数字信号处理大题(含答案)

四、计算题（每小题10分，共40分）1.已知11257()252z X z zz----=-+，求出对应X(z)的各种可能的序列表达式。

解： X (z )有两个极点：z 1=0.5，z 2=2， 因为收敛域总是以极点为界，因此收敛域有三种情况： |z |<0.5，0.5<|z |<2，2<|z |。

对应三种不同的原序列。

-----------3分0.521()R e s[(),0.5]R es[(),2](57)(57)(0.5)(2)2(0.5)(2)2(0.5)(2)1[3()2](1)2nnz z n nx n F z F z z zz zz z z z z z u n ==+=----=--------=-⋅+-- ------------3分11()3()()2(1)2n nx n u n u n +=⋅--- ------------------------2分11 ()32()2n nx n u n +⎡⎤⎛⎫=⋅+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦------------------------2分2.用Z 变换法解下列差分方程：y (n )－0.9y (n －1)=0.05u (n )，n < 0时y (n )=0。

解：11111()0.9()0.0510.05()(10.9)(1)Y z Y z z zY z z z -----=-=-- ------------------------4分()110.050.05()R e s[(),0.9]R e s[(),1](0.9)0.10.1 0.50.90.5n n y n F z F z ++=+=+-=-⋅+ ------------------------3分n <0时， y (n )=0最后得到 y (n )=［－0.5 · (0.9)n +1+0.5］u (n ) ------------------------3分3.设计一个巴特沃斯低通滤波器， 要求其通带截止频率f p=12 kHz ，阻带截止频率f s=24 kHz ，f p 处最大衰减为3dB ，阻带最小衰减a s=15dB 。

求出该滤波器的系统函数H a(s )，并说明如何应用脉冲响应不变法转换为数字滤波器系统函数。

解：3s sp 3p2π241022π1210ΩλΩ⨯⨯===⨯⨯sp 5.548k ===≈sp splg lg 5.548 2.472lg lg 2k N λ=== ------------------------4分321()221G p p p p =+++c3c3223c cc()()|22sp H s G p s s s ΩΩΩΩΩ===+++ ------------------------3分式中Ωc=2πf c=2π×12×103=24π×103 rad/s由1()Ni i iA H s s s ==-∑、11()1i Nis Ti A H z ez-==-∑关系可得数字滤波器系统函数 ----3分4.用矩形窗设计线性相位低通FIR 滤波器，要求过渡带宽度不超过π/8 rad 。

希望逼近的理想低通滤波器频率响应函数为 j j d c e 0||(e )0||a c H ωωωωωωπ-⎧≤≤⎪=⎨<≤⎪⎩。

(1) 求出理想低通滤波器的单位脉冲响应h d(n )；(2) 求出加矩形窗设计的低通FIR 滤波器的单位脉冲响应h (n )表达式， 确定α与N 之间的关系；（矩形窗过渡带宽度近似值：4π/N ） (3) 简述N 取奇数或偶数对滤波特性的影响。

解：(1)ccπj j j j d d πc 11()(e)ed eed 2π2πsin[()] π()nnh n H n n ωωωωαωωωωωαα----==-=-⎰⎰ ------------------------4分(2) 12N α-=，4ππ8N≤求解得到N ≥32c d sin[()]()()()()()N N n h n h n R n R n n ωαπα-=⋅=-c sin[()]101,π()20n N n N n nωααα--⎧≤≤-=⎪-=⎨⎪⎩其它 ------------------------3分(3) N 取奇数时，幅度特性函数H g(ω)关于ω=0，π，2π三点偶对称，可实现各类幅频特性； N 取偶数时，H g(ω)关于ω=π奇对称，即H g(π)=0，所以不能实现高通、 带阻和点阻滤波特性。

------------------------3分三、（15分）、已知某离散时间系统的差分方程为)1(2)()2(2)1(3)(-+=-+--n x n x n y n y n y系统初始状态为1)1(=-y ，2)2(=-y ，系统激励为)()3()(n u n x n =， 试求：（1）系统函数)(z H ，系统频率响应)(ωj e H 。

（2）系统的零输入响应)(n y zi 、零状态响应)(n y zs 和全响应)(n y 。

解：（1）系统函数为23223121)(22211+-+=+-+=---z z zzzzz z H 系统频率响应232)()(22+-+===ωωωωωωj j j j ez j e eee z H eH j解一：（2）对差分方程两端同时作z 变换得)(2)(])2()1()([2])1()([3)(1221z X z z X z y z y z Y z z y z Y z z Y ---+=-+-++-+-即：)(231)21(231)2(2)1(2)1(3)(211211z X zzz zzy y zy z Y ------+-+++------=上式中，第一项为零输入响应的z 域表示式，第二项为零状态响应的z 域表示式，将初始状态及激励的z 变换3)(-=z z z X 代入，得零输入响应、零状态响应的z 域表示式分别为23223121)(22211+-+-=+---=---z zzzz z zz Y zi ，3232323121)(22211-⋅+-+=-⋅+-+=---z z z zzzz z z zz z Y zs将)(),(z Y z Y zs zi 展开成部分分式之和，得2413232)(2--+-=+-+-=z z z zz zz Y zi ，32152812331232)(22-+--+-=-⋅+-+=z z z z z zzzzz Y zs即2413)(--+-=z z z z z Y zi321528123)(-+--+-=z zz z z zz Y zs对上两式分别取z 反变换，得零输入响应、零状态响应分别为)(])2(43[)(k k y kzi ε-=，)(])3(215)2(823[)(k k y kkzs ε+-=故系统全响应为：)()()(k y k y k y zs zi +=)(])3(215)2(1229[k kkε+-= 解二、（2）系统特征方程为0232=+-λλ，特征根为：11=λ，22=λ；故系统零输入响应形式为kzi c c k y )2()(21+=将初始条件1)1(=-y ，2)2(=-y 带入上式得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=-=+=-2)41()2(1)21()1(2121c c y c c y zi zi 解之得31=c ，42-=c ，故系统零输入响应为： kzi k y )2(43)(-=≥k系统零状态响应为3232323121)()()(22211-⋅+-+=-⋅+-+==---z z z zzzz z z zz z X z H z Y zs32152812331232)(22-+--+-=-⋅+-+=z z z z z z zzzz Y zs即321528123)(-+--+-=z zz z z zz Y zs对上式取z 反变换，得零状态响应为 )(])3(215)2(823[)(k k y kkzs ε+-=故系统全响应为)()()(k y k y k y zs zi +=)(])3(215)2(1229[k kkε+-=四、回答以下问题：（1） 画出按时域抽取4=N 点基FFT 2的信号流图。

（2） 利用流图计算4点序列)4,3,1,2()(=n x （3,2,1,0=n ）的DFT 。

（3） 试写出利用FFT 计算IFFT 的步骤。

解：（1）)0(x 1(x )2(x 3(x )0(X )1(X )2(X )3(Xkr001102W 02W 02W 12W kl001104W 04W 14W 234W 04W 04W 24W 34W4点按时间抽取FFT 流图 加权系数 （2）⎩⎨⎧-=-=-==+=+=112)2()0()1(532)2()0()0(00x x Q x x Q⎩⎨⎧-=-=-==+=+=341)3()1()1(541)3()1()0(11x x Q x x Q1055)0()0()0(10=+=+=Q Q X31)1()1()1(1140⋅+-=+=j Q W Q X55)0()0()2(1240=-=+=Q W Q XjQ W Q X 31)1()1()3(1340--=+=即： 3,2,1,0),31,0,31,10()(=--+-=k j j k X（3）1）对)(k X 取共轭，得)(k X *； 2）对)(k X *做N 点FFT ；3）对2）中结果取共轭并除以N 。

五、（12分）已知二阶巴特沃斯模拟低通原型滤波器的传递函数为1414.11)(2++=s s s H a试用双线性变换法设计一个数字低通滤波器，其3dB 截止频率为πω5.0=c rad ，写出数字滤波器的系统函数，并用正准型结构实现之。

（要预畸，设1=T ） 解：（1）预畸2)25.0arctan(2)2arctan(2===ΩπωTT cc（2）反归一划4828.241)2(414.1)2(1)()(22++=++==Ω=s ssss H s H cs s a（3） 双线性变换得数字滤波器4112828.2)112(44828.24)()(1121121121111211++-⋅++-=++==----+-=-+--=--zz zz s ss H z H zz s zz T s2212211716.01)21(2929.0344.2656.13)21(4------+++=+++=zzzzz z（4）用正准型结构实现(n x )(n y六、（12分）设有一FIR 数字滤波器，其单位冲激响应)(n h 如图1所示：试求：（1）该系统的频率响应)(ωj e H ；（2）如果记)()()(ωϕωωj j e H e H =，其中，)(ωH 为幅度函数（可以取负值），)(ωϕ为相位函数，试求)(ωH 与)(ωϕ；（3）判断该线性相位FIR 系统是何种类型的数字滤波器？（低通、高通、带通、带阻），说明你的判断依据。