《数据、模型与决策_(第二版)》第三章：线性规划
第3章 线性规划的图解法和标准化
最优解
可行域
-8 0
目标函数等值线
数 据 模 型 与 决 策——江 苏 大 学 MBA 课 程 江
6
x1
主讲： 主讲：赵观兵
8
进一步讨论
例3 某公司由于生产需要，共需要A、B两种原料至少350 吨（A，B两种材料有一定替代性），其中A原料至少购进125 吨。但由于A，B两种原料的规格不同，各自所需的加工时间 也是不同的，加工每吨A原料需要2个小时，加工每吨B原料需 要1小时，而公司总共有600个加工小时。又知道每吨A原料的 价格为2万元，每吨B原料的价格为3万元，试问在满足生产需 要的前提下，在公司加工能力的范围内，如何购买A、B两种 原料，使得购进成本最低？
xj = xj’- xj” 其中
xj’≥0，xj”≥0
即用两个非负变量之差来表示一个无符号限制的变量， 当然xj的符号取决于xj’和xj”的大小。
数 据 模 型 与 决 策——江 苏 大 学 MBA 课 程 江 主讲： 主讲：赵观兵
15
2、目标函数为极小化的问题： 目标函数为极小化的问题： 设目标函数为： Min Z = c1x1 + c2x2 + … + cnxn (可以)令 Z’ ＝ -Z ， 则该极小化问题与下面的极大化问题有相同的最优解， 即： Max Z’ = - c1x1 - c2x2 - … - cnxn 但必须注意，尽管以上两个问题的最优解相同，但它们 最优解的目标函数值却相差一个符号，即： Min Z ＝ - Max Z’ 3、右端常数项为负数的问题： 右端常数项为负数的问题： 在标准形式中，要求约束条件右端常数项必须全部是非负 的。当某个右端常数项为负时，如 bi<0，则把该约束条件两 端同时乘以(-1)，得到：-ai1 x1-ai2 x2- … -ain xn = -bi
《数据模型与决策》复习题及参考答案
《数据模型与决策》复习题及参考答案第一章绪言一、填空题1．运筹学的主要研究对象是各种有组织系统的管理问题，经营活动。
2．运筹学的核心是运用数学方法研究各种系统的优化途径及方案，为决策者提供科学决策的依据。
3．模型是一件实际事物或现实情况的代表或抽象。
4、通常对问题中变量值的限制称为约束条件，它可以表示成一个等式或不等式的集合。
5．运筹学研究和解决问题的基础是最优化技术，并强调系统整体优化功能。
运筹学研究和解决问题的效果具有连续性。
6．运筹学用系统的观点研究功能之间的关系。
7．运筹学研究和解决问题的优势是应用各学科交叉的方法，具有典型综合应用特性。
8．运筹学的发展趋势是进一步依赖于_计算机的应用和发展。
9．运筹学解决问题时首先要观察待决策问题所处的环境。
10．用运筹学分析与解决问题，是一个科学决策的过程。
11.运筹学的主要目的在于求得一个合理运用人力、物力和财力的最佳方案。
12．运筹学中所使用的模型是数学模型。
用运筹学解决问题的核心是建立数学模型，并对模型求解。
13用运筹学解决问题时，要分析，定议待决策的问题。
14．运筹学的系统特征之一是用系统的观点研究功能关系。
15.数学模型中，“s·t”表示约束。
16．建立数学模型时，需要回答的问题有性能的客观量度，可控制因素，不可控因素。
17．运筹学的主要研究对象是各种有组织系统的管理问题及经营活动。
二、单选题1.建立数学模型时，考虑可以由决策者控制的因素是（ A ）A．销售数量 B．销售价格 C．顾客的需求 D．竞争价格2．我们可以通过（ C ）来验证模型最优解。
A．观察 B．应用 C．实验 D．调查3．建立运筹学模型的过程不包括（ A ）阶段。
A．观察环境 B．数据分析 C．模型设计 D．模型实施4.建立模型的一个基本理由是去揭晓那些重要的或有关的（ B ）A数量 B变量 C 约束条件 D 目标函数5.模型中要求变量取值（ D ）A可正 B可负 C非正 D非负6.运筹学研究和解决问题的效果具有（ A ）A 连续性B 整体性C 阶段性D 再生性7.运筹学运用数学方法分析与解决问题，以达到系统的最优目标。
数据模型与决策 第3章
第3章：P84页第18题Davison电力公司制造两类LCD电视监视器，用模型A和模型B表示。
当时在Davison的新生产线上进行生产时，每一种模型都有它最低可能生产成本。
然而这个生产线并没有能力来应对两种模型的总生产量。
于是，至少生产量的一部分必须由更高成本的旧生产线来完成。
下面显示了下个月的最低生产需求、每个月的生产能力，以及每条生产线每单位的生产成本。
模型每单位的生产成本最低生产需求 新生产线 旧生产线A 30美元 50美元 50 000B 25美元 40美元 70 000生产线能力 80 000 60 000令AN-在新生产线上生产模型A的单位数；AO-在旧生产线上生产模型A的单位数;BN-在新生产线上生产模型B的单位数；BO-在旧生产线上生产模型B的单位数。
Davison的目标是确定一个最低成本生产计划。
a.为这个问题建立一个线性规划模型;b.根据计算结果，最优解是什么？与该解对应的总生产成本是多少？c.哪个约束条件是有效的？请解释。
d.生产管理者注意到对偶值为正的仅有的约束条件是新生产能力的约束。
管理者对对偶值解释是，该约束的右端值每增加一单位，将引起总生产成本增加15美元。
你同意该解释码？增加新生产线生产能力是可取的吗？请解释e.你会建议增加旧生产线的能力吗？请解释f.在旧生产线上生产每单位模型A的成本是50美元。
为了使得在旧生产线上生产模型A有利可图，这个成本必须变化多少？请解释g.假设模型B的最低生产需求从70 000个单位降至60 000个单位。
这种改变对总生产成本会产生什么影响？请解释解：a.根据已知设AN，AO，BN，BO，题中约束条件Min 30AN+25BN+50AO+40BOs.t.AN+AO≥50000BN+BO≥70000AN+BN≤80000AO+BO≤60000AN,AO,BN,BO≥0代码min=30*AN+25*BN+50*AO+40*BO;AN+AO>=50000;BN+BO>=70000;AN+BN<=80000;AO+BO<=60000;b.最优解AN=50000，BN=30000，AO=0,BO=40000,求得成本为3850000.c.前3个约束条件有效。
数据模型与决策习题与参考
《数据模型与决议》复习题及参照答案第一章绪言一、填空题1．运筹学的主要研究对象是各样有组织系统的管理问题，经营活动。
2．运筹学的核心是运用数学方法研究各样系统的优化门路及方案，为决议者提供科学决议的依照。
3．模型是一件实质事物或现真相况的代表或抽象。
4、往常对问题中变量值的限制称为拘束条件，它能够表示成一个等式或不等式的会合。
5．运筹学研究和解决问题的基础是最优化技术，并重申系统整体优化功能。
运筹学研究和解决问题的成效拥有连续性。
6．运筹学用系统的看法研究功能之间的关系。
7．运筹学研究和解决问题的优势是应用各学科交错的方法，拥有典型综合应用特征。
8．运筹学的发展趋向是进一步依靠于_计算机的应用和发展。
9．运筹学解决问题时第一要察看待决议问题所处的环境。
10．用运筹学剖析与解决问题，是一个科学决议的过程。
11.运筹学的主要目的在于求得一个合理运用人力、物力和财力的最正确方案。
12．运筹学中所使用的模型是数学模型。
用运筹学解决问题的核心是成立数学模型，并对模型求解。
13用运筹学解决问题时，要剖析，定议待决议的问题。
14．运筹学的系统特色之一是用系统的看法研究功能关系。
15.数学模型中，“s· t ”表示拘束。
16．成立数学模型时，需要回答的问题有性能的客观量度，可控制因素，不行控因素。
17．运筹学的主要研究对象是各样有组织系统的管理问题及经营活动。
二、单项选择题1. 成立数学模型时，考虑能够由决议者控制的因素是（ A ）A．销售数目B．销售价钱C．顾客的需求D．竞争价钱2．我们能够经过（C）来考证模型最优解。
A．察看B．应用C．实验D．检查3．成立运筹学模型的过程不包含（ A ）阶段。
A．察看环境B．数据剖析C．模型设计4. 成立模型的一个基本原由是去揭晓那些重要的或相关的（D．模型实行B）A 数目B变量C拘束条件D目标函数5.模型中要求变量取值（ D ）A可正B可负C非正D非负6. 运筹学研究和解决问题的成效拥有（A）A连续性B整体性C阶段性D重生性7.运筹学运用数学方法剖析与解决问题，以达到系统的最优目标。
数据,模型,与决策
第一章（管理科学简介）Ｐ５（１）管理科学介绍管理科学本质：是对与定量因素有关的管理问题通过应用科学的方法进行辅助管理决策制定的一门学科．管理科学发展过程：快速发展开始于２０世纪四五十年代起初的动力来自于第二次世界大战另一个里程碑是１９４７年丹捷格发明单纯形罚更大的推动作用的是计算机革命的爆发管理决策：管理者考虑管理科学对定量因素进行分析得出的结果后，再考虑管理科学以外的众多无形因素，然后根据其最佳判断做出决策管理科学小组系统和考察时步骤：定义问题与收集数据——构件数学模型——从模型中形成对于一个问题进行求解的基于计算机的程序——测试模型并在必要时进行修正——应用模型分析问题以及提出管理建议——帮助实施被管理者采纳的小组建议课后问题：１．管理科学什么时候有了快速发展？快速发展开始于２０世纪四五十年代２．商学院以外还广泛使用的对管理科学学科的叫法：运筹学３．管理科学研究提供给管理者什么？对问题涉及的定量因素进行分析并向开明的管理者提出建议４．管理科学以哪些领域作为基础？科学领域：数学，计算机社会领域：经济学５．什么是决策支持系统？辅助管理决策制定的交互式基于计算机的系统６．与管理问题有关的一般定量因素有哪些？生产数量，收入，成本，资源Ｐ１１（２）一个例子：盈亏平衡分析步骤：分析问题——建立模型——敏感性分析，电子表格模型提供上述三者了方便的途径如果预测销售数量＜盈亏平衡点，Ｑ＝０预测销售数量＞盈亏平衡点，Ｑ＝预测销售数量敏感性分析目的：研究如果一个估计值发生了变化，将会给模型带来什么样的变化Ｍｉｎ（ａ，ｂ）：取ａ，ｂ中的最小值Ｉｆ（Ａ，ｂ，ｃ）：如果表达式Ａ为真，则值为ｂ，否则为ｃ第二章（线性规划：基本概念）Ｐ３１（３）在电子表格上建立恩德公司问题的模型１．开始在电子表格上建立线性规划模型时需要回答的三个问题：要做出的决策是什么？在做出这些决策上有哪些约束条件？这些决策的全部绩效测度是什么？２．以下各个单元格的作用数据单元格：显示数据的单元格可变单元格：需要做出决策的单元格输出单元格：依赖于可变单元格的输出结果的单元格目标单元格：在生产率做出决策时目标值定为尽可能大的特殊单元格３．该案例中每个输出单元格（包括目标单元格）的Ｅｘｃｅｌ等式的形式：可以表达为一个ＳＵＭＰＲＯＤＵＣＴ函数，这里的每一项是一个数据单元格和可变单元格的乘积Ｐ３３（４）电子表格的数学模型１．电子表格模型与代数模型相同的初始步骤：收集相关数据确定要做出的决策确定对这些决策的约束条件确定为这些决策的完全绩效测度把约束条件和绩效测度的口头描述转化为数据和决策表示的定量表达式２．用代数形式建立线性规划模型时，模型中需要引入代数符号来表示哪几类数量？用来表示绩效测度与决策４．模型的一个可行解是什么意思？决策变量的任何一个取值Ｐ４１（５）求两问题变量的图解法１．图解法能用来求解带有几个决策变量的线性规划问题？只有两个２．什么是约束边界线？形成一个约束条件所允许的边界的直线什么是约束边界方程？形成一个约束条件所允许的边界的直线的方程可行域？比所有约束边界线更靠近原点的那些点成为可行解，可行解所在的区域成为可行域会作图求解Ｐ４４（６）应用Ｅｘｃｅｌ求解线性规划问题(solver)１．用来输入目标单元格和可变单元格地址的对话框是什么？目标单元格：set target cell 可变单元格：by changing cells２．具体化模型的函数约束的对话框是什么？ｓｕｂｊｅｃｔｔｏｔｈｅＣｏｎｓｔｒａｉｎｔｓ３．在ｓｏｌｖｅｒ中，哪些选项一般需要选定以求得一个线性规划模型？采用线性模型，假定非负Ｐ４８（７）一个最小化的例子——利博公司广告组合问题３. 利博公司的目标？在达到市场份额的前提下，确定最低的总成本并决定要在每种媒体上做多少钱的广告４．在电子表格中设置目标单元格和可变单元格的基本原理是什么？目标单元格：？可变单元格：？Ｐ５０（８）管理视角的线性规划１．管理部门一般对线性规划研究的技术细节设计深么？不深，没有必要２．一般问题有两个以上决策变量看，那么研究两个决策变量问题的图解法的意义？实际意义中没有价值，但对于传达线性规划设计确定约束边界和使目标值往尽可能大的这一方向移动的这一基本观念有很大价值３．开明的管理者关于线性规划应该知道哪些事项？需要知道线性规划是什么的一个良好直觉对线性规划的适用性和作用有一个正确的评价使得在合适的时候鼓励应用能够区分能胜任和以次充好的线性规划研究理解如何解释研究成果第三章（电子表格建模的艺术）（多简答和选择）Ｐ７６（２）电子表格建模程序的概述１．当你不知道从哪里开始时，帮助你开始建立电子表格模型的方法是什么？设想一下的目标手工进行一些计算建立一个小的电子表格２．手工计算可从那两方面帮助你？首先，它能帮助理清输出单元格公式的形式其次，它可以帮助检验表格３．描述一下组织和编排电子表格的一个有用方法计划设想一下你的目标手工进行一些计算建立一个电子表格建模先建立一个小模型测试利用不同的测试数据分析模型的逻辑关系，将模型扩展为完整的模型分析评估建议的解和／或利用ｓｏｌｖｅｒ优化４．哪些数值应被输入数据单元格以测试模型？试着输入一些我知道输出单元格结果的数值５．单元格绝对坐标：当被填入其它单元格时，坐标不会改变的坐标，如＆Ｅ＆１１单元格相对坐标：公式中单元格或者范围的坐标通常是基于他们相对含有公式的单元格的位置Ｐ８１（３）建立一个好的电子表格模型的几个原则１．模型的哪个部分最先输入电子表格？在建立电子表格之前，先输入和仔细编排所有数据２．数据应包含在公式中，还是被单独输入数据单元格？单独３．区域名称是如何使公式和模型在Ｓｏｌｖｅｒ对话框中更易于理解？如何选择区域名称？？１：用区域名称取代单元格地址写入公式中，使得公式更容易说明？２：选择“插入”菜单中“名称／定义”，然后输入一个名称，获得区域名称４．区分数据单元格，可变单元格，输出单元格，目标单元格有哪些方法？对不同类型的单元格使用不同的边框，单元格阴影５．在电子表格中完整的表达一个约束条件需要多少单元格？３Ｐ８６（４）调试电子表格模型１．调试电子表格模型的第一个步骤是什么？在你预知输出单元格正确结果的情况下，将不同的数值输入可变单元格，然后观察模型的计算结果是否和预期结果一致２．如何输出单元格在数值和公式中的切换？ｐｃ上同时按ｃｏｎｔｒｏｌ和～键（Ｍａｃ上同时按Ｃｏｍｍａｎｄ和～键）３．对于一个给定的单元格，哪一个Ｅｘｃｅｌ工具可以用来追踪其从属单元格或引用单元格？“工具”——“审核／追踪从属单元格”，会显示出箭头，以观察单元格之间的联系建立一个好的电子表格所需原则：●首先输入数据●组织和清楚标识数据●每个数据输入唯一的单元格●将数据与公式分离●保持简单化●使用区域名称●使用相对和绝对坐标简化公式的复制●使用边框、阴影和颜色来区分单元格类型●在电子表格中显示整个模型第四章（线性规划：建模与应用）Ｐ９７（１）案例研究——超级食品公司的广告混合问题４．在评价使用线性规划来表示该实际问题的准确性时，要做出的假设条件有哪些？允许有分数解包括目标单元格和可变单元格都可以用ＳＵＭＰＲＯＤＵＣＴ函数以数据单元格和可变单元格表示（有时候只是可变单元格的加总）Ｐ１０６（２）资源分配问题１．资源分配问题的共性在线性规划模型中每一个函数限制均为资源限制，并且，每一种资源都可以表现为如下的形式：使用的资源数量＜＝可用的资源数量２．资源限制的形式如何？使用的数量＜＝可获得的数量３．为解决资源分配问题，必须收集哪三类数据？每种资源的可供量每一种活动所需要的各种资源的数量，对于每一种资源约活动的组合，单位活动所消耗的资源量必须首先估计出来每一种活动对总的绩效测度的单位贡献Ｐ１１３（３）成本收益平衡问题１．资源分配问题与成本收益平衡问题在管理目标上的差异是什么？资源分配问题：各种资源是受限制的因素（包括财务资源），问题的目标是（根据特定的总绩效测度）最有效的利用各种资源成本收益问题：管理层采取更为主动的姿态，他们指定哪些收益必须实现（不管如何使用资源），并且要以最低的成本实现所指明的收益２．成本收益平衡问题的共性是什么？所有的函数约束均为收益约束，并具有如下的形式：完成的水平＞＝最低可接受的水平３．收益限制的形式如何？完成的水平＞＝最低可接受的水平４．为解决成本收益平衡问题必须收集的三类数据包括哪些？每种收益的最低可接受水平（管理决策）每一种活动对每一种收益的贡献（单位活动的贡献）每种活动的单位成本Ｐ１１７（４）网络配送问题１．为什么这类问题为网络配送问题？这类问题通过配送网络能以最小的成本完成货物的配送，所以称之为网络配送问题２．网络配送问题的共性是什么？确定需求的约束，提供的数量＝需要的数量３．确定需求的约束与资源约束和收益约束的区别是什么？确定需求的约束：提供的数量＝需要的数量资源约束：使用的资源数量＜＝可用的资源数量收益约束：完成的水平＞＝最低可接受的水平Ｐ１２９（７）管理视角的建模１．为什么ｗｈａｔ－ｉｆ分析是线性规划的研究中非常重要的一个组成部分？尽管可能使用许多变异的模型，但是对于一个特定版本的模型，一次只能求得一个解，但是在求得一个解以后，管理层会有很多问题：如果模型的参数估计有误怎么办？如果做出不同的似是而非的假设，问题的将会如何变化？如果管理方面所要求的某一选项没有被考虑在内，会产生怎样的结果？Ｗｈａｔ－ｉｆ分析有助于解决上述等相关问题Ｐ１３１（８）线性规划应用经典回顾１．比较三种线性规划的应用，注意各种类型的问题应该使用哪一类型的线性规划模型（资源分配、成本收益平衡、网络配送以及混合问题）第五章（线性规划的Ｗｈａｔ－ｉｆ分析）Ｐ１５８（３）只有一个目标函数系数变动１．目标函数系数允许变化范围的含义是什么？能使最优解保持不变的目标函数系数的变化范围称为目标函数系数允许变化范围２．如果目标系数的估计值不是实际值，并且不在允许变化范围之内，会有怎样的影响？最优解不正确３．在Ｅｘｃｅｌ的灵敏度分析报告中，目标函数系数一栏该如何解释？允许增加值和允许减少值一栏又该如何解释？目标函数系数一栏：目标函数系数的现值允许增加值和允许减少值一栏：是这些系数在最优的范围内，允许增加和减少的量（１Ｅ＋３０）：１０的三十次方的缩写，表示无穷大Ｐ１６５（４）目标函数系数同时变动的影响１．目标系数变动百分比法则中，变动的百分比指什么？各个变动系数占该系数允许变化范围允许变动量的百分比之和（有方向）２．在百分百法则中，如果变动的百分比之和不超过100%，最初的最优解将如何？不会改变３．在百分百法则中，如果变动的百分比之和超过100%，是否就意味着最初的最优解已经不再是最优解？不能确定最优解是否改变Ｐ１７２（５）单个约束条件变化的影响１．为什么要研究函数的约束条件的变化带来的影响？因为在建模时,还不能得到模型的这些参数的精确值更重要的是:这些常数往往不是由外界决定而是由管理层的政策决策决定的２．为什么函数约束的右端值可能改变？这些常数往往不是由外界决定而是由管理层的政策决策决定的，因此，在建模并求解之后管理者想要知道如果改变这些决策是否会提高最终的收益３．影子价格的含义是什么？约束常数增加微小的量1，使得目标函数增加的量４．用电子表格如何找到影子价格？用Ｓｏｌｖｅｒ表格呢？用灵敏度报告呢？电子表格：改变某一约束条件的值，重新按下Solver键，尝试在约束条件变化范围内找出每单位约束条件变化引起的目标函数值的变化即为影子价格Ｓｏｌｖｅｒ表格：？灵敏度报告:Shadow price栏５．为什么管理者会对影子价格感兴趣？管理者可以用影子价格评价，在影子价格的有效域内幅度不大的改变工作时间的各种决策６．影子价格是否也同样适用于减少函数约束右端值的数值的情况？是７．影子价格０对管理者来说是什么意思？该影子价格对应的约束条件在其变化范围内对目前的最优解没有影响８．为什么管理层会对可行域感兴趣？？１７６（６）约束右端值同时变动的情形１．为什么要研究约束条件同时发生变化的情况？经常会出现需要我们考虑约束条件同时变动的情况。
数据模型——线性规划PPT课件
cj(j1,2, ,n)称为价值系数或目标函数系数
bi(i1,2, ,m) 称为资源常数或约束右端常数
a ij 0 (i= 1 ,..,m ;j= 1 ,..,n ) 称为技术系数或约束系数
概 念 和 模 型
紧缩形式：
n
max（或min） Z c j x j j 1 n max z cj xj j 1
24
x1 , x 2 0
(1.1a) (1.1b) (1.1c) (1.1d)
运用图解法，以求出最优生产计划 （最优解）。
图
由于线性规划模型中只有两个决策 变量，因此只需建立平面直角坐标系就
解
可以进行图解了。
法
1.建立平面直角坐标系，标出坐标原点, 坐标轴的指向和单位长度。
2.对约束条件加以图解，找出可行域。
定理 如果向量 的第 k 个分量k 0 ，而向量 B 1 Ak 0 ， 则原问题无界。
定理 对于非退化的基本可行解 x ，若向量 的第 k 个分量 k 0 ，而向量 B 1 Ak . 至少有一个正分量，则可以找到一个新的 基本可行解 xˆ 使得 c xˆ c x 。
给定一个非退化的基可行解 x ，对应的可行基为 B ，则等式约束变为：
解 的 概 念
线性规划问题
可行解：
n
max z c j x j j 1
s.t.
n j 1
aij x j
bi
(i 1,.., m)
x
j
0
（j 1,2, , n）
变量满足所有约束条件的一组值
可行解集：
所有可行解构成的集合
可行域：
可行解集构成n维空间的区域
AX b
x
0
D {x|Ab xx ,0 }
数据、模型与决策3
Session 3
Linear Programming Formulation and Applications 线性规划的建模与应用
Key Categories of LP Problems 线性规划问题主要类型
资源分配问题（resource-allocation） 成本收益平衡问题 （cost-benefit-trade-off） 网络配送问题（distribution-network）
混合问题（mixed Problem）
3.1 资源分配问题
资源分配问题是将有限的资源分配到各种活动（决策） 中去的线性规划问题。这一类问题的共性是在线性规划 模型中每一个函数约束均为资源约束 , 并且每一种资源 都可以表现为如下的形式：
使用的资源数量
可用的资源数量
对任何资源分配问题，有三种数据必须收集： （1）每种资源的可供量； （ 2 ）每一种活动所需要的各种资源的数量 , 对于每一种资 源与活动的组合 , 单位活动所消耗的资源量必须首先估 计出来； （ 3 ）每一种活动对总的绩效测度（如总利润）的单位贡献 （如单位利润）。
完成的水平最低可接受的水平
3.2 成本收益平衡问题
排班问题是成本收益平衡问题研究的最 重要的应用领域之一。在这一领域中，管 理层意识到在向顾客提供令人满意的服务 水平的同时必须进行成本控制，因此，必 须寻找成本和收益之间的平衡。于是，研 究如何规划每个轮班人员才能以最小的成 本提供令人满意的服务。 例 3.2 某航空公司正准备增加其中心机 场的往来航班，因此需要雇佣更多的服务 人员。不同时段有最少需要服务人员数， 有5种排班方式，每8小时为一班。
数据模型与决策概念简述
数据模型与决策概念简述数据模型与决策中理论主要有线性规划及其数学模型，线性规划的单纯行法，整数规划、运输问题、动态规划、网络计划技术、库存问题、预测与决策、博弈论等。
一、 线性规划与单纯形法确定影响决策问题的变量，进行分析，做具体方案，用线性函数进行表述。
确定目标函数最大或最小。
求解。
解决现实中实际问题，诸如合理下料问题、运输问题、生产的组织与计划问题、投资证券组合问题、分派问题、生产工艺优化问题。
解决问题是先建摸，设置决策变量，选择方案，确定目标函数，确定约束条件，约束条件一般为不等式或等式，最后确定决策变量的取值范围。
决策变量因为是现实中问题，一般不能为负，且是连续的，中间会有系数和等式约束值的限定。
问题的解决分为两类，一是在条件限定下，使得某一目标达到最大化，如何安排和计划，另一类是任务确定后，如何计划和安排，用最少的人力、物力和财力去实现任务，使成本最小。
函数表现式为：∑==nj j j X C Z 1max (min)),,2,1(0),,2,1(1n j X m i b X aj i n j j ij =≥=∑=≤=≥二维线性规划问题，图解法。
在平面直角坐标系上做图，将决策变量进行绘制，根绝约束条件找出可行域，进行平移，确定最优值。
变量都非负，所以图像在第一象限内。
求解过程中会有有可行解、无可行解的情况。
可行解中有最优解（有唯一最优解或无穷多最优解）或无最优解（无界解或无可行解）。
线性规划问题的标准形式分一般式、矩阵式、向量式、化标准形式。
化标准式，（1）目标函数，目标函数一般以最大值表示，当时求最小值时，转化为最大值，minz=max （-z ）（2）约束条件，将不等式变为等式，中间加入松弛变量，当不等式为小于等于时，左端加入非负松弛变量，当不等式为大于等于时，左端减去非负松弛变量。
（3）变量，变量无非负约束，对变量进行转换。
（4）右端项系数，右端项必须非负，在等式变换时进行变形。
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第三章 线性规划
数据、模型与决策 (第二版)
3.2.1 图解法的过程介绍
• 花瓶问题
• • • • • 目标函数 材料约束 时间约束 储存约束 非负约束 max z =12B+10S 2B+S≤160 （1） 1/3B+1/3S≤40 （2） 3B+2S≤260 （3） B≥0, S≥0
第三章 线性规划
第三章 线性规划 数据、模型与决策 (第二版)
第三章 线性规划
• 3.1 线性规划问题概述 • 3.2 线性规划问题的图解法 • 3.3 单纯形法 • 3.4 对偶问题 • 3.5 敏感性分析
第三章 线性规划
数据、模型与决策 (第二版)
3.1 线性规划问题概述
• 3.1.1 线性规划问题中的主要概念 • 3.1.2 线性规划问题的数学模型
第三章 线性规划
数据、模型与决策 (第二版)
3.1.1 线性规划问题中的主要
概念
• 目标（objective）: 所要达到的最优结果（最大或最 小）。 • 约束条件（constraints）：对所能产生结果的限制。
• 线性规划：一种解决带有约束条件的最优化问题的方 法。 • 解决线性规划问题的步骤
第三章 线性规划 数据、模型与决策 (第二版)
线性规划问题的数学模型
工序 花瓶种类 占用材料 （OZ） 2 1 160 艺术加工 （小时） 1/3 1/3 40 储存空间 （一单位） 3 2 260 利润值 （元） 12 10 ——
大花瓶 小花瓶 每周可用能力
B表示大花瓶每周生产的数量，S表示小花瓶每周生产的数量。
第二篇 规划和优化模型
第三章 线性规划
数据、模型与决策 (第二版)
第三章 线性规划
第三章 线性规划
数据、模型与决策 (第二版)
学习目的
线性规划是运筹学的一个重要分支。通 过对本章的学习要求：
• 能够掌握线性规划问题中的主要概念 • 能够掌握线性规划问题中的线性规划的标准形式 • 能够掌握线性规划问题的求解方法——图解法及单纯 形法 • 理解线性规划问题解的概念和基本定理 • 了解线性规划问题的敏感性分析以及善于建立线性规 划模型来解决一些实际问题。
第三章 线性规划 数据、模型与决策 (第二版)
约束条件 • 2B+S≤160 • 1/3B+1/3S≤40 • 3B+2S≤260 • B≥0, S≥0 目标函数： • max z =12B+10S
第三章 线性规划 数据、模型与决策 (第二版)
数学模型表述如下 • 目标函数 max z =12B+10S • 材料约束 2B+S≤160 • 时间约束 1/3B+1/3S≤40 • 储存约束 3B+2S≤260 • 非负约束 B≥0, S≥0
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数据、模型与决策 (第二版)
约束条件：
• 各项目投资总和为1,000,000元 x1 + x2 + x3 + x4+ x5 = 1,000,000 • 所得红利最少为80,000元 0.05 x1 + 0.08 x2 + 0.07 x3 + 0.06 x4+ 0.1 x5≥ 80,000 • 增加额不低于140,000元 1x1 + 0.17 x2 + 0.14 x3 + 0.22 x4+0.7 x5≥140,000 • 平均信用度不低于6 (11 x1 + 8 x2 + 10 x3 + 4 x4+10 x5)/5≥6 • 非负约束 xi ≥ 0 ( i =1,2,3,4,5)
航空业的成本控制
• 那时，联行在其11个航班订票处，有超过4，000名的机场销售代 表和支持人员。在十个最大的机场大约有一千名顾客服务代表， 有些时兼职的，每班2到8个小时不等，大部分是全职的，每班8现 实或10小时，有许多个不同的上班时间。每个订票处都有一天24 小时营业（通过电话订票。然而，每个地点提供所需水平服务的 雇员数量在一天24小时种的变化很大，或许美国半个小时就会有 很大的变化。 • 为了更有效率的满足服务要求，在每个地点为所有工作人员设计 动作排成，是一个组合的梦魇。一旦一名雇员上了班，就会工作 一个班次，只有就餐和每个两个小时的短暂的休息时间，给定24 小时的一天中每半个小时各的服务所需的最小雇员数，在七天一 周中，24小时一天中每个班次需要多少雇员并且合适上班呢？ • 幸运的是，线性规划能解决这些组合梦魇问题。据有形估计，建 立在线性规划基础上的计算机规划系统每年为联合航空公司在直 接薪酬和津贴成本上节省了600万美元，得到的其他好处包括改善 第三章 线性规划 数据、模型与决策 (第二版) 客户服务以及降低雇员的工作负担。
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• 实例分析：
• 某石油公司利用三种有生产两种混合原料。每种油的 成本和每天的可用量如下表所示：
油 A B C
燃料1 燃料2 第三章 线性规划 A：最多占25% A：最少占20%
成本（元/升） 8 10 12
B：最少占30% B：最多占50%
可用量（升） 10,000 15,000 20,000
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• • • • • • • •
而三种油的成本为： 8×(A1+A2)+10×(B1+ B2)+12×(C1+ C2 ) 利润是销售收入和成本之差，作为目标函数可以表示如下： max z =22×A1+27 A2 +20 B1+25B2+18 C1+23 C2 三种可用的原料油的约束为： A1+A2≤10,000 B1+ B2≤15,000 C1+ C2≤20,000
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3.2.2规划问题求解的几种可
能结果
• 无穷多最优解 • 无界解 • 无解或者无可行解
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3.2.3图解法延伸
• 图解法的解体方法和几何判断对于求解 一般的线性规划问题有很大启发：
• 1、性规划问题的解的情况有以下几种：唯一最优解；无穷多最优 解；无界解；无可行解。 • 2、线性规划问题有解，那么可行域是凸集。 • 3、规划问题优解存在，那么唯一最优解一定是可行域凸集的某个 顶点；无穷最优解一定是可行域的某个边或某个面。 • 4、规划问题的一般解体思路：先找出凸集的任一顶点，计算该点 处目标函数值，与周围相邻顶点处的目标函数值相比较，如果该 点值最大，那么该点就是最优解或者最优解之一；如果不是，那 么就对目标函数值比该点大的另一点重复此过程，直到找出最优 解。
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图解法的步骤：
• 其中一个变量作为横坐标轴，另一个变量作为纵坐标轴，画出平 面直角坐标系，并适当选取单位坐标长度，由于变量是非负的， 因此，画出坐标系的第一象限即可。 • 出各约束条件在坐标轴上对应的直线，找出可行域（常用阴影区 域标识）。 • 图标目标函数，z是一个待求的目标函数值。目标函数常用一组平 行虚线表示，离坐标原点越远的虚线表示的目标函数值越大。 • 确定最优解。因为最优解是可行域中使目标函数值达到最优的点， 当目标函数直线由原点开始向右上方移动时，z值开始增大，一直 移到目标函数直线与可行域相切时为止，切点就是最优解的点。
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各种原料油所占比例的六个约束： A1≤0.25×(A1+B1+C1) B1≥0.3×(A1+B1+C1) C1≤0.4×(A1+B1+C1) A2≥0.2×(A2+B2+C2) B2≤0.5×(A2+B2+C2) C2≥0.3×(A2+B2+C2) 长期供货合同约束： A1+B1+C1≥10,000 A2+B2+C2≥10,000 非负约束： Ai，Bi，Ci≥0 (i=1,2)
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直线把图分为两部分，直线上方的点都不符合约束条件， 而直线上和直线下方的点都满足约束条件。
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最优解为： • B=20, S=100 将B和S值代入目标函数中得： • Z=12×20+10×100=1240 所以最大利润值是1240。
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• 3.1 线性规划问题概述 • 3.2 线性规划问题的图解法 • 3.3 单纯形法 • 3.4 对偶问题 • 3.5 敏感性分析
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3.2线性规划问题的图解法
• 3.2.1 图解法的过程介绍 • 3.2.2 规划问题求解的几种可能结果 • 3.2.3 图解法延伸
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• A集团的目标为：投资风险最小，每年红 利至少是80,000元，最低平均增长率14%， 最低平均信用度为6，请用线性规划方法 描述该问题。
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• 决策变量为个项目的投资数额，设为xi ( i =1,2,3,4,5) • 目标函数： min z = ( 0.1x1 + 0.06x2 +0.18x3 + 0.12x4+ 0.04x5 )