以将被 积函数进行变形， 转换称正态分布情况下随机变量的 然后再进行计算， 从而顺利解决问题 数学期望， 例 5 ： 求积分
limax = lim ax ∑
x→! x→! k =1 x
xk － x y = lim ［ P（ x→! k！
x→!
x
ξi ≤x） ∑ i =1
－ y － x］
= lim P （
x→! n －1
ξ i ≤x ） ∑ i =1
－ lim y － x = 0 ． 5 － 0
C xy ∑ k =2
k a
． 1 的几何分布， 则： 3