线性规划模型在生活中的实际应用
线性规划模型在生活中的实际应用
一、线性规划的基本概念
线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟的一个重要分支,它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法.在经济管理、交通运输、工农业生产等经济活动中，提高经济效果是人们不可缺少的要求，而提高经济效果一般通过两种途径：一是技术方面的改进，例如改善生产工艺，使用新设备和新型原材料.二是生产组织与计划的改进，即合理安排人力物力资源.线性规划所研究的是：在一定条件下，合理安排人力物力等资源，使经济效果达到最好.一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题.满足线性约束条件的解叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域.决策变量、约束条件、目标函数是线性规划的三要素.
二、线性规划模型在实际问题中的应用
（1）线性规划在企业管理中的应用范围
线性规划在企业管理中的应用广泛，主要有以下八种形式：
1.产品生产计划：合理利用人力、物力、财力等，是获利最大.
2.劳动力安排：用最少的劳动力来满足工作的需要.
3.运输问题：如何制定运输方案，使总运费最少.
4.合理利用线材问题：如何下料，使用料最少.
5.配料问题：在原料供应的限制下如何获得最大利润.
6.投资问题：从投资项目中选取方案，是投资回报最大.
7.库存问题：在市场需求和生产实际之间，如何控制库存量从而获得更高利益.
8.最有经济计划问题：在投资和生产计划中如何是风险最小
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（2）如何实现线性规划在企业管理中的应用
在线性规划应用前要建立经济与金融体系的评价标准及企业的计量体系，摸清企业的资源.首先通过建网、建库、查询、数据采集、文件转换等，把整个系统的各有关部分的特征进行量化，建立数学模型，即把组成系统的有关因素与系统目标的关系，用数学关系和逻辑关系描述出来，然后白较好的数学模型编制成计算机语言，输入数据，进行计算，不同参数获取的不同结果与实际进行分析对比，进行定量，定性分析，最终作出决策.
3.3 线性规划在运输问题中的应用
运输是物流活动的核心环节，线性规划是运输问题的常用数学模型，利用数学知识可以得到优化的运输方案.
运输问题的提出源于如何物流活动中的运输路线或配送方案是最经济或最低成本的.运输问题解决的是已知产地的供应量，销地的需求量及运输单价，如何寻找总配送成本最低的方案；运输问题包含产销平衡运输问题和产销不平衡运输问题；通常将产销不平衡问题转化为产销平衡问题来处理；运输问题的条件包括需求假设和成本假设.需求假设指每一个产地都有一个固定的供应量所有的供应量都必须配送到目的地.与之类似，每一个目的地都有一个固定的需求量，整个需求量都必须有出发地满足；成本假设指从任何一个产地到任何一个销地的配送成本和所配送的数量的线性比例关系.产销平衡运输问题的一般提法是：
假设某物资有m个产地a1，a2，?，am;各地产量分别为b1，b2，?，bn，物资从产地Ai运往销地Bj的单位运价为cij,满足：
∑∑===n j j m i i
b a 11.其数学模型为：
Min Z=∑∑==m i n j ij ij x c 11
∑==n j ij x 1
ai(i=1,2, ?,m)产地约束
s.t =∑=m
i ij x 1bj(j=1,2,?,n)销地约束 （a ）
xij≥0(i=1,2, ?,m; j=1,2,?,n)非负约束
1：产销不平衡运输问题分两种情况：
（1）总产量大于总销量，既满足∑∑==>n
j j m i i b a 11，此时其数学模型
与表达式(a)基本相同，只需将表达式（a ）中的产地约束条件∑==n
j ij x 1
ai 改为 ∑=≤n
j ij x 1 ai.
（2）总产量小于总销量，既满足∑∑== j j m i i b a 11，此时其数学模型 与表达式(a)也基本相同，只需将表达式（a ）中的产地约束条件∑==n j ij x 1 bj 改为 ∑=≤n j ij x 1 bj. 2.运输问题的解决策略 现实生产的情况往往比较复杂，许多实际问题不一定完全符合运输问题的假设，可能一些特征近似但其中的一个或者几个特征却并不符合运输问题条件.一般来说，如果一个问题中涉及两大类对象之间的联系或往来，且该问题能提供运输问题所需要的三类数据:供应量、 需求量、单位运价，那么这个问题(不管其中是否涉及运输)经适当约束条件的处理后，基木都可以应用运输问题模型来解决.例如: （1）追求的目标是效益最大而非成木最低，此时仅将表达式(a)中目标函数中的“Min Z ”改为“Max Z ”即可. （2）部分(或全部)的供应量(产量)代表的是从产地提供的最大数量(而不是一个固定的数值)，此时只需将表达式(a)中的产地约束中部分(或全部)的“∑==n j ij x 1 ai ”改成“∑= j ij x 1 ai ”即可. (3)部分(或全部)的需求量(销量)代表的是销地接收的最大数量(而不是一个固定的数值)，此时只需将表达式(a)中的销地约束条件中的“=∑=m i ij x 1bj ”部分(或全部)改成“<∑=m i ij x 1bj ”即可. (4)某些目的地的同时存在最大需求和最小需求，此时的解决办法是将表达式(a)中的相应的销地约束中的“=∑=m i ij x 1bj ”一个式子分解成 最大需求和最小需求的两个式子即可. 三、结论 如今，线性规划的求解方法有很多，许多学者都对原先的求解方法进行了不断的改进，计算机时代的发展也加快了解决复杂线性规划问题的速度。这就使得线性规划在实际生活中的应用更加的广泛。 目前，中国经济正在快速的发展过程中，其发展的速度已经超过了发达国家在相同的时期发展速度。随着中国进入了WTO，中国经济正在熔入世界经济的大的市场并不断的适应和改进自己的各个方面的制度，与此同时世界各国都在不断的发展自己。所以线性规划在经济领域的应用显得非常重要。 （学习的目的是增长知识，提高能力，相信一分耕耘一分收获，努力就一定可以获得应有的回报） 线性规划在企业中的运用 摘要：运筹学是一门定量优化的决策科学，而线性规划是运筹学的一个基本分支，它广泛应用现有的科学技术和数学方法，解决实际中提出的专门问题、为决策者选择最优决策提供定量依据，帮助决策人员选择最优方针和决策，其英文名字为Operational Research.50年代中期，钱学森等教授将其由西方引入我国，并结合我国国情实际运用。线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟的一个重要分支,它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法，线性规划是辅助企业“转轨”、“变型”的十分有利的工具，它在帮助企业经营决策、计划优化等方面具有重要的作用。 关键词：运筹学；线性规划；应用；企业 运筹学的特点是利用数学、管理科学、计算机科学技术等研究事物的数量化规律，使得有限的人、财、物、时、空、信息等资源得到合理充分合理的利用。 它以数学为工具，寻找解决各种问题的最优方案，并从系统的观点出发研究全局的规划。运筹学早期应用在军事领域，二战后转为民用，并且在企业中的应用越来越广泛，取得了良好的经济效益。运筹学的思想贯穿了企业发展的始终，运筹学对各种决策方案进行科学评估，为管理决策服务，使得企业管理者更有效合理地利用有限资源。优胜劣汰，适者生存，这是自然界的生存法则，也是企业的生存法则。只有那些能够成功地应付环境挑战的企业，才是得以继续生存和发展的企业。 线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟的一个重要分支,它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法，早在1939年苏联的康托洛维奇（H.B.Kahtopob ）和美国的希奇柯克（F.L.Hitchcock）等人就在生产组织管理和制定交通运输方案方面首先研究和应用线性规划方法。1947年旦茨格等人提出了求解线性规划问题的单纯形方法，为线性规划的理论与计算奠定了基础，特别是电子计算机的出现和日益完善，更使规划论得到迅速的发展，可用电子计算机来处理成千上万个约束条件和变量的大规模线性规划（或非线性规划）问题。从应用范围来看，小到一个班组的计划安排，大至整个部门，以至国民经济计划的最优化方案分析，它都有用武之地，从解决技术问题的最优化，到工业、农业、商业、交通运输业以及决策分析部门它都可以发挥作用。线性规划方法具有适应性强，应用面广，计算技术比较简便的特点。其基本思路是在满足一定的约束条件下，使预定的目标达到最优。它的研究内容可归纳为两个方面：一是系统的任务已定，如何合理筹划，精细安排，用最少 线性规划模型及其举例 摘要：在日常生活中，我们常常对一个问题有诸多解决办法，如何寻找最优方案，成为关键，本文提出了线性规划数学模型及其举例，在一定约束条件下寻求最优解的过程，目的是想说明线性规划模型在生产中的巨大应用。 关键词：资源规划；约束条件；优化模型；最优解 在工农业生产与经营过程中，人们总想用有限的资源投入，获得尽可能多的使用价值或经济利益。如：当任务或目标确定后，如何统筹兼顾，合理安排，用最少的资源（如资金、设备、原材料、人工、时间等）去完成确定的任务或目标；企业在一定的资源条件限制下，如何组织安排生产获得最好的经济效益（如产品量最多，利润最大）。 一.背景介绍 如果产出量与投入量存在（或近似存在）比例关系，则可以写出投入产品的线性函数式： 1()n i ij j j f x a x ==∑，1,2,,,1i m m =+ (1) 若将（1）式中第（1m +）个线性方程作为待求的目标函数，其余m 个线性方程作为资源投入的限制条件（或约束条件），则（1）式变为： OPT. 1()n j j j f x c x ==∑ ST. 1 n ij j j a x =∑> ( =, < )i b , 1,2,,i m = (2) 0,j x ≥ 1,2,,j n =… （2）式特点是有n 个待求的变量j x （1,2,,j n =…）；有1个待求的线性目标函数()f x ，有m 个线性约束等式或不等式，其中i b （1,2,,i m =…）为有限的资源投入常量。将客观实际问题经过系统分析后，构建线性规划模型，有决策变量，目标函数和约束条件等构成。 1．决策变量（Decision Variable,DV ）在约束条件范围内变化且能影响（或限定）目标函数大小的变量。决策变量表示一种活动，变量的一组数据代表一个解决方案，通常这些变量取非负值。 2．约束条件（Subject To,ST ）在资源有限与竞争激烈的环境中进行有目的性的一切活动，都 线性规划 1.简介： 线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟的一个重要分支,它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法.在经济管理、交通运输、工农业生产等经济活动中，提高经济效果是人们不可缺少的要求，而提高经济效果一般通过两种途径：一是技术方面的改进，例如改善生产工艺，使用新设备和新型原材料.二是生产组织与计划的改进，即合理安排人力物力资源. 线性规划所研究的是：在一定条件下，合理安排人力物力等资源，使经济效果达到最好.规划问题。一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性线性约束条件的解叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域。 (x)都是线性函数，则该模型称为在优化模型中，如果目标函数f(x)和约束条件中的g i 线性规划。 2.线性规划的3个基本要素 （1）决策变量 （2）目标函数f(x) (x)≤0称为约束条件） （3）约束条件（g i 3.建立线性规划的模型 （1）找出待定的未知变量（决策变量），并用袋鼠符号表示他们。 （2）找出问题中所有的限制或者约束，写出未知变量的线性方程或线性不等式。 （3）找到模型的目标或判据，写成决策变量的线性函数，以便求出其最大值或最小值。以下题为例，来了解一下如何将线性规划用与实际的解题与生活中。 生产计划问题 某工厂生产甲乙两种产品，每单位产品消耗和获得的利润如表 试拟订生产计划，使该厂获得利润最大 解答：根据解题的三个基本步骤 （1）找出未知变量，用符号表示： 设甲乙两种产品的生产量分别为x 1与x 2 吨，利润为z万元。 （2）确定约束条件： 在这道题目当中约束条件都分别为：钢材，电力，工作日以及生产量不能为负的限制 钢材：9x 1+5 x 2 ≤360， 电力：4x 1+5 x 2 ≤200， 工作日：3x 1+10 x 2 ≤300， x 1≥0 ，x 2 ≥0， （3）确定目标函数： Z=7x 1+12 x 2 第3章线性规划模型的应用 1.某企业制造三种仪器，甲种仪器需要17小时加工装配，8小时检测，售价300元。乙种仪器需要10小时加工装配，4小时检测，售价200元。丙种仪器需要2小时加工装配，2小时检测，售价100元。三种仪器所用的元件和材料基本一样，可供利用的加工装配时间为1000小时，检测时间为500小时。又根据市场预测表明，对上述三种仪器的要求不超过50台、80台、150台。试求企业的最优生产计划。 解：首先将问题中的数据表示到如下表格： i maxZ=300x1+200x2+100x3 17x1+10x2+2x3≤1000 8x1+4x2+2x3≤500 x1≤50 x2≤80 x3≤150 x1,x2,x3≥0 2. 某铸造厂要生产某种铸件共10吨，其成分要求：锰的含量至少达到0.45%，硅的允许范围是 3.25%~5.5%。目前工厂有数量充足的锰和三种生铁可作为炉料使用。这些炉料的价格是：锰为15元/公斤，生铁A为340元/吨，生铁B为380元/吨，生铁C为280元/吨。这三种生铁含锰和含硅量（%）如表3.22所示，问工厂怎样选择炉料使成本最低。 表3.22 成分锰有部分是纯锰，部分是从生铁中提炼出来的，所以改进表格如下： 设铸件中含有三种生铁和锰的量分别为xi（i=1，2，3，4）吨，则数学模型如下： maxZ=340x1+380x2+280x3+15000x4 x1+x2+x3+x4=10 0.45%x1+0.5%x2+0.35%x3+x4≥0.45%*10 4%x1+1%x2+0. 5%x3≥3.25%*10 4%x1+1%x2+0. 5%x3≤5.5%*10 xi≥0（i=1，2，3，4） 3. 某工厂要做100套钢架，每套用长为2.9m，2.1m和1.5m的圆钢各一根。已知原料每根长7.4m，问应如何下料，可使所用原料最省。 解： 4. 绿色饲料公司生产雏鸡、蛋鸡、肉鸡三种饲料。这三种饲料是由A、B、C三种原料混合而成。产品的规格要求、产品单价、日销售量、原料单价见表3.23、表3.24。受资金和生产能力的限制，每天只能生产30吨，问如何安排生产计划才能获利最大？ 表3.23 产品名称规格要求销售量（吨）售价（百元） 雏鸡饲料原料A不少于50% 5 9 原料B不超过20% 蛋鸡饲料原料A不少于30% 18 7 原料C不超过30% 肉鸡饲料原料C不少于50% 10 8 表3.24 开题报告 信息与计算科学 对偶线性规划理论及其在经济中的应用 一、选题的背景、意义[1] 21世纪中国进入到了一个新的时代，随着经济的快速发展和社会的进步，整个社会运行的各个方面——无论是在政治、经济、文化、科技、军事、外交方面，还是在环境、生态、资源问题方面，都将着眼于解决能否实现的问题扩充到更加重视解决如何优化实现的问题，从解决局部的简单问题扩充到解决系统的复杂问题，从静态地解决问题到动态地解决问题，从解决涉及单一领域的独立发展问题扩充到解决涉及多个领域的协同发展的问题，从通过直接办法解决问题扩充到通过间接的办法解决问题等，都迫切需要线性规划理论及其应用。随着计算机技术的发展和普及，线性规划的应用越来越广泛。它已成为人们合理利用有限资源制定最佳决策的有利工具。 二、研究的基本内容与拟解决的主要问题 2.1 对偶线性规划理论概述 2.1.1 对偶线性规划理论的发展历程及现状[2] [3] 线性规划理论产生于20世纪30年代。1939年，苏联数学家康托罗维奇在《生产组织与计划中的数学方法》一书中，最早提出和研究了线性规划问题。 1947年，美国数学家丹齐克提出线性规划的一般数学模型和求解线性规划问题的通用方法─单纯形法，为这门学科奠定了基础。1947年，美国数学家诺伊曼提出对偶理论,开创了线性规划的许多新的研究领域，扩大了它的应用范围和解题能力。 1951年，美国经济学家库普曼斯把线性规划应用到经济领域；1960年，康托罗维奇再次发表《最佳资源利用的经济计算》，创立了享誉全球的线性规划要点，对资源最优分配理论做出了贡献。为此，库普曼斯与康托罗维奇一起获1975年诺贝尔经济学奖。1984年，美国贝尔电话实验室的印度数学家卡马卡提出求解线性规划问题的投影尺度法，这是一个有实用意义的新的多项式时间算法。这个算法引起了人们对内点算法的关注，此后相 线性规划模型在生活中的实际应用 一、线性规划的基本概念 线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟的一个重要分支,它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法.在经济管理、交通运输、工农业生产等经济活动中，提高经济效果是人们不可缺少的要求，而提高经济效果一般通过两种途径：一是技术方面的改进，例如改善生产工艺，使用新设备和新型原材料.二是生产组织与计划的改进，即合理安排人力物力资源.线性规划所研究的是：在一定条件下，合理安排人力物力等资源，使经济效果达到最好.一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题.满足线性约束条件的解叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域.决策变量、约束条件、目标函数是线性规划的三要素. 二、线性规划模型在实际问题中的应用 （1）线性规划在企业管理中的应用范围 线性规划在企业管理中的应用广泛，主要有以下八种形式： 1.产品生产计划：合理利用人力、物力、财力等，是获利最大. 2.劳动力安排：用最少的劳动力来满足工作的需要. 3.运输问题：如何制定运输方案，使总运费最少. 4.合理利用线材问题：如何下料，使用料最少. 5.配料问题：在原料供应的限制下如何获得最大利润. 6.投资问题：从投资项目中选取方案，是投资回报最大. 7.库存问题：在市场需求和生产实际之间，如何控制库存量从而获得更高利益. 8.最有经济计划问题：在投资和生产计划中如何是风险最小 . （2）如何实现线性规划在企业管理中的应用 在线性规划应用前要建立经济与金融体系的评价标准及企业的计量体系，摸清企业的资 源.首先通过建网、建库、查询、数据采集、文件转换等，把整个系统的各有关部分的特征进行量化，建立数学模型，即把组成系统的有关因素与系统目标的关系，用数学关系和逻辑关系描述出来，然后白较好的数学模型编制成计算机语言，输入数据，进行计算，不同参数获取的不同结果与实际进行分析对比，进行定量，定性分析，最终作出决策. -1- 第一章线性规划 §1 线性规划 在人们的生产实践中，经常会遇到如何利用现有资源来安排生产，以取得最大经济 效益的问题。此类问题构成了运筹学的一个重要分支—数学规划，而线性规划(Linear Programming 简记LP)则是数学规划的一个重要分支。自从1947 年G. B. Dantzig 提出 求解线性规划的单纯形方法以来，线性规划在理论上趋向成熟，在实用中日益广泛与深入。特别是在计算机能处理成千上万个约束条件和决策变量的线性规划问题之后，线性 规划的适用领域更为广泛了，已成为现代管理中经常采用的基本方法之一。 1.1 线性规划的实例与定义 例1 某机床厂生产甲、乙两种机床，每台销售后的利润分别为4000 元与3000 元。 生产甲机床需用A、B机器加工，加工时间分别为每台2 小时和1 小时；生产乙机床 需用A、B、C三种机器加工，加工时间为每台各一小时。若每天可用于加工的机器时 数分别为A 机器10 小时、B 机器8 小时和C 机器7 小时，问该厂应生产甲、乙机床各几台，才能使总利润最大？ 上述问题的数学模型：设该厂生产1 x 台甲机床和2 x 乙机床时总利润最大，则1 2 x , x 应满足 （目标函数）1 2 max z = 4x + 3x (1) s.t.（约束条件） ?? ? ?? ? ? ≥ ≤ + ≤ + ≤ , 0 7 8 2 10 1 2 2 1 2 1 2 x x x x x x x （2） 这里变量1 2 x , x 称之为决策变量，（1）式被称为问题的目标函数，（2）中的几个不等式是问题的约束条件，记为s.t.(即subject to)。由于上面的目标函数及约束条件均为线性 习题一 1.1 用图解法求解下列线性规划问题，并指出各问题是具有唯一最优解、无穷多最优解、无界解或无可行解。 (1) min z ＝6x1＋4x2(2) max z ＝4x1＋8x2 st. 2x1＋x2≥1 st. 2x1＋2x2≤10 3x1＋4x2≥1.5 －x1＋x2≥8 x1, x2≥0 x1, x2≥0 (3) max z ＝x1＋x2(4) max z ＝3x1－2x2 st. 8x1＋6x2≥24 st. x1＋x2≤1 4x1＋6x2≥－12 2x1＋2x2≥4 2x2≥4 x1, x2≥0 x1, x2≥0 (5) max z ＝3x1＋9x2(6) max z ＝3x1＋4x2 st. x1＋3x2≤22 st. －x1＋2x2≤8 －x1＋x2≤4 x1＋2x2≤12 x2≤6 2x1＋x2≤16 2x1－5x2≤0 x1, x2≥0 x1, x2≥0 1.2. 在下列线性规划问题中，找出所有基本解，指出哪些是基本可行解并分别代入目标函数，比较找出最优解。 (1) max z ＝3x1＋5x2(2) min z ＝4x1＋12x2＋18x3 st. x1＋x3＝4 st. x1＋3x3－x4＝3 2x2＋x4＝12 2x2＋2x3－x5＝5 3x1＋2x2＋x5＝18 x j≥0 （j＝1, (5) x j≥0 （j＝1, (5) 1.3. 分别用图解法和单纯形法求解下列线性规划问题，并对照指出单纯形法迭代的每一步相当于图解法可行域中的哪一个顶点。 (1) max z ＝10x1＋5x2 st. 3x1＋4x2≤9 5x1＋2x2≤8 x1, x2≥0 (2) max z ＝100x1＋200x2 st. x1＋x2≤500 x1≤200 2x1＋6x2≤1200 x1, x2≥0 ９ 线性规划模型在实际生活中的应用 【摘要】线性规划在实际生活中扮演着很重要的角色，研究对象是计划管理工作中有关安排和估值的问题,其广泛应用于经济等领域，是实际生活中进行管理决策的最有效的方法之一。解决的主要问题是在给定条件下,按某一衡量指标来寻找安排的最优方案。本文通过对例题利用线性规划分析，如何合理的分配利用，最终找到最优解使企业利润最大，说明了线性规划在实际生活中的应用，而且对线性规划问题模型的建立，模型的解进行了分析，运用图解法和单纯形法解决问题。 【关键词】线性规划、建模、实际生活、图解法、单纯形法 前言：线性规划（Linear programming,简称LP）是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟的一个重要分支，它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法。研究线性约束条件下线性目标函数的极值问题的数学理论和方法。英文缩写LP。它是运筹学的一个重要分支，广泛应用于军事作战、经济分析、经营管理和工程技术等方面。为合理地利用有限的人力、物力、财力等资源作出的最优决策，提供科学的依据。 在实际生活中，经常会遇到一定的人力、物力、财力等资源条件下，如何精打细算巧安排，用最少的资源取得最大的效益的问题，而这正是线性规划研究的基本容，它在实际生活中有着非常广泛的应用．任何一个组织的管理者都必须对如何向不同的活动分配资源的问题做出决策，即如何有效地利用人力、物力完成更多的任务，或在预定的任务目标下如何耗用最少的人力、物力去实现目标。在许多情况下，大量不同的资源必须同时进行分配，需要这些资源的活动可以是不同的生产活动，营销活动，金融活动或者其他一些活动。随着计算技术的不断发展，使成千上万个约束条件和决策变量的线性规划问题能迅速地求解，更为线性规划在经济等各领域的广泛应用创造了极其有利的条件。线性规划已经成为现代化管理的一种重要的手段。本文运用常用的图解法和单纯形法解决利润最大化决策问题，贴近生活，很好的吧线性规划应用到生活实践中。 1、简单线性问题步骤简单介绍 建模是解决线性规划问题极为重要的环节，一个正确的数学模型的建立要求建模者熟悉线性规划的具体实际容，要明确目标函数和约束条件，通过表格的形式把问题中的已知 摘要 线性规划是解决稀缺资源最优分配的有效方法，使付出的费用最少或获得的利益最大。它的研究对象是有一定的人力、财力、资源条件下，如何合理安排使用，效益最高；某项任务确定后，如何安排人、财、物，使之最省。它要解决的问题的目标可以用数值指标反映，对于要实现的目标有多种方案可以选择，有影响决策的若干约束条件。本文主要介绍了线性规划模型在实际生活中的应用，其中包括解线性方程组的各种方法，如图解法、单纯形法、以及对偶单纯形法等等，以及简单介绍了有关灵敏度分析的方法。由于许多问题仅仅利用线性规划的方法还不足以解决，因此用到了对偶理论，也因此引出了对偶单纯形法。对偶规划是线性规划问题从另一个角度进行研究，是线性规划理论的进一步深化，也是线性规划理论整体的一个不可分割的组成部分。灵敏度分析是对线性规划结果的再发掘，是对线性规划理论的充要应用，本文以实例验证灵敏度分析的实际应用。 关键词：线性规划；单纯形法；对偶单纯形法 ABSTRCT Linear programming is an effective method to solve the optimal allocation of scarce resources, make the cost of pay or receive at least the interests of the largest. Its object of study is the human and financial resources, resource conditions, how to reasonably arrange to use, benefit is supreme; A task is determined, how to arrange people, goods, and make it the most provinces. It to the target can be used to solve the problem of the numerical indicators, to achieve a variety of solutions to choose from, have an impact on the decision of some constraint conditions. Through the subject design, can deepen the operations research, optimization method, linear programming, nonlinear programming, to improve the integrated use of knowledge, improve the ability of using the sensitivity analysis to solve various practical problems. This article mainly introduces the application of linear programming model in real life, including the various methods of solving linear equations, as shown in figure method, simplex method and dual simplex method, etc., and simply introduces the method of sensitivity analysis. Due to many problems just by using the method of linear programming is not enough to solve, so use the duality theory, thus raises the dual simplex method. The dual programming is linear programming problem from another Angle, is the further deepening of linear programming theory, linear planning theory as a whole is also an integral part of. Sensitivity analysis is to discover, the result of the linear programming is the charge to application of linear programming theory. Keywords: linear programming；Simplex method；The dual simplex method [学业水平训练] 1．设x ，y 满足???? ?2x ＋y ≥4，x －y ≥－1，x －2y ≤2，则z ＝x ＋y ( ) A ．有最小值2，最大值3 B ．有最小值2，无最大值 C ．有最大值3，无最小值 D ．既无最小值，也无最大值 解析：选B.由图像可知z ＝x ＋y 在点A 处取最小值，即z m in ＝2，无最大值． 2．设变量x ，y 满足???? ?x －y ≤10，0≤x ＋y ≤20，0≤y ≤15，则2x ＋3y 的最大值为( ) A ．20 B ．35 C ．45 D ．55 解析：选D.作出可行域如图所示． 令z ＝2x ＋3y ，则y ＝－23x ＋13z ，要使z 取得最大值，则需求直线y ＝－23x ＋1 3z 在y 轴上 的截距的最大值，移动直线l 0：y ＝－2 3x ，可知当l 0过点C (5，15)时，z 取最大值，且z m ax ＝2×5＋3×15＝55，于是2x ＋3y 的最大值为55.故选D. 3．(2013·高考课标全国卷Ⅱ)设x ，y 满足约束条件???? ?x －y ＋1≥0，x ＋y －1≥0，x ≤3， 则z ＝2x －3y 的最小 值是() A．－7 B．－6 C．－5 D．－3 解析：选B.作出不等式组表示的可行域，如图(阴影部分)． 易知直线z＝2x－3y过点C时，z取得最小值． 由 ?? ? ??x＝3， x－y＋1＝0， 得 ?? ? ??x＝3， y＝4， ∴z m in＝2×3－3×4＝－6，故选B. 4．直线2x＋y＝10与不等式组 ?? ? ??x≥0 y≥0 x－y≥－2 4x＋3y≤20， 表示的平面区域的公共点有() A．0个B．1个 C．2个D．无数个 解析： 选B.画出可行域如图阴影部分所示． ∵直线过(5，0)点，故只有1个公共点(5，0)． 5．已知实数x，y满足 ?? ? ?? y≥1， y≤2x－1， x＋y≤m. 如果目标函数z＝x－y的最小值为－1，则实数m等 于() A．7 B．5 C．4 D．3 目录 摘要 ---------------------------------------------------1 引言 ---------------------------------------------------2 一线性规划的概念 -------------------------------------3 二线性规划的实际应用 ----------------------------------4 （ （四）体育上的应用 1.合理安排比赛问题 -------------13 2.选拔选手问题 -----------------14 （五）旅行上的问题:旅行背包问题 ------------------------15 （六）航空上的问题:航空时间安排问题 --------------------16 （七）城市规划的应用:设施布点问题 ----------------------18 （八）日常生活上的应用 1.食用油的结构优化问题 ---------19 2.饮食问题 ---------------------21 （九）农业上的应用:农业种植问题 ------------------------23 三总结及参考文献 --------------------------------------25 线性规划的实际应用模型 王丽娜 （渤海大学数学系辽宁锦州 121000 中国） 摘要：本文从运筹学的角度分析线性规划的实际应用模型，随着人类社会的进步，科学 技术的发展，经济全球化进程的日益加快，线性规划在实际中的应用越来越广泛，主要应用 于经济与管理,军事,金融,体育,旅行,航空,城市规划,日常生活,农业九大方面，因此，线性 规划作为一门科学已被人们广泛接受，并已日益成为人类社会和经济生活中一种不可或缺的 工具。 关键词：运筹学线性规划分析模型 Zhe model in practical application of linear programming Wang lina (Department of Mathematics Bohai University Liaoning Jinzhou 121000 China) Abstract:This article analyse the practical application of linear programming from the sight of operational research,with the advancement of human society,the development of science and technology and the faster grogramming has wider application in the practical,has been applied to nine aspects,in econemy,management,military,finance,physical education,travelling,airline,city planning,daily life, agriculture.The examples will be given to show the application in the nine aspects given abo。 Key word:operational research ,linaear programming, analy ,model 引言 线性规划是运筹学的一个重要分支。也是研究较早的，发展较快 的,应用较广而比较成熟的一个分支。 LP （Linear Programming） Alex 有一个家庭农场。除了农场上的农作物以外，他还饲养了一些猪拿到市场上出售，猪可获得的饲料及其所含成分如下表：Alex如何喂养猪更好？ 成分/每公斤 玉米槽料苜蓿每日最小需求量碳水化合物 蛋白质 维他命 成本(美分)903010842080207240606060200180150 问题1：科学养猪线性规划建模（猪饲料的配方）饲养成本最小 --- 每天玉米、槽料、苜蓿各喂多少公斤？ --- 必须满足要求12--- 追求成本最低 Min. 84x 1+ 72x 2+ 60x 3 3x 1x 2x 3 知识点 建模三要素 决策变量约 束目标 90x 1+ 20x 2+ 40x 3 ≥ 20030x 1+ 80x 2+ 60x 3 ≥ 18010x 1+ 20x 2+ 60x 3 ≥ 150 x i ≥0 , i =1，2，3 成分/每公 斤 玉米槽料苜蓿每日最小需求量碳水化合物 蛋白质 维他命 成本(美分)903010842080207240606060200180150 s.t. 90x 1+ 20x 2+ 40x 3 ≥ 200 30x 1 + 80x 2+ 60x 3 ≥ 180 10x 1+ 20x 2+ 60x 3 ≥ 150 x i ≥0 , i =1,2,3 Min . 84x 1+ 72x 2+ 60x 3 目标函数约束函数符号中必含等号符号的右侧为常数线性--变量均为1次方 Max. 或 Min.线性--所有变量均为1次方常规约束：变量非负！知识点 模型表示 ？线性规划模型能求解出来吗？ 能！--- 万能的单纯形法 结合软件 QSB应用 诚信声明 我声明，所呈交的毕业论文是本人在老师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。据我查证，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，我承诺，论文中的所有内容均真实、可信。 毕业论文作者签名：签名日期：年月日 摘要：在企业生产过程中，生产资源的分配直接影响到企业的经济效益。因此，企业在制定生产计划时，人力物力和时间等资源的优化配制是首要面对的关键问题，而建立线性规划模型则是目前解决该问题的有效方法之一。本文旨在针对上述有限资源条件的约束下，通过建立相应的线性规划模型来制定生产计划以实现企业资源最优化、利益最大化，同时利用LINGO 11.0软件求解线性规划模型并分析在某些资源变动时对该模型所产生的影响并寻求最优生产方案。 关键词：企业生产计划；线性规划；数学模型；LINGO 11.0 Abstract：In the enterprise production process, the allocation of production resources directly affects the economic efficiency of enterprises. Therefore, enterprises in the development of production plan, formulated to optimize the resources of manpower and time is the key problem of face. And to establish the linear programming model is one of the effective ways to solve the problem. This paper aimed at the limited resource constraints, by establishing linear programming model corresponding to make production plan in order to realize the maximization of enterprise resource optimization, interest, and using LINGO11.0 software to solve the linear programming model and analysis the influence on the model in some resource changes and seek the optimal production plan. Key words：Production plan；Linear programming；Mathematical model； LINGO 11.0 目录 线性规划建模问题 1、招聘问题 新机电器始创于1989年，是高低压电器元件、成套装置附件、高压电控电器配套件的专业生产制造商，是国家的高、低压电器开关行业协会理事单位，在业内享有很高声誉。新机电器已发展成为拥有八家子公司，在永嘉、温州、厦门、青田、陕西均有设厂。 工种：普车车工、数控车工、装配工、检验员、计算机绘图员各1名。 要求：具有良好的工作心态，吃苦耐劳，虚心好学，积极进取，有团队协作精神以及良好的沟通能力。 面试须知： 岗位安排方案完成后，新机为前往厂内实习的人员，提供了往返车费，总共是46元。获悉该厂又分新、旧两个厂区，要求每区至少去一名同学，且去旧厂区面试的同学比新厂区至少多一名。 已知前往新厂区每位同学的往返车费是4元，该厂区为每人提供的考虑岗位数为5个；旧厂区每位同学的往返车费是6元，而为每人可供考虑的岗位数为3个。 建模分析： 分析：以两组为基本单位，共同出谋划策，怎样合理地安排分别前往新、旧两区的人数，并能使面试时可选择的空缺岗位数达到最多，这样每人实习录用的机会就增多。请问岗位最多是多少？ 假设： 问题解答： 解：设前往新、旧厂区的 人数分别为y x ,，设岗位数为z ，则根据题意得， y x z 35+=， 且 1,1 4646 x y y x x y ≥≥?? ≥+??+≤? 在坐标系中将各不等式区域表示如下： 我们发现当5,4==y x 时，不等式所夹的区域最大，因此，前往新、旧厂区的人数 y=1 分别为4、5时，可供选择的岗位数最大，为35个。 2、已知高翔工业区内的新机厂区并不是真正的加工厂，实际上只完成装配工作，所需配件由青田与陕西两个厂区供应，而这两个厂生产出的零部件毛利价格不同。 拿“JN15-12-31.5型户内高压接地开关”为例，扭簧为其中的配件之一，而青田与陕西产的扭簧可获利润不同，毛利价格现列表如下： 要求：每日由青田与陕西厂区供应的货品总和需保持在500—1000件之间，而且青田厂区的产品数至少要比陕西的多100件，下面请你给出一项合理的方案，将货源如何进行调配，才能使我厂每日的毛利最多？最多为多少？方案的好坏，以及策划的速度快慢都直接影响到你在实习期间以及今后工作岗位的调动及职务与薪酬。 问题解决： 解：设每日青田与陕西厂区所提供的货品数分别为y x,，设每日扭簧的毛利为z元，则根 据题意得：y x z20 15+ =，且 0,0 5001000 100 x y x y x y ≥≥ ? ? ≤+≤ ? ?≥+ ? ，在坐标系中将各不等式的区域表示如 下： 最大 y=0 x=0 因此，当450 , 550= =y x时，也就是青田供货550件，陕西供货450件时，毛利最 大，为17250元。 非线性规划模型 在上一次作业中，我们对线性规划模型进行了相应的介绍及优缺点，然而在实际问题中并不是所有的问题都可以利用线性规划模型求解。实际问题中许多都可以归结为一个非线性规划问题，即如果目标函数和约束条件中包含有非线性函数，则这样的问题称为非线性规划问题。一般来说，解决非线性的问题要比线性的问题难得多，不像线性规划有适用于一般情况的单纯形法。对于线性规划来说，其可行域一般是一个凸集，只要存在最优解，则其最优解一定在可行域的边界上达到；对于非线性规划，即使是存在最优解，却是可以在可行域的任一点达到，因此，对于非线性规划模型，迄今为止还没有一种适用于一般情况的求解方法，我们在本文中也只是介绍了几个比较常用的几个求解方法。 一、非线性规划的分类 1无约束的非线性规划 当问题没有约束条件时，即求多元函数的极值问题，一般模型为 ()min 0 x R f X X ∈??? ≥?? 此类问题即为无约束的非线性规划问题 1.1无约束非线性规划的解法 1.1.1一般迭代法 即为可行方向法。对于问题()min 0x R f X X ∈??? ≥?? 给出)(x f 的极小点的初始值)0(X ，按某种规律计算出一系列的),2,1()(Λ=k X k ，希望点阵}{)(k X 的极限*X 就是)(x f 的一个极小点。 由一个解向量) (k X 求出另一个新的解向量)1(+k X 向量是由方向和长度确定的，所以),2,1()1(Λ=+=+k P X X k k k k λ 即求解k λ和k P ，选择k λ和k P 的原则是使目标函数在点阵上的值逐步减小，即 .)()()(10ΛΛ≥≥≥≥k X f X f X f 检验}{)(k X 是否收敛与最优解，及对于给定的精度0>ε，是否ε≤?+||)(||1k X f 。 1.1.2一维搜索法 当用迭代法求函数的极小点时，常常用到一维搜索，即沿某一已知方向求目标函数的极小点。一维搜索的方法很多，常用的有： （1）试探法（“成功—失败”，斐波那契法，0.618法等）； （2）插值法（抛物线插值法，三次插值法等）； （3）微积分中的求根法（切线法，二分法等）。 考虑一维极小化问题 )(min t f b t a ≤≤ 若)(t f 是],[b a 区间上的下单峰函数，我们介绍通过不断地缩短],[b a 的长度，来搜索得)(min t f b t a ≤≤的近似最优解的两个方法。通过缩短区间],[b a ，逐步搜索得 )(min t f b t a ≤≤的最优解*t 的近似值 2.1.3梯度法 选择一个使函数值下降速度最快的的方向。把)(x f 在) (k X 点的方向导数最小的方向 作为搜索方向，即令)(k k X f P -?=. 计算步骤： （1）选定初始点0 X 和给定的要求0>ε，0=k ； （2）若ε 单纯形法在线性规划中的应用 摘要 求解线性规划问题，就是在各项资源条件的限制下，如何确定方案，使预期的目标达到最优。本文重点介绍了求解线性规划问题目前最常见的两种方法，图解法和单纯形法。图解法适合于只含两个变量的线性规划问题，文中只做了简单的描述。而单纯形法是求解线性规划问题的通用方法，适合于求解大规模的线性规划问题，本文作了重点描述，对单纯形法中的基本概念如基变量、非基变量、基向量、非基向量、可行基以及基本可行解等概念作了详细的陈述，在此基础上，介绍了线性规划问题的标准化、单纯形法的基本原理、确定初始可行解、最优性检验、解的判别、基本可行解的改进、换入变量的确定-最大增加原则、换出变量的确定-最小比值原则、表格单纯形法、大M法、两阶段法等。 关键词：线性规划图解法单纯形法基变量基向量可行基基本可行解 正文 引言 在生产管理和经济活动中，经常遇到这些问题，如生产计划问题，即如何合理利用有限的人、财、物等资源，以便得到最好的经济效果；材料利用问题，即如何下料使用材最少；配料问题，即在原料供应量的限制下如何获取最大利润；劳动力安排问题，即如何用最少的劳动力来满足工作的需要；运输问题，即如何制定调运方案，使总运费最小；投资问题，即从投资项目中选取方案，使投资回报最大等等。对于这些问题，都能建立相应的线性规划模型。事实上，线性规划就是利用数学为工具，来研究在一定条件下，如何实现目标最优化。 解线性规划问题目前最常见的方法有两种，图解法和单纯形法。单纯形法是求解线性规划问题的通用方法。 1 线性规划问题的求解方法 1.1 图解法解线性规划问题 只含两个变量的线性规划问题，可以通过在平面上作图的方法求解，步骤如下： (1)以变量x 1为横坐标轴，x 2 为纵坐标轴，适当选取单位坐标长度建立平面 坐标直角坐标系。由变量的非负性约束性可知，满足该约束条件的解均在第一象限内。 (2)图示约束条件，找出可行域（所有约束条件共同构成的图形）。 (3)画出目标函数等值线，并确定函数增大（或减小）的方向。 (4)可行域中使目标函数达到最优的点即为最优解。 然而，图解法虽然直观、简便，但当变量数多于三个以上时，其实用意义不大。 ERP的核心线性规划模型 1982年，以美国布鲁克海文国家试验室与德国玉立希核研究中心牵头的多国能源系统协作项目大功告成，它为西方国家制定能源政策、化解由于石油价格暴涨所产生的能源危机做出了不可估量的奉献。该项目的目的是评判能源新工艺在以后国家级能源系统中的作用。毫无疑咨询，如此的评判需要建立一个通用的运算机化的模型。经认真考虑和多方比较，他们一致选择了多周期的线性规划模型。 15年过去了，我们对线性规划在治理、决策及ERP中作用的认识仍旧不够。从1996年到今年8月，《运算机世界》所发表的30多篇有关M RP或ERP的文章中，除两篇文章各有一处提到"优化"一词外，其余皆未提及。至于线性规划，则全未触及，看起来毫无关系。 优化：企业效益的源泉 从60年代初期的MRP到MRPⅡ再到90年代初的ERP，前后整整经历了30年的时刻，为时不短。就MRP与ERP的字面看，其差不仅仅是优化的资源种类由少变多、由局部变全部罢了。但有一个字没有变，那确实是"PLANNING"。什么是PLANNING？按字面讲是"做打算"、"做规划"或"打算"、"规划"。对企业而言，做打算并不是什么困难的情况，困难的是做一个好的，经得起推敲与论证同时又能给企业带来较大效益的打算。有鉴于此，我们宁可将"PLANNING"译为"做规划"或"规划"，因为由此才会联系到线性规划、非线性规划及动态规划，才会联系到目标与优化。事实上，MRP到MRPⅡ再到ERP的进展历程正是企业的线性规划模型与优化的范畴由小到大、由局部到全局的过程。企业的效益依靠于资源配置的优化，即依靠于线性规划模型的优化。优化的范畴越大，成效也就越好。如若不然，我们什么缘故还要将MRP扩大到MRPⅡ再扩大到ERP呢？ 清仓查库、摸清资源、建立良好的会计系统与审计系统、机构重组、鼓舞机制及企业文化等亦可提升企业的效益。但这与ERP及模型的优化不是一个概念。前者是体会、艺术，是事务处理；而后者是揭示企业运作规律、猎取更大效益的科学与技术。随着时刻的推移，这类科技在企业治理中的运筹学中的线性规划在企业中的应用
线性规划模型及其举例
数学建模线性规划
线性规划模型的应用分析
对偶线性规划理论及其在经济中的应用开题报告
线性规划模型在生活中的实际应用
数学建模-线性规划
线性规划1
运筹学-线性规划模型在实际生活中的应用
线性规划模型的应用与灵敏度分析
北师大版数学高二必修5第三章4.2、4.3简单线性规划及其应用作业
线性规划的实际应用模型
线性规划基本概念及模型构建
线性规划模型在企业生产计划中的应用
线性规划建模问题
非线性规划模型
单纯形法在线性规划中的应用。
ERP的核心线性规划模型