范德蒙行列式
范德蒙行列式及应用论文
范德蒙行列式及应用论文范德蒙行列式，又称范德蒙行列，是数学中的一个重要概念，它在线性代数、向量空间、微积分等领域有着广泛的应用。
范德蒙行列式由荷兰数学家范德蒙（Vandermonde）首先提出，它的定义和性质在很多数学分支中都发挥了重要的作用，特别是在矩阵理论、数论、代数学等领域，范德蒙行列式都有着深远的影响。
范德蒙行列式的定义是：对于给定的n个不同的数a1,a2,...,an，范德蒙行列式定义为：a1 a2 ... ana1^2 a2^2 ... an^2a1^3 a2^3 ... an^3... ... ... ...a1^n a2^n ... an^n即为由这些数按照一定顺序排列而成的矩阵行列式，其中ai^k表示ai的k次幂。
范德蒙行列式的值可以通过列主元化简为非零值，从而成为一个n阶矩阵行列式。
范德蒙行列式的应用非常广泛，下面我们来谈谈范德蒙行列式在数学中的一些重要应用。
首先，在线性代数中，范德蒙行列式是矩阵的一个重要特征，它可以用来描述矩阵的性质和结构。
通过范德蒙行列式，我们可以判断矩阵的秩、可逆性、行列式值等信息，进而用于解线性方程组、矩阵变换、特征值特征向量的求解等问题。
其次，在微积分中，范德蒙行列式也有着重要的应用。
在多元函数的求导、积分、微分方程的求解过程中，常常需要用到雅可比行列式，而雅可比行列式与范德蒙行列式有着密切的关系。
通过范德蒙行列式，我们可以求解多元函数的偏导数、雅可比行列式的值，从而解决相关的微分方程和积分问题。
另外，在数论中，范德蒙行列式也有着重要的应用。
由于范德蒙行列式的特殊性质，它经常出现在数论中的不同问题中，例如组合数学、数列求和、多项式插值等方面。
通过范德蒙行列式，我们可以推导出一些数学定理和结论，解决一些数论问题。
除了以上提到的领域外，范德蒙行列式还在代数学、几何学、概率论、信号处理、图论等领域有着重要的应用。
它不仅是数学理论研究的基础，还是许多工程技术问题的解决工具。
最小二乘法 范德蒙德行列式
最小二乘法是一种数学优化技术，它通过最小化预测值与实际观测值之间的平方误差和来寻找数据的最佳函数匹配。
在最小二乘法的应用中，范德蒙德行列式（Vandermonde's Determinant）是一个重要的工具。
范德蒙德行列式是线性代数中的一个概念，它表示一个n阶行列式，其元素是n个不同复数的幂。
范德蒙德行列式在多项式插值、最小二乘法等领域有重要应用。
在最小二乘法的背景下，范德蒙德行列式通常用于求解线性方程组。
给定一组数据点（x1, y1），（x2, y2），...，（xn, yn），我们希望找到一个多项式p(x)，使得p(xi)≈yi对所有i都成立。
这可以通过最小二乘法来实现，其中范德蒙德行列式用于计算方程的解。
范德蒙德行列式的计算公式为：
V=∏(xi−xj)i≤j(i,j∈{1,2,...,n})V = \prod_{i=1}^{n} \prod_{j=1}^{i} (x_i -x_j)V=i=1∑nj=1(xi−xj)其中，xi是给定的n个不同的复数，n是这些数的数量。
通过最小二乘法和范德蒙德行列式，我们可以找到最佳拟合数据的多项式，这对于数据分析和科学计算等领域非常重要。
范德蒙行列式
第二章 行列式 §2.1 行列式的定义1.确定6阶行列式中的一项332115664254a a a a a a ±的符号.解：这一项所对应的排列为(5,1,3,2,4,6)其反序数为5. 所以符号为负.2. 证明10*na a =1*na a =(1)/21(1)n n n a a -- . 证明：设110det()*ij na D a a ==,i j n +≤时，0ij a =.由行列式的定义12(,,)112(1)n p p p p p npD a a a Γ=-∑只有当12,1,1n p n p n p ==-= 时，所对应的那一项才可能不为0. 所以12(,,)11,2,11(1)n p p p n n n D a a a Γ-=-∑(1)(2)112(1)n n n a a a -+-++=-(1)/21(1)n n n a a -=- 另一个等式，同理可证. 1.确定6阶行列式中的一项332115664254a a a a a a ±的符号.解：这一项所对应的排列为(5,1,3,2,4,6)其反序数为5. 所以符号为负.2. 证明10*na a =1*na a =(1)/21(1)n n n a a -- . 证明：设110det()*ij na D a a ==,i j n +≤时，0ij a =.由行列式的定义12(,,)112(1)n p p p p p npD a a a Γ=-∑只有当12,1,1n p n p n p ==-= 时，所对应的那一项才可能不为0. 所以12(,,)11,2,11(1)n p p p n n n D a a a Γ-=-∑(1)(2)112(1)n n n a a a -+-++=-(1)/21(1)n n n a a -=- 另一个等式，同理可证.§2.2 行列式的基本性质 （一）1.设 D 是一个3阶行列式,123,,ααα分别是其第1,2,3列.已知 D = 2,求231232,,2αααα+-解：123,,2D ααα==. 则有231232,,2αααα+-3122,,2ααα=-3124,,ααα=-1234,,ααα=-8=- 2.设D αβγ=, ,,αβγ分别表示行列式D 的三个列，则__D =()A γβα()Bαββγγα+++()Cαβγ--- ()Dααβαβγ+++解：ααβαβγ+++ （第1列的-1倍分别加到2,3列）αββγ=+ (第2列的-1倍加到第3列)αβγ=所以答案为()D .§2.3 Laplace 定理 （一）1.计算行列式 01111n na a xD a x+-=-解：按第1行作Laplace 展开得，1011n n nx x D a x +⨯-=⋅-12121(1)(1)1n n na a xa x+⨯-+-⋅-⋅- 0n n a x D =+同理111n n n D a x D --=+所以，10nn n D a x D +=+1011n n n a x a x D --=++ 依次下去得到：1210121n n n n n n D a x a x a x a x a -+--=+++++ 2. 计算行列式 2n a ba b D b aba=解：按第1行和第2n 行做Laplace 展开得到：(12)(12)222(1)n n n n a b D D b a +++-=⋅-⋅2222()n a b D -=-⋅ 同理222224()n n D a b D --=-⋅所以,22222()n n D a b D -=-⋅22224()n a b D -=-⋅ 依此类推得到：222()nn D a b =- 3. 求12211n na a a a D a =的第一列元素的代数余子式之和.解：D 的第一列元素的代数余子式与行列式211111na a的第一列元素的代数余子式相同.211111na a11211111n D D D =⋅+⋅++⋅所以D 的第一列元素的代数余子式之和211111n a a =231()n a a a =-+++ 4.设行列式304222207005322D =--, 求第四行各元素的代数余子式之和，以及第四行各元素的余子式之和.解：根据上面第三题，各元素的代数余子式之和等于行列式30402222007001111=-设D 的第四行各元素的余子式分别为41424344,,,D D D D . 行列式'3040222207001111D =---的第四行各元素的余子式也分别为41424344,,,D D D D . 把'D 按第四行做Laplace 展开得到，'4142434441424344(1)(1)1(1)(1)(1)1(1)D D D D D ++++=-⋅-+⋅-+-⋅-+⋅-41424344D D D D =+++因此的D 的第四行各元素的余子式之和等于'3040222207001111D =---=28.5. 证明n 阶行列式cos 112cos 112cos n D θθθ=cos n θ=证明：对阶数n 用数学归纳法.1cos D θ=2cos 112cos D θθ=22cos 1cos 2θθ=-=假设1cos(1)n D n θ-=-, 2cos(2)n D n θ-=-对n D 按第n 行做Laplace 展开得到：12cos n n D D θ-=⋅(1)1cos 112cos 1(1)112cos 011n n n θθθ++-+⋅-⋅122cos n n D D θ--=⋅-2cos cos(1)cos(2)n n θθθ=⋅---cos((1))cos((1))n n θθθθ=+-+--cos(2)n θ-- cos n θ=归纳法成立.§2.4 行列式计算举例 （一）1. 求下面的多项式()f x 的根，11111()nnn nnx a a f x x a a =, 其中1,,n a a 互异.解：把上面的行列式按第一列做Laplace 展开得，1110()n n n n f x b x b x b x b --=++++ 其中1211112111n n n n n na a ab a a a ---=, 因为1,,n a a 互异，所以0n b ≠. 因此()f x 为 n次多项式.而12,,,n x a x a x a === 时，行列式都为0. 所以1,,n a a 都是()f x 的根，而()f x 为 n 次多项式，因此1,,n a a 是()f x 的全部根.2. 计算行列式 n 阶行列式deg()ij D a =, 其中jij a i =, ,1,2,,i j n = .解：222111222333nnnD n n n =（将行列式转置）222123123123nn n nn n =（对1,,i n = , 将第i 列的i 倍提出）1111111123123123n n n nnn ---=⋅⋅⋅(Vandermonde 行列式)1!()j i nn i j ≤<≤=-∏!1!2!3!(1)!n n =- 1!2!3!(1)!!n n =-3. 计算行列式n 阶行列式deg()ij D a =, 其中11n j j ij i i a a b -+-=,,1,2,,i j n = .解：1111111112222211nn n n n n nn n nn n n na ab a b a a b a b D a a b a b ------=(对1,,i n = , 将第i 行的ni a 倍提出)11111122221211()1()1()n n n n nnn nn nnb b a a b b a a a a a b b a a ---=(Vandermonde 行列式)121()jn n ni nj i ni jb b a a a a a ≤<≤=-∏4. 计算行列式2112112112n D -=--解：按第1行做Laplace 展开，12111102121(1)0121012n n n D D +---=+⋅--- (按第一列做Laplace 展开)122(1)n n D D --=-- 122n n D D --=+即122n n n D D D --=+. 设上述关系式可以表示成112()n n n n D xD y D xD ----=-. 则12()n n n D x y D xyD --=+-从而2x y +=, 1xy =-. 解得1(1)1x y ⎧=+⎪⎨=⎪⎩或1(2)1x y ⎧=⎪⎨=+⎪⎩对（1）式，112(1(1(1)n n n n D D D D ----=- 从而2123(1(1((1)n n n n D D D D ----=-221(1((1)n D D -==- 而215,2D D ==. 所以21(1(1(3n n n D D ---=- 同理，对(2 )得到21(1(1(3n n n D D ---=+ 消去1n D -, 得到n D =11n n ++=5. 计算行列式 211122222111n nn n n n n nnx x x x x x x x x ---解：考虑关于1,2,,ny y y 的线性方程组21112131121122232221123n n n n n n n nn n n n n y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x ---⎧++++=⎪++++=⎪⎨⎪⎪++++=⎩系数行列式211112122221111n n n n n n n nnx x x x x x D x x x ------=为 n 阶Vandermonde 行列式，1()i j j i nD x x ≤<≤=-∏. 而211122222111n nn nn n n n n nx x x x x x D x x x ---=恰为所求的行列式.由Cramer 法则, 知nn n D y V =. 另一方面，把1,2,,n y y y 看成系数，把x 看成未知数，则1,2,,nx x x 是方程21123n nn y y x y x y x x -++++=即1210n n n x y x y x y -----= 的 n 个根. 由韦达定理知 12n n x x x y +++=因此121()()n n n n ijj i nD y V x x x x x ≤<≤==+++-∏§2.5 Cramer 法则1． 设1,2,,na a a 是互不相同的数，求解下面的方程组，121122111111221n n n n n n n n n x x x a x a x a x b a x a x a x b ----+++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩解：系数行列式1211112111n n n n na a a D a a a ---=1()i j j i na a ≤<≤=-∏1()k i j j i nD a a ≤<≤=-∏, 其中k a b =. 所以111111()()()()()()()()k k k n k k k k k k n k D b a b a a b a b x D a a a a a a a a -+-+----==---- ,1,2,,k n = .2. 设1,2,,na a a 是互不相同的数，1,2,,nb b b 是任意一组给定的数. 证明有唯一的一个次数小于n 的多项式()f x 使得 ()i i f a b =.证明：设有次数小于 n 的多项式 1011()n n f x x x βββ--=+++ 满足()i i f a b =则有101111110121221011n n n n n n n n n a a b a a b a a bβββββββββ------⎧+++=⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩把它看成关于011,,,n βββ- 的线性方程组.方程组的系数行列式为 1111221111()1n n i j j i nn n na a a a a a a a --≤<≤-=-∏而1,2,,na a a 是互不相同的数, 所以方程组的系数行列式不为0. 由Cramer 法则，方程组有唯一解，即有唯一的一个次数小于 n 的多项式()f x 使得 ()i i f a b =.3. 设(,1,2,,)ij a i j n = 都是偶数，证明下面的方程组只有零解.1111122122122221122n n n n n n n nn nx a x a x a x x a x a x a x x a x a x a x =+++⎧⎪=+++⎪⎨⎪⎪=+++⎩证明：方程组可以化为，11112212112222122(1)0(1)0(1)0n n n nn n nn na x a x a x a x a x a x a a x a x -+++=⎧⎪+-++=⎪⎨⎪⎪+++-=⎩系数行列式为111212122212111n n n n nn a a a a a a a a a ---, 因为(,1,2,,)ij a i j n = 都是偶数,所以这个行列式除了1122(1)(1)(1)nn a a a --- 这一项都为偶数，而1122(1)(1)(1)nn a a a --- 这一项为奇数，所以系数行列式为奇数，从而不为0, 因此由Cramer 法则，方程组有唯一解. 而120n x x x ==== 显然为方程组的 解，所以方程组只有零解.。
证明范德蒙德(Vandermonde)行列式
有
有
a11 a1n1
仿照上述推论证明中所用的方法，在行列式
det(aij) 按第 i 行展开的展开式中，用 b1 , b2 , ···, bn
依次代替 ai1 , ai2 , ···, ain ，可得
a11 a1n
ai1,1 ai1,n
b1 bn b1 Ai1 b2 Ai2 bn Ain .
很少用来计算具体的行列式,但对于低阶行列式 (如二阶、三阶)或有很多零元素的高阶行列式,
有时也可用此方法来计算; 方法2 适用于行列式 的阶不确定的高阶行列式的计算; 方法3 主要用
于阶为已知的高阶行列式的计算. 当然在计算一个 行列式时,应根据实际情况灵活选择计算方法.
例12 证明范德蒙德(Vandermonde)行列式
11
1
x1 x2
Dn x12
x22
xn
xn2
( xi x j ). (1)
ni j1
x x n1
n1
1
2
x n1 n
证明 用数学归纳法
11
D2 x1
x2
x2 x1
( xi x j )
2i j1
所以n=2时(1)式成立.
假设(1)对于n－1阶范德蒙行列式成立，从第n行开始，后行
Байду номын сангаас
1 xn x1 xn ( xn x1 )
0
xn2 2
(
x2
x1 )
x3n2 ( x3 x1 )
xn2 n
(
xn
x1
)
按照第1列展开，并提出每列的公因子( xi x1 ) ，就有
11
1
( x2 x1 )( x3 x1 ) ( xn x1 ) x2
范德蒙德行列式计算公式
范德蒙德行列式计算公式范德蒙德行列式是一个重要的数学概念，用于计算多项式的值和解决线性方程组。
它的计算公式如下：$$begin{vmatrix}1 & a_1 & a_1^2 & cdots & a_1^{n-1}1 & a_2 & a_2^2 & cdots & a_2^{n-1}vdots & vdots & vdots & ddots & vdots1 & a_n & a_n^2 & cdots & a_n^{n-1}end{vmatrix}=prod_{1le i<jle n}(a_j-a_i)$$其中 $a_1,a_2,cdots,a_n$ 是 $n$ 个不同的数。
公式的右边是 $n$ 个因子的积，每个因子 $(a_j-a_i)$ 表示第$i$ 个数和第 $j$ 个数之间的差值。
因为 $a_i$ 不等于 $a_j$，所以每个因子都不为零，因此整个积不为零。
公式的左边是一个 $n$ 阶行列式，其中第 $j$ 列的元素是$a_i^{j-1}$。
当 $n=2$ 时，行列式的值为 $(a_2-a_1)$，与公式右边的结果一致。
当 $n=3$ 时，行列式的值为$$begin{vmatrix}1 & a_1 & a_1^21 & a_2 & a_2^21 & a_3 & a_3^2end{vmatrix}=(a_2-a_1)(a_3-a_1)(a_3-a_2)$$也与公式右边的结果一致。
范德蒙德行列式的计算公式可以用于解决许多实际问题，例如在统计学中，它可以用于计算多项式拟合曲线的系数；在工程学中，它可以用于解决线性电路的电流和电压关系。
范德蒙德行列式——简单明了
j. j
三、小结
1. 行列式按行(列)展开法则是把高阶行列式的计
算化为低阶行列式计算的重要工具.
n
n
2. aki Akj aik Ajk D ij
k 1
k 1
思考题
1 2 3n
1 2 0 0
设 n 阶行列式 Dn 1 0 3 0
1 0 0n
求第一行各元素的代数余子式之和: A11+A12+ ···+A1n .
ai1Aj1 + ai2Aj2 + ···+ ainAjn = 0, i j ; a1iA1j + a2iA2j + ···+ aniAnj = 0, i j .
证: 把行列式D = det(aij) 按第 j 行展开, 得
a11 a1n
ai1 ain
D a j1 Aj1 a jn Ajn
从而 D = a11A11, 即结论成立.
再证一般情形, 此时
a11 a1 j a1n
D 0 aij 0
an1 anj ann
把D的第 i 行依次与第 i –1行,第 i –2行, ···, 第1行
交换, 得
0 aij 0
D 1 i1 ai1,1 ai1, j ai1,n
有:
1 11
Dn ( x2 x1 )( x3 x1 )( xn x1 )
x2
x3 xn
n–1阶范德蒙德行列式
x2n2
x3n2
x
范德蒙行列式的证明及其应用
范德蒙行列式的证明及其应用在高等代数中，范德蒙行列式是一个具有特殊形式和重要性质的行列式。
它不仅在理论上有着深刻的意义，而且在实际的数学问题求解中也有着广泛的应用。
范德蒙行列式的形式如下：＼＼begin{vmatrix}1 ＆ 1 ＆ 1 ＆＼cdots ＆ 1 ＼＼x_1 ＆ x_2 ＆ x_3 ＆＼cdots ＆ x_n ＼＼x_1^2 ＆ x_2^2 ＆ x_3^2 ＆＼cdots ＆ x_n^2 ＼＼＼cdots ＆＼cdots ＆＼cdots ＆＼cdots ＆＼cdots ＼＼x_1^｛n 1} ＆ x_2^｛n 1} ＆ x_3^｛n 1} ＆＼cdots ＆ x_n^｛n 1}＼end{vmatrix}＼接下来，我们先来证明范德蒙行列式。
证明范德蒙行列式通常使用数学归纳法。
当\（n ＝ 2\）时，范德蒙行列式为：＼begin{vmatrix}1 ＆ 1 ＼＼x_1 ＆ x_2＼end{vmatrix} ＝ x_2 x_1＼假设\（n 1\）阶范德蒙行列式成立，即：＼＼begin{vmatrix}1 ＆ 1 ＆ 1 ＆＼cdots ＆ 1 ＼＼x_1 ＆ x_2 ＆ x_3 ＆＼cdots ＆ x_{n 1} ＼＼x_1^2 ＆ x_2^2 ＆ x_3^2 ＆＼cdots ＆ x_{n 1}＾2 ＼＼＼cdots ＆＼cdots ＆＼cdots ＆＼cdots ＆＼cdots ＼＼x_1^｛n 2} ＆ x_2^｛n 2} ＆ x_3^｛n 2} ＆＼cdots ＆ x_{n 1}＾｛n 2}＼end{vmatrix} ＝＼prod_{1\leq i ＜ j\leq n 1} （x_j x_i)＼对于\（n\）阶范德蒙行列式，将其按第一列展开：＼begin{vmatrix}1 ＆ 1 ＆ 1 ＆＼cdots ＆ 1 ＼＼x_1 ＆ x_2 ＆ x_3 ＆＼cdots ＆ x_n ＼＼x_1^2 ＆ x_2^2 ＆ x_3^2 ＆＼cdots ＆ x_n^2 ＼＼＼cdots ＆＼cdots ＆＼cdots ＆＼cdots ＆＼cdots ＼＼x_1^｛n 1} ＆ x_2^｛n 1} ＆ x_3^｛n 1} ＆＼cdots ＆ x_n^｛n 1}＼end{vmatrix} ＝＼sum_{k ＝ 1}＾n （－1)＾｛1 ＋ k} 1 ＼timesM_{1k}＼其中\（M_{1k}＼）是原行列式中第一行第\（k\）列元素的余子式。
范德蒙行列式证明
范德蒙行列式证明范德蒙行列式是数学中的经典问题，它是由荷兰数学家范德蒙在18世纪提出的。
范德蒙行列式是一个n阶方阵，其中每个元素的值为ai^(j-1)，其中i表示这个元素所在的行，j表示这个元素所在的列。
范德蒙行列式在代数学、组合数学和概率论等领域都有广泛的应用。
在证明范德蒙行列式的时候，我们可以采用数学归纳法的思想。
假设我们已经证明了n-1阶范德蒙行列式的公式，那么我们就可以通过对第n行进行展开，将n阶范德蒙行列式转化为n-1阶范德蒙行列式的形式。
具体来说，我们可以将n阶范德蒙行列式中的第n行展开为：| a1^(n-1) a2^(n-1) ... an^(n-1) || a1^(n-2) a2^(n-2) ... an^(n-2) || ... ... ... || a1 a2 ... an |然后，我们可以将这个展开式中的每一项乘以第n列对应的元素an，得到：an * | a1^(n-2) a2^(n-2) ... an^(n-2) |an * | a1^(n-3) a2^(n-3) ... an^(n-3) |... ... ... . ..an * | a1 a2 ... an | 接着，我们可以将这个新的n阶行列式按照第n列展开，即：an * | a1^(n-2) a2^(n-2) ... an^(n-2) |+ (-1)^(n+1) * a1 * | a2^(n-2) a3^(n-2) ... an^(n-2) |+ (-1)^(n+2) * a2 * | a1^(n-2) a3^(n-2) ... an^(n-2) |+ ... + (-1)^(n+n) * an-1 * | a1^(n-2)a2^(n-2) ... an-1^(n-2) |+ (-1)^(n+n+1) * an * | a1^(n-2) a2^(n-2) ...an-1^(n-2) |可以看到，这个展开式中的每一项都是一个n-1阶的范德蒙行列式，因此根据数学归纳法的假设，我们可以用n-1阶范德蒙行列式的公式来计算这些项，最终得到n阶范德蒙行列式的公式：| a1^(n-1) a2^(n-1) ... an^(n-1) || a1^(n-2) a2^(n-2) ... an^(n-2) || ... ... ... || a1 a2 ... an |= ∏(1 <= i < j <= n) (aj - ai)这是一个非常优美的公式，它能够用一个简单的表达式来表示任意阶数的范德蒙行列式。
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