高阶导数莱布尼茨公式
2-10高阶导数的概念及常见高阶导数公式
2-10高阶导数的概念及常见高阶导数公式模块基本信息一级模块名称 微分学二级模块名称基础模块三级模块名称 高阶导数的概念及常见高阶导数公式模块编号 2-10 先行知识导数的概念 模块编号2-2知识内容 教学要求掌握程度1、高阶导数的概念 1、理解高阶导的概念一般掌握2、常见初等函数的高阶导数 2、熟记常见初等函数的高阶导3、莱布尼兹公式3、掌握隐函数高阶导的求解（一般是二阶）4、隐函数的高阶导数4、掌握参数方程高阶导的求解（一般是二阶）5、参数方程的高阶导数5、熟记正弦、余弦等常见函数的n阶导数公式能力目标 1、提高学生的观察分析能力2、培养学生的逻辑思维、类比推导能力时间分配45分钟编撰黄小枚校对方玲玲审核危子青修订肖莉娜 二审 危子青一、正文编写思路及特点：思路：本文先借助速度和加速度的概念引出高阶导数的定义，然后分别介绍常见的初等函数的高阶导数、莱布尼兹公式、隐函数的高阶导数、参数方程的高阶导数。
特点：通过实际问题引出高阶导数的概念，在求解高阶导数时分类进行讲解，层层递进，有助于学生理解和掌握。
二、授课部分 1.引例（1） 变速直线运动的速度)(t v 是位置函数)(t s 对时间t 的导数，即)()('t s t v = 或dtdst v =)( （2） 速度函数)(t v 对时间t 的变化率就是加速度)(t a ，即)(t a 是)(t v 对t 的导数：[]'')(')()(t s t v t a ==或)()(dtdsdt d t a =（3）加速度)(t a 就是位置函数)(t s 对时间t 的导数的导数，称为)(t s 对t 的二阶导数，记为)(''t s 或22dtsd2．高阶导数的定义设y=f(x)在某区间上可导，即有 ()x f ' 存在，如果()x f '也可导，则称()x f ' 的导数为函数 f(x) 的二阶导数。
高等数学(上)(褚宝增 陈兆斗主编)北京大学出版社出版--高阶导数
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例8. 设
求
1 2 y , 即 (1 x ) y 1 解: 2 1 x 用莱布尼茨公式求 n 阶导数
(1 x 2 )
令 由 由 即y
(n)
2x
得 得
2
y ( 2 m) (0) 0
得 y ( 2 m 1) (0) (1) m (2m) ! y (0)
y ( y)
d2 y d dy 或 ( ) 2 d x dx dx
类似地 , 二阶导数的导数称为三阶导数 , 依次类推 ,
n 1 阶导数的导数称为 n 阶导数 , 分别记作
或
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例1. 设
解:
求
y a1 2a2 x 3a3 x 2 nan x n 1 y 2 1a2 3 2a3 x n(n 1)an x n 2
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3. 试从
导出
d 2 x d dx d 1 d x 解： d y 2 d y d y d x y d y 1 y
d x 同样可求 3 dy
(见 P103 题4 )
3
作业
P103 1 (9) , (12) ; 10 (2) ; 3 ; 4 (2) ; 6 ; 9 ; *11 (2) , (3)
u ( k ) 2 k e 2 x ( k 1 , 2 ,, 20 ) v 2x , v 2 ,
v (k ) 0
( 20)
(k 3 ,, 20)
2
代入莱布尼茨公式 , 得
y
高阶导数根号例题
高阶导数根号例题二阶以及二阶以上的导数，统称高阶导数高阶导数四大解法：变形成n阶四公式形式莱布尼茨公式（常需利用n阶四公式）泰勒公式化得多项式观察规律法首先，要想解高阶导数又快又准，n阶四公式绝对是基础中的基础，所以，请务必记住n阶四公式：{(^m)}^{(n)}=m(m-1)(m-2)\cdot(m-n+1)^{m-n}\quad(m\geq n){(a^)}^{(n)}=(\ln a)^{n}a^(\ln )^{(n)}=\frac{{(-1)}^{n-1}(n-1)!} {^n} （由(\ln )'=\frac{1} {} ，有 {(\frac{1} {})}^{(n)}=\frac{(-1)^nn!} {^{n+1}} ）{(\in )}^{(n)}=in (+\frac{n\pi} {2}) （ {(\co )}^{(n)}={co (+\frac{n\pi} {2})} ）所谓n阶四公式，即幂函数、指数函数、对数函数、三角函数最简单形式的n阶导数的值。
但是通常，题目不会直接让我们求这四个函数，一般我们要求的，都是 n 阶四公式形式的函数，比如说，求的是 {(a+b)}^{(n)} ，{[\ln(a+b)]}^{(n)} ， {[in (k+b)]}^{(n)}我们只要记住了形式简单的n阶四公式，就可以很快地推出n阶四公式形式的函数。
所以，现在，请立刻开始把n阶四公式记住，不要说留到后面再背，告诉自己，我现在就要记住n阶四公式，并且我不会忘了。
只有我们有坚定说要去记住，才真的更容易记牢，这是我自己的感受。
好，现在我们记住了n阶四公式。
因为是最简单的形式，所以记起来也还行。
ok，前面说了这么多，其实就讲了一样东西，叫 n 阶四公式。
为了检验你是否掌握，请你拿出纸笔，求：f()=\ln (1-) 的 n 阶导数。
（答案在文末，题号为① ）上面的问题你答对了吗？答对了就点个赞吧！好，现在，停下来，休息一下，放松地思考一下，下面两个问题：{[(a+b)^m]}^{(n)} ，{[\ln (a+b)]}^{(n)} ， {[in (k+b)]}^{(n)}上面的三个n阶导数求出来是什么？问题难度适中，相信你能思考出来。
高等数学 第2章 第五节 高阶导数
2
同样可求得
cos xn cos x n .
2
例6 求y ln1 x的n阶导数.
解
y ln1 x,
y 1 , 1 x
y
1
1
x 2
,
y
12
1 x3
,
y4
123
1 x4
,
, y n 1 n1 n 1! . 1 xn
6
例7 求f x x 1的n阶导数.
解:
f
x
1
x
1
4
例4 求n次多项式y a0 xn a1 xn1 an1 x an的n阶导数.
解：
y na0 x n1 n 1a1 x n2 2an2 x an1 ,
y nn 1a0 xn2 n 1n 2a1 xn3 3 2an3 x 2an2 ,
,
y n n!a0 .
uv uv 2uv uv uv 3uv'3uv uv,
,
uv n unv nun1v nn 1 un2v
2!
nn 1n 2n k 1 unk vk uvn .
k!
9
莱布尼兹公式可用数学归纳法给出证明(自己证）。
莱布尼兹公式可写成下面形式：
uv
n
n
k 0
Cnk
代入莱布尼兹公式,得
k 1,2,,20,
k 3,4,,20,
y20 x2e2x 20
220 e2x x2 20 219 e2x 2x 20 19 218 e2x 2
2!
220 e2x x2 20x 95 .
11
补充例题： y xe x ,
求y (n)
解： y ( xe x ) xe x x e x ( x 1)e x
一类函数的高阶导数公式
一类函数的高阶导数公式常见的一类函数的高阶导数公式如下：注：下图中a,k为任意实数(k≠0),n、m为任意正整数导数（Derivative）是微积分中的重要基础概念。
当函数y=f （x）的自变量x在一点x0上产生一个增量Δx时，函数输出值的增量Δy与自变量增量Δx的比值在Δx趋于0时的极限a如果存在，a即为在x0处的导数，记作f'（x0）或df （x0）/dx。
导数是函数的局部性质。
一个函数在某一点的导数描述了这个函数在这一点附近的变化率。
如果函数的自变量和取值都是实数的话，函数在某一点的导数就是该函数所代表的曲线在这一点上的切线斜率。
导数的本质是通过极限的概念对函数进行局部的线性逼近。
例如在运动学中，物体的位移对于时间的导数就是物体的瞬时速度。
不是所有的函数都有导数，一个函数也不一定在所有的点上都有导数。
若某函数在某一点导数存在，则称其在这一点可导，否则称为不可导。
然而，可导的函数一定连续；不连续的函数一定不可导。
对于可导的函数f(x)，x↦f'(x)也是一个函数，称作f(x)的导函数（简称导数）。
寻找已知的函数在某点的导数或其导函数的过程称为求导。
实质上，求导就是一个求极限的过程，导数的四则运算法则也来源于极限的四则运算法则。
反之，已知导函数也可以倒过来求原来的函数，即不定积分。
微积分基本定理说明了求原函数与积分是等价的。
求导和积分是一对互逆的操作，它们都是微积分学中最为基础的概念。
设函数y=f（x）在点x0的某个邻域内有定义，当自变量x 在x0处有增量Δx，（x0+Δx）也在该邻域内时，相应地函数取得增量Δy=f（x0+Δx）-f（x0）；如果Δy与Δx之比当Δx→0时极限存在，则称函数y=f（x）在点x0处可导，并称这个极限为函数y=f（x）在点x0处的导数记作①；②；③，即需要指出的是：两者在数学上是等价的。
莱布尼兹公式好比二项式定理，它是用来求f(x)*g(x)的高阶导数的。
高数一 2-4 高阶导数
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• 几个 n 阶导数公式
• 讨论
(ekx )(n) k nekx
(
x
1
a
)(n)
(1)n
(x
n! a)n1
[ln(
x
a)](n)
(1)(n1)
(n 1)! (x a)n
(sin x)(n) sin( x n )
2
(cosx)(n) cos(x n )
2
解2 y x3 x3 1 1 x2 x 1 1 ,
x 1 x 1 x 1
x 1
y(10) (x2 x 1)(10)
1
(10)
x 1
(1)10
10! (x 1)11
10! (x 1)11
.
12
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例例49．求由方程
x
y
1 2
sin
y
0
所确定的隐函数
y
的二阶导数
证证明明 因因为为 yy 2222xx 11xx 22 22xxxx22 22xxxx22
y
2x x2 (1 x) 22x 2 2x x2
2x x2 (1 x)2
2x x2
(2x x2) (2x x2
2x x2 (1 x)2 (2x x2) (2x x2)
1
3
(2x x2)2
高阶导数
❖高阶导数的定义 ❖高阶导数求法举例
1
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❖高阶导数的定义
• 加速度
a(t) dv v(t) [s(t)] dt
变限积分求导莱布尼茨公式
变限积分求导莱布尼茨公式莱布尼茨公式是微积分中非常重要的公式之一，它提供了一个计算复杂函数的导数的方法。
莱布尼茨公式可以用于求解含有参数的积分和乘积的导数，它的应用范围非常广泛。
在本篇文章中，我们将详细介绍莱布尼茨公式的推导过程，并且给出一些具体的例子来帮助读者更好地理解这个公式。
为了推导莱布尼茨公式，我们需要从变限积分的定义开始。
对于函数f(x)和g(x)在闭区间[a,b]上连续且可导，我们定义一个新函数F(x)如下：F(x) = ∫[a,b] f(t)g(x-t)dt我们的目标是求F(x)的导数F'(x)。
首先，我们可以假设a<x<b，并且不妨设f(t)和g(x-t)属于C^1类别（即可导的函数）。
这个假设是合理的，因为如果f(t)或g(x-t)不可导，那么F(x)的导数也就没有意义了。
我们将导数F'(x)写作极限形式，即：F'(x) = lim(h->0) [F(x+h) - F(x)] / h我们可以展开F(x+h)和F(x)：F(x+h) = ∫[a,b] f(t)g(x+h-t)dtF(x) = ∫[a,b] f(t)g(x-t)dt将这两个式子代入F'(x)的极限形式中，我们得到：F'(x) = lim(h->0) [∫[a,b] f(t)g(x+h-t)dt - ∫[a,b] f(t)g(x-t)dt] / h接下来，我们可以将第一个积分内的函数f(t)g(x+h-t)进行变量替换，令u=x+h-t，得到：F'(x) = lim(h->0) [∫[a,b] f(t)g(u)dt - ∫[a,b] f(t)g(x-t)dt] / h对于第一个积分，我们可以利用变量u进行求导，得到：∫[a,b] f(t)g(u)dt = G(u) + C这里的G(u)是f(t)g(u)的一个原函数，C是一个常数。
同样地，对于第二个积分，我们可以利用变量t进行求导，得到：∫[a,b] f(t)g(x-t)dt = H(t) + C这里的H(t)是f(t)g(x-t)的一个原函数。
第四节 高阶导数2012-10-14
§3.4 高阶导数教学目的：掌握高阶导数公式，和差高阶导数与乘积高阶导数的计算公式.重点：高阶导数的计算方法和基本技巧.难点：乘积高阶导数的计算.教学方法：启发式讲授与指导练习相结合 教学过程:设)(t s s =为物体作变速直线运动的方程，物体在 t 时刻的瞬时速度为0()lim ()t s v t s t t∆→∆'==∆.速度()v v t =也是时间t 的函数，它对时间t 的导数称为物体在t 时刻的加速度a ， ()()a v t s t '''==称为s 对t 的二阶导数.例如 自由落体的运动方程为 212s gt =,在t 时刻的瞬时速度为()v t gt '=，在t 时刻的加速度 ()a s t g ''==.一、二阶导数【定义1】一般地，若()y f x =的导数()f x '在点x 处可导,则称()f x 在点x 处二阶可导.并称()f x '的导函数[()]f x ''为()f x 二阶导数, 记作 ()f x '' 或 22()d f x dx 或 22d y dx. 二、n 阶导数【定义2】类似地，若()y f x =的二阶导数()f x ''在点x 处可导,则称()f x 在点x 处三阶可导. 并称()f x ''的导函数[()]f x '''为()f x 二阶导数, 记作()f x ''' 或 33()d f x dx 或 33d y dx . 类似地，若()y f x =的1n -阶导数(1)()n f x -在点x 处可导,则称()f x 在点x 处n 阶可导.并称11()n n d f x dx --的导函数11()n n d d f x dx dx --⎡⎤⎢⎥⎣⎦为()f x n 阶导数, 记作 ()()n f x 或 ()n n d f x dx 或 n nd y dx . 注：① )()3(x f 可写成)(x f '''、y '''； ② 二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数； ③ )(x f '称为一阶导数；④ 特别记)()0(x f 为)(x f .⑤ 函数)(x f 在点0x 处的n 阶导数为()0()n f x 或0|n x x n d y dx=或()0|n y x x =. 例1（1） y ax b =+，求y ''.解：a y =',0=''y .0)(=n y ,2≥n .(2)2(1)arctan y x x =+，求 y ''. 解： 2212arctan (1)1y x x x x '=+++ 2arctan 1x x =+,222arctan 1x y x x ''=++. (3)*1y y xe =+，求y ''.解：方程两边对x 求导得: y xe e y yy '⋅+=', 于是ye xe e y yy y -=-='21, 从而3222)2()3()2()3()2()()2(y y e y y y e y y e y y e y y y y y --=--'=-'-⋅--'=''.例2 证明：函数22y x x =-满足关系式310y y ''+=.证：()111222212[(2)](2)22y x x x x x x -'''=-=-- 222122x x y x x--==-, 221(1)(1)x y x y x y y y y y----'---''== 223(1)y x y---= 2233(2)(12)1x x x x y y----+-==, 所以 310y y ''+=.例3 证明：()()x n x e e =显然成立.（公式）例4 证明： ()(sin )sin()2n x x n π=+， ()(cos )cos()2n x x n π=+（公式） 证：(1)当1=n 时,)2sin(cos π+=='x x y , 公式成立. (2)假设公式对1-n 成立,即 ]2)1(sin[)(sin )1(π-+=-n x x n . (3)]2)1(cos[]2)1(sin[)(sin )(ππ-+='⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+=n x n x x n )2sin(]22)1(sin[πππn x n x +=+-+=. 即公式对n 成立.例5 证明：()11(1)!n n n n x x --⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭.（公式） 注意：()(1)11(ln )()(1)(1)!n n n n x n x x---==--,2≥n . 例6 证明： ()()[()]()n n n f ax b a f ax b +=+.二、 高阶求导公式1．()()()()n n n u v u v ±=±.证明：当1n =时已成立，假设公式对1n -也成立， 那么()(1)(1)(1)()()()()n n n n n n u v u v u v u v ---''⎡⎤⎡⎤±=±=±=±⎣⎦⎣⎦.2．()()()0()nn k k n k n k uv C u v-==∑.(莱布尼茨公式) 例7 2sin2y x x =，求(10)y .解：y uv =，2u x =，sin 2v x =，而 2u x '=,2u ''=,()0n u =,3n ≥,又 ()2sin(2)2n n v x nπ=+, 那么 10(10)(10)()()0()k k n k n k y uv C u v-===∑ 0(0)(10)1(1)(9)2(2)(8)101010C u v C u v C u v =++21092sin(210)1022sin(29)22x x x x ππ=⋅+⋅+⋅⋅+⋅ 810922s i n (28)2!2x π⋅+⋅⋅+⋅ 21024sin 210240cos 223040sin 2x x x x x =-++. 例8.求下列各函数的n 阶导数(其中m a ,为常数)：(1)xy a =解 a a y x ln =',假设a a y n x n 1)1(ln --=,则a a a a a a a y y n x n x n x n n ln ln ln )ln (][11)1()(=⋅='='=---.(2)ln(1)y x =+解 x y +='11,2)1(1x y +-='',313)1(!2)1(x y +-='''-, 假设12)1()1()!2()1(---+--=n n n x n y ,则 n n n n n n x n x n y y )1()!1()1(])1()!2()1[(][112)1()(+--='+--='=----. (3)(1)m y x =+ (注意:()!m m y x y m =⇒=) 解 1)1(-+='m x m y ,2)1)(1(-+-=''m x m m y ,假设)1()1()1](1)1([)1(---++---=n m n x n m m m y ,则n m n n x n m m m y y --++--='=)1)(1()1(][)1()( . 特别当m 为正整数时,若n m >,结果与前同;n m =,!)(m y n =;n m <, 0)(=n y .（4）2132y x x =-+ 解：21113221y x x x x ==--+-- ()11(1)!(1)!(2)(1)n n n n n n n y x x ++--⇒=---. 例9(95.3) 设1()1x f x x-=+,则 ()()n f x = .解2)1(2)112()(x x x f +-='-+=',122)1(!22)1()(++⋅-=''x x f, 假设n n n x n x f )1()!1(2)1()(1)1(+-⋅-=--, 那么1)()1(!2)1()(++⋅-=n n n x n x f . 例10(06.4) 设函数()f x 在2x =的某邻域内可导,且()()e f x f x '=,(2)1f =,则(2)f '''= . 解 依题设,由于)(e )(x f x f =',那么)(2)()()(e e e )(e ])([)(x f x f x f x f x f x f x f =='=''='', )(3)()(2)(2e 2e 2e )(2e ])([)(x f x f x f x f x f x f x f =⋅='⋅='''=''',所以 313)2(3e 2e 2e 2)2(==='''⋅f f .例11(97.3) 若()(),()f x f x x -=-∞<<+∞,在(,0)-∞内()0f x '>,且()0f x ''<,则在(0,)+∞内有【 】.(A)0)(>'x f ,0)(<''x f ； (B)0)(>'x f ,0)(>''x f ；(C)0)(<'x f ,0)(<''x f ； (D)0)(>'x f ,0)(>''x f . 答 (C).因为)()(x f x f =-,依题设,在),0(+∞内有0)()1()()(<-'-=-⋅-'='x f x f x f ,0)()1()()(<-''=-⋅-''-=''x f x f x f .例12 求下列函数的n 阶导数(1)2cos y x =；解：22cos 1x y +=, )22cos(2)22cos(221)2(cos 211)()(ππn x n x x y n n n n +=+⋅==-. (2)x y xe =；解：x x x e x xe e y )1(+=+=',假设x n e n x y )1()1(-+=-,则 x x x n e n x e n x e y )()1()(+=-++=.小结: 1.计算乘积的高阶导数时要注意取u的技巧，不要蛮算.对有规律的高阶导数注意寻求规律性公式.阶数不超过三时，可以直接算；阶数超过三的可以用莱布尼兹公式计算.2.对于式子较为复杂的函数的高阶导数应该先化简或拆分后，再求导数.课后记：计算乘积的高阶导数时取u的技巧掌握不灵活.。
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高阶导数莱布尼茨公式
高阶导数莱布尼茨公式
什么是高阶导数莱布尼茨公式？
高阶导数莱布尼茨公式是微积分中的一个重要公式，用于计算多
个函数的乘积的高阶导数。
它是由德国数学家莱布尼茨（Leibniz）于17世纪提出的，成为微积分学中的基本定理之一。
公式表达
高阶导数莱布尼茨公式的一般表达式如下：
n
(n,k)⋅f(k)⋅g(n−k)
(fg)(n)=∑C
k=0
其中，C(n,k)是组合数，n和k表示正整数，f和g是具有
n阶导数的函数。
(f)(k)表示函数f的k阶导数。
公式解释
高阶导数莱布尼茨公式可以用于计算两个函数的乘积的高阶导数。
该公式通过将函数fg的高阶导数表示为两个函数f和g的低阶导
数的乘积的和来实现。
公式中的求和符号表示了对所有可能的 k 值进行求和。
每个项都由组合数 C (n,k )、函数 f 的 k 阶导数 (f )(k ) 和函数 g 的 (n −k ) 阶导数 (g )(n−k ) 构成。
解释示例
假设有两个函数 f (x )=x 2 和 g (x )=sin (x )，我们想要计算它们的乘积 (f ⋅g )(x ) 的二阶导数。
首先，我们计算 f 和 g 的一阶导数： - f′(x )=2x - g′(x )=cos (x )
然后，我们根据高阶导数莱布尼茨公式计算 (f ⋅g )″：
(f ⋅g )″=(2x ⋅sin (x ))′=(2x ⋅cos (x )+2⋅sin (x ))
所以，(f ⋅g )″=2x ⋅cos (x )+2⋅sin (x )。
这个例子展示了如何使用高阶导数莱布尼茨公式计算函数乘积的高阶导数。
可以发现，公式简化了复杂函数乘积的导数计算过程，提供了一个更方便和简洁的方法。
总结
高阶导数莱布尼茨公式是一个重要的微积分公式，用于计算多个函数的乘积的高阶导数。
它的一般形式为(f ⋅g )(n )=∑C n k=0(n,k )⋅f (k )⋅g (n−k )，通过将乘积的高阶导数表示为两个函数的低阶导数的乘积的和来实现。
这个公式在计算复杂函数的导数时非常有用，可以简化计算过程并提高效率。
相关公式
除了高阶导数莱布尼茨公式，还有一些相关的公式可以用于计算多个函数的导数。
下面列举了一些常见的公式：
1.导数的和差法则：
(f±g)′=f′±g′
这个公式表示了两个函数的和或差的导数等于每个函数的导数之和或差。
2.导数的积法则：
(f⋅g)′=f′⋅g+f⋅g′
这个公式表示了两个函数的乘积的导数等于第一个函数的导数乘以第二个函数，加上第一个函数乘以第二个函数的导数。
3.导数的商法则：
(f
g
)′=
f′⋅g−f⋅g′
g2
这个公式表示了两个函数的商的导数等于分子的导数乘以分母减去分子乘以分母的导数，再除以分母的平方。
4.链式法则：
(f(g(x)))′=f′(g(x))⋅g′(x)
这个公式表示了复合函数的导数等于外层函数对内层函数的导数乘以内层函数对自变量的导数。
相关示例
假设有函数f(x)=sin(x)和g(x)=x2，我们想要计算ℎ(x)= f(g(x))的导数。
首先，我们计算f和g的导数： - f′(x)=cos(x) - g′(x)= 2x
然后，根据链式法则，我们可以计算ℎ′(x)：
ℎ′(x)=f′(g(x))⋅g′(x)=cos(g(x))⋅2x
所以，ℎ′(x)=2x⋅cos(x2)。
这个例子展示了如何使用链式法则计算复合函数的导数。
与高阶导数莱布尼茨公式一样，链式法则是微积分中的重要工具，用于计算复杂函数的导数。
总结
除了高阶导数莱布尼茨公式，还有其他的导数计算公式，如导数的和差法则、导数的积法则、导数的商法则和链式法则等。
这些公式在微积分中起着重要的作用，可以帮助我们计算复杂函数的导数。
熟练掌握这些公式可以提高计算效率和准确性，并帮助我们更好地理解函数之间的关系。