范德蒙行列式的历史回顾与应用
[整理版]范德蒙行列式及其应用
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范德蒙行列式及其应用摘要:在高等代数中，行列式无疑是一个重点和难点。
它主要应用于高等代数理论，作为一种特殊的行列式——范德蒙行列式不仅具有特殊的形式，而且有非常广泛的应用.本文主要探讨范德蒙行列式在向量空间理论，线性变化理论，多项式理论中以及行列式计算中的应用.关键词:范德蒙行列式；多项式；线性变换一． 范德蒙行列式定义及性质1.范德蒙行列式的定义定义1 关于变元1x ,2x n x 的n 阶行列式122221211112111n n n n n n nx x x D x x x x x x ---=(1)叫做1x ，2x n x 的n 阶范德蒙行列式，记作n V （1x ,2x ,…n x ）.2.我们用定理证明范德蒙德行列式已知在错误！未找到引用源。
级行列式中，第错误！未找到引用源。
行（或第错误！未找到引用源。
列）的元素除错误！未找到引用源。
外都是零，那么这个行列式等于错误！未找到引用源。
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中，从最后一行开始，每一行减去它相邻前一行的错误！未找到引用源。
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范德蒙德行列式的应用
前言在线性代数中，行列式是一个重要的分支，同时在数学的各个领域和其他学科中行列式都有着广泛普遍的应用。
行列式本身有着悠久的历史。
行列式理论产生于十七世纪末，到十九世纪末，它的理论体系已基本形成了。
早在1545年卡当就给出了两个一元方程组的算法，但是未明确提出行列式这个概念。
1683年，日本数学家关孝和首次引进了行列式的概念。
同年，德国数学家莱布尼茨首先开始使用指标数的系统集合来表示有三个未知数的三个一次方程组的系数[]1。
莱布尼茨这种解决方程组的方法为行列式理论的进一步发展奠定了坚实的基础。
1771年，范德蒙德不仅把行列式应用于解线性方程组，而且对行列式理论本身进行了开创性研究，他是行列式的奠基者。
范德蒙德以拉格朗日著作中的预解式、置换理论等为理论基础，为群的概念研究奠定了基础。
范德蒙德行列式就是由他研究并总结得出的。
范德蒙德开创了将方程组与行列式分离开来的先河，他是第一个对行列式进行单独阐述的数学家。
他给出了二阶子式及其余子式的概念，并且给出了用二阶子式和它的余子式对行列式进行展开，从而得出其结果的法则，同时他也给出了专门记录行列式的符号。
1772年，皮埃尔-西蒙·拉普拉斯在他的论文中给出了子式的概念，他的思想就是基于范德蒙德著作中将行列式展开为若干个较小的行列式之和的方法。
自此时起，便是人们对行列式单独研究的开端。
19世纪才是人们对行列式理论深入研究的新的开始。
第一个给出行列式系统理论的是伟大数学家柯西。
他给出了行列式的乘法定理，双重组标记法等。
1832至1833年间卡尔·雅可得出了关于行列式计算的特殊结果，在此基础之上，1839年，卡塔兰发现了雅可比行列式。
1841年，雅可比发表了一篇关于函数的线性相关性与雅可比行列式的关系的论文。
而范德蒙德行列式是一类特殊的行列式，它有着独特的形式及其简明的计算结果，所以范德蒙德行列式不仅在数学领域中占据着重要地位，而且在各个领域中也有着广泛的应用，比如在进行行列式计算或变换时，如果我们能适当的变形化成范德蒙德行列式的形式，就能起到简化解题过程或者是减少计算量的效果。
范德蒙行列式及应用论文
范德蒙行列式及应用论文范德蒙行列式，又称范德蒙行列，是数学中的一个重要概念，它在线性代数、向量空间、微积分等领域有着广泛的应用。
范德蒙行列式由荷兰数学家范德蒙（Vandermonde）首先提出，它的定义和性质在很多数学分支中都发挥了重要的作用，特别是在矩阵理论、数论、代数学等领域，范德蒙行列式都有着深远的影响。
范德蒙行列式的定义是：对于给定的n个不同的数a1,a2,...,an，范德蒙行列式定义为：a1 a2 ... ana1^2 a2^2 ... an^2a1^3 a2^3 ... an^3... ... ... ...a1^n a2^n ... an^n即为由这些数按照一定顺序排列而成的矩阵行列式，其中ai^k表示ai的k次幂。
范德蒙行列式的值可以通过列主元化简为非零值，从而成为一个n阶矩阵行列式。
范德蒙行列式的应用非常广泛，下面我们来谈谈范德蒙行列式在数学中的一些重要应用。
首先，在线性代数中，范德蒙行列式是矩阵的一个重要特征，它可以用来描述矩阵的性质和结构。
通过范德蒙行列式，我们可以判断矩阵的秩、可逆性、行列式值等信息，进而用于解线性方程组、矩阵变换、特征值特征向量的求解等问题。
其次，在微积分中，范德蒙行列式也有着重要的应用。
在多元函数的求导、积分、微分方程的求解过程中，常常需要用到雅可比行列式，而雅可比行列式与范德蒙行列式有着密切的关系。
通过范德蒙行列式，我们可以求解多元函数的偏导数、雅可比行列式的值，从而解决相关的微分方程和积分问题。
另外，在数论中，范德蒙行列式也有着重要的应用。
由于范德蒙行列式的特殊性质，它经常出现在数论中的不同问题中，例如组合数学、数列求和、多项式插值等方面。
通过范德蒙行列式，我们可以推导出一些数学定理和结论，解决一些数论问题。
除了以上提到的领域外，范德蒙行列式还在代数学、几何学、概率论、信号处理、图论等领域有着重要的应用。
它不仅是数学理论研究的基础，还是许多工程技术问题的解决工具。
范德蒙德行列式的研究与应用
范德蒙德行列式的研究与应用给定n个数$x_1,x_2,...,x_n$，范德蒙德行列式定义为：$$\begin{vmatrix}1 & x_1 & x_1^2 & \cdots & x_1^{n-1} \\1 & x_2 & x_2^2 & \cdots & x_2^{n-1} \\\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\1 & x_n & x_n^2 & \cdots & x_n^{n-1} \\\end{vmatrix}$$1.行列式的值只与$x_1,x_2,...,x_n$有关，而与n无关。
2.当$x_1,x_2,...,x_n$中存在两个数相同时，行列式的值为0。
3.当$x_1,x_2,...,x_n$中的数互不相同时，行列式的值为：$$\prod_{1 \leq i < j \leq n} (x_j - x_i)$$其中$\prod$表示乘积。
1.插值多项式：给定n个互不相同的点$(x_1,y_1),(x_2,y_2),...,(x_n,y_n)$，根据这些点来构造一个插值多项式可以使用范德蒙德行列式。
具体而言，可以通过以下公式计算出多项式的系数：$$\begin{bmatrix}x_1^0 & x_1^1 & x_1^2 & \cdots & x_1^{n-1} \\x_2^0 & x_2^1 & x_2^2 & \cdots & x_2^{n-1} \\\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\x_n^0 & x_n^1 & x_n^2 & \cdots & x_n^{n-1} \\\end{bmatrix}\begin{bmatrix}a_0\\a_1\\\vdots \\a_{n-1}\\\end{bmatrix}\begin{bmatrix}y_1\\y_2\\\vdots \\y_n\\\end{bmatrix}$$其中，$a_0,a_1,...,a_{n-1}$为待求的多项式系数。
范德姆行列式
范德姆行列式范德蒙德行列式（Vandermonde determinant）是一个非常重要的行列式，它在数学和工程领域具有广泛的应用。
它是由18世纪的法国数学家亚历山大·范德蒙德（Alexandre-Théophile Vandermonde）首次引入和研究的。
范德蒙德行列式的定义相对简单，但其推理和性质却十分复杂。
在深入研究范德蒙德行列式之前，我们首先需要了解行列式的基本概念。
一个$n$阶方阵$A$的行列式（denoted by $|A|$）是一个数值，它代表了该矩阵$n$个行（或$n$个列）之间的线性相关性。
行列式可以通过不同方法计算，其中最常用的方法是利用矩阵的行列式定义。
对于$n$阶方阵$A$，它的行列式可以由下式计算：\[ |A| = \sum_{\sigma \in S_n} \text{sgn}(\sigma) \cdota_{1\sigma(1)} \cdot a_{2\sigma(2)} \cdots a_{n\sigma(n)} \]其中$S_n$表示所有$n$个元素的排列集合，$\sigma$是其中的一个排列，$\text{sgn}(\sigma)$表示排列$\sigma$的符号，$a_{ij}$表示矩阵$A$的第$i$行、第$j$列的元素。
范德蒙德行列式是一个特定形式的行列式，它的元素由一组互不相同的实数$x_1, x_2, \cdots, x_n$构成，且$n$为正整数。
它的定义如下：\[ V_n = \begin{vmatrix} 1 & x_1 & x_1^2 & \cdots & x_1^{n-1}\\ 1 & x_2 & x_2^2 & \cdots & x_2^{n-1} \\ \vdots & \vdots &\vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & x_n & x_n^2 & \cdots & x_n^{n-1} \end{vmatrix} \]范德蒙德行列式具有以下性质：1. 对任意$i \neq j$，存在常数$r$，使得$x_i^r = x_j^r$。
行列式的发展史及应用
行列式的发展史及应用行列式理论产生于17世纪末，到19世纪末，其理论体系已基本形成。
1693年，德国数学家莱布尼茨（leibnie，1646—1716）解方程组时将系数分离出来用以表示未知量，得到行列式原始概念。
当时，莱布尼兹并没有正式提出行列式这一术语。
1729年，英国数学家马克劳林 (maclaurin，1698—1746)以行列式为工具解含有2、3、4个末知量的线性方程组。
在1748年发表的马克劳林遗作中，给出了比菜布尼兹更明确的行列式概念。
1750年，瑞士数学家克拉默 (gramer，1704—1752)更完整地叙述了行列式的展开法则并将它用于解线性方程组。
即产生了克拉默法则。
1772年。
法国数学家范德蒙 (vandermonde，1735—1796)专门对行列式作了理论上的研究，建立了行列式展开法则，用子式和代数余子式表示一个行列式。
1172年，法国数学家拉普拉斯 (laplace。
1749梷1827)推广了范德蒙展开行列式的方法。
得到我们熟知的拉普拉斯展开定理。
1813一1815年，法国数学家柯西 (cauchy，1789—1857，对行列式做了系统的代数处理，对行列式中的元素加上双下标排成有序的行和列，使行列式的记法成为今天的形式。
英国数学家凯菜 (cayley，于1841年对数字方阵两边加上两条竖线。
柯西证明了行列式乘法定理:。
1841年，德国数学家雅可比(jacobi)发表的《论行列式的形成与性质》一文，总结了行列式的发展。
同年，他还发表了关于函数行列式的研究文章，给出函数行列式求导公式及乘积定理。
到19世纪末，行列式的研究成果仍在发表，但行列式的基本理论体系已经形成。
范德蒙德行列式的几点应用
第2讲 范德蒙德行列式的几点应用我们知道，n 阶范德蒙德行列式()2111121222121111n n n ijj i nn nnnx x x x x x V x x x x x --<-==-∏≤≤，当这些i x 两两互异时，0n V ≠．这个事实有助于我们理解不少结果．例1 证明一个n 次多项式之多有n 个互异根． 证 设()2012n n f x a a x a x a x =++++有1n +个互异的零点121,,,n x x x +，则有()20120n i i i n i f x a a x a x a x =++++=，1 1i n +≤≤．即这个关于01,,,n a a a 的齐次线性方程组的系数行列式()211122221121111101nn ijj i n n n n n x x x x x x x x x x x <++++=-≠∏≤≤，因此0120n a a a a =====．这个矛盾表明()f x 至多有n 个互异根． 例2 设12,,,n a a a 是n 个两两互异的数．证明对任意n 个数12,,,n b b b ，存在惟一的次数小于n 的多项式()L x ：()1nj i i j ii jx a L x b a a =≠-=-∑∏，使得()i i L a b =，1 i n ≤≤．证 从定义容易看出()L x 的次数小于n ，且()i i L a b =，故只需证明唯一性即可． 设()210121n n f x c c x c x c x --=++++满足()i i f a b =，1 i n ≤≤，即这个关于0121,,,,n c c c c -的线性方程组的系数行列式()21111212221211101n n ijj i nn nnna a a a a a a a a a a --<-=-≠∏≤≤，故0121,,,,n c c c c -是唯一的，必须()()f x L x =．这个例子就是有名的拉格朗日插值公式．例3 设()()()121,,,n f x f x f x -是1n -个复系数多项式，满足 ()()()121211|n n n n n n x x f x xf x x f x ---++++++，证明()()()1211110n f f f -====．证 设()()()()()211211n n n n n n f x xf x x f x p x x x ---+++=+++，取22cossini n nππω=+，分别以21,,,n x ωωω-=代入，可得这个关于()()()1211,1,,1n f f f -的齐次线性方程组的系数行列式()()()22221211101n n n n n ωωωωωω-----≠，因此()()()1211110n f f f -====．例4 设n 是奇数，()()()121,,,n f x f x f x -是1n -个复系数多项式，满足()()()123221211|n n n n n n n n x x x f x xf x x f x -------+-++++，证明()()()1211110n f f f --=-==-=．证 注意到当n 是奇数时，()()123111n n n n x x x x x ---+=+-+-+，可按照例3的思路完成证明．例5 设A 是个n 阶矩阵，证明A 的属于不同特征值的特征向量线性无关．证 设12,,,r λλλ是A 的两两不同的r 个特征值，非零向量12,,,r ααα适合i i i A αλα=，1 i r ≤≤，假设11220r r x x x ααα+++=，那么有()11220j r r A x x x ααα+++=，1 1j r -≤≤．即()1110r r rjjj i i i i i i i i i i A x x A x ααλα===⎛⎫==⋅= ⎪⎝⎭∑∑∑，注意到()0j ir rλ⨯≠，必须11220r r x x x ααα====，于是120r x x x ====，这证明了12,,,r ααα线性无关．例6 计算行列式()()()()()()()()()111212122211121111n n n n n n n x x x x x x D x x x ϕϕϕϕϕϕϕϕϕ---=，其中()11kk k k nk x x a xa ϕ-=+++．解 注意到下面的等式： 即得()1n ijj i nD x x <=-∏≤≤．例7 计算行列式1212111111111n n n x x x D x x x n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭，其中()()11!x x x x k k k --+⎛⎫= ⎪⎝⎭．解 直接利用例6可得()()111!2!1!n ijj i nD x x n <=--∏≤≤． 例8 设12,,,n a a a 是正整数，证明n 阶行列式。
范德蒙行列式及其应用
目录摘要及关键词 (1)一、范德蒙行列式 (1)(一)范德蒙行列式定义 (1)(二)范德蒙行列式的推广 (4)二、范德蒙行列式的相关应用 (8)(一) 范德蒙行列式在行列式计算中的应用 (8)(二) 范德蒙行列式在微积分中的应用 (14)(三) 范德蒙行列式在多项式理论中的应用 (19)(四) 范德蒙行列式推广的应用 (21)三、结束语 (22)四、参考文献 (23)范德蒙行列式及其应用摘要：在北大版高等代数的教科书中，行列式是一个重点也是一个难点，它是学习线性方程组、矩阵、向量空间和线性变换的基础，起着重要作用。
而行列式的计算具有一定的规律性和技巧性，同时可以应用在很多领域。
本文将通过对n阶范德蒙行列式的计算、推广及其证明，讨论它在行列式计算,微积分和多项式理论中的相关应用，然后主要研究一些与范德蒙行列式有关的例子，从中掌握行列式计算的某些方法和技巧，这将有助于我们更好的应用范德蒙行列式解决问题。
关键词：范德蒙行列式、行列式The Determinant of Vandermonde and Its ApplicationYuping- Xiao(Department of Mathematics Bohai University Jinzhou 121000 China) Abstract: Higher algebra textbook edition in Beijing University,the determinant is not only animportant point but also a difficult point,it is a foundation of learning linear equations,matrices,vector space and linear transformation,it plays an important role.And the calculation of determinant has a certain regularity and skills,it can be applied in many areas at the same time. This paper will be through the calculation,expansion and prove of a n band Vandermonde determinant,and discuss the calculation of determinant,the relevant application in the calculus and multinomial theory, then study some examples about the determinant of Vandermonde,and acquire some methods and skills of determinant calculation,This will help us better use the determinant of Vandermonde to solve the problems.Key words: the Vandermonder determinant; determinant一、范德蒙行列式(一)范德蒙行列式定义定义1[1]关于变元x,2x n x的n阶行列式1122221211112111n n nn n n nx x x D x x x x x x ---= (1) 叫做1x ，2x n x 的n 阶范德蒙行列式。
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范德蒙行列式的历史回顾与应用摘要：行列式是高等代数的重要内容之一，它是线性方程组、矩阵、向量空间和线性变换的基础。
n 级范德蒙行列式是著名的行列式，它有广泛的应用，证明过程是行列式定理及数学归纳法的综合应用。
本文将通过对n 级范德蒙行列式的历史发展进程与范德蒙行列式和类似范德蒙行列式的计算方法， 讨论它的各种位置变化规律, 介绍如何将类似范德蒙行列转换构造为标准的范德蒙行列式，并通过行列式的性质及定理，行列式的乘法规则，和行列式的加边法，来计算此类行列式，由此让人们能较为深入地了解到范德蒙行列式的魅力所在，同时也提高了分析、归纳与总结相关内容的能力，掌握解决此类问题的方法与技巧。
关键词：行列式，范德蒙行列式，行列式的性质，乘法规则，加边法，拉普拉斯定理，子式，代数余子式，克莱姆法则，重根，充要条件，线性方程组。
1 .引言行列式113121122322213211111----=n nn n n n n a a a a a a a a a a a a d称为n 级的范德蒙行列式。
（见文献[1]）我们来证明，对任意的n （n ≥2），n 级范德蒙行列式等于na a a ,,,21 这n 个数的所有可能的差j i a a -（1≤j ＜i ≤n ）的乘积，即∏≤<≤-ni j jia a 1)(。
我们可以将范德蒙行列式或类似范德蒙行列式的行列式，用行列式的性质、乘法规则、加边法，计算出结果。
2.1.预备知识性质1 行列互换，行列式不变，即nnn n n n nnn n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a212221212111212222111211=。
在行列式中行与列的地位是对称的，因之凡是有关行的性质，对列也同样成立。
性质2nnn n in i i nnnn n in i i n a a a a a a a a a k a a a ka ka ka a a a212111211212111211=。
这就是说，一行的公因子可以提出去，或者说以一数乘行列式的一行就相当于用这个数乘此行列式。
性质3nnn n n nnn n n n nnnn n n n n a a a c c c a a a a a a b b b a a a a a a c b c b c b a a a21211121121211121121221111211+=+++。
这就是说，如果某一行是两组数的和，那么这个行列式就等于两个行列式的和，而这两个行列式除这一行以外与原来行列式的对应的行一样。
性质4 如果行列式中有两行相同，那么行列式为零。
所谓相同就是说两行的对应元素都相等。
性质5 如果行列式中两行成比例，那么行列式为零。
性质6 把一行的倍数加到另一行，行列式不变。
n n k k i i nnn n kn k k kn k k n nnn n kn k k ini i n nnn n kn k k knin k i k i n aa a aa a aa a a a a a a a a a a ca ca ca a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ca a ca a ca a a a a212121121121212111211212121112112121221111211=+=+++性质7 对换行列式中两行的位置，行列式反号。
定理1（拉普拉斯定理）设在行列式D 中任意取定了k （1≤k ≤n-1）个行。
由这k 行元素所组成的一切k 级子式与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式D 。
定理2（乘法规则）两个n 级行列式nn n n n na a a a a a a a a D2122221112111=和nnn n n nb b b b b b b b b D2122221112112=的乘积等于一个n 级行列式nnn n n nc c c c c c c c c C212222111211=。
其中c ij 是D 1的第i 行元素分别与D 2的第j 列的对应元素乘积之和：nj in j i j i ij b a b a b a c +++= 2211以上性质与定理参考文献[1]。
2.2. n 级范德蒙行列式的证明113121122322213211111----=n nn n n n n a a a a a a a a a a a a d①，对任意n （n ≥2），行列式等于∏≤<≤-ni j j i a a 1)(。
证明（用数学归纳法）：（1）当n=2时，122111a a a a -=，显然成立。
（2）假设n-1级范德蒙行列式结论成立，现考虑n 级的情况。
在①中，用第n 行减去第n-1行的1a 倍，第n-1行减去第n-2的1a 倍，…，第2行减去第一行的1a 倍，即由下至上每一行依次减去上一行的1a 倍。
23222232211113112123123212211312111131121231232122113120001111--------------=---------=------n n n nn n aa a a a a a a a aa a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a d n n n n n n n n n n n n n22322223223211312111)())((------=n nn n n n n a a a a a a a a a a a a a a a。
最后这个行列式是一个n-1级的范德蒙行列式，根据归纳法的假设可知，它等于所有可能差j i a a -（2≤j ＜i ≤n ）的乘积，即∏≤<≤-ni j jia a 2)(。
又因为包含有1a 的差全部在行列式之前，所以对n 级范德蒙行列式结论成立。
（3）综上所述，根据数学归纳法可知，范德蒙行列式等于结论成立，即113121122322213211111----=n nn n n n n a a a a a a a a a a a a d=∏≤<≤-n i j j i a a 1)(。
由上述证明结果可知，范德蒙行列式为零的充要条件为n a a a ,,,21 这n 个数中至少有两个数相等。
2.3.范德蒙行列式的历史发展进程范德蒙 (A-T.Vandermonde,1735-1796) ，法国数学家，在行列式的发展史上，第一个对行列式理论做出连贯的逻辑的阐述，即把行列式理论与线性方程组求解相分离的人。
范德蒙自幼在父亲的指导下学习音乐，但对数学有浓厚的兴趣，后来终于成为法兰西科学院院士。
特别地，他给出了用二阶子式和它们的余子式来展开行列式的法则。
就对行列式本身这一点来说，他是这门理论的奠基人。
1772 年，拉普拉斯在一篇论文中证明了范德蒙提出的一些规则，推广了他的展开行列式的方法。
行列式出现于线性方程组的求解，是由莱布尼茨和日本数学家关孝和发明的。
1693 年 4 月，莱布尼茨在一封信中使用并给出了行列式，并给出方程组的系数行列式为零的条件。
同时代的日本数学家关孝和在其著作《解伏题元法》中也提出了行列式的概念与算法。
1750 年，瑞士数学家克莱姆 (G.Cramer,1704-1752) 在其著作《线性代数分析导引》中，对行列式的定义和展开法则给出了比较完整、明确的阐述，并给出了现在我们所称的解线性方程组的克莱姆法则。
稍后，数学家贝祖 (E.Bezout,1730-1783) 将确定行列式每一项符号的方法进行了系统化，利用系数行列式概念指出了如何判断一个齐次线性方程组有非零解。
在范德蒙和拉普拉斯对以范德蒙行列式为主的行列式研究之后，又出现了一位法国大数学家柯西。
1815 年，柯西在一篇论文中给出了行列式的第一个系统的、几乎是近代的处理。
其中主要结果之一是行列式的乘法定理。
另外，他第一个把行列式的元素排成方阵，采用双足标记法，引进了行列式特征方程的术语，给出了相似行列式概念，改进了拉普拉斯的行列式展开定理并给出了一个证明。
2.4范德蒙行列式的性质由行列式的性质可推出下列范德蒙行列式的性质： 1.若将范德蒙行列式逆时针旋转90°，得到112111222213233121111----n n n n nn n aaa a a a a a a a a a=Dn n n 2)1()1(--=∏≤<≤---ni j jin n a a 12)1()()1(。
2.若将范德蒙行列式顺时针旋转90°，得到111121323132221212111nnn nn n n a a a a aaa a a a a a ----=Dn n n 2)1()1(--=∏≤<≤---ni j jin n a a 12)1()()1(。
3.若将范德蒙行列式旋转180°，得到111112321222321112131a a a a a a a a a a a a n n n n n n n ----=Dn =∏≤<≤-ni j j i a a 1)(。
2.5范德蒙行列式在计算中的应用1.用行列式的性质计算范德蒙行列式 例1.文献[2]中有一例题，计算n+1阶行列式1+n D =111)()1()()1()()1(111n a a a n a a a n a a a n n n nn n ---------。
分析：可以根据范德蒙行列式的性质3将上述行列式转换为标准范德蒙行列式，可以计算出结果。
∵不知道n 是奇数还是偶数∴不能将第1行与第n+1行对换，将第2行与第n 行对换∴采用将第n+1行与上面各行进行两两对换，把它换到第1行，共经过n 次对换，再将第n 行与上面各行进行两两对换，把它换到第2行，共经过（n-1）次对换，…依次进行两两对换，直到第2行进行依次对换，把它换到第n 行 ∴总共经过了)12)1((+++-+ n n 次对换∴再对列作类似变换，两次共2)1(2+⨯n n =)1(+n n 次对换解：nn n n n n n n n n a a a n a a a n a a a D )()1()()1(1111)1(11112)1(1-------=---+++-++nn n n n n n n n n n n a a n a n a a a n a n a a a n a n a )1()]1([)()1()]1([)(1)1(1111)1()1(11112)1(2)1(--------------=----++!2)!1(! -=n n例2.根据文献[2]，计算43423332232213124243232221214321sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin 1sin 1sin 1sin 11111ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ++++++++++++=∆分析：从第1行开始，依次用上一行的（-1）倍加到下一行，逐级相加，即用第2行减去第1行，第3行减去第2行，第4行减去第3行，可得到标准范德蒙行列式，可以计算出结果。