算术平均值及中误差-桂林工学院(精)
分析化学中的误差及数据处理(精)
第三章 分析化学中的误差及数据处理本章基本要求:1 掌握误差和偏差的基本概念、准确度与精密度的概念和衡量其大小的方式；了解误差的分类、特点、产生的原因及其减免测定误差的措施。
了解准确度与精密度之间的关系和它们在实际工作中的应用。
2 掌握有效数字的概念、有效数字在分析测定中的应用规则、可疑数据的取舍和有效数字的运算规则。
3 掌握平均值的置信区间的概念和计算；掌握t 检验法、F 检验法以及Q 检验法的应用；了解随机误差的分布特征—正态分布。
4 掌握通过选择合适的分析方法、用标准样品对照、减小测量误差和随机误差、消除系统误差等提高分析结果准确度的方法。
分析人员用同一种方法对同一个试样进行多次分析，即使分析人员技术相当熟练，仪器设备很先进，也不可能做到每一次分析结果完全相同，所以在分析中往往要平行测定多次，然后取平均值代表分析结果，但是平均值同真实值之间还可能存在差异，因此分析中误差是不可避免的。
§3.1 分析化学中的误差一 真值（x T ）某一物理量本身具有的客观存在的真实值。
真值是未知的、客观存在的量。
在特定情况下认为是已知的：1 理论真值（如某化合物的理论组成，例：纯NaCl 中Cl 的含量）2 计量学约定真值（如国际计量大会确定的长度、质量、物质的量单位如米、千克等；标准参考物质证书上给出的数值;有经验的人用可靠方法多次测定的平均值，确认消除了系统误差。
）3 相对真值（如认定精确度高一个数量级的测定值作为低一级测量值的真值。
（如标准试样（在仪器分析中常常用到）的含量） 二 平均值（x ） 12...nx x x x n+++=强调：n 次测量值的算术平均值虽不是真值，但比单次测量结果更接近真值，是对真值的最佳估计，它表示一组测定数据的集中趋势。
三 中位数 （x M ）一组测量数据按大小顺序排列，中间一个数据即为中位数ＸＭ，当测量值的个数位数时，中位数为中间相临两个测量值的平均值。
例1. 小 10.10，10.20，10.40，10.46，10.50 大 x ＝10.33 x M ＝10.40 例2. 10.10，10.20，10.40，10.46，10.50，10.54 x ＝10.37 x M ＝10.43它的优点是能简单直观说明一组测量数据的结果，且不受两端具有过大误差数据的影响。
大学物理实验教学中有效数字运算的几点讨论
大学物理实验教学中有效数字运算的几点讨论作者：唐文强来源：《科技视界》 2014年第26期唐文强（桂林理工大学理学院，广西桂林 541004）【摘要】本文结合笔者多年的教学体会，通过列举实例探讨有效数字运算规则，为初学者加深对有效数字运算规则的认识。
【关键词】有效数字；加减法运算；乘除法运算；算术平均值；累积测量大学物理实验课是一门基础课程，是学生进入大学的第一门基础实验课，是后续实验课的基础。
这门课程首先介绍测量误差及数据处理的基础知识，其中涉及到有效数字的运算，在许多实验教材中，对有效数字运算仅仅给出运算规则、结论性的规则，没有告诉初学者规则之所以然；而且，有的文献谈及有效数字运算过程中对参与运算的各分量修约到第几位数尽不相同、甚至不修约[1]，运算结果保留几位有效位数说法不统一[2]，使得初学者难以理解，容易混淆，不便记忆。
本文通过列举实例讨论有效数字运算几个规则。
1 几个基本概念和结论（1）对于一组测量数据，其结果可疑数字所在位数越高不确定度越大。
（2）对于一组测量数据，其结果有效数字位数越多相对不确定度越小。
（3）测量结果的有效数字位数由不确定度来确定，测量值的最后一位一般要与不确定度的最后一位取齐。
（4）当不确定度的首位数字≤3，不确定度的有效数字可取两位；当首位数字大于3时，可只取一位有效数字[3]。
（5）间接测量量合成不确定度的两个计算公式:间接测量量N=f（x1，x2，…，xn），其中x1，x2，…，xn为若干直接测量量。
则:2 有效数字运算规则间接测量结果的得出必须经过有效数字的运算，运算结果中保留的有效数字位数，应当以不确定度传递公式来决定。
如果在实验中没有进行不确定度的估算，最后结果的有效位数由算式中不确定度最大的分项来确定。
按照有效数字的定义，有效数字最后一位是不确定度所在的位置，为了方便讨论，我们假定所有的数据最后一位都有1的不确定性。
2.1 加减法运算规则加减运算，以参与运算的各分量中末位数量级最高的量为准，其余各分量在运算过程中均比它的末位多留一位，运算结果与它取齐。
测量学 5测量误差分析与精度评定
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解法2:
z=3x-y+2l –10， x=2l+5, z=6l+15-3l+6+2l –10
=5l+11 所以：mz =5ml
y=3l-6
两种方法，两样结果，哪里错了？？？？
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例2:已知AB两点间的水平距离 D=206.205±0.020 m，在A点安置经纬仪测得 AB直线的高度角α =12 ̊ 20 ̍ 30 ̎ ±30 ̎，计算AB 间的高差h，及其中误差 mh 。
最或似值如何求？ 2.权
权是衡量观测值或观测值函数精度高低的量， 在求最或似值时，必须考虑精度高低，要以权来
衡量。
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权的定义：
Pi
C mi2
式中：C 是任一数， 根据实际情况定。
等于1的权叫单位权， 权为1的中误差叫单位权中误差(m0 )。
所以权的又一表示方法：
中误差的又一形式：
中误差 允许误差 相对误差
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2.中误差
在相同条件下，对某量（真值为X）进行n
次独立观测，观测值l1， l2，……，ln，偶然
误差（真误差）Δ1，Δ2，……，Δn，则中误 差m的定义为：
m
n
式中 ： 2021/6/29
21 22 23 ... 2n , i li x
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➢ 2.线性函数中误差
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➢ 3.运用误差传播定律的步骤
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现代普通测量学(第2版)课后习题参考答案
现代普通测量学(第2版)课后习题参考答案《现代普通测量学》习题参考答案第1章 绪 论略!!!!!!!第2章 测量学的基础知识一、学习目的与要求1.掌握测量学的基础知识，清楚参照系的选择以及地面点定位的概念。
2.了解水准面与水平面的关系。
3.明确测量工作的基本概念。
4.深刻理解测量工作的基本原则。
5.充分认识普通测量学的主要内容。
二、课程内容与知识点1.地球特征，大地水准面的形成，地球椭球选择与定位。
地球形状和大小。
水准面的特性。
参考椭球面。
2.确定点位的概念。
点的平面位置和高程位置。
3.测量中常用的坐标系统，坐标系间的坐标转换。
天文坐标（λ，φ），大地坐标（L ，B ），空间直角坐标（X ，Y ，Z ），高斯平面直角坐标（x ，y ），独立平面直角坐标（x ，y ）。
高斯投影中计算带号的公式：()()取整数部分取整数部分=+︒-==+=13/'30116/P P n N λλ 计算中央子午线的公式：n N 33636=︒-︒=︒︒λλ4.地面点的高程。
1985年国家黄海高程基准。
高程与高差的关系：''A B A B AB H H H H h -=-=。
5.用水平面代替水准面的限度。
对距离的影响：223R D D D ≈∆ 对水平角的影响："6.0≤ε对高差的影响：R D h 2/2=∆6.测量工作的基本概念。
测量工作的原则：从整体到局部、先控制后碎部；步步检核。
测量工作的内容：地形图测绘，施工测量。
三、习题与思考题1.何谓大地水准面？它在测量工作中起何作用？答：静止平衡状态下的平均海水面, 向大陆岛屿延伸而形成的闭合水准面。
特性: 唯一性、等位面、 不规则曲面；作用：测量野外工作的基准面。
2. 测量中常用的坐标系有几种？各有何特点？不同坐标系间如何转换坐标？答：测量中常用的坐标系统有：天文坐标系、大地坐标系、高斯平面直角坐标系、独立平面直角坐标系。
3. 北京某点的大地经度为116º20′，试计算它所在的六度带和三度带带号，相应六度带和三度带的中央子午线的经度是多少？答：()().391]3/'301[;201191]6[=+︒-==+=+=P P n N λλ L 0=6 ºN-3 º=117 º ；L ’0 =3ºn=117 º。
5.2误差传播及平差计算
（1）误差传播定律1）误差传播定律的概念在实际测量工作中，某些未知量不可能或不便于直接进行观测，而需要由另一些直接观测量根据一定的函数关系计算出来，这时函数中误差与观测值中误差必定有一定的关系。
阐述观测值中误差与观测值函数中误差之间关系的定律称为误差传播定律。
误差传播定律包括线性函数的误差传播定律、非线性函数的误差传播定律。
设有一般函数：其分微分为：可写成：其相应的函数中误差式为：即：上式就是一般函数的误差传播定律，利用它可以导出简单函数的误差传播定律：①倍数函数的中误差倍数函数：Z=KX则有：结论：观测值与常数乘积的中误差，等于观测值中误差乘常数。
②和(差)函数的中误差A.和(差)函数：Z=X1±X2且X1、X2独立，则有: m z2=m x12+m x22结论：两观测值代数和的中误差平方，等于两观测值中误差的平方和。
B.当Z是一组观测值X1、X2……X n代数和(差)的函数时，即：Z=X1±X2±...±X n则Z的中误差的平方为：m z2=m x12+m x22+...+m xn2结论：n个观测值代数和(差)的中误差平方，等于n个观测值中误差平方之和。
C.在同精度观测时，观测值代数和(差)的中误差，与观测值个数n的平方根成正比.即m z=m·（n）1/2③线性函数线性函数: Z=K1X1±K2X2±...±K n X n则有: m z=±[(k1m1)2+(k2m2)2+...+(k n m n)2]1/22）误差传播定律的应用误差传播定律在测绘领域的应用十分广泛，利用它既可求观测值函数的中误差，又可确定容许误差值。
应用误差传播定律求观测值函数的中误差时，按下面步骤进行：①按问题性质列出函数；②对函数式求全微分，得出函数真误差与观测值真误差间的关系式；③代入误差传播定律公式，求出函数的中误差。
（2）等精度直接观测平差在相同条件下进行的观测是等精度观测，所得到的观测值称为等精度观测值。
定量分析中的误差和数据处理详解
系统误差 (影响准确度)
随机误差 (影响精密度)
操作错误 (不属于误差)
仪器误差
方法误差
操作误差
环境温度、湿度和气压等的微 小波动；
仪器性能的微小变化等。 试剂加错，仪器刻度读错，滴 定操作错误，终点颜色判别及记 录和计算错误等。
减免误差的方法 选用适宜的试剂
做空白实验 校准仪器 对照实验 熟练掌握操作规范
（1）随机误差产生的原因 ① 环境条件（温度、湿度和气压等）的微小波动。 ② 仪器性能的微小变化等。
二、误差产生的原因及减免的方法
（2）随机误差的特点 ① 绝对值相等的正误差和负误差 出现的几率相等，呈对称；
② 小误差出现的机会大，大误差 出现的机会少，绝对值特别大的 正、负误差出现的几率非常小；
【例题2-2】用酸碱滴定法测定某混合物中乙酸含量，五次平行测定结果分
别为10.48%、10.37%、10.47%、10.43%、10.40%，试计算单次分析结果的
平均偏差、相对平均偏差及标准偏差。
解：
x /%
10.48
| d i | /%
0.05
d
2 i
2.5×10-7
10.37
0.06
3.6×10-7
一、定量分析结果的表示方法
2．液体试样
（1）质量浓度
B
mB V
单位：g/L、mg/L、μg/L或μg/mL、ng/mL及pg/mL等。
（2）物质的量浓度 cB
（3）质量分数
wB
mB m
nB V
（mol/L ）
（4）体积分数
B
VB V
3．气体试样
体积分数
B
VB V
二、分析数据的统计处理
误差基本知识及中误差计算公式
测量误差按其对测量结果影响的性质，可分为：一.系统误差（system error）1.定义：在相同观测条件下，对某量进行一系列观测，如误差出现符号和大小均相同或按一定的规律变化，这种误差称为系统误差。
2.特点：具有积累性，对测量结果的影响大，但可通过一般的改正或用一定的观测方法加以消除。
二.偶然误差（accident error）1.定义：在相同观测条件下，对某量进行一系列观测，如误差出现符号和大小均不一定，这种误差称为偶然误差。
但具有一定的统计规律。
2.特点：（1）具有一定的范围。
（2）绝对值小的误差出现概率大。
（3）绝对值相等的正、负误差出现的概率相同。
（4）数学期限望等于零。
即：误差概率分布曲线呈正态分布，偶然误差要通过的一定的数学方法（测量平差）来处理。
此外，在测量工作中还要注意避免粗差（gross error）（即：错误）的出现。
§2衡量精度的指标测量上常见的精度指标有：中误差、相对误差、极限误差。
一.中误差方差——某量的真误差，[]——求和符号。
规律：标准差估值（中误差m）绝对值愈小，观测精度愈高。
在测量中，n为有限值，计算中误差m的方法，有：1.用真误差（true error）来确定中误差——适用于观测量真值已知时。
真误差Δ——观测值与其真值之差，有：标准差中误差（标准差估值），n为观测值个数。
2.用改正数来确定中误差（白塞尔公式）——适用于观测量真值未知时。
V——最或是值与观测值之差。
一般为算术平均值与观测值之差，即有：二.相对误差1.相对中误差=2.往返测较差率K=三.极限误差（容许误差）常以两倍或三倍中误差作为偶然误差的容许值。
即：。
§3误差传播定律一.误差传播定律设、…为相互独立的直接观测量，有函数，则有：二.权（weight）的概念1.定义：设非等精度观测值的中误差分别为m1、m2、…mn，则有：权其中，为任意大小的常数。
当权等于1时，称为单位权，其对应的中误差称为单位权中误差（unit weight mean square error）m，故有：。
浅谈统计中算术平均数与几何平均数的正确应用
浅谈统计中算术平均数与几何平均数的正确应用朱艳;季桂林【摘要】本文借助于实例通过对算术平均数和几何平均数的比较，对两者的应用范畴做了系统分析，针对不同的情况，不同的资料，采用合适的平均数度量，以解决实践中对几何平均数的误用。
【期刊名称】《济南职业学院学报》【年(卷),期】2012(000)006【总页数】2页(P54-55)【关键词】几何平均数;算术平均数;运用【作者】朱艳;季桂林【作者单位】济南职业学院,山东济南250103;济南职业学院,山东济南250103【正文语种】中文【中图分类】O212.1几何平均数、算术平均数是描述总体现象集中趋势的主要测量指标，主要用来对比同类现象在不同空间、不同时间、不同条件下的差异分析。
对研究现象的数据集中趋势、代表性问题等的描述中发挥着重要的作用，是社会经济统计分析必不可少的统计指标。
在学习“平均指标”这一内容时，学生一般对“算术平均数”的实际意义和计算方法能较好地掌握，但对“几何平均数”概念的理解和应用往往产生偏差，常常用算术平均数代替几何平均数。
再者，对于算术平均数和几何平均数两者的关系，许多统计教材中都这样来解释:利用同一种资料计算出来的算术平均数大于或等于几何平均数，用符号表示简记为X≥G，这仅是从数学角度的数量关系上考虑的。
但统计的研究对象是社会经济现象总体的数量方面，通过对大量社会经济现象的数量研究来反映社会现象发展在具体时间、地点和条件下的数量特征，并非是抽象的纯数量的研究，“不象数学那样撇开事物的质来研究抽象的数量关系和空间形式”。
因此，在研究算术平均数与几何平均数之间的数量关系时就必须结合社会经济现象的质来研究“而不能进行纯粹的数量研究”。
下面通过例题来说明几何平均数、算术平均数在实际运用中的选择。
1 从单、复利的计算中比较两者的区别不同的平均数各有其不同的应用场合、优缺点和局限性。
不同的统计资料，使用不同的平均数度量会得到不同的计算结果，有时甚至会得出与实际情况有本质不同的结果。
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算术平均值及中误差
(一)算术平均值
当观测值的真值未知时，通常取多次观测值的算术平均值作为最后结果，并认为它时最可靠的，用来代替真值。
算术平均值比组内任一观测值更为接近于真值，证明如下：
设对某量进行一组等精度观测，观测值分别为n L L L ,,,21 ，未知量的真值为x ，观测值的真误差分别为：n ∆∆∆,,,21 则
⎪⎪⎭
⎪
⎪⎬⎫-=∆-=∆-=∆n n L x L x L x 2211 4—28 将上式取和再除以n ，得
[][]L x n
L x n
-=-=∆ 4—29
式中：L ——观测值得算术平均值，显然 [][]n
x n
L L ∆-==
4—30
根据偶然误差的第四个特性，有 []x n
x L n n =∆-=∞
→∞
→)(
lim lim 4—31
观测次数n 无限增大时，算术平均值L 趋近于未知数的真值x ；当n 为有限时，算术
平均值最接近于真值，称其为最或然值，或称最可靠值。
（二）算术平均值中误差
观测值的最或然值与观测值之差，称为观测值改正数。
当等精度观测时，算术平均值L 与观测值l 之差，即为观测值V 。
⎪⎪⎭
⎪
⎪
⎬⎫
-=-=-=n n L L V L L V L L V 2211 4—32 则有
[][]L L n V -= 4—33 由式[]n
L L =
代入可知：
[]0=V 4—34
（4-34）式说明观测值改正数的一个重要特征：在等精度观测条件下，观测值改正数的
总和为零。
在实际测量工作中，观测值的真值x 是未知的，在等精度观测中，往往只知道算术平均值L 和观测值改正数V ，这就不能用（4-5）式来计算观测值的中误差。
而用观测值的改正数V 代替真误差，可推导出计算观测值的中误差公式(4-8)式：
[]1
-±
=n VV m
上式称白塞尔公式。
现根据观测值的中误差，计算算术平均值中误差M 。
由算术平均值计算公式n
L L L L n
+++=
21，利用误差传播定律得：
2
22222122111n m n
m n m n M +++= 4—35
由于是等精度观测，则有：
m m m m n ==== 21 4—36 可得：
n m M 22
= 即n
m
M = 4—37
将（4-8）式代入得：
[]
)
1(-±
=n n VV M 4—38
(4-37)式表明，算术平均值中误差为观测值的中误差的
n
1
，M 恒小于m ，所以在实际工作中，可以用算术平均值作为观测结果，增加观测次数，可提高观测精度。
例6: 设用经纬仪测量某角度6个测回，观测值见下表，求观测值的中误差m 、算术平均值L 及其中误差M 。
利用白塞尔公式计算观测值的中误差m ，利用（4—36）计算算术平均值的中误差M ，
即
[]4.1)16(660)1(''±=-⨯±=-±==n n vv n
m M
最后结果及其精度为：
4.1542455''±'''=
L。