线性规划的实际应用模型
线性规划的理论与实例分析
线性规划的理论与实例分析线性规划（Linear Programming，简称LP）是一种重要的运筹学工具，常常被应用于生产、物流、金融等领域中的优化问题。
本文将从理论和实例两个角度，介绍线性规划的基本概念、模型及求解方法。
一、线性规划的基本概念线性规划的基本概念包括决策变量、目标函数、约束条件等。
（一）决策变量决策变量是指影响问题结果的变量，通常用x1、x2、 (x)表示。
例如，生产线上的机器数量、产品的产量等都是决策变量。
（二）目标函数目标函数是指要最大化或最小化的某个指标，通常用z表示。
例如，最小化成本、最大化利润等都是目标函数。
（三）约束条件约束条件是指在问题求解中要满足的条件。
例如，不超过机器限制数量、满足生产需求等都是约束条件。
通常用不等式或等式形式表示。
二、线性规划的模型线性规划的一般形式可表示为：最大化或最小化目标函数：Z = c1x1 + c2x2 + … + cnxn约束条件：a11x1 + a12x2 + … + a1nxn ≤ b1a21x1 + a22x2 + … + a2nxn ≤ b2……am1x1 + am2x2 + … + amnxn ≤bm或x1, x2, … , xn ≥ 0 （非负性约束条件）其中，c1、c2、…、cn为各决策变量的系数，a11、a12、…、amn为各约束条件中各决策变量的系数，b1、b2、…、bm为约束条件的值，x1、x2、…、xn为决策变量，非负性约束条件也称为非负约束。
三、线性规划的求解方法线性规划有多种求解方法，这里主要介绍两种：单纯性法和对偶理论。
（一）单纯性法单纯性法是线性规划的一种基本算法，其实质是在各约束条件限制下寻找目标函数最大或最小值。
单纯性法基于以下两个原则：①某个极值点必定满足目标函数的所有约束条件；②各个变量所形成的可行解区域有限，且该区域的可行解点数有限。
单纯性法的具体过程如下：Step 1 建立初始单纯形表将约束条件转化为标准形式，即将约束条件化为”≤“的形式，并加入人工变量，得到初始单纯形表。
线性规划的应用
线性规划的应用1. 简介线性规划是一种数学优化方法，用于解决线性约束条件下的最优化问题。
它在各个领域都有广泛的应用，包括生产计划、资源分配、投资组合、运输问题等。
本文将介绍线性规划的基本概念和应用领域，并以一个实际案例来说明其具体应用。
2. 基本概念2.1 目标函数在线性规划中，我们需要最大化或最小化的目标称为目标函数。
目标函数通常是一个线性函数，表示决策变量的加权和。
2.2 约束条件约束条件是限制决策变量取值范围的条件。
线性规划的约束条件通常是一组线性等式或不等式。
2.3 决策变量决策变量是我们要求解的问题中的未知数，它们的取值将影响目标函数的值。
3. 应用领域3.1 生产计划线性规划可以用于优化生产计划，以最大化产出或最小化成本。
例如，一个工厂需要决定每种产品的生产数量，以最大化总利润。
我们可以将每种产品的利润作为目标函数，将生产数量的约束条件表示为线性等式或不等式。
3.2 资源分配线性规划可以帮助我们合理分配有限资源，以达到最优效益。
例如，一个公司需要决定如何分配有限的人力资源和资金，以最大化销售额。
我们可以将销售额作为目标函数，将人力资源和资金的约束条件表示为线性等式或不等式。
3.3 投资组合线性规划可以用于优化投资组合，以最大化收益或最小化风险。
例如，一个投资者需要决定如何分配资金到不同的投资标的，以最大化投资组合的收益。
我们可以将投资组合的收益作为目标函数，将资金分配的约束条件表示为线性等式或不等式。
3.4 运输问题线性规划可以解决运输问题，以最小化运输成本或最大化运输量。
例如，一个物流公司需要决定如何安排货物的运输路线和运输量，以最小化运输成本。
我们可以将运输成本作为目标函数，将货物的供应和需求、运输路线的约束条件表示为线性等式或不等式。
4. 案例分析假设某公司生产两种产品A和B，每天的生产时间为8小时。
产品A每单位利润为100元，产品B每单位利润为150元。
产品A的生产时间为1小时，产品B的生产时间为2小时。
线性规划基本模型
在每次迭代中，单纯形法会根据目标函数的 系数和约束条件，通过一系列的数学运算， 将问题转化为更简单的形式，直到找到最优 解或确定无解。
单纯形法具有简单易懂、易于实现 的特点，是解决线性规划问题最常 用的方法之一。
对偶问题
等式约束
等式约束优化是指在优化问题中包含等式约束的线性规划问题。等式约束通常 表示决策变量之间的关系，满足等式约束是找到最优解的必要条件。
求解算法
对于包含等式约束的线性规划问题，可以采用一些特殊的算法进行求解，如消 元法或拉格朗日乘子法。这些算法能够更高效地处理等式约束，并找到最优解。
05
线性规划的扩展模型
线性规划基本模型
• 线性规划概述 • 线性规划的基本概念 • 线性规划的求解方法 • 线性规划的优化方法 • 线性规划的扩展模型 • 线性规划的实际应用案例
01
线性规划概述
定义与特点
定义
线性规划是一种数学优化方法，通过 在一定的约束条件下最大化或最小化 一个线性目标函数，来找到一组变量 的最优解。
现状
目前，线性规划已经发展成为一 个成熟的学科分支，有许多成熟 的算法和软件工具可用于解决各 种实际问题。
02
线性规划的基本概念
线性方程组
线性方程组
01
线性规划问题通常由一组线性方程组成，这些方程描述了决策
变量之间的关系。
线性方程的解
02
线性方程组可能有多个解，但在线性规划中，我们通常只关心
满足特定约束条件的解。
资源利用
线性规划可以确定最佳的资源利用方案，包括原材料、设备、劳动力等，以最小化生产成本或最大化 利润。
优化模型一：线性规划模型数学建模课件
混合整数线性规划问题求解
要点一
混合整数线性规划问题的复杂性
混合整数线性规划问题是指包含整数变量的线性规划问题 。由于整数变量的存在，混合整数线性规划问题的求解变 得更加困难，需要采用特殊的算法和技术来处理。
要点二
混合整数线性规划模型的求解方 法
为了解决混合整数线性规划问题，可以采用一些特殊的算 法和技术，如分支定界法、割平面法等。这些方法能够将 问题分解为多个子问题，并逐步逼近最优解，从而提高求 解效率。
目标函数的类型
常见的目标函数类型包括最小化、最大化等。
确定约束条件
约束条件
01
约束条件是限制决策变量取值的条件，通常表示为数学不等式
或等式。
确定约束条件的原则
02
根据问题的实际情况，选择能够反映问题约束条件的条件作为
约束条件。
约束条件的类型
03
常见的约束条件类型包括等式约束、不等式约束等。
线性规划模型的建立
也可以表示为
maximize (c^T x) subject to (A x geq b) and (x leq 0)。
线性规划的应用场景
生产计划
物流优化
在制造业中，线性规划可以用于优化生产 计划，确定最佳的生产组合和数量，以满 足市场需求并降低成本。
在物流和运输行业中，线性规划可以用于 优化运输路线、车辆调度和仓储管理，降 低运输成本和提高效率。
初始基本可行解
在线性规划问题中，一个解被称为基 本可行解，如果它满足所有的约束条 件。
在寻找初始基本可行解时，可以采用 一些启发式算法或随机搜索方法，以 快速找到一个可行的解作为起点。
初始基本可行解是线性规划问题的一 个起始点，通过迭代和优化，可以逐 渐逼近最优解。
第五节 线性规划建模举例
第五节线性规划建模举例线性规划是一种操作研究的数学方法，广泛应用于商业、经济、工程领域中的优化问题。
线性规划建模是将实际问题描述为线性规划模型的过程。
本节将介绍几个线性规划建模的典型例子。
例1：混合饲料配方问题某饲料厂要生产一种混合饲料，需包括以下六种饲料成分：大豆粉、面粉、玉米、鱼粉、鸡粉、牛粉，并且要求这种混合饲料包含不少于25%的蛋白质和不多于15%的纤维素。
每吨饲料的生产成本和含量如下：| 饲料成分 | 成本（元/吨） | 蛋白质含量（%） | 纤维素含量（%） || -------- | ------------- | -------------- | -------------- || 大豆粉 | 200 | 45 | 10 || 面粉 | 100 | 10 | 2 || 玉米 | 150 | 8 | 5 || 鱼粉 | 300 | 60 | 0 || 鸡粉 | 280 | 50 | 2 || 牛粉 | 320 | 70 | 5 |问如何使得生产的混合饲料成本最小，同时满足蛋白质含量不少于25%和纤维素含量不超过15%的要求。
自变量：混合饲料中每种成分的含量。
目标函数：最小化混合饲料的成本。
约束条件：1. 蛋白质含量不少于25%：0.45×x1 + 0.1×x2 + 0.08×x3 + 0.6×x4 + 0.5×x5 + 0.7×x6 ≥ 0.25。
2. 纤维素含量不超过15%：0.1×x1 + 0.02×x2 + 0.05×x3 + 0×x4 + 0.02×x5 + 0.05×x6 ≤ 0.15。
3. 非负性：x1, x2, x3, x4, x5, x6 ≥ 0。
其中，x1，x2，x3，x4，x5，x6 分别表示大豆粉、面粉、玉米、鱼粉、鸡粉和牛粉的含量，单位为吨。
常见数学建模模型
常见数学建模模型一、线性规划模型线性规划是一种常见的数学优化方法，广泛应用于工程、经济、管理等领域。
线性规划模型的目标是在给定的约束条件下，求解一个线性目标函数的最优解。
其中，约束条件通常是线性等式或不等式，而目标函数是一个线性函数。
在实际应用中，线性规划模型可以用于生产计划、资源分配、运输问题等。
例如，一个工厂的生产计划中需要确定每种产品的产量，以最大化利润为目标，并且需要满足一定的生产能力和市场需求的约束条件。
二、整数规划模型整数规划是线性规划的一种扩展形式，其目标函数和约束条件仍然是线性的，但变量需要取整数值。
整数规划模型常用于离散决策问题，如项目选择、设备配置等。
例如，一个公司需要决定购买哪些设备以满足生产需求，设备的数量必须是整数，且需要考虑成本和产能的约束。
三、动态规划模型动态规划是一种求解多阶段决策问题的数学方法。
该模型通常包含一个阶段决策序列和一个状态转移方程，通过递推求解最优解。
动态规划模型被广泛应用于资源分配、路径规划、项目管理等领域。
例如，一个工程项目需要确定每个阶段的最佳决策，以最小化总成本或最大化总效益。
在每个阶段，决策的结果会影响到下一个阶段的状态和决策空间，因此需要使用动态规划模型进行求解。
四、图论模型图论是研究图和网络的数学理论。
图论模型常用于解决网络优化、路径规划、最短路径等问题。
例如，一个物流公司需要确定最佳的送货路径，以最小化运输成本或最短时间。
可以将各个地点看作图中的节点，道路或路径看作边，利用图论模型求解最优路径。
五、回归分析模型回归分析是研究变量之间关系的一种统计方法。
回归分析模型通常用于预测和建立变量之间的数学关系。
例如，一个销售公司需要预测未来销售额与广告投入、市场份额等因素的关系。
可以通过回归分析模型建立销售额与这些因素之间的数学关系，并进行预测和决策。
六、排队论模型排队论是研究排队系统的数学理论。
排队论模型常用于优化服务质量、降低排队成本等问题。
线性规划 实际案例
线性规划是一种数学优化模型，用于解决在有一些约束条件下，如何使一个目标函数达到最优解的问题。
线性规划广泛应用于许多实际案例中，其中一些常见的案例如下：
1.生产规划：在生产过程中，企业可能需要在有限的生产资源和需求的限制下，决策
生产的数量、成本、产品组合等，以使生产效益最大化。
这就需要用到线性规划模
型来解决。
2.交通规划：在城市规划过程中，市政部门可能需要决策道路的建设、扩建、维护等，
以满足城市交通需求，并考虑到道路建设的成本和环境影响等因素。
这时候可以使
用线性规划模型来解决。
3.财务规划：在进行财务管理时，企业或个人可能需要在有限的资金和资产的限制下，
决策投资、储蓄、借贷等，以使财务效益最大化。
这时候可以使用线性规划模型来
解决。
4.供应链管理：在供应链管理过程中，企业可能需要决策采购、生产、运输、库存等
各个环节，以保证供应链的流畅运行并达到最优的效益。
这时候可以使用线性规划
模型来解决。
这些都是线性规划在实际案例中的应用，线性规划能够帮助企业和组织在有限的条件下，有效地规划和决策，并取得较好的效益。
线性规划 实际案例
线性规划实际案例
线性规划（LinearProgramming）是一种模型化工具，它可以帮
助我们更好地解决有限资源最大化利用的计算问题。
线性规划可以找出给定问题的最优解，这使得其在商业决策中受到越来越多的重视。
本文将介绍线性规划的一些实际案例，并阐述其优势以及在商业决策中的应用。
首先，我们从最简单的线性规划开始讨论。
在一组普通工作面前，线性规划可以让我们避免“最小化最大值”方面的问题，从而更容易找出最佳解决方案。
例如，假设我们正在解决以下简单的问题：有两种产品A和B，要在有限的资源内生产尽可能多的产品，并获得最大的利润。
在这种情况下，我们可以使用简单的线性规划，通过计算生产各种产品所消耗的资源，并将此类资源最大化利用以获得最大利润，最终找到最优解决方案。
其次，我们可以将线性规划作为其他更复杂问题的解决方案。
例如，我们可以使用线性规划来求解众多变量相互影响之间的最优解决方案。
它可以解决各种复杂的组合优化问题，例如投资组合优化、产品组合优化、成本优化等。
另外，它也可以用来解决货币及其它各种金融上的优化问题。
最后，线性规划可以用来解决各种决策问题。
例如，对于一个商业决策，管理者往往希望尽可能地实现最大的预期价值，以及尽可能最小的风险，这也是线性规划的一个典型应用场景。
同样，我们也可以使用线性规划来进行企业资源调度、供应链调度等各种决策，最终
获得最佳的结果。
综上所述，线性规划可以应用于众多场景，其优势是可以快速找出最优解决方案，在商业决策中可以起到非常有效的作用。
以上是本文介绍的关于线性规划实际案例，欢迎各位读者积极探索这一领域，为商业决策及其它工作增加价值。
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目录摘要 ---------------------------------------------------1 引言 ---------------------------------------------------2 一线性规划的概念 -------------------------------------3 二线性规划的实际应用 ----------------------------------4（（四）体育上的应用 1.合理安排比赛问题 -------------132.选拔选手问题 -----------------14 （五）旅行上的问题:旅行背包问题 ------------------------15 （六）航空上的问题:航空时间安排问题 --------------------16 （七）城市规划的应用:设施布点问题 ----------------------18 （八）日常生活上的应用 1.食用油的结构优化问题 ---------192.饮食问题 ---------------------21 （九）农业上的应用:农业种植问题 ------------------------23 三总结及参考文献 --------------------------------------25线性规划的实际应用模型王丽娜（渤海大学数学系辽宁锦州 121000 中国）摘要：本文从运筹学的角度分析线性规划的实际应用模型，随着人类社会的进步，科学技术的发展，经济全球化进程的日益加快，线性规划在实际中的应用越来越广泛，主要应用于经济与管理,军事,金融,体育,旅行,航空,城市规划,日常生活,农业九大方面，因此，线性规划作为一门科学已被人们广泛接受，并已日益成为人类社会和经济生活中一种不可或缺的工具。
关键词：运筹学线性规划分析模型Zhe model in practical application of linear programmingWang lina(Department of Mathematics Bohai University Liaoning Jinzhou 121000 China)Abstract:This article analyse the practical application of linear programmingfrom the sight of operational research,with the advancement of human society,thedevelopment of science and technology and the faster grogramming has widerapplication in the practical,has been applied to nine aspects,in econemy,management,military,finance,physical education,travelling,airline,cityplanning,daily life, agriculture.The examples will be given to show the applicationin the nine aspects given abo。
Key word:operational research ,linaear programming, analy ,model引言线性规划是运筹学的一个重要分支。
也是研究较早的，发展较快的,应用较广而比较成熟的一个分支。
早在本世纪30年代后期，苏联数学家康特洛维奇为了解决生产组织里的一系列问题，如机器负荷分配，原材料的合理利用等，提出了“解乘数法”，同时，发表了一系列文章，其中的代表作是“生产组织与计划中的数学方法”。
我国从1958年开始用线性规划来解决生产中的问题，取得了一定的效果，特别是在物资调运方面，总结出我国特有的“图上作业法”，运筹学工作者在此基础上作出进一步的发展和提高工作，随着我国四个现代化建设的需要，线性规划得到越来越广泛的普及，从事这方面理论研究和实际应用工作的队伍越来越大。
线性规划所研究的问题主要有两类:一类是当一项任务确定后，如何统筹安排，尽量做到以最少的人力，物力资源去完成；另一类是已有一定数量的人力，物力资源，如何安排使用它们，使完成的任务（或创造的财富，利润）最多？这两类问题实际上是一个问题的两个方面，即所谓寻求整个问题的某个整体指标最优的问题。
日常生活，农业，体育，交通，运输，军事，经济与管理决策等领域都有应用，大到一个国家，一个地区，小到一个企业，一个车间，一个班组都有运用线性规划后提高经济效益的例子，本文主要讨论线性规划解决实际问题的应用并总结出一般模型。
一.线性规划的概念(3)规划问题的数学模型由三个要素组成：（1）变量，或称决策变量，是问题中要确定的未知量，它用以表明规划中的用数量表示的方案，措施，可由决策者决定和控制；（2）目标函数，它是决策变量的函数，按优化目标分别在这个函数前加上max或min；（3）约束条件，指决策变量取值时受到的各种资源条件的限制，通常表达为含决策变量的等式或不等式。
如果规划问题的数学模型中，决策变量的取值是连续的，即可以为正数，也可以为分数，小数或实数，目标函数是决策变量的线性函数，约束条件是含决策变量的线性等式或不等式，则该类规划问题的数学模型称为线性规划的数学模型。
假定线性规划问题中含n个变量，分别用xj（J=1，2，…，n）表示，在目标函数中xj 的系数为cj（cj通常称为价值系数），xj的取值受项资源的限制，用bi(i=1,…,m)表示第i中资源的拥有量，用aij 表示变量xj取值为1个单位时所消耗或含有的第i种资源的数量，通常称aij为技术系数或工艺系数。
则上述线性规划问题的数学模型可表示为：Max(min)Z=c1x1+c2x2+…+cnxn(1)s.t. a11x1+a12x2+…+an1xn≤＝≥b1a21x1+a22x2+…+an2xn≤＝≥b2(2) …a1m x1+a2mx2+…+amnxn≤＝≥bnx1, x2,…, xn≥0 (3)在上述线性规划的数学模型中，或（1）称为目标函数，或（2）称为约束条件，或（3）称为非负条件，式中，Z为目标函数，xj（J=1，…，n）为决策变量，c1, c2,…,cn,b1,b2,…,bn, a11,a12,…,an1,a21,a22, …,an2, a1m, a2m…,amn都是常数。
二. 线性规划的实际应用线性规划在各行各业都有实际应用的典例，下面列举线性规划的实际应用。
（一）经济与管理上的应用经济管理中,如何有效的利用现有人力，物力去完成更多的任或在预定的任务目标下,如何用最少的人力，物力去完成目标,这就是用线性规划在经济与管理方面要解决的具体问题.1.生产组织与计划问题产品配套问题(5)某车间可以用塑料生产以下三种管状产品,有关数据如下表表1现有丁产品(新产品或用户要求生产的产品),设生产1m需塑料3kg,和工时5h,每米利润为6元,如下表表2人们发现不仅可以单独出售上述产品,还可以把它们组成套件出售:一种是4乙产品与3丙产品组成一套,利润为27元;另一种是甲,乙,丁产品各1米组成一套,利润为13元,问如何组织生产,如何销售(单独出售多少,成套出售各多少)使总利润最大.解:设四种产品单独销售量为y1,y2,y3,y4,两种成套产品销售U1,U2,这6个决策变量的值求得之后,四种产品的生产量x1,x2,x3,x4就可用下式算得:x1= y1+U2x2= y2+4 U1+ U2x3 = y3+3U1x4= y4+ U2把成套的产品作为新产品,第一种是乙,丙两种产品按4:3组合,这种产品记做(乙4×丙3),乙产品4以及丙产品3组成相当于1的(乙4×丙3),因此它需要7(=4×3)塑料和37(=4×4+7×3)个工时,第二种记做(甲×乙×丁),相当于它1的3(=1+1+1)塑料与10(1×4+5)个工时,表1与两种成套产品合并成为表3表3数学建模如下:maxZ=2 y1+3 y2+332 y3+6 y4+27 U1+13 U2s.t. y1+ y2+ y3+3 y4+7 U1+5 U2≤135y1+4 y2+7 y3+5 y4+37 U1+10 U2≤405y1, y2, y3, y4, U1, U2≥0因此:最大总利润为4022315元,最优的产品结构是;出售两种成套产品,不出售单一品种,(乙4×丙3)产品出售52320套, (甲×乙×丁)产品出售182320套,于是甲,乙,丙与丁产品生产:产品甲: x1 = y1+ U2=18.783(m)产品乙: x2= y2+4 U1+ U2=42.261(m)产品丙: x3= y3+3 U1=17.609(m)产品丁: x4= y4+ U2=18.783(m)归纳一般模型为：车间生产m 种产品，利润分别a1, a2,…, an，用原料分别为b1, b2, …, bn, 工时分别h1, h2, …, hn，总用料不超过A，总工时不超过B，问如何组织销售使总利润最大？解：maxZ=a1x1+a2x2+… +anxns.t. b1x1+ b2x2+…+ bnxn≤Ah1x1+ h2x2+…+ hnxn≤Bx1, x2,…, xn≥02.运输问题产销平衡的运输问题⑵某部门有3个生产同类产品的工厂,生产由4个销售点出售,各工厂的生产量,各销售点的销售量(假定单位均为t)以及各工厂到各销售点的单位运价(元\t)示于表4要求研究产品如何运才能使总运费最小?表4解:用xij表示由第 i个产地运往第 j 个产地的产品数量,即可写出该问题的数学模型:minZ=cij xij=4x11+12x12+4x13+11x14+2x21+10x22+3x23+9x24+8x31+5x32+11x33+6x34s.t. x11+x12+x13+ x14=16x21+ x22+ x23+ x24=10x31+ x32+x33+ x34=22x11+ x21+ x31=8x12+ x22+ x32=14x13+ x23+ x33=12x14+ x24+ x34=14xij≥ 0计算得该运输问题的一个初始解: x13=10, x14=6, x23=2, x32=14,x34=8其他变量全等于零,即由A1运10单位物品给B3,运6单位物品给B4;由A2运8单位物品给B1,运2单位物品给B3;由A3运14单位物品给B2,运8单位物品给B4,总运费Z=10×4+6×11+8×2+2×3+14×5+8×6=246(元)（二）军事上的应用军事上的运载和分配武器装备等问题都需要用线性规划来解决. 例子如下:向运载工具分配武器的问题(7)四类武器(m=4)需分配到六类运载工具(n=6)上; xj是第j类武器运载工具的数量,向运载工具分配武器,需要确定运载工具的总损失为最小的每类运载工具数量,毁伤运载工具的概率见下表5表5解:有待最优化的目标函数是:y=0.4x1+0.5x2+0.2x3+0.8x4+0.6x5+0.3x6+4x1+x4=162x2+x5=10x3+2x4+6x5=764x1+3x2+x6=24xj≥0 (j=1,2,3,4)解得最优方案为:x1=4,x2=0,x3=16,x4=0,x5=10,x6=8目标函数最小为y=-2.4×4+0.8×0+22.8=13.2总结一般模型为：把m 种武器分配到运载工具上，xj是第j类武器运载工具的数量，毁伤第j类运载工具的概率为 cj,需确定运载工具的总损失最小的每类运载工具的数量，则y=c1x1+c2x2+…+cnxna11x11+a12x12+…+an1xn1=A1…a1n x1n+a2nx2n+…+annxnn=Anxij≥0（三）金融行业中的应用线性规划对金融行业中的金钱投资,运行正常等方面的实际问题的具体解决有重要影响,下面就具体列出线性规划在这类问题中的具体应用:1.银行运行问题⑵振华银行的四个分理处的投入产出情况如表所示,要求分别确定各分理处的运行是否DEA有效.表6解:若先确定分理处1的运行是否DEA有效,可列出线性规划模型如下:minEs.t. 1800ⅴ1+1000ⅴ2+800ⅴ3+900ⅴ4≥1800 ①200ⅴ1+350ⅴ2+450ⅴ3+420ⅴ4≥ 200 ②1600ⅴ1+1000ⅴ2+1300ⅴ3+1500ⅴ4≥ 1600 ③15ⅴ1+20ⅴ2+21ⅴ3+20ⅴ4≤15E ④140ⅴ1+130ⅴ2+120ⅴ3+135ⅴ4≤40E ⑤ⅴ1+ⅴ2+ⅴ3+ⅴ4=1ⅴj≥ 0 (j=1,2,3,4)求解结果为E=1,说明分理处1的运行为DEA有效,在上述模型中只需将式①～⑤的右端项数字分别更换为要确定的分理处的产出和投入的数字,就可以分别计算出E的值,计算结果为对分理处3和4,E=1,但对分理处2有E=0.996, ⅴ1=0.28, ⅴ2=0.72,ⅴ3=ⅴ4=0,即分理处2运行非DEA有效,若将28%的分理处1同72%分理处3组合,其各项产出不低于分理处2的各项产出,但其投入只有分理处2的96.6%总结一般模型为：某银行n个分理处投入产出情况：职员数为 a1,a2,…,an,营业面积 b1,b2,…,bn，储蓄存取c1,c2,…,cn，贷款 d1,d2,…,dn,中间业务e1,e2,…,en,则minEa1x1+a2x2+…+anxn≥Ab1x1+b2x2+…+bnxn≥Ac1x1+c2x2+…+cnxn≥Ad1x1+d2x2+…+dnxn≥Ae1x1+e2x2+…+enxn≥Anxj≥02.投资组合选择问题(8)中国投资基金正在发行一个固定收益共同基金, 基金经理预测到发行结束之后,可以售出一亿份基金(一份基金等于人民币一元), 基金管理的首要目的是获取投资收益,第二个目标是通过分散投资控制风险,假设投资组合经理所面临的企业债券如下表所列:表7为了符合分散投资目的, 基金管理人决定投资于任何单支债券的资金额不能超过总资产的25%,至少有一半以上资金投资于长期债券(2009年以后),投资在等级为“一般”债券上的资金额不能超过总资产的30%.解:设xi=投资在第i只企业债券上的资金额(单位:人民币,万元) 显然 i=A,B,C,D,E,F,目标函数:当前基金的收益率为p=0.085 xA +0.09 xB+0.1xC+0.095xD+0.085xE+0.09xFs.t. xA +xB+xC+xD+xE+xF=10000xi≤ 2500 i= A,B,C,D,E,F,xA +xB+xE+xF≥5000xC +xD≤ 300xA ,xB,xC,xD,xE,xF≥ 0表8债券投资组合问题总结一般模型：用xi表示投资在第i只企业债券资金额，这i种债券当前收益率分别为ai，总资金额为A，则投资选择p=a1x1+a2x2+…+anxnx1+ x2+…+xn=Axi≥0（四）体育上的应用在体育中,如何合理安排比赛项目,参赛人员才能达到最好效果非常重要,这就需要用线性规划来准确计算,找出安排的最优方案.1.合理安排比赛问题⑴有16名运动员参加8个项目的游泳比赛,已知运动员号码及参加比赛项目如下表所示(表中*号表示参加项目),为使参加多项比赛的运动员恢复体力,要求比赛顺序安排保证每个运动员不连续参加两项比赛,问如何安排才能作到这一点.1 2 3 4 5 6 7 8解:将每个项目用一个点表示,同一运动员参加比赛项目的点用边相连,安排比赛顺序时作到相邻点的项目间隔开,安排顺序上可以有多个方案,如下列顺序就是满足题意要求的一个方案:①100米仰泳②200米蛙泳③200米混合接力④100米自由泳⑤400米混合接力⑥100米蛙泳⑦100米蝶泳⑧200米自由泳2.选拔选手问题⑹54718263某市游泳队有4名运动员甲,乙,丙,丁,他们的100米自由泳, 蛙泳,蝶泳,仰泳成绩如下表,现要组成一个4×100米混合泳接力队,问应如何指派才能使总成绩最好?表10解:设该问题的效率矩阵为C,作变换最后可令x13=1,x22=1,x31=1,x44=1,其余决策变量取值为0,即指派甲游蝶泳,乙游蛙泳, 丙游自由泳, 丁游仰泳,这是最优分配方案,此时总成绩为minZ=61〞+69〞+57〞1+62〞=249〞1=4ˊ9〞1（五）旅行上的问题一个人要想旅行必须作好出发前的准备,才不会有危险,用线性规划的方法准确计算相关问题是必须的.旅行背包问题 (3)登山队员,他需要携带的物品有:食品,氧气,冰镐,绳索,帐篷,照相器材,通信器材等,每种物品的重量及重要性系数见表11登山队员可携带的最大量为25kg,试选择该队员所应携带的物品.表11解：若xi =1表示应携带物品i;若xi=0表示该队员不应携带物品I,因此模型可表达为:maxZ=20x1+15x2+18x3+14x4+8x5+4x6+10x7s.t. 5x1+5x2+2x3+6x4+12x5+2x6+4x7≤25xi=1或 0, i=1,2,3,4,5,6,7解得最优解: xi =1≠ (i=1,2,3,4,5,6,7)，x5=0,背包重量Z*=24kg 总结一般模型：旅行需要携带m件物品，每件物品重量a1, a2,…, am,重要系数为b1,b2，…,bm，可携带最大量为n，则队员应携带的物品怎样安排最合理？解：根据题意：minZ= b1x1+ b2x2+…+ bmxma1x1+ a2x2+…+ amxm≤nxi≥0（六）航空上的问题航运往往需要合理安排时间,航班,才会使航运正常运作,这就需要用线性规划来准确计算解决实际问题.航空时间安排问题⑴某航空公司经营A,B,C三个城市之间的航线,这些航线每天班机起飞与到达时间如下表表12设飞机在机场停留的损失费用大致与停留时间的平方成正比,又每架飞机从降落到下班起飞至少需2小时准备时间,试决定一个使停留费用损失为最小的飞行方案。