第3章 线性规划的建模与应用new
《运筹学》第3章 线性规划的建模与应用
3.4 混合问题
表3-8 各类函数约束
类型
资源 约束
形式
LHS RHS
解释
对于特定的资源 使用的数量 可用的数量
主要用于
资源分配问题 混合问题
收益 约束
确定需求 约束
LHS RHS
LHS = RHS
对于特定的收益
实现的水平 最低的可接受水平
（1）每种收益最低的可接受水平（管理决策）； （2）每种活动对每种收益的贡献（单位活动的贡献）； （3）每种活动的单位成本。
3.2 成本收益平衡问题
排班问题是成本收益平衡问题研究的最重 要的应用领域之一。在这一领域中，管理 层意识到在向顾客提供令人满意的服务水 平的同时必须进行成本控制，因此，必须 寻找成本和收益之间的平衡。于是，研究 如何规划每个轮班人员的排班才能以最小 的成本提供令人满意的服务。
max z 90(xA1 xB1 xC1) 85(xA2 xB2 xC2 ) 65(xA3 xB3 xC3) 60(xA1 xA2 xA3) 35(xB1 xB2 xB3) 30(xC1 xC2 xC3)
3.4.2 混合问题的应用举例一：配料问题
（3）约束条件
本问题的约束条件：原料供应量限制3个、规格要求7个和非负
3.4.2 混合问题的应用举例一：配料问题
表3-9 例3.4配料问题的相关数据
产品甲
产品乙
产品丙
原料供应量 （千克）
原料单价 （元/千克）
原料A 50% 40% 30%
200
60
原料B
35% 45% 50%
原料C
不限 不限 20%
产品单价 （元/千克）
线性规划问题的建模与求解思路
线性规划问题的建模与求解思路线性规划是一种数学优化方法，用于解决线性约束条件下的最优化问题。
它在工程、经济、运筹学等领域具有广泛的应用。
本文将探讨线性规划问题的建模与求解思路，介绍一些常用的方法和技巧。
一、问题建模在进行线性规划问题的建模时，首先需要明确问题的目标和约束条件。
目标通常是最大化或最小化一个线性函数，而约束条件则是一系列线性等式或不等式。
以生产计划为例，假设某公司有两种产品A和B，每单位产品A的利润为10万元，每单位产品B的利润为8万元。
公司希望最大化总利润，同时满足以下约束条件：1. 产品A和B的生产总量不超过1000单位；2. 产品A的生产量不低于200单位；3. 产品B的生产量不低于300单位。
根据以上信息，我们可以进行如下的建模：设产品A的生产量为x，产品B的生产量为y，则目标函数为最大化利润：Maximize Z = 10x + 8y同时，需要满足以下约束条件：x + y ≤ 1000x ≥ 200y ≥ 300二、求解思路一般来说，线性规划问题的求解可以采用图形法、单纯形法、内点法等不同的方法。
下面将介绍其中两种常用的方法：图形法和单纯形法。
1. 图形法图形法适用于二维线性规划问题，通过绘制目标函数和约束条件的图形来求解最优解。
在上述例子中，我们可以将目标函数和约束条件绘制在坐标系中，找到目标函数与约束条件的交点，进而确定最优解。
2. 单纯形法单纯形法适用于高维线性规划问题，通过迭代计算来逐步接近最优解。
该方法的核心思想是从一个可行解开始，通过不断调整变量的取值来提高目标函数的值，直到找到最优解。
单纯形法的具体步骤如下：（1）将线性规划问题转化为标准形式，即将不等式约束转化为等式约束；（2）构建初始单纯形表，并选择一个初始基本可行解；（3）计算单位利润向量，并判断是否达到最优解；（4）选择一个入基变量和出基变量，并进行迭代计算，直到找到最优解。
三、技巧和注意事项在解决线性规划问题时，有一些常用的技巧和注意事项可以帮助我们更高效地求解问题。
数学建模教案--线性规划PPT课件
在满足约束条件下尽可能的给最左上角的变量最大值.
销地
产地
B1
B2
B3
B4 产量
4
12
4
11
A1 8
8
16
2
10
3
9
A2
64
10
8
5
11
6
A3
8
14
22
销量
8
14
12
14
48
所以，初始基可行解为：……目标函数值Z＝372
表上作业法
1、初始基可行解－－沃格尔法
最小元素法，有时按某一最小单位运价优先安排 物品调运时，却可能导致不得不采用运费很高的其他 供销点，从而使整个运输费用增加。
ai b j
mn
min z
Cij xij
i1 j1
n
xij ai
i 1,2,...m
j 1
m
（Ⅰ ） xij bj
j 1,2,...n
i 1
xij 0
i 1,2,..., m; j 1,2,..., n
其中ai , b j Cij 0
运输问题及其数学模型
该模型是一个线性规划模型，可以用单纯形法 求解。但是变量数目非常多。如3个产地，4个销地。 变量数目会有19个之多。
(3)所有结构约束条件都是等式约束； (4)各产地产量之和等于各销地销量之和。 秩 ( A) =m+n-1 运输问题的基可行解中应包含m+n-1个基变量.
表上作业法
表上作业法是一种迭代法，迭代步骤为： 1、先按某种规则找出一个初始解(初始调运方案)； 2、再对现行解作最优性判别； 3、若这个解不是最优解，就在运输表上对它进行调整 改进，得出—个新解； 4、再判别，再改进； 5、直至得到运输问题的最优解为止。 迭代过程中得出的所有解都要求是运输问题的基可行解。
线性规划的应用
线性规划的应用一、引言线性规划是一种数学优化方法，广泛应用于各个领域，如经济学、管理学、工程学等。
本文将介绍线性规划的基本概念、模型建立以及应用案例。
二、线性规划的基本概念1. 目标函数：线性规划的目标是最大化或最小化一个线性函数，称为目标函数。
目标函数通常表示为z = c₁x₁ + c₂x₂ + ... + cₙxₙ，其中c₁、c₂、...、cₙ为系数，x₁、x₂、...、xₙ为决策变量。
2. 约束条件：线性规划的约束条件是一组线性不等式或等式，用于限制决策变量的取值范围。
约束条件通常表示为a₁x₁ + a₂x₂ + ... + aₙxₙ ≤ b，其中a₁、a₂、...、aₙ为系数，b为常数。
3. 决策变量：线性规划中的决策变量是需要确定的变量，其取值决定了目标函数的取值。
决策变量通常表示为非负数，即x₁, x₂, ..., xₙ ≥ 0。
三、线性规划模型建立线性规划的模型建立包括确定目标函数、约束条件以及决策变量的取值范围。
下面以一个生产计划问题为例，详细说明线性规划模型的建立过程。
假设某工厂生产两种产品A和B，每天可用的生产时间为8小时。
产品A每单位利润为100元，产品B每单位利润为150元。
产品A每小时需要2人工时，产品B每小时需要3人工时。
工厂每天可用的人工时为20小时。
现在需要确定每天生产的产品数量，以最大化利润。
1. 确定目标函数：由于目标是最大化利润，因此目标函数为z = 100A + 150B，其中A为产品A的数量，B为产品B的数量。
2. 确定约束条件：根据生产时间和人工时的限制，可以得到以下约束条件：- 2A + 3B ≤ 20（人工时限制）- A, B ≥ 0（非负数限制）3. 确定决策变量的取值范围：由于产品数量不能为负数，因此决策变量的取值范围为A, B ≥ 0。
四、线性规划的应用案例线性规划在实际应用中有广泛的应用，下面以物流配送问题为例，介绍线性规划的应用案例。
某物流公司需要将货物从仓库分配到不同的配送中心，以满足客户的需求。
线性规划建模
线性规划建模线性规划是一种数学规划方法，用于求解线性约束条件下的最优解。
线性规划的建模包括确定决策变量、目标函数及约束条件。
首先，需要确定决策变量。
决策变量是问题中需要进行决策的变量。
对于线性规划问题，决策变量是连续变量。
例如，假设我们需要确定生产两种产品的数量，可以将产品1的数量设为x1，产品2的数量设为x2。
其次，需要确定目标函数。
目标函数是问题的最终目标，需要进行最大化或最小化的量。
在线性规划中，目标函数是线性函数。
例如，假设我们希望最大化利润，可以将目标函数设为最大化：目标函数： Maximize 5x1 + 4x2。
最后，需要确定约束条件。
约束条件是问题中需要满足的限制条件。
在线性规划中，约束条件可以是线性函数形式。
例如，假设我们有以下约束条件：x1 ≥ 0, x2 ≥ 0，x1 + x2 ≤ 100，2x1 + 3x2 ≤ 200。
将上述决策变量、目标函数和约束条件整合在一起，即可建立线性规划模型。
根据上述例子，线性规划模型可以表示为：决策变量：x1, x2目标函数：Maximize 5x1 + 4x2约束条件：x1 ≥ 0，x2 ≥ 0，x1 + x2 ≤ 100，2x1 + 3x2 ≤ 200。
最后，利用线性规划求解方法，如单纯形法或内点法，对建立的模型进行求解，得到问题的最优解。
总之，线性规划建模是一种将实际问题转化为数学模型的过程。
通过确定决策变量、目标函数和约束条件，可以建立线性规划模型，进而利用数学求解方法得到最优解。
线性规划建模的关键在于正确地把握问题的特点和要求，将实际问题转化为适合线性规划求解的数学模型。
线性规划的应用
线性规划的应用一、引言线性规划是一种数学优化方法，用于在给定的约束条件下，寻找一个线性目标函数的最优解。
它在各个领域都有广泛的应用，如经济学、工程学、运筹学等。
本文将介绍线性规划的基本概念、模型建立和求解方法，并结合实际案例展示其应用。
二、基本概念1. 目标函数：线性规划的目标是最大化或最小化一个线性函数，称为目标函数。
例如，最大化利润或最小化成本。
2. 约束条件：线性规划的解必须满足一系列线性不等式或等式，称为约束条件。
例如，资源限制、技术限制等。
3. 决策变量：线性规划中需要做出决策的变量，称为决策变量。
例如，生产数量、销售数量等。
三、模型建立线性规划的建模过程包括确定决策变量、目标函数和约束条件。
1. 决策变量的确定：根据实际问题确定需要做出决策的变量。
例如，假设某公司需要决定生产产品A和产品B的数量，可以设定决策变量为x和y，分别表示产品A和产品B的生产数量。
2. 目标函数的建立：根据实际问题确定需要最大化或最小化的目标函数。
例如，假设公司的目标是最大化利润，可以建立目标函数为Maximize 3x + 5y，其中3和5分别表示产品A和产品B的单位利润。
3. 约束条件的建立：根据实际问题确定约束条件。
例如，假设公司的资源限制为总生产时间不超过8小时和总材料消耗不超过100kg，可以建立约束条件为：- 2x + 3y ≤ 8（生产时间约束）- x + 2y ≤ 100（材料消耗约束）- x ≥ 0, y ≥ 0（非负约束）四、求解方法线性规划可以使用各种数学方法进行求解，其中最常用的方法是单纯形法。
单纯形法的基本思想是通过不断地移动解去改善目标函数的值，直到找到最优解。
具体步骤如下：1. 初始化：选择一个初始可行解。
2. 检验最优性：计算当前解的目标函数值，判断是否为最优解。
如果是最优解，则结束求解；否则，继续下一步。
3. 选择进入变量：选择一个非基变量作为进入变量，使目标函数值增加最快。
优化模型一：线性规划模型数学建模课件
混合整数线性规划问题求解
要点一
混合整数线性规划问题的复杂性
混合整数线性规划问题是指包含整数变量的线性规划问题 。由于整数变量的存在，混合整数线性规划问题的求解变 得更加困难，需要采用特殊的算法和技术来处理。
要点二
混合整数线性规划模型的求解方 法
为了解决混合整数线性规划问题，可以采用一些特殊的算 法和技术，如分支定界法、割平面法等。这些方法能够将 问题分解为多个子问题，并逐步逼近最优解，从而提高求 解效率。
目标函数的类型
常见的目标函数类型包括最小化、最大化等。
确定约束条件
约束条件
01
约束条件是限制决策变量取值的条件，通常表示为数学不等式
或等式。
确定约束条件的原则
02
根据问题的实际情况，选择能够反映问题约束条件的条件作为
约束条件。
约束条件的类型
03
常见的约束条件类型包括等式约束、不等式约束等。
线性规划模型的建立
也可以表示为
maximize (c^T x) subject to (A x geq b) and (x leq 0)。
线性规划的应用场景
生产计划
物流优化
在制造业中，线性规划可以用于优化生产 计划，确定最佳的生产组合和数量，以满 足市场需求并降低成本。
在物流和运输行业中，线性规划可以用于 优化运输路线、车辆调度和仓储管理，降 低运输成本和提高效率。
初始基本可行解
在线性规划问题中，一个解被称为基 本可行解，如果它满足所有的约束条 件。
在寻找初始基本可行解时，可以采用 一些启发式算法或随机搜索方法，以 快速找到一个可行的解作为起点。
初始基本可行解是线性规划问题的一 个起始点，通过迭代和优化，可以逐 渐逼近最优解。
线性规划的建模技巧和求解
线性规划的建模技巧和求解线性规划是一种数学优化方法，用于确定一个或多个线性方程的最佳解。
它在许多领域有广泛应用，如生产、物流、金融等。
下面将介绍线性规划的建模技巧和求解方法。
一、线性规划的建模技巧：1. 确定决策变量：首先要确定需要决策的变量，这些变量决定了模型的目标函数和约束条件。
变量可以表示限制条件或可供选择的决策。
2. 确定目标函数：目标函数是需要优化的目标，可以是最大化或最小化。
一般情况下，目标函数是由决策变量的线性组合构成的。
3. 确定约束条件：约束条件是限制决策变量的条件，包括等式约束和不等式约束。
约束条件可以是资源的限制、技术要求等。
4. 确定约束集：约束集是所有约束条件的集合，它定义了可行解的范围。
在确定约束集时，需要将每个约束条件转化为决策变量的线性等式或不等式。
5. 确定可行域：可行域是约束集在决策变量空间中的几何图形。
可行域是一个多面体或多面体的集合，其中每个面都由一个或多个约束条件定义。
6. 确定边界条件：边界条件是可行域的边界，在边界上的解是目标函数的极值点。
通过分析边界条件，可以确定是否存在最优解以及在哪个边界上可以找到最优解。
二、线性规划的求解方法：1. 图形法：图形法适用于二维情况，可以将可行域和目标函数的等值线绘制在一个坐标系中，通过观察交点找到最优解。
但是，图形法只适用于简单的问题，对于复杂问题无法使用。
2. 单纯形法：单纯形法是一种常用的线性规划求解方法。
它通过迭代的方式从可行域的某个顶点开始，逐步向更优解迭代，直到找到最优解。
单纯形法的思想是寻找一个可以改进目标函数值的方向，并且每次改进保证不会违反约束条件。
3. 对偶理论：线性规划问题的对偶问题可以通过原问题的约束条件和目标函数得到。
通过对偶问题的求解，可以得到原问题的最优解、最优解的相应目标值以及松弛变量的价值。
4. 整数规划：如果决策变量是整数变量，那么线性规划问题称为整数规划问题。
整数规划问题的求解通常比线性规划问题要困难得多，因为整数变量会引入离散性。
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现在 一年后 两年后 三年后 收益
办公楼项目 40 100 190 200 500
3.2 成本收益平衡问题
例3.2 某航空公司正准备增加其中心机场的往来航班，因 此需要雇用更多的服务人员。不同时段有最少需求人数， 有5种排班方式（连续工作8个小时）。
时段 06:00～08:00 08:00～10:00 10:00～12:00 12:00～14:00 14:00～16:00 16:00～18:00 18:00～20:00 20:00～22:00 22:00～24:00 00:00～ 6:00 每人每天工资（元）
而对于成本收益平衡问题，管理层采取更为主动的姿态， 他们指明哪些收益必须实现（不管如何使用资源），并 且要以最低的成本实现所指明的收益。这样，通过指明 每种收益的最低可接受水平，以及实现这些收益的最小 成本，管理层期望获得成本和收益之间的适度平衡。因 此，成本收益平衡问题代表了一类线性规划问题。在这 类问题中，通过选择各种活动水平的组合，从而以最小 的成本来实现最低的可接受的各种收益水平。
max
z
9（ 0 xA1
xB1
xC1）
8（ 5 xA2
xB 2
xC 2）
6（ 5 xA3
xB3
xC
）
3
6（ 0 xA1
xA2
xA3） 3（ 5 xB1
xB 2
xB3） 3（ 0 xC1
xC 2
xC
）
3
xA1 xB1
xA2 xB 2
xA3 xB3
200 150
xC1
xA1
xC 2 xC 3 50%（xA1
3.4.2 混合问题的应用举例一：配料问题
解： （1）决策变量
本问题的难点在于给出的数据是非确定的数值，而 且各产品与原料的关系较为复杂。为了方便，设xij为原 料i（i=A，B，C）混合到产品j（j=1，2，3分别表示 甲、乙、丙）的数量。 （2）目标函数
本问题的目标是公司的总利润最大， 总利润＝产品销售收入－原料成本
3.2 成本收益平衡问题
成本收益平衡问题的共性是：所有的函数约束均为收 益约束，并具有如下形式：
完成的水平最低的可接受水平
如果将收益的含义扩大，可称以“”表示的函数约束 为“收益约束”。 在多数情况下，最低的可接受水平是作为一项政策由 管理层制订的，但有时这一数据也可能是由其他条件 决定。 成本收益平衡问题需要收集的三种数据：
纯成本收益平衡问题的共性是它所有的函数 约束均为收益约束（）
网络配送问题中，主要的函数约束为确定需 求约束（＝）
3.4 混合问题
但许多线性规划问题并不能直接归入三类中的 某一类，一些问题因其主要的函数约束与表38中的相应函数约束大致相同而勉强可以归入 某一类。而另一些问题却没有一类占主导地位 的函数约束从而不能归入前三类中的某一类。 因此，混合问题是第四类线性规划问题，这一 类型将包括所有未归入前述三类中的线性规划 问题。
（1）决策变量
本问题要做的决策是每个工厂运送多少个产品给每个顾客。 设：xij为从工厂i运送给顾客j的产品数量（i＝1,2; j=1,2,3)
（2）目标函数
公司的总运输成本最低 （3）约束条件
min z 700x11 900x12 800x13
① 工厂运送出去的产品数量等于其8产00量x21 900x22 700x23
工厂1 工厂2 订货量(个)
单位运输成本（元/个）
顾客1 顾客2 顾客3
700
900
800
800
900
700
10
8
9
产量（个）
12 15 27(产销平衡)
3.3 网络配送问题
解：本问题是运输问题，是典型的网络配送问题。由于“总 产量（27）＝总订货量（27）”，故该问题是一个产销平 衡的运输问题。
对于特定的数量 提供的数量=需求的数量
成本收益平衡问题 混合问题
网络配送问题 混合问题
注： LHS=左式（一个SUMPRODUCT函数） RHS=右式（一般为常数）
3.4.2 混合问题的应用举例一：配料问题
配料问题的一般提法是：生产某类由各种原料 混合而成的产品，如何在满足规定的质量标准 的条件下，使所用原料的总成本最低。 例3.4 某公司计划要用Ａ、Ｂ、C三种原料混 合调制出三种不同规格的产品甲、乙、丙，产 品的规格要求和单价、原料供应量和单价等数 据如表3-9所示。问该公司应如何安排生产， 才能使总利润最大？
一些混合问题仅包含两类函数约束，而更多的 是包含三类函数约束。
3.4 混合问题
表3-8 各类函数约束
类型
资源 约束
形式
LHS RHS
解释
对于特定的资源 使用的数量 可用的数量
主要用于
资源分配问题 混合问题
收益 约束
确定需求 约束
LHS RHS
LHS = RHS
对于特定的收益
实现的水平 最低的可接受水平
例3.1 某公司是商务房地产开发项目的主要投资商。目前， 该公司有机会在三个建设项目中投资：
项目1：建造高层办公楼； 项目2：建造宾馆； 项目3：建造购物中心。 三个项目都要求投资者在四个不同的时期投资：在当前预 付定金，以及一年、二年、三年后分别追加投资。表3-1显 示了四个时期三个项目所需资金。投资者可以按一定的比例 进行投资和获得相应比例的收益。
使用的资源数量 可用的资源数量
对于资源分配问题，有三种数据必须收集： （1）每种资源的可供量（可用的资源数量）； （2）每一种活动所需要的各种资源的数量，对于每一种资
源与活动的组合,必须首先估计出单位活动所消耗的资源量； （3）每一种活动对总的绩效测度（如总利润）的单位贡献
（如单位利润）。
3.1 资源分配问题
宾馆项目 80 160 240 320 780
购物中心项目 90 140 160 230 600
可用资金 25 45 65 80
3.1 资源分配问题
例3.1的线性规划模型
max z 500x1 780x2 600x3
40x1 80x2 90x3 25
s.t.
119000
x1 x1
160 x2 240 x2
排班1 √ √ √ √
170
排班2 √ √ √ √
160
排班3
√ √ √ √
175
排班4
√ √ √ √ 180
排班5
√ √ 195
最少需求人数 48 79 65 87 64 73 82 43 52 15
3.2 成本收益平衡问题
解：本问题是排班问题，是典型的成本收益平衡问题。 （1）决策变量
确定不同排班的上班人数。 设：xi为排班i的上班人数 (i＝1,2,,5) （2）目标函数 每天的总成本（工资）最少。
② 顾客收到的产品数量等于其订货量
③ 非负
3.3 网络配送问题
例3.3的线性规划模型
min z 700x11 900x12 800x13
800x21 900x22 700x23
x11 x12 x13 12
x21
x22
x23
15
s.t.
x11 x12
x21 x22
10 8
max z 90(xA1 xB1 xC1) 85(xA2 xB2 xC2 ) 65(xA3 xB3 xC3) 60(xA1 xA2 xA3) 35(xB1 xB2 xB3) 30(xC1 xC2 xC3)
3.4.2 混合问题的应用举例一：配料问题
（3）约束条件 本问题的约束条件：原料供应量限制3个、规格要求7个和非负。
3.4.2 混合问题的应用举例一：配料问题
表3-9 例3.4配料问题的相关数据
产品甲
产品乙
产品丙
原料供应量 （千克）
原料单价 （元/千克）
原料A 50% 40% 30%
200
60
原料B
35% 45% 50%
原料C
不限 不限 20%
产品单价 （元/千克）
90 85 65
150 100
35
30
提供的数量＝需求的数量
3.3 网络配送问题
例3.3 某公司网络配送问题。某公司在两个工厂生产某种产 品。现在收到三个顾客下个月要购买这种产品的订单。这些 产品将被单独运送，表3-5显示了工厂运送一个产品给顾客 的成本。该表还给出了每个顾客的订货量和每个工厂的产量。 现在公司的物流经理要确定每个工厂需运送多少个产品给每 个顾客，才能使公司的总运输成本最小？
3.1 资源分配问题
解： 本问题是一个资源分配问题。 （1）决策变量
设：x1，x2，x3分别为公司在办公楼项目、宾馆项目、购物中心项目中的投资比 例 （2）目标函数 本问题的目标是公司所获得的总收益最大
max z 500x1 780x2 600x3
3.1 资源分配问题
（3）约束条件 本问题的约束条件是公司在各个时期可获得的资金限制（资
实用运筹学 －运用Excel建模和求解
第3章 线性规划的建模与应用
本章内容要点
线性规划问题的四种主要类型 资源分配问题的建模与应用 成本收益平衡问题的建模与应用 网络配送问题的建模与应用 混合问题的建模与应用
本章内容
3.1 资源分配问题 3.2 成本收益平衡问题 3.3 网络配送问题 3.4 混合问题
x13 xij
x23 0 （i
9
1,
2;
j
1, 2, 3）
3.3 网络配送问题