莱布尼茨数学思想的统一性.
莱布尼茨公式的推导过程与思想
莱布尼茨公式的推导过程与思想莱布尼茨公式，又称为莱布尼茨-Leibniz公式，是微积分中常用的一个公式，用于计算多项式函数的n阶导数。
它的推导过程和背后的思想对于理解微积分的原理和方法具有重要意义。
本文将对莱布尼茨公式的推导过程和思想进行详细阐述。
一、问题的提出考虑一个多项式函数f(x) = a₀ + a₁x + a₂x² + ... + anxn，我们希望计算出它的n阶导数f⁽ⁿ⁾(x)。
二、推导过程为了推导莱布尼茨公式，我们首先引入一个新的函数，即多项式函数f(x)乘以x的幂函数，记作g(x) = xf(x)。
接着，我们对g(x)进行求导，得到g'(x)。
g'(x) = (xf(x))'= f(x) + x(f(x))'= f(x) + xf'(x)现在我们来考虑g'(x)的n阶导数g⁽ⁿ⁾(x)。
g⁽ⁿ⁾(x) = (g'(x))⁽ⁿ⁾= (f(x) + xf'(x))⁽ⁿ⁾根据二项式定理，我们可以展开上式。
(g⁽ⁿ⁾(x)) = (f(x) + xf'(x))⁽ⁿ⁾= C⁽ⁿ⁾₀(f(x))⁽ⁿ⁾ + C⁽ⁿ⁾₁(f(x))⁽ⁿ⁻¹⁾(xf'(x))¹ + ... + C⁽ⁿ⁾⁽ⁿ⁾(xf'(x))⁽ⁿ⁾其中C⁽ⁿ⁾ₖ表示组合数。
我们注意到，在上式右侧的展开式中，只有当j + (n-k)= n时，才会有f(x)⁽ⁿ⁾的乘积项。
我们将乘积项的系数提取出来，得到莱布尼茨公式的推导结果。
(g⁽ⁿ⁾(x)) = C⁽ⁿ⁾₀(f(x))⁽ⁿ⁾ + C⁽ⁿ⁾₁(f(x))⁽ⁿ⁻¹⁾(xf'(x))¹ + ... +C⁽ⁿ⁾⁽ⁿ⁾(xf'(x))⁽ⁿ⁾= C⁽ⁿ⁾₀f(x)⁽ⁿ⁾ + C⁽ⁿ⁾₁f(x)⁽ⁿ⁻¹⁾(xf'(x))¹ + ... + C⁽ⁿ⁾⁽ⁿ⁾f(x)¹(xf'(x))⁽ⁿ⁾= C⁽ⁿ⁾₀f(x)⁽ⁿ⁾ + C⁽ⁿ⁾₁f(x)⁽ⁿ⁻¹⁾x + ... + C⁽ⁿ⁾⁽ⁿ⁾f(x)¹(xf'(x))⁽ⁿ⁾由于我们最终的目标是计算出f⁽ⁿ⁾(x)，我们可以对上式进行简化。
莱布尼茨数学思想的统一性
莱布尼茨数学思想的统一性：戈特弗里德・威廉・莱布尼茨（１６４６～１７１６）对数学有两项突出贡献：发明了符号逻辑和微积分。
由于这两项成就分属不同的数学分支，人们也往往将其看作莱布尼茨的两种不同工作，忽视了它们之间的一致性，这为研究莱布尼茨的数学思想、完整地理解数学史和科学发现的规律带来不少困难。
本文的目的就是试图理解的揭示这种一致性。
一、符号逻辑：“通用数学语言”莱布尼茨对数学问题的最早探索和最初贡献是试图沿着笛卡尔和霍布斯的思路建构所谓的“通用语言”。
这种语言是一种用来代替自然语言的人工语言，它通过字母和符号进行逻辑分析与综合，把一般逻辑推理的规则改变为演算规则，以便更精确更敏捷地进行推理。
（［１］，ｐ．８）或者说，“通用语言”是一套表达思想和事物的符号系统，利用这些符号可以进行演算并推出各种知识。
在《论组合术》中，二十岁的莱布尼茨曾立志要创设“一个一般的方法，在这个方法中所有推理的真实性都要简化为一种计算。
同时，这会成为一种通用语言或文字，但与那些迄今为止设想出来的全然不同；因为它里面的符号甚至词汇要指导推理；错误，除去那些事实上的错误，只会是计算上的错误。
形成或者发明这种语言或者记号会是非常困难的，但是可以不借助任何词典就很容易懂得它。
”（［２］，ｐ．１２３）在１６７９年９月８日给惠更斯的信中他又写道，有一个“完全不同于代数的新符号语言，它对于精确而自然地在脑子里再现（不用图形）依赖于想象的一切有很大的好处。
……它的主要效用在于能够通过记号〔符号〕的运算完成结论和推理，这些记号不经过非常精细的推敲或使用大量的点和线会把它们混淆起来，因而不得不作出无穷多个无用的试验；另一方面，这个方法会确切而简单地导向〔所需要的〕结果。
我相信力学差不多可以象几何学一样用这种方法去处理。
”（［３］，ｐ．１５１～１５２）综合莱布尼茨零零碎碎的设想，他的宏伟规划大体旨在创造两种工具：其一是通用语言，其二是推理演算（calaulusratiocinator）。
莱布尼兹的哲学思想
彻底独立的实体。所以他的运动变化来源于内在的原则，而非外在的机械推动。
因为单子作为精神，精神具备能动性。
连续性
每一个单子都在反映宇宙，犹如镜子反映着自然一样。那么不同的单子，由于他的知觉能 力的不同，必然反映出不同程度的清晰程度的宇宙。可以说，宇宙就被包含在这些单子之 中。那么单子数量是无限的，单子和单子之间可以插入无限多（无数等级）的单子。那么， 单子和单子之间就形成了既有差别，又是紧密联系的。 所以，自然界从不飞跃。是一个低级向高级的连续体，这就解决了不可分和连续性问题。
上 帝
天使 人类
动物
植物
3.前定和谐论
单子论解决一切问题了吗？
理论再精妙，也要和经验事实相融洽。 经验事实告诉我们，世界是运动的，是 变化发展的。而莱布尼兹认为，事物是 在“欲望”的推动下不断发展的 那么单子和单子是孤立的，假如其中一 个单子动，其他单子不动，那么这个连 续的序列就破产了，这个序列就不具备 连续性可言了。
启后
莱布尼茨的理论欧洲大陆唯理论发展的一大台阶，为后继人沃尔夫提供了最 直接的理论资源。“菜布尼茨在德国本土的声望总比在法、英强。他的形而上学 通过后来的独断论哲学家克里斯蒂安·沃尔夫获得了传承“这就为实现哲学在德国 生根发芽和开花结果的本土化发展创造了重要前提。此后，黑格尔作为德国哲学 发展的巅峰代表，以绝对精神本体论吸收和改造了莱布尼茨单子本体论的传统和 精神并构造了恢宏的形而上学体系。黑格尔之后，德国哲学家胡塞尔、海德格尔 批判性地吸收和改造菜氏的理论资源而构造了现象学的本体论体系，也见证了莱 氏本体论作为推进德国哲学发展之思想资源的重要价值。
罗素
2. 单子论
从原子论的缺点说起
原子，是古希腊哲学家德谟克里特提出，指的是一种不可分的最小物质 其一、原子论主张有一个不可分的物质。可是只要是物质，就一定有广延。 而有广延就一定可以分。但是实体的概念必须意味着不可分，才能具备统一性。 这是充满矛盾的 其二、连续性问题。原子论者认为，万物都是有由原子构成的，那么万物 就是原子的堆集。那么原子和原子之间是由虚空隔开的，这就是非连续性。如 果要承认原子和原子具备连续性，那么就必须否定虚空，但是一旦否定了虚空， 原子是连续的，那么原子又具备广延，他就必然可分。而连续性和不可分要同 时具备，这就成了一个很矛盾的问题。 其三、机械唯物论无法说明经验事实。例如，一个足够大的静止的东西， 让一个运动的物体冲撞他，那么会减慢速度。但是在机械论看来，理论上不会 出现减慢速度。这说明，还是有别的什么东西影响了速度。
莱布尼茨论统一性：观念、实体、现象
莱布尼茨论统一性：观念、实体、现象莱布尼茨论统一性是指，在世界的一切东西中，都存在着一个共同的原理或规律，这个规律统一了所有事物的本质和存在。
莱布尼茨认为，这个规律可以从三个层面来理解：观念、实体和现象。
本文将围绕这三个层面展开，讨论莱布尼茨论统一性的内涵和意义，并列举五个例子来展示这一理论的实际应用。
一、观念的统一性莱布尼茨认为，观念是人类思维的基础，所有知识都来源于对观念的认识。
观念的统一性是指，在不同的领域和文化下，人们对事物的观念具有共性，这个共性可以揭示出事物的本质或存在规律。
比如：1.数学中的圆形和物理中的圆形本质上是相同的，它们都具有无限个点等距离于一个固定的中心。
2.所有哲学思想中的理性原理，如因果律、空间和时间的绝对性等等，都是人类普遍的认知，无论文化差异如何，都不会被改变。
这些例子说明，人们对事物的认知有一种共性，这种共性是客观存在的，与主体无关，它揭示了人类思维的本质属性。
二、实体的统一性莱布尼茨认为，世界上的每一个物体都有自己的内在性质和特征，这是它们存在的根本原因。
实体的统一性是指，在不同的物体之间，存在着共同的特征或原理，这种共同点是各个实体之所以存在的基础。
比如：1. 所有物体都会受到重力的作用，因此可以用牛顿定律来描述它们的运动状态。
2. 所有生命体都具有生命力，可以通过生物学的研究来揭示其内在机制和进化历程。
通过这些例子可以看出，世界上的物体虽然各有其不同之处，但它们都遵循着一些共同的规律和原理，这些规律和原理揭示了物体的存在方式和运动状态。
三、现象的统一性莱布尼茨认为，一个实体的存在是在它的现象之中显现出来的。
现象的统一性是指，每一个现象都具有共同的规律或机制，这些规律或机制在不同的现象中可以体现出来。
比如：1. 光的衍射和干涉规律，在红外线和紫外线波段中同样适用。
2. 电磁波在空间中的传播方式、频率和波长是相同的，无论是微波、射频还是可见光波段。
这些例子表明，现象之间也存在一种共性，这种共性是基于自然界的本性和规律，反映了一种客观存在的关系。
莱布尼茨数学家故事
莱布尼茨数学家故事德国有一位被世人誉为“万能大师”的通才，他就是，他在数学、逻辑学、文学、史学和法学等方面都很有建树。
生于莱比锡，6岁时丧父，但作为大学伦理学教授的父亲给他留下了丰富的藏书，引起了他广泛的学习兴趣。
他11岁时自学了拉丁语和希腊语；15岁时因不满足对古典文学和史学的研究，进入莱比锡大学学习法律，同时对逻辑学和哲学很感兴趣。
思想活跃，不盲从，有主见，在20岁时就写出了《论组合的技巧》的论文，创立了关于“普遍特征”的“通用代数”，即数理逻辑的新思想。
还与英国数学家、大物理学家牛顿分别独立地创立了微积分学。
是从哲学的角度来研究数学的，他终生奋斗的主要目标是寻求一种可以获得知识和创造发明的普遍方法，他的许多数学发现就是在这种目的的驱使下获得的。
牛顿建立微积分学主要是从物理学、运动学的观点出发，而则从哲学、几何学的角度去考虑。
今天的积分号∫(拉长的字母S)、微分号d都是首先使用的。
值得一提的是，他发明了能做乘法、除法的机械式计算机(十进制)，并首先系统研究了二进制记数方法，这对于现代计算机的发明至关重要。
17____年11月14日，卒于汉诺威。
德国著名的数学家和哲学家莱布尼兹，对帕斯卡的加法机很感兴趣。
于是，莱布尼兹也开始了对计算机的研究。
1672年1月，莱布尼兹搞出了一个木制的机器模型，向英国皇家学会会员们做了演示。
但这个模型只能说明原理，不能正常运行。
此后，为了加快研制计算机的进程，莱布尼兹在巴黎定居4年。
在巴黎，他与一位著名钟表匠奥利韦合作。
他只需对奥利韦作一些简单的说明，实际的制造工作就全部由这位钟表匠独自去完成。
1974年，最后定型的那台机器，就是由奥利韦一人装配而成的。
莱布尼兹的这台乘法机长约1米，宽30厘米，高25厘米。
它由不动的计数器和可动的定位机构两部分组成。
整个机器由一套齿轮系统来传动，它的重要部件是阶梯形轴，便于实现简单的乘除运算。
莱布尼兹设计的样机，先后在巴黎，伦敦展出。
牛顿—莱布尼茨与微积分
贵州师范大学研究生作业（论文）专用封面作业（论文）题目：牛顿—莱布尼兹与微积分课程名称：《自然辩证法概论专题讲座》任课教师姓名：龙健研究生姓名：熊胜兰学号：4200910600254年级：2009级研专业：课程与教学论学院（部、所）：数计学院任课教师评分：年月日牛顿—莱布尼茨与微积分（数计学院课程与教学论熊胜兰4200910600254）【摘要】微积分的创立，被誉为是“人类精神的最高胜利”，是由常量数学向变量数学转变的一件具有划时代意义的大事。
16世纪后半叶，牛顿和莱布尼茨在许多数学家所做的大量准备工作的基础上，各自独立地创立了微积分。
【关键词】牛顿莱布尼茨微积分0．引言微积分的出现是由常量数学向变量数学转变的一件具有划时代意义的大事，时至今日，它不仅成了学习高等数学各分支必不可少的基础，而且也是学习和掌握近代的任何一门自然科学和工程技术的工具。
提起微积分，人们自然会想到英国的牛顿（1642~1727）和德国的莱布尼茨（1646~1716），这主要是因为他们提出了微积分的基本概念和运算方法，发现了微积分的内在联系，建立了著名的牛顿—莱布尼茨公式。
在历史上微积分的萌芽出现得比较早，中国战国时代的《庄子·天下篇》中的“一尺之棰，日取其半，万事不竭”，就蕴含了无穷小的思想。
古希腊物理学、数学两栖科学大师阿基米德在公元前三世纪依据前人的穷竭法，用“切片”方法并借助杠杆原理建立了球体的体积公式，这其中就包含了定积分的思想。
但在当时，微积分并没有受到人们的广泛关注。
直到公元17世纪，在欧洲资本主义开始萌芽、科学和生产技术开始发展的情况下，航海、天文、力学、军事、生产等科学技术给数学提出了一系列迫切需要解决的问题。
从数学角度归纳起来主要集中在以下4个方面：①由距离和时间的函数关系，求物体在任意时刻的速度和加速度；反之，由物体的加速度和时间的函数关系，求速度和距离。
②确定运动物体在其轨道上任一点处的运动方向，以及研究光线通过透镜的通道而提出求曲线的切线问题。
莱布尼茨
论莱布尼茨的天赋观念学说传媒学院美学1401 胡娜学号：1415123006摘要：在近代西方哲学的研究中，莱布尼茨的认识论思想是一个十分重要的领域。
莱布尼茨作为唯理论的代表，在与经验论者洛克的相互论战中，将近代哲学界认识论的“天赋观念之争”推向了高潮。
他在与经验者论战的过程中，也逐渐意识到了唯理论的不足之处，他在批判地继承以往哲学家思想的基础上，发展了自己的天赋观念学说，并赋予了天赋观念新的内涵和形式。
本文希望通过对莱布尼茨天赋观念学说的综合梳理、分析、总结，并试图对莱布尼茨的天赋观念学说做出客观、公正的评价，从而进一步理清认识论发展的历程，加深我们对认识论发展历史的理解，进而对我们研究西方哲学起到一定的借鉴作用。
关键词：莱布尼茨；笛卡尔；天赋观念；真理；理性十七世纪哲学研究的一个重要问题就是认识论问题。
关于观念的来源问题，唯理论和经验论形成了不同的认识。
经验论者认为一切认识来源于感觉经验，强调感觉经验的基础作用。
唯理论者强调理性思维的重要性，认为只有理性思维能确保知识的合理性。
莱布尼茨的天赋观念论就产生于这种哲学氛围中。
一、莱布尼茨天赋观念学说的思想来源（一）天赋观念学说的源起“天赋观念”一词最早出现在唯理论者笛卡尔的著作中，但是天赋观念作为一种理论早在古希腊时期的柏拉图哲学中就包含了着天赋观念的思想。
尽管柏拉图没有明确使用“天赋观念”一词，但就其哲学思想的形式而言，他是当之无愧的天赋观念学说的最早倡导者。
拉图将世界分为可感世界和理念世界，理念通过“分有”和“摹仿”两条途径派生万物。
理念世界是客观存在的，所有理念在人生前就是存在的。
柏拉图认为灵魂是存在的，不朽的，灵魂在进入我们肉体之前，在理念世界里居住，灵魂只是改变它寄存的肉体，灵魂本身不会消亡，灵魂早就包含了对理念的认识。
知识是天赋的，灵魂自身就含着知识，知识来自于心灵内在。
拉图认为灵魂囚居在肉体中有两个弊端，一个是灵魂进入肉体后，不能获得纯净的知识。
浅析莱布尼茨的实体学说
浅析莱布尼茨的实体学说浅析莱布尼茨的实体学说[内容提要]：哥特弗⾥德·威廉·冯·莱布尼茨（Gottfried Wilhelm von Leibniz）是试图建⽴形⽽上学体系的第⼀个近代伟⼤的德国思想家。
莱布尼茨的实体学说是其形⽽上学体系的基础，他深刻地认识到近代以来的实体理论的缺陷，批判地继承了笛卡尔和斯宾诺莎的实体思想并在⾃⼰的思考中提出了极具特⾊的实体学说。
他提出需要重新召回经院哲学的“实体的形式”即质的观念来给实体做出新的理解，应该从质的⾓度，从能动性的⾓度去寻求⼀种单纯的、⽆形体的永恒实体作为万物的基础，强调实体的个体性原则。
莱布尼茨的实体学说不仅试图克服机械论的局限，也试图去协调⼀般与个别、普遍与特殊、整体与部分的关系，对实体理论和整个哲学的发展都有很⼤的影响。
[关键词]：莱布尼茨实体单⼦单纯性能动性个体性莱布尼茨是17世纪末18世纪初德国著名的哲学家和科学家。
在他登上哲学的历史舞台时，17世纪盛⾏的机械论⾃然观的局限性已经露出了端倪，经验论与唯理论经过长期的论战，各⾃的短长也逐渐明朗化。
莱布尼茨在分析以往哲学学说的基础上，认为必须有⼀种新的哲学体系，来调和机械论和⽬的论、⾃然科学和神学以及近代和古代哲学的⽭盾，由此他创⽴了他独具特⾊的单⼦论实体学说。
莱布尼茨认为实体作为世界万物的本质，必须是不可分的单纯性的，具有统⼀性，⽽且实体也应有其内在⽬的，符合能动性原则。
他把⼒、活动引⼊实体，强调实体⾃⾝的能动性与个体性，这在某种程度上，既弥补了机械论的不⾜，也对⼀般与个别、普遍性与⼀般性之间的关系进⾏了创新性的解释，是对传统实体学说的突破与发展。
⼀、单纯的形⽽上学的点近代以来，机械论的⾃然观得到⼴泛的推崇，持机械论⾃然观的哲学家们将物体的本质规定为⼴延性即单纯的量的规定，试图⽤⾃然科学中的机械性原理来解释⾃然，⽽在莱布尼茨看来，实体概念必须既蕴含着统⼀性，⼜是不可分的单纯性的。
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戈特弗里德·威廉·莱布尼茨（１６４６～１７１６）对数学有两项突出贡献：发明了符号逻辑和微积分。
由于这两项成就分属不同的数学分支，人们也往往将其看作莱布尼茨的两种不同工作，忽视了它们之间的一致性，这为研究莱布尼茨的数学思想、完整地理解数学史和科学发现的规律带来不少困难。
本文的目的就是试图理解的揭示这种一致性。
一、符号逻辑：“通用数学语言”莱布尼茨对数学问题的最早探索和最初贡献是试图沿着笛卡尔和霍布斯的思路建构所谓的“通用语言”。
这种语言是一种用来代替自然语言的人工语言，它通过字母和符号进行逻辑分析与综合，把一般逻辑推理的规则改变为演算规则，以便更精确更敏捷地进行推理。
（［１］，ｐ．８）或者说，“通用语言”是一套表达思想和事物的符号系统，利用这些符号可以进行演算并推出各种知识。
在《论组合术》中，二十岁的莱布尼茨曾立志要创设“一个一般的方法，在这个方法中所有推理的真实性都要简化为一种计算。
同时，这会成为一种通用语言或文字，但与那些迄今为止设想出来的全然不同；因为它里面的符号甚至词汇要指导推理；错误，除去那些事实上的错误，只会是计算上的错误。
形成或者发明这种语言或者记号会是非常困难的，但是可以不借助任何词典就很容易懂得它。
”（［２］，ｐ．１２３）在１６７９年９月８日给惠更斯的信中他又写道，有一个“完全不同于代数的新符号语言，它对于精确而自然地在脑子里再现（不用图形）依赖于想象的一切有很大的好处。
……它的主要效用在于能够通过记号〔符号〕的运算完成结论和推理，这些记号不经过非常精细的推敲或使用大量的点和线会把它们混淆起来，因而不得不作出无穷多个无用的试验；另一方面，这个方法会确切而简单地导向〔所需要的〕结果。
我相信力学差不多可以象几何学一样用这种方法去处理。
”（［３］，ｐ．１５１～１５２）综合莱布尼茨零零碎碎的设想，他的宏伟规划大体旨在创造两种工具：其一是通用语言，其二是推理演算（calaulusratiocinator）。
前者的主要使命是消除现存语言的局限性和不规则性，使新语言变成世界上人人会用的具有简明符号、合理规则的语言，规定符号的演变规则与运算规则，使逻辑演变依照一条明确的道路进行下去，进而解决所有可用语言表达的问题。
为此，莱布尼茨做了两方面的努力：一是寻找能够代表所有概念并可认作最根本的不可分析的符号；二是给出表述诸如断定、合取、析取、否定、全称、特殊、条件联结等形式概念的设计。
关于第一方面，莱布尼茨首次设想用数目代表原初概念，而逻辑演算则用如同算术中的乘或除来代替。
他认为用这种数字的不同方式排列组合，进行各种运算，就可产生无穷多的复合概念。
这一思想后来改进为以素数代表基本概念，而复合词项即可借分解相应的数字成为它们的素数因子来加以分析。
以“人是理智动物”为例，用素数“３”代表“动物”、“５”代表“理智”，则“人”即以“１５＝３．５”代表。
为了更好地构设“通用语言”，莱布尼茨又以设想的“人类概念字母表”为语言词汇基础创制了一些逻辑符号，如“∪”（并）、“∩”（交）等，一直沿用下来。
关于第二方面，莱布尼茨的工作大致可以１６７９、１６８６、１６９０三个年代为标志划分为三个阶段。
（［４］，ｐｐ．２７１～２７３）第一阶段，莱布尼茨改进从数字代替概念以其演算，代之以对普通命题经验分析为基础的代数逻辑。
他以全称肯定命题“ａ是ｂ”的形式开始，提出五条基本演算规则：（１）ａｂ是ｂａ（交换律）；（２）ａ是ａａ（重言律）；（３）ａ是ａ（同一原则）；（４）ａｂ是ａ或ａｂ是ｂ（化简原则）；（５）如ａ是ｂ且ｂ是ｃ，则ａ是ｃ（传递原则）。
以此为据，他证明了同一和包含两个逻辑系词之间的重要关系，即，如ａ是ｂ且ｂ是ａ，则ａ与ｂ是同一的。
进而，他又提出四个定理：（１）如ａ是ｂ且ａ是ｃ，则ａ是ｂｃ；（２）如ａ是ｂｃ，则ａ是ｂ且ａ是ｃ；（３）如ａ是ｂ，则ａｃ是ｂｃ；（４）如ａ是ｂ且ｃ是ｄ，则ａｃ是ｂｄ。
由此可见，莱布尼茨在第一阶段的逻辑演算已相当完善和科学化，为逻辑的系统化打下了坚实的基础。
第二阶段，莱布尼茨用等式符号作系词符号，借公式Ａ＝ＢＹ表述全称肯定命题（Ｙ为一未确定的系数，用以修饰Ｂ而使Ｂ成为Ａ的一部分），同时提出双重否定之为肯定，即“非非Ａ＝Ａ”，并由此演释出一系列定理。
为了进一步发展演算，莱布尼茨还试图通过与属性组合的关系，用代数方法来描述四个直言命题，甚至对四个直言命题的表示法提出了九个方案。
第三个阶段，莱布尼茨最有价值的工作是罗列了十四个基本命题：（１）Ａ＝Ａ＋Ａ“＋”表示逻辑相乘，下同）；（２）如Ａ＝Ｂ且Ｂ＝Ｃ，则Ａ＝Ｃ；（３）如Ａ＝Ｂ且Ｂ≠Ｃ，则Ａ≠Ｃ；（４）如Ａ＝Ｂ，且Ｂ＜Ｃ，则Ａ＜Ｃ；（５）如Ａ＝Ｂ且Ｃ＜Ｂ，则Ｃ＜Ａ；（６）如Ａ＝Ｂ且Ｃ＝Ｄ；则Ａ＋Ｃ＝Ｂ＋Ｄ；（７）如Ａ＝Ｂ，则Ａ＋Ｃ＝Ｂ＋Ｃ；（８）Ａ＜Ｂ，则Ａ＋Ｃ＜Ｂ＋Ｃ；（９）如Ａ＋Ｂ＝Ａ，则Ｂ＜Ａ；（１０）如Ｂ＜Ａ，则Ａ＋Ｂ＝Ａ；（１１）如Ａ＜Ｂ且Ｂ＜Ｃ，则Ａ＜Ｃ；（１２）如Ａ＜Ｂ且Ｂ＜Ａ，则Ａ＝Ｂ；（１３）如Ａ＜Ｃ且Ｂ＜Ｃ，则Ａ＋Ｂ＜Ｃ；（１４）如Ａ＜Ｂ且Ｃ＜Ｄ，则Ａ＋Ｃ＜Ｂ＋Ｄ。
为适应逻辑相除，他又引进逻辑相减运算，定义为：如Ｂ包含在Ａ中且Ｃ包括除去内容Ｂ之外的整个Ａ的内容，则Ａ－Ｂ＝Ｃ。
如前例“人＝动物＋理智”即可推为“人－理智＝动物”。
上述符号构设显示，莱布尼茨的中心思想是致力于以符号表示普遍概念的“通用语言”和以代换法进行数学演算他自称的“通用数学”。
就今天的眼光看来，他实际上已经发现了符号逻辑的若干重要原则和定理，触及到后由哈米尔顿所阐发的谓项量化问题，认识到在直言与假言命题之间的基本类比（即原因包含它的结果正如主项包含它的谓项），并且把握了逻辑相加的问题，甚至讨论过非三段论的关系推理。
因此，莱布尼茨实际上已探察到后来为布尔和施罗德所发展的逻辑代数的整个基础。
数理逻辑学家有没有看过莱氏的著作，知道不知道莱氏的计划，但所作的研究大体上都是沿着莱氏所期望的方向进行的。
”（［５］，ｐ．１０）所以，整个数学界都一致公认他是数理逻辑的首创者和真正奠基人。
莱布尼茨的符号数学研究在生前没有公布，结果使数理逻辑的发展延迟了一个半世纪。
（［４］，ｐ．１１９）可他关于微积分的成果却由于较早发表而惠泽数学界并引发一场争论持久的历史公案。
二、微积分：“理性的代数学”１６８４年莱布尼茨在莱比锡的《教师学报》（Acta Eruditorum）上首次发表了题为《关于求极大、极小和切线的新方法，也能用于分数和无理量的情形及非寻常类型的有关计算》（简称《新方法》）的文章。
这是他关于微分计算要点的代表作，全文只有六页。
１６８６年莱布尼茨又在《教师学报》上发表了题为《论一种深邃的几何学和不可分元分析以及无穷》一文。
这是他最早发表的以讨论积分学为主的文章，实际可看作《新方法》的续篇。
莱布尼茨把最初的微积分称为求差的方法与求和的方法。
他的基本思想是把一条曲线下的面积分割成许多小矩形与曲线之间微小直角三角形的两边分别是曲线上相邻两点的纵坐标和横坐标之差。
当这两无限减小时，曲线上相邻两点便无限接近。
联结这样两点就得出曲线在该点的切线。
这就是求差的方法。
求差的反面就是求和。
当曲线下面的矩形被分割得无限小时，矩形上面的那个三角形可以忽略不计，此时就用这些矩形之和代表曲线下的面积。
早在１６６６年，莱布尼茨就发现帕斯卡算术三角形与调合三角形之间存在着有趣的关系。
（［６］，ｐｐ．２１６～２１７）在帕斯卡三角形中，任意一个元素既等于其上一行左边各项之和，又等于其下一行相邻两项之差；而在调合三角形中，任一元素均是其下一行右边各项之和，也是紧靠其上两项之差。
算术三角形调合三角形莱布尼茨在笔记中写出了各阶的差和微分：自然数０，１，２，３，４，５，…ｙ一阶差１，１，１，１，１，１，…ｄｙ二阶差０，０，０，０，０，…自然数平方０，１，４，９，１６，…ｙ一阶差１，３，５，７，…ｄｙ二阶差１，２，２，２，…ｄ（ｄｙ）三阶差１，０，０，…他把这些与微积分联系起来：一阶差相当于ｄｙ，它们的和等于ｙ，如１＋３＋５＋７＝１６。
莱布尼茨认为，这种和与差之间的互逆性，与依赖于坐标之差的切线问题及依赖于坐标之和的求积问题的互逆性是一样的。
差别仅在于帕斯卡算术三角形与调合三角形中的两个元素之差为有限值，而曲线的纵坐标之差是无穷小量。
这说明他在考虑无穷小量的和差运算时，已将其与他早些时候关于有限量和差可逆性关系的研究联系起来。
（［１０］，ｐ．３９２）由此也可看出莱布尼茨研究微积分的代数出发点，而不是几何出发点。
（如［７］，ｐ．１０１）为解决求积问题，莱布尼茨把流动纵坐标是ｙ的平面曲线下的曲边梯形的面积用符号ｙ表示。
这样，曲线的纵坐标就与面积变量明显地联系起来。
过了几年，他便用“ｓｙｄｘ”表示面积，“∫”是“Ｓｕｍ（和）”的第一个字母“Ｓ”的拉长。
在求量的差即微分方面，莱布尼茨先是引进了符号“ｘ／ｄ”表示ｘ的微分，意思是求“差”要关系到量的同次的降低，并且他还认为，如果同时出现不同阶的微分，则只留下最低阶的，而把所有高阶的微分舍去。
至于这样做的理由，莱布尼茨虽提供了多种解释，但都不充分，其实毋宁说他是当作“公理”来使用的。
后来，他将“ｘ／ｄ”改为“ｄｘ”，一直沿用至今。
从上述思路出发，莱布尼茨给出了微积分的基本公式：ｄ（ｘ±ｙ）＝ｄｘ±ｄｙ（１）ｄ（ｘｙ）＝ｘｄｙ＋ｙｄｘ（２）ｄ（ｘ／ｙ）＝ｙｄｘ－ｘｄｙ／ｙ［２］（３）对于（２），他的推导是，令ｘ、ｙ分别成为ｘ＋ｄｘ、ｙ＋ｄｙ，则（ｘ＋ｄｘ）（ｙ＋ｄｙ）＝ｘｄｙ＋ｙｄｘ＋ｄｘｄｙ＋ｘｙ于是ｄ（ｘｙ）＝（ｘ＋ｄｘ）（ｙ＋ｄｙ）－ｘｙ＝ｘｄｙ＋ｙｄｘ＋ｄｘｄｙｄｘｄｙ是比ｘｄｙ＋ｙｄｘ高一阶的无限小量，可以舍去，所以ｄ（ｘｙ）＝ｘｄｙ＋ｙｄｘ用同样的方法也可推导出公式（１）和（３）。
有了微分法的基本运算律，对整指数的幂函数ｘ［ｎ］就有ｄｘ［ｎ］＝ｎｘ［ｎ－１］。
又由于求和是求差的逆运算，所以还有∫ｘ［ｎ］ｄｘ＝１／ｎ＋１ｘ［ｎ＋１］（ｎ≠－１）。
这两个公式虽只对ｎ是正整数情况而言，但莱布尼茨却断然宣布它们当ｎ取其它数值时仍然成立。
接着，莱布尼茨陆续地推导出指数和对数等超越函数的微分公式。
莱布尼茨的微积分算法是在解决几何和物理问题的过程中建立和完善起来的。
他边建立新算法，边用这种算法解决当时物理学与几何学提出的疑难问题，有时还用老方法来解决问题以检验新方法的正确性。
除了切线问题、极值问题、曲率问题、求积问题等几何问题，他还曾用新方法证明了光的折射定律。
所有这些都显示了新算法比传统方法更加优越。
除了以上成果，莱布尼茨在微积分方面的具体研究还有：（１）复合函数的微分法则；（２）弧微分法则ds=根号下dx[,2]+dy[,2]；（３）对数函数和指数函数的微分法则；（４）在积分号下对参变量求微分的方法；（５）曲线绕ｘ轴旋转所成的旋转体体积公式Ｖ＝π∫ｙ［２］ｄｘ；（６）求切线、求最大值最小值以及求拐点的方法；（７）讨论曲率，密切圆和包络理论。